分析力学

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分析力学
讲授:吴少平
教材:理论物理基础教程 (刘连寿主编)
——分析力学部分
2007年2月
参考书 1.力学 朗道 栗弗席兹 高等教育出版社
(1959年4月第1版)
2.Analytical Mechanics
Louis N. H and & Janet D. Finch (Cambridge University Press 1998)
.
(功) 即
2. 由
得:
则:

中的
作形式上的降阶:
注:数学上
分别为二阶和一阶导数,而物理上为
加速度和速度. 又 ,则 (函数和反函数).于是
因而
注: 因
则Байду номын сангаас
将(1),(2),(3)代入标量方程(I)得到:
由于
互相独立,所以
3.

的计算:
(速度

的关系)


求导: ( 只是 的函数,不是 的函数)
注意:约束的概念,约束性质(限制物体相互位置的 性质)
设:1.单个质点不受约束——需三个独立坐标描述 其位置 2.单个质点在保守力场中运动: 则 —势能
直角坐标系:
由牛顿第二定律,质点的运动方程为:
分量形式:
又记 x, y, z 为 x1, x2, x3,上三式写为:
上式合写为: 说明:①以上选取的是直角坐标系,但坐标系的选取要 根据具体情况而定; ②若U=U(r)—势能只是质点到力心距离的函数, 此时适宜选球坐标系.
上式两边除以dt,得:
动能
势能: 所以拉格朗日函数为:
求偏导:
运动方程:

从直角坐标到球坐标的变换关系:
上式推广到一般情况下,有
其中
为广义坐标.
对无约束的质点需要三个独立变量才能确定它的位置, 即有三个自由度. 简记: , q: 全部S 个 ; S:自由度数目. ,
拉格朗日方程的推导
已知: 已知:
要做的事: 要做的事:将上式中的 做法: 做法:1. 将
换为 变为标量方程: 变为标量方程:
给出力学体系的坐标和速度就能完全确定经典力学 体系的状态. ③ 不再仅限于直角坐标,正交曲线坐标(如球坐标), 在此为广义坐标.
④很多情况下,由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的 运动微分方程是二阶非线性的,求解很困难.
例子:写出在有心力场中质点的运动方程. 解:选球坐标系,如图.位移dr在球坐标系中的表达式:
此时,力是力学系统的核心语言.
五,伽利略相对性原理→爱因斯坦相对性原理
力学规律在所有惯性系中是相同的,不存在特殊 的惯性系.
六,牛顿力学适用范围
低速 宏观物体 的运动.
这里:l 指物体的特征尺度;a 指原子的尺度.
问题:力学规律是否只有牛顿形式? 问题
力学规律其它表述形式:拉格朗日形式,哈米顿形式 ——分析力学的主要内容
经典力学:牛顿力学 + 分析力学
思考:力学规律各形式的特点,差别,优缺点 思考 小论文: 小论文:1.牛顿力学与分析力学之比较; 2.对空间,时间,物质运动的认识
第一章 低速宏观运动的基本原理 §1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一:从牛顿方程出发推导 两种情况:1.不受约束的质点; 2.受约束的质点. (两者均在保守力场中)
上两式代入(4):
4.粒子的动能:
则:
5.代入(5)式:
6.保守力场: 则
由上两式得:
因而:

,则
说明:
①拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程.运动方程 在牛顿力学中为牛顿第二定律,在分析力学中为拉格 朗日方程.牛顿方程:矢量方程;拉格朗日方程:标 量方程. ②分析力学中,特征函数为拉格朗日函数;牛顿力学中, 特征函数为力. :标量函数
牛顿力学回顾 一,研究对象
物体的机械运动(物质世界最低级,最基本的运动 形态),即物体的空间位置随时间变化的规律.
二,空间,时间与运动
1.牛顿时空观(→狭义相对论时空观); 2.时间,空间的度量.
三, 力学状态的确定
同时给定物体的坐标和速度(量子力学与此不同).
四,力学规律的表达形式
以力学系统所受的力作为特征函数,在三维实空 间中建立力学系统的运动微分方程.
3.经典力学(上,下册)
许定安 丁棣华 王 波 武汉大学出版社 (1993年8月第1版)
4.Classical Mechanics (Third Edition)
Herbert Goldstein 高等教育出版社(2005年2月影印版)
5.经典力学
李德明 陈昌民 高等教育出版社 (2006年5月第1版)
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