奥数题(高难度)

1.图形：（高等难度）

如图，长方形ABCD中，E为的AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG．

图形答案：

2.图形面积：（高等难度）

直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACD E与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T．问：图中阴影部分(与梯形BTFG)的总面积等于多少？

应用题：（高等难度）

3.我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收6.9元，用量超过8立方米的除交6.9元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费

是82.26元，8月份煤气费是40.02元，又知道8月份煤气用量相当于1月份的，那么超

过8立方米后，每立方米煤气应收多少元

应用题答案：

4.乒乓球训练（逻辑）：（高等难度）

甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判．每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁判的是_____ __．

乒乓球训练（逻辑）答案：

本题是一道逻辑推理要求较高的试题．首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的．那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数．

⑴丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；

⑵甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15-5=10局；

⑶乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21-5=16局；

所以一共打的比赛是5+10+6=31局．

此时根据已知条件无法求得第三局的裁判．但是，由于每局都有胜负，所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情况，必然被别的对阵隔开．而总共31局比赛中，乙丙就进行了16局，剩下的甲乙、甲丙共进行了15局，所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲丙隔开．所以可以知道第奇数局(第1、3、5、……局)的比赛是在乙丙之间进行的．那么，第三局的裁判应该是甲．

5.奇偶性应用：（高等难度）

在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色

奇偶性应用答案：

假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

∵2m≠1987（偶数≠奇数）

∴假设不成立。

∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

6.整除问题：（高等难度）

一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数

整除问题答案：

这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有："今有物不知其数，三三数之剩二，五五

数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"

关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌："三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知."意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

方法1：2×70+3×21+2×15=233

233-105×2=23

符合条件的最小自然数是23

7.平均数：（高等难度）

有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：_______．

平均数答案：

8.追击问题：（高等难度）

如下图，甲从A出发，不断往返于AB之间行走。乙从C出发，沿C—E—F—D—C围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D点____________米。

追击问题答案：

9.正方形：（高等难度）

如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点。以C 为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，

正方形答案：

10.求面积：（高等难度）

下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积

求面积答案：

至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN 面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

11.阴影面积：（高等难度）

如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆A EC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。

阴影面积答案：

12.得奖人数：（高等难度）

六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名，问得奖人数是多少？

得奖人数答案：

解答：设获奖人数为x，则