弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程
弹性力学公式
2°斜截面上的正应力：全应力矢量p N 在外法线方向n 上的投影即为斜截面上的正应力σN ：=r r m n ⋅r r r r r r nσ=n p n ⋅()()x y z p ip j p k li j k ++++(){}{}x T x y z y n p p l p m p n lmn p n p ⎧⎫⎪⎪=++==⎨⎬l zx yxx ττσ⎫⎧⎟⎞⎜⎛z p ⎪⎪⎩⎭}){(}{)(n n n m n ml ij Tzyzxzzy y xyσστττστ=⎪⎭⎪⎬⎪⎩⎪⎨⎟⎟⎠⎜⎜⎝=即}){(}{n n ij T N σσ=（2-15）j 3°斜截面上的切应力：全应力矢量p N 在斜截面内的投影即斜截面上的切应力分量为：||n n n p τ=×r r ++216或2222222()()n n n x y z x y z p p p p p l p m p n τσ=−=++−（2-16）τxσz4-4、弹塑性力学中常用的简化力学模型44、弹塑性力学中常用的简化力学模型σA B分析计算有困难与实际符合较好1、理想弹塑性模型：o εεsσ⎨⎧>=≤=ss sE E εεεσεεεσ当当s理想弹塑性力学模型⎩Bσ1tg −2、线性强化弹塑性力学模型As σ1E 计算复杂⎨⎧>−+=≤=ss s s E E εεεεσσεεεσ当当)(1εoEtg 1−sε⎩型线性强化弹塑性力学模3、幂强化力学模型：σ1=n 参数少想弹性模型n A n<<=εσ100=n 便于分析理想塑性模型当理想弹性模型当A n A n ====σεσ01ε1幂强化力学模型4、刚塑性力学模型（理想塑性模型）在应力到达屈服极限之前应变为零。
AσB分析计算容易oε刚塑性力学模型5σ（刚塑性力学模型）5.理想塑性力学模型σssσσ=ε6.σ6.理想弹性力学模型εσE =ε4－6、常用屈服条件：对屈服条件的研究已有两个世纪。
弹性力学-2-平面问题的基本理论
2015-1-16
4 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位
移共15个未知函数，且均为 f (x, y, z)。
弹性力学平面问题共有应力、应变和位
移8个未知函数，且均为f (x, y,)。
2015-1-16
5 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
什么条件下 空间问题可简化为平面问题
px n l l
py n m m
又由于：
px xl xy m p y xyl y m
32 弹性力学
2015-1-16
2.2 平面问题中一点的应力状态 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0， 求此斜面上的主应力σ和应力主方向α 从而可得
2015-1-16 25 弹性力学
2.2 平面问题中一点的应力状态 应力是与作用面有关的。σx，σy和τxy作为 基本未知函数，只是表示一点的坐标平面上的 应力分量（左图）。而校核强度时需要知道过 此点的任意斜面上的应力p。斜面上的应力p可 以按坐标轴分解为（px,py），也可沿法向和切 向分解为正应力σn和切应力τn（右图）。
z , zx , zy 0
2015-1-16 10 弹性力学
2.1 平面应力问题与平面应变问题
因此，此类问题的未知量只剩下Oxy面内 的三个应力分量： x , y , xy
所以此类问题称为平面应力问题。 由于板很薄，等厚度，外力和约束沿z 方向不变，因此应力也沿厚度z方向均匀分 布，应力x，y和xy只是坐标x, y的函数。
取如图所示的微分三角板或三棱柱
PAB，当平面AB无限接近于P点时， 该平面上的应力即为所求。
《弹性力学简明》习题提示和参考答案
题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
弹性力学第二章
（2）平面应变问题的物理方程 由于平面应力问题中：εz = γ zx = γ zy = 0
µ 1− µ2 σx − εx = σy 1− µ E 1− µ2 µ σy − εy = σy E 1− µ
——平面应变问题 ——平面应变问题 物理方程
第三节
平面问题中一点的应力状态
一点的应力
2. 一点的主应力与应力主向 （1）主应力 若某一斜面上τn = 0 ，则该斜面上的正应力σn 称为该点一个主应力σ； 当τn = 0 时，有 σn =σ = p
px =lσ py = m σ
lσx +m xy =lσ τ m y +lτxy = m σ σ
γ xy =
2(1+ µ) τ xy E
在z方向，εz = 0, σz = µ(σx +σy )
变换关系 ： 平面应力物理方程 →平面应变物理方程：
E µ E→ ， → µ 2 1− µ 1− µ
平面应变物理方程 →平面应力物理方程：
E→
E(1+ 2µ)
(1+ µ)2
， → µ 1+ µ
µ
思考题 1. 试证：由主应力可以求出主应变，且两者方 向一致。 2. 试证：三个主应力均为压应力，有时可以产 生拉裂现象。 3. 试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题） 比圆筒（平面应变问题）的变形大。
E
µ
2.平面应变问题 2.平面应变问题 条件是：⑴很长的常截面柱体 ； ⑵体力、面力、约束平行于柱面横截面， 沿长度方向不变。 应力：
σz = µ(σx +σy )
τ zx =τ zy = 0
应变：
εz = 0 γ zx = 0 γ zy = 0
弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进
以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
的 计 算 及 稳 态 、动 态 性 能 的 形 象 表 达 。Ｇ ａ ｓ Ｔ ｕ ｒ ｂ是 德 国Ｊ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｍ
Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
璺 矗
Ａ Ｄ 面 上 的应 力 ：
Ｏ＇ ｘ ４ Ｏ ＂ ｘ
＋
２ ， ｘ
小 的 ，故 认 为 它 的 各面 上 所受 应
力 是均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀
分 布的 ” 一 。 通过 列 其在 ｘ 、ｙ 方 向
图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
耘
２ ０ １ ７ 年・ 第６ 期
单 性 学中平衡 微分方程 推 导
‘
／
去的 厶口 ． Ｊ 点／ Ｊ ． 改 进
弹性力学 第二讲 平面问题的基本理论
本讲学习指南
本讲将系统地平面问题的基本理论－基本方程和边 界条件，及两种基本解法，是弹性力学中最具典型性和 代表性的内容，是后续内容学习的基础。要求掌握的内 容如下： 1、两类平面问题的定义； 2、关于一点应力状态的分析； 3、平面区域内的平衡微分方程、几何方程与物理 方程； 4、平面边界上的应力和位移边界条件的建立，及 圣维南原理的应用； 5、按位移求解方法和按应力求y x
fy 0
2q0 3 s y 3 xy f ( x) y g ( x) hl
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
平面AB上的正应力sn即为上
面所求的全应力p向法线方向n 的投影： s lp mp
n x y
平面AB上的切应力tn即为上
面所求的全应力P向切线方向的 投影： 2 2 2 t n px p y s n 或
t n mpx lp y
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜
§2.2 平面问题的平衡微分方程
平面问题的平衡微分方程是考虑平面问题的静力学条 件，根据弹性体内微分单元的静力平衡条件来推导出应力 分量与体力分量之间的关系。
如图，在弹性体内任一点
取一微小的正平行六面体，其 x、y方向的尺寸分别为dx、dy ，为计算方便，设它在z方向 的尺寸为单位长度1。
平面问题的平衡微分方程
弹性力学公式
1 / 1第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。
2、均匀性假设物体内的每一点都具有相同的力学性质3、各向同性假设。
指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。
4、完全弹性假设指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。
5、小变形假设假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。
6、无初应力假设假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。
第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zy y yz xz zz F x y z F xyzF x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++=斜面应力公式（Cauchy 公式）：x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m nστττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力：T υ斜截面上的正应力：x y z T l T m T n υσ=++斜截面上的总剪应力：222T υυυτσ=-几何方程：;;;x yz y xy z xy u w vx y z v u w y z x w v u z x yεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂物理方程：()()()2(1)1;2(1)1;2(1)1;x x y z xy xy y y x z yzyz z z y x zx zxv v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θεεε=++x =()y z σσσΘ++12Evθ-=Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程：00yxx x xy yy F x yF x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程：;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件：;x yx x xy y yl m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;xx y yu u u u ==平面应变：22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力：222220;0;0z z zxy x yεεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解：22222x x y y xy F xy F y x x yϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂∂相容方程：444422420y x x y ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂物理方程：()()r 11;2(1)r r r rv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+=相容方程：22222211()0r r r r ϕθ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量=0x xy xzyx y yz zx zy z σστττσστττσσ---。
弹性力学-边界条件
xy y
s
l m
f f
x y
y
yx
x
Xf xn
xy
fYyn
注意：以上在推导时，斜面
上的应力px,py采用矢量符号
规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的应力分量； 右端为面力分量。可以各自采用各自的符号规定。但需 要用边界的方向余弦
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个）
x x
表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
二1.、圣必须维用南等原效理力的系应代用替。条件
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上 )
举例 P
P 图(a)
q P A
q
图(b)
P
（1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但
位移边界条件不能完全满足。
图(c)
圣维南原理的应用
所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。
弹性力学平面问题总结
P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
弹性力学2-两平面问题、平衡微分方程
平面应变问题
x 0, y 0, xy yx 0 z 0, xz zx 0, yz zy 0
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
第二章 平面问题的基本理论
2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。
静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
O
x
yx y
xy
x
y
C
fx
x
x x
平面应变问题：在坝体横截面上，取平面微元体为研究对象
由于z方向的伸缩被阻止，所以 z 0 应该存在z向的第三个
方程，但是知道了x、y向应力后一般由广义胡克定理计算，平衡 微分方程的建立不受影响，不牵扯到z向的应力及体力。
由广义虎克定律得到 z x y
第二章 平面问题的基本理论
2.1 平面应力与平面应变问题
例1.1 如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
平面应力问题
薄板弯曲问题
平面应变问题
空间问题
空间问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
dx
fy
xy
xy x
dx
yx
第二章弹性力学的基本方程
, , 1, 2
由此,向量 a可表示为
3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei i 1
三阶线性代数方程组
a11x a12 y a13 z P1
a21
x
a22
y
a23
z
P2
a31
x
a32
y
a33
z
P3
可表示为
ai1x1 ai2 x2 ai3x3 Pi
(c) 非循环序列:i, j, k中有两个以上得指标取
相同值
e112 e222 e323 0
利用置换符号可以简化公式
(1)行列式
a11 a12 a13 a a21 a22 a23
( xix j
) ,ij
例如:
xi
,i
ui x j
ui, j
2ui x j xk
ui, jk
ui xi
ui,i
u1,1
u2,2
u3,3
f xi
dxi
f ,i dxi
f ,1dx1
f ,2 dx2
f ,3dx3
4、 克罗内克(Kroneker)符号
定义: ij ei e j cos(ei ˆ e j )
Fx
1 dh 3
0
同理可得:
Tx xl yx m zx n Ty xyl y m zy n Tz xzl yz m z n
上式称为斜面应力公式,又称Cauchy公式。
2、斜面上得正应力与剪应力
Tν Txl Tym Tz n
xl 2 y m 2 z n 2 2 xylm 2 yz mn 2 zx nl
ei
《弹性力学教学课件》2-2平衡微分方程
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
第2章 平面问题的基本理论汇总
t= 1
平面应力：z方向应力为零。 平面应变：z方向应力自成平衡。
应用的基本假定： 连续性假定─应力用连续函数来表示。 小变形假定─用变形前的尺寸代替
变形后的尺寸。
二、平衡微分方程(平面任意力系)
合力 = 应力×面积，体力×体积； 以正向物理量来表示。
平面问题中可列出三个平衡条件:
例2（习题2-4） 按平面应变问题特征来分析， 本题中
ox z
y
只有
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y
思考题 设有厚度很大(即 z 向很长)的基础梁放置在地基上,如果
想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?
2-2 平面问题的平衡微分方程
将（px,py）向法向、切向投影，得
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-3 平面问题中一点的应力状态
一、斜截面上的应力
2-4 几何方程 刚体位移
一、几何方程:表示应变与位移之间的关系
x x x, y , y y x, y , xy xy x, y u u x, y,v v x, y
罗建辉
第二章
平面问题的 基本理论
2-1 平面应力问题和平面应变问题
一、弹性力学空间问题的简化
(在特定的条件下)
空间问题
平面问题
二、弹性力学平面问题
1、平面应力问题 (1) 几何特征：
等厚度的薄板，厚度<<长、宽； (2) 受力特征： ∥xy面，沿板厚不变；
体力fx、fy作用于体内； 面力fx、fy作用于板边； 约束u、v 作用于板边。
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来 检验方程的正确性）。
弹性力学公式大全-知识归纳整理
xyy x N ml m l τσσσ222++= x y N mp lp -=τ xy y x N lm m l γεεε++=22求切应力公式：()()xyx y N m l lm τσστ22++-= 几何方程在平面中的简化形式：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=y u x v y vx u xy y x γεε最大位移：()22maxv u uN +=平面应力方程（物理方程）：()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=-=-=xy xy x yy y xx EE E τμγμσσεμσσε1211 平面应变方程：()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=xy xy x y y y x x E E E τμγσμμσμεσμμσμε12111122 应力边界问题中：()()()()⎪⎭⎪⎬⎫=+=+y s xy s y x s yx s x f l m f m l τστσ 位移边界：⎭⎬⎫==v v u u x x应力分量：()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xy xy x y y y xx E E E γμτμεεμσμεεμσ121122 弹性方程：()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=y u x v E x u y v E y v x u E xy y x μτμμσμμσ121122 知识归纳整理平面问题的平衡微分方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y xy y x yx x f x y f x x τστσ 弹性方程简化：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂++∂∂-+∂∂-021211021211222222222222y x f y x u x v y v E f y x v y u x u E μμμμμμ位移表示平面微分方程：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-y ss x s s f y u x v l x u y v m E f x v y u m y v x u l E21121122μμμμμμ应变：y x x y xy y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 平面应力：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ12222 平面应变：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y f x f y x y x y x μσσ112222 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂Φ∂-=-∂Φ∂=-∂Φ∂=y x y f x x f y xy y y x x 22222τσσ 024422444=∂Φ∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂yy x x ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫++--=+-=022022v x x EI M y EI M v u y xy EIM u ωμω ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-+-=+++-=x h q xy h q q y h q y h q K Hy y h q y x h q xy y x 2362232264623333323τσσ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-==0xy y x y EI M y EI M γμεε ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂-=∂∂=∂∂0y ux v y EI M y v y EI Mx u μ ()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+-=+=x f y EI M v y f xy EI M u 2212μ ()()012=++dy y df x EI M dx x df ()()x EI M dx x df dy y df +=-21 求知若饥，虚心若愚。
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
弹性力学平面问题ppt课件
（平面应力问题） （2-17）
应力：
（2-18）ZS
2、弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、
v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力
与形变分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分 量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出
ZS
§2-5 物理方程
弹性模量， 泊松比
§2-6 边界条件
应力边界，位移边界，混合边界
§2-7 圣维南原理
静力等效， 原理应用
ZS
1. 平衡微分方程
平面问题的基本方程
3. 物理方程
2. 几何方程
（2-2）
（2-15）
（2-9）
4. 边界条件 位移：
（平面应力问题） （2-17）
（2） 常体力下，方程中不含E、μ
（2）相容方程（形变协调方程）
（a）两种平面问题，计算结果
相同（但
（3）边界条件
显然有：
（2-22） —— 形变协调方程（或相容方程）
即：
必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协
调，才能求得这些位移分量。
例：
其中：C为常数。
由几何方程得：
积分得：
由几何方程的第三式得：
显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。
2、变形协调方程的应力表示
（1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得：
（a） 利用平衡方程将上述化简：
将上述两边相加：
（b）
（2-15） （2-22）
《弹性力学》第二章平面问题的基本理论
平面问题研究方法
01
02
03
解析法
通过弹性力学的基本方程 和边界条件，求解出满足 条件的应力、应变和位移 分量。
数值法
利用计算机进行数值计算， 如有限元法、差分法等， 求解出弹性体的应力、应 变和位移分布。
实验法
通过实验手段，如光弹性 实验、应变电测实验等， 直接测定弹性体的应力、 应变和位移。
02 基本方程与定解条件
物理方程反映了材料的力学性质，是弹性力学中的重要基础。
03
定解条件（边界条件与初始条件）
01
02
03
定解条件是弹性力学问 题中必须满足的附加条 件，包括边界条件和初
始条件。
边界条件描述了物体边 界上的应力、位移等物 理量的已知情况，是求 解弹性力学问题的重要
依据。
初始条件描述了物体在 初始时刻的应力、位移 等物理量的已知情况， 对于动态问题和瞬态问
04 平面问题解法及实例分析
按位移求解平面问题
位移边界条件
在位移边界上，物体受到的约束可以 转化为在给定位移边界上各点的位移。
平衡微分方程
根据弹性力学的基本方程，可以建立 以位移表示的平衡微分方程。
应力边界条件
在应力边界上，物体受到的面力可以 转化为应力边界上各点的应力分量。
求解方法
通过联立平衡微分方程和应力边界条 件，可以求解出位移分量，进而求得 应力分量。
复杂应力函数求解技巧
复杂应力函数的特点
复杂应力函数可能具有复杂的数学形式和边界条件，求解难度较大。
求解技巧
针对复杂应力函数的求解，可以采用变量分离法、积分变换法、复 变函数法等数学工具进行简化处理，降低求解难度。
实例分析
以一个复杂的弹性力学问题为例，介绍如何运用上述技巧求解复杂 应力函数，并给出相应的应力分量分布图。
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xy
x
y
除以dxdy，合并同类项 1 xy 1 yx xy dx yx dy
2 x 2 y
C
fx
x
xy
略去高阶微量，得出
fy
xy x
x dx x
dx
xy yx
y
y
yx
y dy
yx y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题
几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很 长（相对无限长），且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一 等截面柱体；位移约束条件或支承条件沿轴方向也相同。
载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均平行于 横截面，且分布规律不随z变化。 应力、应变及位移分量都不会沿z向变化，只是x、y的函数。 由于对称（无限长，任一横截面都可以看作是对称面），所 有各点都只会沿x和y方向移动，而不会有z方向的位移，即 w 0
2个方程，3个未知数 还需物理方程、几何方程才能解答。
O
P q
`
x
O
yx
xy
x
y
P
fy
q
x
fx
x
xy
xy x
x dx x
dx
y
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
x
6个应变分量 x , y , z , xy yx , yz zy , zx xz
3个位移分量： u、v、w。
一般都是三个坐标参数x、y、z的函数；
基本方程式是三维的，但若某一方向变化规律为
已知时，维数可相应减少。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
8个未知函数 3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面问题的数学描述
15个未知函数中只存在有 xoy 平面内的分量，且只 是x、y的函数，其余分量或不存在，或可以用 xoy 平 面内的分量直接表示（胡克定律）； 应力、应变及位移一般是x，y两个坐标的函数； 基本方程式是二维的。
zx 0, zy 0, xz 0, yz 0
在平面应变问题中，非零应变3个，独立的未知函数有8 个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是 x 和 y 的函数，不随 z 而 变化。
注意：由于z方向的伸缩被阻止（w=0），所以 z 0 由广义虎克定律得到
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并且承受的是 某种特殊的外力，就可以把空间问题简化为近似的平面问题。
平面应力问题
几何形状特征：物体在一个坐标方向 （一般为z向）的几何尺寸远远小于其他 两个坐标方向的几何尺寸—薄板。
t/2 o x t/2 z
z x y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题微元体应力
O
x
yx y
xy x yx xy
x
y
y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应变问题实际工程：挡土墙、管道、隧洞并非 无限长，两端的力学条件与中间截面—平面应变情况 不同，但对于离开两端较远处是可以当做平面应变的 问题，结果的误差是工程上能接受的。
y y
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
xy zx zy yx
x
xz
O
x
zx
yx y xy yx y x
x o y
yz
y
xy
y
z
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题实际工程：板、墙。
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
平衡微分方程： x yx fx 0 是关于物体内部任何一点（如图P x y 点）的静力平衡方程，物体内部 任意一点应力分量与体力分量之 y xy f 0 间的关系，对于整个物体来说能 y x y 满足严格精确的静力学条件。
从平面问题（图2-1的薄板、图2-2的柱形体）中取出一个微小的 正六面体， x、y方向尺寸取dx、dy正方形；z向尺寸取单位长度。 应力是坐标x、y的函数，作用于左右对面和上下对面的应力分量 不同，因为坐标的改变，具有微小差量（1-2节中图1-3中所示为特 x O 殊情况下的均匀应力情况，两对面应力一样）。 数学原理：连续性假定按照泰勒公式 展开式：
dy
证明了剪应力互等定理。
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
（二）x方向的合力为零，即 Fx 0 yx x dx dy x dy yx dy dx yx dx f x dxdy 0 x x x y O x yx fx 0 整理后，得 x y C dx f x F 0 （三）y方向的合力为零，即 y
xy
C
x
fx
x
x
fy
xy
xy x
x
dx
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
x x x dx x dx x
物理意义： 变化量=变化率乘以距离
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
根据微元体处于静力平衡的条件，可以得到三个平衡微分 方程。 （一）作用于体心M的合力矩为零，即 M C 0
2.7 圣维南原理
2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题
2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
弹性力学分析问题严格遵循静力学、几何学、物理学三个方面 的条件，建立三套方程。 静力平衡的条件：是关于弹性体内一点（微分体）的应力 分量与体力分量直接平衡关系的平衡微分方程。
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
z x y
第二章 平面问题的基本理论 本章内容
2.1 平面应力与平面应变
2.2 平衡微分方程
2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件
因为所有各点的位移矢量都平行于 oxy面，应变也只发生在 xoy 平面内，所以称之为平面位移问题，习惯上称为平面应变问题。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
由对称条件可知， zx 0, zy 0 根据剪应力互等， xz 0, yz 0 由虎克定律，得出
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
例1.1 如图所示的几种受力体是否是平面问题？若是， 则是平面应力问题，还是平面应变问题？
平面应力问题 薄板弯曲问题
平面应变问题
空间问题
空间问题
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
平面应力问题
x 0, y 0, xy yx 0, z 0, xz zx 0, yz zy 0
x yx fx 0 y x xy y f 0 y y x NhomakorabeaO
yx
xy
x
x
y
C
fx
x
xy
fy
xy x
x dx x
dx
y
y
yx
y dy
yx y
dy
第二章 平面问题的基本理论 2.2 平衡微分方程
y
y
载荷特征：在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边
缘的表面力平行于板面，且沿厚度不发生变化，体积力亦平
行于板面且沿厚度不变。
第二章 平面问题的基本理论 2.1 平面应力与平面应变问题
定义xyz坐标系，以薄板中面为xy面，垂直于中面直线为Z轴。 因为板面上不受力，所以 z zx zy 0, z 2 由于剪应力互等，有 xz 0, yz 0, z 2 板很薄，外力不沿板厚变化，应力沿板厚均匀分布， 可认为整个薄板各点只有平行于oxy平面的三个应力分量，即
x , y , xy yx
因此叫做平面应力问题，其中3个非零应力； 独立的未 知函数有8个， x , y , xy , x , y , xy , u, v 只是x和y的函数，不 随z而变化。
注意： z
0
t/2 o x
t/2 z
由广义虎克定律得到 1 z z x y x y E E
yx
y
xy
x
x
x
x
fy
xy
xy
类似于上式，可得 xy y fy 0 x y
x
dx
y
y
yx
y y dy
yx y
dy
平面问题的平衡微分方程 （纳维Navier方程）
x yx fx 0 x y xy y f y 0 x y
具有特殊形状及受 力特点的空间问题 z
C
平面问题
O
x
z
yx y xy yx y x
zx yx y yz xz