人教版 八年级数学 多边形及其内角和讲义 (含解析)

第2讲多边形及其内角和
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初二，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。

知识梳理
讲解用时：20分钟
凸多边形、凹多边形
1、多边形：
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2、凸多边形：
如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。

3、凹多边形：
如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内
角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。

目前我们研究的都是
凸多边形
1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多
边形的外角。

3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边
形的对角线。

4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做
正多边形。

从同一个顶点引出对角线的条数：
0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数：
0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和：
180° 360° 540° 720° (n-2)·180°
课堂精讲精练
【例题1】
设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°.
解：多边形边数为，则内角和为，
四边形内角和，
多边形外角和为， 五边形外角和， 因此． 故正确答案为：．
讲解用时：2分钟
解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题.
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2018
【练习1.1】
下列图形中，多边形有（ ）
总结：
1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

2、n 边形共有2
3)
-n(n 条对角线
3、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180°
4、多边形的外角和：多边形的外角和为360°
A. 个
B. 个
C. 个
D.
【答案】B
【解析】：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

解：第一个图形没有首尾相连；第二、三个图形都有曲线，所以第四、五个图形满足.
讲解用时：2分钟
解题思路：紧扣多边形的定义，注意关键字：线段、首尾相连.
教学建议：熟记多边形的定义进行解题.
难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题2】
过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是边形，它的内角和是
【答案】七、900
【解析】多边形从一个顶点可以引出n-3条对角线，分成n-2个三角形，内角和为（n-2）·180°.
解：由题意得，，
解得：，
即这个多边形是七边形，
它的内角和为：
．
故答案为：七，．
讲解用时：3分钟
解题思路：熟记多边形对角线的条数和内角和公式，然后套用.
教学建议：理解并掌握多边形对角线的条数和求内角和公式.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习2.1】
若凸边形的内角和为，则从一个顶点出发引的对角线条数是．【答案】5
【解析】先通过多边形内角和公式算出这是几边形，求出n，再通过n边形从一个顶点可以引出n-3条对角线计算.
解：凸边形的内角和为，
，
得，；
．
讲解用时：3分钟
解题思路：n边形内角和为（n-2）·180°，n边形从一个顶点可以引出n-3条对角线.
教学建议：理解并掌握多边形对角线的条数和求内角和公式.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题3】
如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为
的新多边形，则原多边形的边数为 .
【答案】14
【解析】观察图形，剪去一个内角之后的图形相比原来多了一个内角，通过多边形内角和公式计算.
解：设新多边形是边形，由多边形内角和公式得
，
解得，
原多边形是．
讲解用时：3分钟
解题思路：通过多边形内角和公式求出边数，要注意剪去之后多边形内角数量的变化.
教学建议：要注意剪去一个内角会产生的不同情况.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习3.1】
四边形剪掉一个角后，变为边形．
【答案】三、四或五
【解析】通过作图来观察图形.
解：如图所示：
观察图形可知，四边形减掉一个角后，剩下的图形可能为五边形，可能为四边形，
也可能为三角形．
讲解用时：3分钟
解题思路：多边形剪去一个内角会产生3种不同形状的图形.
教学建议：要注意剪去一个内角会产生的不同情况.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题4】
在正三角形、正方形、正五边、正六边形中不能单独镶嵌平面的是 . 【答案】正五边形
【解析】能被360°整除的内角度数可以全部镶嵌平面.
解：正三角形的每个内角是，能整除，能密铺；
正方形的每个内角是，个能密铺；
正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；
正六边形的每个内角是，能密铺．
讲解用时：3分钟
解题思路：找正多边形的内角，判断是否能被360°整除，不能被整除的就不能被镶嵌.
教学建议：理论结合实际，通过正多边形的内角来计算.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习4.1】
能够铺满地面的正多边形组合是（）
A. 正六边形和正方形
B. 正五边形和正八边形
C. 正方形和正八边形
D. 正三角形和正十边形
【答案】C
【解析】计算正多边形的内角，若组合可以凑成360°即能够铺满地面.
解：正六边形的每个内角是，正方形的每个内角是，
，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；正五边形每个内角是，正八边形每个内角为
度，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；
正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
正三角形每个内角为，正十边形每个内角为，
，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺
满．
讲解用时：3分钟
解题思路：通过计算出正多边形的内角，找出能拼凑出360°的组合即可.
教学建议：掌握正多边形每个内角的计算.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题5】
如图是由射线组成的平面图形，则
．
【答案】360°
【解析】把这5个角转化成五边形ABCDE的内角，通过五边形内角和计算. 解：
讲解用时：3分钟
解题思路：本题解为三角形外角和的证明方法，利用平角和多边形内角和证明.
教学建议：外角的计算通过转化成平角和多边形内角和来计算.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习5.1】
如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，…这样一直下去，直到他第一次回到出发点为止，他所走的路径构成了一个多边形．
(1) 小明一共走了多少米？
(2) 这个多边形的内角和是多少度？
【答案】（1）120；（2）3960
【解析】该多边形其实是正多边形，每个外角是15°，通过多边形内角和是360°可以得出正多边形的边数，然后根据多边形内角和公式计算该正多边形的内角和.
解：所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，
，，
答：小明一共走了米．
解：，
答：这个多边形的内角和是度．
讲解用时：3分钟
解题思路：关键点是得出这是一个正多边形.
教学建议：理解正多边形的定义，灵活运用.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题6】
已知正n边形的每一个内角为135°，则n=．
【答案】8
【解析】根据多边形的内角就可求得外角，根据多边形的外角和是360°，即可求得外角和中外角的个数，即多边形的边数．
解：多边形的外角是：180﹣135=45°，
∴n==8．
讲解用时：3分钟
解题思路：任何任何多边形的外角和是360°，不随边数的变化而变化．根据这个性质把多边形的角的计算转化为外角的计算，可以使计算简化．
教学建议：熟记正多边形的外角和是360°.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习6.1】
如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形是边形．【答案】六
【解析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
解：设多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°=2×360°，
解得n=6，
故答案为：六．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
教学建议：熟记多边形的内角和公式和外角和.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
【例题7】
一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；
（2）求这个多边形的每一个内角的度数．
【答案】（1）六；（2）120°
【解析】设内角为x，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出x，根据多边形的外角和等于360°计算即可．
解：设内角为x，则外角为x，
由题意得，x+x=180°，
解得，x=120°，
x=60°，
这个多边形的边数为：=6，
答：这个多边形是六边形；
（2）设内角为x，则外角为x，
由题意得，x+x=180°，
解得，x=120°，
答：这个多边形的每一个内角的度数是120度．
内角和=（5﹣2）×180°=540°．
讲解用时：4分钟
解题思路：本题考查的是多边形的内角与外角的计算，掌握正多边形的定义、多边形的内角与外角的关系是解题的关键．
教学建议：谨记一个多边形的每个内角都相等，不一定就是正多边形；熟练掌握多边形的内角和公式和外角和.
难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018
【练习7.1】
如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
【答案】∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°
【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把这六个角转化为一个三角形的内角，再根据三角形的内角和等于180°解答．
解：如图所示，∠A+∠B=∠1，
∠C+∠D=∠2，
∠E+∠2=∠3，
∠F+∠G=∠4，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠1+∠3+∠4，
∵三角形的内角和等于180°，
∴∠1+∠3+∠4=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
讲解用时：3分钟
解题思路：本题主要考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行转化是解题的关键．
教学建议：学会转化图形，利用三角形外角的性质和内角和定理.
难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018
课后作业
【作业1】
一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为．
【答案】15，16，17
【解析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论．
解：设新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=2520°，
解得n=16，
∵截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多1或少1，
∴原多边形的边数是15，16，17．
故答案为：15，16，17．
讲解用时：4分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018
【作业2】
如图1所示，△ABO与△CDO称为“对顶三角形”，其中∠A+∠B=∠C+∠D．利用这个结论，在图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°．
【答案】540
【解析】先连接BE，构造“对顶三角形”，得出∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，再根据五边形内角和为540°，得出∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，进而得到∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°．
解：如图2，连接BE，
由对顶三角形可得，∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，
∵五边形ABEFG中，∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=540°，
即∠A+∠ABC+∠CBE+∠BED+∠DEF+∠F+∠G=540°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=540°，
故答案为：540．
讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018
【作业3】
过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，这个多边形的边数是 .
【答案】10
【解析】熟记过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成n-2个三角形. 解：设多边形有条边，
则，
解得．
故这个多边形的边数是．
讲解用时：2分钟
难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018
【作业4】
若凸边形的内角和为，则从一个顶点出发引的对角线条数是．【答案】8
【解析】熟记多边形的内角和公式判断多边形的边数，然后确定从一个顶点出发可以引出的对角线条数.
解：凸边形的内角和为，
，得，；
．
讲解用时：2分钟
难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018
【作业5】
一个多边形的内角和与外角和的和是，通过计算说明它是几边形．
【答案】十五
【解析】熟悉使用n边形内角和公式为（n-2）·180°，外角和是360°. 解：设它是边形，依题意得：
．
解得：．
答：它是八边形．
讲解用时：2分钟
难度： 2 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。