(完整版)高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题
典型曲线曲率半径的物理求法
典型曲线曲率半径的物理求法
王光儒
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2011(000)013
【摘要】在物理竞赛中,经常碰到一些涉及典型曲线的曲率半径的问题,曲率半径ρ在数学上有严格的意义和表达式,在曲线的方程已知的条件下,还需利用二阶导数.对于参加物理竞赛的中学生来说,利用物理方法求解曲率半径ρ较为简单.利用的运动学公式：an=v2/ρ可得ρ=v2/an(其中v是质点在曲线上的运动速度,an是在曲线上某点运动时沿法线方向的加速度).
【总页数】3页(P71-73)
【作者】王光儒
【作者单位】山东省泰安第二中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.曲率半径的物理求法
2.椭圆曲率半径的数学求法与物理求法的比较
3.抛物线、椭圆曲率半径的物理求法
4.曲率半径的物理求法
5.曲率半径的复数求法
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曲率与曲率半径问题(解析版)-高中数学
曲率与曲率半径问题1.(2024·浙江温州·二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：①圆C 与曲线Γ有公共点A ，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C 与曲线Γ在点A 处有相同的切线；③曲线Γ的导函数在点A 处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C 在点A 处的二阶导数(已知圆x -a 2+y -b 2=r 2在点A x 0,y 0 处的二阶导数等于r 2b -y 03)；则称圆C 为曲线Γ在A 点处的曲率圆，其半径r 称为曲率半径．(1)求抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线y =1x的曲率半径的最小值；(3)若曲线y =e x 在x 1,e x 1和x 2,e x 2x 1≠x 2 处有相同的曲率半径，求证：x 1+x 2<-ln2．【解析】(1)记f x =x 2，设抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -b 2=b 2，其中b 为曲率半径．则f x =2x ，f x =2，故2=f0 =b 2b -03=1b ，2=r 2b 3，即b =12，所以抛物线y =x 2在原点的曲率圆的方程为x 2+y -122=14；(2)设曲线y =f x 在x 0,y 0 的曲率半径为r ．则法一：f x 0 =-x 0-ay 0-bfx 0 =r 2b -y 03，由x 0-a 2+y 0-b 2=r 2知，fx 0 2+1=r 2y 0-b 2，所以r =fx0 2+132f x 0，故曲线y =1x在点x 0,y 0 处的曲率半径r =-1x 202+1 322x 30，所以r 2=1x 40+132x 302=14x 20+1x 23≥2，则r 23=2-23x 20+1x 20≥213，则r =12x 20+1x 232≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．法二：-1x 20=-x 0-a y 0-b 2x 30=r 2b -y 0 3，a +bx 20-2x 0x 40+1=r ，所以y 0-b =-x 0⋅r 23213x 0-a =-r 23213x 0，而r 2=x 0-a 2+y 0-b 2=x 20⋅r 43223+r 43223⋅x 20，所以r 23=2-23x 20+1x 20，解方程可得r =12x 20+1x 2032，则r 2=14x 20+1x 203≥2，当且仅当x 20=1x 20，即x 20=1时取等号，故r ≥2，曲线y =1x在点1,1 处的曲率半径r =2．(3)法一：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，故r 23=e 43x +e-23x ，由题意知：e 43x1+e -23x 1=e43x 2+e-23x 2令t 1=e 23x1,t 2=e23x 2，则有t 21+1t 1=t 22+1t 2，所以t 21-t 22=1t 2-1t 1，即t 1-t 2 t 1+t 2 =t 1-t 2t 1t 2，故t 1t 2t 1+t 2 =1．因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以1=t 1t 2t 1+t 2 >t 1t 2⋅2t 1t 2=2t 1t 2 32=2e x 1+x 2，所以x 1+x 2<-ln2．法二：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e 2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x令t 1=e 2x 1,t 2=e 2x 2，则有t 21+3t 1+3+1t 1=t 22+3t 2+3+1t 2，则t 1-t 2 t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，故t 1+t 2+3-1t 1t 2=0，因为x 1≠x 2，所以t 1≠t 2，所以有0=t 1+t 2+3-1t 1t 2>2t 1t 2+3-1t 1t 2，令t =t 1t 2，则2t +3-1t2<0，即0>2t 3+3t 2-1=(t +1)22t -1 ，故t <12，所以e x 1+x 2=t 1t 2=t <12，即x 1+x 2<-ln2；法三：函数y =e x 的图象在x ,e x处的曲率半径r =e 2x +1 32e x．故r 23=e 43x +e23x 设g x =e 43x +e 23x ，则gx =43e 43x -23e -23x =23e -23x 2e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时g x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时g x >0，所以g x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增，故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证g x 2 =g x 1 >g -ln2-x 2 将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有g x >g -ln2-x ，设函数G x =g x -g -ln2-x (其中x >-12ln2)，则G x =g x +g -ln2-x =232e 2x -1 e 23x -2-13 ⋅e -43x >0，故G x 单调递增，G x >G -12ln2 =0，故g x 2 >g -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．法四：函数y =e x 的图象在x ,e x 处的曲率半径r =e 2x+132e x，有r 2=e 2x +13e2x=e 4x +3e 2x +3+e -2x ，设h x =e 4x +3e 2x +3+e -2x ．则有h x =4e 4x +6e 2x -2e -2x =2e -2x e 2x +1 22e 2x -1 ，所以当x ∈-∞,-12ln2 时h x <0，当x ∈-12ln2,+∞ 时h x >0，故h x 在-∞,-12ln2 上单调递减，在-12ln2,+∞ 上单调递增．故有x 1<-12ln2<x 2，所以x 1,-ln2-x 2∈-∞,-12ln2 ，要证x 1+x 2<-ln2，即证x 1<-ln2-x 2，即证h x 2 =h x 1 >h -ln2-x 2 ．将x 1+x 2<-ln2，下证：当x ∈-12ln2,+∞ 时，有h x >h -ln2-x ，设函数H x =h x -h -ln2-x (其中x >-12ln2)，则H x =h x +h -ln2-x =2e 2x -1 21+12e -2x +14e -4x >0，故H x 单调递增，故H x >H -12ln2 =0，故h x 2 >h -ln2-x 2 ，所以x 1+x 2<-ln2．2.有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建中，我们常用曲线的曲率(Curvature )来刻画路线弯曲度．如图所示的光滑曲线C 上的曲线段AB ，设其弧长为Δs ，曲线C 在A ，B 两点处的切线分别为l A ,l B ，记l A ,l B 的夹角为ΔθΔθ∈0,π2，定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率，定义K (x )=lim Δx →0ΔθΔs=f (x )1+f (x ) 232为曲线C :y =f (x )在其上一点A (x ,y )处的曲率．(其中f (x )为f (x )的导函数，f (x )为f (x )的导函数)(1)若f (x )=sin (2x )，求K π4；(2)记圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的平均曲率为a ．①求a 的值；②设函数g (x )=ln (x +45a )-xe x -1，若方程g (x )=m (m >0)有两个不相等的实数根x 1,x 2，证明：x 2-x 1 <1-(5e -2)m3e -3，其中e 为自然对数的底数，e =2.71828⋯．【解析】(1)f (x )=sin (2x ),f (x )=2cos (2x ),f (x )=-4sin (2x )，所以f π4 =2cos π2=0,f π4 =-4sin π2=-4，因此K π4 =f π4 1+f π4 232=-4 1+0 32=4.(2)①由圆的性质知圆x 2+y 2=2025上圆心角为π3的圆弧的弧长为ΔS =π3⋅R .弧的两端点处的切线对应的夹角Δθ=π3，所以该圆弧的平均曲率K =Δθ ΔS=1R =12025=145，也即a =145.②由于a =145，故g x =ln x +1 -xe x -1,x ∈-1,+∞ ，又g (0)=0，g x =1x +1-x +1 e x -1,g x =-1x +12-x +2 e x -1<0，所以g (x )在-1,+∞ 上单调递减，而g 0 =1-1e >0,g 1 =12-2=-32<0.因此必存在唯一的x 0∈(0,1)使得g (x 0)=0且g (x )在-1,x 0 上为正，在x 0,+∞ 为负，即g (x )在-1,x 0 上单调递增，在x 0,+∞ 上单调递减，而g (0)=0，又g 12 =ln 32-12e>ln 32-13>0∵2e >3⇔e >94,ln 32>13⇔e 13<32⇔e <278，g (1)=ln2-1<0，所以∃t ∈12,1 使得g (t )=0，即g (x )的图象与x 轴有且仅有两个交点(0,0),(t ,0)，易得g (x )在(0,0)处的切线方程为l 0:y =1-1e x =e -1ex ，在(t ,0)处的切线方程为l t :y =1t +1-t +1 e t -1 x -t ，下面证明两切线l 0,l t 的图象不在g (x )的图象的下方:令h x =g x -1t +1-t +1 e t -1 x -t =g (x )-g (t )(x -t )，则h (x )=g (x )-g (t ).因为h (x )=g (x )<0，所以h (x )在(-1,+∞)单调递减，而h (t )=0，所以h (t )在(-1,t )上为正，在(t ,+∞)为负，即h (x )在(-1,t )上单调递增，在(t ,+∞)单调递减，因此h (x )≤h (t )=g (t )-0=0，即g x ≤1t +1-t +1 e t -1 x -t ，即g (x )的图象恒在其图象上的点(t ,0)处的切线的下方(当且仅当x =t 时重合).同理可证(将t 视为0即可)，g x ≤1-1ex设直线y =m (m >0)与两切线l 0,l 1交点的横坐标分别为X 0,X t ，则易得X 0=me e -1,X t =m1t +1-t +1 e t -1+t 且X 0<x 1<x 2<X t ，因为t ∈12,1，故1t +1-t +1 e t -1∈-32,23-32e⊆-32,0 ，所以X t =m 1t +1-t +1 e t -1+t <m -32+t <1-2m3，因此x 2-x 1 <X t -X 0<1-2m 3-mee -1=1-5e -2 m 3e -3.3.定义：若h (x )是h (x )的导数，h (x )是h (x )的导数，则曲线y =h (x )在点(x ,h (x ))处的曲率K =h (x )1+h(x ) 232；已知函数f (x )=e x sin π2+x，g (x )=x +(2a -1)cos x ,a <12，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24；(1)求实数a 的值；(2)对任意x ∈-π2,0,mf (x )≥g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设方程f (x )=g (x )在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 内的根为x 1,x 2,⋯,x n ，⋯比较x n +1与x n +2π的大小，并证明．【解析】(1)由已知g (x )=-2a -1 sin x +1,g (x )=-2a -1 cos x ，所以2a -1 1+12 32=24，解得a =0(a =1舍去)，所以a =0；(2)由(1)得g (x )=x -cos x ，f (x )=e x sin π2+x=e x cos x ，则g x =1+sin x ，对任意的x ∈-π2,0，mf x -gx ≥0，即me x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则m ⋅0+1-1=0≥0，不等式恒成立，当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为m ≥sin x +1e x cos x ，令h x =sin x +1e x cos x,x ∈-π2,0 ，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x =1-cos x 1+sin x e x cos 2x≥0，所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以h x max =h 0 =1，所以m ≥1，综上所述，实数m 的取值范围为1,+∞ ；(3)x n +1>x n +2π，证明如下：由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0，令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x ，因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0，所以φ x <0，所以φx 在区间2n π+π3,2n π+π2n ∈N * 上单调递减，故φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=12e 2n π+π3-32-1≥12e 2π+π3-32-1>22×3+1×12-32-1>0，φ2n π+π2=-2<0，所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，使得φx 0 =0，又x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2 ，则φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n ，所以x n +1>x n +2π.4.(2024·湖北黄冈·二模)第二十五届中国国际高新技术成果交易会(简称“高交会”)在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C :y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δ→0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率.(其中y ，y 分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点3,y 处的曲率是多少？(2)若函数g x =12x +1-12，不等式g e x +e -x 2 ≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；(3)若动点A 的切线沿曲线f x =2x 2-8运动至点B x n ,f x n 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为x n +1,0 n ∈N * .若x 1=4，b n =x n -2，T n 是数列b n 的前n 项和，证明T n <3.【解析】(1)∵抛物线x 2=2py (p >0)的焦点到准线的距离为3，∴p =3，即抛物线方程为x 2=6y ，即f x =y =16x 2，则f x =13x ，f x =13，又抛物线在点3,y 处的曲率，则K =131+19⋅3232=1322=212，即在该抛物线上点3,y 处的曲率为212；(2)∵g -x =12-x +1-12=2x 2x +1-12=12-12x +1=-g x ，∴g x 在R 上为奇函数，又g x 在R 上为减函数.∴g e x +e -x 2≤g 2-cos ωx 对于x ∈R 恒成立等价于cos ωx ≥2-e x +e -x2对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记p x =cos ωx ，q x =2-e x +e -x2，则曲线p x 恒在曲线q x 上方，p x =-ωsin ωx ，qx =-e x -e -x 2，又因为p 0 =q 0 =1，所以在x =0处三角函数p x 的曲率不大于曲线q x 的曲率，即p 0 1+p 20 32≤q 01+q 232，又因为p x =-ω2cos ωx ，qx =-e x +e -x 2，p 0 =-ω2，q 0 =-1，所以ω2≤1，解得：-1≤ω≤1，因此，ω的取值范围为-1,1 ；(3)由题可得f x =4x ，所以曲线y =f x 在点x n ,f x n 处的切线方程是y -f x n =f x n x -x n ，即y -2xn 2-8 =4x n x -x n ，令y =0，得-x n 2-4 =2x n x n +1-x n ，即x n 2+4=2x n x n +1，显然x n ≠0，∴x n +1=x n 2+2x n，由x n +1=x n 2+2x n ，知x n +1+2=x n 2+2x n +2=x n +2 22x n ，同理x n +1-2=x n -2 22x n，故x n +1+2x n +1-2=x n +2x n -22，从而lg x n +1+2x n +1-2=2lg x n +2x n -2，设lg x n +2x n -2=a n ，即a n +1=2a n ，所以数列a n 是等比数列，故a n =2n -1a 1=2n -1lg x 1+2x 1-2=2n -1lg3，即lg x n +2x n -2=2n -1lg3，从而x n +2x n -2=32n -1，所以x n =232n -1+132n -1-1，∴b n =x n -2=432n -1-1>0，b n +1b n =32n -1-132n-1=132n -1+1<132n -1≤1321-1=13，当n =1时，显然T 1=b 1=2<3；当n >1时，b n <13b n -1<13 2b n -2<13n -1b 1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <b 1+13b 1+⋯+13 n -1b 1=b 11-13 n1-13=3-3⋅13n<3，综上，T n <3n ∈N * .5.(2024·高三·浙江宁波·期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs=y1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y 3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【解析】(1)K =ΔθΔs=π3π3=1．(2)y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24 -32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．(3)fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y 3=22x ln x 3=223s ln s3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -12ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．6.(2024·高三·辽宁·期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，fx 是fx 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f (x )1+f (x ) 232．(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x (x ∈R )曲率K 2的最大值；【解析】(1)因为f x =ln x +x ，则f x =1x +1，f x =-1x 2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，故K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，则h x =-sin x ，h x =-cos x ，所以K 2=h x 1+hx 2 32=-cos x1+sin 2x 32，则K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t 4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 单调递减，所以p (t )max =p 1 =1，则K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1．7.曲线的曲率定义如下：若f '(x )是f (x )的导函数，f "(x )是f '(x )的导函数，则曲线y =f (x )在点(x ,f (x ))处的曲率K =|f "(x )|1+[f '(x )]232.已知函数f x =e x cos x ，g x =a cos x +x a <0 ，曲线y =g (x )在点(0,g (0))处的曲率为24．(1)求实数a 的值；(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -g x ≥0恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设方程f x =g x 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)内的根从小到大依次为x 1,x 2,⋯,x n ,⋯，求证：x n +1-x n >2π．【解析】(1)由已知g (x )=-a sin x +1,g (x )=-a cos x ,，所以a 1+1232=24，解方程得a =-1(2)对任意的x ∈-π2,0，tf x -gx ≥0，即te x cos x -sin x -1≥0恒成立，令x =-π2，则t ⋅0+1-1≥0，不等式恒成立当x ∈-π2,0时，cos x >0，原不等式化为t ≥sin x +1e x cos x 令h x =sin x +1e x cos x，则hx =cos x e x cos x -e xcos x -sin x sin x +1 e x cos x2=1-sin x cos x -cos x +sin xe x cos 2x=1-cos x 1+sin xe x cos 2x所以h x 在区间-π2,0单调递增，所以最大值为h 0 =1所以要使不等式恒成立必有t ≥1(3)由已知方程f x =g x 可化为e x cos x -sin x -1=0令φx =e x cos x -sin x -1，则φ x =e x cos x -sin x -cos x因为x ∈2n π+π3,2n π+π2，所以cos x <sin x ,cos x >0所以φ x <0，φx 在区间2n π+π3,2n π+π2(n ∈N +)上单调递减，φ2n π+π3 =e 2n π+π3cos 2n π+π3 -sin 2n π+π3 -1=e 2n π+π312-32-1≥e 2π+π312-32-1>22⋅3+112-32-1>0φ2n π+π2=-2<0所以存在唯一x 0∈2n π+π3,2n π+π2，φx 0 =0x n ∈2n π+π3,2n π+π2 ，x n +1-2π∈2n π+π3,2n π+π2φx n +1-2π =e x n +1-2πcos x n +1-2π -sin x n +1-2π -1=e x n +1-2πcos x n +1-sin x n +1-1=ex n +1-2πcos x n +1-e x n +1cos x n +1=ex n +1-2π-ex n +1cos x n +1<0=φx n由φx 单调递减可得x n +1-2π>x n 即x n +1-x n >2π8.(2024·湖南永州·三模)曲线的曲率定义如下：若f (x )是f (x )的导函数，令φ(x )=f (x )，则曲线y =f (x )在点x ,f x 处的曲率K =φ (x )1+f (x ) 232．已知函数f (x )=x 2a +x (a >0)，g (x )=(x +1)ln (x +1)，且f (x )在点(0,f (0))处的曲率K =24．(1)求a 的值，并证明：当x >0时，f (x )>g (x )；(2)若b n =ln (n +1)n +1，且T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋯b n (n ∈N ∗)，求证：(n +2)T n <e 1-n 2．【解析】(1)f ′(x )=2x a +1=φ(x )，φ′(x )=2a，f ′(0)=1，a >0，∵f (x )在点(0，f (0))处的曲率K =24，∴2a(1+12)32=24，解得a =2．当x >0时，h (x )=f (x )-g (x )=12x 2+x -(x +1)ln (x +1)，h ′(x )=x +1-ln (x +1)-1=x -ln (x +1)，令u (x )=x -ln (x +1)，则u ′(x )=1-1x +1=xx +1>0，∴u (x )在x >0时单调递增，∴u (x )>u (0)=0，∴h ′(x )>0，∴函数h (x )在(0,+∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，因此f (x )>g (x )．(2)证明：由(1)可得：12x 2+x >(x +1)ln (x +1)，∴ln (x +1)x +1<x (x +1)2(x +1)2，x >0，令x =n ∈N *，则：ln (n +1)n +1<n (n +2)2(n +1)2，∴T n =b 1⋅b 2⋅b 3⋅⋯⋅b n <12n ×1×322×2×432×3×542×4×652×⋯⋯×(n -1)(n +1)n 2×n (n +2)(n +1)2=12n ×12×n +2n +1要证明：(n +2)T n <e 1-n 2，只要证明：2ln (n +2)-(n +1)ln2-ln (n +1)-1+n2<0即可，n =1时，左边=2ln3-2ln2-ln2-12<0n ≥2时，令v (x )=2ln (x +2)-(x +1)ln2-ln (x +1)-1+x 2，v ′(x )=2x +2-ln2-1x +1+12=s (x )，s ′(x )=1(x +1)2-2(x +2)2=-x 2+2(x +1)2(x +2)2<0，∴v ′(x )<v ′(2)=23-ln2<0，∴v (x )在(2,+∞)上单调递减，∴v (x )<v (2)=4ln2-3ln2-ln3=ln2-ln3<0，综上可得：(n +2)T n <e1-n2成立．9.曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转动率，设曲线C :y =f x 具有连续转动的切线，在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232，其中f x为f x 的导函数，f x 为f x 的导函数，已知f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2．(1)a =0时，求f x 在极值点处的曲率；(2)a >0时，f x 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3)g x =2xe x -4e x +a 2x 2，a ∈0,1e，当f x ，g x 曲率均为0时，自变量最小值分别为x 1，x 2，求证：x1ex 2>e 2．【解析】(1)当a =0时，f x =x 2ln x -32x 2,x >0，可得f x =2x ln x +x -3x =2x (ln x -1)，令f x =0，可得x =e ，当0<x <e 时，f x <0，当x >e 时，f x >0，所以当x =e 为f x 在极小值点，又f x =2ln x ，所以f e =2ln e =2，所以K =f e 21+f e 2232=2[1+02]32=2；(2)由f x =x 2ln x -a 3x 3-32x 2，可得f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，令h (x )=f x =2x ln x +x -ax 2-3x =2x ln x -2x -ax 2，则h x =2ln x -2ax ，令h x =0时，可得a =ln x x ，令φ(x )=ln x x ，可得φ (x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，φ x >0，φ(x )=ln xx 单调递增，当x >e 时，φ x <0，φ(x )=ln x x 单调递减，则φ(x )max =1e，所以0<a <1e时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有两解x 1,x 3且1<x 1<e <x 3，x 1为f x 的极小值点，x 3为f x 的极大值点，当a =1e 时，f x =2ln x -2ax =0有解，且有唯一解，但此解不是f x 极值点，当a >1e时，f x =2ln x -2ax =0无解，所以f x 无极值点，所以当0<a <1e 时，f x 存在极值点，所以K =f x1+f x 2 32=0；(3)由题意可得g x =2xe x -4e x +a 2x 2，可得g x =2(x +1)e x -4e x +2ax ，要g x ，f x 曲率为0，则g x =f (x )=0，即2ln x -2ax =2a +2xe x =0，可得a =ln x x ，a 2=-xe x ，所以0<a <1e 时，φ(x )=ln xx有两解x 1,x 3，1<x 1<e <x 3，可证x 1x 3>e 2，由(2)可得ln x 1-ax 1=0，ln x 3-ax 3=0，可得ln x 1+ln x 3=ax 1+ax 3，ln x 1-ln x 3=ax 1-ax 3．要证明x 1x 3>e 2，即证明ln x 1+ln x 3>2，也就是a (x 1+x 3)>2．因为a =ln x 1-ln x 3x 1-x 3，所以即证明ln x 1-ln x 3x 1-x 3>2x 1+x 3，即ln x 1x 3<2(x 1-x 3)x 1+x 3，令x1x 3=t ，则0<t <1，于是ln t <2(t -1)t +1，令f (t )=ln t -2(t -1)t +1，则f(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2(t +1)2>0,故函数f (t )在(0,1)上是增函数，所以f (t )<f (1)=0，即ln t <2(t -1)t +1成立．所以x 1x 3>e 2成立．又因为a 2<a ，则-x 2e x 2=ln e-x2e-x 2<ln x 3x 3，由(2)可得φ(x )=ln xx在(e ,+∞)上单调递减，因为e -x 2>e ，x 3>e ，所以x 1ex 2=x 1e -x2>x 1x 3>e 2，10.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f x 是f x 的导函数，f x 是f x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =f x1+f x 232.(1)求曲线f x =ln x +x 在1,1 处的曲率K 1的平方；(2)求余弦曲线h x =cos x x ∈R 曲率K 2的最大值；(3)余弦曲线h x =cos x x ∈R ，若g x =e x h x +xh x ，判断g x 在区间-π2,π2上零点的个数，并写出证明过程.【解析】(1)因为f x =ln x +x ，所以f x =1x +1，f x =-1x2，所以K 1=f 11+f 1 232=11+2232=1532，∴K 1 2=15322=153=1125.(2)因为h x =cos x x ∈R ，h x =-sin x ，h x =-cos x ，所K 2=h x 1+h x 2 32=-cos x 1+sin 2x32，K 22=cos 2x 1+sin 2x 3=cos 2x 2-cos 2x3，令t =2-cos 2x ，则t ∈1,2 ，K 22=2-t t3，设p t =2-t t 3，t ∈1,2 ，则pt =-t 3-3t 22-t t 6=2t -6t4，显然当t ∈1,2 时，p t <0，p t 在1,2 上单调递减，所以p t max =p 1 =1，所以K 22最大值为1，所以K 2的最大值为1.(3)g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.证明：g x =e x cos x -x sin x ，所以g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x ，①当x ∈-π2,0时，因为cos x ≥0，sin x ≤0，则cos x -sin x >0，-x cos x +sin x >0，∴g x >0，g x 在-π2,0上单调递增，又g 0 =1>0，g -π2 =-π2<0.∴g x 在-π2,0上有一个零点，②设φx =e x -x ，则φ x =e x -1，当x ∈0,π4时，φx ≥0，φx 单调递增，φx =e x -x ≥φ0 =1，又cos x ≥sin x >0，∴g x =e x cos x -x sin x ≥e x sin x -x sin x =sin x e x -x >0恒成立，∴g x 在0,π4上无零点.③当x ∈π4,π2 时，0<cos x <sin x ，g x =e x cos x -sin x -x cos x +sin x <0，∴g x 在π4,π2 上单调递减，又g π2 =-π2<0，g π4 =22e π4-π4>0.∴g x 在π4,π2上必存在一个零点，综上，g x 在区间-π2,π2上有且仅有2个零点.。
高中物理竞赛讲义-磁场典型例题解析精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版磁场典型例题解析一、磁场与安培力的计算【例题1】两根无限长的平行直导线a 、b 相距40cm ，通过电流的大小都是3.0A ，方向相反。
试求位于两根导线之间且在两导线所在平面内的、与a 导线相距10cm 的P 点的磁感强度。
【解说】这是一个关于毕萨定律的简单应用。
解题过程从略。
【答案】大小为×10−6T ，方向在图9-9中垂直纸面向外。
【例题2】半径为R ，通有电流I 的圆形线圈，放在磁感强度大小为B 、方向垂直线圈平面的匀强磁场中，求由于安培力而引起的线圈内张力。
【解说】本题有两种解法。
方法一：隔离一小段弧，对应圆心角θ ，则弧长L = θR 。
因为θ → 0（在图9-10中，为了说明问题，θ被夸大了），弧形导体可视为直导体，其受到的安培力F = BIL ，其两端受到的张力设为T ，则T 的合力ΣT = 2Tsin 2θ再根据平衡方程和极限xxsin lim0x →= 0 ，即可求解T 。
方法二：隔离线圈的一半，根据弯曲导体求安培力的定式和平衡方程即可求解…【答案】BIR 。
〖说明〗如果安培力不是背离圆心而是指向圆心，内张力的方向也随之反向，但大小不会变。
〖学员思考〗如果圆环的电流是由于环上的带正电物质顺时针旋转而成（磁场仍然是进去的），且已知单位长度的电量为λ、环的角速度ω、环的总质量为M ，其它条件不变，再求环的内张力。
〖提示〗此时环的张力由两部分引起：①安培力，②离心力。
前者的计算上面已经得出（此处I = ωπλ•π/2R 2 = ωλR ），T 1 = B ωλR 2 ；后者的计算必须．．应用图9-10的思想，只是F 变成了离心力，方程 2T 2 sin 2θ =πθ2M ω2R ，即T 2 =πω2R M 2 。
〖答〗B ωλR 2 + πω2R M 2 。
【例题3】如图9-11所示，半径为R 的圆形线圈共N 匝，处在方向竖直的、磁感强度为B 的匀强磁场中，线圈可绕其水平直径（绝缘）轴OO ′转动。
物理方法求曲率半径
用物理方法求常见曲线的曲率半径求曲线曲率的问题常出现在高中物理竞赛中，而近年来高考中也涉及到曲线曲率的问题，例如江苏理综14题涉及到曲率半径，高考安徽理综17题更是要求求出曲线曲率. 在数学中曲线的曲率半径可以用高等数学的方法求出，这里我们另辟蹊径,从物理的角度采用初等数学求出曲线曲率半径. 我们首先来看高考安徽理综17题:一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替. 如图（a ）所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径. 现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出，如图（b ）所示。
则在其轨迹最高点P 处得曲率半径是（ ）A ．g v 20B ．g v α220sinC ．gv α220cosD ．ααsin cos 220g v[解析] 物体在最高点P,只有水平速度为αcos 0v ,物体只受重力.由rv m F 2=向得: ρα20)cos (v m mg =则有:gv αρ220cos = 本题正确答案为C上述问题给我们启示: 从物理的角度,我们也可以求出曲线上某点的曲率半径. 事实上,物理学上我们常讨论的曲线有抛物线、椭圆、双曲线等,我们都可以利用上述的方法求曲率半径.下面我们来逐一研究. 一、求抛物线顶点的曲率半径物体做平抛运动时其轨迹就是抛物线.假设物体平抛初速度为0v ，运动轨迹如图2所示. 则有将物体的运动分解为水平分运动和竖直分运动： 公式为：t v x 0= ① 221gt y = ②联立①②式得222x v g y =图1x yO 图2v 0令202v g a =，则2ax y = 研究抛物线的顶点，从向心力出发，有： ρ2mv mg =则有a g v 2120==ρ，即抛物线2ax y =顶点的曲率半径为a21=ρ 二、求椭圆顶点的的曲率半径理论力学可以证明：飞行物在有心力场中运动，如果总机械能E ＜0则其轨迹必为椭圆，且引力源在其椭圆的一个焦点上.太阳系中，行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于轨道的一个焦点上.多数人造卫星绕地球的轨道也是椭圆，地球位于卫星轨道的一个焦点上.如图3,质量为m 卫星绕质量为M 地球做椭圆运动,轨迹椭圆方程为：12222=+b y a x 地球位于椭圆左焦点上. 设椭圆顶点A 、A ′距离左焦点的距离为r ，易知：c a r A -= ，c a r A +=',设卫星在椭圆顶点A 、A ′处的速度v , 则对地球和卫星系统而言，机械能守恒同时角动量守恒.卫星在椭圆顶点A 、A ′处均满足以下两个方程:E rMm G mv =-221 ①mvr L = ②联立①②得关于r 的二次方程:0222=-+mEL r E Mm G r ③ 可以肯定方程③的两根就是A r 和'A r ,由韦达定理知：EGMma r r A A -==+2' 则： aGMmE 2-= ④ 卫星位于顶点A121ρv m = ⑤把c a r A -=带入方程①: E ca Mm G mv =--2121 ⑥联立方程④⑤⑥得： ab 21==ρ ⑦由对称性可知, 椭圆顶点A ′的曲率半径也是ab 21=ρ.卫星位于顶点B 时：万有引力可分为向心力θτcos 2aMmGF =和切向力θsin 2a MmGF n =. 由向心力公式得: 2222cos ρθv m aMmG = ⑧由几何关系易知: ab=θcos ⑨ 由方程①得: a GMm a Mm G mv 22122-=- ⑩ 联立⑧⑨⑩得: ba 22=ρ ○11 由对称性可知,椭圆顶点B ′的曲率半径也是ba 22=ρ.所以椭圆12222=+b y a x 长半轴上的两顶点曲率半径为a b 21==ρ,短半轴上两曲率半径为ba 22=ρ三、求双曲线顶点的曲率半径理论力学可以证明:飞行物在有心力场中运动，如果总机械能E >0则其轨迹必为双曲线的一支，且引力源在其双曲线的一个焦点上.实际上某些彗星的轨迹就是双曲线的一支(此时的有心力为万有引力),另外散射实验中，α粒子在库仑场中的运动轨迹也是双曲线的一支（此时的有心力为库仑斥力）.假设某彗星m 进入太阳系中,彗星m 和太阳M 系统总能量E>0. 则彗星轨道为双曲线的一支，太阳在双曲线的一个焦点上，双曲线标准方程为12222=-b y ax ，如图4所示.彗星m 闯入太阳系，可认为是从无穷远出发，∞→r 时，引力势能为0，系统总机械能为E 就是天体的动能,则有2021mv E =研究彗星从无穷远到达双曲线顶点的过程，由机械能守恒定律得：ac GMm mv mv --=2202121 ○12 由角动量守恒定律得：)(0a c mv b mv -⋅=⋅ ○13 彗星到达双曲线顶点时有：22)(a c GMmmv -=ρ○14 联立方程○12○13○14得： ab 2=ρ ○15 由对称性可知双曲线12222=-b y ax 两个顶点的曲率半径均为a b 2=ρ.。
曲率及其曲率半径的计算-曲率半径计算
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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8Байду номын сангаас
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
因为tan a y ，所以
sec 2a da y， da y y ，
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
于是
da
y 1 y2
dx．又知 ds
1 y2
dx．
从而，有
| y | K (1 y2 )3 2
．
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7
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
K
| y | (1 y2 )3 2
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
物理竞赛力学典型题目汇编(含答案)
第一讲 平衡问题典题汇总类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。
1、如图1—4所示，均匀杆长为a ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面上，且均处于Oxy 平面内．如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy 平面内的曲线方程．分析和解：本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，y C 为常量。
又由于AB 杆竖直时12C y a =， 那么B 点的坐标为 sin x a θ=111cos (1cos )222y a a a θθ=-=- 消去参数得222(2)x y a a +-=类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。
例3．三个完全相同的圆柱体，如图1一6叠放在水平桌面上，将C 柱放上去之前，A 、B 两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的摩擦因数为μ，若系统处于平衡，μ0与μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A 、B 、C 之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G ，首先隔离C 球，受力分析如 图1一7所示，由∑Fc y ＝0可得111)2N f G += ① 再隔留A 球，受力分析如图1一8所示，由∑F Ay =0得1121022N f N G +-+= ② 由∑F Ax =0得211102f N N -= ③ 由∑E A ＝0得12f R f R = ④ 由以上四式可得12f f ===112N G =，232N G =而202f N μ≤，11f N μ≤0μ≥2μ≥类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力F f 与弹力F N 的合力凡与接触面法线方向的夹角θ不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例4．如图1一8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l 和2l ，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m 的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环A 、B 相连，圆环套在圆形水平横杆上．A 、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，且12l l <。
高中物理竞赛专题训练-光学
物 理 专题训练试题（1）光学班级 姓名 成绩一、（10分）如图所示，AB 表示一平直的平面镜，21P P 是 水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN 是挡光 板，三者相互平行，板MN 上的ab 表示一条竖直的缝（即 ab 之间是透光的）。
某人眼睛紧贴米尺上的小孔S （其位 置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。
试 在本题图上作图求出可看到的部位，并在21P P 上把这部分涂以标志。
二、（10分）横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A 上。
为了使通过表面A 进入的光全部从表面B 射出，求R/d 的最小值。
已知玻璃的折射为1.5。
三、（10分）半径为R 的半圆柱形玻璃砖，横截面如图所示，O 为圆心。
已知玻璃的折射率为2。
当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN 平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN 平面上射出。
求能从MN 平面射出的光束的宽度为多少？M O NR45四、（15分）如图所示, 有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R =30cm ，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm 的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，求其等效焦距。
五、（15分）人眼能看清楚的最近距离叫近点, 能看清楚的最远距离叫远点. 正常人眼睛观看25 cm 距离处的物体时，用眼不容易感到疲劳，这个距离叫做明视距离．某人的眼睛的近点是10cm ，明视范围是80cm ，当他配上-100度的近视镜后明视范围变成多少？（通常把眼镜焦距的倒数称为焦度，用D 表示，当焦距的单位用“米”时，所配眼镜的度数等于眼镜焦度的100倍）（眼睛能看清处的）六、（10分）焦距为20cm 的薄凸透镜和焦距为18cm 的薄凹透镜，应如何放置，才能使平行光通过组合透镜后成为 1、平行光束；2、会聚光束；3、发散光束；（所有可能的情况均绘图表示）。
全国中学生物理竞赛公式
全国中学生物理竞赛公式全国中学生物理竞赛力学公式一、运动学1.椭圆的曲率半径2.牵连加速度3.等距螺旋线运动的加速度二、牛顿运动定律三、动量1.密舍尔斯基方程〔变质量物体的动力学方程〕()dv dm m F u v dt dt=+-〔其中v 为主体的速度,u 为即将成为主体的一局部的物体的速度〕 四、能量1.重力势能GMm W r=-〔一定有负号,而在电势能中,如果为同种电荷之间的相互作用的电势能,如此应该为正号,但在万有引力的势能中不存在这个问题,一定是负号！！！！〕2.柯尼希定理21''2k k c k kc E E M v E E =+=+〔E k ’为其在质心系中的动能〕 3.约化质量4.资用能〔即可以用于碰撞产生其他能量的动能〔质心的动能不能损失〔由动量守恒决定〕〕〕资用能常用于阈能的计算2212121122kr m m E u u m m μ==+〔u 为两个物体的相对速度〕 5.完全弹性碰撞与恢复系数（1）公式（2）恢复系数来表示完全弹性碰撞112211222112m v m v m u m u u u v v +=+-=-〔用这个方程解比用机械能守恒简单得多〕五、角动量 dL M I dtβ==〔I 为转动惯量〕 3.转动惯量4.常见物体的转动惯量（1）匀质球体225I mr = （2）匀质圆盘〔圆柱〕212I mr =（3）匀质细棒绕端点213I mr =（4）匀质细棒绕中点2112I mr = （5）匀质球壳223I mr =（6）薄板关于中心垂直轴221()12I m a b =+ 5.平行轴定理 2D C I I md =+〔I c 为相对质心且与需要求的轴平行的轴〕6.垂直轴定理（1）推论：一个平面分布的质点组,取z 轴垂直于此平面,x ,y 轴取在平面内,如此三根轴的转动惯量之间有关系 z x y I I I =+〔由此可以推出长方形薄板关于中心垂直轴的转动惯量221()12I m a b =+> 7.天体运动的能量 2GMm E a=-〔a 为椭圆轨道的半长轴,当然,抛物线轨道的能量为0,双曲线轨道的能量大于0〕 8.开普勒第三定律：2234T a GMπ= 六、静力学1.利用矢量的叉乘来解决空间受力平衡问题例如x 方向上的力矩：x y z z y M F r F r F r =⨯=-选一点为轴的话,可以直接列三个力矩平衡的方程来解决问题七、振动与波动1.简谐振动的判定方法2.简谐振动中的量的关系3.驻波min 2x λ=〔x 为相邻的波节或波腹间的距离,即驻波的图形中一个最小重复单位的长度〕4.多普勒效应（1）宏观物体的多普勒效应①观察者运动,波源不动②观察者不动,波源运动③观察者与波源都运动（2）光的多普勒效应注：多普勒效应中的速度的正负单独判断后带入公式中,其实只用记住观察者的运动影响在分子上,而波源运动的影响在分母下.5.有效势能与其应用22()()2eff L V r U r mr=+〔()U r 为传统意义的势能,如引力势能、静电势能、弹性势能,222L mr 是惯性离心力的势能〕振动的角频率满足：ω=〔物体在0r 附近振动,但应该满足''0eff V >,否如此轨道不稳定〕任意物体在0x 附近做简谐振动的条件为：00'()0,''()0U x U x =>其中求简谐振动的角频率的方法为：ω="()k U x =〕 全国中学生物理竞赛电学公式一、静电场：1．高斯定理：4επ∑⎰∑==⋅q q k S d E 封闭面 2．安培环路定理：0=⋅⎰l d E3．均匀带电球壳外表的电场强度：22R kQE =〔在计算相互作用的时候应该用这个公式〕4．无限长直导线产生的电场强度：r k E η2=5．无限大带电平板产生的场强：022εσσπ==k E 6．电偶极矩产生的场强 ①沿着两点连线方向：33rp k r ql kE == ②垂直方向：3322r p k r ql k E ==其中p 为电偶极矩=ql 7．实心球内部电势：322123RQ r k R Q k -=ϕ 8．实心球内部场强：3Qr E kR = 9．同心球形电容器：介电常数指内外球壳之间充满的其中εε)(1221R R k R R C -=即电解质会使电场强度变小但让电容变大10．静电场的能量：2022228E 22121E k C Q QU CU W επω=====电场能量密度为11．电场的极化：kdSC r kQU r Q kQ F E E r r r r r πεεεεε4)1(2210===≥=平行板电容器的电容：点电荷的电势：库仑定律： 对于平行板电容器有：000,Q Q CU S σ==〔不论是否有介质,用这个公式计算出的是自由电荷的密度,而极化电荷密度在平行板电容器中总是满足：01'r rεσσε-=,如果有多个介质在板中串联或并联,将它们分开为许多个电容,然后将电荷密度进展叠加就可以得到最终的自由电荷的密度与极化电荷的密度.〕12．电像法：无限大的接地平板的电像法略接地的球体：q hr q h r h -==','2可以看做将距离和电荷量都乘上一个比例系数hr 只不过电荷的性质相反！ 二、稳恒电流 1. 法拉第电解定律：为化合价）为摩尔质量，为电化当量）n M FnMq m k kq m (:)2((:)1(==2. 电阻定律：)1()1(00t R R t ααρρ+=+=即〔t 为摄氏温度〕 3. △-Y 变换：312312233133123121223231231231121YR R R R R R R R R R R R R R R R R R ++=++=++=−→−∆即△-Y 为下求和,Y-△为上求和电容的△-Y 变换与电阻的恰好相反,△-Y 为上求和,Y-△为下求和4. 电流密度的定义：n j SI ∆∆= 5. 欧姆定律的另一表达形式：)1(,ρσ==E σj 6. 焦耳定律的微分形式：ρσ222j j V R I V P p ==== 7. 微观电流neSujS I neuj === 8. 电阻率对电子产生的加速度：9. 晶体三极管的电流分布：三、磁场与电磁感应1. 洛伦兹力B v q F ⨯=2. 毕奥-萨伐尔定律：20cos 4r L I B ϕπμ∆∑= 3. 无限长直流导线产生的磁场：r I r I k B πμ20== 4. 无限长密绕螺线管内部磁场：为单位长度的匝数）n nI B (0μ=5. 安培环路定理：⎰∑=⋅)0内（L I l d B μ〔可用此轻易推出无限长直导线的磁场〕6. 高斯定理：0S (=∆⋅∑）封闭面S B7. 复阻抗：)(1i j Cj X Lj X RX C L R 学中的为单位复数，相当与数ωω===8. 安培力产生的力偶矩：((M m B m m NISn n =⨯=为磁矩）且：为线圈的法向量且方向满足电流的右手螺旋定则）当然力偶矩的大小与所旋转轴无关,甚至所选转轴可以不在线圈平面内,只要满足转轴与力偶矩的方向平行即可〔即与力的方向垂直〕即BISN M =9. 磁矩产生的磁感应强度：032mB x μπ=10. 自感：I L t ε∆=-∆自感磁场能量：212L W LI = 11. 变压器中阻抗变换：2112'()(n R R n n =为原线圈的匝数） 全国中学生物理竞赛 光学 公式一、几何光学1.平面镜反射：2.平面折射〔视深公式〕''n n n n u v R-+=〔圆心在像方半径取正,圆心在物方半径取负〕 以上所有：0,00,0u u v v ><><实物，，虚物实像，，虚像二、波动光学注意关注牛顿环干预的原理,尤其是注意是在球面上反射的光线〔没有半波损失〕与在最低的平面处反射的光线〔有半波损失〕进展干预,而不是在最上面的平面反射的光线进展干预！而且牛顿环作为一种特殊的等厚干预,光在空气层中的路径要计算两次！所以可以得到牛顿环的公式如下： ,3,2,1,0()21(=+=k R k r k λ……〕〔指的是第k 级明纹的位置,中央为暗纹〕22cos 2i h n =∆〔注意等倾干预的半波损失有两种情况〕 〔2i 指的是第一次进入2n 介质的折射角〕6.等厚干预〔略〕''ff xx =〔其中x 与'x 为以焦距计算的物距和像距〕对于物方与像方折射率一样的透镜有牛顿公式的符号规如此为:以物方焦点的远离光心的距离为牛顿物距〔即当经典物距小于焦距的物体的牛顿物距小于零〕；以像方焦点的远离光心的距离为牛顿像距.x d D针对于玻璃球而言A 为齐明点,R n n AO 12=〔即从任何位置看A 点的像在同一位置〕1.22d λθ=〔即艾里斑〕全国中学生物理竞赛 近代物理学 公式一、洛伦兹变换与其推论：2222121222011''1cv c v t t t t t cv l l -∆=--=-=∆-=τ钟慢效应：尺缩效应：〔这两个公式最好不要用,最好用最根底的洛伦兹变换来进展推导,否如此容易在确定不变量的时候出现问题〕小心推导钟慢效应与尺缩效应的时候不要弄反了一定要分析到底在哪一个参考系中x 或者t 是不变的速度变换：〔这个可以由洛伦兹变换求导推出〕<系的速度系相对为S S v '> 正向：222222211'11'1'cvu c v u u c vu c v u u c vu vu u x z z x y y x x x --=--=--= 逆向：2222222'11''11''1'c v u c v u u cv u c v u u cv u v u u x z z xy y xx x +-=+-=++= 时间与空间距离变换：二、相对论力学：动量：0p mv m v γ===能量：2220=E mc m c γ== 动能满足：202c m mc E k -=又有：224202c p c m E +=全国中学生物理竞赛 热学 公式一、理想气体1.理想气体状态方程2.平均平动动能与温度的关系3.能均分定理二、固体液体气体和热传导方式4.热传导定律5.辐射6.膨胀7.外表X 力8.液体形成的球形空泡〔两面都是空气〕由于外表X 力产生的附加压强为：三、特殊准静态过程<1>状态方程〔泊松方程〕 完整的应为：)(,111Const T P Const PT Const TVConstPV ====---γγγγγγ <2>做功 2122111d ()1V V W p V p V p V γ==--⎰〔整个方程实际的意义就是：V W nC T =∆,本来是很简单的,所以对于绝热过程来说,一般不要乱用泊松方程,否如此会误入歧途,因为泊松方程好似与热力学第一定律加上理想气体状态方程完全等效〕 W Q U +=∆〔Q 指系统吸收的热量,W 指外界对系统做的功〕开尔文表述：不可能从单一热源吸收热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响.〔第二类永动机是不可能造成的〕 克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化.全国中学生物理竞赛原子物理 公式1.波尔相关理论：o11212120.53A 53pm13.6n n r E eVn m r r ZMZ M E E n m ===-==〔m 为电子的质量,M 为相当于电子的粒子的质量,比如μ-子〕12212(th M M E Q M M M +=为运动粒子质量，为静止粒子的质量）〔最好用资用能来进展推导,这个比拟保险,公式容易记错〕1.p x h ∆∆≥2.E t h ∆∆≥ 〔另有说法为,44hhp x E t ππ∆∆>∆∆>〕 5.光电效应光子携带能量：E h ν= 光电子的动能：k E h W ν=-逸出功 反向截止电压：k h W E V e eν-==逸出功[附]三角函数公式。
物理竞赛模拟试题(四)
物理竞赛模拟试题（四）1.试求解以下三道估算题（1）看电影时，常常发现银幕上的小轿车虽然在开动，但其车轮似乎并未转动设车轮的外观如图所示试估算此时轿车行进的最低非零速度v，并把v与学生百米短跑的平均速度相比，看看哪一个速度快（2）把教室里的桌椅取走，只留下学生和教师，试估算全体师生的质量与教室内空气质量之比；答案最接近（3）设半径为R的圆环均匀带电，总电量为Q(Q>0)试用适当的近似方法估算圆环平面上与圆心相距r处的电场强度E r，已知r≪R2.如图所示，半径为R、质量为m的匀质细圆环上均匀地分布着相对圆环固定不动的正电荷，总电量为Q·t=0时，圆环在绝缘的水平地面上具有如图所示的指向正东方向的平动速度v0，且无滚动设圆环与地面之间的摩擦系数为µ，设圆环所在处及其周围有沿水平指向北方的匀强地磁场B（1）为使圆环在尔后的运动过程中始终不会离开地面，试确定v0的取值上限，若没有上限，回答-1；（2）为使圆环在尔后的运动过程中始终不会离开地面，试确定v0的取值下限，若没有下限，回答-1；（3）在第1问的v0取值范围内，设圆环最后能够达到纯滚动状态，试导出此前t时刻的圆环平动速度v；，试确定圆环刚达到纯滚动状态的时刻T（4）设v0=mg2QB3.试解以下各题（1）半径为R的圆环在水平地面上向前做纯滚动，设前进的速度为常呈v0试求圆环上任意一点P在运动过程中加速度的最大值a max与最小值a min之差（2）只要圆环（半径为R）在水平面上始终向前做纯滚动，无论是匀速前进还是变速前进，圆环上任意点P的轨道都是相同的曲线，称为滚轮线试求滚轮线最低处的曲率半径ρ1（3）续（2），求最高处的曲率半径ρ2（4）如图所示，在竖直平面内取沿水平方向为x轴，半径为R的圆环在x轴下方贴着x轴做纯滚动，圆环上任意一点的运动轨迹当然也是滚轮线，又称摆线如图所示，在一光滑摆线轨道内侧的任意一个非最低位置上放一个光滑小球，小球自静止释放后，将在摆线轨道上往返运动已经证明，小球在摆线上往返运动的周期T与小球质量及小球的初始位置均无关，即T是仅由摆线参量R及重力加速度g确定的恒量试求T的大小4.假定各国在发射卫星时都必须遵从以下规定:卫星进入轨道后不允许离开与本国领土和领海对应的领空，即卫星与地心得连线和地球表面的交点必须落在本国的领土和领海上为了以下讨论的需要，给出同步卫星的轨道半径为R0=4.21×104km（1）试问:一个占据北纬20◦到北纬50◦领空范围的国家，是否可能发射一颗不用动力飞行的卫星并遵从上述规定?（2）对于另一个占据北纬15◦到南纬10◦领空范围的国家，又如何?（3）现在讨论一个具体问题某国发射了一颗周期T0=1d的不用动力飞行的卫星，卫星的轨道平面即为赤道平面容易理解，如果卫星采取椭圆轨道，则卫星相对地心的角速度就不是恒定值，即卫星与地面上的参考点之间会发生相对运动假设这个国家仅拥有θ0=2.00◦经度范围的赤道领空，则需将卫星椭圆轨道的偏心率e限制在一个很小的范围内，以确保卫星不离开本国领空设卫星椭圆轨道的半长轴为A，半短轴为B，则椭圆焦点与椭圆中心的间距C为C=√A2−B2椭圆偏心率e的定义为e=C A试求椭圆偏心率e的最大可取值（4）一个没有赤道领空的国家决定发射一颗靠动力飞行的卫星，卫星定点在北纬40◦的某城市上空，卫星与地心的间距刚好是R0星进入轨道时带有燃料火箭，空载火箭的质量为1.00×103kg，内装燃料9.0×103kg，卫星主体质量为100kg若火箭喷气速度为5km/s试求卫星可定位的最长时间t e5.自由长度为L0、截面积为S且面积变化可以忽略不计的柱形匀质弹性体，其杨氏模量E与弹性系数K之间的关系为E=KL0 s将自由长度为L0、质量为m、弹性系数为K（常量）的匀质圆柱形弹性体垂直悬挂，设悬挂过程中柱体的圆面积保持不变，且已达到平衡伸长的静止状态（1）试求弹性体的总伸长量∆L；（2）取弹性体的悬挂处为坐标原点，取竖直向下的x坐标，设K=mg/L0试按弹性体伸长平衡时的位形，求出其质量线密度的分布λ(x)6.试求解关于阻尼振动的几个小题（这里设B恒为1特斯拉）（1）一单摆由长为l的轻质细杆和质量为m、密度为水密度α倍（α>1）的小摆球组成设单摆在水中做小角度摆动时，摆球所受阻力的大小与摆球在水中的运动速率成正比，比例系数为常量γ设细杆所受阻力可以忽略不计试给出为使摆球能做低阻尼摆动，γ的最大值（2）在水平面上有如图所示的导电回路，R和L已知，其余部分的电阻、电感等均可忽略，质量为m、长为l的导体棒放在框架上向右以初速v0运动，摩擦力可略框架所在区域有方向如图所示的均匀磁场试证明:导体棒运动速度随时间的变化与阻尼振动类似，并给出临界阻尼时，电阻R应满足的表达式；（3）试讨论受迫振动的暂态过程解和稳态解为了讨论的需要，提供如下数学知识常系数线性二阶齐次微分方程¨x+p˙x+qx=0的特征方程为r2+pr+q=0它的两个根表示为r1和r2i)若r1和r2为不相等的实根，则微分方程的通解为x=C1e r1t+C2e r2tii)若r1和r2为相等的实根，均表示为r，则微分方程的通解为x=(C1+C2)e rtiii)若r1=a+bi，r2=a−bi，则微分方程的通解为x=C e at cos(bt+ϕ0)常系数线性二阶非齐次方程¨x+p˙x+qx=f(x)的通解为相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解x∗之和若f(t)=h cos pt且±i p不是相应的齐次特征方程的根，则一个特解可表示为x∗=A cos(pt+ϕ)受迫振动的动力学方程的标准形式为x=h cos pt¨x+2β˙x+ω2其中的常量β，ω0，h，p均不为零试导出并讨论x的通解，此即暂态过程解（4）续（3），试给出t→∞时的x，此为稳态解7.试求解以下三小题（1）小孩猜糖过节时，常有大人将双手放在背后，把糖块藏在一只手中，然后伸手到小孩面前让猜若小孩猜对了，得到糖块，若猜错了，重新藏后再猜，在这一游戏中，小孩往往因为多次猜错急得要哭，有些大人却以此为乐.试为孩子设计一种简易可行的猜糖方法，使大人在这个游戏中难以逗引孩子而兴味索然（2）“盲”人打靶如图所示，取x 轴的原点O 为靶心，在靶心前方h 处为枪架，放置在枪架上的步枪枪管与x 轴在同一平面上用布蒙住打靶者的双眼，打靶者因看不见靶心在何方位，致使图中枪管的θ角取值不定为防止误伤后面的裁判，采用锁定装置限制θ角只能在−π/2到π/2之间取值设打靶者所取θ值具有等概率分布，试求子弹在x 轴上的概率分布p (x )（3）二维理想气体的麦克斯韦分布一维概率正态分布函数为p (x )=1√2πσe −x 2/(2σ2)(σ>0)一维理想气体处在温度为T 的平衡态时，其速度分布为一维正态分布，即F 1(v x )=1√2πσe −v 2x /(2σ2)式中σ=√kTm其中:k 为玻尔兹曼常量;m 为分子质量二维理想气体处在温度为T 的平衡态时，其v x 和v y 各自具有一维正态分布特性因v x 和v y 互相独立，由概率乘法规则，合成的二维速度分布为F 2(v x ,v y )=F 1(v x )F 1(v y)F 2即为二维理想气体的麦克斯韦速度分布试导出二维理想气体的麦克斯韦速率分布f 2(v )（4）续（3），试求二维理想气体分子的最概然速率v p（5）续（3），试求二维理想气体分子的平均速率v （6）续（3），试求二维理想气体分子的方均根速率√v 28.设仿照三相交流发电机设计出四相交流发电机，在四个线圈内分别产生交变电动势ε1、ε2、ε3和ε4，它们的峰值均为ε0，角频率均为ω，ε1、ε2、ε3和ε4的相位依次超前π/2（即ε2超前ε1，ε3超前ε2，等等）设再仿照三相电路中负载的星形连接，设计四相五线制的星形连接如图所示其中各相的负载相应于角频率ω的复阻抗分 ZA 、 ZB 、 ZC 、 ZD ，四个交变电动势ε1、ε2、ε3、ε4分别通过A 、B 、C 、D 四个端点及公共点O 与负载连接设ε1、ε2、ε3、ε4不会因与负载连接而发生变化（1）设ε1=ε0cosωt，试求图中A点与B点、A点与C点、A点与D点之间线电压的瞬时值u AB、u AC、u AD若ε1的有效值为220V，试问u AB的峰值为多少？（2）续（1），试问u AC的峰值为多少？（3）续（1），试问u AD的峰值为多少？（4）将ε1改用复电动势 ε1=ε0e jωt，在此不考虑ε0的具体数值，假设图中的x点和y点均被切断试求图中所示方向的复电流 I A的实部本小问中可认为 Z A、 Z B、 Z C取实数值；（5）续（4），求 I A的虚部本小问中可认为 Z A、 Z B、 Z C取实数值（6）在第（4）问的基础上，进一步假设 Z A为纯电阻R， Z B为L=R/ω的纯电感， Z C为C=1/(ωR)的纯电容试再求 I A之实部（7）续（6），求 I A之虚部。
高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题
话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。
因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。
对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。
因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。
亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。
如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。
也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。
可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。
二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式2n v a ρ=中ρ为曲线上该点的曲率半径。
圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。
我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。
曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。
曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。
曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1kρ=。
这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度n a 的定义式2n v a ρ=出发。
将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2n v a ρ=求出该点的曲率半径ρ。
例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度210/g m s =，求：(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。
高中物理竞赛讲义-抛体运动
抛体运动一、抛体运动的分解1、平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
2、斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
斜抛运动也可以看成沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
在斜面问题中，斜抛运动经常看成沿斜面的匀变速直线运动和垂直于斜面的匀变速直线运动。
例1、在倾角为α的下面顶端P点以初速度V水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q点，求：①小球在空中运动的时间以及P、Q间的距离②小球抛出多长时间后离开斜面的距离最大？最大距离是多少？例2、倾角为α的一个光滑斜面，由斜面上一点O通过斜面最大斜率的竖直平面内斜上抛一个小球，初速为v，抛出方向与斜面成β角，α+β<π/2．(1)若小球与斜面的每次碰撞不消耗机械能，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n满足的关系式．(2)若小球与斜面每次碰撞后，与斜面垂直的速度分量满足：碰后的值是碰前值的e倍．0<e<1，并且小球在第n次与斜面相碰时正好回到抛射点O，试求α、β、n和e满足的关系式．(3)由(2)，若其中第r次与斜面相碰时．小球正好与斜面垂直相碰．试证明此时满足关系式：e n-2e r+1=0二、斜抛运动的性质1、运动轨迹方程2、射高、最大射高，射程、最远射程射高：最大射高：射程：最远射程：例3、一个喷水池的喷头以相同的速率喷出大量水射流．这些水射流以与地面成00～900的所有角度喷出，竖直射流可高达2 .0m，如图所示．取g=10m／s2，试计算水射流在水池中落点所覆盖的圆的半径．例4、从离地面的高度为h的固定点A，将甲球以速度v0抛出，抛射角为α(O<α<π／2)．若在A点前方适当的地方放一质量非常大的平板OG，让甲球与平板做完全弹性碰撞，并使碰撞点与A点等高，如图所示，则当平板倾角θ为恰当值时(0<θ<π／2)，甲球恰好能回到A点．另有一个小球乙，在甲球自A点抛出的同时，从A点自由落下，与地面做完全弹性碰撞．试讨论v0，α，θ应满足怎样的一些条件，才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同时回到A点?3、包络线方程例5、初速度为v0的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求空间安全区域的边界方程．4、曲率半径例6、求抛物线y=kx2任意位置x0处的曲率半径。
2024物理竞赛高中试题
2024物理竞赛高中试题2024年物理竞赛高中试题一、选择题1. 一个物体从静止开始自由下落，其下落距离与时间的关系为：- A. \( s = \frac{1}{2}gt^2 \)- B. \( s = gt \)- C. \( s = gt^2 \)- D. \( s = \frac{1}{2}gt \)2. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
若物体的质量为\( m \)，作用力为\( F \)，则加速度\( a \)的表达式为：- A. \( a = \frac{F}{m} \)- B. \( a = mF \)- C. \( a = \frac{m}{F} \)- D. \( a = \frac{F^2}{m} \)3. 以下哪个是描述电磁波的方程？- A. \( E = mc^2 \)- B. \( F = ma \)- C. \( E = h\nu \)- D. \( U = qV \)二、填空题1. 根据能量守恒定律，一个物体从高度\( h \)自由落下，其势能转化为动能，落地时的动能为\( \frac{1}{2}mv^2 \)，其中\( m \)是物体的质量，\( v \)是落地时的速度。
如果物体的质量为2千克，高度为10米，则落地时的速度为_________（结果保留一位小数）。
2. 理想气体状态方程为\( PV = nRT \)，其中\( P \)代表压强，\( V \)代表体积，\( n \)代表物质的量，\( R \)是气体常数，\( T \)代表温度。
若将气体从状态1的\( P_1, V_1 \)变到状态2的\( P_2, V_2 \)，且变化过程中气体经历等温过程，则\( \frac{V_2}{V_1} \)等于_________。
三、计算题1. 一个质量为0.5千克的物体，从静止开始沿斜面下滑，斜面与水平面的夹角为30度。
如果物体与斜面之间的摩擦系数为0.1，求物体下滑的加速度。
物理中曲率半径计算公式
物理中曲率半径计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲率半径是描述曲线在某一点处的弯曲程度的物理量，是表征曲线局部形状的重要参数之一。
在物理学中，曲率半径的计算公式可以帮助我们更好地理解曲线的特性和行为。
本文将介绍物理学中曲率半径的计算公式及其应用。
一、曲率半径的定义在物理学中，曲率是曲线在给定点处的弯曲程度的量度。
曲率半径是曲线上某一点处的曲率的倒数。
曲率半径越小，曲线就越陡峭；曲率半径越大，曲线就越平缓。
曲率半径的概念在物理学中有广泛的应用，例如在天文学中描述星体运动的轨迹、在地质学中描述地球表面的地形等。
二、曲率半径的计算公式R = (1 + y'²)^(3/2) / |y''|R表示曲率半径，y'表示曲线在给定点处的导数，y''表示曲线在给定点处的二阶导数。
这个公式是基于微分几何中的曲率公式得到的，通过求解导数和二阶导数可以得到曲率半径的数值。
1. 在天文学中，曲率半径用于描述行星和恒星的轨道运动。
地球绕太阳运动时，地球轨道的曲率半径可以帮助科学家确定地球与太阳之间的距离和运动速度。
2. 在地图学中，曲率半径可以帮助地质学家和地理学家描述地球表面的地形特征。
根据曲率半径的计算结果，可以确定山脉、湖泊、河流等地理要素的形态和地理变化。
3. 在工程学中，曲率半径在设计曲线道路和弯道时很有用。
通过计算曲率半径，工程师可以设计出更安全和更有效率的道路，并缩短车辆行驶的时间和距离。
曲率半径的计算公式是描述曲线形状和弯曲程度的关键工具之一。
通过计算曲率半径，我们可以更好地理解物理现象和自然规律，为科学研究和工程设计提供更准确的数据支持。
希望本文对您了解物理学中曲率半径计算公式有所帮助。
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】第二篇示例：物理学中，曲率半径是指曲线的一种属性，它描述了曲线的弯曲程度。
在实际问题中，曲率半径的计算有很大的意义，可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。
第25届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答
第25届全国中学生物理竞赛决赛试题2008年10月 北京★理论部分一、足球比赛，一攻方队员在图中所示的A 处沿Ax 方向传球，球在草地上以速度v 匀速滚动，守方有一队员在图中B 处，以d 表示A ，B 间的距离，以θ表示AB 与Ax 之间的夹角，已知θ＜90°．设在球离开A 处的同时，位于B 处的守方队员开始沿一直线在匀速运动中去抢球，以v p 表示他的速率．在不考虑场地边界限制的条件下，求解以下问题（要求用题中给出的有关参量间的关系式表示所求得的结果）：1．求出守方队员可以抢到球的必要条件．2．如果攻方有一接球队员处在Ax 线上等球，以l r 表示他到A 点的距离，求出球不被原在B 处的守方队员抢断的条件．3．如果攻方有一接球队员处在Ax 线上，以L 表示他离开A 点的距离．在球离开A 处的同时，他开始匀速跑动去接球，以v r 表示其速率，求在这种情况下球不被原在B 处的守方队员抢断的条件．二、卫星的运动可由地面观测来确定；而知道了卫星的运动，又可以用它来确定空间飞行体或地面上物体的运动．这都涉及时间和空间坐标的测定．为简化分析和计算，不考虑地球的自转和公转，把它当做惯性系．1．先来考虑卫星运动的测定．设不考虑相对论效应．在卫星上装有发射电波的装置和高精度的原子钟．假设从卫星上每次发出的电波信号，都包含该信号发出的时刻这一信息．（I ）地面观测系统（包含若干个观测站）可利用从电波中接收到的这一信息，并根据自己所处的已知位置和自己的时钟来确定卫星每一时刻的位置，从而测定卫星的运动．这种测量系统至少需要包含几个地面观测站？列出可以确定卫星位置的方程．（II ）设有两个观测站D 1 ，D 2 ，分别位于同一经线上北纬θ和南纬θ（单位：（°））处．若它们同时收到时间 之前卫星发出的电波信号．（i）试求出发出电波时刻卫星距地面A的最大高度H；（ii）当D1，D2处观测站位置的纬度有很小的误差△θ时，试求H的误差；（iii）如果上述的时间τ有很小的误差τ△，试求H的误差．2．在第1（II）小题中，若θ= 45°，τ= 0.10 s ．（i）试问卫星发出电波时刻卫星距地面最大高度H是多少千米？（ii）若△θ= ±1.0′′ ，定出的H有多大误差？（iii）若τ△= ±0.010 μs ，定出的H有多大误差？假设地球为半径R= 6.38×103km 的球体，光速c = 2.998×108 m / s ，地面处的重力加速度g = 9.81 m / s2．3．再来考虑根据参照卫星的运动来测定一个物体的运动．设不考虑相对论效应．假设从卫星持续发出的电波信号包含卫星运动状态的信息，即每个信号发出的时刻及该时刻卫星所处的位置．再假设被观测物体上有一台卫星信号接收器（设其上没有时钟），从而可获知这些信息．为了利用这种信息来确定物体的运动状态，即物体接收到卫星信号时物体当时所处的位置以及当时的时刻，一般来说物体至少需要同时接收到几个不同卫星发来的信号电波？列出确定当时物体的位置和该时刻的方程．4．根据狭义相对论，运动的钟比静止的钟慢．根据广义相对论，钟在引力场中变慢．现在来考虑在上述测量中相对论的这两种效应．已知天上卫星的钟与地面观测站的钟零点已经对准．假设卫星在离地面h = 2.00×104 km的圆形轨道上运行，地球半径R、光速c和地面重力加速度g取第2小题中给的值．（I）根据狭义相对论，试估算地上的钟经过24h后它的示数与卫星上的钟的示数差多少？设在处理这一问题时，可以把匀速直线运动中时钟走慢的公式用于匀速圆周运动．（II）根据广义相对论，钟在引力场中变慢的因子是(1－2φ/ c2 )1 / 2 ，φ是钟所在位置的引力势（即引力势能与受引力作用的物体质量之比；取无限远处引力势为零）的大小．试问地上的钟24 h后，卫星上的钟的示数与地上的钟的示数差多少？三、致冷机是通过外界对机器做功，把从低温处吸取的热量连同外界对机器做功所得到的能量一起送到高温处的机器；它能使低温处的温度降低，高温处的温度升高．已知当致冷机工作在绝对温度为T1的高温处和绝对温度为T2的低温处之间时，若致冷机从低温处吸取的热量为Q，外界对致冷机做的功为W，则有Q W≤T2T1－T2，式中“=”对应于理论上的理想情况．某致冷机在冬天作为热泵使用（即取暖空调机），在室外温度为－5.00℃的情况下，使某房间内的温度保持在20.00℃．由于室内温度高于室外，故将有热量从室内传递到室外．本题只考虑传导方式的传热，它服从以下的规律：设一块导热层，其厚度为l ，面积为S ，两侧温度差的大小为T ，则单位时间内通过导热层由高温处传导到低温处的热量为H = k △T lS ， 其中k 称为热导率，取决于导热层材料的性质．1．假设该房间向外散热是由面向室外的面积S = 5.00 m 2 、厚度l = 2.00 mm 的玻璃板引起的．已知该玻璃的热导率k = 0.75 W / ( m • K )，电费为每度0.50元．试求在理想情况下该热泵工作12 h 需要多少电费？2．若将上述玻璃板换为“双层玻璃板”，两层玻璃的厚度均为2.00mm ，玻璃板之间夹有厚度l 0= 0.50 mm 的空气层，假设空气的热导率k 0= 0.025 W / ( m • K )，电费仍为每度0.50元．若该热泵仍然工作12 h ，问这时的电费比上一问单层玻璃情形节省多少？四、如图1所示，器件由相互紧密接触的金属层( M )、薄绝缘层( I )和金属层( M )构成．按照经典物理的观点，在I 层绝缘性能理想的情况下，电子不可能从一个金属层穿过绝缘层到达另一个金属层．但是，按照量子物理的原理，在一定的条件下，这种渡越是可能的，习惯上将这一过程称为隧穿，它是电子具有波动性的结果．隧穿是单个电子的过程，是分立的事件，通过绝缘层转移的电荷量只能是电子电荷量－e ( e = 1.60×10－19 C )的整数倍，因此也称为单电子隧穿，MIM 器件亦称为隧穿结或单电子隧穿结．本题涉及对单电子隧穿过程控制的库仑阻塞原理，由于据此可望制成尺寸很小的单电子器件，这是目前研究得很多、有应用前景的领域．1．显示库仑阻塞原理的最简单的做法是将图1的器件看成一个电容为C 的电容器，如图2所示．电容器极板上的电荷来源于金属极板上导电电子云相对于正电荷背景的很小位移，可以连续变化．如前所述，以隧穿方式通过绝缘层的只能是分立的单电子电荷．如果隧穿过程会导致体系静电能量上升，则此过程不能发生，这种现象称为库仑阻塞．试求出发生库仑阻塞的条件即电容器极板间的电势差V AB = V A －V B在什么范围图1内单电子隧穿过程被禁止．2．假定V AB = 0.10 mV 是刚能发生隧穿的电压．试估算电容C 的大小．3．将图1的器件与电压为V 的恒压源相接时，通常采用图2所示的双结构器件来观察单电子隧穿，避免杂散电容的影响．中间的金属块层称为单电子岛．作为电极的左、右金属块层分别记为S ，D ．若已知岛中有净电荷量－ne ，其中净电子数n 可为正、负整数或零，e 为电子电荷量的大小，两个MIM 结的电容分别为C S 和C D ．试证明双结结构器件的静电能中与岛上净电荷量相关的静电能（简称单电子岛的静电能）为U n =(－ne )22( C S +C D )． 4．在图3给出的具有源( S )、漏( D )电极双结结构的基础上，通过和岛连接的电容C G 添加门电极( G )构成如图4给出的单电子三极管结构，门电极和岛间没有单电子隧穿事件发生．在V 较小且固定的情况下，通过门电压V G 可控制岛中的净电子数n ．对于V G 如何控制n ，简单的模型是将V G 的作用视为岛中附加了等效电荷q 0= C G V G ．这时，单电子岛的静电能可近似为U n =(－ne +q 0)2 / 2C ∑，式中C ∑=C S +C D +C G ．利用方格图（图5），考虑库仑阻塞效应，用粗线画出岛中净电子数从n = 0开始，C G V G / e 由0增大到3的过程中，单电子岛的静电能U n 随C G V G 变化的图线（纵坐标表示U n ，取U n 的单位为e 2 / 2C ∑；横坐标表示C G V G ，取C G V G 的单位为e ）．要求标出关键点的坐标，并把n = 0 ，1 ，2 ，3时C G V G / e 的变化范围填在表格中．（此小题只按作图及所填表格（表1）评分）．图3 图 4图5表1五、折射率n = 1.50 、半径为R的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中O点为横截面与轴线的交点．光仅允许从半圆柱体的平面AB进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角i射至AB整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出．这部分光束在入射到AB面上时沿y轴方向的长度用d表示．本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形．1．当平行入射光的入射角i在0°～90°变化时，试求d的最小值d min和最大值d max．2．在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对O点的张角与入射角i的关系．并求在掠入射时上述圆弧的位置．六、根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线．它距离引力中心最近的点称为光线的近星点．通过近星点与引力中心的直线是光线的对称轴．若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标（r ，φ）的原点，选取光线的对称轴为坐标极轴，则光线方程（光子的轨迹方程）为r =GM / c2a cosφ+a2 ( 1 + sin2φ)，G是万有引力恒量，M是星体质量，c是光速，a是绝对值远小于1的参数．现在假设离地球80.0光年处有一星体，在它与地球连线的中点处有一白矮星．如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是1.80×10－7rad ，试问此白矮星的质量是多少千克？已知G = 6.673 ×10－11m3 / ( kg •s2 )七、1．假设对氦原子基态采用玻尔模型，认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动，半径相同，角动量均为：= h / 2π，其中h是普朗克常量．（I）如果忽略电子间的相互作用，氦原子的一级电离能是多少电子伏？一级电离能是指把其中一个电子移到无限远所需要的能量．z（II ）实验测得的氦原子一级电离能是24.6 eV ．若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用，进一步假设两个电子总处于通过氦核的一条直径的两端．试用此模型和假设，求出电子运动轨道的半径r 0 、基态能量E 0 以及一级电离能E + ，并与实验测得的氦原子一级电离能相比较．已知电子质量m = 0.511 MeV / c 2 ，c 是光速，组合常量c =197.3 MeV • fm =197.3 eV • nm ，ke 2= 1.44 MeV • fm =1.44 eV • nm ，k 是静电力常量，e 是基本电荷量．2．右图是某种粒子穿过云室留下的径迹的照片．径迹在纸面内，图的中间是一块与纸面垂直的铅板，外加恒定匀强磁场的方向垂直纸面向里．假设粒子电荷的大小是一个基本电荷量e ：e =1.60×10－19 C ，铅板下部径迹的曲率半径r d = 210 mm ，铅板上部径迹的曲率半径r u = 76.0 mm ，铅板内的径迹与铅板法线成θ= 15.0° ，铅板厚度d = 6.00 mm ，磁感应强度B = 1.00 T ，粒子质量 m = 9.11×10－31kg =0.511MeV/ c 2．不考虑云室中气体对粒子的阻力．（I ）写出粒子运动的方向和电荷的正负．（II ）试问铅板在粒子穿过期间所受的力平均为多少牛？（III ）假设射向铅板的不是一个粒子，而是从加速器引出的流量为j = 5.00 ×1018 / s 的脉冲粒子束，一个脉冲持续时间为 =2.50 ns ．试问铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力平均为多少牛？铅板在此期间吸收的热量又是多少焦？第25届全国中学生物理竞赛决赛参考解答一、1 ．解法一：设守方队员经过时间t 在Ax 上的C点抢到球，用l 表示A 与C 之间的距离，l p 表示B 与C之间的距离（如图1所示），则有l = vt ，l p = v p t （1）和 l 2p = d 2 + l 2－2dl cos θ．（2）解式（1），（2）可得图1l=d1－(v p/ v)2{cosθ±[ (v pv)2 －sin2θ]1 / 2 }．（3）由式（3）可知，球被抢到的必要条件是该式有实数解，即v p≥v sinθ．（4）解法二：设BA与BC的夹角为φ（如图1）．按正弦定理有l psinθ=lsinφ．利用式（1）有v p v= sinθsinφ．从sinφ≤1可得必要条件（4）．2．用l min表示守方队员能抢断球的地方与A点间的最小距离．由式（3）知l min=d1－( v p/ v)2{cosθ±[ (v pv)2 －sin2θ]1 / 2 }．（5）若攻方接球队员到A点的距离小于l min，则他将先控制球而不被守方队员抢断．故球不被抢断的条件是l r ＜l min．（6）由（5），（6）两式得l r ＜d1－( v p/ v)2{cosθ±[ (v pv)2 －sin2θ]1 / 2 }（7）由式（7）可知，若位于Ax轴上等球的攻方球员到A点的距离l r满足该式，则球不被原位于B处的守方球员抢断．3．解法一：如果在位于B处的守方球员到达Ax上距离A点l min的C1点之前，攻方接球队员能够到达距A点小于l min处，球就不会被原位于B处的守方队员抢断（如图2所示）．若L≤l min 就相当于第2小题．若L＞l min ，设攻方接球员位于Ax方向上某点E处，则他跑到C1点所需时间t rm = ( L－l min) / v r ；（8）守方队员到达C1处所需时间t pm = ( d2+ l2min－2dl min cosθ)1 / 2/v p．球不被守方抢断的条件是t rm ＜t pm ．（9）图2即 L ＜v r v p( d 2 + l 2min －2dl min cos θ)1 / 2 + l min ，（10）式中l min 由式（5）给出．解法二：守方队员到达C 1点的时间和球到达该点的时间相同，因此有t pm = l min / v ．从球不被守方队员抢断的条件（9）以及式（8）可得到L ＜ ( 1 + v r / v )l min （11）式中l min 也由式（5）给出．易证明式（11）与（10）相同．二、1．（I ）选择一个坐标系来测定卫星的运动，就是测定每一时刻卫星的位置坐标x ，y ，z ．设卫星在t 时刻发出的信号电波到达第i 个地面站的时刻为t i ．因为卫星信号电波以光速c 传播，于是可以写出(x －x i )2 + (y －y i )2 + (z －z i )2 = c 2 (t －t i )2 ( i = 1 ，2 ，3 )， （1）式中x i ，y i ，z i 是第i 个地面站的位置坐标，可以预先测定，是已知的；t i 也可以由地面站的时钟来测定；t 由卫星信号电波给出，也是已知的．所以，方程（1）中有三个未知数x ，y ，z ，要有三个互相独立的方程，也就是说，至少需要包含三个地面站，三个方程对应于式（1）中i = 1 ，2 ，3 的情况．（II ）（i ）如图所示，以地心O 和两个观测站D 1 ，D 2 的位置为顶点所构成的三角形是等腰三角形，腰长为R ．根据题意，可知卫星发出信号电波时距离两个观测站的距离相等，都是L = c ． （2）当卫星P 处于上述三角形所在的平面内时，距离地面的高度最大，即H ．以θ表示D 1 ，D 2所处的纬度，由余弦定理可知L 2 = R 2 + ( H +R )2－2R ( H +R )cos θ． （3）由（2），（3）两式得H =(c τ)2 －(R sin θ)2 －R ( 1－cos θ)． （4）式（4）也可据图直接写出．（ii ）按题意，如果纬度有很小的误差△θ，则由式（3）可知，将引起H 发生误差△H ．这时有L 2 = R 2 + ( H +△H + R )2 －2R ( H +△H +R )cos ( θ+△θ)．（5）将式（5）展开，因△θ很小，从而△H 也很小，可略去高次项，再与式（3）相减，得△H = －R ( R +H )sin θ△θH +( 1－cos θ)R，（6） 其中H 由（4）式给出．（iii ）如果时间τ有τ△的误差，则L 有误差△L = c τ△ ． （7）由式（3）可知，这将引起H 产生误差△H ．这时有( L +△L )2 = R 2 + ( H +△H + R )2 －2R ( H +△H +R )cos θ．（8）由式（7），（8）和（3），略去高次项，可得△H = c 2ττ△H +R ( 1－cos θ)， （9） 其中H 由式（4）给出．2．（i ）在式（4）中代入数据，算得H = 2.8×104 km ．（ii ）在式（6）中代入数据，算得△H =25m ．（iii ）在式（9）中代入数据，算得△H = ±3.0 m ．3．选择一个坐标系，设被测物体待定位置的坐标为x ，y ，z ，待定时刻为t ，第i 个卫星在t i 时刻的坐标为x i ，y i ，z i ．卫星信号电波以光速传播，可以写出(x －x i )2 + (y －y i )2 + (z －z i )2 = c 2 (t －t i )2 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 )， （10）由于方程（1）有四个未知数t ，x ，y ，z ，需要四个独立方程才有确定的解，故需同时接收至少四个不同卫星的信号．确定当时物体的位置和该时刻所需要的是式（10）中i = 1 ，2 ，3 ，4所对应的四个独立方程．4．（I ）由于卫星上钟的变慢因子为[ 1－( v / c )2]1 / 2 ，地上的钟的示数T 与卫星上的钟的示数t 之差为T －t = T －1－(v c )2T = [ 1－1－(v c)2 ]T ， （11）这里v 是卫星相对地面的速度，可由下列方程定出：v 2r = GM r2 ， （12）其中G 是万有引力常量，M 是地球质量，r 是轨道半径．式（11）给出 v = GM r = g r R =g R + hR ，其中R 是地球半径，h 是卫星离地面的高度，g = GM / R 2是地面重力加速度；代入数值有v = 3.89 km / s ．于是 ( v / c )2≈1.68×10－10 ，这是很小的数．所以[ 1－(v c )2]1 / 2≈1－12(v c)2．最后，可以算出24 h 的时差 T －t ≈12(v c )2T = 12gR 2c 2 ( R + h )T = 7.3μs ．（13）（II ）卫星上的钟的示数t 与无限远惯性系中的钟的示数T 0之差t －T 0= 1－2φc 2T 0－T 0=( 1－2φc 2－1 )T 0 ．（14）卫星上的钟所处的重力势能的大小为φ= GM R + h = R 2R + h g ． （15）所以 φc 2 = gR 2c 2 ( R + h )；代入数值有φ/ c 2 = 1.68×10－10，这是很小的数．式（14）近似为t －T 0 ≈－ φc2T 0 ． （16）类似地，地面上的钟的示数T 与无限远惯性系的钟的示数之差T －T 0 =1－2E φc 2T 0－T 0=(1－2E φc 2－1 )T 0 ． （17）地面上的钟所处的重力势能的大小为E φ=GMR =gR ． （18）所以Eφc2=gR c 2； 代入数值有E φ/ c 2 =6.96 ×10－10，这是很小的数．与上面的情形类似，式（17）近似为T －T 0 ≈－Eφc 2T 0 ． （19）（16），（19）两式相减，即得卫星上的钟的示数与地面上的钟的示数之差t －T ≈－Eφφ-c 2T 0 ．（20）从式（19）中解出T 0 ，并代入式（20）得t －T ≈－Eφφ-c2/ (1－Eφc2)T ≈－Eφφ-c2T =gR c 2hR + hT ．（21）注意，题目中的24 h 是指地面的钟走过的时间T ．最后，算出24 h 卫星上的钟的示数与地面上的钟的示数之差t －T = 46 μs ． （22）三、1．依题意，为使室内温度保持不变，热泵向室内放热的功率应与房间向室外散热的功率相等．设热泵在室内放热的功率为q ，需要消耗的电功率为P ，则它从室外（低温处）吸收热量的功率为q －P ．根据题意有q －P P ≤T 2T 1－T 2， （1）式中T 1为室内（高温处）的绝对温度，T 2为室外的绝对温度．由（1）式得P ≥T 1－T 2T 1q ． （2）显然，为使电费最少，P 应取最小值；即式（2）中的“≥”号应取等号，对应于理想情况下 P 最小．故最小电功率P min =T 1－T 2T 1q ．（3） 又依题意，房间由玻璃板通过热传导方式向外散热，散热的功率H =k T 1－T 2lS ． （4）要保持室内温度恒定，应有q =H ． （5）由（3）～（5）三式得P min =k S ( T 1－T 2 )2lT 1． （6）设热泵工作时间为t ，每度电的电费为c ，则热泵工作需花费的最少电费C min =P min tc ． （7）注意到 T 1= 20.00 K + 273.15 K = 293.15 K ，T 2 = －5.00 K + 273.15 K = 268.15 K ，1度电 = 1 kW • h ．由（6），（7）两式，并代入有关数据得C min =( T 1－T 2 )2T 1lSktc = 23.99 元．（8）所以，在理想情况下，该热泵工作12 h 需约24元电费．2．设中间空气层内表面的温度为 T i ，外表面的温度为 T 0，则单位时间内通过内层玻璃、中间空气层和外层玻璃传导的热量分别为H 1=k T 1－T ilS ， （9）H 2=k 0T i －T 0l 0S ， （10）H 3=k T 0－T 2lS ． （11）在稳定传热的情况下，有H 1=H 2=H 3 ． （12）由（9）～（12）四式得k T 1－T i l = k 0T i －T 0l 0和T 1－T i =T 0－T 2．（13）解式（13）得T i =l 0k + lk 0l 0k + 2lk 0T 1 +lk 0l 0k + 2lk 0T 2． （14）将（14）式代入（9）式得H 1 =kk 0l 0k + 2lk 0( T 1－T 2 )S ． （15）要保持室内温度恒定，应有q =H 1．由式（3）知，在双层玻璃情况下热泵消耗的最小电功率P ′min =kk 0l 0k + 2lk 0( T 1－T 2 )2T 1S ．（16）在理想情况下，热泵工作时间t 需要的电费C ′min =P ′min tc ； （17）代入有关数据得C ′min =2.52 元． （18）所以，改用所选的双层玻璃板后，该热泵工作12 h 可以节约的电费△C min =C min －C′min=21.47 元．（19）四、1．先假设由于隧穿效应，单电子能从电容器的极板A隧穿到极板B．以Q 表示单电子隧穿前极板A所带的电荷量，V AB表示两极板间的电压（如题目中图3所示），则有V AB= Q / C ．（1）这时电容器储能U= 12CV2AB．（2）当单电子隧穿到极板B后，极板A所带的电荷量为Q′ = Q + e ，（3）式中e 为电子电荷量的大小．这时，电容器两极板间的电压和电容器分别储能为V′AB= Q + eC，U′ =12CV′2AB．（4）若发生库仑阻塞，即隧穿过程被禁止，则要求U′－U ＞0 ．（5）由（1）～（5）五式得V AB＞－12eC ．（6）再假设单电子能从电容器的极板B隧穿到极板A．仍以Q表示单电子隧穿前极板A 所带的电荷量，V AB表示两极板间的电压．当单电子从极板B隧穿到极板A时，极板A所带的电荷量为Q′ = Q－e．经过类似的计算，可得单电子从极板B到极板A的隧穿不能发生的条件是V AB＜12eC ．（7）由（6），（7）两式知，当电压V AB在－e / 2C～e / 2C 之间时，单电子隧穿受到库仑阻塞，即库仑阻塞的条件为－12eC ＜V AB＜12eC ．（8）2．依题意和式（8）可知，恰好能发生隧穿时有V AB =12eC= 0.10 mV ． （9）由式（9），并代入有关数据得C =8.0×10－16F ． （10）3．设题目中图3中左边的MIM 结的电容为 C S ，右边的MIM 结的电容为 C D ．双结结构体系如图a 所示，以Q 1 ，Q 2 分别表示电容C S ，C D 所带的电荷量．根据题意，中间单电子岛上的电荷量为－ne = Q 2－Q 1 ．（11）体系的静电能为 C S 和 C D 中静电能的总和，即U =Q 212C S + Q 222C D； （12）电压V =Q 1C S + Q 2C D． （13） 由（11）～（13）三式解得U =12CV 2 +(Q 2－Q 1)22 (C S + C D )． （14）由于V 为恒量，从式（13）可知体系的静电能中与岛上净电荷相关的静电能U n = (－ne )2 / 2 (C S + C D )．4．U n 随 C G V G 变化的图线如图b ；C G V G / e 的变化范围如表2．表2五、1．在图1中，z 轴垂直于AB 面．考察平行光图a束中两条光线分别在AB 面上C 与C ′点以入射角i 射入透明圆柱时的情况，r 为折射角，在圆柱体中两折射光线分别射达圆柱面的 D 和D ′，对圆柱面其入射角分别为i 2与i ′2．在△OCD 中，O 点与入射点C 的距离y c 由正弦定理得y c sin i 2 = R sin ( 90° + r )，即 y c = sin i 2cos r R ．（1）同理在△OC ′D ′中，O 点与入射点C ′的距离有y c ′sin i ′2 = R sin ( 90°－r )，即 y c ′= sin i ′2cos r R ． （2）当改变入射角 i 时，折射角 r 与柱面上的入射角i 2与 i ′2亦随之变化．在柱面上的入射角满足临界角i 20 = arcsin ( 1 / n )≈41.8° （3）时，发生全反射．将i 2= i ′2=i 20 分别代入式（1），（2）得y o c =y o c ′=sin i 20cos rR ， （4）即d = 2y o c = 2sin i 20cos rR ． （5）当y c ＞y o c 和y c ′＞y o c ′时，入射光线进入柱体，经过折射后射达柱面时的入射角大于临界角i 20 ，由于发生全反射不能射出柱体．因折射角 r 随入射角 i 增大而增大．由式（4）知，当 r = 0 ，即 i = 0（垂直入射）时，d 取最小值d min = 2R sin i 20 = 1.33R ． （6）当 i →90°（掠入射）时，r →41.8° ．将 r =41.8°代入式（4）得 d max = 1.79 R ．（7）2．由图2可见，φ是 Oz 轴与线段 OD 的夹角，φ′是Oz 轴与线段OD ′的夹角．发生全反射时，有φ=i 20 + r ，（8） φ′=i 20－r ， （9）和 θ=φ+φ′=2i 20≈83.6° ．（10）由此可见，θ与i 无关，即θ独立于i ．在掠入射时，i ≈90°，r =41.8°，由式（8）,（9）两式得φ= 83.6° ，φ′= 0°．（11）六、图2由于方程r =GM / c 2a cos φ + a 2 ( 1 + sin 2φ)（1） 是φ的偶函数，光线关于极轴对称．光线在坐标原点左侧的情形对应于a ＜0 ；光线在坐标原点右侧的情形对应a ＞0 ．右图是a ＜0的情形，图中极轴为 Ox ，白矮星在原点O 处．在式（1）中代入近星点坐标r =r m ，φ= π，并注意到a 2| a | ，有a ≈－GM / c 2r m ．（2）经过白矮星两侧的星光对观测者所张的视角θS 可以有不同的表达方式，相应的问题有不同的解法．解法一：若从白矮星到地球的距离为 d ，则可近似地写出θS ≈2r m / d ． （3）在式（1）中代入观测者的坐标 r =d ，φ= －π/ 2，有a 2≈GM / 2c 2d ．（4）由（2）与（4）两式消去 a ，可以解出r m =2GMd / c 2．（5）把式（5）代入式（3）得θS ≈8GM / c 2d ； （6）即 M ≈θ2S c 2d / 8G ， （7）其中d = 3.787×1017 m ；代入数值就可算出M ≈2.07 ×1030kg ．（8）解法二：光线射向无限远处的坐标可以写成r →∞，φ= －π2 + θ2．（9）近似地取θS ≈θ，把式（9）代入式（1），要求式（1）分母为零，并注意到θ1，有a θ / 2 + 2a 2= 0 ．所以 θS ≈θ=－4a = 8GM / c 2d ，（10）其中用到式（4），并注意到a ＜0 ．式（10）与式（6）相同，从而也有式（8）．解法三：星光对观测者所张的视角 θS 应等于两条光线在观测者处切线的夹角，有sin θS 2=△(r cos φ)△r = cos φ－r sin φ△φ△r．（11）ySr xOEr mφ由光线方程（1）算出△φ/△r，有sin θS2=cosφ－r sinφGM / c2r2a sinφ= cosφ－GMc2ra；代入观测者的坐标r =d， = －π/ 2以及a的表达式（4），并注意到θS很小，就有θS≈2GMc2d2c2dGM=8GMc2d，与式（6）相同．所以，也得到了式（8）．解法四：用式（2）把方程（1）改写成－r m = r cosφ－GMc2r m r[ (r cosφ )2 + 2 (r sinφ)2 ] ，即x = －r m+ GMc2r m r( x2 +2y2 )．（12）当y→－∞时，式（12）的渐近式为x = －r m－2GMc2r m y．这是直线方程，它在x轴上的截距为－r m，斜率为1－2GM/c2r m ≈1－tan ( θS / 2 )≈－1θS / 2 ．于是有θS ≈4GM/c2r m．r m用式（5）代入后，得到式（6），从而也有式（8）．七、1．（I）氦原子中有两个电子，一级电离能E+是把其中一个电子移到无限远处所需要的能量满足He + E+→He++ e－．为了得到氦原子的一级电离能E+，需要求出一个电子电离以后氦离子体系的能量E*．这是一个电子围绕氦核运动的体系，下面给出两种解法．解法一：在力学方程=中，r 是轨道半径，v 是电子速度．对基态，用玻尔量子化条件（角动量为）可以解出r0 =2/ 2ke2m．（1）于是氦离子能量E* =2,2m)－= －2)，（2）其中p0为基态电子动量的大小；代入数值得E* = －ke2 )2mc2,(c)2)≈－54.4 eV ．（3）由于不计电子间的相互作用，氦原子基态的能量E0 是该值的2倍，即E0 =2E*≈－108.8 eV ．（4）氦离子能量E*与氦原子基态能量E0之差就是氦原子的一级电离能E+ =E*－E0= －E*≈ 54.4 eV ．（5）解法二：氦离子能量E*= －．把基态的角动量关系rp=代入，式（3）可以改写成E* = 2,2mr2)－= 2,2m) ( －2))2－2)．因基态的能量最小，式（4）等号右边的第一项为零，所以半径和能量r0 = 2,2ke2m) ，E*=－2)分别与（1），（2）两式相同．（II）下面，同样给出求氦原子基态能量E0和半径r0的两种解法．解法一：利用力学方程= －2r )2) =和基态量子化条件rmv =，可以解出半径r0 = 42/7ke2m，（6）于是氦原子基态能量,2m)－) + = －2)；（7）E0 = 2 (2代入数值算得E 0 =－ke2 )2mc2,16(c)2)≈－83.4 eV ，（8）r 0 = (c)2,7ke2mc2)≈0.0302 nm ．所以，氦原子的一级电离能E+ =E*－E0≈ 29.0 eV ．（9）这仍比实验测得的氦原子一级电离能24.6 eV 高出4.4 eV ．解法二：氦原子能量E = 2 ( －) + = 2,mr2)－可以化成E = 2,m)( －2))2－2) ．当上式等号右边第一项为零时，能量最小．由此可知，基态能量与半径E0 =－2) ，r0= 2,7ke2m)分别与（7），（6）两式相同．2．（I）粒子从下部射向并穿过铅板向上运动，其电荷为正．（II）如题图所示，粒子的运动速度v 与磁场方向垂直，洛伦兹力在纸面内；磁力不改变荷电粒子动量的大小，只改变其方向．若不考虑云室中气体对粒子的阻力，荷电粒子在恒定磁场作用下的运动轨迹就是曲率半径为一定值的圆弧；可以写出其运动方程qBv=||= φ,△t)= ，（1）其中q 是粒子电荷，v是粒子速度的大小，p是粒子动量的大小，△φ是粒子在△t时间内转过的角度，r是轨迹曲率半径．于是有p=qBr ．（2）按题意，q=e ．用p d 和p u 分别表示粒子射入铅板和自铅板射出时动量的大小，并在式（1）中代入有关数据，可以算得p d=63.0MeV / c ，p u= 22.8MeV / c．（3）注意到当pc mc2 时应使用狭义相对论，从p=/ c)2))．（4）中可以得到v=/ p)2 ))．（5）用v d 和v u分别表示粒子进入和离开铅板时的速度大小．把式（2）以及m = 0.511 MeV / c2代入式（3），可得v d ≈c，v u≈c．（6）于是，粒子穿过铅板的平均速度v= ( 1 / 2 ) ( v d+v u)≈c．用△t表示粒子穿过铅板的时间，则有v cosθ△t = d．（7）再用△p du表示粒子穿过铅板动量改变量的大小，铅板所受到的平均力的大小f= = / (v cosθ))≈p d－p u)c cosθ,d)；（8）代入有关数值得f ≈1.04×10－9N ．（9）。
高中物理竞赛习题专题之质点运动(含答案)
质点运动学学习材料一、选择题1．质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( )(A ) (B ) (C ) (D )【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】2． 一质点沿x 轴运动的规律是542+-=t t x （SI 制）。
则前三秒内它的 ( )(A )位移和路程都是3m ；(B )位移和路程都是-3m ； (C )位移是-3m ，路程是3m ； (D )位移是-3m ，路程是5m 。
【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点：24d x t dt =-，当t =2时，速度0d xdtυ==，所以前两秒退了4米，后一秒进了1米，路程为5米】3．一质点的运动方程是cos sin r R t i R t j ωω=+，R 、ω为正常数。
从t ＝ωπ/到t =ωπ/2时间内(1)该质点的位移是 ( )(A ) -2R i ； (B ) 2R i； (C ) -2j ； (D ) 0。
(2)该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) R π； (C ) 0； (D ) R πω。
【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υ滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( )(A )大小为2υ，方向与B 端运动方向相同； (B )大小为2υ，方向与A 端运动方向相同；(C )大小为2υ， 方向沿杆身方向；(D )大小为2cos υθ，方向与水平方向成 θ 角。
【提示：C 点的坐标为sin 2cos 2C C l x l y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则cos 2sin 2cx cyl d dt l d dt θυθθυθ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，有中点C 的速度大小：2C l d dt θυ=⋅。
(完整版)高中物理竞赛_话题4：曲率半径问题
话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。
因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。
对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。
因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。
亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。
如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。
也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。
可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。
二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式2n v a ρ=中ρ为曲线上该点的曲率半径。
圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。
我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。
曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。
曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。
曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1kρ=。
这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度n a 的定义式2n v a ρ=出发。
将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2n v a ρ=求出该点的曲率半径ρ。
例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度210/g m s =，求：(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。
高中物理竞赛基本模型查漏补缺(配例题)
四、曲率半径 1、物理方法： an
v2
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注意，式中的 an 和 v 都是指合运动的，但可以通过运动的分解来求解
2、数学方法：
例 1.5、求抛物线 y=kx2 任意位置 x0 处的曲率半径。 五、参考系的灵活选取 可以让某个物体变为“静止” 例 1.6、如图所示，质点 A 和质点 B 同时从 A、B 两点出发，分别以 速度 v1 沿 AB 和以速度 v2 沿 BC 做匀速直线运动，BC 和 AB 的夹角 为 α． 开始时质点 A 和质点 B 相距为 l， 试求两质点之间的最短距离．
线轴的内外半径分别为r和r例12一轻杆长为l一端装有光滑铰链另一端固定一质量为m的小球轻杆搁在一质量为m边长为a的立方体木块上不计摩擦初始时系统静止杆与水平面夹角为求当杆转至与水平面夹角时木块的速度假设此过程中木块与杆始终接触二微元法求速度关系例13一个半径为r的环环心为o2立在水平面上另一个同样大小的环环心为o1以速度v从前一环的旁边经过
F m a i i i
例 3.1、如图所示，台秤上有一装水容器，容器底部用一质量不计的细线系住 一个空心小球，体积为 1.2× 10-3m3，质量为 1kg，这时台秤的读数为 40N；剪 断细线后，在小球上升的过程中，台秤的读数是多少？（ρ 水 = 1× 103kg/m3）
5 / 38
2 / 38
点自由落下，与地面做完全弹性碰撞．试讨论 v0，α，θ 应满足怎样的一些条件，才能使乙 球与地面碰撞一次后与甲球同时回到 A 点? 九、费马原理求最短时间问题 例 1.11、如图所示，湖中有一小岛 A，A 与直湖岸的距离为 d,湖岸边 有一点 B，B 沿湖岸方向与 A 点的距离为 l．一人自 B 点出发，要到 达 A 点．已知他在岸上行走的速度为 v1，在水中游泳的速度为 v2， 且 v1>v2，要求他由 B 至 A 所用的时问最短，问此人应当如何选择其 运动路线? 第二章 静力学 一、万有引力 质量分布均匀的球或球壳，对外部物体的引力，可以将它看做质量集中在球心的质点 质量分布均匀的球壳，对壳内任意位置物体的引力为 0 均匀分布的电荷的静电力有类似性质 例 2.1、已知地球半径为 R，质量为 M。求地表以下 h 深处的质量为 m 的物体受到的万有引 力是多少？ 二、加权平均法求质心位置
用物理方法求解曲率半径
2
5、在场强为 B 的水平匀强磁场中，一质量为 m 、电荷量为 q 带正电荷的小球在 O 点静止释放，小球的运 动曲线如图所示。已知重力加速度为 g ，求 （1）此曲线的轨迹方程； （2）此曲线上任一点的的曲率半径，并指出最低点的曲率半径。
6、一长为 L 的匀质重绳（柔软） ，两端挂在天花板上，绳的最低点与天花板间的距离为 H，求最低点的曲 率半径。
R
P
P
1/2
4、如图所示，在坚直平面内建立水平 x 轴和竖直 y 轴，按数学曲线 y A cos x 设置光滑轨道，设小球在 轨道顶点 (0, A) 处因有极小的水平方向速度（计算时其值可略）而沿轨道滑下，试定量论述而后小球能否 一直贴着运动？同时求出轨道最高点的曲率半径。
A
y
2
-A
H
A
B
7、理论力学可以证明：质点在有心力场中运动，如果总机械能 E 0 则其轨迹必为双曲线的一支，且引力 源在其双曲线的一个焦点上。假设某慧星进入太阳系中，慧星和太阳的质量分别为 m 、 M 且系统总能量
E 0 ，则彗星轨道为双曲线
顶点处的曲率半径。
x2 y2 1 的一支，太阳在双曲线的一个焦点上，如图所示。试求：双曲线 a2 b2
2、在水平地面上置有一质量为 M 的滑块。滑块内有一圆形空心光滑通道半径为 b ，开始时质量为 m 的小 球置于轨道的最高点，若有微小扰动，小球开始在光滑通道内运动，求： （1） 小球的运动轨迹； （2）运动轨迹在任一点的曲率半径。
3、轮滚线问题：轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘运动轨迹曲线称为滚轮线。设轮子半径为 R，轮子 边缘 P 对应的滚轮如图所示，试求 （1）P 点的轨迹曲线方程； （2）此滚轮线上任意一点的曲率半径 ( ) ，以及在最高点曲率半径 1 和最低点曲率半径 2 。
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话题4：曲率半径问题一、曲率半径的引入在研究曲线运动的速度时，我们作一级近似，把曲线运动用一系列元直线运动来逼近。
因为在0t ∆→ 的极限情况下，元位移的大小和元弧的长度是一致的，故“以直代曲”，对于描述速度这个反映运动快慢和方向的量来说已经足够了。
对于曲线运动中的加速度问题，若用同样的近似，把曲线运动用一系列元直线运动来代替，就不合适了。
因为直线运动不能反映速度方向变化的因素。
亦即，它不能全面反映加速度的所有特征。
如何解决呢？圆周运动可以反映运动方向的变化，因此我们可以把一般的曲线运动，看成是一系列不同半径的圆周运动，即可以把整条曲线，用一系列不同半径的小圆弧来代替。
也就是说，我们在处理曲线运动的加速度时，必须“以圆代曲”，而不是“以直代曲”。
可以通过曲线上一点A 与无限接近的另外两个相邻点作一圆，在极限情况下，这个圆就是A 点的曲率圆。
二、曲线上某点曲率半径的定义在向心加速度公式2n v a ρ=中ρ为曲线上该点的曲率半径。
圆上某点的曲率半径与圆半径相等，在中学物理中研究圆周运动问题时利用了这一特性顺利地解决了动力学问题。
我们应该注意到，这也造成了对ρ意义的模糊，从而给其它运动的研究，如椭圆运动、抛体运动、旋轮线运动中的动力学问题设置了障碍。
曲率半径是微积分概念，中学数学和中学物理都没有介绍。
曲率k 是用来描述曲线弯曲程度的概念。
曲率越大，圆弯曲得越厉害，曲率半径ρ越小，且1kρ=。
这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。
二、曲线上某点曲率半径的确定方法1、 从向心加速度n a 的定义式2n v a ρ=出发。
将加速度沿着切向和法向进行分解，找到切向速度v 和法向加速度n a ，再利用2n v a ρ=求出该点的曲率半径ρ。
例1、将1kg 的小球从A 点以10/m s 的初速度水平抛出，设重力加速度210/g m s =，求：(1)在抛出点的曲率半径； (2)抛出后1s 时的曲率半径。
解析: (1)初时在A 点向心加速度210/n a g m s ==，方向竖直向下，所以小球在曲线上A点的曲率半径10A m ρ=(2)如图，抛出后1s 时到达B点，切向速度/v s =，045α=.向心加速度02cos45/n a g s == 小球在B点的曲率半径B ρ=2、已知曲线()y f x =，由322(1)y y ρ'+=''可得某点曲率半径。
证明：对于任意曲线()y f x =，均可理解为x 方向的匀0x a =0x v v =n y a a =2n v a ρ==例224x ay =的抛物线，点O 、抛物线顶点时速度大小v 抛物线24x ay =aa x y y a v n 21))2(1()1(2322322+='''+==ρ 在原点O ，0x =，所以2a ρ=。
而此时2v F mg mρ-=，所以2F mg =。
3、矢量分解法求椭圆22221x y a b+=的长轴与短轴端点的曲率半径(已知长半轴和短半轴分别为a 和b )。
如图所示，设质点在M 平面内沿椭圆轨道以速率v 运动。
这个运动在1M 平面的一个分运动轨道恰成半径为b 的圆，则两平面间夹角arccos baθ=。
对于椭圆上A 点，设曲率半径为A ρ，质点以线速度v 通过A 点，则该点的向心加速度2A Av a ρ=(1)对A 在1M 平面上的投影1A 点，其线速度为v ,向心加速度1A a 为A a 沿1M 平面方向分量，则2A b v a a b= (2)比较(1)、(2)两式可得222Aav v b ρ=,2A a b ρ=同理，对B 点及其投影1B 点有2B Bva ρ=, 21()B B bv a a a b ==即2B a bρ=4、构造运动法构造两个相互垂直的分运动，写出分运动表达式。
如图所示为椭圆22221x y a b += ，求椭圆上A 、B 两点处的曲率半径。
解：椭圆22221x y a b+= ，可以看成是两个函数的合成。
cos x a t ω= , sin y b t ω=即可进一步写出x ,y 两个方向的速度v 和加速度a 则sin x v a t ωω=- , cos y v b tωω= 2cos x a a t ωω=- , 2sin y a b tωω=-在(,0)A a 处00t ω=，y v b ω=，2x a a ω=- ,求得A 处的曲率半径为22yA x v b a aρ==在(0,)B b 处2t πω=，x v a ω=-，2y a b ω=- ,求得B 处的曲率半径为22x B y v a a bρ== 5、利用开普勒第二定律和机械能守恒定律求椭圆的曲率半径例3、地球m 绕太阳M （固定）作椭圆运动，已知轨道半长轴为A ，半短轴为B ，如图所示，试求地球在椭圆各顶点1、2、3的运动速度的大小及其曲率半径． 解：对顶点1、2，由机械能守恒定律有22121122Mm Mmmv G mv G A C A C-=--+ (1) 根据开普勒第二定律有12V A C V A C -=+（）（） (2) (2)式中C =由(1)(2)式解得1V2V 由万有引力提供向心力得2121mv MmG A C ρ=-（）(3) 2222mv MmG A C ρ=+（）(4) 解得212B Aρρ==对顶点3，由机械能守恒得22311122Mm Mmmv G mv GB A C-=--(5) 将1υ代入(5)得3v =同样可得23A Bρ=例4、已知抛物线22(0)y px p =>，求其任意一点的曲率半径。
解、设有图甲所示抛物线22(0)y px p =>，为求其上某点例如(,)2pp 点处的曲率半径，可设想一质点以速度0v 做平抛运动，平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向自由落体运动的合成，设运动t 时间质点水平位移s ，竖直下落高度h ,则0s v t = 212h gt =消去t ， 得222v s h g= 可知平抛物体运动的轨迹为一条抛物线，如图乙所示。
若取20v p g=，则该轨迹即是旋转了090的抛物线22y px =。
取平抛轨迹上任意一点P ，该点速度为v ,与水平成θ角，加速度为g ，该点曲率半径以ρ表示，向心加速度是g的分量且有2cos v g θρ=根据运动的合成，式中2202v v gh =+cos θ=则有3222200322(1)22(1)g v h v ghv v gg h p pρ++===+将变量s 、h 对应于y ,x .则抛物线上各点的曲率半径为3212(1)h R p k p==+将2px =代入，指定点曲率半径为. 例5、旋转半径为r 、螺距为h 的等距螺旋线,曲率半径ρ处处相同。
试用运动学方法求解ρ值。
解、设物体以0v 做匀速率的圆周运动、同时以h v 沿垂直于0v 方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有02hr hv v π=， 尽管螺旋线是一条三维空间的曲线，但可以利用与二维平面曲率半径相类似的原则来确定螺旋线的曲率半径。
因为在三维曲线上取一小线元，当线元趋于零时，必将趋于同一平面上的小圆弧，对应的圆弧半径就是在该处的曲率半径。
由此可写出法向加速度。
由于速率v 不变，无切向加速度。
设曲率半径为ρ，则有22200hn v v v a r ρ+==ρ=例6(1)(2)解、(sin )(1cos )x OA PB R y O A O B R ϕϕϕ=-=-''=-=-这就是参数为ϕ的滚线轨道方程。
(2)0v =p v =(1)P()P PP P v v v v a t t t''∆∆+∆===∆∆∆ 此处已利用0v 是常量，轮心作匀速运动。
Pv '是P 点相对O '点的相对速度。
此式说明，由于牵连加速度为零，绝对加速度等于相对加速度。
且22P v a R Rω==方向由P 指向O '。
因此，P 点的法向加速度为20()sin()sin()22P n p v a a R ϕϕ=⋅= (2)这里P 点处曲线的法向为AP 方向。
由式(1)和(2)，得P 点曲率半径为2220()204sin ()24sin()()2sin()2PP n v v R R a v ϕϕϕρϕ=== 这就是各ϕ处曲线的曲率半径。
几个特殊点的曲率半径：(0)0ρ=()2πρ=()4R πρ=（曲线的最高点）例7、与水平方向成角α以初速度0v 抛出石块，石块沿某一轨迹运动，H 为石块上升的最大高度，如果一只鸟以大小恒定的速度0v 也沿这轨迹飞行，求鸟飞到高度2H处的加速度。
空气阻力不计。
解、石块上升的最大高度由初速度的竖直分速度决定220sin 2v H gα=根据机械能守恒定律可求出石块在2H高度处的速度v 22011222H mv mg mv +⋅= 2220sin (1)2v v α=-速度v 与水平线的倾角ϕ（如图）由下式得出0cos cos =v v vvαϕ=水平 式中v 水平是石块的水平速度。
因而cos ϕ=垂直运动轨迹方向盘上的石块分加速度等于2=cos v g ϕρ式中ρ是在高度2H处轨迹的曲率半径，它等于 2cos v g ρϕ=由此可知鸟在这点的加速度为22003222cos cos sin (1)2v v g a g vϕαρα===⋅-(1）式中含θ和r 两个变量，须一一解出。
先用物理方法求曲率半径r 。
设某质点自原点O 沿抛物线向(2,2)位置运动（如图），其在y 轴分运动为匀速运动，速度设为0v ，则在y 轴上运动方程为0y v t =。
由22y x =可得质点在x 轴分运动为22012x v t =，所以质点在x 轴方向做初速为零，加速度为2x a v =的匀加速直线运动，参照图可知，质点沿半径r 方向分加速度20sin r a v θ=而在任何位置质点速度2222222200000()(1+)x y v v a t v v v y v ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+=+⋅= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由2r v a r=得221sin r v y r a θ+==将r 代入(1)式中得因为21tan 2(2)y y θ+=-将tan θ代入(2)式中，得方程334=0y y +- 解此方程，一个合理解为1y =，相应地12x =。
所以质点从(22)，滑下，将在1(1)2，处飞离抛物线。