数学概念与命题教学

2014-11-15
32
1、命题学习的分类
（1）下位学习（归属学习） 下位关系：学习的新命题是原有知识、认 知的特例。
所学的命题与原有认知结构中的命题的关
系是下位关系，那么关于这种命题的学习 叫下位学习。
注意事项：
1）新知识与原认知存在下位关系 2）“推论”学习是典型的下位学习 2014-11-15
“扇形”就像“扇子”那样的图形？ ——日常概念 ——不是扇形的“数学概念”！
扇形的定义：两条半径和圆周的一部分围成的封闭图 形 由于认知水平有限,儿童不可能获得这个精确概念 只能从大量扇形的正例和反例中归纳出共同属性：
学生的判别过程,就 是不断舍弃非本质属 性、从而发现本质属 性的过程。
概念形成的心理过程:
2014-11-15
24
3.注意概念的对比和直观化
4）较抽象的概念——借助图形将概念具体化、形象化 如何使学生弄清楚函数的“最值”与“极 值”？ D
B y
C O x
A
2014-11-15 25
4.注意概念体系的建立
新概念是在原有概念的基础上形成的，或是原有概念 的限制、延伸、扩充。 新旧概念的内在联系：相邻关系、对立关系、矛盾关 系、交差关系、从属关系、并列关系等。

例如：学习函数概念：
先是按表达式找若干个自变量的值去计算对 应的因变量的值，后来再把它变为一个以定 义域、值域、对应关系三要素构成的对象。
四、数学概念学习的方法
观点一
（1）概念的形成 （2）概念的同化
1.概念的形成： 指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物 的共同本质属性的过程。这是一种发现学习法。 学生如何通过概念的形成方式来获得“扇形”概念？
观点二： APOS理论
杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进
行心理建构的，这一建构过程要经历4个 阶段（以函数概念为例）： 第一阶段—操作（Action）阶段。 第二阶段—过程（Process）阶段。 第三阶段—对象（Object）阶段。 第四阶段—图式（Scheme）阶段。
第一阶段—操作（Action）阶段。理解函
1 1 2 2 1.414 0.71 2 2 2 2 2
2014-11-15
再提出(总结)分母有理化这个概念的意义。
30
第三讲 数学命题学习
2014-11-15
31
小组合作
你能够想到的数学命题有哪些?
回忆你当时学习它的时候所经历的一些过
程,并用自己的话概括出学习命题的几个阶 段.
2 a a2 | a | 与（ a）
2014-11-15
23
3.注意概念的对比和直观化
3）教材一般从正面阐述概念——注意引导学生从正 反两方面认识概念 定义域和值域相同的两个函数相同？ 反例： f ( x ) ( x 1)2 与g( x) ( x 1)2 , x {1,0,1}
命题的形成
学习方式是发现式
——发现三角和内角和定理的教学过程
2014-11-15 37
（2）命题证明

命题证明是下位学习形式，即要利用已学过的命题 来推证当前命题。
在命题的证明过程中，学习者要以已获得的原有若 干命题为逻辑依据。 命题的证明要求规范、严谨、清晰。 在具体的教学中，命题证明这一过程的学习主要在 教师引导下完成的，提供给学习者的主要是智能信 息。
等于 a；在数轴上它可能是原
点也可能在原点的右边
；
三、数学概念的二重性

概念既表现为一种过程性操作，又表现为对象、 结构，概念往往兼有这样的二重性。二者有着紧 密的依赖关系。 学习一个概念，往往要经历由过程开始，然后转 变为对象的认知过程，而最终结果是二者在认知 结构中共存，在适当的时候分别发挥作用。
概念的同化：
在数学中,大多数概念的定义方式：属概念(在概念的 从属关系中,外延大的概念称为属概念)+种差(即关键属 性 )。 譬如“梯形”及其学习方式？
"一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形" 属概念：四边形； 种差：一组对边平行而另一组对边不平行
梯形概念同化学习包括： 先分类(四边形)；分类依据为种差； 再借助丰富的例证,使学习者明确梯形概念的内涵外延。
第二讲 数学概念学习
我们是如何教会小孩子认识数字的？
数学概念怎么样在我们的头脑中形成？ 数学概念的掌握需要经历一些什么样的过程？
一、数学概念的本质
数学概念是反映客观事物数量关系或空间形式方 面的本质属性的思维形式，是人们通过实践,从数 学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质 属性概括而成的。 数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据。 数学概念学习是数学学习的基础，数学概念的教 学是数学教学最重要的组成部分。
2014-11-15 38


（3）命题应用
包括两方面 一是数学命题在解决数学问题中的应用
二是数学命题在解决实际问题中的应用
2014-11-15
39
2014-11-15
40
如何展开“分母有理化”概念这个课题？
2014-11-15
28
如何展开“分母有理化”概念这个课题？
设计一： 先让学生阅读“分母有理化”这个概念的意义 “把分母含有根号的式子化为等值的而且分母不含根 号的的式子”，并举例：
1 1 2 2 , 2 2 2 2
最后指出其中的 2为有理化因子。
2014-11-15
注意事项： 1）新知识与原认知的关系是并列关系 2）并列学习要比上、下位学习困难
2014-11-15
35
2、命题学习的过程
（1）命题获得 （2）命题证明
（3）命题应用2014-11Fra bibliotek1536
（1）命题获得
数学命题获得通常采用两种方式：
学习方式是接受式
同化形式
——有理数乘法法则教学
数需要进行活动或操作。
例如，在有现实背景的问题中建立函数关
系y = x2，需要用具体的数字构造对应：2 →4；3 →9；4 →16……通过操作，理解 函数的意义。
第二阶段—过程（Process）阶段。
把上述操作活动综合成函数过程。

一般地有x →x2；其它各种函数也可以概 括为一般的对应过程：x → f（x）。
29
1 先让学生计算 设计二： 2
1 1 解： 0.707 0.71 2 0.1414 学生完成后，提出以下问题让学生思考: 有无更简便的方法？(以上计算复杂的原因是什么？) 有没有办法把分母变成整数，又使式子的值不变？ 使分式的值不变，分式的基本性质是什么？ 分子分母同乘以一个什么数，才使分母变成整数且 分式的值不变？
的值，都有唯一确定的比值与之对应，所以这个“比”
3.注意概念的对比和直观化
1）平行相关的概念——用类比 譬如？ 分数与分式； 数列极限与函数极限； 平面几何与立体几何； 椭圆、双曲线、抛物线；
2014-11-15
22
3.注意概念的对比和直观化
2）形式相似、差别较小的概念——比较其内涵和外延 譬如： “任一直线和平面所称的角”VS“任一斜线和平 面所成的角”。都是角，但范围有差别； “不等式的解”较难理解，可将它和“方程的解” 进行比较； 区别或联系？
二、数学概念学习的本质
数学概念学习的本质：概括出数学中一类事物对象 的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非 本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。 数学概念学习包括4个方面：概念的名称、概念的定 义、概念的例子(正反例子)、概念的属性。 概念教学的本质：使学生在脑中形成概念表象，帮 助学生在脑中建构起良好的概念图式。 良好的图式是由一系列反应概念的本质属性的观念 组成。譬如： a是一个数；它不会是负 数；它的平方
辨别分析 比较 正例 类化
找出共 同属性
抽象 检验
确认本 质属性
概括
形成 概念
2.概念的同化——学生获得概念的主要形式
指学习者利用原有的认知结构中的观念来理解、 接纳新的概念的过程。概念同化不仅使新概念获得了 意义，而且扩大和深化了原有的认知结构。
概念同化的心理过程:
阅读 定义 以旧观念来明确 定义的内涵外延 区分和联系 新旧概念
18


2014-11-15
六、数学概念教学的5个注意
1.加强对数学概念的解剖分析
数学概念特点：用数学符号表达；用词严密精炼； 寓意深刻；高度概括等等。 注意：抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示 每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻 理解。 如何剖析“正弦函数”的概念？
2014-11-15
33
（2）上位学习（归总学习）
所学新知识是原有知识的综合，一般化的
学习。
注意事项：
1）新知识与原认知存在上位关系
2）上位学习比下位学习困难
2014-11-15
34
（3）并列学习：新命题与原有认知结构
中的知识不是上、下位学习，而与原有知 识有一定关系的学习，互不包含，互不归 属。
学习一章后，应引导学生将所学的概念加以整理、归 纳，理清概念之间的关系，并将这些概念联点串线， 建立成概念的网络体系，从而建构良好的认知结构。
2014-11-15
26
5.注意概念产生的背景
让学生知道为什么要学这个内容，由“知其 然”发展到“知其所以然”，能帮助学生透彻 理解并掌握所学的数学概念。
思考
你还能够用APOS理论解释其他的数学概
念学习吗？
你在哪些概念的学习中是“概念同化”在
哪些概念的学习中是“概念的形成”？
5．概念教学的基本环节

典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合