高三数学周测2020年9月
【高中教育】2020高三数学9月月考试题文
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1。
设集合，，则( ){}2,1,0,1,2A =--{}|0B x x =<()R A C B =I A 。
B 。
C 。
D 。
{}2,1,0,1,2--{}0,1,2{}0,1{}12。
复数( )21i i =-A 。
B 。
C 。
D 。
1i +1i -1i-+1i --3。
若满足 ，则的最大值为(),x yA 。
B 。
C 。
D 。
124。
已知，，，则( )||2a =r ||1b =r 60oθ=()(2)b a b a -⋅+=r r r rA 。
B 。
C 。
D 。
6-673-+73--5。
已知等差数列中，，，则( ){}n a49a =424S =7a =A 。
B 。
37C 。
D 。
13156。
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A 。
B 。
3π43πC 。
D 。
12π48π7．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为A ．30B ．31C ．32D ．33 8．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨ A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 9．如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A 。
B 。
C 。
D 。
1410．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为( )0a >0b >1a121b9a b + A ．16 B ．9 C ．5 D ．411．函数(，是常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数，只需将函数的图象（ ）()()sin f x x ωϕ=+ωϕ0ω>2ϕπ<cos y xω=()()sin f x x ωϕ=+A ．向左平移个长度单位B ．向右平移个长度单位12π512πC ．向左平移个长度单位D ．向右平移个长度单位6π56π12．若命题：“存在，使成立”为假命题，则实数的取值范围为( )(0,)2x π∈02cos cos 32<+-x a x a y x 56π712π11-OA ．B ．C ．D ．]62,(-∞]22,(-∞]2,(-∞),62[+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等比数列中，，，则的前6项和为_______．{}n a 21a =58a =-{}n a14．若关于的不等式的解集为，则 ．x (2)()0a b x a b -++>{|3}x x >-ba =15．在直角中，，是边上的动点，，，则的最小值为_____________．ABC△=2BAC π∠H AB =8AB =10BC HB HC ⋅u u u r u u u r16．如图，在中，在线段上，==3，=2，=,则的面积为 。
2020届湖北省黄冈市高三9月调研考考试数学(理)试题Word版含答案
2020届湖北省黄冈市高三9月调研考考试数学（理）试题一、选择题1．设全集U R =，集合{|2},{||23|}x A x B x x ==-≤＞1，则()U A B ð等于（）A ．[1,0)-B ．(0,5]C ．[1,0]-D ．[0，5]2．下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的是（）A ．2y x =B ．||2x y =C ．y =logD ．3.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列正确的是（ ）A ．若αα//,//n m ,则n m //B 若,αγβγ⊥⊥,则α∥βC 若βα//,//m m ,则βα//D 若,m n αα⊥⊥,则m ∥n4.函数f(x)＝x 2(2x -2-x)的大致图像为（ ）A5.（A （B （C （D 6．函数y=a x （a ＞0，a ≠1）与y=x b 的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．b a ＞0B ．a+b ＞0C ．a b ＞1D ．log a 2＞b7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（)．π24+ D ．π+4 8．.若向量,a b 的夹角为π3，且2,1a b ==，则向量a 与向量2a b +的夹角为（ ）A 后不变，问几日相逢？”，意思是“今有土墙厚12.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后每天打洞长度不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为（）A.2B.3C.4D.510.下列说法正确的个数为（）②在△ABC 中，AB=1，AC=3，D 是BC 的中点，则AD BC ⋅=4③在ABC ∆中，A B <是B A 2cos 2cos >的充要条件；④已知：()min{sin ,cos }f x x x =，则()f x 的值域为A.1B.2C.3D .411．已知函数f (x )=a ln(x +1)－x 2，在区间（0，1）内任取两个数p,q,且p q,不等式恒成立，则实数a 的取值范围为 （）A ． + B.(3, C. + D.12.已知函数f (x ),若关于x 的方程f (f (x ))+m=0恰有两个不等实根x 1,x 2,则4x 1+x 2的最小值为（）A ． B.4-4ln2 C.2-ln2 D.2+ln2二、填空题13.()f x 是定义在R 上的函数，且满足，当23x ≤≤时，()f x x =，则14上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为． 15．设实数x ,y 满足条件,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)最大值为6，则的最小值为 16.已知数列中=1,n()=+1,n,若对任意的a,不等式<t 2+2at -1恒成立，则t 的取值范围为________三、解答题 17．已知向量p =(1,),q =()（1）若p,求－cos 2x 的值；（2）设函数f (x )= p ，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数g (x )的图像，求g －(x )的单调增区间。
湖北省黄冈市2020届高三数学9月质量检测试题理(扫描版)(最新整理)
黄冈市2020届9月调研试题高三数学参考答案（理科)一、选择题1。
C 2.C 3。
D 4。
A 5. A 6。
C 7. D 8。
D 9。
B 10。
B 11.B12.C二、填空题 13。
［—21，0)∪ (21，1] 14. —6 15。
－294<m <－3 16。
错误!三、解答题17。
（1） ∵┐q 为: ∃ x 0∈R ，x 02－2mx 0＋1＜0， …………2分∴命题┐q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4＞0，则m ＜-1或m ＞1. …………5分(2) 若命题p ∧q 为真命题，则p 真且q 真。
命题p 为真时,即方程]2,0[,01sin sin 22π∈=-+-x m x x 在上存在唯一实数根,转化为 ,]2,0[,1sin sin 22上存在唯一实数根在π++-=x x m …………6分令],2,0[,1sin sin 2)(2π∈++-=x x x x f 则.89)41(sin 2)(2+--=x x f …………7分 由]2,0[π∈x 知]1,0[sin ∈x , ∴],89.0[)(∈x f 作出图象， 由图可知时或89)1.0[=∈m m 方程存在唯一实数根. ……………8分 命题q 为真命题时，有Δ＝4m 2－4≤0,则－1≤m ≤1.所以当p ∧q 为真命题时，m 的取值范围是［0，1)。
…………10分18。
解（1）()cos()f x x ωωϕ'=+，()sin()cos()g x x x ωϕωϕ=++，max ()2,0,1g x ωω==>∴=,又()g x 奇函数，(0)sin 0,g ϕϕ=+=0ϕπ<<,23πϕ∴=，2()2sin()2sin 33g x x x ππ∴=++=- ……6分 （2）tan ()2,tan 2B a g A π==-=且cos sin 2sin cos A B A B =,sin 2sin ,sin sin b B B b a A A == sin sin(A B)sin cos cos sin 3sin cos C A B A B A B =+=+=,B B B B A AB C ab S ABC 2sin 3cos sin 6cos sin 3sin sin 2221sin 21==⨯⨯⨯==∆ 故当4B π=时ABC ∆的面积最大值为3. …………12分19。
湖北省黄冈市2020届高三数学9月质量检测试题文（含解析）
湖北省黄冈市2020届高三数学9月质量检测试题文（含解析）如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！湖北省黄冈市2020届高三数学9月质量检测试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x|lg（x+1）≤1}，则（?R A）∩B=（）A. B. C. D.2.若a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.3.设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，若S1+3S2-S3=0，且a1=1，则a4=（）A. 9B. 18C. 21D. 274.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是（）A. 1B.C. 1 或D. 2 或5.在等腰直角三角形ABC与ABD中，∠DAB=∠ABC=90°，平面ADB⊥平面ABC，E，F分别为BD，AC的中点．则异面直线AE与BF所成的角为（）A. B. C. D.6.已知函数f（x）=x3-3x2+3x-1，则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为（）A. B. C. D.7.已知圆C与直线x+y+3=0相切，直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，则圆C方程为（）A. B. C. D.8.函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（）A. B.C. D.9.将函数f（x）=sin（2x-），若方程f（x）=的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），则sin（x1-x2）=（）A. B. C. D.10.椭圆与双曲线焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q的渐近线斜率是（）A. B. C. D.11.在等腰△ABC中，AB=AC，BC=6，向量，则的值为（）A. 9B. 18C. 27D. 3612.在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.若命题“?x0∈R，x02+mx0-3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是______．14.等差数列{a n}中，且a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，则a1-a2+a3-a4+a5-a6+……+a2019-a2020=______15.某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x年后该地区人均年占有ykg粮食，则函数y关于x 的解析式是______．16.若函数f（x）=m-x3+3ln x在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为______三、解答题（本大题共6小题）17.已知命题p：?x0∈R，-x02+2x0-2m＞0，q：?x∈R，x2-2mx+1≥0．（1）若命题￢q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨（￢q）为真命题，求实数m的取值范围．18.设函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数，若为奇函数，且对任意的x∈R有g（x）≤2．（1）求g（x）的表达式．（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，求△ABC的面积最大值．19.已知数列{a n}满足：，a n≠1且a1=2（1）证明数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n．如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！20.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）．（1）若函数f（x）的最小值为f（-1）=-1，且c=1，，求F（3）+F（-3）的值；（2）若a=3，c=1，且|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立，试求b的取值范围．21.某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD草坪如下图所示，已知：AB=120米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，要求点O是AB的中点，点E在边BC上，且∠EOF=90°．（1）设∠BOE=α，试求△OEF的周长l关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．22.已知函数f（x）=a（x+ln x）-xe x．（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）若f（x）＜0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x＜-1，或x＞3}，B={x|0＜x+1≤10}={x|-1＜x≤9}，∴?R A={x|-1≤x≤3}，（?R A）∩B={x|-1＜x≤3}．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域和单调性，以及交集、补集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵a＞b，∴2a＞2b，ln（a-b）与0的大小关系不确定，|a|与|b|的大小关系不确定．根据函数f（x）=在R上单调递增，可得＞．则下列不等式恒成立的是C．故选：C．利用函数的单调性即可判断出正确．本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，是基础题．设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由已知列式求得q，再由等比数列的通项公式求a4．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由S1+3S2-S3=0，且a1=1，得1+3（1+q）-（1+q+q2）=0，即q2-2q-3=0，解得q=3或q=-1(舍去)∴．故选D．4.【答案】A【解析】解：依题意，设圆心坐标为（a，b），则P点坐标为（a，0）则圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=b2，M，N两点在圆上，所以，解得或者（舍），故P点的横坐标为1，故选：A．根据米勒问题的结论，P点应该为过M，N的圆与x轴的切点，结合几何关系求解即可．本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！5.【答案】C【解析】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），D（0，0，1），E（0，），C（1，1，0），F（，0），=（0，），=（，0），设异面直线AE与BF所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=．故选：C．以A为原点，在平面ABC内过A作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BF所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.【答案】A【解析】解：求导函数，可得f′（x）=3x2-6x+3∴f′（2）=3，∵f（2）=1；∴y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-1=3（x-2），即3x-y-5=0；故选：A．求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，即可得到切线方程；本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：∵直线mx+y+1=0始终平分圆C的面积，∴直线mx+y+1=0始终过圆的圆心（0，-1），又圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的半径r=．∴圆C的方程为x2+（y+1）2=2，即x2+y2+2y=1．故选：D．由已知可求圆心坐标，再由点到直线的距离求得半径，则圆的方程可求．本题考查直线系方程的应用，考查圆的方程的求法，是基础题．8.【答案】C【解析】解：f（-x）==-=-f（x），∴f（x）为奇函数，故排除A，B，当x=时，f（）=＞0，故排除D，故选：C．先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．9.【答案】A【解析】解：因为0＜x＜，所以．又因为方程的解集为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），所以，所以，所以．因为x1＜x2，，所以，所以，由，得所以．故选：A．解：由已知可得，结合x1＜x2求出x1的范围，再由=求解即可．本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属中档题．10.【答案】B【解析】解：椭圆与双曲线焦点相同，可得焦点坐标（，0），椭圆的离心率为：，双曲线的c=，这两条曲线的离心率之积为1，所以双曲线的离心率为：===，解得m=2，则n=．双曲线Q的渐近线斜率是：±．故选：B．求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线Q的渐近线斜率．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，是基本知识的考查．11.【答案】A【解析】解：由题意如图：在等腰△ABC中，AB=AC，BC=6，向量，D为AC的中点，可作AE⊥BC，E为BC的中点，DF⊥BC，F为CE的中点，所以==6×=9．故选：A．画出图形，利用向量的数量积转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，数形结合的应用，是基本知识的考查．12.【答案】B【解析】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ=（λ+μ）（）=1+≥1+=当且仅当μ=λ时取“=”，则λ+μ的最小值为故选：B．根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得2λ+μ的最小值．如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，是中档题．13.【答案】m∈?【解析】解：∵命题“?x0∈R，x02+mx0-3＜0”为假命题，∴其否定“?x∈R，x2+mx-3≥0”为真命题．则△=m2+12≤0，得m∈?．故答案为：m∈?．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．本题考查命题的真假判断与应用，考查二次不等式恒成立问题，体现了“三个二次”的结合在解题中的应用，是基础题．14.【答案】-1010【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，∴3d=5-2，3a1+3d=2，解得d=1，a1=-，∴a n=-+n-1=．∴a2n-1-a2n=-1．则a1-a2+a3-a4+a5-a6+……+a2019-a2020=-1010．故答案为：-1010．设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2+a3=2，a2+a3+a4=5，可得3d=5-2，3a1+3d=2，进而得出a2n-1-a2n，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】y=420?（）x，x∈N*【解析】解：设该地区人口为m，粮食产量为n，则=420，x年后，该地区人口数为m?（1+1%）x=m?（1.01）x，x年后，该地区的粮食产量为n?（1+5%）x=n?（1.05）x，故x年后，该地区人均占有粮食为=420?（）x．故答案为：y=420?（）x，x∈N*．设现在人口为m，粮食产量为n，分别求出x年后的人口和粮食产量，得出人均占有量．本题考查了指数函数的应用，函数解析式求解，属于基础题．16.【答案】（1，3+]【解析】解：f′（x）=-3x2+=，x∈[，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；f（x）max=f（1）=m-1，f（）=m--3，f（e）=m-e3-3，∵f（x）在上有两个不同的零点，则，解得，1＜m≤3+，故答案为：（1，3+]．f′（x）=-3x2+=，x∈[，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，进而求解；考查函数求导，函数单调区间，函数在特定区间上的极值，二分法求函数的零点；17.【答案】解：（1）∵￢q为：?x0∈R，x02-2mx0+1＜0，∴命题￢q为真命题时，有△1=4m2-4＞0，则m＜-1或m＞1；（2）若p∨（￢q）为假命题，则p假q真．由?x0∈R，-x02+2x0-2m＞0为假知，?x∈R，-x2+2x-2m≤0为真，则△2=4-8m≤0．∴m≥；命题q为真命题时，有△1=4m2-4≤0，则-1≤m≤1．所以当p∨（￢q）为假命题时，m的取值范围是[，1]，则p∨（￢q）为真命题，实数m的取值范围是（-∞，）∪（1，+∞）．【解析】（1）写出￢q，由判别式大于0，解不等式可得所求范围；（2）由p∨（￢q）为假命题，则p假q真，分别运用判别式小于等于0，解不等式，求交集，再求补集可得所求范围．本题考查命题的真假判断，考查不等式成立和恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于基础题．18.【答案】解（1）函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），y=f′（x）是y=f（x）的导函数，所以f′（x）=ωcos（ωx+φ），则=sin（ωx+φ）+ωcos（ωx+φ）由于对任意的x∈R有g（x）≤2．所以，解得ω=1．由于函数g（x）为奇函数，所以g（0）=sinφ+cosφ=0，由于0＜φ＜π，所以φ=，则．（2）由于=2，且cos A sin B=2sin A cos B，，b=sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=3sin A cos B．所以?3sin A cos B=3sin2B，当B=时，S△ABC的最大值为3．【解析】（1）首先利用函数的导数求出函数的关系式，进一步求出函数的A，ω和φ的值．（2）利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）证明：由，得==1+，可得-=1，即数列是以=1为首项，1为公差的等差数列，且=1+n-1=n，则a n=1+；（2）=n?2n，∴S n=1?2+2?22+3?23+…+n?2n，①2S n=1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，②①-②得-S n=2+22+23+…+2n-n?2n+1=-n?2n+1，则S n=2+（n-1）?2n+1．【解析】（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得=n?2n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由已知c=1，a-b+c=-1，且-=-1，解得a=2，b=4，∴f（x）=2（x+1）2-1；∴F（x）=，如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！∴F（3）+F（-3）=2×（3+1）2-1+1-2×（-3+1）2=24；（2）由a=3，c=1，得f（x）=3x2+bx+1，从而|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立，即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立．又y=-3x在（0，2]递减，可得其最小值为-，y=--3x=-3（x+）≤-6，当且仅当x=1时，取得等号，可得其最大值为-6．∴-6≤b≤-．故b的取值范围是[-6，-]．【解析】（1）由题意可得a，b，c的方程组，解方程可得a，b，c的值，进而得到F （x）的解析式，可得所求和；（2）求得f（x）=3x2+bx+1，|f（x）|≤2在区间（0，2]上恒成立等价于-2≤3x2+bx+1≤2在区间（0，2]上恒成立，即b≤-3x且b≥--3x在（0，2]上恒成立．由函数的单调性和基本不等式可得不等式右边函数的最值，由不等式恒成立思想可得所求范围．本题考查二次不等式的解析式求法，以及不等式恒成立问题解法，考查参数分离和函数的单调性的运用，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意，在Rt△BOE中，OB=60，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=，Rt△AOF中，OA=60，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF===，所以l=OE+OF+EF=++，即l=．当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为．（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈，设sinα+cosα=t，则sinα?cosα=，∴l===．…………（8分）由α∈，得≤α+≤，得≤t≤，∴≤t-1≤-1，从而+1≤≤+1，当α=，即BE=60时，l min=120（+1），答：当BE=AF=60米时，铺路总费用最低，最低总费用为36 000（+1）元．【解析】（1）结合勾股定理通过l=OE+OF+EF，得到l=．注明函数的定义域．（2）由题意知，要求铺路总费用最低，设sinα+cosα=t，转化求解△OEF的周长l的最小值即可．本题考查实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力．22.【答案】解：（1）函数定义域为（0，+∞），当a=1时，f （x）=x+ln x-xe x，由f′（x）=1+-（x+1）e x=（x+1），令f′（x）=0，?x0∈（0，+∞），使1-x0e=0，当x∈（0，x0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减；∴f（x）极大值=f（x0）=x0+ln x0-x0e，由f′（x0）=0知x0e=1，∴e=，∴ln e=ln，即x0+ln x0=0，故f（x）极大值=-1，（2）由f′（x）=a（1+）-（x+1）e x=，（x≥1），①当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，f （x）≤f（1）=a-e＜0满足题意；②当0＜a≤e时，∵x≥1，a-xe x≤0，f′（x）≤0．∴f（x）在区间[1，+∞）单调递减，f（x）max=f（1）=a-e＜0，∴0＜a＜e；③当a＞e时，?x0∈（1，+∞）使x0e-a=0，当x∈（1，x0）时，f（x）单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f（x）单调递减；∴f（x）max=f（x0）=a（x0+ln x0）-x0e=a（ln a-1）＞0，∴f （x）＜0不恒成立．综上所述，实数a的取值范围是（-∞，e）．【解析】（1）当a=1时，f（x）=x+ln x-xe x，f′（x）=1+-（x+1）e x=（x+1），进而求解；（2）f′（x）=a（1+）-（x+1）e x=，（x≥1），继而判断导函数的符号，进而求解．（1）考查函数求导，利用导函数确定函数的极值点；（2）考查不等式在特定区间上恒成立问题的转化，分类讨论的思想，将恒成立问题转化为求函数的极值问题．。
山东省潍坊市2020届高三数学9月月考试题(扫描版)
山东省潍坊市2020届高三数学9月月考试题（扫描版）2019-2020学年高三阶段性监测数学参考答案2019.10一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5 CDABC 6-10 ADDBB二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11.AD 12.ABC 13.ABCD三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.14. 2000,0x R x x π∃∈-< 15.x y -= 16.1317. 2；四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--= …… 2分∴2k =. …… 4分（2）()(>01)x x f x a a a a -=-≠且 10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a a a f 且又 ， ……6分 而x y a =在R 上单调递减，x y a -=在R 上单调递增，故判断()x x f x a a-=-在R 上单调递减， ……8分 不等式化为2()(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-，2(1)40x t x ∴+-+>恒成立， 2(1)160t ∴∆=--<，解得35t -<<. ……12分19.解：（1）由24120x x --≤，得26x -≤≤. 故集合{|26}A x x =-≤≤……2分由2244=0x x m --+，得1=2+x m ，2=2x m -.当0m >时，22,m m -<+由22440x x m --+≤得22,m x m -≤≤+故集合{|22}B x m x m .=-≤≤+ ………4分当0m <时，22,m m ->+由22440x x m --+≤得：22,m x m +≤≤-故集合{|2+2}B x m x m .=≤≤- ………6分当=0m 时，由2440x x -+≤得2x =故集合{}2B x x .== ………8分 (2) x A ∈是x B ∈成立的充分不必要条件，[2,6]∴-是[2,2]m m -+的真子集， ………………………10分则有222226m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥， …………………………12分又当4m =时，[2,2][2,6]m m -+=-，不合题意，……………………13分∴实数m 的取值范围为(4,)+∞. ………………………14分20. 解:（1）MN 与平面1D CE 平行. ………1分证明如下：分别在平面AE D 1和平面BCE 内作AE MG //交E D 1于点G ，//NH BC 交CE 于点H ，连接GH .NH MG BC AE //,//∴ .设=(0DM EN x x =<<在1MGD Rt ∆中，145D MG ︒∠=, 则x GE x MG 222,22-=∴=， 同理可求x NH 22=，NH MG =∴， 即四边形MNHG 是平行四边形. ..............3分GH MN //∴.EC D GH EC D MN 11,⊂⊄ EC D MN 1//∴........4分（2）证明： 平面⊥AE D 1平面ABCE ，AE E D ⊥1，∴CE E D ⊥1.................5分在EC D Rt 1∆中，x EH x GE 22222=-=， 2)2(21)222(222+-=+-=∴x x x GH ）（220<<x ..........................7分 当2=x时，min MN 此时N M 、分别是1AD 和BE 的中点...................8分（3）以E 为坐标原点，分别以1ED EC EA 、、所在直线为z y x ,,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，)0,2,2(),0,0,2(),0,0,0(B A E ，)2,0,0(),0,2,0(1D C ，)0,1,1(),1,0,1(N M .11(1,0,1),(1,1,2),D M D N ∴=-=-),0,1,1(),1,0,1(==∴...................10分 设),,(111z y x m =是平面MN D 1的一个法向量， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011D D 可得⎩⎨⎧=-+=-02011111z y x z x .取11=z ，可得)1,1,1(=m ................11分 设),,(222z y x n =是平面EMN 的一个法向量， 由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EM n 可得⎩⎨⎧=+=+002222y x z x .取12=z ，可得)1,1,1(-=n .......................12分 1cos ,3||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅， ∴平面MN D 1与平面EMN 所成角（锐角）的余弦值31. ......................14分 21.解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500).……………2分 (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--,其定义域是(6,500).……………6分 （2）150003030(6)3030303023002430,S x x x x=-+≤-=-⨯= 当且仅当15000=6x x，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，max 5060,2430.x y S ===，答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米..………………………………………14分22.解:（1）22(2)(2)(1)()2(2)==(0)a x a x a x a x f x x a x x x x----+'=--->....2分 当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，所以，函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；..............4分当0a >时，由()0f x '>，得2a x >；由()0f x '<，得02a x <<. 所以，函数()f x 的单调增区间为(,)2a +∞，单调减区间为(0)2a ，. ..............6分 （2）由（1）知：如果函数()f x 有两个零点，则0a >，且()02a f <， 即244ln 02a a a a -+-<，即：4ln 402a a +->，...........................................8分 令()4ln 4,2a h a a =+- 可知()h a 在区间(0,)+∞内为增函数，且(2)20,h =-<381(3)4ln 1ln 10,216h =-=-> .....................................................12分所以存在00(2,3),()0,a h a ∈=当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以，满足条件的最小正整数3.a = .....................................................14分23.解：（1）系统G 不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=. …………2分（2）设X 为维修的系统G 的个数，则1(3,)2X B ，且500Y X =，所以3311(500)()()(),0,1,2,322k k kP Y k P X k C k -====⋅⋅=.………………4分所以Y所以Y 的期望为()50037502E Y =⨯⨯=元………………………………6分（3）当系统G 有5个电子元件时，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作， 则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=； ………………………8分若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-；……10分若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=. ………………………12分所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+，于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以提高整个系统G 的正常工作概率. ……………………………………14分。
黄冈市2020年高三年级9月质检 数学试卷数学参考答案及评分标准
n1
n
an 2n 1(n 2)
………………2 分
又 n=1满足等式，从而 an 2n 1
………………6 分
（2） bn
2n 1 2n ，
Sn
1 2
3 22
5 23
2n 1 2n
1 2
Sn
1 22
3 23
2n 3 2n +
2n 1 2n +1
即有：
1 2
Sn
1 2
2 22
2 23
2 2n
2n 1 2n+1
x2
ln
x2
(m
m 1
1)e x
x
x
即 f (ln x2 ) f ( m 1) x
由 m 0知， m 1 1 ，由①可知， f (ln x2 ) f ( m 1)
x
x
………………8 分
ln x2 m 1 x
即： m 2x ln x x .令 h(x) 2x ln x x, x e
………………4 分
由 0 知： sin(C π) 1, 即有： C π , c 2
6
3
.………………6 分
（2）方法一：依正弦定理，有
a sin
A
c sin
π
,
a
4 sin A 同理 3
3
b 4 sin(2 π A) 33
从而有： SABC
1 2
ab sin C
43 3
sin
A sin( 2 3
从而 f (x) 的单调递增区间为1, ，单调递减区间为 , 1. …………4 分
（2） x e ，
g(
x)
0
恒成立，即
湖北省荆州中学2020届高三9月双周考数学(理)试题(pdf版)
22．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
3
2t 2
( t 为参数)．在极坐标系(与直角坐
y
5 2t 2
标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的极坐标方程为
2 5 sin ．
(1)求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程；
．
4195
10
xi x ui u
i 1
9.00
20．已知抛物线 C1：y2 4x 和 C2：x2 2 py( p 0) 的焦点分别为 F1,F2 ，点 P(1, 1) 且 F1F2 OP ( O 为坐标原点)． (1)求抛物线 C2 的方程； (2)过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M ，交 C2 的左半部分于点 N ，求 PMN 面积的最小值．
2
18．设矩形 ABCD 中，AD 4 ，AB 2 2 ，点 F 、E 分别是 BC 、CD 的中点，如图 1.现沿 AE 将 AED 折起，使点 D 至点 M 的位置，且 ME MF ，如图 2. (Ⅰ)证明： AF 平面 MEF ； (Ⅱ)求二面角 M AE F 的余弦值.
A.(,9 ] 4
B.(,7 ] 3
C.(,5 ] 2
D.(,8] 3
12．若曲线 C1：y ax 2 与曲线 C2：y e x (其中无理数 e 2.718 )存在公切线，则整数 a 的最值情况
为
A. 最大值为 2，没有最小值
B. 最小值为 2，没有最大值
C. 既没有最大值也没有最小值
江西省万载县2020届高三数学9月周考试题 文(无答案)
江西省万载县2020届高三数学9月周考试题 文（无答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）1．设集合B A x x B A 则},31|{},4,3,2,1{ = （ ）A ．{1，2}B ．{－1，3}C ．{1}或{2}D ．2. 设i 是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． “a b ”是“e e ab”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．已知ABC 的三个顶点A B C 、、及平面内一点P 满足：0PA PB PC u u u r u u u r u u u r r ，若实数 满足：AB AC AP u u u r u u u r u u u r，则 的值为 ( )A.32 B.32C. 2D. 35．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．12 B ．815 C ．1631 D ．16296．若非零向量,a b r r满足23a b a b r r r r ，则向量,a b r r夹角的余弦值为 （ ）A ．8B ．4C ．4D ．87．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 （ ） A ．13 B ．12 C ．1 D ．328. 已知12()2cos ,,()2,()0,12f x x x R f x f x又且12x x 的最小值是53，则正数 的值为 ( ) A ．103 B ．35 C ． 310 D ．539．已知函数2()2ln f x x x ，若关于x 的不等式()0f x m 在 1,e 上有实数解，则 （ ） A ．22m e B ．1m C ．22m e D ．1m10．四面体的一条棱长为x ，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为 （ ） A ．272 B ．92 C ．152D ．15 11．设函数 11,0,0xx e x x f x e x x 则使得 cos sin f f 成立的 的取值集合是（ ）A ．22,44k k k ZB ．,44k k k ZC ．322,44k k k ZD ．3,44k k k Z12．已知△ABC中，2,4AB AC BC ，BC 上有异于端点,B C 的两点,E F ，且1EF ，则tan EAF 的取值范围是 （ ）A． B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中横线上．13．不等式组0,,290x y x x y所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x 与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．14．已知△A BC 中，内角A ，B ，C 的的对边分别为,,a b c ，sin sin ()sin a A b B c b C ， 且4bc ，则△ABC 的面积为 ．15．已知函数()3xf x ae x ＋1的图象在点 0,(0)f 处的切线方程为y x b ，则b ．16. 已知对任意实数x ，二次函数2()y ax bx c a b 的值均为非负实数，则b aa b c的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知函数)()21(15),212(3)2(1)(R x x x x x x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最小值；（Ⅱ）已知R m ，命题:p 关于x 的不等式22)(2m m x f 对任意R x 恒成立；命题:q 函数x m y )1(2 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a ，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S 2()n ． （Ⅰ）求证：数列1n S是等差数列； （Ⅱ）证明：当2n 时，1231113 (232)n S S S S n ．19. （本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，向量(,2)m b c a u r，(cos ,cos )n B A r，且m ∥n .（Ⅰ）求a cb的取值范围； （Ⅱ）已知BD 是ABC 的中线，若2BA BC u u u v u u u v，求||BD uuuu r 的最小值．20.（本小题满分12分），已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a，E 是BC 的中点，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE ，使面1B AE ⊥面AECD ，,F G 分别为1,B D AE 的中点． （Ⅰ）求三棱锥1E ACB 的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥平面ACF ； （Ⅲ）证明：平面1B GD ⊥平面1B DC ．21.（本小题满分12分）已知33sin cos y , sin cos x ， （Ⅰ）把y 表示为x 的函数 y f x 并写出定义域; （Ⅱ）求 y f x 的最值.（Ⅲ）设()f x 为()f x 的导函数，求函数()()xg x f x e 的最小值.22.（本题满分12分）已知常数0a ，函数 2ln 12xf x ax x． （Ⅰ）讨论 f x 在区间 0, 上的单调性；（Ⅱ）若 f x 存在两个极值点1x ，2x ，且 120f x f x ，求a 的取值范围．（ 附：()ln()g x mx n ()mg x mx n）。
2020届河南省百校联盟高三9月联合检测数学(文)试题(解析版)
2020届河南省百校联盟高三9月联合检测数学（文）试题一、单选题1．复数212i z i-=+的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B【解析】试题分析：2(2)(12)512(12)(12)5i i i i z i i i i ----====-++-，虚部为1-．故选B ． 【考点】复数的概念．2．已知集合()(){}140M x Z x x =∈+-<，{}30N x x =->，则M N ⋂等于（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}2,3D ．{}13x x -<< 【答案】B【解析】根据一元二次不等式、一元一次不等式的解法，可得集合,M N ，然后根据交集的概念可得结果.【详解】由题可知： {}{}140,1,2,3M x Z x =∈-<<=，{}3N x x =<，所以{}0,1,2M N =I .故选：B【点睛】本题考查交集的概念以及一元二次不等式的解法，属基础题.3．已知2log 6a =，5log 3b =，0.82c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】容易得出0.82562,31,122log log ><<<，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】22log 6log 42a =>=Q ，55log 3log 51b =<=，00.8112222=<<=，即12c <<，所以b c a <<.故选：D ．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义，属于基础题． 4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为（ ）A ．13B ．23C ．14D ．34【答案】D【解析】所有基本事件个数为4，设事件A 为居民没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内，则A 事件个数为3个，从而得出该居民会被罚款和行政处罚的概率．【详解】厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果， 故会被罚款和行政处罚的概率为34. 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型的概率公式，属于基础题．5．设直线l 为平面α外的一条直线，则l α⊥的充要条件是（ ）A ．α内有无数条直线都与l 垂直B ．α内有两条相交直线都与l 垂直C ．l ，α垂直于同一条直线D ．l ，α垂直于同一平面【答案】B 【解析】根据线面垂直的判定定理以及性质定理，结合充要条件的概念，可得结果.【详解】由线面垂直的判定定理知：α内两条相交直线都与l 垂直是l α⊥的充分条件；由线面垂直的性质定理可知：若l α⊥，则α内任意一条直线都与l 垂直，所以α内两条相交直线都与l 垂直是l α⊥的必要条件故选：B【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理以及性质定理，识记定理的概念，属基础题. 6．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现.计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现.若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级30%，C 等级30%，D 、E 等级共25%.现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生中一共有（ ）A ．30人B ．45人C ．60人D ．75人【答案】B【解析】根据分层抽样的概念以及获得A 或B 等级的比例，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：获得A 或B 等级的学生所占比例：15%30%45%+=获得A 或B 等级的学生中一共有：10045%45⨯=人.故选：B【点睛】本题考查分层抽样的概念，识记简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念，属基础题.7．设函数()21,01,0x x f x x -⎧-≤⎪=>且()23f a =，则()2f a +=（ ） A ．2B ．3C ．2或3D ．3【答案】C【解析】对a 分类讨论，代入解析式，求出a ，即可得出结论.【详解】当0a >时，(2)13f a ==，解得2a =，(2)(4)3f a f +==；当0a ≤时，2(2)213a f a -=-=，解得1a =-，(2)(1)2f a f +==，所以(2)2f a +=或3.故选:C.【点睛】本题考查分段函数求值问题，在解题中充分体现了分类讨论思想、函数求值知识，属于基础题.8．已知非零向量a r ，b r 满足a k b =r r ，且()2b a b ⊥+r r r ，a r ，b r 的夹角为23π，则实数k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12【答案】A【解析】根据(2)b a b ⊥+r r r 即可得出(2)0b a b +=r r r g ，然后根据2||||,,3a kb a b π=<>=r r r r 进行数量积的运算即可得出22202k b b -+=r r ，再由20b ≠r 即可求出k ． 【详解】()2b a b ⊥+r r r Q ， ()22222cos ,0b a b b a b b a b a b ∴⋅+=+⋅=+=r r r r r r r r r r r ， 且0a ≠r ，0b ≠r ，22cos 03b a π∴+=r r ， 即1202b a -=r r ，4a b ∴=r r ， 4k ∴=.故选：A ．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题． 9．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法.由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13.5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是（ ）A ．94尺B ．95尺C ．96尺D ．97尺【答案】C 【解析】根据程序图可知其是对数从13.5开始一直累加到2.5，求出和即可．【详解】由程序框图可知， ()1213.5 2.513.512.511.5 2.5962S ⨯+=++++==L . 故选：C ．【点睛】 本题考查程序框图，运用了等差数列的求和公式，属于基础题．10．函数()()2ln 1x f x x －＝的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先求出函数的的定义域，结合函数奇偶性的对称性以及函数值的对应性进行排除即可．【详解】因为函数()()2ln 1x f x x -=，()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A 、C 选项； 又202f ==，()ln 3202f =>，故排除B 选项. 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性，对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =u u u r u u u u r ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B ．33C ．23D ．63【答案】B【解析】线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，可得1||||AB BF =．根据23AB F B =u u u r u u u u r ，12||||2BF BF a +=，可得2||2a BF =，2||AF a =．点A 是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作BC x ⊥轴，垂足为点C ．可得22AOF BCF ∆∆∽．利用性质可得点B 的坐标．代入椭圆方程可得离心率． 【详解】 由题意知1AB BF =，又23AB F B=u u u r u u u u r ，所以线段AB 过点2F 且222AF F B =，不妨设2F B m =，故122233F B AB AF F B F B m ==+==， 由椭圆定义可得1224F B F B a m +==，故212F B a =，132BF a =，2AF a =，122AF a AF a =-=， 故点A 为椭圆短轴的一个端点，不妨设()0,A b ，过点B 作BM x ⊥轴于M ，由2AOF ∆和2BMF ∆相似，又222AF F B =，可得122b MB AO ==， 所以点22122c F M F O ==，所以点3,22c b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入椭圆的方程可得22229144c b a b +=，解得2213c a =，即3e =. 故选：B ．【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、相似三角形的性质、方程的解法，考查了转化法、推理能力与计算能力．12．已知四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球O 的球面上，23AB AD CD ===，BC //AD ，60ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为（ ）A ．56πB ．54πC ．52πD ．50π 【答案】C【解析】采用数形结合，计算43BC =1O 为梯形ABCD 的外接圆圆心，分别过1O ，2O 作平面ABCD 、平面PAB 的垂线，交点为球心O ，计算OB ，可得结果.【详解】如图在等腰梯形ABCD 中，易知23AB AD CD ===又60ABC ∠=︒，可得43BC =BC 的中点1O ，可得BAC ∆与BDC ∆是直角三角形，所以梯形ABCD 的外接圆圆心是边BC 的中点1O ；又PAB ∆是等边三角形，其外接圆圆心2O 是等边PAB ∆的中心.分别过1O ，2O 作梯形ABCD 、PAB ∆所在平面的垂线，则两垂线的交点O 即是四棱锥P ABCD -的外接球球心， 且1OO 与2O 到边AB 的距离相等，则四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ， ()2221123113R OB BO OO ==+=+=所以球O 的表面积为2452R ππ=.故选：C【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，难点在于找到外接球的球心，考验分析能力，属中档题.二、填空题13．曲线()21ln y x x =+在点()1,0处的切线方程为__________.【答案】330x y --=【解析】求出原函数的导函数，得到函数在1x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．【详解】 求导可得212ln x y x x+'=+，故切线斜率为31y x '==， 故切线方程为()31y x =-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32z x y =-的最小值为__________.【答案】5-【解析】先画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最小值．【详解】如图所示，可行域为ABC ∆，其中()1,4A ，()1,1B ，()5,2C ，当直线32z x y =-经过点()1,4A 时，min 31245z =⨯-⨯=-.故答案为：5-．【点睛】本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧，二元一次不等式组表示平面区域，数形结合的思想方法，属基础题．15．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎛⎫⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值为__________. 【答案】32【解析】根据两角和的余弦公式、进行化简，结合辅助角公式，可得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 然后使用整体法，结合正弦函数的性质，可得结果.【详解】()12sin 2sin 22f x x x x =-- ()3sin 222f x x x =- ()12cos 222f x x x ⎫=+⎪⎪⎭()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为44x ππ-≤≤，所以22363x πππ-≤+≤. 当263x ππ+=-，即4πx =-时， sin 26x 骣琪+琪桫p取得最小值.即()f x 取得最大值. 所以()max 32f x =故答案为：32【点睛】 本题考查两角和的余弦公式，还考查正弦型函数的最值问题，掌握基本的三角函数的图像与性质，并学会使用整体法解题技巧，属基础题.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，离心率为32，直线):l y x c =-与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），OAF ∆和OBF ∆的面积分别记为1S 和2S ，则12S S =__________.【答案】17【解析】由于离心率公式和a ，b ，c 的关系，可设3c t =，2a t =，(0)t >，则b =，联立直线l 的方程和双曲线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，解方程可得A ，B 的纵坐标，由三角形的面积公式可得所求比值． 【详解】 离心率32c e a ==，可设3c t =，2a t =，(0)t >，则b =，直线:)l y x c =-即3x y t =+， 双曲线方程即为2225420x y t -=，联立直线l 的方程和双曲线的方程，消去x可得227750y t +-=，解得A y =，B y =-， 由于直线l 经过右焦点，可得121||1217||2A A B Bc y S y S y c y ===-， 故答案为：17． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且525S =，2a 是1a 和5a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2020k S ≥，求整数k 的最小值. 【答案】（1）21n a n =-；（2）45.【解析】（1）根据等差数列的性质，可得3a ，结合等比中项的应用，可得等差数列的公差，然后使用公式法，可得结果. （2）计算k S ，然后解不等式，可得结果. 【详解】（1）因为53525S a ==，所以35a =， 因为2a 是1a 和5a 的等比中项，所以2215a a a =，设公差为()0d d ≠，由题()()11211125124a d a d a d a a d +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以21n a n =-. （2）()21212n n n S n +-==，所以2k S k =，因为2441936=，2452025=由22020k ≥，故整数k 的最小值为45. 【点睛】本题考查等比数列、等差数列的简单应用，重在识记公式，简单计算，属基础题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos 02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周长. 【答案】（1）23B π=；（2）【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出B 的值．（2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果，进一步求出三角形的周长． 【详解】22cos (1cos())2A CB B AC +-=-++ ∵A B C π++=(1cos())(1cos )B A C B B -++=--cos 12sin 106B B B π⎛⎫=+-=+-= ⎪⎝⎭1sin 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566B ππ+=，23B π= 解法2：∵A B C π++=， 所以2223sin 2cos3sin 2cos 3sin 2sin 222A CB BB B B π+--=-=- 223sincos 2sin 2sin 3cos sin 0222222B B B B B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵(0,)B π∈，∴sin02B ≠，∴3cos sin 022B B-=∴tan32B =，∵0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴23B π=，∴23B π=（2）由（1）知23B π=，所以ABC V 的面积为123sin 43234ac ac π==，∴16ac = 因为2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得2232b ac ==，42b = 由余弦定理222222cos()323b ac ac a c ac π=+-⋅=+-= ∴2()3248a c ac +=+=，∴43a c += 所以ABC V 的周长为4243+ 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，且AB AC ⊥，点M 、N 分别为棱1CC 和BC 的中点.（1）证明：证明1A C //平面1ANB ； （2）求点M 到平面1ANB 的距离.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】（1）连结1A B ，交1A B 于点O ，根据中位线定理可得ON //1A C ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.（2）计算11,,B N MN B M ，可得1MN B N ⊥，根据MN AN ⊥，以及线面垂直的判定定理，可得MN ⊥平面1ANB ，计算MN 可得结果. 【详解】（1）连结1A B ，交1A B 于点O ，连结NO ， 则O 为1A B 的中点，如图因为N 为BC 的中点，所以ON //1A C ，又因为ON ⊂平面1ANB ，1AC ⊂/平面1ANB ， 所以1A C //平面1ANB ； （2）因为AB AC =，N 为BC 的中点 所以AN BC ⊥， 又三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱所以AN ⊥平面11BCC B ，MN ⊂平面11BCC B 所以AN MN ⊥，因为12AB AC AA ===，且AB AC ⊥， 所以22BC =2BN CN ==又190B BN ∠=︒，所以16B N = 又1190B C M ∠=︒，1122BC =11MC =，所以13B M =，因为90NCM ∠=︒，所以MN =，故22211B N MN B M +=，即1MN B N ⊥.又AN MN ⊥，1AN B N N =I ， 所以MN ⊥平面1ANB ，故点M 到平面1ANB 的距离即为线段MN . 【点睛】本题考查线面平行的判定以及点面距离，掌握线线、线面、面面之间的关系，掌握点面距的求法，一般使用等体积法和直接求法，属中档题.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线:1l y x =+与抛物线C 相切于点P ，过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点.过A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点.（1）求抛物线C 的方程； （2）求证：点M 在抛物线C 上. 【答案】（1）24y x =；（2）详见解析.【解析】（1）联立直线与抛物线的方程，0∆=，可得结果.（2）根据（1）得P 点坐标，假设Q 点坐标，使用中点坐标公式可得A ，进一步得到,N M ，然后将点M 代入验证，可得结果.【详解】（1）由()221212y x y p y y px=+⎧⇒=-⎨=⎩ 即2220y py p -+=①. 依题意：()2280p p ∆=-=. 解得2p =.所以抛物线C 的方程为：24y x =.（2）由2p =，代入①得2440y y -+=，解得2y =，代入切线l 得1x =，所以点()1,2P ，设(),Q m n ，则24n m =，所以12,22m n A ++⎛⎫⎪⎝⎭. 依题意：将直线22n y +=，代入直线l ， 得2,22n n N +⎛⎫⎪⎝⎭，则12,42m n n M +++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又24n m =，所以221241442m n n n n +++⎛⎫⨯=++= ⎪⎝⎭， 所以AN 的中点M 在抛物线C 上. 【点睛】本题考查抛物线的应用以及中点坐标公式，主要考查计算能力，一般来讲直线与圆锥曲线的结合，会联立方程，使用韦达定理以及∆，属基础题.21．随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准.某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值.） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0.2的概率； （2）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利1x 元，销售一份B 甜品获利2x 元，…，销售一份E 甜品获利5x 元，设123455x x x x x x ++++=，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过x 的概率. 【答案】（1）13；（2）710.【解析】（1）计算本月总共卖出份数以及利率高于0.2的份数，然后简单计算，可得结果.（2）计算每类甜品每份获利以及x ，然后利用列举法，列出“取出2种不同甜品”的所有可能结果，并计算“至少有一种甜品获利超过x ”的个数，最后根据古典概型可得结果. 【详解】（1）由题意知：本月共卖出3万份甜品， 利润率高于0.2的是A 甜品和D 甜品，共有1万份. 设“这份甜品利润率高于0.2”为事件A ， 则()13P A =. （2）由题意可得：每类甜品获利为8，5，3，10，3， 所以8531032955x ++++==，故A 甜品与D 甜品获利超过x ， 从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品 共有以下10种不同的等可能结果：{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},B C ， {},B D ，{},B E ，{},C D ，{},C E ，{},D E ，至少有一种甜品获利超过x 含有如下7种可能结果：{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},B D ， {},C D ，{},D E ，设“至少有一种甜品获利超过x ”为事件B ， 则()710P B =. 【点睛】本题考查概率，审清题意，简单计算，属基础题. 22．已知函数()()()11ln 2f x x ax x a R =--∈. （1）当12a =-时，求()f x 的单调区间； （2）当()1,x ∈+∞时，()1ln 2f x ax x >--恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；（2）[]1,0-.【解析】（1）利用导数，根据导数()'fx 的符号，判断原函数的单调性，可得结果.（2）化简式子并构造函数()()221ln h x ax a x x =-++，然后计算导数，并分类讨论，0a ≤，102a <<和12a ≥，判断()h x 单调性，并计算()max 0h x <，可得结果. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+， 当12a =-时，()211ln 24f x x x x =+-，()2'1112222x x f x x x x+-=+-=即()()()'212x x f x x+-=令()'0fx =，则1x =，当1x >时，()'0fx >；当01x <<时，()'0fx <.所以()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减. （2）()1ln 2f x ax x >--即为()2ln 2ax x f x --< 令()()22ln 2()21ln h x ax x f x ax a x x =---=-++， 根据题意：当()1,x ∈+∞时，()0h x <恒成立，()()()()'1211221x ax h x ax a x x--=-++=. ①若102a <<时 由1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()'0h x >恒成立， 所以()h x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2h x h a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符题意 ②若12a ≥时，由()1,x ∈+∞，()'0h x >恒成立，所以()h x 在()1,+∞上是增函数， 且()()()1,h x h ∈+∞，所以不符题意. ③当0a ≤时，由()1,x ∈+∞时，恒有()0h x '<， 故()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()10h ≤，即()210a a -+≤， 解得1a ≥-，故10a -≤≤. 综上：a 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于理解导数与原函数的关系，熟练使用分类讨论的方法，考验分析问题的能力，属中档题.。
2020届湖北省黄冈市高三9月质量检测数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省黄冈市高三9月质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<<【答案】C【解析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.2．若a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b < B ．()ln 0a b ->C ．1133a b >D ．a b >【答案】C【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，由于指数函数2xy =为增函数，且a b >，22a b ∴>，A 选项中的不等式不成立；对于B 选项，由于对数函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，a b >Q ，当01a b <-<时，()ln ln10a b -<=，B 选项中的不等式不恒成立；对于C 选项，由于幂函数13y x =在(),-∞+∞上单调递增，且a b >，1133a b ∴>，C 选项中的不等式恒成立；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但a b <，D 选项中的不等式不恒成立. 故选C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.3．设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若12330S S S +-=，且11a =，则4a =（ ） A ．9 B ．18 C ．21 D ．27【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用题中条件求出q ，再由341a a q =可计算出4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()()212311133110S S S a a q a q q+-=++-++=，整理得2230q q --=，0q >Q ，解得3q =，因此，33411327a a q ==⨯=，故选D. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，一般利用首项和公比建立方程（组）求解基本量，考查运算求解能力，属于基础题.4．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点，使得MPN ∠最大”.如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()1,2M -、()1,4N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7-C ．1或7-D ．2或7-【答案】A【解析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，可设点P 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍），因此，点P 的横坐标为1，故选A.【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查直线与圆的位置关系、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力，属于中等题.5．如图，在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，E ，F 分别为BD ，AC 的中点，则异面直线AE 与BF 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】设DA AB BC x ===，利用向量的夹角公式，计算出异面直线AE 与BF 夹角的余弦值，由此求得异面直线AE 与BF 所成的角. 【详解】由于在等腰三角形ABC 与ABD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒，平面ABD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质定理可知AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，所以AD BC ⊥.依题意设DA AB BC x ===，由于,E F是等腰直角三角形斜边的中点，所以AE BF x ==.设异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则cos cos ,AE BF θ=u u u r u u u r AE BFAE BF ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ()()12AB AD AF AB AE BF+⋅-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()1122AB AD AB BC AB AE BF ⎡⎤+⋅+-⎢⎥⎣⎦=⋅u u ur u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ()111222AB AD BC AB AE BF⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()214AB BC AD BC AB AB ADAE BF⋅+⋅--⋅=⋅u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur221114222AB x AE BF -⋅===⋅u u u r u u u r u u u r ，由于π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以π3θ=.故选：B 【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.6．已知函数32()331f x x x x =-+-，则函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．350x y --= B ．350x y --= C ．350x y +-= D ．350x y -+=【答案】A【解析】求导函数，求出切线的斜率，切点的坐标，即可得到切线方程； 【详解】解：因为32()331f x x x x =-+-所以2()363f x x x '=-+(2)3f '∴=，(2)1f =Q ；()y f x ∴=的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为13(2)y x -=-，即350x y --=； 故选：A. 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7．已知圆C 与直线30x y ++=相切，直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则圆C 方程为（ ）A ．2222x y y +-=B ．2222x y y ++=C ．2221x y y +-=D ．2221x y y ++=【答案】D【解析】计算出直线10mx y ++=所过定点的坐标，由题意得出定点是圆C 的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆C 的半径长，即可得出圆C 的方程. 【详解】在直线10mx y ++=的方程中，令0x =，则1y =-，则直线10mx y ++=过定点()0,1-.由于直线10mx y ++=始终平分圆C 的面积，则点()0,1-是圆C 的圆心，又圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的半径r ==因此，圆C 的方程为()2212x y ++=，即2221x y y ++=. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.8．函数23sin ()1x xf x x -=+在[]-，ππ的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断. 【详解】 因为23sin ()()1x xf x f x x --=-=-+，所以函数()f x 为奇函数，故排除A,B 由于2()01f πππ-=<+ ，排除D 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题. 9．函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程4()5f x =的解为1x ，()2120x x x π<<<，则()12sin x x -=（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．45【答案】A【解析】由已知可得2123x x π=-，结合12x x <求出1x 的范围，再由12112sin()sin(2)cos(2)36x x x x ππ-=-=--求解即可． 【详解】解：因为0πx <<，所以72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭. 又因为方程4()5f x =的解集为1x ，()2120x x x π<<<，所以1223x x π+=，所以2123x x π=-， 所以()12112sin sin 2cos 236x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为12x x <，2123x x π=-，所以103x π<<， 所以12,662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 由()114sin 265f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得13cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以()123sin 5x x -=-. 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．10．椭圆22:193x y C +=与双曲线()2222100x y Q m n m n-=>>:，焦点相同，当这两条曲线的离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A ．2±B ．C ．12±D ．2±【答案】A【解析】求出椭圆的焦点坐标，离心率，得到双曲线的离心率，焦点坐标，然后求解双曲线Q 的渐近线斜率． 【详解】解：在椭圆22:193x y C +=，3a =，c ==焦点坐标为()，c e a ==因为椭圆与双曲线2222:1(0,0)x y Q m n m n-=>>焦点相同，则双曲线的焦点坐标为()，即双曲线的6c =，又因为这两条曲线的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为：666c a ===，解得2m =，则2n =．所以双曲线方程为22142x y -=则双曲线Q 的渐近线为22y x =±，斜率为2±． 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的综合应用，属于基础题．11．在等腰ABC V ，AB AC =，6BC =，向量AD DC =u u u r u u u r ，则DC BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ） A ．9 B ．18C ．27D ．36【答案】A【解析】画出图形，利用向量的数量积转化求解即可． 【详解】解：由题意如图：在等腰ABC V 中，AB AC =，6BC =，向量AD DC =u u u r u u u r，D 为AC 的中点，可作AE BC ⊥，E 为BC 的中点，DF BC ⊥，F 为CE 的中点，所以1342CF CB ==，且CD uuu r 在u u r CB 方向上的投影为3cos 2CD DCB CF ∠==u u u r u u u r所以3cos 692DC BC CD CB CB CD DCB CB CF ⋅=⋅=∠==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的应用，数形结合的应用，属于中档题.12．在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u v u u u v ，()0,0AN AC μλμ=>>u u uv u u u v ，则λμ+的最小值为（ ）A ．21+ B ．31+ C ．32D ．52【答案】B【解析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】 如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133331211444444λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为12+，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．若命题“0x R ∃∈，20030x mx +-<”为假命题，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】m ∈∅【解析】先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m 的取值范围． 【详解】解：∵命题“0x R ∃∈，20030x mx +-<”为假命题， ∴其否定“x R ∀∈，230x mx +-…”为真命题. 则2120m ∆=+„，得m ∈∅. 故答案为：m ∈∅. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次不等式恒成立问题，体现了“三个二次”的结合在解题中的应用，属于基础题．14．已知在等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，且2345a a a ++=，则12345620192020a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯+-=________.【答案】1010-【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1232a a a ++=，2345a a a ++=，可得352d =-，1332a d +=，进而得出212n n a a --，即可得出．【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，1232a a a ++=Q ，2345a a a ++=，352d ∴=-，1332a d +=，解得1d =，113a =-， 134133n n a n -∴=-+-=. 2121n n a a -∴-=-.则123456201920201010a a a a a a a a -+-+-+⋯⋯+-=-. 故答案为：1010- 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．某贫困地区现在人均年占有粮食为420kg ，如果该地区人口平均每年增长1%，粮食总产量平均每年增长5%，那么x 年后该地区人均年占有ykg 粮食，则函数y 关于x 的解析式是__________.【答案】 1.05420 1.01xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，*x ∈N 【解析】设现在人口为m ，粮食产量为n ，分别求出x 年后的人口和粮食产量，得出人均占有量． 【详解】解：设该地区人口为m ，粮食产量为n ，则420nm=， x 年后，该地区人口数为(11%)(1.01)x x m m ⋅+=⋅， x 年后，该地区的粮食产量为(15%)(1.05)x x n n ⋅+=⋅，故x 年后，该地区人均占有粮食为(1.05) 1.05420(1.01) 1.01xxx n m ⋅⎛⎫=⋅ ⎪⋅⎝⎭.故答案为： 1.05420 1.01xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，*x ∈N .【点睛】本题考查了指数函数的应用，函数解析式求解，属于基础题．16．若函数3()3ln f x m x x =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_________.【答案】311,3e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ 【解析】首先求出函数的导数，可得1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，(]1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，进而求解； 【详解】解：3()3ln f x m x x =-+Q()2233(1)13()3x x x f x x x x'-++∴=-+=， 所以1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,]x e ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；max ()(1)1f x f m ==-，3113f m e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，3()3f e m e =--，()f x Q 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则331013030m m e m e ->⎧⎪⎪--≤⎨⎪--≤⎪⎩，解得，3113m e <+„，故答案为：311,3e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 【点睛】考查函数求导，函数单调区间，函数在特定区间上的极值，二分法求函数的零点，属于中档题；三、解答题17．已知命题0:p x R ∃∈，200220x x m -+->，:q x R ∀∈，2210x mx -+….（1）若命题q ⌝为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1m <-或1m >；（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）写出q ⌝，由判别式大于0，解不等式可得所求范围；（2）由()p q ∨⌝为假命题，则p 假q 真，分别运用判别式小于等于0，解不等式，求交集，再求补集可得所求范围． 【详解】解：（1）q ⌝∵为：0x R ∃∈，200210x mx -+<，∴命题q ⌝为真命题时，有21Δ440m =->，则1m <-或1m >； （2）若()p q ∨⌝为假命题，则p 假q 真.由0x R ∃∈，200220x x m -+->为假知，x R ∀∈，2220x x m -+-„为真， 则2Δ480m =-„，解得12m ∴…；命题q 为真命题时，有21Δ440m =-„，则11m -剟. 所以当()p q ∨⌝为假命题时，m 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查命题的真假判断，考查不等式成立和恒成立问题解法，化简运算能力和推理能力，属于基础题．18．设函数()()sin y f x x ωϕ==+，0>ω，0ϕπ<<的导数为()y f x '=，若()()()g x f x x '=为奇函数，且对任意的x ∈R 有()2g x ≤.（1）求()g x 表达式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tan tan 2B a g A π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积最大值.【答案】（1）()2sin g x x =-；（2）3.【解析】（1）求出函数()y f x =的导数()f x '，可得出函数()y g x =的表达式，利用函数()y g x =的最大值为2，得出1ω=，再由函数()y g x =为奇函数，得出()00g =可得出ϕ的值，由此可得出函数()y g x =的解析式； （2）求得tan 2tan Ba A==，利用弦化切思想以及()sin sin C A B =+得出sin 3sin cos C A B =，由正弦定理得出2sin sin B b A =，代入1sin 2ABC S ab C ∆=得出3sin 2ABC S B ∆=，由此可得出ABC ∆面积的最大值.【详解】（1）()()sin f x x ωϕ=+Q ，()()cos f x x ωωϕ'∴=+， 则()()()sin cos g x x x ωϕωϕ=++，()max 2g x ==，0ω>Q ，1ω∴=，则()()()sin g x x x ϕϕ=++，又Q 函数()y g x =奇函数，()0sin 0g ϕϕ=+=，则tan ϕ=0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=，()22sin 2sin 33g x x x ππ⎛⎫∴=++=- ⎪⎝⎭； （2）tan 2tan 2B a g A π⎛⎫==-= ⎪⎝⎭Q 且cos sin 2sin cos A B A B =， sin sin b B a A =Q，2sin sin B b A∴=， ()sin sin sin cos cos sin 3sin cos C A B A B A B A B =+=+=， 112sin sin 23sin cos 6sin cos 3sin 222sin ABC BS ab C A B B B B A∆==⨯⨯⨯== 因此，当4B π=时，ABC ∆的面积取得最大值为3.【点睛】本题考查三角函数与三角形的综合问题，同时考查三角函数的最值以及三角形面积的最值，考查了辅助角变换、三角函数的导数以及正弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．已知数列{}n a 满足：111+--=n n na a a ，1n a ≠且12a = （1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）令21nn n b a =-求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，11n a n=+；（2）12(1)2n n S n +=+-⋅ 【解析】（1）将已知等式取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得221nn n n b n a ==-g ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】解：（1）证明：由111+--=n n n a a a ，得1111111n n n n a a a a +==+---，可得111111+-=--n n a a ， 即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项，1为公差的等差数列， 且1111n n n a =+-=-，则11n a n=+； （2）221nn n n b n a ==⋅-， 231222322n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，① 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，②-①②得()231121222222212n n n n n S n n ++--=+++⋯+-⋅=-⋅-，则12(1)2n n S n +=+-⋅.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用取倒数，考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题． 20．已知函数()()20,,f x ax bx c a b R c R =++>∈∈.（1）若函数()f x 的最小值是()11f -=-且1c =，()()(),0,0f x x F x f x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，求()()33F F +-的值；（2）若3a =，1c =且()2f x ≤在区间(]0,2上恒成立，试求b 的取值范围. 【答案】（1）24；（2）116,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）由题意得出1112c a b c b a⎧⎪=⎪-+=-⎨⎪⎪-=-⎩，可解出a 、b 的值，可得出函数()y f x =和函数()y F x =的解析式，从而计算出()()33F F +-的值；（2）由已知条件得出()231f x x bx =++，由题意得出22312x bx -≤++≤在区间](0,2上恒成立，利用参变量分离法得出13b x x ≤-且33b x x≥--在](0,2上恒成立，然后利用函数单调性和基本不等式分别求出13x x -和33x x--在](0,2上的最小值和最大值，可得出实数b 的取值范围. 【详解】（1）由已知1c =，1a b c -+=-且12ba-=-，解得2a =，4b =， ()()2211f x x ∴=+-，则()()()22211,0121,0x x F x x x ⎧+->⎪=⎨-+<⎪⎩， 则()()()()22332311123124F F +-=⨯+-+-⨯-+=；（2）由3a =，1c =，得()231f x x bx =++，从而()2f x ≤在区间](0,2上恒成立等价于22312x bx -≤++≤在区间](0,2上恒成立，即13b x x ≤-且33b x x≥--在](0,2上恒成立. Q 函数13y x x =-在区间](0,2上单调递减，则min 1113222y =-⨯=-.由基本不等式得313336x x x x ⎛⎫--=-⨯+≤-⨯=- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，则33x x--的最大值为6-，1162b ∴-≤≤-，因此，实数b 的取值范围是116,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查二次不等式区间上恒成立问题，灵活利用参变量分离法转化为函数的最值来求解，可简化计算与分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.21．某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形ABCD 草坪如下图所示，已知：120AB =米，603BC =米，拟在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，要求点O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 时上，且EOF 90∠=o .（1）设BOE α∠=，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为300元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用. 【答案】（1）()60cos sin 1cos sin l αααα++=，定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)3600021元．【解析】（1）利用勾股定理通过l OE OF EF =++，得出()60cos sin 1cos sin l αααα++=，结合实际情况得出该函数的定义域；（2）设sin cos t αα+=，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求OEF ∆的周长1201l t =-最小，求出t 的取值范围，根据该函数的单调性可得出l 的最小值. 【详解】（1）由题意，在Rt BOE ∆中，60OB =，2B π∠=，BOE α∠=，60cos OE α∴=，Rt AOF ∆中，60OA =，2AFO π∠=，60sin OF α∴=，又2EOF π∠=， 2222606060cos sin cos sin EF OE OF αααα⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以606060cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++，即()60cos sin 1cos sin l αααα++=. 当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时6πα=； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时3πα=.故此函数的定义域为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF ∆的周长l 的最小值即可． 由（1）得()60cos sin 1cos sin l αααα++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，21sin cos 2t αα-∴⋅=，则()()260cos sin 16011201cos sin 12t l t t αααα+++===--， 由,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得5712412πππα≤+≤，t ≤≤11t ≤-≤，1111t ≤≤-，当4πα=，即当60BE =时，)min 1201l =， 答：当60BE AF ==米时，铺路总费用最低，最低总费用为)360001元．【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用，同时也考查了正弦定理、勾股定理的应用，要根据题意构建函数解析式，并利用合适的方法求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.22．已知函数()(ln )x f x a x x xe =+-. （1）当1a =时，求函数()f x 的极大值；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1） ()1f x =-极大值；（2）(,)e -∞【解析】（1）当1a =时，()xf x x lnx xe =+-，11()1(1)(1)x xxe f x x e x x x-'=+-+=+，进而求解；（2）1(1)()()(1)(1)x xx a xe f x a x e x x+-'=+-+=，(1)x …，继而判断导函数的符号，进而求解． 【详解】解：（1）函数定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln xf x x x xe =+-，由11()1(1)(1)x xxe f x x e x x x'-=+-+=+， 令()0f x '=，0(0,)x ∃∈+∞，使0010xx e -=，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减；()00000 ()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值，由()00f x '=知001x x e =，001x e x ∴=，01ln ln x e x =，即00ln 0x x +=，故 ()1f x =-极大值，（2）由()(1)1()1(1)xx x a xe f x a x e x x '+-⎛⎫=+-+=⎪⎝⎭，(1)x …， ①当0a „时，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞上单调递减，()f x f „(1)0a e =-<满足题意；②当0a e <„时，1x Q …，0x a xe -„，()0f x '„.()f x ∴在区间[1,)+∞单调递减，max ()f x f =(1)0a e =-<，0a e ∴<<；③当a e >时，0(1,)x ∃∈+∞使000xe x a -=，当()01,x x ∈时，()f x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()f x 单调递减；()()0max 0000()ln (ln 1)0x f x f x a x x x e a a ∴==+-=->，()0f x ∴<不恒成立.综上所述，实数a 的取值范围是(,)e -∞. 【点睛】（1）考查函数求导，利用导函数确定函数的极值点；（2）考查不等式在特定区间上恒成立问题的转化，分类讨论的思想，将恒成立问题转化为求函数的极值问题，属于中档题．。
2020届高三理科数学9月月考答案
2020届高三理科数学9月月考试卷及答案一．选择题（共12小题）1．复数z 满足z =2i1+i ，则复数z ＝（ ） A ．1﹣iB ．1+2iC ．1+iD ．﹣1﹣i2．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．A ＝{x |0＜x ≤1}B ．A ＝{x |0＜x ＜1}C ．A ＝{x |1≤x ＜2}D ．A ＝{x |1＜x ＜2}3．已知等差数列{a n }的前n 项的和为Sn ，若a 3＝18﹣a 8，则S 10等于（ ） A ．81B ．90C ．99D ．1804．已知曲线y ＝x 3+ax 在x ＝1处的切线与直线y ＝4x +3平行，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．35．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）A ．i ＜4？B ．i ＜5？C ．i ＜6？D ．i ＜7？6．在△ABC 中，D 是BC 上一点，且BD =13BC ，则AD →=（ ）A ．AB →+13AC →B ．AB →−13AC →C ．23AB →+13AC →D ．13AB →+23AC →7．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A ．2B ．43C ．23D ．19．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为（ ）A ．√34B ．√33C ．13D ．2510．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且x ≥0时，f （x ）={x 2+1，0≤x ≤1(12)x+32，x ＞1，方程f （x ）＝m 恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（12，32]B ．（12，2]C ．（32，2）D ．（2，52]11．设函数f ′（x ）是函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，已知f ′（x ）＜f （x ），且f （0）＝2则使得f （x ）﹣2e x ＜0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞） C ．（1，+∞） D ．（4，+∞）12．已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，O 为坐标原点，M 为OF的中点，若以FM 为直径的圆与E 的渐近线相切，则双曲线E 的离心率为（ ） A ．2√33B ．3√24C ．√2D ．√3二．填空题（共4小题）13．设x ，y 满足约束条件{x −y ≥1x +y ≥12x −y ≤4．z =12x +y 的最大值为 ．14．若数列{a n }的前n 项和为S n =2n −2n +3，则a 3+a 4＝ ．15．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有 种（填写数值） 16．若x ＝1是函数f （x ）＝（x 2+ax ﹣5）e x 的极值点，则f （x ）在[﹣2，2]上的最小值为 ． 三．解答题（共6小题）17．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，AD ＝3，AB ⊥BC ． （1）求BD ；（2）若∠BCD ＝150°，求CD ．18．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为23．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响且无平局．求：（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）设本场比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望．（用分数表示）19．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点．（1）求证：EF ∥平面A 1DC 1；（2）若AA 1=2√3，求二面角E ﹣A 1D ﹣C 1的正弦值．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22．焦距为2c ，且c ，√2，2成等比数列．（I ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点B 坐标为（0，√2），问是否存在过点B 的直线1交椭圆C 于M ，N 两点，且满足OM →⊥ON →（O 为坐标原点）？若存在，求出此时直线l 的方程．若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）=12x 2−alnx （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若存在实数x 0＝[1，e ]，使得f （x 0）＜0，求正实数a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为：ρ＝2√2sin （θ+π4），过P （0，1）的直线l 的参数方程为：{x =12ty =1+√32t（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点． （1）求出直线l 与曲线C 的直角坐标方程． （2）求|PM |2+|PN |2的值．2020届高三理科数学9月月考试卷答案1．A ．2．D ．3．B ．4．C ．5．B ．6．C ．7．D ．8．C ．9．C ．10．C ．11．B ．12．B ． 13．2714．8． 15．80． 16．﹣3e ．17．解：（1）在三角形ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝7，∴BD =√7．（2）由余弦定理得cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 22AB⋅BD =4+7−92×2×√7=√714， ∵AB ⊥BC ，∴sin ∠CBD ＝cos ∠ABD =√714，在△BCD 中，由正弦定理得CD sin∠CBD=BDsin∠BCD，即√714=√712，解得CD ＝1．18．解：（1）设“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ， 则P(A)=(23)3=827，P(B)=C 32(23)2(13)=49， 所以，前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=2027． （2）甲队胜三局或乙胜三局，P(ξ=3)=(23)3+(13)3=13，甲队或乙队前三局胜2局，第 4局获胜P(ξ=4)=C 32(23)2×13×23+C 32(13)2×23×13=1027， 甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜P(ξ=5)=C 42(23)2×(13)2×23+C 42(13)2×(23)2×13=827， ∴ξ的分布列为：ξ 345P131027827数学期望为E(ξ)=3×13+4×1027+5×827=10727．19．证明：（1）连接AB 1，∵E ，F 分别为AB ，BB 1的中点，∴EF ∥AB 1∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD ＝B 1C 1，AD ∥B 1C 1，∴四边形ADC 1B 1是平行四边形， ∴AB 1∥DC 1，∴EF ∥DC 1 ∵EF ⊄平面A 1DC 1，DC 1⊂平面A 1DC 1，∴EF ∥平面A 1DC 1 解：（2）在长方体中，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），E （2，1，0），A 1(2，0，2√3)，C 1(0，2，2√3)，∴A 1C 1→=(−2，2，0)，DA 1→=(2，0，2√3)，EA 1→=(0，−1，2√3)， 设平面A 1DC 1的一个法向量m →=(x ，y ，z)，则−2x +2y =2x +2√3z =0， 取x ＝3，则m →=(3，3，−√3)同样可求出平面A 1DE 的一个法向量n →=(√3，−2√3，−1)∴cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=√3√21⋅√16=−√714，∴二面角E ﹣A 1D ﹣C 1的正弦值为3√2114．20．解：（1）由题意离心率e =ca =√22，则a =√2c ，由c ，√2，2成等比数列则（√2）2＝2c ，即c ＝1，a =√2，则b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆的标准方程为：x 22+y 2=1；（2）存在过点B 的直线1交椭圆C 于M ，N 两点，且满足OM →⊥ON →，由题意可知：直线MN 的斜率存在，则直线MN 的方程y ＝kx +√2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），{y =kx +√2x 22+y 2=1，整理得：（1+2k 2）x 2+4√2kx +2＝0，则△＝（4√2k ）2﹣4×（1+2k 2）×2＞0，整理得：k 2＞12，解得：k ＞√22，k ＜−√22， 由韦达定理可知：x 1+x 2=−4√2k 1+2k2，x 1x 2=21+2k2，则y 1y 2＝（kx 1+√2）（kx 2+√2）＝k 2x 1x 2+√2k （x 1+x 2）+2=2−2k 21+2k2，由x 1x 2+y 1y 2＝0，整理得：k 2＝2，解得：k =√2或k =−√2， 则直线y =√2x +√2或y =−√2x +√2，综上：存在这样的直线y =√2x +√2或y =−√2x +√2椭圆C 于M ，N 两点，且满足OM →⊥ON →． 21．解：（1）由f （x ）=12x 2−alnx （a ∈R ），得f ′（x ）＝x −ax =x 2−ax（x ＞0）．当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞√a，由f′（x）＜0，得0＜x＜√a．∴f（x）在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增；（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增．①当√a≤1，即0＜a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，f(x)min=f(1)=12＞0，不合题意；②当1＜√a＜e，即1＜a＜e2时，f（x）在[1，√a]上单调递减，在[√a，e]上单调递增，由f(x)min=f(√a)=12a−aln√a＜0，解得e＜a＜e2；③当√a≥e，即a≥e2时，f（x）在[1，e]上单调递减，由f(x)min=f(e)=12e2−a＜0，解得a≥e2．综上所述，a的取值范围为（e，+∞）．22．解：（1）直线l：{x=12ty=1+√32t（t为参数），消去参数t得：√3x−y+1=0直线l的直角坐标方程为：√3x−y+1=0，曲线C的极坐标方程ρ=2√2sin(θ+π4)=2sinθ+2cosθ，即ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣2x﹣2y＝0；（2）把直线l的参数方程{x=12ty=1+√32t（t为参数）代入圆C的方程，化简得：t2﹣t﹣1＝0，∴t1+t2=1，t1•t2=−1，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=(t1+t2)2−2t1t2=1+2=3．。
【人教版】2020届高三数学9月月考试题 文 人教 新目标 版
2020高三数学9月月考试题 文一：选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项）1、设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i2、设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 3. z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ）A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -4. 已知=U R ，函数)1ln(x y -=的定义域为M ，}0|{2<-=x x x N ，则下列结论正确的是（ ） A ．MN M = B ．()U MC N U = C ．φ=⋂)(N C M UD ．N C M U ⊆5、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x>1，则⌝p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)0e x≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)0e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)0e x ≤1 6、已知下列命题：( ) （1）“c o s0x <”是“tan 0x <”的充分不必要条件；（2）命题“存在,41x Z x ∈+是奇数”的否定是“任意,41x Z x ∈+不是奇数”； （3）已知,,,a b c R ∈若22,ac bc >则.a b > 其中正确命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 37、如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 8（0ω>），当ω取最小值时，以下命题中假命题是（ ）A ．函数()f x 的图象关于直线B 是函数()f x 的一个零点C. 函数()f x 的图象可由D ．函数()f x 在9、若a>b>1,0<c<1，则( ) A. a c<b cB. ab c<bacC. a log b c<b log a cD. log a c<log b c10、若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，21()log (1),1f x x x =-++则不等式4(1)7f x +>的解集为( )A. (2,)+∞B. (,1)(3,)-∞-⋃+∞C. (4,2)-D. (,4)-∞-11. 若点(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A ．B ． 2C ．D ．812.设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时, ()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）A.7B. 6C.3D.2 二、填空题（每题5分，满分20分） 13.已知不等式220ax bx ++>的解集为则a b +的值为________． 14：在ABC ∆中，111,2,4,,,2224A AB AC AF AB CE CA BD BC π∠======，则DE DF 的值为 ．15．已知0,0a b >>，若不等式恒成立，则m 的最大值为_________． 16.已知函数ln ,0,()ln(),0.x x x f x x x x -- >⎧=⎨--+<⎩ 则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为 。
2020届河北省沧州市高三9月教学质量检测数学(理)试题(解析版)
河北省沧州市高三9月教学质量检测数学（理）试题一、单选题 1．21ii+=+（ ） A ．3122i - B ．1322i - C ．32i - D ．112i -【答案】A【解析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()2123111122i i i i i i i +-+==-++-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知集合{}2|230A x x x =+->，{|04}B x x =<„，则A∩B=（ ）A ．{|34}x x -<≤B ．{|14}x x <„C ．{|30 14}x x x -<<<或„D ．{|3 1 14}x x x -<<-<或„【答案】B【解析】首先求集合A ，再求A B I . 【详解】{1A x x =>或3}x <-，{}14A B x x ⋂=<≤，故选B. 【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.3．已知抛物线2:3C y x =，则焦点到准线的距离是（ ） A ．16B ．32C ．3D ．13【答案】A【解析】化简抛物线的方程213x y =，求得16p =，所以焦点到准线的距离，得到答案. 【详解】由题意，抛物线23y x =，即21=2py 3x y =，解得16p =， 所以焦点到准线的距离是16p =，故选A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．设a ＝log 35，b ＝log 45，c ＝212-，则（ ） A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．a ＞c ＞b【答案】C【解析】根据对数函数的单调性以及不等式的性质可以比较,a b ，又结合指数函数的单调性可得1221c -=<，从而可得出答案． 【详解】 解：∵55110log 3log 41a b<=<=<，∴a b >>1， 又1221c -=<，∴a b c >>，故选：C ． 【点睛】本题主要考查比较指数式、对数式的大小，通常先与中间值10,,12等进行比较，属于基础题．5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名.现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级的概率是（ ） A ．1126B ．521C ．635D ．421【答案】D【解析】对这两名男生来自高一或高二两种情况讨论，当男生来自高一时，同时任选2名女生，有2224C C 种方法，当男生来自高二时，有2234C C 种方法，并求概率. 【详解】当两名男生来自高一年级，2224149121C C P C ==，当两名男生来自高二，223424917C C P C == 1211421721P P P =+=+=, 故选D. 【点睛】本题考查了古典概型的概率，难度不大，关键是能正确分类. 6．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.7．《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升.根据上述条件，请问各节容积的总和是（ ） A ．20122B ．21122C ．60166D ．61166【答案】A【解析】首先用1a 和d 表示已知条件，建立方程，最后代入前n 项和的计算方法. 【详解】设首项1a ，公差d123678943a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩ 即113344263a d a d +=⎧⎨+=⎩ ，19566a = ，766d =- ， 91987201926622S a ⨯⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型. 8．已知（13a x+）（1+x ）6的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中x 2的系数为（ ） A ．15 B ．21 C ．30 D ．35【答案】B【解析】把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中2x 的系数． 【详解】解：由题意得()67121282a +⋅==，∴1a =，∴()6311a x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()0122666666311...C C x C x C x x ⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭， 故展开式中2x 的系数为256615621C C +=+=，故选：B ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9．在以BC 为斜边的直角△ABC 中，2AB =，2BE EC =u u u v u u u v ，则AB AE ⋅=u u u v u u u v（ ） A ．3 B ．73C ．83D ．2【答案】C【解析】根据向量加法和减法转化1233AE AC AB =+u u u r u u u r u u u r，然后根据数量积的运算公式计算. 【详解】()23AB AE AB AC CE AB AC BC ⎛⎫⋅=⋅+=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()22122833333AB AC AC AB AB AC AB AB ⎛⎫⎛⎫=⋅--=⋅+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选C. 【点睛】本题考查了向量加减法，以及数量积的运算，意在考查向量转化和计算的问题，属于基础题型.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，则异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值为（ ） ABCD【答案】B【解析】在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，得到异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角，在DEF ∆中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，如图所示，在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，所以异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角， 设DEF θ∠=，又由在直角ADF ∆中，2,2AD AF ==，所以2222DF AD AF =+=，在直角BDE ∆中，22,2BD BE ==，所以2223DE BD BE =+=，在DEF ∆中，22,2,23DF EF DE ===，由余弦定理可得2223cos 22232DE EF DF DE EF θ+-===⋅⨯⨯, 所以所以异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值sin 6θ=，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.11．将函数()cos 2sin 2g x x x =-图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移6π个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数f （x ）的图象，则下列说法中正确的个数是（ ） ①函数f （x ）的最小正周期为2π； ②函数f （x ）的最大值为2；③函数f （x ）图象的对称轴方程为5()12x k k Z ππ=+∈； ④设x 1，x 2为方程2f x =（）的两个不相等的根，则12x x -的最小值为4π. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】根据函数的图象变换，得到函数()12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，然后根据函数性质依次判断，得到正确结论. 【详解】()cos 2sin 224g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到的函数是4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所得各点向右平移6π个单位长度后得到的函数是6412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍后得到的函数是12y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的最小正周期是2π，所以①正确；函数的最大值是②不正确；令12x k ππ+=,12x k k Z ππ⇒=-+∈,所以③不正确；212x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得cos 122x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得2124x k πππ+=±+，解得2,124x k k Z πππ=-±+∈，即26x k ππ=+ 或23x k ππ=-+ ，k Z ∈，则12x x -的最小值是632πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以④不正确. 故选A. 【点睛】本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22126x y -=的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则|HG|的取值范围是（ ）A ．4)B ．⎡⎢⎣⎭C ．⎝D ．⎡⎢⎣⎭【答案】D【解析】利用平面几何和内心的性质，可知,H G 的横坐标都是a ，得到HG x ⊥轴，设直线AB 的倾斜角为θ，2Rt HMF ∆和2Rt GMF ∆分别表示HM 和GM ，根据(60,90θ⎤∈⎦o o ，将HG 表示为θ的三角函数求最值.【详解】12AF F ∆内切圆与各边相切于点,,P Q M ，有,H M 的横坐标相等，AP AQ =，11F P FM =，22F Q F M = 121222AF AF a MF MF a -=⇒-=，M ∴在双曲线上，即M 是双曲线的顶点，HG ∴与双曲线相切于顶点（如图）,H G ∴的横坐标都是a ，设直线AB 的倾斜角为θ ，那么22OF G θ∠=,222HF O πθ∠=-2HF G ∆中，()()sin cos 22tan tan 222cos sin 22HG c a c a θθθπθθθ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫=-+-=-⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⎪⎝⎭()()22sin cos 222sin sin cos 22c a c a θθθθθ+=-=-⋅双曲线22:126x y C -=，a b c ===，可得sin HG θ=，6090θ<≤o osin 1θ<≤， HG的范围是3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭故选D.【点睛】本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的关键1.根据几何性质确定,H G 的横坐标都是a ，2.设倾斜角为θ，将HG 表示为θ的三角函数.二、填空题13．曲线32()21f x x x =-++在点(1,(1))f 处的切线方程为________. 【答案】1y x =+【解析】首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-. 【详解】()234f x x x '=-+，()11f '=，()12f =21y x ∴-=-， ∴切线方程为1y x =+.故填：1y x =+ 【点睛】本题考查导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N （100，100），且110120X <<的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件. 参考数据，若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.【答案】40000【解析】首先根据条件判断100,10μσ==，可知()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+，根据条件求得概率，最后再计算样本总量. 【详解】()100,100X N :可知100,10μσ==()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+()()222P x P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=0.95450.68270.13592-==,又5436400000.1359=（件）. 故填：40000. 【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于x μ=对称，对称轴两侧的概率均为0.5.15．已知等比数列{a n }，a n ＞0，n ∈N ，且2a 1+3a 2＝33，23269a a a =，则a 2020＝_____【答案】32020【解析】利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】解：由题意设数列{}n a 的公比为()0q q >， 由题意有11222234323339a a q a a a q+=⎧⎨==⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩， ∴201920202020333a =⋅=， 故答案为：20203． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题．16．在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D-AC-B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.【答案】(100163)9π+【解析】取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，点N 是ACD ∆外接圆的圆心，点E 是ABC ∆外接圆的圆心，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，在四边形OEMN 中找几何关系，构造方程求解外接圆的半径和表面积. 【详解】由条件可知ABC ∆是等边三角形，取,AC AD 的中点,M N ，和ABC ∆的中心E ，过点,E N 分别作平面ABC 和平面ACD 的垂线，交于点O ，120EMN ∠=o ，60EON =o ∠，如图：由条件可知，3EM =60EMG ∠=o 30OEH ∠=o 3312HN EG ∴===，31EH GN GM MN ==+= 33123tan 301636OH EH ⎛⎫+∴=⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭o ， 323ON OH HN ∴=+=，222222R OD ON ND ==+=+=⎝⎭，24S R π==【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,a b c ，那么外接球的直径2R =（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R 的方程.（3）而本题类型，需要过两个平面外接圆的圆心作面的垂线，垂线的交点就是球心.三、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知(1611)cos 11cos b c A a C -=.（1）求cosA 的值；（2）若4b c +=，求a 的最小值.【答案】(1)11cos 16A =； 【解析】（1）首先根据正弦定理边角互化公式，转化为(16sin 11sin )cos 11sin cos B C A A C -=，再根据两角和的正弦公式化简，最后求cos A 的值；（2）根据基本不等式求得4bc ≤，再代入余弦定理并化简为227168a bc =-，最后求得a 的最小值. 【详解】（1）由已知(1611)cos 11cos b c A a C -=及正弦定理， 得(16sin 11sin )cos 11sin cos B C A A C -=，即16cos sin 11(sin cos cos sin )11sin A B A C A C B =+=，且sin 0B ≠， 所以11cos 16A =. （2）由4b c +=，可得22216b c bc ++=，则1622bc bc -…，解得4bc „，当且仅当2b c ==时，等号成立由余弦定理可得222211272752()1616882a b c bc b c bc bc =+-⨯=+-=-…，所以a 的最小值为2. 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查三角函数恒等变形，以及正余弦定理的变形和应用，尤其记住公式2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入后转化为三角函数的问题，和余弦定理中常用变形：()2222b c b c bc +=++.18．某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练．每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次．按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为12，23，13，12. （1）进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？（2）计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分，设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）16种；（2）见解析，()2E x =【解析】（1）每个同名次的对抗有2种结果，共有4个名次的对抗，所以有42种结果；（2）由条件可知0,1,2,3,4X =共5种情况，分别计算概率得到分布列和数学期望. 【详解】（1）由于甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，所以一共有4216=（种）（2）X 的可能取值分别为4，3，2，1，0，则121121(4)23323618P X ==⨯⨯⨯==12111111122121191(3)233223322332332364P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯==；1111112112211221121111(2)2332233223322332233223P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯11147323618⨯==； 11211111111212191(1)233223322223332364P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯==；112121(0)23323618P X ==⨯⨯⨯==X 的分布列为 X 4321P 118 14 718 14 11829149272()432102363636363636E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，意在考查分析数据，解决问题的能力，本题的难点是求分布列中的概率时，需分类准确，不要漏掉某一类.19．如图1，在等腰梯形ABCD 中，//AD CB ，24AD CB ==，120ABC ︒∠=，E 为AD 的中点.现分别沿BE ，EC 将△ABE 和△ECD 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面ECD ⊥平面BCE ，连接AD ，如图2.（1）若在平面BCE 内存在点G ，使得GD ∥平面ABE ，请问点G 的轨迹是什么图形？并说明理由.（2）求平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)点G 的轨迹是直线MN ，见解析；5【解析】（1）分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，根据线线平行可证明平面//NMD 平面BEA ,则可判断点G 的轨迹；（2）以点M 为坐标原点，MB 所在直线为x 轴，MC 所在直线为y 轴，MD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量,m n r r ，代入公式cos ,m n <>r r求解. 【详解】（1）点G 的轨迹是直线MN.理由：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN//BE.又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ，所以MN//平面BEA.依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形，所以MD ⊥CE. 又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ⊥平面BCE.又平面ABE ⊥平面BCE ，所以MD//平面BEA.所以平面NMD//平面BEA ，则点G 的轨迹是直线MN.（2）如图，以点M 为坐标原点，MB 所在直线为x 轴，MC 所在直线为y 轴，MD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则E （0，-1，0），D （0，0，3)），A 31,,322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，所以31,,32EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝u u u r ，(0,1,3)ED =u u u r.设平面AED 的法向量为(,,)n x y z =r ，则303130.2n ED y z n EA x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v r u u u v r ，取3z =-，得(3,3,3)n =-r. 取平面BCE 的一个法向量为001m =r（，，）， 则5cos ,||||5n m n m n m ⋅〈〉==-r rr rr r ， 所以平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为5.【点睛】本题考查了面面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20．已如椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为4的等腰直角三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设动直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k ，k ＇.若22b kk a'=-，求证△OPQ 的面积为定值，并求此定值.【答案】（1）22184x y +=；（2）△OPQ的面积为定值，且此定值为 【解析】（1）根据等腰直角三角形可知，24,c b c ==，根据222a b c =+求解椭圆方程；（2）当l 与x 轴垂直时，设()()00,,,P t y Q t y -，代入22bkk a'=-和椭圆方程，得到面积，当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y mx n =+，联立方程，得到根与系数的关系，并表示面积，得到面积是定值. 【详解】（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2.依题查，有1224F F c b c ⎧==⎨=⎩，，得2b c ==，则28a =，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=.（2）证明：①当直线1与x 轴垂直时，设直线l的方程为(x t =∈-，()()00,0P t y y >，()0,Q t y -.由2262212y b kk t a '-==-=-，且22184t y +=，解得P，(2,Q或(P -，(2,Q -，所以122OPQ S =⨯⨯=V ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y mx n =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立直线l 和椭圆C 的方程，得22184y mx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()222124280m xmnx n +++-=.()22848m n ∆=+-，122412mn x x m +=-+，21222812n x x m -=+. 由2212b kk a '=-=-，则121212y y x x =-，即()()121212mx n mx n x x ++=-，所以()()22121221220mn x x mx xn ++++=，即()22222428212201212mn n mn m n m m -⎛⎫⋅-++⋅+= ⎪++⎝⎭，整理得2242n m =+，则280n ∆=>.又||PQ ==，点O 到直线PQ 的距离为d =，所以1||2OPQ S PQ d =⋅=V 综上，△OPQ 的面积为定值，且此定值为【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积定值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具. 21．已知函数()21(1)2xf x e x ax =-++.(1)当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数；(2)当0a =时，[0,)x ∀∈+∞，证明：()()2211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦恒成立. 【答案】（1）有且只有一个零点；（2）详见解析.【解析】（1）求函数的导数()xf x e x a '=--，令()()g x f x '=，则()1xg x e '=-.根据()g x '的正负，判断()g x 的单调性，求得()()min 01g x g a ==-，根据1a ≤判断()f x 的单调性和求零点个数；（2）不等式转化为证明21(1)02x e x x -++≥，[)0,x ∈+∞，这个式子就是（1）证得的当1a =时函数()f x 在R 上单调递增，且()00f =，即可证得不等式.【详解】(1)解：()x f x e x a '=--，令()()g x f x '=，则()1xg x e '=-.所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 所以()()01g x g a ≥=-.当1a ≤时，()0g x ≥，即函数()f x 在R 上单调递增，且()00f =. 所以此时()f x 有且只有一个零点. (2)证明：要证()()2211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦ 即证21(1)02xe x x -++≥，[)0,x ∈+∞.由(1)知，当1a =时，函数()f x 在在R 上单调递增，且()00f =， 所以[0,)x ∀∈+∞，21(1)02xe x x -++≥恒成立， 即不等式()()2211x f x x ⎡⎤++≥+⎣⎦恒成立. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性和零点个数问题，意在考查转化与推理变形能力，属于中档题型，判断函数单调性的时候，先求函数的导数，如果此时确定不了导数的正负，需要拿出影响正负的那部分另设函数，并求其导数，再推理函数的单调性.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,1sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0θθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程，（2）设直线l 与曲线C 相交于不同的两点12,P P ，求1211OP OP +的取值范围. 【答案】(1) 2cos 2sin 30ρθρθ--+=. (2) 433⎛⎤⎥ ⎝⎦【解析】（1）利用三角函数的基本关系式消去参数，即可求得曲线C 的普通方程，代入极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线C 的极坐标方程.（2）将0θθ=代人曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义，即可求解. 【详解】（1）将曲线C的参数方程,1x cos y sin αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数α，得(()2211x y +-=.将cos x ρθ=及sin y ρθ=代入上式，得2cos 2sin 30ρθρθ--+=. （2）依题意有00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 将0θθ=代人曲线C的极坐标方程，得200cos 2sin 30ρθρθ--+=. 设()()110220,,,P P ρθρθ，则1200122sin ,3ρρθθρρ+=+=.所以001201212122sin 11114sin 333OP OP θθρρπθρρρρ++⎛⎫+=+===+ ⎪⎝⎭. 因为00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以02,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则044sin 333πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， 所以1211OP OP +的取值范围为43⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23．函数()2132f x x x =-++的最小值为t . （1）求t 的值，（2）若0,0a b >>，且t a b ab +=，求22a b +的最小值． 【答案】(1) 73t =. (2) 7249【解析】（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案. （2）由（1）知，73a b ab +=，则1173a b +=，利用基本不等式，即可求得22a b +的最小值，得到答案. 【详解】（1）由题意，函数()251,,32121323,,32151,,2x x f x x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩当23x ≤-时，函数的最小值为73；当2132x -<<时，函数的最小值()min 73f x >；当12x ≥时，函数的最小值为72，所以函数的最小值为73，即73t =.（2）由（1）知，73a b ab +=，则1173a b +=，则()2222222229119224949b a b a a b a b a b ab a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦972224949⎛≥+⋅= ⎝，当且仅当2222b a a b=且b aa b =时，即67a b ==时取等号，所以22a b +的最小值为7249. 【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。
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高三周测2020年9月19日（考试总分：150 分 考试时长： 0 分钟）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．若集合{|A x y =，不等式}20|{≤<x x 的解集为B ，则(A B = )A ．]2,21(B．，)+∞C ．1[2D．)+∞2.（5分）2. 设i 是虚数单位，则复数1--ii在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（5分）3. 指派4名传染病专家到金银潭，火神山，雷神山三所医院指导新冠病毒防治工作.每名专家只去一个医院，每个医院至少去一名专家. 则不同的指派方法共有（ ）种 A ．18B ．36C ．72D ．904.（5分）4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等.甲、乙为两个同高的几何体，:p 甲、乙在等高处的截面积相等，:q 甲、乙的体积相等，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既充分也不必要条件5.（5分）5．设等差数列{}n a 的公差为d ，11()2n a a 为递增数列，则（ ）A. 01<aB ．0<dC ．01<⋅d aD ．01>⋅d a6.（5分）6. 要得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数)2sin(x y +=π的图像 A ．每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，再向左平移6πB ．每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的21倍，再向左平移3πC ．每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移6πD ．每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移3π7.7.（5分）定义在R 上的函数)(x f 在)1,(-∞上单调递减，且函数)1(+=x xf y 为奇函数，若)2(f a =，)3(3f b =，)51(log 2f c =则A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b a c >>8.（5分）8. ABC ∆外心为O ，18,8,6=⋅=⋅=A π，则ABC ∆的面积为（ ）A ．4B ．6C ．36D ．8二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分） 9.（5分）9． 已知)6cos(sin )(π+=x x x f )(R x ∈，则下面结论正确的是( )A ．)(x f 的最偶函数B ．)(x f 是奇函数C ．)(x f 的最大值为14 D ．)(x f 的最小正周期π=T10.（5分）10.已知函数R x x f ∈),(满足)1()(x f x f -=且)2()2(x f x f -=-，则下列说法正确的是（ ）A.)(x f 关于点)0,21(对称 B.)(x f 关于y 轴对称 C.)(x f 的最小正周期为1 D. )(x f 的最小正周期为411.（5分）11.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 在线段1BC 上由1C 开始向B 移动的过程中，则下列判断中正确的是( ) A ．平面D PB 1⊥平面1ACD B ．P A 1的长度逐渐变大C ．异面直线P A 1与1AD 所成角的最大值是2π D ．点P 到平面1ACD 的距离不变12.12.（5分）已知抛物线:C px y 22=)0(>p ，过点)0,1(-M 的直线l 交C 于),(),,(2211y x B y x A )(21x x <两点. 点)0,1(N ，连接BN 并延长交C 于点D ，则下列说法正确的是（ ）A.4221px x =B.121=x xC.D 与A 关于x 轴对称D.||||||||MB DN NB MD ⋅=⋅三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.0>∀x ，022≥+-ax x 恒成立，则实数a 的最大值为__________14.（5分）14.过抛物线x y C 4:2=的焦点的直线l ，与C 交于B A ,两点，且316||=AB ，则直线l的斜率为___________15.（5分）15.已知曲线x y ln =在点M 处的切线过原点，则切点M 的坐标为___________16.（5分）16.三棱锥ABC P -中PAB ∆为等边三角形，4=AB ，3π=∠ACB ，二面角C AB P --的余弦值为31，则此三棱锥的外接球的表面积为___________ 四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17.（本题满分10分）如图，在ABC ∆中D 为BC 边上一点，AC AD ⊥，1=AD ,552sin =∠BAC ，___________，求ABC ∆的面积 注：从以下三个条件中任选一个条件，使得问题完整，再进行求解如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
（1）52=AB （2）43π=∠ADB （3）C BAD ∠=∠ 18.（12分）18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足12=a ，*122()+-=∈n n n a a n N ，数列{}n b 满足2=nn na b . （1）证明数列{}n b 是等差数列并求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S .19.（12分）19.（本小题满分12分）由于抗击新冠疫情需要，某厂响应国家号召开始生产医用N95口罩.在产品投入市场前，需要经过当地质量检验部门的检验，若不合格则禁止这批口罩投入市场. （1）若厂家生产的第一批产品中每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率；（2）已知厂家发给质量检验部门20件产品，其中有3件不合格。
按规定该质量检验部门从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才视为这批口罩合格，准许投入市场，否则禁止投入市场.求质量检验部门可能检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ，并求禁止这批产品投入市场的概率.20.（12分）20.右图是一个正三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知ABC ∆为等腰直角三角形，090=∠ACB（1）设点O 是AB 的中点，证明：⊥OC 平面11A ABB ；（2）若1112BB B A =，求直线B B 1和平面C AB 1所成角的正弦值.21.21.（12分）已知函数ax x x a x f -+-=221ln )1()( （1）若1>a ，讨论函数的单调性；（2）若对于任意的),0(,21+∞∈x x ，21x x >，有1221)()(x x x f x f ->-求实数a 的取值范围.22.（12分）22.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，21,F F 为椭圆的左右焦点，点)23,1(P 在C上，且212F F PF ⊥. （1）求椭圆的标准方程；（2）O 为原点，直线l 与椭圆交于B A ,两点，且OB OA ⊥,若AB OD ⊥,垂足为D ，求D 的轨迹方程.A 1B 1C 1ABCO一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1.（5分）C 2.（5分）D3.（5分）B4.（5分）A5.（5分）C6.（5分）A7.（5分）C8.（5分）B二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）CD10.（5分）BC11.（5分）11.解析：选ACD 对于A ，根据正方体的性质，有DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故A 正确；对于B ，连接A 1B ，A 1C 1，易知11BC A ∆为等边三角形，故B 不正确；对于C ，当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值π2，故A 1P 与AD 1所成角的范围是]2,3[ππ，故C 正确；对于D ，//1BC 面1ACD ,故正确12.12.（5分）BCD 解析：设直线)1(:+=x k y l联立⎩⎨⎧=+=pxy x k y 2)1(2 可得0)(22222=+-+k x p k x k故121=x x .B 正确同理可知点D 的横坐标也为1x ，故C 正确由上可知x 轴为BMD ∠的平分线，由平分线性质可得D 正确.三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.2214.（5分）14.3± 15.（5分）15.)1,(e16.（5分）16.π24 提示：首先分析ABC ∆,由正弦定理可知33823sin==r AB πABC ∆是外接球的确定截面圆的内接三角形，故可特值为ABC ∆为正三角形再由二面角C AB P --的余弦值为31可确定此三棱锥为各棱长都为4的三棱锥 四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17.解：条件（1）因为552cos )2sin(sin =∠=∠+=∠BAD BAD BAC π在ABD ∆中552522)52(1cos 22=⋅-+=∠BD BAD 解得：13=BD又131331321420cos cos =-=∠-=∠ADB ADC ,所以13132sin =∠ADC 在ACD ∆中可得313=CD34sin 21=∠⋅⋅=∆ADC AD BC S ABC 条件（2）易知1,4==∠AC C π因为552cos )2sin(sin =∠=∠+=∠BAD BAD BAC π55sin =∠∴BAD 1010)sin(sin =∠+∠=∠ADB BAD ABD 由正弦定理ADBABABD AD ∠=∠sin sin ,即5=AB1sin 21=∠⋅⋅=∆BAC AC AB S ABC 条件（3）因为552cos )2sin(sin =∠=∠+=∠BAD BAD BAC π55sin =∠∴BAD C BAD ∠=∠ BAC BDA ∆≈∆∴且易知2,5==AC CD 且,21===BC AB AB BD AC AD 所以41=BC BD 可得35=BD ,又552sin ==∠CD AC ADC34sin 21=∠⋅⋅=∴∆ADC AD BC S ABC 18.（12分）18.证明（1）1112,22+++==∴=n n n n n n n n n b a b a a b 211=-n b 12)1-⋅+n n 122)1(2--⋅++⋅n n n …………①n n n n 2)1(21⋅++⋅-…………②nnn n 2)1(21⋅+--4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A()410.20.9984P A =-=()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯= 记“质检部门任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则禁止这批产品投入市场的概率()136271119095P P B =-=-=所以禁止这批口罩投入市场的概率为279520.（12分）20.（1）证明：取11B A 中点D ，连接D C OD 1,,易得1//CC OD ,OD B A D C B A ⊥⊥11111,⊥∴11B A 面1CODC ,CO B A ⊥∴11,又ABC ∆ 为等腰直角三角形，AB CO ⊥∴,⊥∴CO 面11A ABBa C B =11（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设易知⊥D C 1面B B AA 11,CO DC //1∴,COD C =123a CO =∴，26aBC =，a BA 3=，由B 分别做11,CC AA 的垂线BF BE ,，垂足为F E ,,易得a AE aCF 2,22==223,211aAA a CC ==∴ 由以上易知)22,0,0(1aB =)223,23,2(),2,23,2(11a a a B a a a B -=--= 设面AC B 1的法向量),,(z y x =则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011B B ,令1=x 可得)2,335,1(--= 设B B 1和平面C AB 1所成角为θ则1751||||sin 11=⋅=n B B θ21.（12分）21.解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞。