数学概念与命题教学

思考
你还能够用APOS理论解释其他的数学概
念学习吗？
你在哪些概念的学习中是“概念同化”在
哪些概念的学习中是“概念的形成”？
5．概念教学的基本环节

典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合


概括共同本质特征得到概念的本质属性；
下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析 关键词的含义； 用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的 具体步骤； 概念的“精致”——建立与相关概念的联系。
1 1 2 2 1.414 0.71 2 2 2 2 2
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再提出(总结)分母有理化这个概念的意义。
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第三讲 数学命题学习
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小组合作
你能够想到的数学命题有哪些?
回忆你当时学习它的时候所经历的一些过
程,并用自己的话概括出学习命题的几个阶 段.
数需要进行活动或操作。
例如，在有现实背景的问题中建立函数关
系y = x2，需要用具体的数字构造对应：2 →4；3 →9；4 →16……通过操作，理解 函数的意义。
第二阶段—过程（Process）阶段。
把上述操作活动综合成函数过程。

一般地有x →x2；其它各种函数也可以概 括为一般的对应过程：x → f（x）。
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（3）命题应用
包括两方面 一是数学命题在解决数学问题中的应用
二是数学命题在解决实际问题中的应用
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2 a a2 | a | 与（ a）
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3.注意概念的对比和直观化
3）教材一般从正面阐述概念——注意引导学生从正 反两方面认识概念 定义域和值域相同的两个函数相同？ 反例： f ( x ) ( x 1)2 与g( x) ( x 1)2 , x {1,0,1}
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如何剖析“正弦函数”的概念？ 正弦函数值实质上是一个“比”的数值；
在角α的终边上任意取一点P(x,y)，那么这个“比”
就是 y ，其中 r x 2 y 2
r
这个“比”的值随α的值确定而确定(三角形相似)；
还要紧扣住函数这一基本概念：对于α的每一个确定
就是α的函数。
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等于 a；在数轴上它可能是原
点也可能在原点的右边
；
三、数学概念的二重性

概念既表现为一种过程性操作，又表现为对象、 结构，概念往往兼有这样的二重性。二者有着紧 密的依赖关系。 学习一个概念，往往要经历由过程开始，然后转 变为对象的认知过程，而最终结果是二者在认知 结构中共存，在适当的时候分别发挥作用。
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1 先让学生计算 设计二： 2
1 1 解： 0.707 0.71 2 0.1414 学生完成后，提出以下问题让学生思考: 有无更简便的方法？(以上计算复杂的原因是什么？) 有没有办法把分母变成整数，又使式子的值不变？ 使分式的值不变，分式的基本性质是什么？ 分子分母同乘以一个什么数，才使分母变成整数且 分式的值不变？
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3.注意概念的对比和直观化
4）较抽象的概念——借助图形将概念具体化、形象化 如何使学生弄清楚函数的“最值”与“极 值”？ D
B y
C O x
A
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4.注意概念体系的建立
新概念是在原有概念的基础上形成的，或是原有概念 的限制、延伸、扩充。 新旧概念的内在联系：相邻关系、对立关系、矛盾关 系、交差关系、从属关系、并列关系等。
辨别分析 比较 正例 类化
找出共 同属性
抽象 检验
确认本 质属性
概括
形成 概念
2.概念的同化——学生获得概念的主要形式
指学习者利用原有的认知结构中的观念来理解、 接纳新的概念的过程。概念同化不仅使新概念获得了 意义，而且扩大和深化了原有的认知结构。
概念同化的心理过程:
阅读 定义 以旧观念来明确 定义的内涵外延 区分和联系 新旧概念
观点二： APOS理论
杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进
行心理建构的，这一建构过程要经历4个 阶段（以函数概念为例）： 第一阶段—操作（Action）阶段。 第二阶段—过程（Process）阶段。 第三阶段—对象（Object）阶段。 第四阶段—图式（Scheme）阶段。
第一阶段—操作（Action）阶段。理解函
的值，都有唯一确定的比值与之对应，所以这个“比”
3.注意概念的对比和直观化
1）平行相关的概念——用类比 譬如？ 分数与分式； 数列极限与函数极限； 平面几何与立体几何； 椭圆、双曲线、抛物线；
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3.注意概念的对比和直观化
2）形式相似、差别较小的概念——比较其内涵和外延 譬如： “任一直线和平面所称的角”VS“任一斜线和平 面所成的角”。都是角，但范围有差别； “不等式的解”较难理解，可将它和“方程的解” 进行比较； 区别或联系？
第二讲 数学概念学习
我们是如何教会小孩子认识数字的？
数学概念怎么样在我们的头脑中形成？ 数学概念的掌握需要经历一些什么样的过程？
一、数学概念的本质
数学概念是反映客观事物数量关系或空间形式方 面的本质属性的思维形式，是人们通过实践,从数 学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质 属性概括而成的。 数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据。 数学概念学习是数学学习的基础，数学概念的教 学是数学教学最重要的组成部分。
“扇形”就像“扇子”那样的图形？ ——日常概念 ——不是扇形的“数学概念”！
扇形的定义：两条半径和圆周的一部分围成的封闭图 形 由于认知水平有限,儿童不可能获得这个精确概念 只能从大量扇形的正例和反例中归纳出共同属性：
学生的判别过程,就 是不断舍弃非本质属 性、从而发现本质属 性的过程。
概念形成的心理过程:
概念的同化：
在数学中,大多数概念的定义方式：属概念(在概念的 从属关系中,外延大的概念称为属概念)+种差(即关键属 性 )。 譬如“梯形”及其学习方式？
"一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形" 属概念：四边形； 种差：一组对边平行而另一组对边不平行
梯形概念同化学习包括： 先分类(四边形)；分类依据为种差； 再借助丰富的例证,使学习者明确梯形概念的内涵外延。
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1、命题学习的分类
（1）下位学习（归属学习） 下位关系：学习的新命题是原有知识、认 知的特例。
所学的命题与原有认知结构中的命题的关
系是下位关系，那么关于这种命题的学习 叫下位学习。
注意事项：
1）新知识与原认知存在下位关系 2）“推论”学习是典型的下位学习 2014-11-15
二、数学概念学习的本质
数学概念学习的本质：概括出数学中一类事物对象 的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非 本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。 数学概念学习包括4个方面：概念的名称、概念的定 义、概念的例子(正反例子)、概念的属性。 概念教学的本质：使学生在脑中形成概念表象，帮 助学生在脑中建构起良好的概念图式。 良好的图式是由一系列反应概念的本质属性的观念 组成。譬如： a是一个数；它不会是负 数；它的平方

例如：学习函数概念：
先是按表达式找若干个自变量的值去计算对 应的因变量的值，后来再把它变为一个以定 义域、值域、对应关系三要素构成的对象。
四、数学概念学习的方法
观点一
（1）概念的形成 （2）概念的同化
1.概念的形成： 指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物 的共同本质属性的过程。这是一种发现学习法。 学生如何通过概念的形成方式来获得“扇形”概念？
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六、数学概念教学的5个注意
1.加强对数学概念的解剖分析
数学概念特点：用数学符号表达；用词严密精炼； 寓意深刻；高度概括等等。 注意：抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示 每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻 理解。 如何剖析“正弦函数”的概念？
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注意事项： 1）新知识与原认知的关系是并列关系 2）并列学习要比上、下位学习困难
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2、命题学习的过程
（1）命题获得 （2）命题证明
（3）命题应用
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（1）命题获得
数学命题获得通常采用两种方式：
学习方式是接受式
同化形式
——有理数乘法法则教学
如何展开“分母有理化”概念这个课题？
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如何展开“分母有理化”概念这个课题？
设计一： 先让学生阅读“分母有理化”这个概念的意义 “把分母含有根号的式子化为等值的而且分母不含根 号的的式子”，并举例：
1 1 2 2 , 2 2 2 2
最后指出其中的 2为有理化因子。
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第三阶段—对象（Object）阶段。 然后可以把函数过程上升为一个独立的对
象来处理。
比如，函数的加减乘除、复合运算等。
第四阶段—图式（Scheme）阶段。
此时的函数概念以一种综合的心理图式而
存在于脑海中，在数学知识体系中占有特 定的地位，这一心理图式含有具体的函数 实例、抽象过程、完整的定义，乃至和其 它概念的区别和联系（方程、曲线、图像 等等）。
命题的形成
学习方式是发现式
——发现三角和内角和定理的教学过程
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（2）命题证明

命题证明是下位学习形式，即要利用已学过的命题 来推证当前命题。
在命题的证明过程中，学习者要以已获得的原有若 干命题为逻辑依据。 命题的证明要求规范、严谨、清晰。 在具体的教学中，命题证明这一过程的学习主要在 教师引导下完成的，提供给学习者的主要是智能信 息。
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（2）上位学习（归总学习）
所学新知识是原有知识的综合，一般化的
学习。
注意事项：
1）新知识与原认知存在上位关系
2）上位学习比下位学习困难
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（3）并列学习：新命题与原有认知结构
中的知识不是上、下位学习，而与原有知 识有一定关系的学习，互不包含，互不归 属。
学习一章后，应引导学生将所学的概念加以整理、归 纳，理清概念之间的关系，并将这些概念联点串线， 建立成概念的网络体系，从而建构良好的认知结构。
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5.注意概念产生的背景
让学生知道为什么要学这个内容，由“知其 然”发展到“知其所以然”，能帮助学生透彻 理解并掌握所学的数学概念。