天津市六校联考高三数学上学期期末试卷理(含解析)

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天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题Word版含答案

天津市六校2013届高三第二次联考数学理一．选择题 1.i 是虚数单位，i33i += （）A ．i 123-41 B. i 12341+ C. i 6321+ D. i 63-212.如果命题“p 且q”是假命题，“￢p”也是假命题，则（） A ．命题“￢p 或q”是假命题 B. 命题“p 或q”是假命题 C. 命题“￢p 且q”是真命题 D. 命题“p 且￢q”是真命题3.如图，若框图所给的程序的输出结果是S=990，那么判断框中应填入的关于的判断条件是A ．k≥9？ B. k≥8？ C. k≤8？ D. k≤7？4.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤0y ,0x 0y -x 02-y -x 3，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最大值为2，则a 1+b1的最小值为（） A ．625 B. 38C.2D.4 5.已知等差数列{}n a 中，a 7+a 9=16，S 11=299，则a 12的值是（）A ．15 B.30 C.31 D.64 6.设函数f(x)=Asin （ϕω+x ）（A ＞0，ω＞0，-2π＜ϕ＜2π）的图象关于直线x=32π对称，且周期为π，则f(x) ( ) A.图象过点（0，21） B.最大值为-AC.图象关于（π，0）对称D.在[125π,32π]上是减函数 7.△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2→AO =→AB +→AC 且→AO =→AB ，则向量→AB 在→BC 方向上的投影为（） A ．21 B. 23 C. -23 D. -21 8．定义在R 上的奇函数f(x),当x≥0时，f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈∈+）,1[3-x -1)1,0[x ），1x （log 21x ，则关于x 的函数F(x)=f(x)-a(0＜a ＜1)的所有零点之和为（）A ．2a -1 B.1-2a C.2-a -1 D.1-2-a 二．填空题9.一个社会调差机构就某地居民月平均收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。

2021-2022学年天津市河北区高三(上)期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，则∁U(M∪N)=( )A. {5}B. {1,2}C. {3,4}D. {1,2,3,4}2.“x，y为无理数”是“xy为无理数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为( )A. 13abc B. 16abc C. 112abc D. 124abc4.某公司决定每个月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此该公司随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，并绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图中数据，月销售额在[14,16)内的频率为( )A. 0.18B. 0.12C. 0.10D. 0.065.函数f(x)=xln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0))过点(3,2√3)，且渐近线方程为y =±√2x ，则双曲线C 的方程为( )A.x 23−y 26=1B.x 26−y 23=1C.x 22−y 2=1 D. x 2−y 22=17. 若a =log 1215，b =log 24.1，c =20.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a8. 将函数f(x)=sinxcosx −cos 2x +12的图象向左平移3π8个单位长度后得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )A. g(x)是最小正周期为2π的偶函数B. g(x)在[π,2π]上单调递减C. g(x)是最小正周期为4π的奇函数D. g(x)在[0,π2]上的最小值为−√229. 已知函数f(x)={2x −a,x ≤1x 2−3ax +4a,x >1有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (23,2] B. (169,2]C. (169,2)D. (−∞,0)∪(169,+∞)10. i 是虚数单位，则|4i1−i|的值为______. 11. 二项式(x 2+12x )6的展开式中常数项为__________.12. 已知过点(2,−4)的直线与圆C ：(x −1)2+(y +2)2=5相切，且与直线ax −2y +3=0垂直，则实数a 的值为______.13. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为______.14. 已知a >0，b >0，且a +4b −ab =0，则3a+b的最大值为______. 15. P 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 上一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为______.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinB =√3bcosA. (1)求角A 的大小；(Ⅱ)若cosB =√55，求sin(2B +A)的值； (Ⅱ)若a =√7，b =2，求边c 和△ABC 的面积．17. 如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，AA 1=2，E ，F 分别为CC 1，BD 1的中点．(Ⅱ)求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； (Ⅱ)求平面BD 1E 与平面BDE 的夹角的余弦值； (Ⅱ)求点F 到平面BDE 的距离．18. 已知公比大于1的等比数列{a n }的前6项和为126，且4a 2，3a 3，2a 4成等差数列． (Ⅱ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =(n +1)a n (n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ；(Ⅱ)若数列{c n }满足c n =c n−1+log 2a n (n ≥2且n ∈N ∗)，且c 1=1，证明1c 1+1c 2+1c 3+⋯+1c n <2.19. 已知圆C 1：(x +1)2+y 2=25，圆C 2：(x −1)2+y 2=1，动圆C 与圆C 1和圆C 2均内切． (Ⅱ)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)点P(1,t)为轨迹E 上点，且点P 为第一象限点，过点P 作两条直线与轨迹E 交于A ，B 两点，直线PA ，PB 斜率互为相反数，则直线AB 斜率是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．20. 已知函数f(x)=x(1+lnx)(Ⅱ)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若m ∈Z ，m(x −1)<f(x)对任意的x ∈(1,+∞)恒成立，求m 的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，属于基础题．利用并集定义先求出M∪N，由此能求出∁U(M∪N).【解答】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2}，N={3,4}，∴M∪N={1,2,3,4}，∴∁U(M∪N)={5}.故答案选：A.2.【答案】D【解析】解：根据题意，“x，y为无理数”，则不一定可以推出“xy为无理数”，如x=y=√2，但xy=2是有理数，反之，若“xy为无理数”，不一定可以推出“x，y为无理数”，例如xy=2√2，x=2是有理数，y=√2是无理数，故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件，故选：D.根据充要条件的定义逐项进行判断．本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为：V=13Sℎ=13×12×abc=16abc.故选：B.直接利用三棱锥的体积公式能求出这个三棱锥的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由频率分布直方图可直接得销售额在[14,16)内的频率为：1−2(0.03+0.12+0.18+0.07+0.02+0.02)=0.12.故选：B.利用频率分布直方图可直接求出销售额在[14,16)内的频率．本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：因为f(x)=xln|x|，所以定义域为{x|x ≠0}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B ；令f(x)=0，得x =1或x =−1，即f(x)只有2个零点，排除A ；当0<x <1时，lnx <0，所以xlnx <0，排除D. 故选：C.选求出定义域，再判断奇偶性和零点个数，最后判断函数在(0,1)上的正负即可．本题考查了函数的奇偶性、零点个数，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：点(3,2√3)代入双曲线，焦点在x 轴上，渐近线方程为y =±b a x ，所以{9a 2−12b 2=1ba=√2，解得{a =√3b =√6，故双曲线的方程为x 23−y 26=1. 故选：A.由点(3,2√3)代入双曲线和渐近线方程，联立得到a ，b ，c 的方程组，求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵log 1215=log 25>log 24.1>2，∴a >b >2，又∵c =20.8<c =21=2， ∴c <b <a ，故选：D.利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．8.【答案】D【解析】解：函数f(x)=sinxcosx −cos 2x +12=12sin2x −1+cos2x 2+12=√22sin(2x −π4)；函数f(x)的图象向左平移3π8个单位长度后得到函数g(x)=√22sin(2x +3π4−π4)=√22cos2x 的图象对于A ：函数的最小正周期为2π2=π，且满足g(−x)=g(x)故该函数为最小周期为π的偶函数，故A 错误；对于B ：函数的最小正周期为π，故C 错误；对于C ：当x ∈(π,2π)时，2x ∈(2π,4π)，故函数在该区间上不单调，故C 错误；对于D ：由于x ∈[0,π2]，所以2x ∈[0,π]，当x =π2时，函数的最小值为−√22，故D 正确；故选：D.首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的图象的平移变换，最后利用余弦型函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意可知：函数图象的x ≤1的部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的x >1部分为开口向上的抛物线，对称轴为x =3a2，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数x=1时过点(1,2)，故需下移至多2个单位，故0<a≤2，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点16a−9a 24<0，f(1)=1+a>0,3a2>1，解得169<a≤2，故选：B.画出函数f(x)的图象，通过平移图形数形结合即可求解．本题考查了根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题．10.【答案】2√2【解析】解：∵4i1−i =4i(1+i)(1−i)(1+i)=2i(1+i)=−2+2i，∴|4i1−i|=|−2+2i|=√4+4=2√2，故答案为：2√2.化简4i1−i，求出复数的模即可．本题考查了复数的运算和复数的模，是基础题．11.【答案】1516【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．求出展开式的通项公式，令x 的指数为0，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=C 6r (x 2)6−r (12x )r =C 6r⋅(12)r x 12−3r ，令12−3r =0，解得r =4，则展开式的常数项为C 64⋅(12)4=1516，故答案为：1516.12.【答案】−4【解析】解：圆C ：(x −1)2+(y +2)2=5，圆心C(1,−2)，而点(2,−4)满足(2−1)2+(−4+2)2=5，则点在圆C 上，若过点(2,−4)的切线与直线ax −2y +3=0垂直，则过圆心与切点的连线的斜率k =−4−(−2)2−1=−2=a2，解得a =−4，故答案为：−4.根据题意，可得点(2,−4)在圆C 上，结合直线与圆相切的性质，利用斜率相等列式求解a 值．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与直线垂直的判断，属于基础题．13.【答案】512【解析】【分析】设A 1，A 2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B 1，B 2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的概率乘法公式求出以上4个事件的概率，设事件A 表示“星队”在两轮活动中猜对3个成语”，则A =A 1B 2∪A 2B 1，再利用独立事件的概率乘法公式即可求出结果．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．【解答】解：由题意，设A 1，A 2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B 1，B 2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则P(A 1)=2×34×14=38， P(A 2)=34×34=916，P(B 1)=2×23×13=49， P(B 2)=23×23=49，设事件A 表示“星队”在两轮活动中猜对3个成语”，则A =A 1B 2∪A 2B 1，且A 1B 2与A 2B 1互斥，A 1与B 2，A 2与B 1分别相互独立， ∴P(A)=P(A 1B 2)+P(A 2B 1)=P(A 1)P(B 2)+P(A 2)P(B 1)=38×49+916×49=512，即“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为512，故答案为：512.14.【答案】13【解析】解：因为a >0，b >0，且a +4b −ab =0，所以1b+4a=1，所以a +b =(1b+4a)(a +b)=a b+1+4+4b a ≥2√4+5=9，当且仅当a =2b 时，等号成立，所以3a+b≤39=13，所以3a+b 的最大值为13. 故答案为：13.直接利用关系式的恒等变换和基本不等式，求出3a+b 的最大值．本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】32【解析】解：由P 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 上一点，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗=13+23+1×1×cos60∘ =32，故答案为：32.先进行向量的线性运算，再结合向量数量积运算求解即可．本题考查了向量的线性运算，重点考查了向量数量积运算，属基础题．16.【答案】解：(Ⅱ)∵asin⁡B =√3bcos⁡A ，由正弦定理得sinB =√3sinBcosA. ∵sinB ≠0，∴sinA =√3cosA ， ∴tanA =√3.又0<A <π，∴A =π3. (Ⅱ)由cosB =√55，得sinB =√1−cos 2B =2√55. ∴sin2B =2sinBcosB =45，cos2B =2cos 2B −1=−35. ∴sin(2B +A)=sin(2B +π3)=sin2Bcos π3+cos2Bsin π3=4−3√310； (Ⅱ)由(1)知A =π3又a =√7b =2，由余弦定理得7=4+c 2−2c ，c 2−2c −3=0. 解得c =3.∴△ABC 的面积S =12bcsinA =3√32. 【解析】(I)由正弦定理得sinB =√3sinBcosA.从而可求tanA =√3，即可求A ；(II)由cosB =√55，利用同角三角函数的基本关系可得sinB ，从而可求sin2B ，cos2B ，进而利用两角和的三角函数可求值；(III)由余弦定理可求c ，进而可求面积．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅱ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，D 1(0,0,2)，C(0,1,0)，E(0,1,1)，F(12,12,1).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2).设平面BDE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， ∵DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∴{n ⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0y +z =0 取x =1，得n ⃗ =(1,−1,1).设直线BD 1与平面BDE 所成的角为α.则sinα=|cos <BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n⃗ |=√6×√3=√23，即直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值为√23. (Ⅱ)设平面BD 1E 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∵BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)， ∴{m ⃗⃗⃗ +BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −y +2z =0−x +z −0.取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,1,1).设平面BD 1E 与平面BDE 的夹角为θ，则cosθ=|cos(m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ )|=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√3×√3=13，即平面BD 1E 与平面BDE 的夹角的余弦值为13. (Ⅱ)由(Ⅱ)知，平面BDE 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1).∵DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,1).∴点F 到平面BDE 的距离d =|DF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n⃗ |=√3=√33，即点F 到平面BDE 的距离为√33.【解析】(1)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得向量BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |和向量BDE 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； (2)求得平面BD 1E 的法向量，结合(1)中平面BDE 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； (3)由(1)知，平面BDE 的一个法向量为n 和向量DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合距禽公式，即可求解．本题考查空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】(Ⅱ)解：设等比数列{a n }的公比为q(q >1)，前n 项和为S n ，∵4a 2，3a 3，2a 4成等差数列，∴6a 3=4a 2+2a 4，得6a 1q 2=4a 1q +2a 1q 3，即q 2−3q +2=0，解得q =2或1(舍)，由S 6=a 1(1−q 6)1−q=126，得63a 1=126，解得a 1=2，∴a n =2⋅2n−1=2n .(Ⅱ)解：b n =(n +1)a n =(n +1)⋅2n ，∴T n =2×2+3×22+4×23+⋯+(n +1)⋅2n ， 2T n =2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)⋅2n+1，两式相减得，−T n =4+22+23+⋯+2n−(n +1)⋅2n+1=2+2(1−2n )1−2−(n +1)⋅2n+1=−n ⋅2n+1，∴T n =n ⋅2n+1.(Ⅱ)证明：由(Ⅱ)可得，c n =c n−1+log 22n ，即c n −c n−1=n(n ≥2)， ∴c 2−c 1=2，c 2−c 2=3，…，c n−1−c n−2=n −1，c n −c n−1=n ，以上各式相加得，c n −c 1=2+3+……+(n −1)+n ，又c 1=1，∴c n =1+2+3+4+⋯+n =n(n+1)2(n ≥2)，当n =1时，c 1=1适合上式，故c n =n(n+1)2(n ∈N ∗)，∴1c n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)， ∴1c 1+1c 2+1c 3+⋯+1c n =2(1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)<2.【解析】(Ⅱ)根据等差中项性质与等比数列的通项公式求得公比q ，再结合等比数列的前n 项和公式求出首项a 1，得解；(Ⅱ)b n =(n +1)⋅2n ，再采用错位相减法，得解；(Ⅱ)易得c n −c n−1=n(n ≥2)，先由累加法，求得数列{c n }的通项公式，再利用裂项求和法，得证．本题考查数列的通项公式与前n 项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，以及累加法、错位相减法、裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：圆C 1：(x +1)2+y 2=25的圆心C 1(−1,0)，半径r 1=5；圆C 2：(x −1)2+y 2=1的圆心C 2(1,0)，半径r 2=1. 设动圆C 的圆心C(x,y)，半径r. ∵动圆C 与圆C 1，圆C 2均内切， ∴|C 1C|=5−r ，|C 2C|=r −1.∴|C 1C|+|C 2C|=5−1=4>|C 1C 2|=2，因此动点C 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2，得a =2，c =1，∴b 2=a 2−c 2=3.因此动圆圆心C 的轨迹E 方程是x 24+y 23=1；(Ⅱ)如图，∵点P(1,t)为轨迹E 上点，且点P 为第一象限点， ∴14+t 23=1，解得t =32，∴P(1,32)，设PA 所在直线方程为y −32=k(x −1)，则PB 所在直线方程为y −32=−k(x −1)，联立{y −32=k(x −1)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2−(8k 2−12k)x +4k 2−12k −3=0，则x A +1=8k 2−12k 3+4k2，∴x A =4k 2−12k−33+4k2，y A =−12k 2−12k+92(3+4k 2)，取k 为−k ，可得x B =4k 2+12k−33+4k2,y B =−12k 2+12k+92(3+4k 2)，∴k AB =−12k 2+12k +92(3+4k 2)−−12k 2−12k +92(3+4k 2)4k 2+12k −33+4k 2−4k 2−12k −33+4k 2=12. ∴直线AB 斜率为定值12.【解析】(Ⅱ)圆(x +1)2+y 2=1的圆心C 1(−1,0)，半径r 1=1；圆(x −1)2+y 2=25的圆心C 2(1,0)，半径r 2=5.设动圆C 的圆心C(x,y)，半径r.由于动圆C 与圆(x +1)2+y 2=1及圆(x −1)2+y 2=25都内切，可得|C 1C|=r −1，|C 2C|=5−r.于是|C 1C|+|C 2C|=5−1=4>|C 1C 2|=2，利用椭圆的定义可知：动点C 的轨迹是椭圆；(Ⅱ)把P 的坐标代入椭圆方程，求得t 值，然后设出过PA 的直线方程，PB 的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求得A ，B 的坐标，代入斜率公式可得直线AB 斜率为定值12.本题考查了两圆相内切的性质、椭圆的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅱ)∵f(x)=x(1+ln⁡x)，∴f′(x)=lnx +2.∴f(1)=2，f(1)=1.∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0. (Ⅱ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).令f′(x)=0，解得x =1e 2. 当x 变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表所示．∴函数f(x)在区间(0,e2)上单调递减，在区间(e2,+∞)上单调递增． ∴当x =1e 2时，函数f(x)有极小值f(1e2)=−1e2，无极大值．(Ⅱ)由题意知，m(x −1)<x(1+lnx)对任意的x ∈(1,+∞)恒成立． ∴m <x(1+lnx)x−1对任意的x ∈(1,+∞)恒成立．令g(x)=x(1+lnx)x−1(x >1)，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)2.令ℎ(x)−x −lnx −2，则ℎ′(x)=1−1x>0恒成立． ∴函数ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增．又ℎ(3)=1−ln3<0，ℎ(4)=2−2ln2>0， ∴存在x 0∈(3,4)，使得ℎ(x 0)=0，即lnx 0=x 0−2，当x ∈(1,x 0)时，g′(x)<0，函数g(x)在(1,x 0)上单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)在(x 0,+∞)上单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0+x 0lnx 0x 0−1=x 02−x 0x 0−1=x 0，∴m <x 0， ∴m 的最大值为3.【解析】(Ⅱ)对f(x)求导，求出f(1)，f(1)，利用点斜式即可求解切线方程； (Ⅱ)利用导数与单调性的关系可求得单调区间以及极值； (Ⅱ)利用参变量分离法可得m <x(1+lnx)x−1对任意的x ∈(1,+∞)恒成立．令g(x)=x(1+lnx)x−1(x >1)，利用导数求出g(x)的最小值，从而可得m 的最大值．本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

天津市第一中学2025届高三上学期数学统练8

天津市第一中学2025届高三上学期数学统练8一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}{}=13572,5,8M N =,,,,，则()U M N ⋂=ð（）A ．{}5B ．{}2,8C ．{}1,3,7D ．{}4,62．已知a ，b 为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数ln(cos 2y x x =+⋅的图像可能是（）A ．B．C．D ．4．已知函数()()()200x x e e x f x x x -⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩，若0.013235,log 2,log 0.92a b c ===，则有（）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f c f a f b >>5．在等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则8967a a a a ++等于（）A．1-B．1C．3-D．3+6．在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若150S >，160S <，则在11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的是（）A ．11S a B ．88S a C ．99S a D ．1515S a 7．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度可得到sin 2y x =的图象B ．6x π=是函数()f x 的一条对称轴C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心D ．函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最小值为8．已知函数,0()(3)4,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意x 1≠x 2，都有(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0成立，则a的取值范围为（）A ．1(0,]4B ．(0，1)C ．1[,1)4D ．(0，3)9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()21,01,44,1 2.x e x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+≤⎩＜若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（）A ．11,75e e ⎛--⎤⎥⎦⎝B ．11,75e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,97e e ⎛--⎤⎥⎦⎝D ．11,97e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题10．计算：2i1i+=-.11．在522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数是．12．过点()1,0且与函数1e x y -=图象相切的直线方程为.13．已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC 两两垂直，且AS AB AC ===,E F 分别是棱,AS BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC-的体积为．14．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则11a ab+的最小值是．15．已知0λ>，对任意的(0,)x ∈+∞，不等式2ln 02xxe λλ-≥恒成立，则λ的最小值为.三、解答题16．已知在ABC V 中，三个内角、、A B C 的对边分别为a b c ，，，若22tan tan b A a B =，22sin 1cos 22A BC +=+.(1)求角A 的大小；(2)若点D 为AB 上一点，满足4BCD π∠=，且CD =ABC V 的面积.17．已知函数2()2sin cos f x x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若0π6(125f x -=，0ππ[,]42x ∈，求0cos2x 的值．18．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知．AB //CD ，AD CD ⊥，11.2AB AD CD ===点P 为线段EC 的中点．(1)求证：BF ∥平面CDE ；(2)求直线DP 与平面BDF 所成角的正弦值；(3)求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值．19．等比数列{an }的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4＝4a 32，数列{bn }的前n 项和Sn ＝(1)2nn b +，n ∈N *，且b 1＝1.（1）求数列{an }和{bn }的通项公式；（2）设cn ＝*252123,n nn n b a n N b b +++∈，求证：113nk k C =<∑；（3）设Rn ＝a 1b 1+a 2b 2+L +anbn ，Tn ＝a 1b 1﹣a 2b 2+L +（﹣1）n -1anbn ，n ∈N *，求R 2n +3T 2n﹣1.20．已知函数()2xaxf x a e =+（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，a R ∈且0a ≠）.（1）求op 的单调区间；（2）若2x =是函数()()2122x xg x xe f x axe x x =-+-在()0,+¥上的唯一的极值点，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()1ln 1h x x f x a a=--+有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.。

天津市部分区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题

天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

祝各位考生考试顺利!第I 卷（共45分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱锥的体积公式13V Sh =h ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A.{}1,2,4,5 B.{}2 C.{}0,3 D.{}0,2,3,52.设x ∈R ，则“0x >”是“20x x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.14a =，0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.a c b << C.c a b << D.b c a<<4.已知函数()f x 在[]4,4-上的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()cos2x f x x π=⋅ B.()cos 2x f x x π=⋅C.()sin 2x f x x π=⋅ D.()sin 2xf x x π=⋅5.已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12a =，32618a a =-，则5S =（）A.30B.80C.240D.2426.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.247.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线6x π=对称B.图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.()g x 的一个单调递增区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.曲线()y g x =与直线2y =的所有交点中，相邻交点距离的最小值为6π8.已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，2SB =，SC =，1AB =，3BC =，则三棱锥S ABC -的体积是（）A.2 C.2 D.9.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为52，实轴长为4，C 的两个焦点为1F ，2F .设O 为坐标原点，若点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=-，则OP =（）A.2 C. D.第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

天津市南开区2024届高三上学期阶段性质量监测数学试题(二)(解析版)

天津市南开区2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题第I 卷注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：●锥体的体积公式13V Sh=，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.●对于事件(),,0A B P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅∣.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}1,0,1,2,3,0,1,2,{12}U A B x x =-==∈-<<Z ∣，则()U A B =ð（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】由集合补集及交集的性质即可求得.【详解】{}{12}0,1B x x =∈-<<=Z ∣，{}1,0,1,2,3U =-{}U 1,2,3B ∴=-ð又{}0,1,2A = ∴()U A B = ð{}2故选：C2.函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案.【详解】因为2()sin 12xf x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xxx f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B.33223322sin(10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.3.“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将存在量词命题转化为有解问题，再利用一元二次不等式有解及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】因为2R,0x x x a ∃∈-+<，所以()2140a ∆=-->，解得14a <.所以(),1-∞1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故“1a <”是“2R,0x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件.故选：B.4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则a 的值为（）A.0.02B.0.2C.0.04D.0.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1,10,0.45,10,0.05a a ，则0.1100.45100.05200.61a a a ++++=+=，解得0.020a =.故选：A.5.设0.40.40.3log ,log 022,.3a b c ===，则（）A.a c b <<B.b a c <<C.c b a <<D.a b c<<【答案】D 【解析】【分析】利用对数的运算性质、对数函数的性质和指数函数的性质即可求解.【详解】20.0.3243log ,o lo 1122log 0.4l g 0.g a b ====，由2log y x =在()0,∞+上单调递增，0.40.3>，得220.40.30>log log >，所以22110log 0.4log 0.3<<，即0.40.30log l 2og 2<<，于是有0a b <<，由0.40.30c =>，得0a b c <<<，所以a b c <<.故选：D.6.数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，其前n 项积为n T ，则10T 等于（）A.16B.16-C.6D.6-【答案】D 【解析】【分析】依次代入1,2,3,4n =可得{}n a 是以4为周期的周期数列，由1231n n n n a a a a +++=可推导得到结果.【详解】当1n =时，121131a a a +==--；当2n =时，2321112a a a +==--；当3n =时，3431113a a a +==-；当4n =时，454121aa a +==-；…，∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，()()1231123123n n n n a a a a n N *+++⎛⎫∴=⨯-⨯-⨯=∈ ⎪⎝⎭，()10891012236T T a a a a ∴=⋅==⨯-=-.故选：D.7.已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】易证AB ⊥平面1CDO ，然后由11--=+ABCD A CDO B CDO V V V 求解.【详解】解：如图所示：连接11CO DO ，因为AB CD ⊥，12AB O O ⊥，且122O O CD O ⋂=，所以AB ⊥平面1CDO ，所以11--=+ABCD A CDO B CDO V V V ，111142223323=⋅=⨯⨯⨯⨯= CDO S AB ，故选：D8.设函数()()(0,π)f x x ωϕωϕ=-><.若π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A.17π,312ωϕ==-. B.111π,324ωϕ==C.2π,312ωϕ==-D.211π,312ωϕ==【答案】C 【解析】【分析】由题意求得4T，再由周期公式求得ω，再由5π8⎛⎫= ⎪⎝⎭f π2π12k ϕ=--，结合||πϕ<，求得ϕ值，即可得解．【详解】由()f x 的最小正周期大于2π，可得π42T >，因为π5π0,88f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5ππ3π4884=+=T ，则3πT =，且0ω>，所以2π23T ω==，即2()3ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ，由5π25π838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得5ππ2π122ϕ-=+k ，k ∈Z ，则π2π12k ϕ=--，k ∈Z ，且π<ϕ，可得0k =，π12ϕ=-，所以23ω=，π12ϕ=-.故选：C ．9.已知()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，点P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为6π，则双曲线的标准方程为（）A.22163x y -= B.22136x y -= C.2218y x -= D.2218x y -=【答案】B 【解析】【分析】设点P 为双曲线右支上一点，结合双曲线的定义与条件可得14PF a =，22PF a =，在12PF F △中，根据大边对大角可知12PF F ∠为最小角，进而根据余弦定理求得a ，再得到b ，即可得到答案.【详解】设点P 为双曲线右支上一点，则12PF PF >，因为122PF PF a -=，且126PF PF a +=，所以14PF a =，22PF a =，由题，因为1226F F c ==，则2242c a a a>⎧⎨>⎩，所以12PF F ∠为最小角，故126PF F π∠=，所以在12PF F △中，由余弦定理可得，()()()22242232422a c a a c+-=⋅⋅，解得a =所以b ，所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：B第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.已知复数1212i,i z z a =+=-，若12z z ⋅是实数，则实数a 的值为__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得()()12221i ⋅=++-z z a a ，进而结合题意可得210a -=，运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()()1212i i 221i ⋅=+-=++-z z a a a ，若12z z ⋅是实数，则210a -=，解得12a =.故答案为：12.11.6⎛⎫展开式中，3x 的系数等于________．【答案】15【解析】【详解】⎛⎫6的通项为T r ＋1＝C 6r⎛⎫6－r ⎛ ⎝r ＝C 6r (－1)r x6－32ry 32r －3，令6－32r ＝3，得r ＝2，32r －3＝0，故x 3的系数为C 62(－1)2＝15.12.直线21y x =+与圆C ：22450x y x +--=相交于M ，N 两点，则MN =______．【答案】4【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理求解.【详解】解：圆C ：()2229x y -+=，其圆心坐标为()2,0，半径为3．圆心()2,0到直线2x －y ＋1＝0的距离d ==则4MN ===．故答案为:4.13.设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为__________.【答案】0.82##4150【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A =“甲乘汽车前往某目的地”，事件2A =“甲乘动车前往某目的地”，事件B =“甲正点到达目的地”.()()()()()11220.40.70.60.90.82P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=.故答案为：0.8214.在ABC 中，1,90AC BC C ∠===，则CA CB +=__________；若P 为ABC 所在平面内的动点，且3PC =，则PA PB ⋅ 的取值范围是__________.【答案】①.②.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立，利用向量的坐标运算求CA CB + ；设33cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的坐标运算结合辅助角公式可得()1sin 3PA PB θϕ⋅=-+ ，再结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】如图，以C 为坐标原点，,AC BC 分别为,x y 轴所在直线，建立平面直角坐标系，则()(()1,0,,0,0A B C ，可得()(1,0,CA CB == ，则(CA CB +=，所以CA CB +==；因为3PC =，设cos ,sin 33P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得1cos,sin,cos sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33331cos cos sin sin3333PA PBθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+--⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11sin cos sin3333θθθϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎪⎝⎭，其中cos,sin33ϕϕ==，因为()[]sin1,1θϕ+∈-，所以()124sin,333PA PBθϕ⎡⎤⋅=-+∈-⎢⎥⎣⎦.24,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()()1221,1,log1,1,x xf xx x-⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()f x m=有三个不等的实根，则实数m的取值范围是__________；函数()()()()322g x f f x f x=--的零点个数是__________.【答案】①.(]1,2②.4【解析】【分析】作出()f x大致图象，结合图象可得实数m的取值范围；令()f x t=，将问题转化为()322f t t=+，根据图象分析得()122f t t=+有两个零点为10t=，()21,2t∈，从而考虑()1f x t=与()2f x t=根的个数即可求解.【详解】作出()f x大致图象如下：若方程()f x m=有三个不等的实根，由图象可得实数m的取值范围是(]1,2；令()f x t=，则()3202f t t--=，可得()322f t t=+，且()302f =，结合图象可知方程()322f t t =+的一个根10t =，另一个根()21,2t ∈，当10t =时，()f x 与1y t =的图象有1个交点，所以()1f x t =有1个实根，当()21,2t ∈时，()f x 与2y t =的图象有3个交点，所以()2f x t =有3个实根，综上所述：()g x 共有4个零点.故答案为：(]1,2；4.【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且)2222sin ac B a c b =+-，2a c =.（1）求角B 的大小；（2）求角A 的大小；（3）求2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -的值.【答案】（1）π3B =（2）π4A =（3）28【解析】【分析】（1）根据题意利用余弦定理边化角即可得解；（2）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；（3）可得5π12=C ，代入结合降幂公式分析求解.【小问1详解】因为)2222sin ac B a c b =+-，由余弦定理可得2sin cos =ac B B ，则tan B =.又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为2a c +=，由正弦定理可得sin 2sin A B C =，即π2sin 2sin π33A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 2A A A +=+，则cos 2A =.因为0πA <<，所以π4A =.【小问3详解】由（1）（2）可得()5ππ12=-+=C A B ，则2sin cos sin cos sin sin cos A B C A B C C -5π5π1cos sin ππππ66sin cos cos sin 432432-=⋅⋅-⋅3111222222228+=⨯-=.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱11AB 上一点（不含端点），F 为棱BC 的中点.（1）若E 为棱11A B 的中点，（i ）求直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值；（ii ）求平面11A BC 和平面AC 的夹角的余弦值；（2）求直线EF 与11A C 所成角余弦值的取值范围.【答案】（1）（i ）23；（ii）3（2）,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标；（i ）求出直线EF 的方向向量和平面A 1BC 1的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（ii ）分别求出平面A 1BC 1和平面AC 的法向量，利用向量的夹角与线面角的关系即可求解；（2）根据（1）的结论，分别求出直线EF 和直线A 1C 1的方向向量，利用向量的夹角与线面角的关系，结合对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中以DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若E 为棱11A B 的中点，则()()2,1,2,1,2,0E F ，()()()112,2,0,2,0,2,0,2,2B A C .所以()()()1112,2,0,0,2,2,1,1,2A C BA FE =-=-=- .（i ）设平面11A BC 的一个法向量为(),,n x y z =，则1110,0,n A C n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则()1,1,1n = .设EF 与平面11A BC 所成角为α，则有sin cos ,3n FE n FE n FEα⋅==== .故直线EF 与平面11A BC 所成角的正弦值为23.（ii ）易知平面AC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面PDC 和平面EAC 的夹角为β，则有||cos |cos ,|||||3m n m n m n β⋅=〈〉== .故平面11A BC 和平面AC的夹角的余弦值为3.【小问2详解】设直线EF 与11A C 所成角为(),2,,2(02)E m m θ<<，则()1,2,2FE m =- .所以111111cos cos ,A C FE A C FE A C FE θ⋅====因为02m <<，所以952m m +>，即1211954m m <-<+-1<，所以102102<，即102cos 102θ<<.故直线EF 与11A C所成角余弦值的取值范围为,102⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点226,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且其左焦点坐标为()1,0-.（1）求椭圆的方程；（2）对角线互相垂直的四边形ABCD 的四个顶点都在E 上，且两条对角线均过E 的右焦点，求AC BD +的最小值.【答案】（1）22143x y +=（2）487.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程；（2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出AC BD +，利用二次函数可得答案.【小问1详解】因为椭圆E 的左焦点坐标为()1,0-，所以右焦点坐标为()1,0,1c =.又椭圆E经过点2,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以24,a b ====所以椭圆的方程为22143x y +=.【小问2详解】①当直线,AC BD 中有一条直线的斜率不存在时，7AC BD +=.②当直线AC 的斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程()()11221,,,,x ty A x y C x y =+，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，()2212134t AC t +=+.设直线BD 的方程为11x y t =-+，同理得()2212134t BD t +=+，所以()()()22228413434t AC BD t t ++=++，设21m t =+，则1m >，则()()22284848448113141711491224m AC BD m m m m m +===≥+-⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，所以2m =时，AC BD +有最小值487.综上，AC BD +的最小值是487.19.已知正项等比数列{}n a 满足1232,12a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和为12,1n S b =，当2n ≥时，10n n n S S b -+=.（1）求{}n a 的通项公式：（2）证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求n S ；（3）设数列n n a S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若()29n n T n a λ≤+恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）2nn a =（2）证明见解析，11n S n =+（3）3λ≤.【解析】【分析】（1）利用等比数列基本量的计算求通项公式；（2）利用n a 与n S 的关系以及等差数列的定义求解；（3）利用错位相减法求和以及基本不等式求解.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由1232,12a a a =+=，得22212q q +=，解得2q =，所以2n n a =.【小问2详解】当2n ≥时，10n n n S S b -+=，所以()110n n n n S S S S --+-=，整理得1111n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S b ==为首项，1为公差的等差数列.所以11n n S =+，即11n S n =+.【小问3详解】由（1）､（2）知()12n n n a n S =+⋅，所以()1231223242212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ，①()23412223242212,n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ ②①-②得()()231422212n n n T n +-=++++-+⋅ 12n n +=-⋅,所以12n n T n +=⋅.由()29n n T n a λ≤+得()12292n n n n λ+⋅≤+⋅，即922n nλ≤+，因为9322n n +≥=，当且仅当3n =时，等号成立，所以3λ≤.20.已知函数()()ln ,a f x x x g x x x =-=+，且函数()f x 与()g x 有相同的极值点.（1）求实数a 的值；（2）若对121,,3e x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()12f x f x k -≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：()()e cos x x f x g x x++<.【答案】（1）1（2）()2ln3,∞-+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的极大值点为1x =，由(1)0g '=可得1a =，经检验可确定1a =；（2）先求得()f x 在1,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，然后分1k >-和1k <-两种情况可得k 的取值范围；21(0)2x x >和21ln e 2x x x x -<-即可证令()（3）所证不等式即为x ln x -e x <cos x -1，通过证明cos x -1>-得结果.【小问1详解】110f x x'=-=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>在()0,1单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<在()1,+∞单调递减，故函数()f x 的极大值点为1x =.令()210a g x x=-='，由题意可得()110g a '=-=，解得1a =，经验证符合题意，故实数a 的值为1.【小问2详解】由（1）知，函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在()1,3单调递减，又()()111,11,3ln33e e f f f ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭，且1ln3311e-<--<-，所以当1,3e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min ()11,()3ln33f x f f x f ==-==-，若不等式()()12f x f x k -≤恒成立，则()max min ()()1ln332ln3≥-=---=-k f x f x ，所以k 的取值范围为()2ln3,∞-+.【小问3详解】所证不等式即为ln e cos 1x x x x -<-.先证：21cos 1(0)2x x x ->->，即证21cos 102x x +->在()0,∞+上恒成立，设()()21cos 1,sin 2h x x x h x x x =+-='-+，设()()'=d x h x ，因为()cos 10'=-+>d x x 在()0,∞+上恒成立，所以()h x '在()0,∞+单调递增，则()()00h x h ''>=，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()00h x h >=，所以21cos 1(0)2x x x >->.再证：21ln e 2x x x x -<-，即证2ln e 12x x x x <-.设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x -'==，当()0,e x ∈时，()()0,m x m x '>单调递增，当()e,x ∈+∞时，()()0,m x m x '<单调递减，所以()()1e em x m <=.设()()()232e e 1,2x x x x x x x ϕϕ-=-='，当()0,2x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()2e 1242x ϕϕ>=-.所以22ln 1e 1e 1e 422x x x x <<-<-，即2ln e 12x x x x <-.综上，ln e cos 1x x x x -<-，得证.【点睛】关键点睛：第（3）问的关键点是：将证明ln e cos 1x x x x -<-转化为证明21cos 1(0)2x x x ->->和21ln e 2x x x x -<-.。

天津市六校2014届高三上学期第一次联考理科数学试卷(解析版)

天津市六校2014届高三上学期第一次联考理科数学试卷（解析版）一、选择题 1()． A．－1 C ．1 【答案】 C 【解析】C. 考点：复数的四则运算..2b a b（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】b a b=的夹角为，|b a b a b θ=⇔=或b a bC.考点：向量的数量积、平行向量.3．的最大值为( )A ．11B ．10C ．【答案】B 【解析】试题分析：不等式表示的平面区域如图所示为三角形及其内部，根据选B.考点：简单的线性规划.4）A【答案】D【解析】2xD.考点：算法与框图.5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()．A．．【答案】A【解析】试题分析：这个几何体是一个棱长为2的的立方体中挖去一个圆锥，这个圆锥的高为2，底面半径为1A.考点：三视图、简单几何体的体积.6( )2 B．侧视图22【答案】B【解析】试题分析：由直角三角形斜边上的高的面积法或点到直线距离公式均可求得，距离为，所以，得，即)0B.考点：双曲线的离心率.7( )．A【答案】C【解析】C.考点：三角形面积公式.8是（）【解析】试题分析：因为)时，)x，所以当)时，而A.考点：函数的单调性、导数的应用.9所截的弦长．【解析】试题分析：曲线的极坐标方程化为直角坐考点：参数方程和极坐标方程.二、填空题10,,16件,= 【答案】80【解析】考点：分层抽样.117．【解析】令考点：二项式定理.12．【答案】3【解析】考点：数列的递推关系.13________．【解析】再由割线定考点：余弦定理、割线定理.14________．【答案】4【解析】试题分析：在直角坐标系中画出即OEB PCD所以4.考点：二元一次不等式表示的平面区域、基本不等式.三、解答题15(1)(2).【答案】（10；（2【解析】试题分析：（1一般地，涉及三角函数的值域问题，再利用三角函数的性质解答，也有部分题目，可转化为角的某个三角函数，然后用换元法转化为非三角函数问题；(2)在三角形中求角或边，通常对条件进行“统一”，统一为边或统一为角，主要的工具是正弦定理和余弦定理，同时不要忘记了三角形内角和定理.试题解析：（1），因为所以得最小值，当时，取得最大值0 6分（2，由正弦定理结合得，，再由余弦定理得，，解得，所以13分考点：三角函数性质、正弦定理、余弦定理.16．一个袋中装有10个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个. (1)从袋中任意摸出2个球，求至少得到1个白球的概率；(2)从袋中任意摸出3【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）古典概型，“至少得到一个白球”分为“恰好1个白球”和“两个都是白球”两类，也可以先求它的对立事件“两个都不是白球的概率”；(2).试题解析：（13分 (2)0,1,2,3， 4分分8分10分12分分考点：离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的数学期望.17．如图，(1)(2)(3)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；【解析】试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）(2)(3).(如图)，设(1)分 (2)AEBPCDF8分(3)|||BD =n |所以，DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为分考点：空间向量与立体几何.18,4,. (1);(2),,【答案】（1（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出但如果根据特殊曲线的定义，先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程；（2）一般地，涉及直线与二次曲线相交的问题，则可联立方程组，或解出交点坐标，或设而不求，利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围)，本. 试题解析：(1)由椭圆定义可知,,长半轴为2的椭圆,分分(2),得分分分,即在题设条件下,恒有O B.13分考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.19.（1（2（3）在（2【答案】(1)详见解析；【解析】试题分析：（1列；(2)由(1)求出其通项公式；(3)(等差乘等比型)可用错位相减法求和.证明数列为等差数列或等比数列，应紧扣定义，通过对所给条件变形，得到递推关系，而等差乘等比型数列的求和最常用的就是错位相减法，使用这个方法在计算上要有耐心和细心，注意各项的符号，防止出错.试题解析：（1分分分分∴∴数列是等差数列 5分（2）7分2为公比，4为首项的等比数列∴∴9分（3）10分12n ++①2132n ++② ① 1222n n ++-11212n n --+- 23n + 14分考点：等差数列、等比数列、错位相减法.20(1)(2)的取值范围．【答案】（1（2 【解析】试题分析：（1）由连续可导函数在极值点处的导数为0里容易忘记验证充分性，一定要注意连续可导函数在某点处导数为0，只是在该处取得极值的必要条件，而非充要条件；(2)分类讨论.，若题目改为，.试题解析：（1）解法1 1分3分5分解法2（2）解：6分∴函数在上是增函数．∴8分此时不合题意． 10分12分13分14分考点：函数与导数、函数的极值和最值.。

2024届高三第三次六校联考数学答案

东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2024届高三第三次六校联考试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,1,2A =，集合{}2,0,1B =-，则A B = （）A. {}0,1B. {}2,0- C. {}2,1,0- D. {}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}2,0,1B =-，所以{}0,1A B = .故选：A2. 若复数z 满足()34i 1z -=（）A. 1 B.15C.17D.125【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算及模长公式计算即可.【详解】由()()()134i 34i 3434i 1i 34i 34i 34i 252525z z ++-=⇒====+-+⋅-，所以15z ==.故选：B.3. 已知非零向量a 、b 满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则a 与b的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】分析可得()0a a b ⋅-= ，利用平面向量数量积的运算性质可得出cos ,a b的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出a 与b的夹角.【详解】因为非零向量a 、b满足2b a = ，且()a ab ⊥- ，则()2222cos ,2cos ,0a a b a a b a a b a b a a a b ⋅-=-⋅=-⋅=-=，所以，1cos ,2a b = ，又因为0,πa b ≤≤ ，故π,3a b = .因此，a 与b 的夹角为π3.故选：A.4. 已知π17tan tan 422θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 2θ=（）A. 12-B.12C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得出关于tan θ的方程，解出tan θ的值，再利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得cos 2θ的值.【详解】因为πtan tanπtan 1174tan tan π41tan 221tan tan 4θθθθθθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，整理可得2tan 6tan 90θθ-+=，解得tan 3θ=，所以，222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 1tan 195θθθθθθθ---====-+++.故选：C.5. 已知函数()sin2f x x =和直线l ：2y x a =+，那么“直线l 与曲线()y f x =相切”是“0a =”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 与曲线()y f x =相切，求出2π,a k k Z =-∈，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论．【详解】设函数()sin 2f x x =和直线:2l y x a =+的切点坐标为()00,x y ，则()0000'2cos 22sin 22f x x x x a ⎧==⎨=+⎩，可得2π,a k k Z =-∈，所以0a =时，直线l 与曲线()y f x =相切；直线l 与曲线()y f x =相切不能推出0a =．因此“0a =”是“直线l 与曲线()y f x =相切”的必要不充分条件．故选：B ．6. 已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22121a b a b+++的最小值为（）A. 1+B. 2+C. 3+D. 4+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】正实数,a b 满足21a b +=，则221211111(2)()1(2)()a b a b a b a b a b a b+++=+++=+++2444b a a b =++≥+=+2b a a b =，即1a ==-时取等号，所以当1,1a b ==时，22121a b a b +++取得最小值4+.故选：D7. 已知三棱锥S ABC -如图所示，AS 、AB 、AC两两垂直，且AS AB AC ===E 、F 分别是棱AS 、BS 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点，则空间几何体EFG ABC -的体积为（）A.B. C.D.【答案】C 【解析】【分析】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，证明出GH ⊥平面SAB ，计算出三棱锥C SAB -、G SEF -的体积，可得出EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-，即可得解.【详解】过点G 作//GH AC ，交SA 于点H ，因为AC AB ⊥，AC SA ⊥，AB AS A ⋂=，AB 、AS ⊂平面SAB ，所以，AC ⊥平面SAB ，因为//GH AC ，则GH ⊥平面SAB ，且34GH SG AC SC ==，则34GH AC ==因为E 、F 分别为SA 、BS 的中点，则(21111442SEF ABS S S ==⨯⨯=△△，所以，11133G SEF SEF V S GH -=⋅=⨯=△(3111332C SABSAB V S AC -=⋅=⨯⨯=△，因此，EFG ABC C SAB G SEF V V V ---=-==故选：C.8. 已知数列{}k a 为有穷整数数列，具有性质p ：若对任意的{}1,2,3,4n ∈，{}k a 中存在i a ，1i a +，2i a +，…，i j a +（1i ≥，0j ≥，i ，N j *∈），使得12i i i i j a a a a n ++++++⋅⋅⋅+=，则称{}k a 为4-连续可表数列.下面数列为4-连续可表数列的是（）A. 1,1,1 B. 1,1,2C. 1,3,1D. 2,3,6【答案】B 【解析】【分析】根据新定义进行验证即可得．【详解】选项A 中，1233a a a ++=，和不可能为4，A 不是4-连续可表数列；选项B 中，112231231,2,3,4a a a a a a a a =+=+=++=，B 是4-连续可表数列；选项C 中，没有连续项的和为2，C 不是4-连续可表数列；选项D 中，没有连续项的和为1，D 不是4-连续可表数列．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A. 9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),8b k = ，若//a b r r ，则6k =B. 若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则a b= C. 若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=D. 若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a【答案】CD 【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示可判断A 选项；利用向量垂直的表示可判断B 选项；利用三角形重心的向量性质可判断C 选项；利用投影向量的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，已知9,2a k ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(),8b k = ，若//a b r r ，则298362k =⨯=，解得6k =±，A 错；对于B 选项，若a c b c =⋅⋅ 且0c ≠，则()0a c b c c a b ⋅-⋅=⋅-= ，所以，a b = 或()c a b ⊥-，B 错；对于C 选项，若点G 是ABC 的重心，则0GA GB GC ++=，C 对；对于D 选项，若向量()1,1a =- ，()2,3b =，则向量b 在向量a上的投影向量为21cos ,2a a b a a b b a b b a a a a b a a⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，D 对.故选：CD.10. 已知函数22si 1()s cos co n f x x x x =+-的图象为C ，以下说法中正确的是（）A. 函数()f xB. 图象C 相邻两条对称轴的距离为π2C. 图象C 关于π,08⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称D.要得到函数in y x =的图象，只需将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位【答案】BCD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】因为22si 1()s cos co n f x x x x =+-cos 2111sin2π222224x x x x x ⎫+⎛⎫=+-=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x，故A 错误；函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==，所以图象C 相邻两条对称轴的距离为π2，故B 正确；因为πππ20884f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以图象C 关于π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；将()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到y x =，故D 正确；故选：BCD11. 若函数()f x 的定义域为D ，若对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，则称()f x 为“Ⅰ型函数”，则下列说法正确的是（）A. 函数()ln f x x =是“Ⅰ型函数”B. 函数()sin f x x =是“Ⅰ型函数”C. 若函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则函数()1f x -也是“Ⅰ型函数”D. 已知R m ∈，若()sin f x m x =+，ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦是“Ⅰ型函数”，则12m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据所给函数的定义求解C ，根据对数运算求解A ，根据三角函数的周期性以及单调性求解BD.【详解】对于A,由()()121f x f x +=可得121212ln ln 1ln 1e x x x x x x +=⇒=⇒=，所以21ex x =，故A 正确，对于B ，取1π2x =，则由()()121f x f x +=以及()sin f x x =可得22sin 0π,Z x x k k =⇒=∈,故这与存在唯一2x D ∈矛盾，故B 错误，对于C ，由于函数()f x 是“Ⅰ型函数”，则对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()121f x f x +=，故()()12111f x f x -+-=，因此对于对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得()()12111f x f x -+-=，故()1f x -是“Ⅰ型函数”，C 正确，对于D ，对于任意1x D ∈，都存在唯一的2x D ∈，使得12sin sin 1m x m x +++=，所以21sin 12sin x m x =--，由于[]11ππ,,sin 1,122x x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣∈⎦，所以[]21sin 12sin 2,22,x m x m m =--∈--，由于sin y x =在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调递增，的所以21m -≥-且221m -≤，故12m =，D 正确，故选：ACD12. 已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AC 上一动点，则下列判断正确的是（）A. 存在点P ，使得11//C P ABB. 三棱锥1P BC D -C. 当P 为1AC 的中点时，过P 与平面1BC DD. 存在点P ，使得点P 到直线11B C 的距离为45【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间坐标系，根据向量共线求解A ，根据正三棱锥的性质，结合外接球半径的求解即可判定B ，根据面面平行的性质，结合六边形的面积求解即可判定C ，建立空间坐标系，利用点线距离的向量求法，由二次函数的性质即可求解D.【详解】由于111BC C D BD BDC ===∴ 为等边三角形，且其外接圆的半径为12r ==，由于1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又11,,,AC BD AC AA A AC AA ⊥⋂=⊂平面11AAC C ，所以BD ⊥平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，故1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ⊥,因此11,,BD BC B BD BC ⋂=⊂平面1BDC ，故1AC ⊥平面1BDC ，因此三棱锥1P BC D -为正三棱锥，设外接球半径为R ，球心到平面1BDC 的距离为h ，则R =0h =时，R r ==B 正确，取11,,ABCD AD 的中点为,M Q ,N ,连接,,NM MQ NQ ,当P 是1AC 的中点，也是QM 的中点，则该截面为与平面1BC D 平行的平面截正方体所得的截面，进而可得该截面为正六边形，边长为NM==,所以截面面积为16sin602⎛⎫⨯=⎪⎪⎝⎭，C正确，对于D,建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()10,0,0,0,1,0,1,0,1D C A()111,0,0C B DA==,设()()111,1,1,,A P a A C a a a a==--=--，(01a≤≤),()()()1111,,0,1,0,1,B P A P A B a a a a a a=-=---=---,所以点P到直线11B C的距离为d====，由于01a≤≤，所以d⎤=⎥⎦，由于45⎤∈⎥⎦,故D正确，由于()()1,1,,1,,1B P a a a P a a a=---∴--，()10,1,1C,则()11,1,C P a a a=---,()()()111,0,0,1,1,1,0,1,1A B AB=,若()10,1,1AB=与()11,1,C P a a a=---共线，则10a-=，1a=，此时()10,0,1C P=-，此时()10,1,1AB=与()10,0,1C P=-不共线，故11,C P AB不平行故A错误，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于x 不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a b +=______.【答案】43-##113-【解析】【分析】分析可知，3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，利用韦达定理可得出a b +的值.【详解】因为关于x 的不等式()220ax a b x +++>的解集为()3,1-，则a<0，且3-、1是关于x 的方程()220ax a b x +++=的两根，由韦达定理可得31a b a +-+=-，231a -⨯=，解得23a =-，所以，423a b a +==-.故答案为：43-.14. 已知数列{}n a 的前n 项和，21n n S =-，则210log a =_________.【答案】9【解析】【分析】根据10109a S S =-求出10a ，再根据对数的运算性质计算可得.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，所以()10991010921212a S S =-=---=，所以92102log log 29a ==.故答案为：9的15. 已知函数()()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()()20f x a f x -⋅=有六个不等的实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(0,1)【解析】【分析】方程变形为()0f x =或()f x a =，其中()0f x =可解得两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象得它们有4个交点时的参数范围．【详解】2()()0f x af x -=，则()0f x =或()f x a =，2100x x -=⇒=，2(2)02x x -=⇒=，即()0f x =有两个根，因此()f x a =应有4个根，作出函数y =()f x 的图象与直线y a =，由图象可知，当01a <<时满足题意，故答案为：(0,1)．16. 如图，已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2≤ϕ）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，π3OCB ∠=，2OA =，AD =.则函数()f x 在[]1,6上的值域为______.【答案】816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】π|sin |2A ϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据||AD =222π28(1243A sin ϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ，即可求出()f x ，再由三角函数的性质求解．【详解】由题意可得：||||OB OC =，2πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，2,0B πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0,sin )C A ，πsin 1,22A D ϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，AD = ，222πsin 281243A ϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把πsin A ϕω=+代入上式可得：2ππ(2240ωω-⨯-=，0ω>.解得π6ω=，π6ω∴=，πsin()03ϕ∴+=，π||2ϕ≤，解得π3ϕ=-.πsin 263⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，所以函数16ππ()sin()363f x x =-，[]1,6x ∈时，πππ2π,6363x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin(,1632x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，16ππ816()sin(),36333f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：816,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，()211n n nS n S n n +=+++，n *∈N .（1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n S 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明见解析，2n S n = （2）n T =【解析】【分析】（1）利用等差数列的定义可证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可得出数列{}n S 的通项公式；（2）利用n S 与n a 的关系可求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法可求得n T .【小问1详解】解：对任意的n *∈N ，()211n n nS n S n n +=+++，则()()()21111111n n n n nS n S S S n nn n n n n n ++-++-===+++，所以，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且其首项为111S =，公差为1，所以，11nS n n n=+-=，故2n S n =.【小问2详解】解：当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，11a =也满足21n a n =-，故对任意的n *∈N ，21n a n =-.所以，()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，故111111111111232352212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .18. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos b A a B c A +=-.（1）求角A 的值；（2）已知点D 为BC 的中点，且2AD =，求a 的最大值.【答案】（1）2π3A = （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理、基本不等式可得出关于a a 的最大值.【小问1详解】解：因为A 、()0,πC ∈，则sin 0C >，由正弦定理可得()2cos sin sin cos sin cos sin sin A C B A A B A B C -=+=+=，所以，1cos 2A =-，故2π3A =.【小问2详解】解：因为D 为BC 中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以，2AD AB AC =+，所以，22222222π422cos 163AD AC AB AC AB b c bc b c bc =++⋅=++=+-= ，由余弦定理可得222222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=++，所以，222162a b c ++=，2216bc a =-，的由基本不等式可得222b c bc +≥，即2216162a a +≥-，解得0a <≤，当且仅当2216b cb c bc =⎧⎨+-=⎩时，即当4b c ==时，等号成立，故a的最大值为19. 若二次函数()f x 满足()()25152f x f x x x ++=---（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()ln g x x x f x =+，解关于x 的不等式：()()22g x x g +≥.【答案】（1）()2122f x x x =-- （2）[)(]2,10,1--⋃【解析】【分析】（1）()()20f x ax bx c a =++≠，根据()()25152f x f x x x ++=---可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）求出函数()g x 的定义域，利用导数分析函数()g x 的单调性，由()()22g x x g +≥可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得实数x 的取值范围.【小问1详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()22111f x f x a x b x c ax bx c++=+++++++()225222252ax a b x a b c x x =+++++=---，所以，21225522a a b a b c ⎧⎪=-⎪+=-⎨⎪⎪++=-⎩，解得1220a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，故()2122f x x x =--.【小问2详解】解：函数()()2l ln 1n 22x x x x g x x x f x +-==-的定义域为()0,∞+，且()ln 12ln 1g x x x x x '=+--=--，令()ln 1h x x x =--，其中0x >，则()111x h x x x-'=-=，由()0h x '>可得01x <<，由()0h x '<可得1x >，所以，函数()h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故对任意的0x >，()()()10g x h x h '=≤=，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由()()22g x x g +≥可得202x x <+≤，解得21x -≤<-或01x <≤，因此，不等式()()22g x x g +≥的解集为[)(]2,10,1--⋃.20. 如图（1）所示，在ABC 中，60ABC ∠= ，过点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上，且AD =CD =，沿AD 将CDA 折起（如图（2）），点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点.（1）证明：AD EF ⊥；（2）若二面角C DA B --所成角的正切值为2，求二面角C DF E --所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1319【解析】【分析】（1）证明出AD ⊥平面BCD ，可得出AD BC ⊥，利用中位线的性质可得出//EF BC ，即证得结论成立；（2）分析可知，二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角C DF E --所成角的余弦值.【小问1详解】证明：翻折前，AD BC ⊥，则AD CD ⊥，AD BD ⊥，翻折后，则有AD CD ⊥，AD BD ⊥，因为BD CD D ⋂=，BD 、CD ⊂平面BCD ，所以，AD ⊥平面BCD ，因为BC ⊂平面BCD ，所以，AD BC ⊥，在四棱锥A BCD -中，因为点E 、F 分别为棱AC 、AB 的中点，则//EF BC ，因此，AD EF ⊥.【小问2详解】解：因为AD CD ⊥，AD BD ⊥，则二面角C DA B --的平面角为BDC ∠，即tan 2BDC ∠=，因AD ⊥平面BCD ，以点D 为坐标原点，DB 、DA 所在直线分别为x 、y 轴，平面BCD 内过点D 且垂直于BD 的直线为z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为60ABD ∠=o ，AD BD ⊥，AD =2tan 60AD BD ===，又因为CD =()0,A 、()2,0,0B 、()1,0,2C 、()0,0,0D、12E ⎛⎫⎪⎝⎭、()F ，设平面CDF 的法向量为()111,,m x y z =，()1,0,2DC =，()DF = ，则1111200m DC x z m DF x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，可得(2,m =- ，设平面DEF 的法向量为()222,,x n y z = ，1,0,12EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则22220102n DF x n EF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得(n =- ，为所以，13cos ,19m n m n m n ⋅===⋅，由图可知，二面角C DF E --的平面角为锐角，故二面角C DF E --的余弦值为1319.21. 已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列，14a =，364a =.数列{}n b 满足：21n n nb a a =+（N n *∈）.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：{}22n n b b -是等比数列；（3）证明：)N*k n k =∑<∈.【答案】（1）2144nn n b =+（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式运算可得{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式；（2）运算可得2224nn n b b -=⋅，结合等比数列的定义即可得证；（3）放缩得2222(21)(21)422n n n n n n b b -+<-⋅，进而可得112k k n n k ==-∑<∑，结合错位相减法即可得证.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2231464a a q q =⋅==，则4q =，所以1444n n n a -=⋅=，又221144n n n n n b a a =+=+.【小问2详解】所以22242211442444n n n n n n nb b ⎛⎫⎛⎫-=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以220nn b b -≠，且211222224424n n n nn n b b b b +++-⋅==-⋅，所以数列{}22n n b b -是首项为8，公比为4的等比数列；【小问3详解】由题意知，()()2222222121(21)(21)414242222n n nn n n n n n n n b b -+-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-<==，所以112k k n n k==-∑<∑，设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n nT =+++⋅⋅⋅+，两式相减得21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--，所以4n T =所以1112422k k n n n k n ==--+⎫∑<∑=-<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为k n =∑相减法即可得证.22. 已知函数()()ln f x x t x =-，R t ∈（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）当1t =时，设1x ，2x 为两个不相等的正数，且()()12f x f x a ==，证明：121(2e)e ex x a +>-+-.【答案】22. ()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.23. 证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；（3）利用切割线放缩证明.【小问1详解】()()ln f x x t x =-,()n 1l 1ln t x f x t x x x ⎛'⎫-⎝=-+=-- ⎪⎭,()100e t f x x ->⇔<<',()10e t x f x -<⇔>',()10,e t -上单调递增，()1e,t -+∞上单调递减.【小问2详解】()()1ln f x x x =-,()ln f x x '=-,()()1ln f x x x =-在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减.()11f =()e 0f =，()()00000211ln lim lim 1ln lim lim lim 011x x x x x x x f x x x x x x +++++→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭=--⎝-==⎭，因()10f x x'⎤⎦=-<⎡⎣'，所以函数()f x 在区间()0,e 上为上凸函数，函数()f x 在区间(]0,e 的图象如图所示.不妨设12x x <，则1201e x x <<<<.连接()1,1A 和点()e,0的直线l 2的方程为：()1e 1ey x =--,当y a =时，()41e e x a =-+,由图可知24x x >,所以要证明121(2e)e e x x a +>-+-，只需证明411(2e)e ex x a +>-+-，即只需证明1411(2e)e e ex a x a >-+--=-，连接OA 的直线1l 的方程为y x =,设函数()f x 的图象的与OA 平行的切线是直线3l ，为第21页/共22页()1ln 1e x f x x '-===⇒，11121ln e e e e f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=，直线3l 的方程为21e e y x -=-,即1ey x =+，令y a =,得直线y a =与直线3l 的交点横坐标为1ea -,由图可知，11e x a >-，故要证不等式成立.。

天津市河北区2023-2024学年高三上学期期末质量检测试题数学含解析

河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}36M x x =-<<，集合{}2,0,2,4,6N =-，则M N ⋂=（）A.{}0,2,4 B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4,6 D.{}2,42.设x ∈R ，则“220x x -<”是“11x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数|2|()lncos x f x x π=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.4.若0.521,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b <<5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.32,243B.32,63C.32，24D.32，66.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为0T ，环境温度为1T ，经过一段时间t （单位：分钟）后物体的温度是T ，满足()10112atT T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.87.函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象，则下列命题中不正确．．．的是A.函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π；B.函数()y g x =图象关于1112π=x 对称；C.函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称；D.函数()y g x =在5(0,)12π内为单调减函数.8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2.抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.若ABF △为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）A .2B.4C. D.9.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若2,45AB AD BAD ==∠=︒，则AF BE ⋅等于（）A.32-B.2-C.12-D.1-第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.i 是虚数单位，则复数12i1i-+的共轭复数为______.11.已知0a >，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为40，则=a ______.12.将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，被圆225x y +=截得的弦长为23，则c =______.13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是12，乙命中的概率是23，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.14.已知0t >，则3321t t t +++的最小值为______.15.若函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点12x x 、，且12x x <，则2x 的取值范围为______.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)35a b c =+，sin 5sin A B =.（1）求cos C 的值；（2）求sin A 的值；（3）求πsin 24C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.17.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，//AB CD ，,222,,AB BC AB CD BC EA EB O ⊥===⊥为AB 的中点.（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上有一点F ，满足13EF EA =，求证：//EC 平面FBD .18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：OM OP ⋅为定值.19.已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（3）记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .20.已知函数()241ex ax x f x +-=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；（3）在（2）的条件下，当[]1,3x ∈时，()112f x ≤≤，求实数a 的取值范围.河北区2023-2024学年度第一学期期末高三年级质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页.第Ⅰ卷（选择题共45分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效.3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 如果事件,A B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}36M x x =-<<，集合{}2,0,2,4,6N =-，则M N ⋂=（）A.{}0,2,4 B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4,6 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集运算，直接求交集即可.【详解】由{}|36M x x =-<<，{}2,0,2,4,6N =-，可得M N ⋂={}2,0,2,4-.故选：B.2.设x ∈R ，则“220x x -<”是“11x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.【详解】由220x x -<，解得02x <<，由11x -<，解得02x <<，所以“220x x -<”是“11x -<”的充要条件，故选：C 3.函数|2|()lncos x f x x π=-的部分图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案.【详解】因为|2()|()ln cos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ；当2x =时，(2)ln co 4s 20f π=->，故排除C ；故选B.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.4.若0.521,log 0.3,2b a b c a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性，判断出,,a b c 的范围，从而可得答案．【详解】因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以0.511010122a ⎛⎫⎛⎫<<=⇒<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log lo 0g 100.3b =⇒<<，因为x y a =是单调递减函数，011b a a c >⇒>=，综上，b a c <<，故选：A ．5.底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（）A.32,243B.32,63C.32，24D.32，6【答案】A 【解析】【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果.【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影，结合题设，底面对角线长为44==，所以正四棱锥的体积为132433⨯⨯=，侧面积为1242⨯=.故选：A.6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为0T ，环境温度为1T ，经过一段时间t （单位：分钟）后物体的温度是T ，满足()10112atT T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】由题设，将0185,37,16T T t ===代入并应用指数运算求得18a =，再将0137,21T T ==代入公式求从37℃降到29℃需要的时间.【详解】由题设()161372185212a⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，可得18a =，所以()810112t T T T T ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()81292137212t ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，可得8t =.故选：D7.函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象，则下列命题中不正确．．．的是A.函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π；B.函数()y g x =图象关于1112π=x 对称；C.函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称；D.函数()y g x =在5(0,)12π内为单调减函数.【答案】C 【解析】【分析】本题首先可通过函数()f x 的解析式得出函数()g x 的解析式，再通过函数()g x 的解析式得出函数()g x 的对称中心横坐标，即可得出答案．【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+，即()62k x k Z ππ=+∈，C 选项错误，故选C．【点睛】一般地，我们研究函数()cos y A x ωϕ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们可以先确定u x ωϕ=+的单调性，再通过函数的单调性确定外函数cos y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由cos y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心．8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2.抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.若ABF △为等边三角形，则双曲线C 的焦距为（）A.2B.4C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题可得A ⎛- ⎝，代入双曲线222213x y a a -=，即可得解.【详解】抛物线的准线交双曲线于A B 、两点.设()()0001,1,,0A y B y y --->，，22222222:1(0,0),213x y c x y C a b a b a a a-=>>=∴-= ，,F 到准线距离为2,ABF 为等边三角形,002222AB y y ∴==∴=，代入双曲线222213x y a a-=,可得2241331a a -=⨯，解得2222054,,23993a c a c c ∴==∴===，，故选:D ．9.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若2,45AB AD BAD ==∠=︒，则AF BE ⋅等于（）A.32-B.2-C.12-D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到:::1:3DF BA DE BE EF AE ===，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用AD ，AB表示，计算即可得到结果．【详解】平行四边形ABCD ，2AB =，AD =，45BAD ∠=︒，//DF AB ，可得DEF BEA ∽，E 是线段OD 的中点，可得:::1:3DF BA DE BE EF AE ===，441211()()332322AF AE AO AD AB AD AD ==⨯+=++ 2131()3223AB AD AB AD =+=+；33()44BE BD AD AB ==- ，则31()43AF BE AD AB AB AD ⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪⎝⎭ 2212()3433AD AB AB AD =--⋅ 12(24)43233=⨯-⨯-⨯321432⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将案写在答题纸上）10.i 是虚数单位，则复数12i1i-+的共轭复数为______.【答案】13i 22-+【解析】【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可.【详解】()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222-----===--++-，则其共轭复数为13i 22-+，故答案为：13i 22-+.11.已知0a >，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数为40，则=a ______.【答案】2【解析】【分析】求出展开式的通项公式，然后令x 的指数为4，由此建立方程即可求解【详解】展开式的通项公式为2(5)103155C ()C r r r r r rr a T x a x x--+=⋅=，令1034r -=，解得2r =，所以4x 项的系数为2225C 1040a a ==，解得2a =±,又0a >，所以2a =故答案为：212.将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，被圆225x y +=截得的弦长为，则c =______.【答案】3或1-【解析】【分析】求出平移后直线的方程，再根据平移后的直线被圆截得的弦长，列式计算，即可得答案.【详解】由题意将直线0x y c -+=向右平移一个单位后，得到的直线的方程为10x y c --+=，圆225x y +=的圆心(00),到该直线的距离为d =，由于直线10x y c --+=被圆225x y +=截得的弦长为故=3c =或1c =-，故答案为：3或1-13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是12，乙命中的概率是23，两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率为______；在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为______.【答案】①.16②.37【解析】【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式，分别计算对应概率，即可选出答案.根再根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为111224⨯=，则甲乙二人全部命中的概率为121436⨯=，两人至少命中两次为事件A ,甲恰好命中两次为事件B,()()111111112711222322322312P A P A =-=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=，()111112322322312P AB =⨯⨯+⨯⨯=，所以()()()33127712P AB P B A P A ===∣.故答案为：16,37.14.已知0t >，则3321t t t +++的最小值为______.【答案】1+##1+【解析】【分析】先将式子3321t t t +++化简消去分子的t ，进而利用基本不等式即可求解.【详解】因为0t >，所以()()()33212133221212221231t t t t t t t t +++++=+=+++++11≥+=+，当且仅当()()2321221t t +=+，即312t -=时，等号成立.所以3321tt t +++1.1+.15.若函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点12x x 、，且12x x <，则2x 的取值范围为______.【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】题意转化为方程2413x a x +=-恰有两个不同的根，即21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，数形结合可求得结果.【详解】由题意函数()f x 恰有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <，即方程2413x a x +=-恰有两个不同的根1x ，2x ，且显然0a >，即21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，设43y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与21y x =+相切，则2413x k x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个等根，由Δ0=即244103k k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得23k =-或6.所以当23a =时，2433y x =-与21y x =+的图象如图所示，当6a =时，463y x =-与21y x =+的图象如图所示，所以当263a <<时，21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，即方程2413x a x +=-恰有两个不同的根,当23a =时，对应的直线2433y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭与21y x =+相切，解得切点横坐标为13-，当6a =时，对应的直线463y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭与21y x =+相交，解得两交点横坐标为7-和1，又12x x <，所以函数21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，则2113x -<<.所以2x 的取值范围为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：函数()2413f x x a x =--+恰有两个不同的零点1x ，2x ，即转化为函数21y x =+与43y a x =-恰有两个不同的交点，数形结合找到相切时的临界情况运算得解.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)3a b c =+，sin A B =.（1）求cos C 的值；（2）求sin A 的值；（3）求πsin 24C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）5（2）1（3）10【解析】【分析】（1）先根据正弦定理求得,a b 的关系，然后结合已知条件求得,b c 的关系，最后根据余弦定理求解出cos C 的值；（2）先求解出sin C ，然后根据正弦定理求解出sin A ；（3）先根据二倍角公式求解出sin 2,cos 2C C 的值，然后根据两角和的正弦公式求解出结果.【小问1详解】sin A B =，由正弦定理可得a =，)3,2a b c c b =+∴= .由余弦定理可得2222225cos 25a b c C ab +-===.【小问2详解】()0,π,sin 5C C ∈== ，由正弦定理sin sin a c A C =，得sin 5sin 12a C A c b⋅⋅===，sin 1A ∴=.【小问3详解】243sin22sin cos ,cos22cos 155C C C C C ===-=-，πππ43sin 2sin2cos cos2sin 444525210C C C ⎛⎫∴+=+=⨯⨯ ⎪⎝⎭.17.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，//AB CD ，,222,,AB BC AB CD BC EA EB O ⊥===⊥为AB 的中点.（1）求证：AB DE ⊥；（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上有一点F ，满足13EF EA =，求证：//EC 平面FBD .【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设知AB EO ⊥、AB OD ⊥，再由线面垂直的判定、性质证结论；（2）由面面垂直的性质得EO OD ⊥，构建空间直角坐标系，应用向量法求线面角；（3）根据（2）坐标系，向量法证明线面平行即可.【小问1详解】由,EA EB O =为AB 的中点，得AB EO ⊥.四边形ABCD 为直角梯形，且22,AB CD BC AB BC ==⊥，所以四边形OBCD 为正方形，则AB OD ⊥，又EO OD O = ，,EO OD ⊂面EOD ，所以AB ⊥平面EOD ，DE ⊂平面EOD ，则AB DE ⊥.【小问2详解】面ABE ⊥面ABCD ，且AB EO ⊥，面ABE ⋂面ABCD AB =，EO ⊂面ABE ，所以EO ⊥平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，则EO OD ⊥，故,,OB OD OE 两两垂直，以O 为原点，分别以,,OB OD OE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.三角形ABE 为等腰直角三角形，且1OA OB OD OE ====，则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1O A B C D E -，故()1,1,1EC =- .平面ABE 的一个法向量为()0,1,0OD = ，设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则sin cos ,3EC OD EC OD EC OD θ⋅=== ，即直线EC 与面ABE所成角正弦值为3.【小问3详解】由（2）知()1,0,1EA =-- ，而111,0,333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ ，得12,0,33F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故42,0,33FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，且()1,1,0BD =- ，设面FBD 的法向量为(),,m x y z = ，则042033m BD x y m FB x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得()1,1,2m = .所以()()1,1,11,1,20EC m ⋅=-⋅= ，且EC ⊄平面FBD ，故//EC 平面FBD .18.设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，短轴的两个端点为,A B ，且四边形12F AF B 是边长为2的正方形.,C D 分别是椭圆的左右顶点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆E 于点P .（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：OM OP ⋅ 为定值.【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设得1||2,F A a b c ===，结合椭圆参数关系即可得方程；（2）设直线CM 的方程为()2y k x =+，联立椭圆并应用韦达定理求P 坐标，根据已知确定M 坐标，再由向量数量积的坐标表示求OM OP ⋅ ，即可证.【小问1详解】由题设1||2,F A a b c ===，222a b c =+，得222,4b a ==，椭圆的方程为22142x y +=.【小问2详解】由（1）知()()2,0,2,0C D -，由题意知，直线CM 的斜率存在且不为0，设直线CM 的方程为()2y k x =+，联立()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222128840k x k x k +++-=，其中C 是直线与椭圆一个交点，所以2284212P k x k --=+，则222412P k x k -=+，代入直线得2412P k y k =+，故222244,1212k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又MD CD ⊥，将2x =代入()2y k x =+，得4M y k =，则()2,4M k .所以2222222444816244121212k k k k OM OP k k k k--+⋅=⋅+⋅==+++ ，为定值.19.已知{}n a 是等差数列，其公差d 不等于0，其前n 项和为{},n n S b 是等比数列，且11223131,,2a b a b S a b ===-=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ；（3）记1222n n n n a c a a ++=，求{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）n a n =，12n n b -=（2）()121nn T n =-⋅+（3）()()22511164142n n --++【解析】【分析】（1）根据条件列出关于,d q 的方程组，由此求解出,d q 的值，则{}n a 和{}n b 的通项公式可求；（2）利用错位相减法求解出n T ；（3）先将{}n c 的通项公式裂项为()2211142n n ⎛⎫ ⎪- ⎪+⎝⎭，然后采用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列{}n b 的公比为q ，11223131,,2a b a b S a b ===-= ，∴223132a b S a b =⎧⎨-=⎩，即2113d q d q +=⎧⎨+=⎩，整理得20d d -=，0d ≠ ，1,2d q ∴==，1111,122n n n n a n n b --∴=+-==⋅=.【小问2详解】12n n n a b n -=⋅ ，设01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，将以上两式相减得：231122222n n n T n --=++++⋅⋅⋅+-⋅()()112212112n n n n n ⋅-=-⋅=---，()121n n T n ∴=-⋅+.【小问3详解】()()122222*********n n n n a n c a a n n n n ++⎛⎫+ ⎪===- ⎪++⎝⎭，()2222221111111413242n P n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎣⎦()()()()22222111151114216124142n n n n ⎡⎤=+--=--⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()241ex ax x f x +-=.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，求函数()y f x =的单调区间；（3）在（2）的条件下，当[]1,3x ∈时，()112f x ≤≤，求实数a 的取值范围.【答案】（1）21y x =-（2）单调递减区间是()1,,2,4a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）2e e 1,816⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）当1a =时，分别求出()()0,0f f '的值即可得解.（2）对函数()f x 求导，令()()()4120e x ax x f x +-=-='，得2x =或14x a =-，且满足1024a -<<，进一步即可得解.（3）由题意只需()()min max 1,12f x f x ≤≤，即()()()234116136211,21,3e 2e e 2a a a f f f ++=≥=≤=≥，解不等式即可得解.【小问1详解】1a =时，()()()()220414721,,02,01e e ex x x x x x f x f x f f +--++-===='=-'，()120y x ∴+=-，整理得21y x =-.∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-.【小问2详解】()241e xax x f x +-=，()()()()2248124128141e e e x x xax a x ax x ax ax x f x '---+-+--+==-=-，令()0f x '=，0a > ，解得2x =或14x a =-，且满足1024a-<<.当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：x 1,4a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭14-a 1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '-0+0-()f x 极小值极大值 ∴函数()y f x =单调递减区间是()1,,2,4a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,24a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问3详解】由（2）可知，函数()y f x =在区间[)1,2单调递增，在区间(]2,3单调递减，()()()234116136211,21,3e 2e e 2a a a f f f ++∴=≥=≤=≥，解得23e 8e 116e 472a a a ⎧≥⎪⎪-⎪≤⎨⎪⎪-≥⎪⎩，()2333e e 9e 4e e 49e e 9e 0728727272------=<=< ，∴实数a 的取值范围为2e e 1,816⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点睛：第二问的关键是将极值点先求出来，然后根据导数与单调性的关系即可得解，第三问的关键是由()()min max 1,12f x f x ≤≤，列出相应的不等式，从而即可顺利得解.。

2022-2023学年天津市海河名校高三年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022—2023第一学期高三数学期末质量调查一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合，则（）{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<A B = AB.C.D.{}2,2-{}2,1,2--{}2-{}0,12. 设a ，，则“”是“”的（）b ∈R 0a b >>11a b <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，则的大小关系为（）0.33log 2,ln 2,2a b c ===,,a b c A. B. C. D.a b c>>c a b >>b c a>>c b a>>4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）2()cos ln ||f x x x x =--()f xA. B.C. D.5. 在三棱锥中，平面，，且，则-P ABC PA ⊥ABC AB BC⊥2PA AB BC ===，三棱锥外接球的体积等于（）-P ABCB.D. 20π320π6. 已知函数，给出以下四个命题：()()1sin sin cos 2f x x x x =+-①的最小正周期为；()f x π②在上的值域为；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图像关于点中心对称；()f x 11π,08⎛⎫⎪⎝⎭④的图像关于直线对称．()f x 3π8x =其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲22x a22y b 线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，F 2:2(0)C y px p =>F C ,A B 若，则（）18FA FB ⋅=p =A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数，若关于的方程有四个1ln(),(0)()e ,(0)xx x f x x x --<⎧=⎨≥⎩x ()()220f x af x a a -+-=不等实根．则实数的取值范围为（）a A.B.C.D.()0,1()[,11,)∞∞--⋃+(]0,1(){}1,01- 二、填空题（本大题共6小题，共30分）10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．z (1i)=1+2i(i z -z 11.=_____________．3948(log 2log 2)(log 3log 3)++12. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．22(nx x -13. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数:90l x -+=22:210C x y x m +++-=的值为__________.m 14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为0,0x y >>28x y +=2425216xm mx y +>+m ________．15. 在四边形中，，，，，为的中点，ABCD //AB CD 6AB =2AD =3CD =E AD ，则_____；设点为线段上的动点，则最小19BE AC ⋅=- cos BAD ∠=P CD AP BP ⋅ 值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.ABC ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos +=a c Bb CA （1）求角的大小；A （2）若的值；cos B =sin(2)B A+（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，P ABCD -ABCD ,AD BC AD BA ⊥∥平面，且，点在棱上（不包括端点），3,2,AD AB BC PA ===⊥ABCD 3PA =M PD 点为中点.N BC（1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD CPN （3）是否存在点，使与平面？若存在，求出的M NM PCD PMPD 值；若不存在，说明理由.18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的{}n a {}n b 等比数列，．1323,18b b b =-=（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）记，，求数列的前项和；nn n a c b =*n ∈N {}n c n n S （3）记，，证明数列的前项和．211n n n n n a d a a b ++-=*n ∈N {}n d n 12n T <19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左2222:1(0)x y Ca b a b +=>>e =C 焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，F A B x （1）求椭圆的方程；C （2）若直线的斜率为，求弦的长度；AB 2-AB （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭AB y D E y EF DF ⊥AE 圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，C G AB ABG AB 若不存在，说明理由.20已知函数()()11ln ,f x ax a x a R x=--+∈（1）若，求曲线在点处的切线方程；2a =-()y f x =()()1,1f （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；1a ≥()1f x >1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a （3）若，判断函数的零点的个数.1a e >()()1g x x f x a =++⎡⎤⎣⎦2022—2023第一学期高三数学期末质量调查一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合，则（）{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<A B = A.B.C.D.{}2,2-{}2,1,2--{}2-{}0,1【答案】D 【解析】【分析】解二次不等式得集合，然后求即可.B A B ⋂【详解】因为，所以．{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<A B ={}0,1故选：D.2. 设a ，，则“”是“”的（）b ∈R 0a b >>11a b <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】方法1:解分式不等式，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.方法2:通过作差法可证得充分条件成立,通过举反例可说明必要条件不成立.【详解】方法1：∵11a b<∴即：110b a a b ab --=<()0ab b a -<∴或00ab b a >⎧⎨-<⎩00ab b a <⎧⎨->⎩解得：或或0b a <<0b a <<0b a>>∴由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得：是的充分而不必要条件.0a b >>11a b <方法2：∵0a b >>∴，0ab >0b a -<∴110b a a b ab --=<∴11a b<∴是的充分条件.0a b >>11a b <当，时，满足，但不满足，3a =-2b =11b a >0a b >>所以是的不必要条件.0a b >>11a b <综述：是的充分而不必要条件.0a b >>11a b <故选：A.3. 已知，则的大小关系为（）0.33log 2,ln 2,2a b c ===,,a b c A. B. C. D.a b c>>c a b >>b c a>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据放缩法得出的范围，利用对数的运算，比出和的大小，即可得出c a b 的大小关系.,,a b c 【详解】解：由题意，，321log 2log 3a ==21ln 2log e b ==0.30221c =>=∵22log 3log e 1>>∴22111log 3log ea b =<=<∴c b a >>故选：D.4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）2()cos ln ||f x x x x =--()f xA. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；【详解】解：因为，所以2()cos ln ||f x x x x =--，所以()()()()22cos ln ||cos ln ||f x x x x x x x f x -=-----=--=为偶函数，函数图象关于轴对称，故BD 排除；2()cos ln ||f x x x x =--y 又，因为，所以，()22cos ln ||cos 1f e e e e e e =--=--cos 1e -<<2cos 10e -<--<，所以，故排除A ；2224e >=()2cos 10f e e e =-->故选：C5. 在三棱锥中，平面，，且，则-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥2PA AB BC ===，三棱锥外接球的体积等于（）-P ABCB.D. 20π320π【答案】C 【解析】【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.【详解】因为三棱锥中，平面，-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为的长宽高分别为2PA AB BC ===，2,2所以三棱外接球的半径为-P ABCR ==所以三棱锥外接球的体积为-P ABC .3344ππ33V R ==⨯⨯=故选：C.6. 已知函数，给出以下四个命题：()()1sin sin cos 2f x x x x =+-①的最小正周期为；()f x π②在上的值域为；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图像关于点中心对称；()f x 11π,08⎛⎫⎪⎝⎭④的图像关于直线对称．()f x 3π8x =其中正确命题的个数是（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题知，进而结合三角函数性质依次讨论各选项即可.()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】解：()()211sin sin cos sin cos sin 22f x x x x x x x =+-=+-，()11111πsin 21cos 2sin 2cos 22222224x x x x x ⎛⎫=+--=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，①正确；()f x 2π2ππ2T ω===当，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即，故②错ππ244x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭π1242x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣误；当时，，故的图像关于对称，故③错误；11π8x =11ππ5π442π24x =-=-()f x 11π8x =当时，，故的图像关于对称，故④正确.3π8x =3πππ442π24x =--=()f x 3π8x =故正确命题的个数是2个.故选：B7. F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲22xa 22y b 线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）【答案】D 【解析】【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有m 1AF x=，解得.在三角形中，由余弦定理得2m x m m x a +-=-=4,2m a x a ==12BF F ，化简得.()()()222π264264cos3c a a a a =+-⋅⋅⋅22428,c a e ==8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，F 2:2(0)C y px p =>F C ,A B 若，则（）18FA FB ⋅=p =A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】结合已知条件写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，最后结合韦达定理AB 和抛物线定义即可求解.【详解】由题意知,，则直线的方程为：，(,0)2p F AB 2p y x =-设，，11(,)A x y 22(,)B x y 将代入的方程得，，2p y x =-C 22304p x px -+=则，，123x x p +=2124p x x =因为，且，12p FA x =+22pFB x =+18FA FB ⋅=所以，整理得，12()()1822p px x ++=()212121842p p x x x x +++=故，结合，解得.22318424p p p p +⋅+=0p >3p =故选：C.9. 已知函数，若关于的方程有四个1ln(),(0)()e ,(0)x x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩x ()()220f x af x a a -+-=不等实根．则实数的取值范围为（）a A.B.C.D.()0,1()[,11,)∞∞--⋃+(]0,1(){}1,01- 【答案】C 【解析】【分析】画出函数的图象，利用换元法，并构造函数，通过讨论22()g t t at a a =-+-的取值范围即可求解.t 【详解】当，0x ≥()11()e ,()1e ,x x f x x f x x --'==-令解得，()1()1e 0x f x x -'=->01x ≤<令解得，()1()1e 0x f x x -'=-<1x >所以函数在单调递增，单调递减，()f x [)0,1()1,+∞，当时，，max ()(1)1f x f ==0x ≥()0f x >作出函数的图象如下，1ln(),(0)()e ,(0)xx x f x x x --<⎧=⎨≥⎩关于的方程有四个不等实根，x ()()220f x af x a a -+-=令，，则有两个不相等的实数根，()t f x =22()g t t at a a =-+-()0g t =（i ），，此时各有2个根，满足题意，10t =21t =()0,()1f x f x ==所以解得22(0)0(1)10g a a g a a a ⎧=-=⎨=-+-=⎩1,a =（ii ），()()()120,1,,01,t t ∈∈-∞+∞ 由，()()2110g a =->则函数的一个根在，另一个根在，()0g t =()0,1(),0∞-所以解得，2(0)0g a a =-<01a <<综上，.(]0,1a ∈故选:C.二、填空题（本大题共6小题，共30分）10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．z (1i)=1+2i(i z -z 【答案】##1.532【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念可求出结果.z 【详解】因为，(1i)12i z -=+所以，12i (12i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+13i2-+=所以复数的虚部为.z 32故答案为：3211.=_____________．3948(log 2log 2)(log 3log 3)++【答案】.54【解析】【分析】利用换底公式化为常用对数，通分后进行化简计算．【详解】3948(log 2log 2)(log 3log 3)++lg 2lg 2lg 3lg 3()lg 3lg 9lg 4lg8=++，lg 2lg 2lg 3lg 3()(lg 32lg 32lg 23lg 2=++3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=故答案为：．5412. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．22(nx x -【答案】60【解析】【分析】根据二项式系数的和的性质，求得，结合二项展开式的通项，即可求解.6n =【详解】由的展开式的二项式系数之和为，可得，解得，即22()nx x -64264n =6n =262()x x-则展开式第三项为，22422266662()()(2)60C x C x x x -=-=所以展开式第三项的系数是.60故答案为：.6013. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数:90l x -+=22:210C x y x m +++-=的值为__________.m 【答案】25【解析】【分析】先根据配方法确定圆的圆心和半径，然后再求出点到直线的距离后用弦长公式即可.【详解】，圆心()()2222210,10x y x m x y m m +++-=∴++=>()1,0,r -=又根据弦长公式4,d ==AB =625.m =∴=故答案为：2514. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为0,0x y >>28x y +=2425216xm mx y +>+m ________．【答案】31m -<<【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不42516xx y +等式即可求解.【详解】因为，所以，28x y +=82x y =-所以，()2582425442525161628y x x y xy x y -+=+=+-因为，()42514251825149292828288229y x x y x y x y x y ⎡⎛⎫⎛=⎫+=++≥+=⎢ ⎪ ⎪⎝⎣+⎝⎭+⎭当且仅当，即，即时取得等号，8252y x xy =45y x =1620,77x y ==所以有最小值为3，4252528x y +-因为恒成立，所以，即，2425216x m m x y +>+232m m >+2230m m +-<解得，31m -<<故答案为: .31m -<<15. 在四边形中，，，，，为的中点，ABCD //AB CD 6AB =2AD =3CD =E AD ，则_____；设点为线段上的动点，则最小19BE AC ⋅=- cos BAD ∠=P CD AP BP ⋅ 值为_____．【答案】 ①. ②. ．13499-【解析】【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，,AB AD ,BE AC可求出；设用基底表示，求出关于cos BAD ∠(01),,DP DC AP BP λλ=≤≤ AP BP ⋅ 的二次函数，即可求出其最小值.λ【详解】为的中点，，E AD 12BE AE AB AD AB∴=-=-，，，//AB CD 6AB =3CD =，12AC AD DC AD AB∴=+=+ 11()()22BE AC AD AB AD AB ∴⋅=-⋅+ 22113224AD AB AB AD =--⋅，169cos 19BAD =--∠=-；3cos 1BAD =∴∠设，(01),2DP DC AP AD DC AD ABλλλλ=≤≤=+=+ ，(1)2BP AP AB AD ABλ=-=+-()[(1)]22AP BP AD AB AD AB λλ∴⋅=+⋅+- 22(1)(1)22AD AB AB ADλλλ=+-+-⋅ ，227499149(,0199λλλλ=-=--≤≤ 时，取得最小值为.79λ∴=AP BP ⋅ 499-故答案为：；.13499-【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.ABC ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos +=a c Bb C A （1）求角的大小；A （2）若的值；cos B =sin(2)B A +（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 【答案】（1）；（2；（3）.3π8【解析】【分析】(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A 根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；πA (2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可sin B 求得结果；(3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得bc b c +到的周长.ABC 【详解】解：（1），cos cos 2cos ac B b C A +=由正弦定理得：，sin sin cos sin cos 2cos +=A CB BC A 即，()sin sin 2cos A B C A +=又，sin()sin B C A += ，sin sin 2cos A A A =，，sin 0A ≠ 1cos 2A ∴=又，0A π<< ；3A π∴=（2）由题意知：sin B ==sin 22sin cos B B B ∴==又，21cos 22cos 13B B =-=-；sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫∴+=+=+=⎪⎝⎭（3），11sin 22S bc A bc ===，163bc ∴=由余弦定理得：，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，2169()33b c =+-⨯解得：，5b c +=的周长为.ABC ∴ 8a b c ++=【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化.17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，P ABCD -ABCD ,AD BC AD BA ⊥∥平面，且，点在棱上（不包括端点），3,2,AD AB BC PA ===⊥ABCD 3PA =M PD 点为中点.N BC （1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD CPN （3）是否存在点，使与平面？若存在，求出的M NM PCD PMPD 值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明过程见详解（2（3）存在，，理由见详解.13PM PD =【解析】【分析】(1) 取的一个靠近点的三等分点，连接，利用平行的传递性得PA P Q ,MQ QB 到，进而得到四边形为平行四边形，则，再利用线面平行BN MQ ∥MQBN MN BQ ∥的判定定理即可求解；(2)根据题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量CPD CPN 的夹角公式即可求解；(3)假设存在点，设，根据（2）中平面的法向量以及题中与平面M PMPD λ=CPD NM，求出即可求解.PCD λ【小问1详解】取的一个靠近点的三等分点，连接，PA P Q ,MQ QB 因为，所以且,2DM MP = MQ AD ∥113QM AD ==又因为，且，点为中点，AD BC ∥2BC =N BC 所以且，则四边形为平行四边形，BN MQ ∥=BN MQ MQBN 所以，平面，平面，所以直线平面.MN BQ ∥MN ⊄PAB QB ⊂PAB MN PAB 【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以A AB x AD y 所在直线为轴建立空间直角坐标系，APz 则，又为的中点，则，(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(0,0,3)B C D P N BC (2,1,0)N 所以，,(0,3,3),(2,1,0),(2,1,3)PD CD PN =-=-=- (2,2,3)PC =- 设平面的法向量为，则，CPD 1(,,)n x y z =11·330·20PD n y z CD n x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令，则，1x =1(1,2,2)n =设平面的法向量为，则，CPN 2(,,)n a b c =22·2230·230PC n a b c PN n a b c ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ 令，则，3a =2(3,0,2)n =所以，121212cos ,n n n n n n <>===所以平面与平面.CPD CPN 【小问3详解】存在，.13PM PD=假设存在点(不包括端点)，设，即，，M PMPD λ=PM PD λ= ()0,1λ∈由（2）得，且平面的法向量，(0,3,0),(0,0,3),(2,1,0)D P N CPD 1(1,2,2)n =，则，(0,3,3),(0,3,3)PD PM λλ=-=-0,3,(3)3M λλ-所以，因为与平面，(2,13,33)MN λλ=--NM PCD 则，111sin cos ,MN n MN n MN n θ=<>===⋅ 整理得：，解得：或（舍去），23410λλ-+=13λ==1λ故存在点，使与平面，此时.M NM PCD 13PM PD=18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的{}n a {}n b 等比数列，．1323,18b b b =-=（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）记，，求数列的前项和；nn n a c b =*n ∈N {}n c n n S （3）记，，证明数列的前项和．211n n n n n a d a a b ++-=*n ∈N {}n d n 12n T <【答案】（1）,21n a n =-3nnb =（2）113n nn S +=-（3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差等比数列通项公式直接求解；(2)利用错位相减法求和；(3)利用裂项相消求和.【小问1详解】设公差为，公比为，d q则由题可得数列的前8项的和，{}n a 11878828642a d a d ⨯+=+=因为，所以，所以，2d =11a =12(1)21n a n n =+-=-又因为，2132113,18b b b b q b q =-=-=所以解得或（舍），260q q --=3q =2q =-所以.1333n n n b -=⨯=【小问2详解】由（1）得，213n n n c -=所以，12n n S c c c =+++ 即，，21321333n n n S -=+++ 231113213333n n n S +-=+++ 两式相减得，123111111212222112122299321333333333313n n n n n n n n n S -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪--+⎝⎭⎢⎥=++++-=+-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以，113n n n S +=-【小问3详解】由（1）得21112(2)222111.(21)(21)3(21)(21)32(21)3(21)3n n n n n n n n n a n n d a a b n n n n n n +-+⎡⎤-+-+====-⎢⎥-+⋅-+⋅-⋅+⋅⎣⎦则123n nT d d d d =++++ 0112231111111111()(((2133333535373(21)3(21)3n n n n -⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅⎣⎦，0111()213(21)3n n =-⨯+⋅.1122(21)3n n =-+⋅因为所以102(21)3n n >+⋅111.22(21)32n nT n =-<+⋅19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左2222:1(0)x y C a b a b +=>>e=C 焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，F A B x （1）求椭圆的方程；C （2）若直线的斜率为，求弦的长度；AB 2-AB （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭AB y D E y EF DF ⊥AE 圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，C G AB ABG AB 若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2（3）存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率AB ABGAB k =【解析】【分析】（1）由已知有，解方程组即可；2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求解即可；AB ()()20y k x k =-<（3）由题意求出的坐标，进而可得直线的方程为，并与与椭圆方程,D E AE 12xky +=联立，可得点坐标，由此可判断关于原点对称，故直线过原点，G ,B G BG 所以，令求解即可()2180212ABG B G k S OA y y k k -=-=<+ ()282012ABG k S k k -==<+ 【小问1详解】由题意可得，2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得，2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为；C 22142x y +=【小问2详解】由（1）可知，设，直线的方程为()()2,0,A F (),BB B xy AB ，()()20y k x k =-<由得，()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2222128840k xk x k +-+-=所以，，228412A B k x x k -⋅=+22812A B k x x k +=+所以AB =====【小问3详解】由（2）可知，即，228412A B k x x k -⋅=+224212B k x k -=+所以，即，22242421212B k ky k k k ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭222424,1212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭直线的方程为，令，解得，即，AB ()()20y k x k =-<0x =2y k =-()0,2D k -设，由题意有，()0,EE y()()2220E E EF DF y k ky ⋅=-⋅=-=解得，即，1E y k =10,E k ⎛⎫ ⎪⎝⎭进而可得直线的方程为，AE 12xky +=由得，2214212x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()221240k y ky +-=解得，进而，即，2412G k y k =+222412G k x k -=+222244,1212k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，，222424,1212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭222244,1212k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以关于原点对称，故直线过原点，,B G BG 所以，()2222811448202212121212ABG B G k k k kS OA y y k k k k k --=-=⨯⨯-==<++++ 当时，即，()282012ABG kS k k -==<+ ()224100kk k ++=<解得，k ===所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率AB ABG AB k =20. 已知函数()()11ln ,f x ax a x a R x=--+∈（1）若，求曲线在点处的切线方程；2a =-()y f x =()()1,1f （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；1a ≥()1f x >1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a （3）若，判断函数的零点的个数.1a e >()()1g x x f x a =++⎡⎤⎣⎦【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．=3y -2a >1a e >()g x【解析】【分析】（1）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；2a =-()f x （2）若，且在区间，上恒成立，即：在，上的最小值大于1a ()1f x >1[e ]e ()f x 1[e ]e 1；利用导数求判断函数的最小值．()f x （3）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递()g x '()g x (0,)+∞增．再构造新函数，证明，进而判断函数是否穿过()3(2ln 6)h a e a a =-+()0h a >()g x 轴即可．x 【详解】解：（1）若，则，2a =-1()2ln f x x x x =--+()13f =-所以，所以，所以切线方程为2(21)(1)()x x f x x -+-'=()10f '==3y -（2）依题意，在区间上1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦() 1.min f x >因为，．222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==1a 令得，或．()0f x '=1x =1x a =若，则由得，；由得，．a e ()0f x '>1x e < ()0f x '<11x e < 所以，满足条件；()()111min f x f a ==->若，则由得，或；由得，1a e <<()0f x '>11x e a < 1x e < ()0f x '<11.x a <<，()1(),1min f x min ff e ⎧⎫⎛⎫∴=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭依题意，即，所以．()1111f e f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩212e a e a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩2e a <<若，则．1a =()0f x '所以在区间上单调递增，，不满足条件；()f x 1[,]e e 1()()1min f x f e =<综上，．2a >（3），．()0,x ∈+∞2()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-所以．设，()2(1)ln g x ax a x '=-+()2(1)ln m x ax a x =-+．12(1)()2a ax a m x a x x +-+'=-=令得．()0m x '=12a x a +=当时，；当时，．102a x a +<<()0m x '<12a x a +>()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增．()g x '1(0,)2a a +1(,)2a a ++∞所以的最小值为．()g x '11((1)(1ln )22a a g a a a ++'=+-因为，所以．1a e >1111e e22222a a a +=+<+<所以的最小值．()g x '11()(1)(1ln )022a a g a a a ++'=+->从而，在区间上单调递增．()g x (0,)+∞又，5210352111()(62ln )1a g a e a e a e a +=++-设．()3(2ln 6)h a e a a =-+则．令得．由，得；32()e h a a '=-()0h a '=32a e =()0h a '<320e a <<由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．()0h a '>32e a >()h a 32(0,)e 32(,)e +∞所以．32()()22ln 20min h a h e ==->所以恒成立．所以，．()0h a >3e 2ln 6a a >+32ln 61e a a +<所以．527272272111111111(1110a g e a e e a e e e a e e e +<+-=++-<++-<又，所以当时，函数恰有1个零点．()120g a =>1a e >()g x 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。

2024-2025学年天津市天津一中高三(上)统练数学试卷(一)(含答案)

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一校高三年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，，则（）{}24A x x =-<≤{}2,3,4,5B =A B ⋂=A ．B ．C ．D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,42．设则“（）为偶函数”是“”的（）ϕ∈R ()()cos f x x ϕ=+x ∈R 0ϕ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件3．函数在上的大致图象为（）()41x xe ef x x --=+[]3,3-A ．B ．C ．D ．4．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：h其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中，正确的是（）（1）寿命超过的频率为0.3；400h （2）用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（3）寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2A ．①B ．②C ．③D ．以上均不正确5．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 22660x y x +-+=的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（）C A ．B ．C ．D ．22145x y -=22154x y -=22163x y -=22136x y -=6．已知，，，，则下列等式一定成立的是（）0b >5log b a =lg b c =510d =A ．B ．C ．D ．d ac=d a c=+c ad=a cd=7．已知奇函数，且在上是增函数．若，，()f x ()()g x xf x =[)0,∞+()2log 5.1a g =-()0.82b g =，则，，的大小关系为（）()4log 3c g =a b c A ．B ．C ．D ．a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<8．已知函数（），若在上有且仅有三个极值点，则不正确的有（()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭0ω>()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭）A ．在区间上的最小值可以等于()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-B ．若的图象关于点对称，则在区间上单调递增()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．的最小正周期可能为()f x π3D ．若，将的图象向右平移个单位可得到的图象()π002f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin2g x x =π123x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭9．已知函数，函数，其中，若函数()()222,2,2x x f x x x ⎧+<-⎪=⎨-≥-⎪⎩()()2g x b f x =--b ∈R 恰有4个零点，则的取值范围是（）()()y f x g x =-b A ．B ．C ．D ．7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10．若复数满足（为虚数单位），则______．z ()1i 43i z -=+i z =11．的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）81x ⎛ ⎝x 12．已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截1C 224x y +=2C 22860x y x y m +-++=l 0x y +=2C 的弦长为______；若点为圆上一点，则的最小值为______．()00,P x y 2C 2200x y +13．从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取m n 3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______．X ()1E X =n =()1P x ≤=14．如图，一个圆柱内接于一个圆锥，且圆锥的轴截面为面积是的正三角形．设圆柱底面半径为，2r 高为，则的最小值为，圆柱的最大体积为______．h 1r +3cm 15．在梯形中，，，，，，分别为线段和ABCD AB CD ∥2AB BC ==1CD =120BCD ︒∠=P Q BC 线段上的动点，且，，则的取值范围为______．CD BP BC λ= 34DQ DC λ= DP AQ ⋅三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．ABC △A B C a b c πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求角的大小；B（2）设，，求和的值．2a =c =b ()sin 2C B -17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AD BA ⊥3AD =，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点．2AB BC ==PA ⊥ABCD 3PA =M PD N BC（1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN ∥PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD PAB（3）是否存在点，使与平面的值；若不存在，说M NM PCD PMPD明理由．18．（本小题满分15分）设为等差数列的前项和，且，．n S {}n a n 35a =654229S S S +=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和；2n an n b a =⋅{}n b n n T（3）若满足不等式的正整数恰有3个，求正实数的取值范围．()110nn n S λ-⋅+-<n λ19．（本小题满分15分）已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，22221x y a b +=0a b >>1A 2F 2F x M 两点，直线的斜率为．N 1A M 12（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆右顶点为，为粗圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；2A P 12PA PA k k ⋅（3）若的外接圆在处的切线与粗圆交另一点于，且的面积为，求粗圆的方程．1A MN △M D 2F MD △6720．（本小题满分16分）已知函数和，()xf x e =()lng x ax x =-a ∈R（1）求在处的切线方程；()y f x =0x =（2）若当时，恒成立，求的取值范围；()1,x ∈+∞()ln g x x x a <+a （3）若与有相同的最小值．()()h x f x ax =-()y g x =（ⅰ）求并求出；a （ⅱ）证明：存在实数，使得和共有三个不同的根，，（），且，b ()h x b =()g x b =1x 2x 3x 123x x x <<1x ，依次成等差数列．2x 3x 塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）1-5 DBCCC 6-9 DBAC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．10．11．28 12 4 13．1；14．； 15．17i 22-20274313,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（注：两个空的答对一个空给3分）三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）（1）在中，由正弦定理，可得，ABC △sin sin a bA B=sin sin b A a B =又由，得，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin cos 6a B a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即，可得πsin cos 6B B ⎛⎫=+⎪⎝⎭tan B =又因为，可得．()0,πB ∈π6B =（2）在中，由余弦定理及，，，ABC △2a =c =π6B =有，故2222cos b a c ac B =+-b =由，可得，故．2222cos c a b ab C =+-cos C =()0,πC ∈sin C =因此，sin22sin cos C C C ==21cos22cos 126C C -=-=所以，()1111sin 2sin2cos cos2sin 6626213ππC B C C --=-=⨯=17．（本小题满分15分）解：（1）取的一个靠近点的三等分点，连接，，PA P Q MQ QB 因为，所以且，2DM MP = MQ AD ∥113QM AD ==又因为，且，点为中点，AD BC ∥2BC =N BC 所以且，则四边形为平行四边形，BN MQ ∥BN MQ =MQBN 所以，平面，平面，所以直线平面．MN BQ ∥MN ⊄PAB QB ⊂PAB MN ∥PAB （2）如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为A AB x AD y AP 轴建立空间直角坐标系，z则，，，，又为的中点，则，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P N BC ()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =-设平面的法向量为，则，令，则，CPD ()1,,n x y z = 1133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =()11,2,2n = 设平面的法向量为，PAB ()20,1,0n =，所以，12sin ,n n == 12 cos ,3n 所以平面与平面的夹角的余弦值为．CPD PAB 23（3）存在，．23PM PD =假设存在点（不包括端点），设，即，，M PMPDλ=PM PD λ= ()0,1λ∈由（2）得，，，且平面的法向量，()0,3,0D ()0,0,3P ()2,1,0N CPD ()11,2,2n =，，则，()0,3,3PD =- ()0,3,3PM λλ=-()0,3,33M λλ-所以，因为与平面()2,13,33MN λλ=--NMPCD 则111sin cos ,MM MN n n n MM θ====⋅⋅ 整理得：，解得：，291240λλ-+=23λ=故存在点，使与平面．M NM PCD 23PM PD =18．（本小题满分15分）解：（1）设等差数列的公差为，则，{}n a d 36545229a S S S =⎧⎨+=+⎩解得，，因此，；11a =2d =()11221n a n n =+-⨯=-（2）()212121242n nn n b n --=-⋅=⋅231352144442222nn n T -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅则，234113521444442222n n n T +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得，1116421324142n n n n T ++---=+-⋅-110653436n n n T +--=--⋅因此，．110654918n n n T +-=+⋅（3），()122n n n a a S n ⋅+==满足不等式的正整数恰有3个，得，()110nn nS λ-⋅+-<nλ<由于，若为奇数，则不等式不可能成立．0λ>nλ<只考虑为偶数的情况，令，nnb ==则2nb +==∴2n n b b +-===当时，，则；2n =420b b ->24b b <当时，，则；4n =640b b ->46b b <当时，，则；6n =860b b -<68b b >因为在时单调递减，244y n n =-++2n ≥所以当时，则．6n ≥20n n b b +-<6810b b b >>>⋅⋅⋅所以，246810b b b b b ⋅<<>>⋅⋅>又，，，，∴．69 2b =484b b ==22b =102528b =>2548λ≤<因此，实数的取值范围是．λ2548λ≤<19．（本小题满分15分）（1）由题意可知：，，设，由题意可知：在第一象限，且，()1,0A a -()2,0F c (),M x y M 22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴，∴，∴，∴；2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()22212b a c a c a a c a a c a --===++2a c =12c e a ==（2）设，则，(),P x y 22221x y a b+=所以1222222222222131,4PA PA x b a y y y b k k e x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-=-+=-+---∴为定值12PA PA k k ⋅34-（3）由（1），，所以椭圆方程为：，22222243b a c c c c =-=-=2222143x y c c +=，，设的外接圆的圆心坐标为，由，得3,2M c c ⎛⎫⎪⎝⎭()12,0A c -1A MN △(),0T t 1TA TM =，求得，∴，切线斜率为：，切线直线方程为()()222924t c t c c +=-+8ct =-34238TM ck c c ==+34k =-，即代入椭圆方程中，得，()3324y c x c -=--3490x y c +-=22718110x cx c -+=，，，2222184711160c c c ∆=-⨯⨯=>117D c x =1514D cy =∴，57c MD ===到直线的距离，的面积为，2F MD 39655c c c d -==2F MD △12S MD d =⋅所以有，∴，椭圆方程为：．26156372757c c c =⨯⨯=22c =22186x y +=20．（本小题满分16分）（1）切线方程：1y x =+（2）方法一：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+所以当时，恒成立．()1,x ∈+∞()1ln 1x x a x +<-令，则()()1ln 1x x H x x +=-()()212ln 1x x xH x x --=-'设，所以，()12ln G x x x x=--()()22211210x G x x x x '-=+-=>所以，所以在单调递增．()0H x '>()()1ln 1x x H x x +=-()1,+∞∵，∴()()111ln 1ln limlim211x x x xx x x x →→+++==-2a ≤方法二：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+设，则，()()1ln 1a x g x x x -=-+()()()()2222111211x a x ag x x x x x '+-+=-=++()10g =（ⅰ）当，时，，故，在上单2a ≤()1,x ∈+∞()22211210x a x x x +-+≥-+>()0g x '>()g x ()1,+∞调递增，因此；()0g x >（ⅱ）当时，令得，．2a >()0g x '=11x a =-21x a =-由和得，故当时，，在单调递减，因此．21x >121x x =11x <()21,x x ∈()0g x '<()g x ()21,x ()0g x <综上，的取值范围是．a (],2-∞（3）的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e xf x a '=-若，则，此时无最小值，故．0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而．()ln g x ax x =-()0,+∞()11ax g x a x x-=-='当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故．()()min ln ln f x f a a a a ==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故．()min 111ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e xf x ax =-()lng x ax x =-故，整理得到，其中，11ln ln a a a a -=-1ln 1a a a-=+0a >设，，则，()1ln 1a g a a a -=-+0a >()()()222211011a g a a a a a --=-=≤++'故为上的减函数，而，()g a ()0,+∞()10g =故的唯一解为，故的解为．()0g a =1a =1ln 1a a a-=+1a =综上，．1a =（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为．()e x f x x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数．1b >e x x b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b =--()e 1xS x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0-∞()0,+∞所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b =-设，其中，则，()e 2bu b b =-1b >()e 20b u b =->'故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．()0S b >()e xS x x b =--e x x b -=设，，()ln T x x x b =--()1x T x x'-=当时，，当时，，01x <<()0T x '<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,∞+所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2．()ln T x x x b =--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个解，1b =ln x x b -=e x x b -=当时，由（1）讨论可得、均无根，1b <ln x x b -=e x x b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则．1b >设，其中，故，()e ln 2x h x x x =+-0x >()1e 2x h x x=+-'设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10xs x =->'故在上为增函数，故即，()s x ()0,+∞()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，()11210h x x x>+-≥->'()h x ()0,+∞而，，()1e 20h =->31e 333122e 3e 30e e e h ⎛⎫=--<--< ⎪⎝⎭故在上有且只有一个零点，且：()h x ()0,+∞0x 0311e x <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的根，（），e x x b -=1x 0x 100x x <<此时有两个不同的根，（），ln x x b -=0x 4x 0401x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x b x -=()44e 0x b x b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e xx b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即．0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=[方法二]：由（1）知，，，()xf x e x =-()lng x x x =-且在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0-∞()0,+∞在上单调递减，在上单调递增，且．()g x ()0,1()1,+∞()()min min 1f x g x ==①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，1b <()()min min 1f x g x b ==>y b =()y f x =()y g x =不符合题意；②时，此时，1b =()()min min 1f x g x b ===故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；y b =()y f x =()y g x =③时，首先，证明与曲线有2个交点，1b >y b =()y f x =即证明有2个零点，，()()F x f x b =-()()1xF x f x e '==-'所以在上单调递减，在上单调递增，()F x (),0-∞()0,+∞又因为，，，()0b F b e --=>()010F b =-<()20b F b e b =->（令，则，）()2bt b e b =-()20b t b e =->'()()120t b t e >=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()F x f x b =-(),0-∞1x 在上存在且只存在1个零点，设为．()0,+∞2x 其次，证明与曲线和有2个交点，y b =()y g x =即证明有2个零点，，()()G x g x b =-()()11G x g x x ='=-'所以上单调递减，在上单调递增，()G x ()0,1()1,+∞又因为，，，()0b b G e e --=>()010G b =-<()2ln20G b b b =->（令，则，）()ln2b b b μ=-()110b bμ=->'()()11ln20b μμ>=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()G x g x b =-()0,13x 在上存在且只存在1个零点，设为．()1,+∞4x 再次，证明存在，使得：b 23x x =因为，所以，()()230F x G x ==2233ln xb e x x x =-=-若，则，即，23x x =2222ln x e x x x -=-2222ln 0x e x x -+=所以只需证明在上有解即可，2ln 0x e x x -+=()0,1即在上有零点，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,1因为，，31331230e e e e ϕ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭()120e ϕ=->所以在上存在零点，取一零点为，令即可，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,10x 230x x x ==此时取00x b e x =-则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，1402x x x +=因为()()()()()()1203040F x F x F x G x G x G x ======所以，()()()100ln F x G x F x ==又因为在上单调递减，，即，所以，()F x (),0-∞10x <001x <<0ln 0x <10ln x x =同理，因为，()()()004x F x G e G x ==又因为在上单调递增，即，，所以，()G x ()1,+∞00x >01x e>11x >04x x e =又因为，所以，0002ln 0x e x x -+=01400ln 2x x x e x x +=+=即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．y b =()y f x =()y g x =【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系．。

天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末考数学试题及答案

天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）（答案在最后）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的无效。

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,2A =-，{}2430B x x x =-+=，则()UA B ⋃=A.{}2,0-B.{}0,3C.{}2,1-D.{}1,32.“n 是3的倍数”是“n 是6的倍数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()2ln x f x x=的部分图象大致为A.B.C.D.4. A.92π B.278πC.9πD.27π5.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按[)40,60，[)60,80，[)80,100，[)100,120，[)120,140，[]140,160分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为 A.300B.450C.480D.6006.设0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.b c a <<B.c b a <<C.a b c <<D.b a c <<7.已知抛物线220y x =的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为 A.2214116x y -=B.2214125x y -=C.221916x y -=D.221169x y -= 8.已知函数()1sin 2222f x x x ωω=+，()0ω>，且()f x 的最小正周期为π，给出下列结论：①函数()f x 在区间7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；②函数()f x 关于直线12x π=对称；③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是 A.①②B.①③C.②③D.①②③9.设函数()()2e e ,024,0x xx x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(]0,2B.()0,2C.()2,+∞D.{}2第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。

天津市和平区耀华中学2024届高三上学期期末数学试题

(x)
=
0
得：
x-
1 x
=
0 或 ln
x
-2
=
0 ，解得
x=- 1或
x
=1或
x
=
3，
对于
D：
x
+
1 x
¹
0
，令
f
(
x)
=
0
得： ln
(
x
-
2)
=
0
，解得
x
=
-3
或
x
=
3，
综上，只有选项 C 满足题意. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题考查由函数图象判断解析式，通常做法是从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、零点等方面入手去分析，从而得出正确的答案. 4．A 【分析】直接由幂函数、对数函数单调性比较大小即可.
【详解】由题意 31+log3 2 + lg 5 + log3 2 ´ log4 9 ´ lg 2 = 3´ 3log3 2 + lg 5 + log3 2 ´ log22 32 ´ lg 2
= 3´ 2 + lg 5 + log3 2´ log2 3´ lg 2
= 6 + (lg 5 + lg 2) = 6 +1 = 7 .
A． x2 9
-
y2 6
=1
B．
x2 3
-
y2 6
=1
C．
x2 6
-
y2 9
=1
D．
x2 6
-
y2 3
=1
8．如图，三棱台 ABC -A1B1C1 中， AB : A1B1 = 1: 2 ，三棱台 ABC -A1B1C1 的体积记为V1 ，

2023届天津市静海区高三年级上册学期期末检测数学试题【含答案】

天津市静海区2022-2023学年高三上学期期末检测数学试题（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）一、单选题（本大题共9小题，共45分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，，则( )A ={x∣‒2≤x ≤2}B ={x |x 2‒5x ‒6≤0}(∁R A )∪B =A. 或 B. {x |x <‒2x >2}{x∣2<x ≤6}C. 或 D. {x∣x <‒2x ≥‒1}{x∣2≤x ≤3}2. 命题“，”的否定是( )∀x⩾2x 2‒4x +4⩾0A. ， B. ，∀x⩾2x 2‒4x +4<0∃x <2x 2‒4x +4<0C. ， D. ，∀x <2x 2‒4x +4<0∃x⩾2x 2‒4x +4<03. 对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，x y (x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )则下列说法正确的是( )由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心①^y=^bx +^a (x ,y )用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好②R 2R 2残差平方和越小的模型，拟合的效果越好③用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱；④r |r |1A. B. C. D. ①②①③④①②③①③4. 三个数，，，则( )a =70.3b =0.37c =log 70.3A. B. C. D. c <b <ab <a <cb <c <aa <c <b5. 函数的图象大致为 ( )f (x )=(4x ‒4‒x )log 2x 2A. B.C.D.6. 已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数f (x )=2sin (2x +π6)f (x )x π6的图象，关于函数，下列说法正确的是( )g (x )g (x )A. 在上是增函数[π4,π2]B. 其图象关于直线对称x =‒π4C. 函数是奇函数g (x )D. 当时，函数的值域是x ∈[0,π3]g (x )[‒1,2]7. 直线：与抛物线：交于不同两点、，是的焦点，若，l y =kx ‒1C x 2=4y A B F C |⃗AF |=2|⃗BF |则的面积为( )△ABF A. B. C. D. 22222428. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是x 1,x 2∈(1,3]x 1<x 2x 1‒x 2‒a 3ln x 1x 2>0a ( )A. B. C. D. [3,+∞)(3,+∞)[9,+∞)(9,+∞)9. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个.面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则经过该1多面体的各个顶点的球的体积为( )A. B. C. D. 43π82π4π8π二、填空题（本大题共6小题，共30分）10. 是虚数单位，复数．i 9+2i2+i =11.展开式中的系数为，则．(x 3+a x)6x 6‒160a =12. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是______P (2,3)13. 已知学习强国中的每日答题项目共题，答对题积分，否则不积分，甲答对每题的511概率为，记为甲所得的分数，则甲得分的概率为，．14ξ3E (ξ)=14.已知，则的最小值是______．x >24x ‒2+x15. 在中，，，，，则；设△ABC ∠BAC =60°|⃗AC|=2⃗BD=2⃗DC |⃗AD|=373|⃗AB|=，且，则的值为．⃗AE=λ⃗AC‒⃗AB(λ∈R )⃗AD ⋅⃗AE=4λ三、答题（本大题共5小题，共75分。

2020-2021学年天津市河北区高三上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年天津市河北区高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，5，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{4}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．{1，3，4，5，6} 2．设a∈R，则“（a+1）（a﹣1）＜0”是“a＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．24．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（）A．50B．54C．60D．645．函数的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，4），且双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．7．设，b＝，c＝2﹣0.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）的正确结论是（）A．奇函数，在上单调递减B．最大值为1，图象关于直线对称C．最小正周期为π，图象关于点对称D．偶函数，在上单调递增9．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．[﹣3，0）D．二、填空题（共6小题）.10．i为虚数单位，复数＝．11．二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）12．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为．13．一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为，甲总得分是7的概率为．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+b的最小值为．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，且BE＝2EA，若•＝3•，则的值为．三、解答题：本大题共5小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B＝b sin A．（Ⅰ）求用B的大小；（Ⅱ）若cos A＝，求sin（2A﹣B）的值；（Ⅲ）若b＝2，c＝2a，求边a的值．17．（15分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点P为侧棱CC1上的一点，且AA1＝3AB＝3．（Ⅰ）若点P为CC1的中点，求证：AC1∥平面PBD；（Ⅱ）若，求直线A1P与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角B﹣PD﹣C的余弦值为，求PC的长．18．（15分）已知等差数列{a n}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{c n}的前2n项和．19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个顶点分别为点A（﹣2，0），B （2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，5，6}，则A∩（∁U B）＝（）A．{4}B．{1，3}C．{1，2，3，4}D．{1，3，4，5，6}【分析】求出∁U B，由此能求出A∩（∁U B）．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，5，6}，∴∁U B＝{1，3，4}，∴A∩（∁U B）＝{1，3}．故选：B．2．设a∈R，则“（a+1）（a﹣1）＜0”是“a＞﹣1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解不等式，根据集合的包含关系判断即可．解：∵（a+1）（a﹣1）＜0，∴﹣1＜a＜1，故（﹣1，1）是（﹣1，+∞）的充分不必要条件，故选：A．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．B．C．D．2【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝，解得：a＝﹣，故选：C．4．某班全体学生参加一次测试，将所得分数依次分组：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），绘制出如图所示的成绩频率分布直方图，若低于60分的人数是18，则该班的学生人数是（）A．50B．54C．60D．64【分析】根据频率分布直方图，求出得分低于60分的频率，再求该班的学生人数．解：由频率分布直方图知，得分低于60分的频率为（0.005+0.01）×20＝0.3，∵低于60分的人数是18，∴该班的学生人数是＝60故选：C．5．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数极限思想以及函数值的符号关系进行排除即可．解：当x→+∞，f（x）→0，排除B，D，当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除A，故选：C．6．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，4），且双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点位置，求出渐近线方程，可得双曲线的a，b，解方程即可得到所求双曲线的方程．解：抛物线y2＝20x的焦点为（5，0），则双曲线的焦点在x轴上，双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（3，4），可得3b＝4a，由题意双曲线的一个焦点与抛物线y2＝20x的焦点重合，可得＝5，解得a＝3，b＝4，则双曲线的方程为：．故选：A．7．设，b＝，c＝2﹣0.3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．解：1＞＝2﹣0.2＞c＝2﹣0.3，b＝＝log23＞1，c＝2﹣0.3，则a，b，c的大小关系为b＞a＞c，故选：D．8．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，则关于函数g（x）的正确结论是（）A．奇函数，在上单调递减B．最大值为1，图象关于直线对称C．最小正周期为π，图象关于点对称D．偶函数，在上单调递增【分析】由题意利用函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）＝cos （2x+﹣）＝cos2x的图象，则关于函数g（x），显然它是偶函数，故排除A；显然，g（x）的最大值为1，当x＝时，g（x）＝cosπ＝﹣1，为最小值，故g（x）的图象关于直线对称，故B正确；g（x）的最小正周期为＝π，当x＝时，g（x）＝cos＝﹣，故C错误；当x∈（﹣，），2x∈（﹣，），g（x）没有单调性，故D错误，故选：B．9．已知函数，其中m＜0，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．[﹣3，0）D．【分析】作出函数数，其中m＜0的图象，分析两侧的函数图象在x＝m处的位置关系，从而得到关于m的不等式，求解即可得到答案解：当m＜0时，作出函数的图象如下图所示，当x＜m时，f（x）＝x2﹣2mx+6＝（x﹣m）2+6﹣m2≥6﹣m2，所以若要存在实数k，使得关于x的方程f（x）﹣k＝0恰有三个不同的实数根，则必须6﹣m2＜m2（m＜0），解得，所以m的取值范围是．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸上.10．i为虚数单位，复数＝1+i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．解：＝，故答案为：1+i．11．二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是60．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：（2x2﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，∴展开式中的常数项是•22＝60，故答案为：60．12．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为1，球O的表面积为14π．【分析】利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球的直径即为长方体的对角线即可得出．解：∵AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，∴四面体ABCD的体积＝1×2×3＝1，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．设球O的半径为r，则（2r）2＝12+22+32＝14．其表面积＝4πr2＝14π．故答案为：1，14π．13．一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为，甲总得分是7的概率为．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲三次都取到白球的概率；利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲总得分是7的概率．解：一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为：P1＝＝，甲总得分是7的概率为：P1＝＝．故答案为：，．14．已知a＞0，b＞0，且+＝，则a+b的最小值为20．【分析】由题意得，a+b＝6[（a+2）+（b+2）]（）﹣4，展开后利用基本不等式可求．解：a＞0，b＞0，且+＝，则a+b＝6[（a+2）+（b+2）]（）﹣4，＝6（2+）﹣4，﹣4＝20，当且仅当且+＝，即a＝b＝10时取等号，a+b的最小值20．故答案为：20．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，且BE＝2EA，若•＝3•，则的值为．【分析】根据条件可得出，再带入进行数量积的运算即可得出，从而可得出的值．解：∵D是BC的中点，E在边AB上，且BE＝2EA，∴＝，，∴＝＝，∴，∴，．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a cos B＝b sin A．（Ⅰ）求用B的大小；（Ⅱ）若cos A＝，求sin（2A﹣B）的值；（Ⅲ）若b＝2，c＝2a，求边a的值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，结合sin A≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tan B的值，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解．（Ⅲ）由已知利用余弦定理即可求解a的值．解：（Ⅰ）因为a cos B＝b sin A，所以sin A cos B＝sin B sin A，因为sin A≠0，所以tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．（Ⅱ）因为cos A＝，sin A＝＝，可得sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A ＝2cos2A﹣1＝﹣所以sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝×﹣（﹣）×＝．（Ⅲ）因为B＝，b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得4＝a2+c2﹣ac＝a2+4a2﹣2a2＝3a2，解得a＝．17．（15分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点P为侧棱CC1上的一点，且AA1＝3AB＝3．（Ⅰ）若点P为CC1的中点，求证：AC1∥平面PBD；（Ⅱ）若，求直线A1P与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角B﹣PD﹣C的余弦值为，求PC的长．【分析】（Ⅰ）连接AC，交BD于O，连接OP，推导出OP∥AC1，由此能证明AC1∥平面PBD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1P与平面PBD所成角的正弦值．（Ⅲ）设PC＝t，求出平面PDC的法向量和平面PBD的法向量，由二面角B﹣PD﹣C 的余弦值为，利用向量法能求出PC的长．解：（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，连接OP，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵点P为CC1的中点，∴OP∥AC1，∵AC1⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，∴AC1∥平面PBD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1＝3AB＝3，，∴A1（1，0，3），P（0，1，2），B（1，1，0），D（0，0，0），＝（﹣1，1，﹣1），＝（1，1，0），＝（0，1，2），设平面PBD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，﹣2，1），设直线A1P与平面PBD所成角为θ，则直线A1P与平面PBD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．（Ⅲ）设PC＝t，则P（0，1，t），＝（0，1，t），＝（1，1，0），平面PDC的法向量＝（1，0，0），设平面PBD的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，﹣1，），∵二面角B﹣PD﹣C的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝2，或t＝﹣2（舍），∴PC的长为2．18．（15分）已知等差数列{a n}的公差为正数．a1＝1，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和T n．（Ⅲ）设，n∈N*，求数列{c n}的前2n项和．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得a n•b n＝n•2n，运用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得T n；（Ⅲ）求得c n＝b n+＝2n+2（﹣），利用分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得数列{c n}的前2n项和．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n；（Ⅱ）a n•b n＝n•2n，前n项和T n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2T n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得﹣T n＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得T n＝2+（n﹣1）•2n+1；（Ⅲ）由S n＝n（n+1），可得c n＝b n+＝2n+＝2n+2（﹣），则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+2（1﹣+﹣+…+﹣）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣，则数列{c n}的前2n项和为22n+1﹣．19．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个顶点分别为点A（﹣2，0），B （2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．证明：△BDE与△BDN的面积之比为定值．【分析】（Ⅰ）根据题意可得a＝2，由e＝＝，解得c，b2，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）设D（x0，0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（y0＞0），可得y02＝1﹣，写出直线AM的方程，直线DE的方程，推出＝，进而可得的值．解：（Ⅰ）因为焦点在x轴上，两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），所以a＝2，由e＝＝，所以c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（Ⅱ）设D（x0，0），M（x0，y0），N（x0，﹣y0）（y0＞0），可得y02＝1﹣，直线AM的方程为y＝（x+2），因为DE⊥AM，所以k DE＝﹣，直线DE的方程为y＝﹣（x﹣x0），联立，整理得，（x﹣x0）＝（x﹣2），即（x02﹣4）（x﹣x0）＝y02（x﹣2），即（x02﹣4）（x﹣x0）＝（x﹣2），得x＝，所以y＝﹣•＝﹣＝﹣y0，即E（，﹣y0），则＝，又＝＝，所以△BDE与△BDN的面积之比为定值．20．（16分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若函数f（x）的导函数f′（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝1，解得a＝2；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝1，解得a＝2；（Ⅱ）解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，①a≤0时，2x﹣a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，②0＜a＜2时，令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，③a＝2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，④a＞2时，令f′（x）＞0，解得：x＞或0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜，故f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；综上：a≤0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，0＜a＜2时，f（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，a＝2时，f（x）在（0，+∞）递增，a＞2时，f（x）在（0，1）递增，在（1，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅲ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．。

天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析

天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是（） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则ω的最大值为（） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件．故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知当,,P F E '三点共线时即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像再分类讨论y k =与函数图像的位置关系结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根故22mn k k =-；而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系数形结合思想分类讨论思想属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==；故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算考查了虚数单位i 的性质是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高由勾股定理求出球的半径根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质以及柱体与球体的体积公式意在考查综合运用所学知识解答问题的能力考查了空间想象能力属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系写出点的坐标表达出向量,AE AF 的坐标从而求出向量数量积的关系式求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值最小值为8164 当0λ=或1时取得最大值最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =．（2）在△ABC 中由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行可得对边斜率相等设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=．解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。

天津市部分区2022-2023学年高三上学期期末练习数学试题含答案

2022~2023学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1}A =，{1,1,3}B =-，则()UA B ⋂=（）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{1,3}-D ．{1,1,3}-2．“x 为有理数”是“2x 为有理数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()22sin x xy x -=-在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．4．从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在50350kW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．在被调查的用户中，用电量落在区间[100,200)内的户数为（）A ．45B ．46C ．54D ．705．设ln0.8a =，0.8e b =，e0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为其中一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的方程为（）A ．221313x y -= B ．2213x y -= C ．221124x y -= D ．2211216x y -= 7．若2log 31x =，则33xx-+的值为（） A ．32B ．2C ．52D ．38．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若32S S =甲乙，则VV =甲乙（）A ．7B ．7C ．94D ．219．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．194,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．114,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。