待定系数法求双曲线的标准方程
双曲线及其标准方程2
页蔺爸盪愛闵适為退第二篠时目标1 •进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是待定系数法、定义法；2.能运用双曲线的定义及标准方程解决实际问题.复习1・双曲线的定义及其注意点;2 •双曲线的标准方程及a,b,c间的关系;3 •椭圆与双曲线的比较.双曲线定义及标准方程双曲线与椭圆之间的区别与联系例题1・已知双曲线的焦点在y轴上，并且两点Pi (3, -4^2 )、P2(9/4 ,5)在双曲线上，求双曲线的标准方程。
变题：若去掉焦点在y轴上的条件，如何?结论1 •用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤:(1)定位(确定焦点所在位置)⑵定型(求a,b,c的值)2 •已知双曲线过两点，而又不能确定其焦点位置时,可不讨论而设方程为Ax2・By2=l(AB>0), 避免讨论.2•已知B(・5,0)，C(5,0)是AABC的两个顶点，且sinB・sinC=(3/5)sinA，求顶点A的轨迹方程.变题1•已知动圆与定圆C1:(x+5)2+y2=49,C2: (x-5)2+y2=l都外切，求动圆圆心的轨迹方程.兀2什么时候是另外一支呢？2变题2•双曲线石-y o是其两焦点，求AP FR的重心M的轨迹方程.3 •—炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s,(1)爆炸点应在什么样的曲线上？⑵已知A,B两地相距800m拼且此时声速为340m/s,求.小结1•用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:⑴定位:确定焦点位置，若不能确定，应类讨论分定型:求a，b,c的值.(2)若过两点,无法判断焦点位置的设法.2 •用定义法求双曲线标准方程的思考何时为双曲线一支,何时为双曲线两支?1・卩96练习4中的(・4/9)改为(4/9),求顶点C 的 轨迹方程.2・片08习题4・(注意通径的长)2 23•已知双曲线二-£ = 1的左、右焦点分别DZFjMF^O,求 AF1MF2 的面积. 作业为F ］、F2,点M 为双曲 线上任意一点，并且。
课件12：2.2.1 双曲线及其标准方程
2
2
−
2
=1(a>0，b>0)，
2
又双曲线经过点(0，2)与( 5，2 2)，
22 02
a 2 - b 2 = 1，
所以
2
5
2 2
2
b2
a
2
a 2 = 4，
所以 2
b = 5，
= 1，
2
所以双曲线方程为
4
−
2
=1.
5
(2)因为焦点在x轴上，c= 6，
为Ax2+By2=1(AB<0)；
2
②与双曲线 2
−
2
=1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的
2
2
标准方程可设为 2
−λ
−
2
2 +λ
=1(-b2<λ<a2).
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
2.定义法求双曲线方程的步骤
(1)列出动点满足的条件.
−1<0
【答案】C
2
3.已知双曲线
9
−
2
=1上一点P到双曲线的一个焦点的
16
距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________.
【解析】设双曲线的两个焦点为F1，F2，
|PF1|=3，所以P在靠近F1的一支上.
因为|PF2|=|PF1|+2a=3+6=9.
所以P到另一个焦点的距离为9.
【答案】9
所以点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，即M的
2
利用待定系数法求双曲线的标准方程
1利用待定系数法求双曲线的标准方程待定系数法是求双曲线的标准方程的一种常用的方法，也是最重要的方法。
利用待定系数法求双曲线方程一般有以下四种情况：1．如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，则双曲线方程可设为12222=-by ax （0>a ，0>b ）例1：求与双曲线12222=-ny mx 有相同的焦点且过点)1,2(P 的双曲线方程。
解：∵所求双曲线与双曲线12222=-ny mx 有相同的焦点，∴设所求的双曲线方程为12222=-by ax（0>a ，0>b ），由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-241142222b a b a ，解得322==b a ，∴所求的双曲线方程为13322=-yx。
2．如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，则双曲线方程可设为12222=-bx ay （0>a ，0>b ）例2：已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点（24,3-），（5,49），求双曲线的标准方程。
解：∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为12222=-bx ay ，（0>a ，0>b ）∵双曲线过点（24,3-），（5,49），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-116812519322222b aba ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==91622b a∴所求的双曲线方程为191622=-xy。
23．如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程可设为122=-nymx（m ，n 同号）例3：求中心在原点、两对称轴都在坐标轴上，并且经过)415,3(P 和)5,316(Q 两点的双曲线方程。
解：设双曲线的方程为122=-n y m x ，∵点Q P ,在双曲线上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12592561162259n mnm ， 解得⎩⎨⎧-=-=916n m ，∴所求双曲线方程为191622=+-y x 。
4．如果已知双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，则可把双曲线的方程设为λ=-2222by ax（0≠λ）例4：已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线的方程。
双曲线及其标准方程
双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。
新课预习讲义选修2-1第二章双曲线(1)双曲线及其标准方程(教师版)
新课预习讲义选修2－1：第二章§双曲线（一）§2.双曲线及其标准方程●学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2.掌握双曲线的标准方程．3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点：1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点．2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点1. 难点是双曲线的标准方程的推导．2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.一、自学导航●知识回顾：复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？复习3：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =●预习教材：第52页——第55页的内容。
●自主梳理：_____________________________●预习检测：1．点F 1，F 2是两个定点，动点P 满足||PF 1|－|PF 2||＝2a (a 为非负常数)，则动点P 的轨迹是( ) A ．两条射线 B ．一条直线 C ．双曲线 D ．前三种情况都有可能 答案： D2．已知方程x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ．－4<k <4B ．k >0C ．k ≥0D ．k >4或k <－4解析： ∵x 24＋k －y 24－k ＝1表示双曲线，∴(4＋k )(4－k )>0，∴(k ＋4)(k －4)<0，∴－4<k <4. 答案： A3．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．解析： 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2.解得a ＝1.答案： 14．求与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．解析： ∵所求双曲线与x 216－y 24＝1有相同的焦点，∴双曲线的焦点为(±25，0)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 220－a 2＝1.∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12. ∴所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.●问题与困惑：二、互动探究●问题探究：探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a 、b 、c 之间的关系有何不同？探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？●基础知识归纳： 1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．反思（1）：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ．反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？2．双曲线的标准方程 小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别：1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定2. a 、b 、c 之间的关系：椭圆是222b a c -=，双曲线是222b a c +=（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有a c <；双曲线焦点在顶点之外，所有a c >）●典例导析：题型一、求双曲线的标准方程例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． [思路点拨]1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a 、b 的值（注意应用222b a c +=）；由定位条件确定焦点所在的位置.2.常用待定系数法.[解题过程] (1)方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由于双曲线过点A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－(－3)2b 2＝1，(－3)2a 2－⎝⎛⎭⎫522b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求双曲线标准方程是x 24－y 2＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．则⎩⎨⎧3a 2－16b 2＝1，54a 2－9b 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，b 2＝－4.不合题意，舍去．综上所述，双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.方法二：设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1，由双曲线经过A (4，－3)，B ⎝⎛⎭⎫－3，52 可得⎩⎪⎨⎪⎧ 16m －3n ＝1，9m －54n ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1. ∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1∵c ＝6，∴6＝a 2＋b 2①又∵双曲线经过点(－5,2)，∴(－5)2a 2－4b2＝1②由①②得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5b 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝30b 2＝－24(舍)∴双曲线方程为x 25－y 21＝1.[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：变式训练：1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上．(2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．(3)焦点分别为F 1(－10,0)、F 2(10,0)，且经过点(35，－4)． (4)焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5.解析： (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(3)由题设知双曲线的焦点在x 轴上，且c x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．从而将双曲线的标准方程化为x 2100－b 2－y 2b 2＝1，将点(35，－4)代入并化简整理，得b 4－39b 2－1 600＝0，解得b 2＝64或b 2＝－25(舍去)， 故所求双曲线的标准方程为x 236－y 264＝1.(4)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9∴双曲线的方程为y 216－x 29＝1.题型二、双曲线定义的应用例2－1、已知定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)，动点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝4时，点M 的轨迹为( )A ．双曲线和一条直线B ．双曲线的一支和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支和一条射线 [解题过程] 由已知，|F 1F 2|＝8.当a ＝3时，|MF 1|－|MF 2|＝6<|F 1F 2|，故点M 的轨迹是双曲线的一支 当a ＝4时，|MF 1|－|MF 2|＝8＝|F 1F 2|，故点M 的轨迹是一条射线F 1F 2 答案： D[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？(1)由已知条件，判断2a 与|F 1F 2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF 1|－|MF 2|＝2a 有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征． 变式训练：2－1.已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为 A ．y ＝0 B ．y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C ．x ＝0(|y |≥13) D ．以上都不对答案： C 例2－2、若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [思路点拨][规范作答] 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.[题后感悟]在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用． 变式训练：2－2.设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积．解析： 在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，∴a ＝2，c ＝ 5.由于点P 在双曲线上，所以|PF 1|－|PF 2|＝±4.① ∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.② ②－①2得，2|PF 1|·|PF 2|＝4，∴|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴△F 1PF 2的面积是S ＝12|PF 1||PF 2|＝1.（想一想：若改为“∠F 1PF 2＝60°”呢？） 题型三、求与双曲线相关的轨迹方程例3、求与两个定圆C 1：x 2＋y 2＋10x －24＝0和C 2：x 2＋y 2－10x ＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程． [思路点拨][解题过程] ⊙C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49⇒C 1(－5,0)，r 1＝7， ⊙C 2：(x －5)2＋y 2＝1⇒C 2(5,0)，r 2＝1， 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，(1)如图①，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都外切时，有|MC 1|＝r1＋R ，|MC 2|＝r 2＋R ， 则|MC 1|－|MC 2|＝r 1－r 2＝6.(2)如图②，当⊙M 与⊙C 1、⊙C 2都内切时，有|MC 1|＝R －r 1，|MC 2|＝R －r 2.，则|MC 1|－|MC 2|＝r 2－r 1＝－6.在(1)(2)两种情况下，点M 与两定点C 1、C 2的距离的差的绝对值是6，由双曲线的定义，点M 的轨迹是以C 1(－5,0)，C 2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线，c ＝5，a ＝3⇒b ＝c 2－a 2＝52－32＝4，方程为：x 29－y 216＝1.[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a ，b 时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简． (2)由于动点M 到两定点C 2，C 1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线． 变式训练：4．如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足 2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解析： 如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴， 建立直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴b －a ＝c 2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2C的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． [疑难解读]1．双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a ＜|F 1F 2|不可缺少．若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线； 若2a ＞|F 1F 2|，则动点的轨迹不存在．(2)注意定义中的常数2a 是小于|F 1F 2|且大于0的实数．若a ＝0，则动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线． (3)注意定义中的关键词“绝对值”. 若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．2．待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b 代入所设方程即为所求．[误区警示]◎设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．（上海高考试题）【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF 1|－|PF 2|＝8，即9－|PF 2|＝8，得|PF 2|＝1.【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a ，到一个焦点的距离是c －a ，到另一个焦点的距离是a ＋c ，本题是2或10，|PF 2|＝1小于2，不合题意． 【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得 ||PF 1|－|PF 2||＝8， 所以|9－|PF 2||＝8， 所以|PF 2|＝1或17.因为|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时， |PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去． 所以|PF 2|＝17.三、巩固拓展●必做：教材第61页，习题2.3 A 组 第1、2题，B 组第2题 ●补充作业：一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0) 解析： 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1，所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62， ∴右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0.故选C. 答案： C2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析： 方程可变为x 2n m －y 2n m ＝1，又m ·n <0，∴又可变为y 2－n m －x 2－nm ＝1.∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 答案： D 3．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24 解析： 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2， 又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12. 答案： B4．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A 、B 在双曲线右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一个焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m解析： 设△ABF 1的周长为C ，则C ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋|AF 2|＋|BF 2|＋|AB | ＝(|AF 1|－|AF 2|)＋(|BF 1|－|BF 2|)＋2|AB |＝2a ＋2a ＋2m ＝4a ＋2m .答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分)5. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析： ∵x 24－y 212＝1，∴当x ＝3时，y ＝±15. 又∵F 2(4,0)，∴|AF 2|＝1，|MA |＝15， ∴|MF 2|＝1＋15＝4.故填4. 答案： 46．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为________．解析： 双曲线的焦点为(5,0)和(－5,0) 由||PF 1|－|PF 2||＝8. ∴||PF 1|－15|＝8，∴|PF 1|＝23或|PF 1|＝7. 答案： 7或23三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点A (42，3)，且a ＝4； (2)经过点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)．解析： (1)若所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1，又点A (42，3)在双曲线上， ∴3216－9b 2＝1. 解得b 2＝9，则x 216－y 29＝1， 若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同上，解得b 2<0，不合题意，∴双曲线的方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵点A ⎝⎛⎭⎫2，233、B (3，－22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋43n ＝1，9m ＋8n ＝1.解之得⎩⎨⎧m ＝13，n ＝－14.∴所求双曲线的方程为x 23－y 24＝1.8．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型． 解析： (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0<k <1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k ＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．尖子生题库☆☆☆9．(10分)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)满足如下条件：(1)ab ＝3；(2)过右焦点F 的直线l 的斜率为212，交y 轴于点P ，线段PF 交双曲线于点Q ，且|PQ |∶|QF |＝2∶1， 求双曲线的方程．解析： 设右焦点F (c,0)，点Q (x ，y )，设直线l ：y ＝212(x －c )， 令x ＝0，得p ⎝⎛⎭⎫0，－212c ，则有 P Q →＝2Q F →， 所以⎝⎛⎭⎫x ，y ＋212c ＝2(c －x ，－y ) ∴x ＝2(c －x )且y ＋212c ＝－2y ，资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除----完整版学习资料分享---- 解得：x ＝23c ，y ＝－216c . 即Q ⎝⎛⎭⎫23c ，－216c ，且在双曲线上， ∴b 2⎝⎛⎭⎫23c 2－a 2⎝⎛⎭⎫－216c 2＝a 2b 2， 又∵a 2＋b 2＝c 2， ∴49⎝⎛⎭⎫1＋b 2a 2－712⎝⎛⎭⎫a 2b 2＋1＝1， 解得b 2a 2＝3，又由ab ＝3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3. ∴所求双曲线方程为x 2－y 23＝1.。
高中数学第2章2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．3.1 双曲线的标准方程[对应学生用书P25]在平面直角坐标系中A (－3,0)，B (3,0)，C (0，－3)，D (0，3)．问题1：若动点M 满足|MA －MB |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：x 24－y 25＝1.问题2：若动点M 满足|MC －MD |＝4，设M 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足什么关系？ 提示：y 24－x 25＝1.双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 21．双曲线的标准方程与椭圆不同，左边是含x ，y 项的平方差，右边是1. 2．在双曲线中，a >0且b >0，但a 与b 的大小关系不确定． 3．在双曲线中a 、b 、c 满足c 2＝a 2＋b 2，与椭圆不同．[对应学生用书P26]用待定系数法求双曲线方程[例1] 已知双曲线过点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点，求双曲线的标准方程． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 、c 的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式，将两点代入，简化运算过程．[精解详析] 法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上． ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(－3)2b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1532a 2－(2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1，1b 2＝13，即a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2a 2－(－2)2b2＝1，(2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1532b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－13，1b 2＝－1，(不符合题意，舍去)．综上：所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.法二：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， 因为双曲线过两点P (－2，－3)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫153，2，得⎩⎪⎨⎪⎧m (－2)2＋n (－3)2＝1，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1532＋n (2)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－13，所以所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. [一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：1．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)，求双曲线的方程；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1. 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝4，c ＝5，焦点在y 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解：(1)由题设知，a ＝4，c ＝5， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因为双曲线的焦点在y 轴上，所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.曲线方程的讨论[例2] 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 由双曲线的焦点在y 轴上，得关于m 的不等式组，进而解不等式组求m 的范围．[精解详析] 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m <0，m 2－2m －3>0.解得m >5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．[一点通] 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn <0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．3．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充要条件是(9－k )·(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4. 因为k ＞9是k ＞9或k ＜4的充分不必要条件．即k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：充分不必要 4．若方程x 22－m＋y 2|m |－3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________；若该方程表示双曲线，则m 的取值范围是________．解析：①若表示焦点在x 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0|m |－3<0⇒－3<m <2.②若该方程表示双曲线，则 (2－m )(|m |－3)<0. 解得－3<m <2或m >3.答案：(－3,2) (－3,2)∪(3，＋∞)双曲线的定义及其标准方程的应用[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] 本题是有关双曲线的焦点三角形问题，解答本题的关键是求得∠F 1PF 2的大小．由余弦定理，根据已知条件，结合双曲线的定义即可求得结果．[精解详析] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 2－PF 1|＝2a ＝6，将此式两边平方，得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36， ∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002PF 1·PF 2＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝12×32＝16.[一点通] 在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要考虑定义|PF 1－PF 2|＝2a ，其次要利用余弦定理(或勾股定理)建立关于PF 1、PF 2、F 1F 2的方程，解方程组可求得PF 1、PF 2或PF 1·PF 2，再解决相关问题．5．已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN －MO ＝________.解析：如图，设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以MO ＝12PF ′，又FN ＝OF 2－ON 2＝5，由双曲线的定义知PF －PF ′＝8，故MN －MO ＝－12PF ′＋MF －FN ＝12(PF－PF ′)－FN ＝12×8－5＝－1.答案：－16．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴F 1(－5,0)，半径r 1＝1；F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3＜F 1F 2＝10.∴动圆圆心M 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支， 且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝25－94＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．1．用定义法求双曲线的标准方程时，要注意是一支还是两支．2．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．[对应课时跟踪训练(十)]1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为________．解析：设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，不妨设PF 1＝11，根据双曲线的定义知|PF 1－PF 2|＝2a ＝10，∴PF 2＝1或PF 2＝21，而F 1F 2＝14，∴当PF 2＝1时，1＋11<14(舍去)，∴PF 2＝21.答案：212．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则由S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×PF 2×r ＝12×PF 1×r －12λ×F 1F 2×r ⇒PF 1－PF 2＝λF 1F 2，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：453．若方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1(k ∈R )表示双曲线，则k 的范围是________．解析：依题意可知：(k －3)(k ＋3)<0，求得－3<k <3. 答案：－3<k <34．已知椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则实数a ＝________.解析：由双曲线x 2a －y 22＝1可知a >0，且焦点在x 轴上，根据题意知4－a 2＝a ＋2，即a2＋a －2＝0，解得a ＝1或a ＝－2(舍去)．故实数a ＝1.答案：15．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2＝(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r|＝2，则该双曲线的方程是________．解析：∵1MF u u u u r ·2MF u u u u r ＝0，∴1MF u u u u r ⊥2MF u u u u r.∴|1MF u u u u r |2＋|2MF u u u u r |2＝40.∴(|1MF u u u u r |－|2MF u u u u r |)2＝|1MF u u u u r |2－2|1MF u u u u r |·|2MF u u u u r |＋|2MF u u u u r |2＝40－2×2＝36.∴||1MF u u u u r |－|2MF u u u u r||＝6＝2a ，a ＝3.又c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝16．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (5，94)；(2)过点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)．解：(1)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知，|PF 1－PF 2| ＝|(5＋5)2＋(94－0)2－(5－5)2＋(94－0)2|＝| (414)2－ (94)2| ＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9.故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，分别将点P 1(3，－4 2)，P 2(94，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋32B ＝1，8116A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝116，故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.7．设F 1，F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝120°.求△F 1PF 2的面积．解：由已知得a ＝2，b ＝1；c ＝ a 2＋b 2＝5， 由余弦定理得：F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 120°即(2 5)2＝(PF 1－PF 2)2＋3PF 1·PF 2 ∵|PF 1－PF 2|＝4.∴PF 1·PF 2＝43.∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin 120°＝12×43×32＝33. 8. 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝4 2，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解： 以AB 边所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．则A (－2 2，0)，B (2 2，0)．设边BC 、AC 、AB 的长分别为a 、b 、c ，由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝2 2<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．∵a ＝2，c ＝2 2，∴b 2＝6.∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．。
2.2.1 双曲线的标准方程
焦点：定点F1、F2 焦距： |F1F2|=2c
注意： ①. | |MF1|-|MF2| | = 2a
2a < |F1F2 |
双曲线
2a= |F1F2 |
两条射线
2a> |F1F2 |
无轨迹
②. M在右支上
|MF1|-|MF2| =2a
M在左支上
|MF1|-|MF2|= - 2a
方程的推导
求曲线方程的步骤：
(2) 已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5),双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程.
例3 求经 过两点(3,4
2),(9 ,5)的双 4
曲线的标准方程.
小结:待定系数法
1
设
x a
2 2
y2 b2
1
或
y2 a2
x2 b2
1
2设 x2 y2 1，可避免讨论
秒，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：
假设爆炸点为P，爆炸点距A地比B
P
地远；
PA PB 2340
A
B
爆炸点P的轨迹是靠近B处的双曲线的一支。
作业：《小黄》
yM
M
MF1 MF2 2a
O
F2
F1
F2
x
F1
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
焦点 F c,0 在x轴上
c2 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
焦点 F 0,c 在y轴上
双曲线的标准方程(2)(精)
双曲线的标准方程(2)1应用双曲线的定义求方程;2应用待定系数法求双曲线的标准方程;动圆O1过点B(2,0)且与圆A 相切,试 求圆O1的轨迹方程.点评:应用定义法求双曲线的方程,要 注意讨论相切有外切与内切两种情况. ⊿若一个动点P(x,y)到两个定点A(-2,0)、 B （2，0）的距离差的绝对值为定值m ， 且[0,4]m ∈，试求点P 的轨迹方程， 并说明轨迹是什么。
点评：本题也是考察分类讨论的思想 及双曲线的定义。
⊿已知双曲线的焦点在坐标轴上，中心 在坐标原点，且该双曲线上有两个定点129(3,(,5)4P P -,试求双曲线的 标准方程.点评：本题中并没有说明焦点在什么 轴上，要么讨论焦点位置而设两种形 式的标准方程后分别求解，要么用不 定轴的等价形式设方程,如221(0)m x n y m n ⋅-⋅=⋅>⊿2005年高考题已知双曲线2212y x -= 的焦点为F 1,F 2,点M 在双曲线上且 120MF MF →→⋅=,则点M 到x 轴的距离为______.点评：本题可应用定义求解，也可 应用《绿》P165的经验公式求解(此公式只适用于选择、填空题，因 为它不是课本上的定理)⊿应用题：课本P108题6在相距1400m 的A 、B 两哨所，听 到炮弹爆炸声的时间相差3s,且声速 是340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程。
点评：本题的条件与例题3的条件不一样，所求双曲线有两支，而课本P106例3所求曲线只有一支。
⊿练习⊿课本习题8.3题4点评，通过这一题，要适当引申， 得到一般式方程的通径长公式。
⊿《绿》P172题3设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的两个焦点，P 在双曲线 上，当⊿F 1PF 2的面积为1时，12____.PF PF →→⋅=点评：本题与上面倒数第二题的条件与结论是 逆转的，所用方法是一样的。
⊿若有时间请思考《绿》P172题6， 题9。
双曲线的标准方程
相距2000m的两个观察站A,B,听到远处传来的鞭炮
声，当时声速是330m/s,在A站听到鞭炮声的时间比
在B站听到时早4s，求鞭炮爆炸点所在曲线的方程
解:
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设爆炸点为P
|PA|－|PB |= 330*4=1320<|AB|=2000 所以点P在以A,B为焦点的双曲线的靠 近B处的那一支
F1
o
F2
注意
设2a = | |MF1 |－ |MF2 | |
M
(1) 当 |MF1 |－ |MF2 |=2a时,点M的轨迹 是 双曲线的右支; 当 |MF2 |－ |MF1|=2a时,点M的轨迹
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是 双曲线的左支．
(2)当2a = 2c时,点M的轨迹是 两条射线
mx ny 1(mn 0)
2 2
总结：求双曲线标准方程
（1）判断焦点位置，设出方程
（2）求出a,b,c(一)定义（二）待定系数 （3）列出标准方程 不知焦点在何位置时，设
mx ny 1(mn 0)
2 2
椭 定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
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双曲线及其标准方程
首 首 页 页 上 上 页 页 下 下 页 页 小 小 结 结 结 结 束 束
y
M
F1
o
F2
x
历城一中
赵恩芹
学习目标
教学目标: (1)掌握双曲线的定义,标准方程的推导和标准方程. (2)培养学生分析探索能力,渗透数形结合的思想.
3-2-1双曲线及其标准方程课件(人教版)
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
例 2 求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点 A1，4 310，且 a＝4； (2)经过点 A2，233，B(3，－2 2)； (3)求与双曲线x42－y22＝1 有相同焦点且过点 P(2，1)的双曲线 方程．
【解析】 (1)设所求双曲线标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)， 则将 a＝4 代入，得1x62－yb22＝1.
(2)若方程 x2sinθ＋y2＝sin2θ(θ∈R)表示焦点在 x 轴上的双曲 线，则 θ∈________________________．
【解析】 设过点 P 的两切线分别与圆切于 S，T，则|PM| －|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝4 －2＝2a，所以曲线为双曲线的右支且不能与 x 轴相交，a＝1，c ＝3，所以 b2＝8，故 P 点的轨迹方程为 x2－y82＝1(x>1)．
以大小分 a，b(如x42＋y92＝1 以正负分 a，b(如x42－y92＝1 中， 中，9>4，则 a2＝9，b2＝4) 4>0，－9<0，则 a2＝4，b2＝9)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2(a 最大)
c2＝a2＋b2(c 最大)
课时学案
题型一 双曲线的定义
第2章 2.6.1 双曲线的标准方程-【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修一讲义
2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程学习目标核心素养1．掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．(重点)3．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过对双曲线的定义，标准方程的学习，培养数学抽象素养．2．借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养．前面学习了椭圆及其几何性质，了解了椭圆形状与离心率e有关，在现实生活中还有一类曲线，与椭圆并称为“情侣曲线”，即双曲线，它的形状在现实中很常见．如发电厂的冷却塔的形状，上、下两头粗，中间细，截面图的形状就是本节要学习的双曲线，它的标准方程和性质又如何？人们不禁要问，为什么建成这样的双曲线型冷却塔，而不建成竖直的呢？这就需要我们学习与双曲线相关的内容．1．双曲线定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|．则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线．思考1：双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？[提示]若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P 的轨迹不存在．思考2：定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？[提示]此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．2．双曲线的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系式c2＝a2＋b2[提示]双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．思考4：如何确定双曲线标准方程的类型？[提示]焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a>0，b>0且a≠b．()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b．() [答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)×差的绝对值是常数，且0＜2a＜|F1F2|才是双曲线．(2)×当a＝b时，方程也表示双曲线，故该说法错误．(3)×在双曲线中a与b的大小关系不确定．2．双曲线x215－y2＝1的焦距为()A ．4B ．8C ．14D ．214B [a 2＝15，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8．]3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且|MF 1|＝3|MF 2|，则|MF 2|等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12B [双曲线中a 2＝16，a ＝4,2a ＝8，由双曲线定义知||MF 1|－|MF 2||＝8，又|MF 1|＝3|MF 2|， 所以3|MF 2|－|MF 2|＝8，解得|MF 2|＝4．]4．点P 到两定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹方程为 ．x 2－y 23＝1 [因为|F 1F 2|＝4＝2c ，所以c ＝2．又2a ＝2，a ＝1，故b 2＝c 2－a 2＝3，所以点P 的轨迹方程为x 2－y23＝1．]双曲线定义的应用[探究问题]1．双曲线定义中距离的差为什么要加绝对值？[提示] 不加绝对值，图象只为双曲线的一支，设F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上，若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上．2．若点M 在双曲线上，一定有||MF 1|－|MF 2||＝2a 吗？[提示] 一定．若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线，反之一定成立．【例1】 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32．试求△F 1PF 2的面积．[思路探究] 根据双曲线的定义及余弦定理求出∠F 1PF 2即可． [解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5． 由双曲线定义及P 是双曲线左支上的点得|PF 1|－|PF 2|＝－6，∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 又∵|PF 1|·|PF 2|＝32，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16．1．(变换条件)若本例中的标准方程不变，点P 是双曲线上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，求△PF 1F 2的面积．[解] 因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，不妨设点P 在右支上， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝100|PF 1→|－|PF 2→|＝2a ＝6，解得|PF 1→|·|PF 2→|＝32，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1→|·|PF 2→|＝16．2．(变换条件)若把本例条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”换成“|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5”，其他条件不变，试求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5， 由|PF 1|∶|PF 2|＝2∶5， 可设|PF 1|＝2k ，|PF 2|＝5k ． 由|PF 2|－|PF 1|＝6可得k ＝2， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝10， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝16＋100－1002×4×10＝15，∴sin ∠F 1PF 2＝265，S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×4×10×265＝86．双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.求双曲线的标准方程【例2】 (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)经过点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P 2(437，4)两点．[思路探究] 先设出双曲线的标准方程，再构造关于a 、b 的方程组求解． [解] (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一个焦点为(0,6)， 由双曲线定义2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8， ∴a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝20．所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1．(2)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． ∵P 1，P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3252b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4372a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－1161b 2＝－19，(不合题意舍去)当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)．将P1，P2的坐标代入上式得⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫3252a2－(－2)2b2＝1，42a2－⎝⎛⎭⎪⎫4372b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a2＝19，1b2＝116，即a2＝9，b2＝16．∴所求双曲线方程为y29－x216＝1．法二：∵双曲线的位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)∴⎩⎪⎨⎪⎧4m＋454n＝1，169×7m＋16n＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝－116，n＝19，∴所求双曲线的标准方程为y29－x216＝1．1．求双曲线标准方程的两个关注点2．待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能．(2)设方程：根据焦点位置，设其方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点位置不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b(m，n)代入所设方程即可得(求)标准方程．提醒：求标准方程时，一定要先区别焦点在哪个轴上，选取合适的形式．[跟进训练]1．根据条件求双曲线的标准方程．(1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，2)． [解] (1)∵双曲线的焦点在y 轴上，∴可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， ∵由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，∴解得a 2＝20，b 2＝16，∴所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1．(2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点坐标为(25，0)，(－25，0)．依题意，则所求双曲线焦点在x 轴上，可以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a 2＋b 2＝20．又∵双曲线过点(32，2)，∴18a 2－2b 2＝1． ∴a 2＝20－210，b 2＝210．∴所求双曲线的标准方程为x 220－210－y 2210＝1．与双曲线有关的轨迹问题【例3】 在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．[解] 因为△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，故设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ．则|MN|＝5k，由3k＋4k＋5k＝48得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20．以MN所在的直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，∴a＝2，a2＝4，由|MN|＝20得2c＝20，c＝10，所以b2＝c2－a2＝96．故所求双曲线方程为x24－y296＝1(x≠±2)．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．[跟进训练]2．如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4．设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|．∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，于是b2＝c2－a2＝914．∴动圆圆心M的轨迹方程为x294－y2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x≤－32．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [当方程表示双曲线时，一定有ab <0，反之，当ab <0时，若c ＝0，则方程不表示双曲线．]2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( ) A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1D [由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．]3．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)C [由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m ＝3，∴⎩⎨⎧m 2－4＞0，1－m ＞0，解得：m ＜－2．] 4．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为 ．x 24－y 2＝1 [设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ．(m ＞0，n ＞0)，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线的定义知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16＝4a 2，所以a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．]5．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ．因为动圆M 与圆C 1外切且与圆C 2内切， 所以|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1． 相减得|MC 1|－|MC 2|＝4． 又因为C 1(－3,0)，C 2(3,0)， 并且|C 1C 2|＝6＞4，所以点M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的双曲线的右支， 且有a ＝2，c ＝3．所以b 2＝5， 所求的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．。
求双曲线方程的基本方法
２
２
上,则双曲线方 程 可 设 为x２ －y２ ＝１(
a＞０,
b＞０),然
a b
后根据条件求解 a,
b．
２)如果明确了双曲线的中心在原点,焦 点 在 y 轴
２５
４
因为双曲线 经 过 点 (－５,
２),所 以 －
＝１,
λ ６－λ
所以λ＝５ 或λ＝３０(舍去)．
２
综上,所求双曲线的标准方程为x －y２ ＝１．
程分焦点在 x 轴和y 轴上两种情况 ．求解双曲线标准
方程时,应先确定焦点的 位 置,以 便 选 择 方 程 的 形 式 ．
如果不能确定 焦 点 的 位 置,则 需 要 分 两 种 情 况 讨 论 ．
即,若不知 道 焦 点 是 在 x 轴 还 是 在 y 轴,为 了 避 免 讨
２
２
论,可设为x －y ＝１．掌 握 求 解 双 曲 线 方 程 的 常 用 求
λ ６－λ
双曲线的标准方程是高 考 考 查 的 重 要 内 容,在 求
双曲线的标准方程时,主要 是 运 用 待 定 系 数 法 进 行 求
解,根据不同 的 条 件 采 用 不 同 的 设 法,解 题 过 程 的 繁
简程度会有所不同 ．
１ 利用待定系数法求双曲线方程的注意事项
１)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴
b,从而写出方程 ．
２ 典例精析
焦点在坐标轴上,求双曲线的标准方程 ．
２
２
设双曲 线 方 程 为x ＋y ＝１(
mn＜０)．因 为
m n
ìï９ ＋２２５＝１,
n
ïm １６
解
P,Q 两 点 在 双 曲 线 上,所 以 í
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 －x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 － ＝1 . 解析：设所求双曲线的标准方程为 －x2＝－λ（λ＞0），即 － ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
2.经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为 － ＝1 . 解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，
A.
B.
C.
D.
（2）（2022·全国甲卷 15 题）记双曲线 C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，写出满足条
件“直线 y＝2x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） .
7 / 15
解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝ + － × × × cos °＝ m， 所以 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ ｜ ｜ ＝ ＝ .
双曲线定义的应用主要有两个方面
1.已知动点 M（x，y）满足 （ + ） ＋ － （ － ） ＋ ＝4，则动点 M 的轨迹是（ ）
A.射线 C.椭圆
B.直线 D.双曲线的一支
4 / 15
解析：A 设 F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点 M 满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，
PF2｜，则 cos∠F1PF2＝
；
（2）已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A（1，4），P 是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜ ＋｜PA｜的最小值为 9 . 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2 ，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4 ，
中职高考数学一轮复习讲练测专题8-5 双曲线 (讲)(含详解)
专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是() A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__ _.考点二双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)．例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. 【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__ __.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A ．54B ．52 C ．53或54D ．52或153【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( )A ．22B ．1C ．2D ．22. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件专题8.5双曲线【考纲要求】1.理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程；2.了解双曲线的性质：范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、渐近线方程、离心率；3.了解等轴双曲线的概念和特点．【考向预测】1. 双曲线定义的应用2. 求双曲线的标准方程3. 求双曲线的离心率【知识清单】1．双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)__的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距__．注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线__；(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线__；(3)当a＞c时，集合P是__空集__．2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为__x2－y2＝±a2__考点一双曲线的定义及其应用例. 已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(A) A．||PF1|－|PF2||＝5B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点p的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．【变式探究】P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8. 考点二 双曲线的标准方程例1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [解析] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.[解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意知a b ＝23.又∵双曲线过点P (6，2)，∴4a 2－6b 2＝1，依题意可得⎩⎨⎧a b ＝234a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43b 2＝3.故所求双曲线方程为y 243－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.由题意得⎩⎨⎧b a ＝439a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94b 2＝4.∴所求的双曲线方程为x 294－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.【方法归纳】利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论；(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求．【变式探究】1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解．(1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.2. 已知双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程是__x 24－y 2＝1__.[解析] 设双曲线方程为y 2－14x 2＝λ，代入点(4，3)，可得3－14×16＝λ，∴λ＝－1，∴双曲线的标准方程是x 24－y 2＝1.故答案为x 24－y 2＝1.考点三 双曲线的简单几何性质求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．例.求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[解析] 将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程y ＝±b a x ＝±23x . 【变式探究】 把本例中的双曲线方程改为9y 2－4x 2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．[解析]把方程9y 2－4x 2＝36化为标准形式为y 24－x 29＝1，∴a ＝2，b ＝3，c ＝13，∴顶点为(0，－2)，(0,2)，焦点坐标为(0，－13)，(0，13)，离心率e ＝c a ＝132.渐近线方程为y ＝±23x . 考点四 双曲线的离心率例1. 双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( C )A ．54 B ．52C ．53或54D ．52或153[解析] 当焦点在x 轴上时b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝54，当焦点在y 轴上时，a b ＝34，∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝53，故选C ．【变式探究】1.渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( C )A ．22 B ．1C ．2D ．2 [解析] 由题意可得b a ＝1，∴ e ＝1＋b 2a 2＝1＋12＝ 2.故选C ．2. “m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]∵双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2，∴a 2＝m >0，b 2＝3.∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝1＋3m ＝2，∴m ＝1.∴“m ＝1”是“双曲线x 2m －y 23＝1的离心率为2”的充要条件．故选C ．。
(2021年整理)求双曲线标准方程的技巧
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求双曲线标准方程的技巧在求双曲线标准方程时,如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算,优化解题过程。
下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。
一 双曲线的一般方程例1 求经过点(3,P ,()Q -的双曲线标准方程.分析 双曲线的标准方程有两种形式：22x a －22y b ＝１（a ＞０,b ＞０）或22y a －22x b＝１（a＞０，b ＞０），可以讨论解决。
也可以应用下面的方法解决。
解 设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０).因为所求双曲线经过点(3,P ，()Q -,所以9281,7249 1.A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝－175,B ＝125。
故所求双曲线方程为225y －275x ＝１。
说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法，当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０），这样可以简化运算。
二 等轴双曲线例２ 等轴双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上，与直线x －2y ＝０交于两点A 、B ，且AB ＝求此等轴双曲线的方程.分析 根据等轴双曲线的特点，可以设含有一个参数的方程2x －2y ＝2a (a ＞０），求出a 即可。
解 设等轴双曲线方程为2x －2y ＝2a （a ＞０）。
由222,20.x y a x y ⎧-=⎨-=⎩解得交点A 、B 的坐标分别为、⎛ ⎝。