第1章 线性空间与内积空间

(1,2 , ,r ) (1, 2 , , s )A
注2 向量组的线性表示满足传递性。
注3 向量组的等价满足自反性、对称性和传递性。
定义1.2.5 设 1,2 , ,r (r 1) 是V 中一组向量，如
果存在不全为零的数 k1, k2 , , kr P，使得
k11 k22 krr 0 则称1 ,2 , ,r 线性相关，否则就称 1,2 , ,r 线性
1.1 预备知识 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间
1.1 预备知识
定义1.1.1 设 A, B 是两个非空集合，如果存在对应法则
f : A B ，使得 x A ，按对应法则 f ，在B 中有唯一元 素 y 与之对应，则称 f 是 A到 B 的一个映射,记为 y f ( x).
如果V 中任一向量都可由1,2 , ,n线性表示，则dim(V )=n。
例1.2.2 设有线性空间V { A R22 | AT A} ，证明 dim(V )=３。
1.3 基 与 坐 标
定义1.3.1 设V 为数域 P上的 n 维线性空间，V 中n 个
线性无关的向量 1 , 2 , , n称为V 的一组基。
则r s。
推论1.2.1 两个等价的线性无关向量组必含有相同个数 的向量。
推论1.2.2 如果向量组 1,2 , ,r 可由向量组1, 2, , s 线性表示且r s，则 1,2 , ,r线性相关。
定理1.2.4 设线性空间V 中向量组1,2 , ,r 线性无关,
元素 y B 称为元素 x A在映射 f 下的像，称 x 为 y 的
原像。集合 A 称为映射 f 的定义域，集合
f (A) R( f ) { y | y f (x), x A} 称为映射 f 的值域。
映射的例子：
(1) f ( A) | A |, A Rnn .
(2) f ( A) AT A, A Rmn .
（14）C mn 表 示 全 体m n复 矩 阵.
（15）R[ x]表 示 全 体 实 系 数 多 项 式. （16）R[ x]n表 示 全 体 次 数 小 于n的 实 系 数 多 项 式 （ 包 括 零 多 项 式 ）. （17）C[a, b]表示定义在[a, b]上的全体连续函数.
第1章 线性空间与内积空间
（2）如果a, b A, a b，有 f (a) f (b) ，则称 f 是 A 到B 的单映射；
（3）如果 f 既是单映射又是满映射，则称 f 是A 到 B 上 的一一映射或称 f 是 A 到 B的双映射。
定义1.1.４ 设 f , g : A B 是两个映射，如果
f (a) g(a), a A,
则
(1) h (g f ) (h g) f ; (2) f I A IB f f .
定义1.1.６ 设有映射 f : A B，如果存在映射g : B A
使得 g f IA, f g IB ，则称 g 为 f 的逆映射,记为g f 1 。 如果映射 f 有逆映射 f 1 ，则称 f 为可逆映射。
上式可以简记为 (1,2 , ,r ) (1, 2 , , s )A ，其中
a11 a12 a1r
A


a21 as1
a22 as2
a2r

asr
注1 向量组1 ,2 , ,r 可由向量组 1, 2 , , s 线性表示 的充分必要条件是，存在 s r 矩阵 A，使得
定义1.2.2 设V 是一个非空集合，P是一个数域，如果在
V 上定义有代数运算 : V V V（称为加法运算）；在P与V
到V 定义有代数运算 : P V V（称为数乘运算），并且加
法与数乘运算满足如下八条规则：
(1) ； (2) ( ) ( ); (3) 存在零元素0V，使得 V有 0 ; (4) V ,存在负元素 V，使得 ( ) 0;
以下总设 P 是数域，V 是数域 P 上的线性空间。
定义1.2.3 设 1,2 , ,r (r 1) 是V 中的一组向量，
k1, k2 , , kr 是数域 P 中的数，如果V 中向量α可以表示为
k11 k22 krr
则称α可由1,2 , ,r 线性表示，或称α是 1 ,2 , ,r
定理1.2.1 设V是数域P上的线性空间，则
(1) V 中零元素是唯一的；
(2) V 中任一元素α的负元素是唯一的；
(3) 0 0, k 0 0, (1) ; (4) 如果k 0, 则k 0 或者 0。 定义线性空间中的减法： ( ) 。
无关。
注4 向量组1 ,2 , ,r线性相关的充分必要条件是， 向量方程 x11 x22 xrr 0 在数域 P中有非零解。
定理1.2.2 设V 是数域 P上的线性空间.
(1) V 中一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0； (2) V 中一组向量 1,2 , ,r (r 2)线性相关的充分必
（2）a A表示a是集合A中的元素.
（3）a A表示a不是集合A中的元素.
（4）表 示 空 集.
（5）A B表示集合A是B的子集. （6）A B表示A与B的并集，即
A B {x | x A或x B}.
（7）A B表示A与B的交集，即 A B { x | x A且x B}.
而向量组1,2 ,
,r ,
线性相关，则β可由
1 , 2 ,
,
唯
r
一线性表示。
定义1.2.6 设 1 , 2 , , s 是线性空间V 的一组向量，
i1 , i2 ,
, ir 是其线性无关部分向量组，如果 1 , 2 ,
,
中任
s
一向量都可由向量组 i1 , i2 ,
(5) 1 ; (6) k (m ) (km); (7) (k m) k m ; (8) k ( ) k k ,
其中k，m是P中的任意数，α,β,γ是V 中的任意元素，则称V 为
数域P上的线性空间。线性空间V 中的元素也称为向量。
设向量组 1,2 , ,r 可由向量组 1, 2 , , s 线性表示，
则
1 a111 a21 2 as1 s


2

a121 a22 2


as2s
r a1r 1 a2r 2 asr s
推论1.2.4 如果向量组 1,2 , ,r 可由向量组1, 2, , s 线性表示，则 rank{1 , 2 , , r } rank{1 , 2 , , s } 。
推论1.2.5 等价的向量组有相同的秩。
定义1.2.7 如果线性空间V 中有 n 个线性无关的向量，
则称映射 f 与 g 相等，记为 f g 。
定义1.1.5 设 A, B,C 是三个非空集合，如果f : A B 和 g : B C 是两个映射，则定义乘积映射 g f : A C 如下：
(g f )(a) g( f (a)) a A
定理1.1.1 设有映射 f : A B, g : B C 和 h : C D ，
C 的代数运算； A A 到 A的映射称为 A上的代数运算。
对任意 A Rmn , B Rnl，映射 f : ( A, B) AB 是 Rmn 与 Rnl 到 Rml 的代数运算。
对任意 k R, A Rmn，映射g : (k, A) kA是 R 与 Rmn 到Rmn的代数运算。
要条件是,其中有一个向量是其余向量的线性组合。
例1.2.1 证明 R22 中的一组向量
1 0
1 0
0 0
1 0 0, 2 1 1, 3 1 1
线性相关。
定理1.2.3 设V 是 P 上的线性空间，如果V 中向量组
1,2 , ,r 线性无关，并且可由向量组 1, 2 , , s 线性表示，
而任意ｎ+1个向量都线性相关，则称V 是 n 维的，记为
dim(V )=n；如果在 V 中存在任意多个线性无关的向量，则称V
是无限维的，记为 dim(V )=；如果V 中仅含有零向量，则
称V 是零维的，记为 dim(V )=０。
定理1.2.5
设 1 , 2 ,
,
是
n
V
中
n
个线性无关的向量，
,
线性表示，则称
ir

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i1
,

i2
,

, ir
为向量组1,2 , , s 的一个极大线性无关组，数 r 称为向量
组1 , 2 , , s的秩，记为 rank{1 , 2 , , s } r。
推论1.2.3 1,2 , , s 线性无关的充要条件是
rank{1,2 , , s } s
的线性组合。
定义1.2.4 设 (I) 1,2 , ,r 与(II ) 1, 2 , , s 是线性空 间V 中两个向量组，如果向量组()中每个向量都可由向量组 ()线性表示，则称向量组()可由向量组()线性表示；如果 向量组()与()可以互相线性表示，则称向量组()与向量组 ()等价。
第1章 线性空间与内积空间 第2章 线性映射与线性变换 第3章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
约定和常用符号
（1）集合用大写字母A，B，C，…表示，集合中的元素 用小写字母a，b，c…表示.
（8）A B表 示A与B的Descartes积 ， 即
A B {(a, b) | a A, b B}.
（9）R表 示 实 数 集 合.
（10）C表 示 复 数 集 合. （11）Rn表 示 全 体 实n维 向 量.
（12）C n表示全体复n维向量. （13）Rmn 表 示 全 体m n实 矩 阵.
设α是V
中任一向量，则α可由基
1 , 2 ,
,

唯一线性
对任意 A, B Rmn ，映射 h : ( A, B) A B是 Rmn 上
的代数运算。
对任意 , Rn，映射 u : ( , ) T 是 Rn 到 R 的
代数运算。
1.2 线 性 空 间
定义1.2.1 设P是包含0和1在内的数集，如果P中任意两 个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为 一个数域。
(3) f (P(x)) P(x), P(x) R[x].
定义1.1.2 设 A 是非空集合，定义映射 I A : A A 如下:
I A(a) a, a A
称
I
是
A
A
上的恒等映射或单位映射。
定义1.1.３ 设 f 是集合 A到B 的一个映射，
（1）如果 f ( A) B ，则称 f 是 A 到B 的满映射；
定理1.1.2 设映射 f : A B是可逆的，则 f 的逆映射 f 1 是唯一的。
定理1.1.3 映射 f : A B 是可逆映射的充分必要条件是 f 为 A到 B 的双映射。
定义1.1.７ 设 A, B,C是三个非空集合， A B 到 C 的映射 称为 A与 B到C 的一个代数运算； A A 到C 的映射称为 A 到