第十五章：积分变换法求解定解问题
数学物理方程练习题第七版(学生用)
= u(0, t) 0= , ux (2,t) 1,
u(x= ,0)
cos π x + x3 − 3x2 − x.
2
3．求定解问题的解：
u
x= x + u yy
sinπ x,
0 < x < 1, 0 < y < 1,
= u(0, y) 1,= u(1, y) 2,
u(x,0) =1+ x,
7
u
rr
+
1 u
r
r
+
1 r2
uθθ
= 0,
u= (1,θ ) A cosθ (−π < θ ≤ π ).
4. 设 A, B 为常数，用试探法求如下定解问题的解：
u rr
1 +rur
+
1 r2
u
θθ
=
0,
r < a,
u r= =a A cosθ + B sinθ (−π < θ ≤ π ).
练习十五
练习六
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
3
2．求解如下定解问题：
= u tt
a2u
xx
+
t
sin
π l
x
,
u= (0,t) u= (l,t) 0, t ≥ 0,
X= ′(0)
X= (l)
0.
3. 求如下定解问题的解：
= ut uxx , 0 < x < 2, t > 0, ux= (0, t) u= (2, t) 0,
偏微分方程考试题
数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
第十二章 积分变换法
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
第三节+积分变换在解定解问题中的应用
记 L [u(x,t)] u (x, s), L [ f (t)] f (s)
有
d 2u
dx
2
s2 a2
u
f a2
,
u
x0
0,
lim u x
x
0.
其通解为
sx
u (x, s) c1ea
sx
c2e a
f (s) s2
利用边界条件得
c1 0,
c2
( x)e i x dx
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 5
数学物理方程
第五章 积分变换法
对方程和初始条件关于x取傅氏变换，有
ddu~t a2 2u~ ~f (,t), u~ t0 ~( ).
下面求解常微分方程的初值问题 因为
d (ea2 2tu~) ea2 2t a 2 2u~ ea2 2t du~
x0 )e d 4a2t
1
( x x0 )2
e 4a2t
2a t
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 4
数学物理方程
第五章 积分变换法
G(x,t; x0 ,0)为一维热传导方程的基本解。
u(x,t)
1
( x x0 )2 4a2t
2a t (x )e dx
[u(
x,
t
)]
u(
x,
t
)e
i
x
dx
第三节 积分变换在解定解问题中的应用
No. 12
数学物理方程
第五章 积分变换法
得
d 2u~ dt 2
数学物理方法中无界区域的定解问题
无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。
含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。
根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。
令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。
通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。
积分变换法求解定解问题
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
数学物理方法3-4积分变换法
§3.4.1
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
直线上的初值问题
例3.4.1求解热传导 问题
dU(, t) 2 2 a U(, t), t 0 解：利用傅立 dt 叶变换的性质 U(, 0) (), t a22 a22t C () U(, t) e C F(, ) e d
思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
傅立叶变换的定义
U ( , t ) u ( x, t )e
j x
1 dx , u ( x , t ) 2
U ( , t )e j x d
傅立叶变换的性质 微分性 位移性 f ( n ) (x) ( j ) n F ( )
e
d d
1 2a
t
( )e
2 x
4 a 2t
d
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
§3.4.2
半无界直线上的问题
半无界区域上的热传导（扩散）问题 2 u 2 u 0 x , t 0 t a x 2 0, 例3.4.4 求解 t 0 u (0, t ) u0 , u ( x, 0) 0, 0 x 做代换 u ( x, t ) v( x, t ) u0 转化为直线上热传导方程 2 v v 2 对称延拓法（奇延拓） a , 0 x , t 0 2 x t x0 u0 , v(0, t ) 0, t0 ( x) u0 , x0 v( x, 0) u0 , 0 x 考虑与无界区域上 波传播问题的差别
积分变换法
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
整理课件
6
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
整理课件
27
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
8) 卷积性质 L f g L fL g
其 中 fg t 0 tfsg t sd s
应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。
整理课件
28
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
例 解常微分方程的初值问题:
T''ta2Tt f t T0b, T'0c.
解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设
T(t)L Tp, ftL Fp.
则原方程变为 p 2 T p b p c a 2 T p F ( p )
整理课件
29
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
T p F p p 2 b a p 2 c a 1 F p p 2 a a 2 b p 2 p a 2 a c p 2 a a 2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1
eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f整作理x课：件f(2x 1) F F 1 [F (e i)]xd 5
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
《数理方程》积分变换法解析
x2
x2
1 p2
dU dx
2x p
x2 p3
.
而 u |x1 cos y
变为
U
x,
p
|x1
1
p p2
,
解常微分方程得
U x, p
1 3 p3
x3
1 p
x2
p 1 p2
1 3 p3
1 p
.
取拉普拉斯逆变换，得
L(t n )
n! pn1 , n 0,1,
u
|x
0
f
t.
思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？
对 t 进行拉普拉斯变换，设
u x,t U x, p, f t F p
于是方程变为
a2
d 2U x,
dx 2
p
pU
x,
p,
U x, p |x0 F p
这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为
根据傅里叶变换的微分性质，
方程转化为
dU ,
t
2U , t
dt
U , t |t0 F
于是 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换.
U ,t F e2t .
再由边值条件 U x, p |x0 F p 可知，C = F(p).
U
x,
p
F
pe
p a
x
.
为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。
积分变换法
dU (,t) a22U (,t) G(,t),
dt
它满足初值条件
U (, t) |t0 ().
(39) (40)
为了求解常微分方程初值问题(39)(40)，记
19
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
u |t0 (x).
(38)
10
例3 求fˆ() e2t 的傅里叶逆变换，其中t 0.
解 由定义知
f (x) 1 fˆ ()eixd 1 e2t eix d
2
2
1 e2t (cosx i sin x)d,
2
1 e2t cos xd,
0
对 f (x) 求导，并利用一次分部积分得
df (x) x f (x) 0. dx 2t
( ) L1
s
1
2a 2
L1
s
1
2 a 2
G
(, s)
L[eat ] 1 sa
()ea22t
G(,t) ea22t
()ea22t t G(, )ea22 (t ) d . 0
(42)
为了求出问题(37)(38)的解，还需要对U (,t)
取傅氏逆变换。
22
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
t t0 t t0
证明 由拉氏变换的定义知
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )est dt
t0
f
(t
t0
)e st
dt
令 y t t0 , 则上式变为
积分变换法
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
第9章_积分变换法
2a ik
2
2a ik
u(x,t) 1 F 1[(k)eikat ] 1 F 1[ 1 (k)eikat ] 1 F 1[(k)eikat ] 1 F 1[ 1 (k)eikat ]
(k ) eikat eikat 1 (k ) eikat eikat
2
ka
2i
sin kat
(k) cos kat (k)
作像函数U (k,t)的傅里叶逆变换 ka
u(x,t) F 1[U (k,t)] 1 F 1[(k)eikat ]
2
1 F 1[ 1 (k )eikat ] 1 F 1[(k)eikat ] 1 F 1[ 1 (k)eikat ]
简 单
•数乘：A f g Af g f Ag A为常数
性质：•求导：ddt f g(t) f (t) g(t) f (t) g(t)
• f (t) f (t) f (t)
第二节 傅里叶变换法
应用范围：求解无界区域的定解问题
用傅里叶变换法求解定解问题的思想与步骤：
若 f (x)的第一类间断点处，积分等于 1 [ f (x 0) f (x 0)] 2 ——傅里叶积分定理
从傅里叶级数到傅里叶积分的过渡：
由于l ，所以相邻两kn值之差为
kn
kn1 kn
l
0
将
cn kn
1 2l
l
l
f
l
( )eikn
1 kn
l
d
代入到 f (x) cneiknx 中得
f (x) 1
dk
f ( ) cos[k(x )]d
0
dk{[ 1
f ( ) cos k( )d ]cos(kx) [ 1
积分变换法求解定解问题
（12.2.16）
37
【解】令
并考虑到无失真条件则原方程(12.2.16)化为
若对时间 作拉氏变换有
（12.2.17）
于是定解问题(12.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:
38
上述问题的解为
因为
所以
(12.2.18)
39
于是
最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(12.2.16)的解为：
例12.1.6 如果定解问题为下列第二边值问题
【解】 令
即
26
容易得到
满足定解问题为
则根据上述稳定场第一边值问题公式
故得到
27
12.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在
上，故当
我们讨论 半无界问题时，就不能对变量 作傅氏变换了．
28
由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．
12.2.1 无界区域的问题
例12.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
【解】 先对时间 作拉氏变换
(15.2.1)
29
由此原定解问题中的泛定方程变为
对方程(17.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式
30
以及卷积定理
得方程(12.2.3)的解为
(12.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
例12.1.2
11
为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，
我们特举一强迫弦振动问题： 求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题
【解】 根据与例15.1.定解问题可变换为下列常微分方程的问题
13
上述问题的解为
利用傅氏变换的性质有 故得到
第15章 积分变换的MATLAB求解
2.拉普拉斯变换的MATLAB符号求解
MATLAB中提供了专门的拉氏变换及其逆变换的求解函数：laplace和ilaplace。
3.拉普拉斯变换的性质
线性性质:设 ， 是复常数，则
此即函数的线性组合的拉氏变换等于函数的拉氏变换的相应线性组合。同样道理，拉氏 逆变换也具有类似的线性性质，即
微分性质：若
在它的间断点处，应以 为取函数 其中
来代替。在上述积分公式中， 的傅里叶变换，记为 称为 的像函数，此时有 ，
，称该积分运算为取函数 的傅里叶逆变换，记为 即
2.傅里叶变换的MATLAB符号求解 3.傅里叶变换的性质
MATLAB符号运算工具箱中提供了专门的求 取函数的傅里叶变换及逆变换的函数：fourier和ifourier。 ， 是复常数，则 此即函数的线性组合的傅氏变换等于函数的傅氏变 换的相应线性组合。同样道理，傅氏逆变换也具有类似的线性性质，即 对称性质：若已知 位移性质：设 ，则有 ，则有 线性性质：设
对比Z逆变换的数学表达式
可以得到
离散线性定常系统的求解 在线性离散系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 的个元素都是常 数，则称该系统为离散线性定常系统，离散的线性定常系统状态空间表达式的一般形式为
对差分方程
两边同时取Z变换，有
因此有 令 ，则
故
谢谢大家！
坐标缩放性质：设 a 是不等于零的实常数，若 乘积定理：设
，则 则有
其中
分别表示
的复共轭函数。
由上述乘积性质可以引出一个非常重要的结论——巴塞瓦（Parseval）定理 若记 ，则有
4. 多维傅里叶变换
在n 维空间中，设n 元函数 傅氏变换及其逆变换定义如下： ，在 中有定义，它的
数理方程第9讲积分变换法
ux, t 表示温度，当 x 时，ux, t 一定有界，
亦有界，从而 U x , p
D . 0
由边值条件可知
C F p
，即
p a x
U x, p F p e
对
p 进行拉普拉斯逆变换，有
1 1 ux, t L F p L e
f g x f x t g t dt
0
则
L f g L f Lg
例 设 y yt 求解常微分方程的初值问题:
解对
y ' '2 y '3 y e y |t 0 0, y ' |t 0 1 t 进行拉普拉斯变换, 设 yt F p , 则
二. 拉普拉斯变换
定义: f (t)定义在 [0, ) 上，若其满足下列条件 1. f (t)分段光滑；
2. 当t<0时, f (t)=0;
3. 存在常数 M 和 s0 0 使得 | f (t ) | M es0t 则称f (t)为初始函数, s0 称为f (t)的增长指数. 反例
e
et
定理:设 f (t)是一以 s0 0 为增长指数的初始函数, 则经变换
t
t
e
1 p 1
y' pF p y0 pF( p)
y' ' p F p py0 y' 0 p F p 1
2
2
于是原方程变为
1 p F ( p) 1 2 pF p 3F p p 1
2
由上式得:
3 1 1 1 1 1 F p 8 p 1 4 p 1 8 p 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第15章综合习题
用傅氏变换法求解下列15.1;15.2;15.3题；用拉氏变换法求解下列 15.4;15.5;15.6题
15.1 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆1ρ=以内为1，在圆外为零，试求 0|.u ρ=
【答案01, (1/)|11/)t a u t a ρ=<⎧⎪=⎨>⎪⎩
】 15．2 半无界杆，杆端0x =有谐变热流sin B t ω进入，求长时间以后的杆上温度分布(,)u x t .
[答案
π)4t ω--] 15.3 研究半无限长细杆导热问题. 杆端0x =温度保持为零.初始温度分布为 (1)x B e λ-- 【答案
2222[2a t x x B e e erfc e erfc Berf λλλ--- 15.4 求解一维无界空间中的扩散问题即 200,|()t xx t u a u u x ϕ=-==
【答案
22()4(,)(]d x a t u x t ξϕξξ--+∞-∞=⎰】 15.5 求解一维无界空间的有源输运问题 20(,),|0t xx t u a u f x t u =-==
【 答案
22()4()(,)d [(,)]d x t a t u x t f ξττξξττ--+∞--∞=⎰⎰】
15.6 求解无界弦的受迫振动 200(,),|(),|()tt xx t t t u a u f x t u x u x ϕψ==-===
【答案 ()0()
111[()()]()d d (,)d 222x at t x a t x at x a t x at x at f a a ττϕϕψξξτξτξ++----++-++⎰⎰⎰】 计算机仿真编程实践
15.7 利用计算机仿真方法(Matlab 中的傅里叶变换法)对习题15.1进行求解.
【解】计算机仿真图形显示
% Assume a=2
%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示
a=12.0
t=0.1:0.01:2
if t>1.0/a
u=1-a*t./sqrt((a*t).^2-1);
end
plot(t,u)
图形：
15. 8利用计算机仿真(Matlab等)：拉普拉氏变换法对习题15.6进行求解. 【解】计算机仿真程序
% 任意假设 f(x,t)=A=2.56; fai(x)=x;pusi(x)=B=6.7
%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示
%可以推出此情况下的解为u(x,t)=x+B*t+A/2*t^2，仿真显示为
A=2.56;B=6.7;
[x,t]=meshgrid([0:0.1:12]);
u=x+B*t+A/2*t.^2;
mesh(u)。