向量的坐标表示(一)

向量的坐标表示（一）

【学习重点与难点】：

重点：平面向量基本定理的应用；平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示

难点：平面向量基本定理的理解.

【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、思考和讨论

【问题1】:（教材69P 例1）：平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，=−→−AB a ,=−→−AD b ,试用向量a ,b 表示−→−MA ,−→−MB ,−→−MC ,−→

−MD 。

结论：由作图可得a 1λ=1e +2λ2e 【问题2】：对于向量a ,1λ和2λ是否是惟一的一组？

二、研探学习

1.共面向量定理

【探索】：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一的？

（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 学生分析设1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量

−→−OA =1e −→−OM =1λ1e −→−OC =a =−→−OM +−→−ON =1λ1e +2λ2e

−→−OB =2e −→−ON =2λ2e

平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a 1λ=1e +2λ2e ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；这个定理也叫共面．．向量定理. 【注意】：

1e 2e a C

（1）1e ,2e 均非零向量，必须不共线．．．

，且它是这一平面内所有向量的一组基底. （2）基底不惟一，当基底给定时，分解形式惟一；1λ，2λ是被a ，1e ，2e 唯一确定

的数量

（3）由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解；同一平面内任一向．．．

量．

都可以表示为两个不共线向量的线性组合. （4）20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．

基底：我们把不共线的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

正交分解：一个平面向量用一组基底1e ,2e 表示成a 1λ=1e +2λ2e 的形式，我们称它

为向量a 的分解，当1e ,2e 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解。

【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别

和联系？

三、小试牛刀

例1 （教材69P 例2）如图2-3-4，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平的夹

角为θ，求斜面对物体的磨擦力→

f

例2 已知向量12,e e ，求作向量-251e +3e 作法：（1）取点O ，作−→−OA =-251e −→−OB =32e （2）作OACB ，−→

−OC 即为所求-251e +32e 例3．（教材69P 例3）设1e ,2e 是平面内的一组基底，如果−→−AB

=31e -22e ，−→−BC =41e +2e ,

−→−CD =81e -92e 求证：A 、B 、D 三点共线

【举一反三】 1.设12

,e e 是两个不共线的向量，已知−→−AB =21e +k 2e ,−→−CB =1e +32e ,−→−CD =21e -2e ，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。

解：−→−BD =−→−CD -=−→

−CB (21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e ,∵A ，B ，D 三点共线，

A

C B D

∴−→−AB 与−→−BD 共线，即存在实数λ，使得−→−AB

=λ−→−BD ， 即是12122(4)e ke e e λ+=-. 由向量相等的条件，得24k λλ=⎧⎨

=-⎩ ，∴8k =-． 例4．如图，−→−OA 、−→−OB 不共线，t AP =−→−−→−AB )(R t ∈,

用−→−OA 、−→−OB 表示−→−OP

变式1：（例4改编）如图：−→−OA ，−→−OB 不共线，P 点在1.=+μλμλ且使−→

−−→−−→−+=OB OA OP μλ

变式2：设−→−OA ,−→−OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且−→−−→−−→−+-=OB t OA t OP )1( )(R t ∈.求证：A 、B 、P 三点共线.

四、巩固深化，反馈矫正

教材70P 练习

五、归纳整理，整体认识

1．熟练掌握平面向量基本定理，平面向量基本定理的理解及注意的问题.；

2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表

示。

课后记：