(完整版)角平分线经典题型
高中角平分线练习题及讲解
高中角平分线练习题及讲解### 高中角平分线练习题及讲解角平分线是高中数学中的一个重要概念，它将一个角平分为两个相等的角。
本文将提供几个关于角平分线的基础练习题，并给出相应的解题思路和步骤。
#### 练习题一题目：在三角形ABC中，BD是角B的平分线，求证：AB/AC = BD/DC。
解题思路：1. 利用角平分线定理，即角平分线将对边按比例分割。
2. 根据角平分线定理，我们知道AB/AC = BD/DC。
证明步骤：- 由于BD是角B的平分线，根据角平分线定理，我们有AB/AC =BD/DC。
- 证明完成。
#### 练习题二题目：在三角形ABC中，点D在BC上，且AD是角A的平分线。
求证：AB/AC = BD/DC。
解题思路：1. 根据角平分线的定义，AD将角A平分为两个相等的角。
2. 利用相似三角形的性质来证明比例关系。
证明步骤：- 由于AD是角A的平分线，角BAD = 角DAC。
- 根据角角相似准则，三角形ABD与三角形ACD相似。
- 因此，AB/AC = BD/DC。
- 证明完成。
#### 练习题三题目：在三角形ABC中，已知AB = AC，BD是角B的平分线，求证：AD垂直于BC。
解题思路：1. 利用等腰三角形的性质，即底角相等。
2. 利用角平分线的性质，结合等腰三角形的性质来证明垂直。
证明步骤：- 由于AB = AC，三角形ABC是等腰三角形，角B = 角C。
- BD是角B的平分线，所以角ABD = 角CBD。
- 由于角B = 角C，我们有角ABD = 角CBD = 角C / 2。
- 因此，角ADB = 90度，即AD垂直于BC。
- 证明完成。
#### 练习题四题目：在三角形ABC中，点D在BC上，AD是角A的平分线，且AB/AC = 2。
求BD/DC的值。
解题思路：1. 根据角平分线定理，找到AB和AC的比例关系。
2. 利用给定的比例关系求解BD/DC。
解题步骤：- 根据角平分线定理，AB/AC = BD/DC。
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok
三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．7．在△ABC中．（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________ °，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________ °．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．（1）求∠DAE的度数；（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线（1）求∠EAD的度数；（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．（2）若∠B=α°，∠C=β° （α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．∠BAC的度数40°60°90°120°∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：（1）BE= _________ =_________（2）∠BAD=_________ _________（3）∠AFB=_________ =90°（4）S△ABC= _________ S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB 的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC 的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD⊥AB于D，∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=40°﹣20°=20°，∴∠BCD=∠ECD；（2）∵CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B相等的角有：∠CED和∠CDF．2．（1）∵∠BED是△ABE的一个外角，∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF即是△BED中BD边上的高．（3）∵AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，∴S△BED =S△ABC =×60=15；∵BD=5，∴EF=2S△BED÷BD=2×15÷5=6，即点E到BC边的距离为6．3．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD的周长﹣△ADC的周长=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=4，（2分）即AB﹣AC=4①，又AB+AC=14②，①+②得．2AB=18，解得AB=9，②﹣①得，2AC=10，解得AC=5，∴AB和AC的长分别为：AB=9，AC=5．4．∵DE是CA边上的高，∴∠DEA=∠DEC=90°，∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°，∵∠EDA=∠CDB，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt△CDE中，∠DCE=90°﹣40°=50°，∵CD是∠BCA的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC中，∠B=180°﹣∠BCA﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：605．（1）∵∠B=30°，∠C=70°∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°∵AE是角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD是高，∠C=70°∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=∠BA C﹣（90°﹣∠C）①把∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C代入①，整理得∠EAD=∠C﹣∠B，∴2∠EAD=∠C﹣∠B．6．∵AD是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°；∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣30°=20°．7．（1）∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°；（2）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD，∠O=180°﹣∠BEO﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD，∵∠BAC=180°﹣∠DAB，∴∠BAC=180°﹣∠O，∴∠BAC+∠O=180°；（3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC =AC•BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC 的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠B AC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠BAD﹣∠B=82.5°，则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°．17．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵CD⊥AB，∴∠2+∠4=90°，又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．19．∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．20．（1）填写表格如下：∠BAC的度数40°60°90°∠BIC的度数110° 120° 135°∠BDI的度数110° 120°135° （2）∠BIC=∠BDI，理由如下：∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠BAC）=90+∠BAC；∵AI平分∠BAC，∴∠DAI=∠DAE．∵DE⊥AI于I，∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC．∴∠BIC=∠BDI．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．22．（1）∵AE是中线，∴BE=CE =BC，（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S△ABC =，S△ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，223．∵BM是△ABC的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM=AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm（周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为526．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．-----精心整理，希望对您有所帮助!。
初一三角形角平分线经典例题
《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。
角平分线专题练习题
角平分线专题练习题1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ，给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ；⑤S △ADB ＝2S △BDF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 交于P ，过P 作MN ∥AB 交AC 于M ，交BC 于N ，且AM ＝8，BN ＝5，则MN ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE ＝DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B ＝180°；②∠CDE ＝∠CAB ；③AC ＝12( AB ＋AE )；④S △ADC ＝12S 四边形ABDE ．其中正确的结论个数为（ ）A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝1800，AD ＝DC ，DE ⊥BC 于点E ，若AB ＝4，BC ＝6，则BE 的长为A FB E D C第10题图EAB D CE D CB AM P 第8题图CBA EDB C A5、如图，△ABC 中，点D 是BC 上一点 ，已知∠DAC ＝30°，∠DAB ＝75°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，连接D E ，则∠DEC ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6、如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC ＝CD ，AB ≠A D.（1）求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，若△ABC 和△ACD 的面积分别为40和58，求△BCE 的面积。
解三角形(角平分线问题问题)(典型例题+题型归类练)(原卷版)
专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练) 一、必备秘籍角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c 核心技巧1：内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC= 核心技巧2：等面积法(使用频率最高）ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ 核心技巧3：边与面积的比值：ABD ADCSAB AC S=核心技巧4：角互补：ADB ADC π∠+∠=⇒cos cos 0ADB ADC ∠+∠=在ADB ∆中有：222cos 2DA DB AB ADB DA DB +-∠=⨯;在ADC ∆中有：222cos 2DA DC AC ADC DA DC+-∠=⨯二、典型例题例题1．如图，已知AD 是ABC ∆中BAC ∠的角平分线，交BC 边于点D .（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求AD 的长.第（2）问思路点拨：本小题已知，，，求的长.可利用第（1）问结论解答过程：根据余弦定理，，即，解得利用第(1)问结论由（1）知∴，得，；在与中，根据余弦定理得，且解得，即的长为．例题2．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且πsin sin 3a B b A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小；(2)若3AB =，1AC =，BAC ∠的内角平分线交BC 于点D ，求AD .第（2）问思路点拨：由（1）知，求角平分线长，，可优先考虑面积公式解答过程：由（1）知，由角平分线面积公式∴，∴．代入数据计算例题3．在ABC 中，3,AB =4,BC =线段BD 是B ∠的角平分线，且 6.ABDS =求BCD S △.思路点拨：已知在中，线段是的角平分线，且涉及角平分线问题，但是不知的大小，不适合直接用面积公式，但知，可考虑面积和边长的关系解答过程：平分由，代入代入例题4．在ABC中，D是BC的中点，1AB=，2AC=，32 AD=．（1）ABC的面积为________．（2）若AE为BAC∠的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为________．第（2）问思路点拨：由（1）知，可优先考虑面积公式解答过程：由可得即，从而.代入，计算例题5．在△ABC 中， AM 是BAC ∠的角平分线， 且交BC 于M . 已知23,2,3AM BM MC ===， 则AC = __________；思路点拨：在中，是的角平分线， 且交于. 已知，涉及到角平分线，又，可利用,得到的关系解答过程：由是的角平分线，又，得，设，则因为，则，利用余弦定理代入得：，整理得，解得或（舍）.所以.利用角互补关系（不适合面积公式）三、题型归类练1．三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题：已知ABC 中，AD 为角平分线，3AB =，4AC =，5BC =，则AD =（ ）A ．127B ．157C ．7D ．72．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则4b c +的最小值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．183．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin a A c C b c B =+-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3AD c b ==，则a 的值为（ ）A ．72BC ．3D4．在ABC 中，CD 是ACB ∠的角平分线且4,||AB AD AD ==若||3CD =，则CDA ∠=__________，ABC的面积为__________．5．在ABC 中，60A ∠=，∠A 的角平分线与BC 边相交于D ．AD =BC =AB 边的长度为___．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若2BD DC =，AD ＝2，且AD 平分∠BAC ，求△ABC 的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR 中，点M 在边QR 上，且PM 为∠QPR 的内角平分线，有PQ QMPR MR=．7．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos cos (sin sin )sin 0C A A B B +-+=． (1)求C ；(2)若a ，b 为方程210200x x -+=的两个实数根，且C 的角平分线交AB 于点D ，求CD ．8．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BD 为∠ABC 的角平分线．(1)求证：::AD AB CD CB =；(2)若2BD =且26c a ==，求△ABC 的面积．9．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++. (1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC 的面积.10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，点D 在BC 边上，AD 是角平分线，222sin sin sin sin sin C B C B A ++⋅=，且ABC 的面积为(1)求A 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若4c =，求BD 的长．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =且222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭，(1)求△ABC 的面积；12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，a =1b =，c =M 是BC 上的点． （1）若AM 是BAC ∠的角平分线，求BMCM的值； （2）若AM 是BC 边上的中线，求AM 的长．13．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点D 在AC 边上，BD 为ABC ∠的角平分线．32ABC ABD S S =△△．(1)求sin sin CA∠∠； (2)若BD b =，求cos ABC ∠的大小．。
(完整版)角平分线经典题型
全等三角形与角平分线1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。
八年级数学上册12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级
12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。
注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。
（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
角平分线的性质和判定经典题
角平分线的性质和判定复习一知识要点:1。
角平分线的作法(尺规作图)思考：这一画法的根据是什么？2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达:∵OP平分∠MON（∠1＝∠2)，PA⊥OM，PB⊥ON，(已知）∴PA＝PB．(角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：∵PA⊥OM，PB⊥ON,PA＝PB(已知）∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）(角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1。
用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )A.SSSB.ASA C。
AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等例题2如图，BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点,△ABC的面积等于90，AB=18,BC=12,则求DE的长.例题3已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF , 求证:CF=EB 。
D FE C BA例题4已知:AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.例题5 已知:如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC 。
例题6 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB,垂足为E ，且AB=10 cm ，求△DEB 的周长.A F DE B例题7如图所示,在△ABC中，∠C=90°,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上,BE=CF,求证：BD=FD.例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E，F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°。
(完整版)中考复习2角平分线专题
角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)906030(︒︒︒、、和)904545(︒︒︒、、如图(1）放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点，8=AC .(1)把图1中的AED Rt ∆绕A 点顺时针旋转α度)900(︒<≤α得图2，此时AGH ∆的面积是10,AHF ∆的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标;(2）如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M ，EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N ，当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变？若改变,请说明理由；若不改变,请求出其值。
检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A,B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化,请说明理由；若不变，请直接写出具体值。
yx检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知:如图2,在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四:若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．【类型二】点在线，垂两边例2、如图（1），ABCCD⊥，垂足为D。
角的平分线的判定(分层作业)(解析版)
12.3.2角的平分线的判定夯实基础篇一、单选题：1．在ABC 中，AB BC =，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的直角边分别在AB ，BC 上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P ，BP 交边AC 于点D ，则下列结论错误的是（）A ．BP 平分ABC∠B ．AD DC =C ．BD 垂直平分ACD ．2AB AD=【答案】D【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的判定【解析】【解答】解：如图.由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，∴BP 平分∠ABC ，∵AB =BC ，∴AD =DC ，BD ⊥AC ，即BD 垂直平分AC ，故A 、B 、C 三个选项正确，不符合题意；只有当△ABC 是等边三角形时，才能得出AB =2AD ，故选项D 错误，符合题意.故答案为：D.【分析】由题意得，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PE =PF ，根据角平分线的判定可得BP 平分∠ABC ，然后结合等腰三角形的三线合一可推出AD =DC ，BD 垂直AC ，据此判断即可.2．如图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA =P B.则对点P 位置的判断，正确的是（）A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点【答案】B【知识点】线段垂直平分线的判定；角平分线的判定【解析】【解答】解： P 到∠A 的两边的距离相等，∴P 在∠A 的角平分线上，PA =PB ，∴P 在线段AB 的垂直平分线上，故P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点，故答案为：B.【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定进行解答即可.3．如图，已知BD AE ⊥于点B ，DC AF ⊥于点C ，且DB DC =，40BAC ︒∠=，130ADG ︒∠=，则CDG ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】D 【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义【解析】【解答】∵BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB =DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC =40°，∴∠CAD =12∠BAC =20°，∴∠CDA =90°-20°=70°，∵130ADG ︒∠=，∴∠CDG =∠ADG -∠CDA =130°-70°=60°．故答案为：D ．【分析】根据角平分线的判定得出AD 是∠BAC 的平分线，得出∠CAD =12∠BAC =20°，从而求出∠CDA =70°，利用∠CDG =∠ADG -∠CDA ，即可求解.4．如图，在△AB C 中，∠B ＝42°，AD ⊥BC 于点D ，点E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于点F ，若ED ＝EF ，则∠AEC 的度数为()A ．60°B ．62°C ．64°D ．66°【答案】D 【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的判定【解析】【解答】∵∠B =42°，AD ⊥BC ，∴∠BAD =48°，∵ED =EF ，AD ⊥BC ，EF ⊥AB ，∴∠BAE =∠DAE =24°，∴∠AEC =∠B +∠BAE =66°，故答案为：D【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD =48°，根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE 平分∠BAD ，根据角平分线的定义得出∠BAE =∠DAE =24°，根据三角形的外角定理即可算出答案。
初中角平分线相关的经典题型
初中角平分线相关的经典题型什么是角平分线呢？角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
在初中数学中，角平分线是一个非常常见的概念，并且在各类题型中经常被考察。
接下来，我们将介绍一些与初中角平分线相关的经典题型，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
题型一：已知角的两边长，求角平分线的长度和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角的两边长，求出角平分线的长度和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角划分成两个相等的角，并应用三角函数的相关知识。
示例题：已知角ABC的两边AB和AC的长度分别为8cm和10cm，求角平分线BD的长度和角ABD的大小。
解析：首先，利用角平分线将角ABC分成了两个相等的角，即角ABD和角CBD。
然后，利用三角函数的正弦定理和余弦定理可以求解出角ABD和角CBD的大小。
最后，通过角ABD的大小，可以用正弦函数求出角平分线BD的长度。
题型二：已知角平分线的长度，求角的两边长和夹角大小。
在这种题型中，我们需要根据已知的角平分线的长度，求出角的两边长和夹角大小。
解题的关键是利用角平分线将一个角分成两个相等的角，并利用三角函数的相关知识解方程。
示例题：在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，已知角BAD 的长度为6cm，且角ABD的大小为60°，求角BAC的大小和边AC的长度。
解析：首先，利用已知条件可以得出角BAC可以由角ABD的大小得出，再由角BAC的大小，可以用三角函数求解出边AC的长度。
最后，应用角平分线的性质可以求出角CAD的大小。
题型三：利用角平分线性质求证题这类题型主要是利用角平分线的性质来进行证明。
我们需要根据已知条件，通过合理的推理和运用一些几何性质，来证明某些定理或者结论。
示例题：已知在三角形ABC中，角BAD是角BAC的平分线，证明：AB/BC=AD/DC。
解析：首先，利用角平分线的定义可以得出角BAD和角DAC的大小相等。
然后，通过角度相等和边的比值可以得出AB/BC=AD/DC的关系。
人教八上：专题三--角平分线的性质与判定(含解析)
专题三角平分线的性质与判定一、单选题1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=15，且BD:CD=3:2，则点D到AB的距离为（）2345．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，AB+BC+CA=18，过O作OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是．6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE7得8910．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N 两点，AB=6，ΔAMN的周长是15．则AC的长为．三、解答题11．如图1，△ABC的两条外角平分线AO，BO相交于点O，∠ACB=50°．(1)直接写出∠AOB的大小；(2)如图2，连接OC交AB于K．①求∠BCK的大小；②如图3，作AF⊥OC于F，若∠BAC=105°，求证：AB=2CF．12．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，若∠ABC=60°，FD=10，求DC的长．13．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．(1)如图1，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，求证：△ABC是倍角三角形；(2)如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE=AB，若AB+AC=BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．15．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，设∠ABC=α．(1)α=50°时，求∠DFC的度数；(2)证明：BE∥DF．16．在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC．(1)如图1，若∠C=32°，则∠AOB=________；(2)如图2，连结OC，求证：OC平分∠ACB；(3)如图3，若∠ABC=2∠ACB，AB=4，AC=7，求OB的长．17．如图，在△ABC中，D在BC边的延长线上，∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E，已知∠B=30°，∠E=40°，求证：AE=CE．18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，点E为BC的中点，DE平分∠CDA.(1)求证：AD=AB+CD；(2)若S△CDE=3，S△ABE=4，则四边形ABCD的面积为______.（直接写出结果）19．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O与AB，AC分别相交于点M，N，且MN∥BC．(2)已知AB=7，AC=6，求△AMN的周长．参考答案题号12答案B B1．B【分析】本题考查的是角平分线的性质，作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD=DE，根据题意求出CD的长即可．∵∴∵∴2∴3【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.4．3：2【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是Rt△ABC的角平分线，CD⊥AC,DE⊥AB∴DE=CDS△ABD S△ACD =12AB⋅DE12AC⋅CD=ABAC=128=32故答案为：3：2．【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．5．27【分析】作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE=OD=3和OF=OD=3，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC,OE⊥AB，∴OE=OD=3，同理OF=OD=3，∵AB+BC+CA=18．∴△ABC的面积=12×AB×3+12×AC×3+12×BC×3=27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．6．4【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM =PE =2，PE =PN =2，即可得出答案．【详解】解：过点P 作MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ，∴AP ⊥BP ，PN ⊥BC ，∴PM =PE =2，PE =PN =2，∴MN =2+2=4．故答案为：4．7．2【分析】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】连接PC 、PB 、PA ，作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，由题意得，PE=PD=PF ， S △APC +S △APB +S △BPC =S △ACB ，∴12AC·PE+12AB·PD+12BC·PF=12AC·BC ，即12×12·PD+12×13•PD+12×5•PD=12×5×12，解得，PD=2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．8．60【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，（∠BCD+∠CDE）＝120°，∴∠PDC+∠PCD＝12∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．故答案是：60．【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．9．5【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，利用角平分线的性质可得PF=PG=PE，然后根据三角形的面积求出PF=PE=PG=2，再利用△OMP的面积+△ONP的面积−△PMN的面积=4，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，过点P作PF⊥MN，垂足为F，过点P作PG⊥OA，垂足为G，连接OP，∵MP平分∠AMN，NP平分∠MNB，∴PF=PG=PE，∵MN=1，△PMN的面积是1，∴ 12MN ⋅PF =1，∴PF =2，∴PG =PE =2，∵△OMN 的面积是4，∴△OMP 的面积+△ONP 的面积−△PMN 的面积=4，∴ 12OM ⋅PG +12ON ⋅PE−1=4，∴OM +ON =5．故答案为：5．10．9【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB 和△NOC 是等腰三角形，从而可得MO =MB ，NO =NC ，然后利用等量代换可得ΔAMN 的周长=AB +AC ，从而进行计算即可解答．【详解】解：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO =∠OBC ，∠ACO =∠OCB ，∵MN ∥BC ，∴∠MON =∠OBC ，∠NOC =∠OCB ，∴∠ABO =∠MON ，∠ACO =∠NOC ，∴MO =MB ，NO =NC ，∵△AMN 的周长是15，∴AM +MN +AN =15，∴AM +MO +ON +AN =15∴AM +MB +NC +AN =15，∴AB +AC =15，∵AB =6，∴AC =15−6=9，故答案为：9．11．(1)65°；(2)①25°；②证明见解析．【分析】（1）根据三角形内角和定理求得∠CBA +∠CAB =130°，则∠EBA +∠BAD =230°，再由角平分线的定义求出∠OBA +∠OAB =115°，根据四边形内角和求出∠AOB 即可；（2）①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，根据角平分线的性质求解即可；②先求出KB=KC，过点A作AH∥BC交CO于点H，再求出KA=KH，则AB=CH，分别求出AH=AC，HF=CF，即可得出结论．【详解】（1）解：∵AO平分∠BAD，∴∠DAO=∠OAB，∵BO平分∠EOA，∴∠EBO=∠OBA，∵∠ACB=50°，∴∠CBA+∠CAB=130°，∴∠EBA+∠BAD=360°−130°=230°，∴∠OBA+∠OAB=115°，∴∠AOB=360°−50°−115°−130°=65°；（2）解：如图2，①过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥BE于点N，OP⊥AB于点P，∵AO、BO分别平分∠DAB、∠EBA，∴OM=OP，OP=ON，∴OM=ON，∴CO平分∠ACB，∵∠ACB=50°，∴∠BCK=∠ACK=25°；②证明：∵∠BAC=105°，∠ACB=50°，∴∠ABC=25°，∵∠KCB=25°，∴∠KBC=∠KCE，∴KB=KC，如图3，过点A作AH∥BC交CO于点H，∴∠AHK=∠KCB，∠HAK=∠KBC，∴∠AHK=∠HAK，∴KA=KH，∴AB=CH，∵∠AHK=∠ACH，∴AH=AC，∵AF⊥CO，∴HF=CF，∴CH=2CF，∴AB=CH=2CF．12∴∵∴∴∵∴∴故DC=5．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．13．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．(1)见解析(2)△ADC和△ABC是倍角三角形，见解析【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出∠B=∠C=72°，得到2∠A=∠C即可；（2）根据SAS证明△ABD≌△AED，得到∠ADE=∠ADB，BD=DE，证明CE=DE，得出∠C=∠BDE=2∠ADC，可得出∠ABC=2∠C．则结论得证．【详解】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∴2∠A=∠C，即△ABC是倍角三角形；（2）解：△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠EAD，∵AB=AE，AD=AD，∴∴又∴∴∴∴∵15(2)∠EBC=∠DFC即可得出结论．【详解】（1）解：在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=α，α=50°，∴∠ADC=360°−∠A−∠C−∠ABC=130°，∵DF平分∠CDA，∠ADC=65°，∴∠FDC=12∴∠DFC =90°−65°=25°；（2）证明：在四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠ABC =α，∴∠ADC =360°−∠A−∠C−∠ABC =180°−α，∵DF 平分∠CDA ，∴∠FDC =12∠ADC =12(180°−α)，∴∠DFC =90°−12(180°−α)=12α，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBC =12α，∴∠EBC =∠DFC ，∴BE ∥DF ．16．(1)106°；(2)见解析；(3)3；【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据∠C =32°得到∠CAB +∠CBA ，再结合角平分线求出∠CAO +∠CBO ，即可得到答案；（2）本题考查角平分线判定与性质，过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，根据角平分线性质得到OD =OF =OE ，结合角平分线的判定即可证明；（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，证明△ABO≌△ADO ，即可得到答案；【详解】（1）解：∵∠C =32°，∴∠CAB +∠CBA =180°−32°=148°，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠CAO +∠CBO =148°2=74°，∴∠AOB =180°−74°=106°；（2）证明：过O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，∵AO 、BO 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴OD =OF ，OD =OE ，∴OC 平分∠ACB ；（3）解：在AC 上截取一点D ，使AD =AB ，连OD ，设∠ACO =∠BCO =α，∵∠ABC =2∠ACB ，∴∠ABC =4α，∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO =∠CBO =2α，∵AO 平分∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，在△ABO 与△ADO 中，AO =AO ∠BAO =∠DAO AB =AD，∴△ABO≌△ADO(SAS)，∴∠ABO =∠ADO =2α，OB =OD,AB =AD =4，又∵∠ACO =α，∴∠ACO =∠DCO =α，∴OD =OC =AC−AD =7−4=3，∴OB =3．17．证明见解析【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出∠ECD=702，由角平分线的定义得∠ACE=∠ECD=70°，根据三角形内角和定理求出∠CAE=70°，可得∠ACE=∠CAE，从而可得结论．【详解】证明：∠B=30°，∠E=40°，∴∠ECD=∠B+∠E=70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=70°，在△ABE中，∠ACE+∠E+∠CAE=180°，∴∠CAE=180°−∠ACE−∠E=180°−70°−40°=70°，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE．18．(1)见解析(2)14【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线的性质得出CE=EF，再证明△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，根据全等三角形的性质得出AB=AF，DC=DF，进而得出结论；（2）由△ABE≌△AFE，△CED≌△FED，推出S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，据此求解即可．【详解】（1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠C=90°，AB∥CD，∴∠B=90°，∵DE平分∠CDA，∴CE=EF，∴Rt△CED≌Rt△FED(HL)，∴DC=DF，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴BE=EF，∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL)，∴AD=AF+FD=AB+CD；（2）解：∵△CED≌△FED，△ABE≌△AFE，∴S△CED=S△FED，S△ABE=S△AFE，∵S∴19(2)（（∴∴∴（∴∵∴∴∠BOM=∠ABO，∴BM=OM，同理可得：CN=ON，∴MN=OM+ON=BM+CN，∵AB=7，AC=6，∴△AMN的周长是AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=13．。
角平分线专题训练题
角平分线专题训练题1. 已知三角形ABC，角A的角平分线交BC边于点D，角B 的角平分线交AC边于点E。
若AD=DE，求证角A=2角B。
证明：由角平分线的定义，有∠DAB=∠EAC，且∠DAE=∠EAD。
在△ADE中，由角度和定理可得∠DAE+∠DEA+∠EDA=180°，即∠DAE+∠DEA+∠EAD=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EAD，代入上式得2∠DAE+∠EAD=180°，即3∠DAE=180°，解得∠DAE=60°。
同理，在△DBE中，由角度和定理可得∠EBD+∠BED+∠DEB=180°，即∠EBD+∠BED+∠EDA=180°。
由已知条件AD=DE，可得∠DEA=∠EDA，代入上式得∠EBD+2∠DEA=180°，即∠EBD+2∠DAE=180°，代入∠DAE=60°，得∠EBD+120°=180°，即∠EBD=60°。
又因为∠DAB=∠DBE，且∠DAE=∠EBD，所以，由三角形内角和定理可得∠ABD+∠DBE+∠DAE=180°。
代入∠DAE=60°，得∠ABD+60°+60°=180°，即∠ABD=60°。
所以，角A=∠DAB+∠DAD+∠DAE=∠DAB+∠ABD+∠DAE=∠DBE+∠EBD+∠DAE=∠EDC+∠CDE+∠EAD=∠EDC+∠CDE+∠A DA=∠ADC+∠CDA+∠ADA=2∠ADC。
角B=∠ABD+∠DBE+∠BED=∠ABD+∠DBE+∠EDC=∠ABD+∠DBE+∠DCE=∠ADG+∠DGE+∠DCE=∠ADE+∠DEC+∠D CE=∠DAE+∠EDA+∠DCE=∠DAE+∠EDA+∠EDA=2∠DA E。
所以，角A=2∠ADC，角B=2∠DAE，结合前面的推导可知角A=2角B。
(完整版)七年级上角平分线练习题及答案
角平分线相关练习题答案：1、∠DOC=30°解析：由角平分线定义：到角两边距离相等的点在角平分线上，得知，点C在角平分线上，即OC为∠AOB 的角平分线，因为∠AOB=60°，所以∠DOC=∠EOC=30°2、∠BOC=50°解析：由题知，∠AOE=∠BOE=½∠AOB=45°，∠BOD=∠EOD－∠BOE=70°-45°=25°，∠BOC=2∠BOD=50°3、D解析：由角平分线定义和性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故A、B、C均正确。
4、S△BDC=½mn解析：通过D点向BC边作垂线段，交BC于点E，则DE为△BDC的高线，由于DA⊥AB且DE⊥BC，BD是角平分线，故得知线段AD=DE=m，S△BDC=½BC×DE=½mn5、A解析：由角平分线性质得知，角平分线上的点到角两边的距离相等，故P到AB的距离＝PE=36、∠COE=75°解析：∠AOC=∠BOC=∠BOD=½×90°=45°，因为∠BOD=3∠DOE，所以∠BOE=⅔∠BOD=⅔×45°=30°，∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°7、∠BOD=75°解析：∠COD=∠AOD=½∠AOC=½（∠AOB-∠BOC）=½（90°－60°）=15°，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°+15°=75°8、∠AOC=140°解析：∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2∠BOD+2（∠DOE-∠BOD）=2∠DOE=2×70°=140°。
《角平分线》典型例题及解析
《角平分线》典型例题及解析例题：1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．两处C．三处D．四处答案：D说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．2．如图，已知△ABC中，AB = AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列四个结论中正确的个数是( )①AD上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③BD = CD，AD = BC；④∠BDE =∠CDF．A．1 B．2C．3 D．4答案：C说明：①如图，P为AD上任意一点，则ΔAPB与ΔAPC中，AP = AP，AB = AC，∠BAD =∠CAD，∴ΔAPB≌ΔAPC，∴PB = PC，①正确；②根据角平分线的性质不难得出AD上任意一点到AB、AC的距离相等，②正确；③不难得到ΔADB≌ΔADC(SAS)，∴BD = CD，但无法判断AD与BC 之间的关系，∴AD = BC不成立，③错误；④由ΔADB≌ΔADC(SAS)，知∠B =∠C，而∠BDE+∠B = 90º，∠CDF+∠C = 90º，∴∠BDE =∠CDF，④正确；答案为C．3．如图，△ABC中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．求∠ADC 的度数．解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180º，∵∠ABC = 120º，∠C = 26º，∴∠BAC = 180º−120º−26º = 34º，∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34º = 17º．∴△ADC中，∠ADC = 180º−∠DAF−∠C = 180º−17º−26º = 137º．例3．如图，△ABC中，BP、CP分别是∠B、∠C的外角平分线．求证：(1)点P在∠A的平分线上；(2)∠BPC = 90º−∠BAC．证明：(1)过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠B的外角∠CBM的平分线上，∴PM = PQ，∵P在∠C的外角∠BCN的平分线上，∴PN = PQ，∴PM = PN，而PM⊥AB，PN⊥AC，∴点P在∠A的平分线上．(2)∵∠BPC = 180º−∠1−∠2，而∠1 =∠MBC =(∠BAC+∠ACB)，∠2 =∠NCB =(∠BAC+∠ABC)，∴∠BPC = 180º−∠1−∠2 = 180º−(∠BAC+∠ACB)−(∠BAC+∠ABC)= 180º−(∠BAC+∠ACB+∠ABC)−∠BAC = 180º−×180º−∠BAC= 90º−∠BAC．。
角平分线(练习)(解析版)-八年级数学 下册
第一章三角形的证明第四节角平分线精选练习一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC 交CD 于点E ，8,3BC DE ，则BCE 的面积等于（）A ．24B ．12C ．8D ．4∵CD 是AB 边上的高线，∴DE BD ，∵BE 平分ABC ，3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，DE 平分ADC ，55B ，35C ，则ADE （）A ．50B ．55C ．60D ．62.5123货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处【答案】D 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90A ，BP 平分ABC 交AC 于点P ，若4cm PA ，13cm BC ，则BCP 的面积是（）A ．252cm B ．213cm C ．245cm D ．226cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得4cm PH PA ，即可直接求得BCP 的面积．【详解】解：过点P 作PH BC 于点H ，∵BP 平分ABC ，4cm PH PA ，∵13cm BC ，2113426cm 2BCP S△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得BCP 的高．．（秋八年级单元测试）如图，是ABC 的角平分线，于点，且DE DG ，52ADG S ，38AED S △，则DEF 的面积为（）A ．7B ．12C ．8D ．14【答案】A 【分析】过点D 作DH AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF DH ，然后利用“HL ”证明Rt DEF △和Rt DGH △全等，根据全等三角形的面积相等可得EDF GDH S S ，设面积为S ，然后根据ADF ADH S S V V 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC 于H ，∵AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∴DF DH ，在Rt DEF △和Rt DGH △中，DE DG DF DH，∴ Rt Rt HL DEF DGH ≌ ，∴EDF GDH S S ，设面积为S ，同理Rt Rt ADF ADH ≌ ，∴ADF ADH S S V V ，即3852S S ，解得7 S ，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明Rt Rt DEF DGH ≌ ．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P 是AOB 的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ，若60AOB ，8OC ，则PD ___________为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC 、于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于点G ．如果6AB ，8BC ，ABG 的面积为12，则CBG 的面积为________．【答案】16【分析】由作图步骤可知：BG 为ABC 的角平分线，过G 作,GH BC GM AB ，可得GM GH ，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：由作图作法可知：BG 为ABC 的角平分线过G 作,GH BC GM AB ，∴GM GH∴16218ABG AB GM S AB S BC为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE =3，则DF =_______．【答案】6【分析】过点D 作 DM OB ，垂足为M ，则3DM DE ，在Rt OEF △中，利用三角形内角和定理可求出30 DFM ，在Rt DMF △中，由30 角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】解：过点D 作 DM OB ，垂足为M ，如图所示．OC ∵是AOB 的平分线，3DM DE ．在Rt OEF △中，90OEF ，60EOF ，30OFE ，即30 DFM ．在Rt DMF △中，90DMF ，30 DFM ，26DF DM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30 角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，AD 平分BAC ，10BC ，6CD ，则点D 到AC 的距离为______．【答案】4【分析】过点D 作DE AC 于点E ，再根据角平分线的性质，即可进行解答．【详解】解：过点D 作DE AC 于点E ，∵10BC ，6CD ，∴1064BD BC CD ，∵AD 平分BAC ，90B Ð=°，DE AC ，∴4DE BD ，即点D 到AC 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．三、解答题11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图，DE AB 于E ，DF AC 于F ，AD 平分BAC ，若BD CD ，10AB ，18AC ，求BE 的长．【答案】4BE ，【分析】先证明Rt BDE 与Rt CDF 全等得BE CF ，再证明Rt ADE △与Rt ADF 全等得AE AF ，设=BE CF x ，通过等量代换列方程即可求解．【详解】解：DE AB DF AC ∵，，AD 平分BACDE DF在Rt BDE 与Rt CDF 中DE DF BD CDRt BDE Rt CDF HL BE CF在Rt ADE △与Rt ADF 中DE DF AD ADRt ADE Rt ADF HL AE AF设=BE CF x ，18AC ∵，10AB ，∴18AF AC FC x ，10AE AB BE x1810x x4x 即4BE 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ，求证：AD 垂直平分EF【答案】见解析【分析】根据AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，可得DE DF ，90DEA DFA ，则可证DEF DFE ，并得AEF AFE ，可证得AE AF ，根据DE DF ，AE AF ，得到点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，可证AD 垂直平分EF ．【详解】证明∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴DE DF ，90DEA DFA ，∴DEF DFE ，∴DEA DEF DFA DFE ，∴AEF AFE∴AE AF ，∵DE DF ，AE AF ，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD 平分CAB ，若:4:5ACD ABD S S △△，则:AB AC ________．【答案】5:4【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求得．【详解】∵AD 平分CAB ，∴D 到AC 、AB 的距离相等，又∵:4:5ACD ABD S S △△根据三角形面积等于底乘以高，∴:5:4AB AC ，答案为∶5:4．【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，E为AC的中点，AD平分23BAC BA CA，：：，AD与BE相交于点O，若OAE△的面积比BOD的面积大2，则ABC的面积是_____∵AD平分BAC，∴DM DN，∴121ABDAB DN S BD△是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AF ，若26ACB ，25CBE ，则AED ∠___________．【答案】39°【分析】连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE BE ，ER EF ，根据全等求RCE EBF ，求出26ACB QED ，求出65BED CED ，求出REF 的度数，再求出CAB ，求出CAE ，根据三角形的外角性质求出DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，∵DE 是线段BC 的中垂线，∴90EDC ，CE BE ，∴ECB CBE ，∵25CBE ，∴25ECB ，∴902565DEB CED ，∵ER AC ED BC ，，∴90QRC QDE ，9090ACB CQR EQD QED ，，CQR EQD ∵，ACB QED ，26ACB ∵，26QED ，AE ∵平分CAM ER AC EF AM ，，，ER EF ，在Rt ERC 和Rt EFB △中，CE BE ER EFRt ERC Rt EFB HL ≌（），262551EBF ACE ACB ECD ，90EFB ∵，90905139BEF EBF ，266539130REF RED BED BEF ，90ARE AFE ∵，360909013050CAM ，AE ∵平分CAM ，252651DOE CAE ACB ，ED BC ∵，90EDB ，90905139AED DOE ，故答案为：39°．【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB ，OC OD ，OA OC ，40AOB COD ．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①40AMB ，②AC BD ，③OM 平分AOD ，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【分析】由SAS 证明AOC BOD △△≌得出OCA ODB ，AC BD ，②正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，得出40 AMB AOB ，①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示：则90OGA OHB ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；假设MO 平分AOD ，则 DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ≌ ，得AO OD ，而OC OD ，所以OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵40AOB COD ，∴AOB BOC COD BOC ，即AOC BOD ，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD，∴AOC BOD △△≌ SAS ，∴OCA ODB ，AC BD ，故②正确；同时OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，∴40 AMB AOB ，故①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示，则90OGA OHB ，∵AOC BOD △△≌，∴OG OH ，∴MO 平分AMD ∠，故④正确；假设MO 平分AMD ∠，则 DOM AOM ，在AMO 与DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO，∴AMO DMO ≌ SAS ，∴AO OD ，∵OC OD ，∴OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；正确的个数有3个，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，BAC 的角平分线与线段BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ，DF AC ，垂足分别为点E 、F ．若10＝AB ，8AC ＝，则BE ______．【答案】1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF DE ，再利用中垂线性质得到CD BD ．进而证明 Rt Rt CDF BDE HL ≌，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ，DF AC ，∴DF DE ，90F DEB ，ADF ADE ，∴AF AE ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD BD ，在Rt CDF △和Rt BDE △中，CD BD DF DE，∴ Rt Rt CDF BDE HL ≌，∴BE CF ，∴2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE ，∵10AB ，8AC ，∴1BE 故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．二、解答题6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点C 是MAN 的平分线上一点，CE AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB ．求证：12180 ．34 ∵，CE AM ，CF CE ，CFD CEB 1AE AD AB∵，AD AF ACE ，BD 交AC 于点F ，连接AD ．(1)当40BAC =时，求BDC 的度数．(2)请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明．(3)求证：AD BE ∥．【答案】(1)20(2)12BDC BAC ，证明见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出70ABC ACB ，再利用邻补角的定义得到110ACE ，然后根据角平分线的定义可计算出1352DBC ABC ，1552ECD ACE ，再利用三角形外角性质可计算出BDC ；（2）由外角的性质得到1122BDC ABC ACE ，BAC ABC ACE ，即可得出12BDC BAC ；（3）作DM BG 于M ，DN AC 于N ，DH BE 于H ，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．【详解】（1）解：∵AB AC ，40BAC ，∴ 118040702ABC ACB，∴110ACE ，∵BD ，CD 分别平分EBA ，ECA ，形的性质，角平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知ABC 为等边三角形，取ABC 的边,AB BC 中点,D E ，连接DE ，如图1，易证DBE 为等边三角形，将DBE 绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD ，其中080I ．(1)如图2，当60 时，连接,AD CE ，求证：AD CE ；(2)在DBE 旋转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接,AD CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，求证：FB 平分AFE ；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段,AF BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AF CF BF ，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到答案；（2）过点B 作BN AD 于N ，过点B 作BH CE 于H ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到AD CE ，ABD CBE S S ，BAD BCE ，利用等面积得到BN BH ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；（3）在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABM CBF △≌△，利用全等的性质即可得到答案．ABC ∵ ，DBE 都是等边三角形，AB BC ，BD BE ，ABC ABD CBE ，在ABD △和CBE △中，FB 平分AFE ；（3）解：AF CF BF ．理由如下：在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示：60AFB ∵，MF FB ，MFB △是等边三角形，MB BF ，60MBF ABC ，ABM CBF ，在ABM 和CBF V 中，CB AB ABM CBF BM BFSAS ABM CBF △≌△，AM CF ，AF AM MF ∵，AF CF BF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。
中考数学模型角平分线专项
角平分线专项一、基础部分———双角平分线条件：在ΔABC 中，角平分线BD 、CE 相交于点O. 结论：（1）A BOC ∠+︒=∠2190 （2）BC CD BE A =+⇔︒=∠60 （3）OEOD A =⇒︒=∠60（4）AC AB A OE OD =︒=∠⇒=或60条件：在ΔABC 中，外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠-︒=∠2190条件：在ΔABC 中，内角平分线与外角平分线相交于点O. 结论：A BOC ∠=∠21OACB OCBA条件：．在△ABC 中，∠ABC 的平分线BE 与∠BCA 的平分线CD 交于点O,∠A=90° 结论：S △BOC =21S 四边形BDEC练习1．在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O （1）如图1，求证：OB 平分∠ABC （2）如图1，求证：∠AOC ＝90°＋21∠ABC （3）如图2，当∠ABC ＝90°、且A0＝30D 时，连接DE,△DOE 的面积为6，求△AOC 面积，判断线段AE 、CD 与AC 之间的关系，加以证明，2.如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．模型1 角平分线性质——————角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作P A ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB =P A 。
练习：1. AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．2、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． (1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．NM OABP第7题图EB3.如图，以∆ABC 的两边AB 、AC 为边向外作等边∆ABD 与等边∆ACE ，连接BE 、CD 相交于点O ，连接OA ，求证：OA 平分∠DOE.4.已知，如图 1 在△ABC 中，点 D 在 AC 上，且 BD 平分∠ABC （1）求证：S △BAD:S △BDC=BA:BC（2）在（1）的条件下，如图 2，在△ABC 外取一点 E ，使∠EAB=∠BCA ，EA=DC ，连接 ED 交 AB 于点 F ，请你探究线段 EF 与 FD 的数量关系，并证明你的结论O ECBDA模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB =OA ，连接PB 。
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
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全等三角形与角平分线
1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.
2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）
A．大于EF B．小于EF
C．等于EF D．与EF的大小无法比较
3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．
4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．
5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.
6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）
A．6cm B．7cm
C．8cm D．9cm
2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.
7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.
8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；
(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．
9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°
10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.
求证：BD=2CE.。