向量的坐标表示(一)
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示(1)
练习 2: ⑴已知 A（ 2, 3)、B（ 2,1,6), C(1, 1,5) , 0, 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.
2
⑵ a ( x, 2,1) , b (3, x 2 , 5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角，则 x 的取值范围为 ( 1, ) . 2
k j O i
x
p
P
y Q
在
i, j, k上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
代替两两垂直的向量 i, j , k
结论吗？
a, b, c
，你能得出类似的
空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p xa yb zc.
1 1 1 y （ b （x y a （x y b xc a ） ） ） 2 2 2
1 （ ） 2 x y 1 x 1 ∴ B1C OD OC1， ∴1 （x y 0 即 ） y 1 2 x 1
证明: 设正方体的棱长为1,
1 则 AD ( 1,0,0), D1F (0, , 1), 1 2 AD D1F (1,0,0) (0, , 1) 0. 2 1
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→＝17O→－5O→－30O→. P A B C
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基 底，给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
向量的坐标表示
向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。
为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。
向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。
一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。
假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。
例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。
那么向量v的坐标表示为(3,4)。
二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。
假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。
例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。
那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。
三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。
以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。
通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。
2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。
通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。
4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。
通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。
总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。
无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。
向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。
掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
平面向量的坐标表示
第7章 平面向量的坐标表示1。
理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量,注意向量和数量的区别；(2)零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向;（3)单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量， →a 的单位向量是a a→→；（4)相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性;(5）平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；(6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-. 2.向量的表示方法(1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如→a ,→b ，→c 等；（3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ,→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标 表示,如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3．实数与向量的积:实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ,它的长度和方向规定如下：提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；【提醒】）若0a b ⋅>则a b <⋅>为锐角或者0角若0a b ⋅<则a b <⋅>为钝角或者|a b ⋅|＝a b 可以用来证明a b .）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：→→→→⋅=ba b a θcos .→→（1)a a λλ=；（2）当0λ>时,a λ的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量,注意：0a λ≠。
平面向量的正交分解及坐标表示1 人教课标版精品课件
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB (x2 x1, y2 y1)
4.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想
每个人都有自己的精神家园，而对于记忆中的几户人家，我更有着刻骨铭心的情感。 上个世纪六七十年代，在陕西的某城市的郊区一个大院子里住了四家人。一家人姓赵四十岁左右，是一个食堂的采购员；姓李的一家人是个老离休干部，也是一个军人。曾经在解放战争时期受过伤，当时他的腿上留有敌人手榴弹炸的弹片在里头呢；东面的一家姓石，是一个搞电子的工程师；西面一家姓吴，老吴是一个中学教师。 老李一般在家休息，负伤的地方经常疼痛难忍。家里有老婆姓元，大儿子当时工作了，还有两个孩子在读书。老石呢，由于是个工程师专门修理无线电的，厂里人的电器坏了一般都让老石修理，所以一下班吃完饭他就忙着给别人修理电器。老赵由于是个采购员，一天就是给食堂买粮食和各种蔬菜。老吴是个教师一般都是上课，但是还有两个寒暑假期。老吴的家里人口最多，五个儿子一个女儿，加上老两口，一共八口人。
平面的基底有多少组? 无数组
复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2.
思考：这一基本定理在物理中有哪些应用？ 试举例说明。
如图，设 AB表示水流的 速度，AD表示渡船的速度，
a b (2,1) (3, 4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4(3, 4) (6, 3) (12,16) (6,19)
例3已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
向量及其坐标表示法
3 2 a y a cos 6 4 , 3 2 az a cos 6 4. 3
例6 已知作用于一质点的三 个力为F1 i 2k , F2 2i 3 j 4k , F3 j k , 求其合力F的大小及方向角。
单位向量：模为1的向量.
0
0 2
1
不考虑起点位置的向量.即只考虑向量 自由向量： 的大小和方向，而不论它的起点在何处. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
:
： b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
: a
a:
向量的加减法
[1] 加法： a b c
{a x bx , a y by , a z bz }; a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
a x , a y , az .
例3 已知a {3,5,1}, b {2,2,2}, c {4,1,3} 求(1)a b ( 2)2a 3b 2c
2 2
2
y
cos
az a x a cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量可表示为
0 a a |a |
{cos , cos , cos }.
例4 已知M 1 1,2,3, M 2 4,2,1，求 M 1 M 2的模 及方向余弦。
a AB OB OA
3. 向量运算的坐标表达式 设 a {a x , a y , az }, b {bx , b y , bz },
则 a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
空间向量的坐标表示
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0?
(2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同?
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同?
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同? 提示:空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,算法是 相同的,但空间向量比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式 与横坐标、纵坐标是一样的.
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
主讲人：唐清华
1.空间向量的和、差、数乘、数量积的坐标运算公式是
问题 引航 什么? 2.利用向量坐标运算推导的空间两向量的平行、垂直的 关系式是什么?
空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)空间向量的坐标运算: 向量运算 加法 减法 数乘 数量积 向量表示 a+ b a- b λ a a· b 坐标表示 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) __________________
a 1= λ b 1 ， __________ ①平行:a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔ a 2= λ b 2 ， __________ __________ a 3= λ b 3 ， 当b的坐标b1,b2,b3全不为0时,
a∥b⇔a1 ＝ a 2 ＝ a 3 ；
b1 b2 b3
(2)空间向量平行和垂直的条件:
a 1= λ b 1 ， __________ a 2= λ b 2 ， ①平行:a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔ __________ __________ a =λ b3 ， 3 当b的坐标b1,b2,b3全不为0时,
中职教育数学《向量的坐标表示》教案
授课题目2.4向量的坐标表示选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA与单位向量i，j之间的关系，把向量OA分解为x i和y j之和，建立了向量OA与点A的坐标(x,y)之间的关系，并且OA=x i+y j；接着利用向量的减法建立了任一向量AB与它的终点B与起点A 的坐标的差之间的关系，AB=(x2- x1) i+(y2- y1) j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数对与之对应，这个有序实数对就是向量的坐标表示．教学目标知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量；能用向量坐标进行向量的线性运算和内积运算；会用向量坐标解决有关向量大小、共线、垂直等问题；逐步提升直观想象、数学运算和数学抽象等核心素养.教学重点会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行或垂直．教学难点向量内积的坐标表示的几何应用．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入我们知道,数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x,y)是一一对应的，(x,y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0,0)为起点、以点P(x,y)为终点的向量与有序实数对(x,y)也是一一对应的，如图所示．提出问题引发思考思考分析回答结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知探索新知2.4.1向量的坐标表示如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j.以原点O为起点做向量OP，点P的坐标为(x,y).向量OP与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N.由于向量OM与i共线，并且OM的模等于| x |，=OM x i；同理可得，=ON y j.根据向量加法的平行四边形法则，有=++OP OM ON x yi j.讲解说明展示讲解理解思考领会理解通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通进一步，对于图中所示的以A为起点的向量AB，记点A与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有因此，对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a= x i+y j. 我们把有序实数对称为向量a的坐标. 方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y).温馨提示在上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；OP=(x,y)，AB=(x2-x1, y2-y1).例1 已知两点A(-2,3)、B(3,1)，求向量AB和BA的坐标. 解AB=(3-(-2), 1-3)= (5,-2);BA=(-2-3, 3-1)= (-5, 2).例2 如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量OB、OM、ON、OE的坐标.解由于点B的坐标为(0,1)，故OB=(0,1)；点M的坐标为故22=22OM⎛⎫⎪⎝⎭，；同理可得例3 如图所示，⏥ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,3)、(−2,1)、(−1,0),求第四个顶点D的坐标.解 在⏥ABCD 中，有AB =DC .设点D 的坐标为(x ,y )，则()=1DC x y ---，.又 ()=22,3AB ---1()=4,2--，故有 ()()4,2=1x y -----，. 于是， 1=4=2x y -----⎧⎨⎩，，从而=3=2.x y ⎧⎨⎩，所以，点D 的坐标为(3,2).形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想巩固练习练习2.4.11. 判断下列说法是否正确.(1) x 轴上的单位向量i 的坐标为(1,0)；(2)起点不在原点的向量不能确定它的坐标；(3)由于x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 的模都是1，所以它们的坐标相等；(4)向量OA 的坐标是唯一确定的.2.已知点A (2,-1)，写出向量OA 的坐标，并用x 轴和y 轴上的单位向量i 、j 线性 表示向量OA .3.已知向量OA =-5i +2j ，写出点A 的坐标.4.已知向量a =3i -j ，写出向量a 的坐标.5.已知两点A 与B 的坐标，求AB 和BA 的坐标. (1) A (-1, 5)，B (-3, 1)； (2) A (-5, 3)，B (4, 5)； (3) A (2,-6)，B (3, 5).6.如图所示，O 为菱形ABCD 对角线的交点，AC =4，BD =6.以对角线CA 、DB 所在的直线作x 、y 轴，求向量OC 、OD 、OB 的坐标.提问 巡视 指导思考 动手 求解 交流及时掌握学生掌握情况查漏补缺情境导入2.4.2向量线性运算的坐标表示对于向量a=(x1,y1)和b= (x2,y2)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？提出问题引发思考思考分析回答提出问题引发思考探索新知这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．讲解说明展示讲解理解思考领会理解结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养典型例题例4 设a=(3, -2)，b= (-2, 1)，求：(1)a+b；(2)a-b；(3)3a-2b .解(1)a+b= (3,-2)+(-2,1) = (3+(-2),-2+1) = (1,-1) ;(2) a-b=(3,-2)-(-2,1)= (3-(-2),-2-1)= (5,-3)；(3) 3a-2b=3(3,-2)-2 (-2,1)=(9,-6)- (-4,2)=(13,- 8)．例 5 如图所示,正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量AB、BC、DE的坐标.解(1) 根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2得到正三角形，故点C的坐标为(2,0).因此(2) 设正六边形与y 轴的负半轴交于点G,则OG为正三角形ABO的高和中线.于是OG=3BG=3×1=3.故点B的坐标为(1,-3).于是，(3) 因为(1,3)OB=-，所以我们知道，当a≠0时，a∥b⇔存在实数λ，使得b=λa.设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，由b=λa得，x2=λx1且y2=λy1，则2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.因此，当a≠0时，a∥b⇔2211x yx y=或x1 y2=x2 y1.提问引导讲解强调提问引导讲解强调提问引导思考分析解决交流思考分析解决交流思考分析例4是向量坐标的线性运算示例例5是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题例6是达成课标要求会用向量的坐标形式判定两个向练习2.4.21.已知向量a、b的坐标分别求a+3b，5a-2b的坐标.(1) a=(−2,3)，b=(4,6);(2) a=(2,3)，b=(3,1).2.已知向量a、b的坐标，判断这两个向量是否共线.(1) a=(−2,3)，b=(6, −9);(2) a=122,5⎛⎫⎪⎝⎭-，b=12,25⎛⎫⎪⎝⎭-;(3) a=(1,−2)，b=(−7,14).3.己知点B(4, −3)，连接OB 并延长至C点，使得|OC|=2|OB| ，求向量OC的坐标.4. 求例5中向量AD、AC、BD的坐标.5. 如图所示，正方形ABCD的中心在原点O，四边与坐标轴垂直，边长为2，求向量AC与BD的坐标.2.4.3 向量内积的坐标表示和，即a·b=x1x2+y1y2.根据内积的定义，还可以得到以下结论：例7已知向量a=(3,4)，b=(−2, 1)，求a·b、|a|、|b|、1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；。
高中数学3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.4空间向量的坐标表示1数学
3．1.4 空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]空间向量的坐标表示在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z 轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k 作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).空间向量的坐标运算这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标．(2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标．2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57] 空间向量的坐标表示[例1] AB 、PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC ) ＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD ) ＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点．∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3， ∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE ＝(2,2,1)．又∵DF ＝e 2，∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D )＝－[1OO ＋12(＋)] ＝－1OO －12－12. 又|1OO |＝4，||＝4，||＝2，∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝－1OA ＝－(＋1AA )＝－－1AA .又||＝2，||＝4，|1AA |＝4，∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解：由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c .由向量分解的惟一性，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1. ∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1). 空间向量的坐标运算[例2] 已知a 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似．[精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)．a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4)＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求：(1)a －(b ＋c )；(2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)．(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)＝2(AB －AC )；(2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)，∴＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)，∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)，又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)，∴AB －DC ＝(9,8，－3)，∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2). 空间向量的平行[例3] ，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥且AD 不平行BC ，或证AB ∥且|AB |≠||即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行．∴四边形ABCD 为梯形．[一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是：(1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标；(2)写出相应向量的坐标；(3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值．解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2)＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k－7，∴k ＝－13. 7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)．∵PA ＝2PA 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3，2，23＝.∴PQ ∥. ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________.解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)．答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，又∵a ∥b ，显然y ≠0，∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32. 答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73) 6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．解：如图，因为PA ＝AD ＝AB ＝1，且PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，所以可设AD ＝e 1，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A xyz .因为DC ＝AB ＝e 2， MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC ) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3. 所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1)＝12(AB －AC )； (2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)．(1)＝12(6,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点，∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)， EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)．由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3. ∴λ＝12. 此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
高中数学选择性必修一(人教版)《1.3.2空间向量运算的坐标表示》课件
表示，即 a＝(x，y)．而在空间中则表示为 a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依 然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
∴―BA→1 ＝(1，－1,2), ―CB→1 ＝(0,1,2)，
∴―BA→1 ·―CB→1 ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|―BA→1 |＝ 6，|―CB→1 |＝ 5，
∴cos〈―BA→1 ，―CB→1 〉＝
―→ ―→ BA1 ·CB1 ―→ ―→
＝
30 10 .
| BA1 || CB1 |
[对点练清] 1．[变条件]将本例(2)中“若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直”改为
“若 ka＋b 与 a＋kb 互相平行”，其他条件不变，求 k 的值．
解：因为 a＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，
b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，
所以 ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)．
故
A1B
与
B1C
所成角的余弦值为
30 10 .
[方法技巧] 1．利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的 坐标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的 夹角，并将它转化为异面直线所成的角． 2．利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长．
8.1.1向量的坐标表示及其运算
d
c 3i 3 j (3, 3)
i e
x
d 4i 0 j (4, 0) e 2i 3 j (2, 3)
三、向量的坐标运算 已知 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 和实数 ，则
a b ( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
i
结论：位置向量的坐标即为终点的点坐标
并把 x, y 叫做向量OP的坐标.
二、向量的坐标
已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，
如何定义向量 AB 的坐标. 解：AB OB OA
y
x2 i y2 j x1i y1 j x2 x1 i y2 x1 , y2 y1 )
j
O
i
一个向量的坐标等于该向量终点的坐标
减去始点的坐标.
例 1． 如图， 写出向量 a , b , c , d , e 的坐标.
b
y
a 2i 5 j (2,5)
a
b 4i j (4,1)
j O
3a 4b 3(4, 1) 4(5, 2) (12, 3) (20,8) (32,5) 1 1 4 17 17 a0 a (4, 1) ( , ) 2 2 17 17 |a| 4 (1)
例4. 已知A，B，C的坐标分别是 A(2,1), B(1,3), C (3, 4)
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
向量及向量的坐标表示
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
3.1.5空间向量运算的坐标表示
求 a b, a b,8a, a b
解: a b (2, 3,5) (3,1, 4) (1, 2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40) a b (2, 3,5) (3,1, 4) 29
5
例5 如图, 在正方体ABCD A1B1C1D1中，B1E1
D1F1
z
A1B1 ，求
4
BE1 与 DF1 所成的角的余弦值.
解：设正方体的棱长为1，如图建
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
D
O
A
E1 B1
C B
B(1 , 1Βιβλιοθήκη , 0),E1
1
,
3 4
,
1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
建立空间直角坐标系 Oxyz ，
则 E(1 , 1 , 1 ) ， F (1 , 1 , 1)
2
22
所以 EF ( 1 , 1 , 1 ) ， 2 22
又 A1(1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
对空间任一向量 a ,由空间
za
向量基本定理，存在唯一的有序实
A(a1 , a2 , a3 )
数组 (a1 , a2 , a3 ),使a a1i a2 j a3k. k
有序实数组 (a1 , a2 , a3 ) 就
i Oj
y
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
332空间向量运算的坐标表示及应用(一) 课件-23学年高二上学期数学(2019)选择性必修第一册
解(1) 2 =2(-1,-3,2)=(-2,-6,4).
(2)因为 +2b=(-1,-3,2)+2(1,2,0)
=(-1,-3,2)+(2,4,0)
=(1,1,2),
-2 +b=-2(-1,-3,2)+(1,2,0)
=(2,6,-4)+(1,2,0)
=(3,8,-4),
所以( +2b) · (-2 +b)=(1,1,2) · (3,8,-4)
自己完成.证明过程如下：
因为 = ₁ ₁ ₁ , = ₂ ₂ ₂ ,所以
根据向量数量积的分配律，
以及i · i=j · j=k · k=1,i · j=j · k=i · k=0,即可得出
⋅ = ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅ + ₁₂ ⋅
(2)因为 a＝AB
所以 ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2
＋k－10＝0．
5
解得 k＝2 或 k＝－2．
自探
空间向量平行与垂直
2．已知 a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，
₁ሻ
也就是说：一个向量在空间
直角坐标系中的坐标等于表
= ₂ − ₁ + ₂ − ₁ +
示这个向量的有向线段的终
₂ − ₁
点的坐标减去起点的坐标.
= ₂ − ₁ ₂ − ₁ ₂ − ₁ .
空间向量运算坐标表示
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向量的坐标表示（一）
【学习重点与难点】：
重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示
难点：平面向量基本定理的理解.
【学法与教学用具】：
1. 学法：
(1)自主性学习+探究式学习法：
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、思考和讨论
【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a ,=−→−AD b ,试用向量a ,b 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→
−MD 。
结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？
二、研探学习
1.共面向量定理
【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？
（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量
−→−OA =1e −→−OM =1λ1e −→−OC =a =−→−OM +−→−ON =1λ1e +2λ2e
−→−OB =2e −→−ON =2λ2e
平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 【注意】：
1e 2e a C
（1）1e ,2e 均非零向量，必须不共线．．．
，且它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；1λ，2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定
的数量
（3）由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；同一平面内任一向．．．
量．
都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4）20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．
基底：我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式，我们称它
为向量a 的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解。
【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别
和联系？
三、小试牛刀
例1 （教材69P 例2）如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹
角为θ，求斜面对物体的磨擦力→
f
例2 已知向量12,e e ，求作向量-251e +3e 作法：（1）取点O ，作−→−OA =-251e −→−OB =32e （2）作OACB ，−→
−OC 即为所求-251e +32e 例3．（教材69P 例3）设1e ,2e 是平面内的一组基底，如果−→−AB
=31e -22e ，−→−BC =41e +2e ,
−→−CD =81e -92e 求证：A 、B 、D 三点共线
【举一反三】 1.设12
,e e 是两个不共线的向量，已知−→−AB =21e +k 2e ,−→−CB =1e +32e ,−→−CD =21e -2e ，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。
解：−→−BD =−→−CD -=−→
−CB (21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e ,∵A ，B ，D 三点共线，
A
C B D
∴−→−AB 与−→−BD 共线，即存在实数λ，使得−→−AB
=λ−→−BD ， 即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨
=-⎩ ，∴8k =-． 例4．如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈,
用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP
变式1：（例4改编）如图：−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在1.=+μλμλ且使−→
−−→−−→−+=OB OA OP μλ
变式2：设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1( )(R t ∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
四、巩固深化，反馈矫正
教材70P 练习
五、归纳整理，整体认识
1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题.；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表
示。
课后记：。