人教版数学必修一1-2-2-1
人教版高中数学必修1《函数的表示法》高一上册PPT课件(第1.2.2-1课时)
PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
高中数学精品系列课件
[合作探究· 攻重难]
函 数表 示 法的 选 择
例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图
象法、解析法表示出来． [解] ①列表法如下：
高中数学精品系列课件
[解] (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
人教版高中数学必修一精品课件
高中数学精品系列课件
(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平， 学习情况比较稳定而且成绩优秀， 张城同学的数学成绩 不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平， 但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意
解析法
不够形象、直观
一个自变量所对应的函数值
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
一般只能表示部分自变量的函数值
直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误
人教版高中数学必修一精品课件
高中数学精品系列课件
图象的画法及应用
例2作 出 下 列 函 数 的 图 象 并 求 出 其 值 域 ． 2
(1)y＝ － x， x∈ {0,1， － 2,3}； (2)y＝， x∈ [2， ＋ ∞ )； (3)y＝ x2＋ 2x， x∈ [－ 2,2)． x
[解] (1)列表
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
人教版高中数学必修1《集合间的基本关系》高一上册PPT课件(第1.1.1课时)
高中数学必修一精品系列课 件
3． 空 集
(1)定 义 ： 不 含 任 任何 何 元 素 的 集 合 叫 做 空 集 ， 记 为 ∅. ∅
(2)规 定 ： 空 空 集 集 是 任 何 集 合 的 子 集 ．
思 考2： {0}与 ∅相 同 吗 ？ [提 示 ]不 同 ． {0}表 示 一 个 集 合 ， 且 集 合 中 有 且 仅 有 一 个 元 素0； 而 ∅表 示 空 集 ， 其 不 含 有 任 何 元 素 ， 故 {0}≠ ∅.
学习目标：
1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点) 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点) 3.在具体情境中，了解空集的含义．(难点)
高中数学必修一必修一精品课件
PART 02
自主预习·探新知
S E L F S T U D YA N D E X P L O R I G N E W K N O W L E D G E
高中数学必修一必修一精品课件
高中数学必修一精品系列课 件
3．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有( )
A．M⊆N
B．M∈N
C．N⊆M
D．M＝N
C [正 方 形 是 特 殊 的 菱 形 ， 故N⊆M.]
4． 集 合 {0,1}的 子 集 有 ________个 ． 4 [集 合 {0,1}的 子 集 有 ∅， {0}， {1}， {0,1}， 共4个 ． ]
高中数学必修一必修一精品课件
高中数学必ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一精品系列课 件
思考 1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？
[提示] (1)不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
2020版数学人教A版必修一同步进阶攻略课件：2-2-2-1 对数函数的图象与性质
(1)作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如 y ＝f(|x|)的函数，可先作出 y＝f(x)的图象在 y 轴右侧的部分，再作 关于 y 轴对称的图象，即可得到 y＝f(|x|)的图象．对于函数 y＝ |f(x)|，可先作出 y＝f(x)的图象，然后 x 轴上方的不动，下方的关 于 x 轴翻折上去即可得到 y＝|f(x)|的图象．
(3)要使函数式有意义，需l4oxg－0.534>x0－，3≥0， 解得34<x≤1， 所以函数 y＝ log0.54x－3的定义域是{x|34<x≤1}．
第三十四页，编辑于星期日：一点 十七分。
定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函 数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真 数上，则必须保证真数大于 0；若自变量在底数上，应保证底数 大于 0 且不等于 1.
∴f(x)＝log2x，f312＝log2312＝log22－5＝－5. (2)因为函数 f(x)是对数函数，则2mm－2－1＝m0＝，1， 解得 m＝1.
第十九页，编辑于星期日：一点 十七分。
类型二 对数函数图象的有关问题 命题视角 1：对数函数的底与图象变化的关系
[例 2] 对数函数 y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx 在 同一坐标系内的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是 _a_>_b_>_c_>_d_．
第三十三页，编辑于星期日：一点 十七分。
[解] (1)要使函数式有意义，需 1－x>0，解得 x<1，所以函 数 y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．
(2)要使函数式有意义，需11－－xx≠>01，， 解得 x<1，且 x≠0， 所以函数 y＝log1－x5 的定义域是{x|x<1，且 x≠0}．
高中数学必修一全册课件人教版(共99张PPT)
四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
人教版高中数学必修一(1.2.1-1函数的概念)ppt课件
定义域
f:x 2x1
值域
函数解析式：f(x)=2x+1或y=2x+1
-3
-5
-2
-3
-1
-1 f(x)2x1
0
1
1
3
2
5
3
7 对应法则
对应法则施
加的运算对
f ( 3 ) 2 （ 3 ） 象 1 5
对应法 则
运算对象
运算内容：乘以2加一
象，即y的值
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(a )f,(a 1 )
练习：
g(x) 2x3 5x2 3x2,求g(3),
h(x) | 4x|,求h(8),h(a) x2
1 r(x) 3
x5,求r(3),r(6)
x
已知函数
x 2
f
(x)
x
2
2
x
(1)求 f ( 2 ) , f的( 1值);
2
集合B中有唯一元素和A中某个元素对应
开平方
B
A
3
300
-3
2
450
-2 1
600
-1
900
求正弦
A
一对多不是映射
求平方
B
1
1
-1
一对一是映射
A
乘以2
1
2
4
-2
2
3 -3
9
3
多对一是映射
一对一是映射
集合A中任何一个元素都在B中有对应
乘以2加1
A
1
3
5
1B
2 3 4 5 6 7
集合A中的元素5在集合B中没有元素与之对 应，不能称为映射。
高中数学必修一1,2章节知识点
高一数学必修 1 各章知识点总结（by May）第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些研究对象组成的总体叫作集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1. 元素的确定性； 2.元素的互异性； 3. 元素的无序性 .说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，这就是说不确定的对象就不能构成集合。
(2) 对于一个给定的集合，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。
如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y}(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：(1) { ⋯ } 如{ 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }(2) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5}4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N，正整数集N*或 N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 a ∈ A ，相反， a 不属于集合 A 记作 a A元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号表示）。
如 a A, a B 等。
6、集合的表示方法：（ 1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
{a,b,c⋯⋯} （ 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}（3）语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 }（4） Venn 图 :7、集合的分类：(1) 有限集：含有有限个元素的集合(2) 无限集 ： 含有无限个元素的集合(3) 空集： 不含任何元素的集合例： {x|x 2=－ 5｝ =二、集合间的基本关系 1、“包含”关系（子集）注意： AB 有两种可能（ 1） A 是 B 的一部分，；（ 2）A 与 B 是同一集合，即 A=B 。
人教版数学必修一1.2.1函数的概念精品课件(共21张PPT)
§1.2.1函数的概念
(2) 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少， 因而出现了臭氧层空洞问题.下图中的曲线显 示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年 的变化情况：
§1.2.1函数的概念
根据上图中的曲线可知,时间t的变化范围是 数集A={t|1979≤t≤2001},臭氧层空洞面积S的变化 范围是数集B ={S|0≤S≤26}.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
恩格尔系数（ % ） 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
A={1991，1992，1993,1994, 1995, 1996, 1997，1998,1999,2000,2001} B={53.8，52.9, 50.1，49.9, 48.6, 46.4, 44.5, 41.9, 39.2, 37.9}
实例2（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞 问题．图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从年的变化情况．
A={t|1979≤t≤2001}
B ={S|0≤S≤26}
实例3 （3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔 系数越低，生活质量越高．表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表 明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
记作: y=f(x),xA
其中, x叫做自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域 (domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range).
人教版高中数学必修一2-1-2《指数函数及其性质》公开课教案
课题：指数函数及其性质2.1.2 指数函数及其性质一、教学目标：1.理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质.2.通过教学，掌握研究函数性质的思路方法，如类比、从特殊到一般等，增强学生识图用图的能力.3.在指数函数的学习过程中，培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会分类讨论思想、数形结合等数学思想. 二、教学重点、难点：教学重点：指数函数的定义、图象和性质.教学难点：指数函数定义、图象和性质的发现总结。
三、教学过程：1.创设情境引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……以此类推，1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为y ＝2x ，*x N .引例2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”则截取x 次后，木棰剩余量y 与x 的函数关系式是什么？生: y 与 x 之间的关系式，可以表示为1()2x y = ，*x N ∈.问题1: 观察函数12()2xxy y ==与的解析式，这两个函数是不是我们以前学习的一次、二次、反比例函数？这两个函数的解析式有何共同特征？生：不是以前学习的一次、二次、反比例函数，他们的共同特征都是xy a =的形式. 问题2: 你能模仿以前学习的一次、二次、反比例函数的定义，给出这一新型函数的定义吗？学生回答xy a =，若回答不出，教师因势利导，然后板书课题：指数函数及其性质. 2. 指数函数的定义一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .（归纳指数函数的定义，学生可能归纳不全，如想不到限制条件0a >且1a ≠，师直接说即可.）问题3: 在指数函数的定义中，为什么规定底数0a >且1a ≠呢？ 生：(1)若0a =，则当0x >时，0xa =；当0x ≤时，xa 无意义；(2)若a <0，则对x 的某些值，可使xa 无意义，如12,2a x =-=； (3)若1a =，则无论x 取何值，它总是1，没有研究的价值.师：以上同学解释得都有一定道理但不够，底数a 范围的确定，是为了保证a 在这个范围内取值时，这一类函数的定义域永远是相同的.师：请大家来看下面一组练习：判断下列函数是不是指数函数？(学生回答)1(1)3x y += (2)3x y = (3)3x y =- 3(4)y x =(5)x y x =(6)x y π= (7)(3)x y =- ()()821xy a =-1(2a >且1)a ≠ 规律总结：指数函数的特征：（1）幂的系数为1；（2）底数是一个正的不等于1常数；（3）指数为自变量x .3. 指数函数的图象师：问题4:要研究一种新函数，如何研究？生：定义—图象—性质-应用师：问题5：研究一个函数，主要研究它的哪些性质呢？ 生：定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶性.师：既然我们明晰了研究函数的思路和方法，那请你画指数函数(0,1)xy a a a =>≠且的图象.生：不知道底数a ，画不出来.师：那我们先画哪个指数函数的图象呢？ 生：画12()2xxy y ==与的图象.师：请大家画出以下四个指数函数的图象.()()()()112 2()2133 4()3x x x xy y y y ==== 由学生分组上黑板画图，然后师生一起订正。
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、 无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝” 括起来，基本形式为｛a 1,a 2,a 3,,a n ｝，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即 用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为｛x A |P （x ）｝，既要关注代表元素 x ，也要把 握其属性P （x ） ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 A ,B ,C ,表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ， 正整数集N *或N +，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号 、 表示，例如3N ，-2N . ¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程x （x 2 -2x -3）=0的所有实数根组成的集合；（2）大于 2且小于 7的整数. 解：（1）用描述法表示为：｛x R |x （x 2 -2x -3）=0｝； 用列举法表示为｛0,-1,3｝.（2）用描述法表示为：｛x Z |2 x 7｝； 用列举法表示为｛3,4,5,6｝.【例 2】用适当的符号填空：已知 A =｛x |x =3k + 2,k Z ｝， B =｛x | x = 6m -1,m Z ｝，则有：17 A ； － 5 A ； 17 B . 解：由3k +2=17，解得k =5Z ，所以17A ；7 由3k +2=-5，解得k =7Z ，所以-5A ； 3 由6m -1=17，解得m =3Z ，所以17B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数y = x + 3与y = -2x + 6的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y =x 2 - 4的函数值组成的集合；（3）反比例函数 y = 2 的自变量的值组成的集合. x2){y |y =x 2 -4}={y | y -4}. 2（3）｛x |y = 2｝=｛x |x 0｝.x点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为｛1,4｝ ， 也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同， 分析时一定要细心.*【例4】已知集合A = ｛a | x +a =1有唯一实数解｝，试用列举法表示集合 A ． 解：化方程 x +a =1为：x 2 - x - （a + 2） = 0 ．应分以下三种情况：x 2 - 2 ⑴方程有等根且不是2：由 △=0，得a = - 9 ，此时的解为x = 1 ，合．42 ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是- 2 ：将 x = 2 代入得 a =- 2 ，此时另一解 x =1-2， 合．}={(1,4)}.解：（1）｛（x , y ）|y =x +3y = -2x + 6⑶方程有一解为- 2 ，而另一解不是 2 ：将x=- 2 代入得a= 2 ，此时另一解为x=2+1，合．综上可知，A=｛-9,- 2, 2｝．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B ，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset ），记作A B（或B A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2.如果集合A是集合B的子集（A B），且集合B 是集合A的子集（B A），即集合A 与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A=B.3.如果集合A B，但存在元素x B，且x A，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset），记作A B（或B A）.4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：A A；若A B，B C，则A C；若A I B= A，则A B；若A U B= A，则B A.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）｛菱形｝｛平行四边形｝；｛等腰三角形｝｛等边三角形｝.（2）｛x R|x2+2=0｝；0 ｛0｝；｛0｝；N ｛0｝.解：（1），；（2）=，∈，，.【例2】设集合A = ｛x | x = n ,n Z｝, B = ｛x | x = n + 1 ,n Z｝，则下列图形能表示A与B关系的 A B B A A B A B是（）.A ．B ．C． D ．解：简单列举两个集合的一些元素，A = ｛, - 3-1,-1,0,1,1,3,｝，B =｛,-3,-1,1,3,｝，易知B A，故答案选A．另解：由B =｛x | x = 2n +1 , n Z｝，易知B A，故答案选A．【例3】若集合M =x|x2+x-6=0,N=x|ax-1=0，且N M，求实数a的值. 解：由x2+x-6=0x=2或-3，因此，M = 2, -3.(i)若a=0时，得N=，此时，N M；(ii)若a0 时，得N = {}. 若N M,满足= 2或= -3，解得a= 或a= - .a aa 23 故所求实数a的值为0或1或-1.23 点评：在考察“ A B”这一关系时，不要忘记“ ” ，因为A=时存在A B. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值.解：若a+ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0 或x=1.a +2b =ax2 当a=0 时，集合B中的元素均为0 ，故舍去；当x=1 时，集合B2中的元素均相同，故舍去.若a +b =ax 2ax2-ax-a=0.a +2b =ax因为a≠0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x≠1，所以只有x =-1.经检验，此时A=B成立. 综上所述x=-1.2 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 3 讲§1.1.3 集合的基本运算(一)¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(union set )由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集(intersection set)对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)记号A U B (读作“A并B”)A I B (读作“A交B”)ðU A (读作“A的补集”)符号A U B={x|x A,或x B}A I B ={x|x A,且x B}ðA ={x|x U,且x A}图形表示U A¤例题精讲：【例1解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：BA I B={x|3x5}，A A BC (A U B)={x| x-1,或x9}-1 3 5 9 x4【例2】设A ={x Z | | x | 6}， B =1, 2,3, C =3,4,5,6，求： (1)A I(B I C )； (2)A Ið(B U C ).解：Q A =-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.(1)又Q B I C =3，∴ A I ( B I C ) = 3； (2)又Q B U C =1,2,3,4,5,6，∴ A I C (B U C )=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0.例3】已知集合A = {x | - 2 x 4} ， B = {x | x m } ，且A I B = A ，求实数m 的取值范围. 解：由A I B = A ，可得A B . 在数轴上表示集合A 与集合 B ，如右图所示： B A由图形可知， m 4. 4-2m x 4 m x点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之 间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集U =｛x |x 10,且x N *｝，A =｛2,4,5,8｝，B =｛1,3,5,8｝，求C (A U B )，C (A I B )， (C U A )I (C U B )， (C U A ) U (C U B ) ，并比较它们的关系. 解：由A U B ={1,2,3,4,5,8}，则C U (A U B )={6,7,9}. 由A I B ={5,8}，则C U (A I B )={1,2,3,4,6,7,9} 由C U A ={1,3,6,7,9}，C U B ={2,4,6,7,9}， 则(C U A )I (C U B )={6,7,9}， (C U A )U(C U B )={1,2,3,4,6,7,9}. 由计算结果可以知道，(C U A )U(C U B ) =C U (A I B )，(C U A )I(C U B ) =C U (A U B ). 另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用 Venn 图研究(CA )U(CB ) =C (A I B ) 与(C A )I(C B ) =C (A U B ) ，在理解的 基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.¤知识要点：Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图 形，我们还可以发现一些集合性质： C U (A I B ) = (C U A ) U (C U B ) , C U (A U B ) = (C U A ) I (C U B ) .2. 集合元素个数公式：n (A U B ) =n (A )+n (B )-n (A I B ).3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查 创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A =-4,2a -1,a 2,B =9,a -5,1-a，若A I B =9，求实数a 的值. 解：由于A =-4,2a -1,a 2,B =9,a -5,1-a ，且A I B =9 ，则有：当2a -1＝9时， 解得a ＝5，此时A =｛－4, 9, 25｝，B =｛9, 0, －4｝，不合题意，故舍去； 当 a 2＝9 时，解得 a ＝3或－3 .a ＝3时， A =｛－4,5,9｝， B =｛9,－2,－2｝，不合题意，故舍去； a ＝－3，A =｛－4, －7， 9｝，B =｛9, －8, 4｝ ，合题意. 所以， a ＝－3.【例2】设集合A ={x |(x -3)(x -a )=0,a R }，B ={x |(x -4)(x -1)=0}，求A U B , A I B .(教 材 P 14 B 组题 2 ) 解：B ={1,4}.当a =3时，A ={3}，则A U B ={1,3,4}，A I B =； 当a = 1时， A = {1,3} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={1}； 当a = 4时， A = {3, 4} ，则A U B = {1,3,4}， A I B ={4}； 当a 3且a 1且a 4时，A ={3,a }，则A U B ={1,3,4,a }，A I B =. 点评：集合 A 含有参数 a ，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时， 需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x|x2+4x=0}，B ={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a R}，若A I B=B，求实数a的值．解：先化简集合A={-4,0}. 由A I B=B，则B A，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或{-4,0}.(i)若B=，则=4(a+1)2-4(a2-1)0，解得a<-1；(ii)若0 B，代入得a2-1=0a=1或a=-1，当a =1 时，B=A，符合题意；当a = -1时，B={0} A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得a2-8a + 7 = 0 a=7或a=1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a=1或a≤-1．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B和B=的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A与B，若定义A-B={x|x A,且x B}，当集合A={x|x8,x N*}，集合B = {x | x(x - 2)(x - 5)(x - 6) = 0}时，有A - B = . (由教材P12 补集定义“集合A相对于全集U的补集为C U A={x| x U,且x A}”而拓展)解：根据题意可知，A={1,2,3,4,5,6,7,8}，B={0,2,5,6} 由定义A-B={x| x A,且x B}，则A-B={1,3,4,7,8}.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A中排除B的元素. 如果再给定全集U，则A-B也相当于A I (C U B).¤知识要点：1.设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作y = f(x)，x A．其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{ f (x) | x A}叫值域(range).2.设a、b是两个实数，且a<b，则：{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；6{x |a ≤x <b }＝［a ,b ) ， {x |a <x ≤b }＝(a ,b ］，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{x | x a } = (a , +) ， {x | x a }=［a ,+)，{x | x b }=(-,b )，{x |x b }=(-,b ］，R =(-,+).3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分 别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：(2)由，解得 x 3且 x 9，3x -1-2所以原函数定义域为[3,9)U(9,+).【例 2】求下列函数的定义域与值域：(1) y = 3x + 25- 4x解：(1)要使函数有意义，则5-4x 0，解得x 5. 所以原函数的定义域是{x | x 5}.3x + 2 1 12 x + 8 1 3(4 x - 5) + 23 3 23 3 3 3 y = = = =- + - +0=- ，所以值域为{y | y - }.5- 4x 4 5-4x 4 5- 4x 4 5- 4x444(2) y = -x 2+ x + 2 = -(x - 1)2+ 9. 所以原函数的定义域是 R ，值域是(-,9]. 24 4【例3】已知函数 f (1-x )=x . 求：(1) f (2)的值； (2) f (x )的表达式1 + x解：( 1)由1-x =2，解得x =-1，所以 f (2)=-1.1 + x3 32)设1+x =t ，解得x =1+t ，所以 f (t )=1+t ，即 f (x )=1+x. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函 数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.2【例 4】已知函数 f (x )=x ,x R .1 + x 21)求 f (x )+ f (1)的值；(2)计算：x(2)原式= f (1)+(f (2)+ f (12))+(f (3)+ f (13))+(f (4)+ f (14))=12+3=72 点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的 关键.¤知识要点：简明，给自变量可求函数值)；图象法(用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象， 反应变化趋势)；列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看 出函数值).例 1 】求下列函数的定义域： ( 1 ) y =x +12-1；(2) x -3 y = 3 x -1-2.解：( 1)由 x +2 -10，解得x -1且x -3， 所以原函数定义域为(-,-3)U(-3,-1)U(-1,+).解：( 1)由 f (x )+ f (1)=x 2x 2x2 1 + x 21 + x 21+x2+= 1 + x 1 + x 1 + x=1.2) y = - x + x + 2.f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.3.一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f : A→ B 为从集合A 到集合B的一个映射（mapping）．记作“ f : A→ B”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是______________ ，这个函数的定义域为______ ．解：盒子的高为x，长、宽为a－2x，所以体积为V＝x（a－2 x）2. 又由a－2 x0 ，解得x a.2所以，体积V以x为自变量的函数式是V =x（a－2x）2，定义域为{x|0x a}.【例2】已知f(x)= x+2x+2 x(-,1)，求f [f(0)]的值.x3+ x-3x(1,+)解：∵ 0(-,1)，∴ f(0)= 3 2.又∵ 3 2 >1 ，∴ f(32)=(3 2)3+(3 2)-3=2+1=5，即f[f(0)]= 5.【例3】画出下列函数的图象：(1)y=|x-2|； (教材P26 练习题3)(2) y =| x-1|+|2x+4|.解：( 1)由绝对值的概念，有y =| x - 2 |= x - 2, x2.2 -x, x 2 所以，函数y=| x - 2 |的图象如右图所示.3x+3, x 1（2）y =|x-1|+|2x+4|=x+5, -2x 1，-3 x- 3, x -2所以，函数y=|x -1|+|2x+4|的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，当x（-2.5,3]时，写出f（x）的解析式，并作出函数的图象.-3, -2.5 x -2-2, -2 x -1-1, -1x0 解：f(x)=0, 0x 11, 1x 2函数图象如右：2, 2 x 33, x = 3点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.8域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1 ， x 2 ，当 x 1<x 2 时， 都有 f (x 1)<f (x 2)，那么就说 f (x )在区间 D 上是增函数(increasing function ). 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数 f (x )在某个区间 D 上是增函数或减函数，就 说 f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫 f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1)，减函数的图象 从左向右是下降的(如右图 2). 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得 到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1 、x 2 ∈给定区间，且 x 1<x 2；→计算 f (x 1 )－f (x 2 ) →判断符 号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数 f (x )= 2x 在区间(0，1)上的单调性.x - 1解：任取x 1, x 2 ∈(0,1)，且x 1 x 2 . 则 f (x 1)- f (x 2)= 2x 1 - 2x 2 = 2(x 2-x 1) .x - 1 x -1 (x -1)(x -1) 由于0x x 1，x -10，x -10，x -x0，故 f (x )-f (x )0，即 f (x ) f (x ).所以，函数 f (x )= 2 x 在(0，1)上是减函数.x -1【例2】求二次函数 f (x )=ax 2+bx +c (a 0)的单调区间及单调性. 解：设任意x ,x R ，且x x . 则f (x )- f (x )=(ax 2+bx +c )-(ax 2+bx +c )=a (x 2-x 2)+b (x -x ) =(x -x )[a (x +x )+b ]. 若 a 0 ，当x x -时，有x -x 0 ， x +x - ，即a (x +x )+b 0 ，从而122 a12 12a12f (x 1)-f (x 2)0，即 f (x 1)f (x 2 ) ，所以 f (x )在(-,- b]上单调递增. 同理可得 f (x )在[- b ,+) 2a 2a上单调递减.【例 3】求下列函数的单调区间： (1)y =|x -1|+|2x +4|；(2)y =-x 2 +2|x |+3.3x +3, x1解：(1)y =|x -1|+|2x +4|=x +5, -2x 1，其图象如右. -3 x - 3, x -2由图可知，函数在［-2,+)上是增函数，在(-,-2］上是减函数.(2)y =-x2+2|x|+3=-x +2x +3, x 0，其图象如右.- x - 2x + 3, x 0由图可知，函数在(-,-1］、［0,1］上是增函数，在［-1,0］、［1,+) 上是减函数. 点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作 y 轴右侧的图象，并把 y 轴右侧的图象对折 到左侧，得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.1.定义最大值：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f (x) ≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y = f (x)的最大值(Maximum Value). 仿照最大值定义，可以给出最小值(Minimum Value)的定义.2.配方法：研究二次函数y=ax2+bx+c (a0) 的最大(小)值，先配方成y=a(x+ b )2+4ac-b后，当a0时，函数取最小值为4ac-b；当a0时，函数取最大值2a4a4a4ac - b24a3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数y= 6的最大值.x+x+1解：配方为y= 6，由(x+1)2+33，得068.y=1)2 +3 (x+2)+4 4 0(x+1)2 +38(x+24 24 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件10 元售出时，每天可售出100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x元，则提高了(x-10)元，减少了10g(x-10)件，所赚得的利润为y = (x -8)g[100-10g(x -10)].即y=-10x2+280x-1600=-10(x-14)2+360. 当x=14时，y =360. 所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360 元. 【例3】求函数y = 2x + x - 1的最小值.解：此函数的定义域为1, +) ，且函数在定义域上是增函数，所以当x =1时，y min =2+ 1-1 = 2 ，函数的最小值为2.点评：形如y = ax + b cx+d的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令x-1=t，则t0 ，x=t2+1 ，所以y=2t2+t+2=2(t+1)2+15，在t0时是增函数，当t =0时，y =2，故48函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：53(1)y=3-2x-x , x[-2,2]； (2)y=|x+1|-|x-2|. 解：( 1)二次函数y =3-2x-x2的对称轴为x =-b，即x=-1.2a画出函数的图象，由图可知，当x=-1时，y max=4；当x = 23时，y min10所以函数y =3-2x -x 2, x [-5,3]的最大值为 4,最小值为- 9 . 3(x 2)(2) y =|x +1|-|x -2|=2x -1 (-1 x 2).-3 ( x -1)作出函数的图象，由图可知， y [-3,3]. 所以函数的最大值为 3, 最小值为-3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图 象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函 数的图象注意分段作出.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数 f (x )定义域内的任意一个x ，都有 f (- x ) = f (x ) ，那么函数 f (x )叫偶函数(even function ). 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f (-x ) =-f (x ) )，那么 函数 f (x )叫奇函数(odd function ).2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函 数图象关于 y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判 别 f (-x )与 f (x )的关系.¤例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：(1) f (x )=x 3-1； (2) f (x )=|x -1|+|x +1|；(3) f (x )=x 2-x 3.x 解：( 1)原函数定义域为{x | x 0} ，对于定义域的每一个 x ，都有 f (-x )=(-x )3- 1=-(x 3- 1)=-f (x )， 所以为奇函数.- xx(2)原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个 x ，都有 f (-x )=|-x -1|+|-x +1|=|x -1|+|x +1|= f (x ) ，所以为偶函数. (3) 由于 f (-x )=x 2+x 3f (x )，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (x )-g (x )=1 ，求 f (x )、g (x ).x +1 解：∵ f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴ f (-x )=-f (x )，g (-x )=g (x ).两式相减，解得 f (x )= x ；两式相加，解得 g (x )= 1x 2 - 1 x 2 - 1则f ( x ) -g ( x ) =1x +1 f (-x )-g (-x ) = 1-x +1即f (x )-g (x )=x1+1-f (x )-g (x )=1 -x +1。
人教版普通高中高一数学必修一
1. 概述1.1 数学在人们生活中的重要性1.2 数学对学生的重要性2. 数学基本概念2.1 数学的起源和发展2.2 数学基本概念的定义3. 高中数学必修一的课程内容3.1 初等函数3.2 极限3.3 导数与微分3.4 不定积分3.5 定积分3.6 微分方程3.7 高等代数3.8 解析几何3.9 空间解析几何3.10 数列、级数4. 高中数学必修一的教学目标4.1 培养学生数学思维能力4.2 提高学生的分析和解决问题的能力 4.3 培养学生的逻辑推理能力4.4 训练学生的数学运算技能4.5 培养学生的数学创新意识5. 高中数学必修一的教学方法和手段 5.1 举例说明5.2 数学实际应用5.3 创新性教学5.4 探究式学习5.5 多媒体教学6. 高中数学必修一的教学资源6.1 教材6.2 辅导书6.3 数学学习全球信息站和软件6.4 数学教学实验室6.5 数学教学用具7. 高中数学必修一的教学评价7.1 学生的学习成绩7.2 学生的学习兴趣和参与度7.3 学生的数学思维能力7.4 学生的数学创新能力7.5 教师的教学质量7.6 教学资源的使用情况8. 结语数学在人们生活中的重要性在当今社会，数学无疑是一门重要的学科。
数学作为一门科学，不仅在理论研究中有着极其重要的地位，更是在实践中发挥着不可替代的作用。
数学运用于各行各业，为现代科技、工程技术、经济管理、社会管理等领域的发展提供了理论和方法。
数学是一门高度抽象的学科，它的发展不仅推动了人类文明的进步，更是对思维的锻炼和提高。
数学对学生的重要性对于学生来说，数学作为一门必修学科，不仅是一种知识，更是一种思维方式和学习方法。
学习数学能够培养学生的逻辑思维能力、创造性思维能力和解决实际问题的能力，这些能力是学生成长和发展所必备的。
数学也是各种学科学习的基础，它能够帮助学生更好地理解和掌握其他学科知识，提升学习成绩。
2. 数学基本概念数学作为一门科学，有着自己的起源和发展历史。
人教版高一数学必修一知识点梳理
人教版高一数学必修一知识点梳理【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。
记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。
由于你走向社会参加工作也得适应社会。
以下内容是作者为你整理的《人教版高一数学必修一知识点梳理》，期望你不负时光，努力向前，加油！<p style="border-left: 5px solid rgb(57, 145, 229); color: rgb(57, 145, 229); background: rgb(245, 247, 247); padding-left: 10px; line-height: 35px; margin-bottom: 8px; --darkreader-inline-border-left:#165fa4; --darkreader-inline-color:#55a7e9; --darkreader-inline-bgimage: initial; --darkreader-inline-bgcolor:#1b1d1e;">1.人教版高一数学必修一知识点梳理函数的奇偶性(1)偶函数一样地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一样地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).(3)具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：○1第一肯定函数的定义域，并判定其定义域是否关于原点对称;○2肯定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.第一看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可推敲根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.<p style="border-left: 5px solid rgb(57, 145, 229); color: rgb(57, 145, 229); background: rgb(245, 247, 247); padding-left: 10px; line-height: 35px; margin-bottom: 8px; --darkreader-inline-border-left:#165fa4; --darkreader-inline-color:#55a7e9; --darkreader-inline-bgimage: initial; --darkreader-inline-bgcolor:#1b1d1e;">2.人教版高一数学必修一知识点梳理定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
人教版高中数学必修一1.2.1函数的概念ppt课件
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
例2、求下列函数的定义域。
（1）
f (x)
1
(12x)(x1)
(2) f(x) x4 x2 1
(3) ；f(x) x1 2－ x
例3、 已知： f =(xx2)x+3 求：f(-1), f(a),
f(x+1), f(
1 )，f(x2),f(f(x)), x
注意： 1在 y f中(xf)表示对应法则，不同 的函数其含义不一样。
初中已经学过：正比例函数、反比例函数、 一次函数、二次函数等。
1.[引例1](P15)一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击
中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h
（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是
h13t 05t2 （﹡）
提出以下问题: (1) 炮弹飞行1秒、8秒、15秒、25秒时距地面多高？ (2) 炮弹何时距离地面最高? (3) 你能指出变量t和h的取值范围吗?分别用集合A和 集合B表示出来。 (4) 对于集合A中的任意一个时间t,按照对应关系
• 1930 年库拉托夫斯基(Kuratowski)用集合概念给出现代函数定义为“若对 集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上 定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
③下图是我国人口出生率变化曲线．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
其中①是用 解析法 ，②是用 列表法 ，③是用图象法表 示函数关系的．
2．直线 x＝a 与函数 y＝f(x)的图象的交点个数为 至多有 一个 ；直线 y＝b 与函数 y＝f(x)的图象的交点个数为不能确定．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
课前自主预习
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
温故知新 1．设A，B是非空的 数集 ，如果 按照某种确定的 对应 关系 f，使对于集合A的 任意 一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数． 2．函数的三要素是 定义域 、对应关系、 值域．
新课引入 某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 千米以内，票价 2 元； (2)5 千米以上，每增加 5 千米，票价增加 1 元(不足 5 千 米的按 5 千米计算)．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 10 千米，如果沿 途(包括起点站和终点站)有 11 个汽车站，请根据题意，写出 票价与里程之间的函数解析式．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
3．一次函数 y＝ax＋b(a≠0)的定义域是 R ，值域也是 R . 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是 R .当 a>0 时，值域
为 [4ac4－a b2，＋∞) ；当 a<0 时，值域是 (－∞，4ac4－a b2] ．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
思路方法技巧
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
1 函数的三种表示方法 学法指导：列表法、图象法和解析法是从三个不同的 角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不 同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法：必须注明函数的定义域； (2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义 域的特征； (3)图象法：是否连线．
第一章
1．2.2 函数的表示法
第一章 集合与函数概念
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
第一章
第1课时 函数的表示方法
第一章 集合与函数概念
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
方名法师警辩示误探做究答 基础巩固训练 能力强化提升
反比例函数 y＝xk(k≠0)定义域是 {y|y≠0}．
{第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
4．与 y＝|x|相等的函数是( )
A．y＝( x)2
B．y＝ x2
C．y＝x－xxx><00
D．y＝3 x3
[答案] B
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
(3)列出表格来表示两个变量的函数关系的方法叫列表法． (4)利用函数图象来表示两个变量之间的函数关系的方法 叫做 图象法． (5)下列都是生活中的实例，判断它们是否表示函数．若 是，是怎样表示这种函数关系的？
成才之路·数学
人教A版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
第一章 集合与函数概念
第一章 集合与函数概念
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
第一章
1．2 函数及其表示
第一章 集合与函数概念
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
[答案] y＝23，，05<≤x<x≤5，10.
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
自主预习 1．阅读教材回答下列问题： (1)表示函数的方法，常用的有解析法、列表法 、图象法三 种． (2)把两个变量的函数关系，用一个 等式 来表示，这个 等式叫做函数的解析表达式，简称 解析式．
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
5．y＝2x＋1，x∈N*，且 2≤x≤4，则函数的值域是( )
A．(5,9)
B．[5,9]
C．{5,7,9}
D．{5,6,7,8,9}
[答案] C
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求 售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象 法、解析法表示出来．
生产总值 18 598.4 21 662.5 26 651.9 34 560.5
年份
1994
1995
1996 1997
生产总值 46 670.0 57 494.9 66 850.5 73 142.7
年份
1998
1999
2000
生产总值 76 967.1 80 422.8 89 404.0
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
第一章 1.2 1.2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
①一辆汽车以 60km/h 的速度行驶，其行驶路程 S(km)与
时间 t(h)的关系为S＝60t(t≥0)．
②下表是我国 1990～2000 年的国内生产总值表.
年份
1990
1991
1992 1993