平均数-极差控制图

平均数—极差控制图
控制图是控制连续型质量特性数据最常用的控制图，其中指样本平均数，R指极差。

它可用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间和生产量等计量值的场合。

1一、相关的数理统计原理
1、总体与样本
在实际工作中，我们将所研究对象的全体称为总体，例如某车间±产的电阻器的寿命、某地区所有邮电所每天的营业额等。

组成总体的每一个基本单位称为个体，如每件产品的寿命、每个邮电所每天的营业额等。

总体所包含的个体的数目，可以是有限的也可以是无限的，对于无限多的个体，一一考察其某个质量特性数据，显然是不可能的。

有时即使是有限多个个体，但由于某些原因，如数量较大或考察方法是破坏性的，也就不可能全数进行考察，而只能通过抽取总体中的一小部分样本来了解和分析总体的情况，称为抽样检验。

对于来自总体的容量为n的样本观察值：，，…，在数理统计中定义样本的数字特征值如下：
称为样本平均值，描述样本的位置特征；
称为样本标准差，样本方差或样本标准差描述样本的离散特征。

在数理统计中已经证明了：对样本平均值再求平均等于总体的平均值，即
样本方差是总体方差的，即。

2、中心极限定理
如前所述，正态分布是质量管理中连续型质量特性数据经常遇到的一种分布状态，但在生产中还存在许多非正态分布的质量特性数据。

这样的问题，可以通过对样本平均数分布状态特点的研究加以
解决。

根据数理统计的中心极限定理，任意总体，不论其分布状态如何，若总体的平均数和标准偏差存在，则随机变量的样本平均数的分布状态，随着样本量n的增大而逐渐接近于正态分布(见图5-9)。

简而言之，不论总体分布状态如何，当n足够本时,它的样本平均数总是趋于正态分布。

这就是样本平均数分布状态的特点。

利用这个特点，可以把非正态分布的总体变成正态分布，从而运用正态分布的规律
对生产过程进行控制。

总体z的分布
图5-9任意分布变成趋近于正态分布
2二、控制图的特点
1、控制图的特点
控制图主要用于观察和判断总体平均值μ是否发生变化，即控
制概率分布密度曲线的中心位置。

控制图的优点有以下几个方面：第一，应用范围广。

从控制图原理部分的介绍我们已知，控制图
是由正态分布推演出来的，当某个质量特性数据的分布为非正态分
布时，由中心极限定理得知，它的样本平均数是服从正态分布的，
所以就能够利用样本平均数控制图(即控制图)来分析和控制任意
总体的质量特性数据的变化了。

第二，它能避免单值控制图中由于个别极端值的出现而犯第一种错误。

最重要的是它比X单值控制图敏感性强。

下面我们来作一对比，假设某一总体为正态分布，平均值μ=1000，标准偏差=50，在绘制X单值控制图时，按照±3计算控制界限，U C L=1150；L C L=850。

现假设总体发生了变化，平均值由1000变成1100，不变，整个分布向右移动(参见图5-10)。

这时质量特性值仍有84%左右落在原定的控制界限之内，只有约16%左右超出控制界限，也就是说抽样
时遇到质量特性数据超出控制界限的可能性只有16%左右，敏感性
较差。

控制图与X单值控制图相比则不同，若控制图每组的样本容量n=4，由可计算出控制图的控制界限为L C L=1075，U C L=925，由于，所以控制图的控制界限要小于X控制图的控制界限。

当总体发生变化时，样本平均数的分布曲线也随总体的变
化向右偏移。

当平均值同样由1000变为1100时，样本平均数落在
控制用控制界限内的只有16%，而有84%超出了控制界限以外。

可
见控制图比X单值控制图更容易及时发现生产过程中的变异，敏感性强得多。

最后，由于要计算样本平均数，控制图比X单值控制图在计算上要复杂。

图5-10控制图的敏感性比较
2、R控制图的特点
极差R是指一组数据中的最大值与最小值之差：R=X m a x—X m i m。

极差R控制图是用样本的极差反映、分析和控制总体的离散程度的。

它常和X控制图配合使用，能够较全面地掌握产品质量和生产过程的变化，是产品质量控制方法中一种重要的控制图。

极差控制图随着生产过程的特点不同有其不同的作用。

在自动化水平比较高的生产过程中，产品质量的一致性好。

在这种情况下及
控制图的作用是：当极差增大，意味着机器设备出现故障，需要进
行修理或更换。

在非自动化生产过程中，极差反映出操作者的技术
水平，生产熟练程度。

一般来说熟练工人的产品质量特性数据的离
散程度要小一些。

所以，通过R控制图反映出操作者的操作状况，促使人们提高技术水平和生产熟练程度，注意改进操作方法，从而
提高产品质量，并保持产品质量的稳定性。

由于极差控制图反映操作者的操作状况，故又称为操作者控制图。

从极差的定义我们可以看出极差有以下两个特点：
(1)极差不会出现负值；
(2)极差的众数会偏向于数值较小的一边，极差R很大的情况很少发生，所以极差的分布是非对称的，并有它自身的平均值和标准偏差，参见图5—11。

1三、X-R控制图的作图步骤
下面结合控制图的实例，介绍X-R及控制图的作图步骤。

1、收集数据
选取一定量的数据，一般为50～200个，过少将影响精度，过多则计算繁琐，经常取为100个左右。

2、数据的分组与排列
数据分组是十分重要的步骤，分组的方法是：
(1)从技术上可认为，在大致相同的条件下收集的数据应分在同一
组内；
(2)组中不应包括不同性质的数据。

这样做的目的是保证组内仅存在偶然因素的影响，否则，会使组
与组之间的散差加大，不能反映出数据的本来面目。

一般无特殊技
术依据时，应按时间顺序分组，数据的组数常取20～30组，每组的
数据大约3-6个为宜。

每组数据的个数叫做样本量的大小，用n表示。

样本的组数，用k表示。

3、填写数据表
在数据表中应把数据的来历交待清楚，可以记上产品名称、件号、标准规格要求、试样取法、测量方法以及操作者、检验者等。

这对
于分析研究控制图、寻找非偶然因素的异常原因是非常重要的原始
资料。

例：某制药厂片剂车间对某种药品颗粒的水分进行控制，抽样得
到100个数据(见表5-4)。

计算出各组的平均值；和组内极差填在表中。

表5-4某药品颗粒水分统计(%)
4、计算控制界限
(1)控制图控制界限
从控制图的基本原理中我们知道：控制图的控制界限应取±3对于控制图，它的控制界限应该是：
C L=μ=
U C L=+3
L C L=-3
首先对组平均数再求平均得出总平均数：=
计算出中中心线:C L=μ== 3.861
再计算出平均极差:= 1.028
又由:，
再令:
则控制图的控制界限为：
U C L=
L C L=
上式中是利用计算控制图控制界限的系数，随着n的不同，的数值也不同，其数值参见表5-2。

在本例中，n=4，所以=0.729
U C L==3.861+0.729*1.028=4.61
L C L==3.861-0.729* 1.028=3.112
(2)R控制图控制界限
根据定义，R控制图控制界限应为：
上式中：==1.028
并引入系数：
是利用平均极差计算R控制图控制界限的系数。

当样本
量n不同时，的数值请参见表5-2。

代人上式得出控制界限：
=1.028
=2.282*1.028=2.346
=0*1.028=0
5、绘制控制图
先画出控制界限，然后根据各组的值和及值在控制图上打点。

越出控制界限的点，应圈以O，以便分析。

由表5-4的数据经以上步骤后所画出的控制图如图5-12所示。

图5-12控制图。