3.1 电流与电流密度

3 恒定电场

在静电场中，导体中没有电场，没有电荷的运动，导体是等位体，导体表面是等位面，我们所研究的是介质中的电场。

当导体中有电场存在时，导体中的自由电荷在电场力的作用下就会作定向运动，形成电流。如果导体中的电场保持不变，那么，运动着的自由电荷在导体中的分布将达到一种动态平衡，不随时间而改变，这种运动电荷形成的电流称为恒定电流，维持导体中具有恒定电流的电场称为恒定电场。

处于恒定电场中的导体表面，将有恒定的电荷分布，它们将在导体周围的介质中引起恒定电场，其性质与静电场类似，遵从与静电场相同的规律。所以，本章的重点在研究导电媒质中的恒定电场。

3.1 电流与电流密度

3.1.1 电源与电动势

要维持导线中有恒定的电流，导线中必须维持有恒定的电场。恒定电场的产生和维持依靠相连接的外部电源。

（1） 电源与电动势

定义：一种能将其他形式的能量转换为电能的装置称为电源。

要产生恒定电场，在导线中引起恒定电流，需要连接直流电源。直流电源能将电源内的原子或分子的正、负电荷分开，使正电荷移向正极，负电荷移向负极。显然，这种移动电荷的作用力不是电场的库仑力，我们称之为局外力，用f e 表示，设想作用在单位正的点电荷上的局外力是一种等效的电场作用的结果，定义局外场强

t e q e q t /f E 0

lim →= （3.1.1） 其单位为V/m （伏特/米）。描述电源特性的电动势可定义为

⎰⋅=⋅⎰=A B e

l e εl E l E d d （3.1.2） 它的单位是V （伏）。

（2） 电源内的电场

在局外场强的作用下，于电源的A 、B 两极板上分别积累了正、负电荷，它们又在电源内部产生库仑电场E ，于是电源内部的合成场强为

E E E +=e t （3.1.3） e E 和E 方向相反。当外电路开路时，局外力不断移动正、负电荷，使库仑电场E 逐步增强，直到e E E =，达到了动态平衡

0=+=E E E e t

合成场强为零，电荷的移动结束。

当左图中开关接通时，在库仑电场作

用下就有电荷沿外电路作定向运动，形成电流。此时，极板上累积的电荷Q 量值减

少，电源内的库仑电场E 量值减小，破坏

了上面的动态平衡，局外力又将移动正、

负电荷分别到正、负两极板上，使库仑电

场E 量值升高。电荷运动的结果将达到新

的动态平衡，保持了外电路有一定的端电

压，使外电路中有一恒定电场，从而在外

电路中维持了一恒定电流。

3.1.2 电流和电流密度

（1）电流

定义：导体中任意一截面S 上单位时间内通过的电荷量为通过该面积的电流

t q t q i t d d lim 0=∆∆=→∆ （3.1.4）

单位是A （安培），恒定电流以I 表示。

电流指的是电荷流经截面S 上的整体量，它不能反映截面S 上某点处电荷的流动特性。因此，就有必要引入电流密度的概念。

（2）电流密度

以体密度ρ分布的电荷，按速度v 在空间作匀速运动，如图中元体积中的电荷

K

V q ∆=ρd 在t ∆时间内通过S ∆端面从体积l S V ∆⋅∆=∆内全部流出，则 S v t t v S t l S I ∆=∆∆⋅∆⋅=∆∆⋅∆⋅=

∆ρρρ 定义 n n S S

I S I e e J d d lim 0=∆∆=→∆ 为流经S ∆端面上某点处的电流密度矢量，

n e 为S ∆上该点处的正法向单位矢量，其方向正好是该点处电荷的运动方向。用电流密度完全可以表示某点处电荷的运动方向。于是有

v J ρ= （3.1.5）

单位是A/m 2（安培/平方米），称之为体电流密度（或称为体电流的面密度）。

若体电荷在薄层导体中流动，当薄层导体的厚度0→h 时，可近似认为电流沿一厚度为零的曲面流动，称之为面电流。图

中薄层导体面元宽为1l ∆、长为2l ∆，面电

荷密度为σ，沿2l ∆以速度v 流动。设t

∆时间内曲面元中的电荷全部流出薄层导

体，其元面电流为

v l t l l I ⋅∆⋅=∆∆⋅∆⋅=∆12

1σσ

定义

n l l I e k 101

lim ∆∆=→∆ 为流经1l ∆端面上某点处的电流密度矢量，n e 是该点处电荷的运动方向，有

v k ⋅=σ （3.1.6）

表示薄层导体上某点处的面电流密度（或称为面电流的线密度），单位为A/m （安培/米），它的方向正好反映了该点处电荷的运动方向。

v

∆

若薄层导体的宽度1l ∆窄小到可以忽略，就成了线形导线，其上电荷运动方向决定于导线的走向。设导线电荷线密度为

τ，电荷以速度v 沿导线运动，可定义线电

流为 v I τ= （3.1.7）

其单位是A （安培）。

（3） 电流与电流密度的关系

取导体中的任意截面S ，确定S 面的周界l 和它

的循行方向。在S 内取一面元S d ，以右手四指绕过l

的循行方向，大拇指的指向为面元S d 的正方向n e ，面元矢量n S e S d d =。若通过S d 的电流为I d ，应有 S J d d ⋅=I ，于是截面S 上通过的电流为

⎰⎰⋅==S S I I S J d d （3.1.8） 可见，电流是单位时间内通过S 面的所有电荷量，它在S 面上的具体分布及各点处

电荷的运动方向只能由电流密度来描述，电流密

度应是恒定电场的基本场矢量。

左图中，设流经薄层导体曲面S 内任意曲线段l 的电流为I 。将l 上任意线元d l 的法线方向单位矢量记为⊥e ，相应的线元矢量为

⊥⊥=e l l d d 。流经d l 的电流为⊥⋅=l k d d I ，通

过曲线l 的电流

⊥⎰⋅=l I l k d (3.1.9)

（4） 关于元电流段 若元电荷q d 以速度v 运动，它们的乘积q d v 称为元电流段，其单位为A.m （库仑.米/秒）。按运动电荷的体、面和线类型可分为如下三种元电流段。

V V q d d d J v v ==ρ （3.1.10）