Liapunov函数的构造

Liapunov 函数的构造
摘要：Liapunov 函数是一种判定微分方程零解稳定性的重要方法，所以本文首先介绍了Liapunov 函数以及判断微分方程的稳定性定理，然后着重介绍了Liapunov 函数的几种构造方法，包括常系数线性系统的巴尔巴欣公式、线性类比法.通过这两种构造方法，我们将初步了解Liapunov 函数的构造在判断微分方程零解稳定性中的重要作用. 关键词：Liapunov 函数；零解；稳定性.
引言
在常微分方程中，稳定性理论研究是很重要的一部分，即研究当时间趋于无穷时，其解的形态将会怎样变化，他在自然科学、工程力学、环境生态、社会经济等方面有着重要的应用。

在本章第一节中介绍了稳定性的相关定义，也介绍了对于可以求得微分方程的解析解时，如何利用定义判断其零解的稳定性。

但是在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求得其解析解，这就需要从方程本身来判断零解的稳定性Liapunov 直接方法就是求解这一问题的有效途径。

本文先引入Liapunov 函数，即V 函数的定义，以及Liapunov 稳定性的定理，然后介绍几种构造Liapunov 函数方法。

1 Liapunov 稳定性的定理
1.1 V 函数
设函数(x)V 在n
R 中原点的某邻域U 中有定义,(x)V 在U 中连续可微，且满足
(0)0V =
定义 1.1若除原点外对所有x U ∈均有(x)0((x)0)V V ><，则称(x)V 为正定函数（负定函数）；若除原点外对所有x U ∈均有(x)0((x)0)V V ≥≤，则称(x)V 为半正定函数（半负定函数）；若在U 中原点的任一邻域内(x)V 既可以取正，也可以取负，则称(x)V 为变号函数.
例如，2
2
2
123(x)x x x V =++是3
R 中的正定函数，但在4
R 中确实半正定函数，而
222123(x)x x x V =+-是3R 中的变号函数.
一般(x)V 函数的符号判断十分困难，通常把(x)V 在原点展开为Taylor 级数
12(x)V (x)V (x)V (x),m m m V ++=+++
其中12V (x),V (x),V (x)m m m ++分C 是x 的m 次，1m +，2m +齐次函数，根据(x)V 展开式中的最低次项的系数，通常就可以判断(x)V 在原点邻域内的符号.因为再原点附近其他项都
可以视为第一项的高阶无穷小. 1.2 Liapunov 稳定性定理
设n 维自治微分方程
(t)
(x),(0)0dx f f dt
==（1.1） 的解为12(t)(x (t),x (t),x (t))T
n x = ，为了研究方程（1.1）零解的稳定性，考察随时间变化时(x(t))V 的变化情况，将(x(t))V 视为t 的复合函数，关于t 求导可得
11(x(t))(x)(x)n n k k k k k k
dx dV V V
f V dt x dt x ==∂∂==∂∂∑∑ （1.2） 式（1.2）称为函数(x)V 沿着方程（1.1）轨线的全导数.
介绍了(x)V 以及其全导数后，接下来简单介绍下Liapunov 稳定性理论的几个定理. 定理1.1若有原点的邻域U 和一个正定（负定）函数(x)V ，使得其全导数(x)V
是半负定（半正定），则称系统（1.1）的零解是稳定的；特别地，当(x)V
是负定（正定）时，系统（1.1）的零解是渐进稳定的.
定理1.2设在原点的邻域U 内有函数(x)V ，它沿着方程（1.1）的轨线的全导数(x)V
是正定（负定）的，而(x)V 本身不是半负定（半正定）的，则方程（1.1）的零解是不稳定的. 这两个定理是直接通过构造Liapunov 函数，来判断方程的零解是否稳定的，定理在本
章第2节已经详细的证明过，这里不再做证明.
2 Liapunov 函数的构造
第一节中所讨论的两个定理都是一个函数稳定的充分条件，即存在一个()V x ，和它的全导数满足定理1.1时，系统的零解是稳定的. 满足定理1.2的条件时，系统的零解是不稳定的. 在使用Liapunov 函数判定稳定性时应当注意，当找不到满足稳定性定理的条件的函数()V x 时，并无法断言此系统的零解是不稳定的,并且构造的Liapunov 函数不同时，判断零解是否渐进稳定以及吸引域的大小也会有些差异.再利用Liapunov 方法判断系统零解稳定性时，需要明确满足一定条件的Liapunov 函数是否存在，即当系统的零解有某种稳定性时，满足这个稳定性定理的()V x 是否存在，这就是上述定理1.1和定理1.2的逆命题.是否成立. 2.1 Liapunov 函数的存在性
考虑微分方程组
d (t,x),(t,0)0x
f f dt
==（2.1）
记(){}0,|,
G t x t t x h =
≥≤，设(t,)f x 在G 连续，关于x 满足Liapunov 条件.令
00(t)(t,t ,)x x φ=是方程组（2.1）满足00(t )x φ=的解.
定理2.1 若方程组2.1的零解是稳定的，则有正定函数(t,)V x ，使得其全导数(t,)V x
是半负定的.
证 首先根据方程组（2.1）的零解构造出正定函数(t,)V x ，在验证(t,)V x
是半负定.取
02
(t t )0(t,)(1)(t ,t,)V x e x φ--=+
02
0,()min
(t ,t,)t t x y h
W x y φ≥≤≤=
其中0(t ,t,)x φ表示方程组（2.1）在t 时刻过x 的解在0t 时刻的位置坐标. 显然有
02
(t t )0(t,0)(1)(t ,t,0)0V e φ--=+=
因为方程组（2.1）的零解是稳定的，所以对任意的0ε>，有0δ>，使得当x δ<时，有
00(t,t ,),x t t φε<≥（2.2）
于是当x h ε≤≤时，对所有的0t t ≥有0(t ,t,)0x φδ≥>.否则就有0x ，0x h ε≤≤，
以及10t t ≥，使得
010(t ,t ,)x φδ<.由式（2.2）得
1001010(t ,t ,(t ,t ,x )),t t φφε<≥
又因为1001001000(t ,t ,(t ,t ,x ))(t ,t ,x )x ,x φφφε==≥与式（2.2）矛盾. 由此得(x)W 是正定函数，显然有
2
010(t,x)(t ,t ,x )(x)V W φ≥≥
即(t,x)V 是正定函数，另一方面
002
(t t )000002
(t t )
(t,(t,t ,x ))(1)(t ,t,(t,t ,x ))(1)V e e
x φφφ----=+=+
所以有
02
(t t )000
(t,(t,t ,x ))
0dV e x dt
φ--=-<
即(t,x)V
是半负定的.
例1研究下述微分方程组零解的稳定性.
1
2
21
dx x dt
dx x
dt
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ 满足初值问题10102020(t ),(t )x x x x ==.
解容易解得满足上述初值问题的解为
101020100200201020100200(t,t ,,)cos(t t )sin(t t ),
(t,t ,,)sin(t t )cos(t t ).
x x x x x x x x φφ=---⎧⎨
=-+-⎩ 所以有定理2.1，可以取函数
0(t t )221210122012(t,,)(1e )((t ,t,,)(t ,t,,))V x x x x x x φφ--=++
0(t t )2212(1e )()x x --=++
显然
0(t t )2222121212(t,,)(1e )()V x x x x x x --=++≥+
即通过这种方法构造的12(t,,)V x x 是正定函数.并求得其全导数为：
0(t t )221212(t,,)e ()V x x x x --=-+
即12(t,,)V x x 正定，12(t,,)V x x
半负定，所以上述方程组的零解是稳定的. 2.2 常系数线性系统的巴尔巴欣公式
对于常系数线性微分方程组
d ,(),,n ij n n x
Ax A a x R dt
⨯==∈（2.3） 这里可以假设该线性自治系统的Liapunov 函数为一个二次型，不妨设其为()T
V x x Bx =，则他沿系统（2.3）的全导数为
()()(A B BA).T
T T d V x x Bx x x dt
=
=+
显然其全导数依然是一个二次型.这样，可以从()V x
的二次型出发，利用A B BA C T
+=进而来确定二次型()V x ，再根据()V x 和()V x
的符号来判断方程组（2.3）零解的稳定性.下面就利用这一思想介绍二阶方程组的巴尔巴欣公式.
对于二维微分方程组
1
111122
2211222
dx a x a x dt
dx a x a x
dt
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（2.4）
可以给出一个二次型
221111212222()2W x w x w x x w x =++
进而来求这样的二次型
221111212222()2V x v x v x x v x =++
使得()V x 沿着方程组（2.4）解曲线的全导数满足
(2.4)
()
2()dV x W x dt =
这里的()W x 是选取的，因此111222,,w w w 可视为已知量，利用()W x ，()V x 的定义和上述全导数的等式可以求得未知量111222,,v v v 满足下述方程组：
111121121112111122122122121212222222()a v a v w a v a a v a v w a v a v w +=⎧
⎪
+++=⎨⎪+=⎩
当112211221221()()0a a a a a a ∆=+-≠时，可以求解出111222,,v v v ，即可得出()V x
221122
11
112112
121122
2122
12
22
201()20
x x x x w a a V x w a a a a w a a =-
∆+
通过这个过程，可知构造出了一个Liapunov 函数()V x ，并求出其沿着自治系统（2.4）解曲线的全导数()2()V x W x =
，从而可以根据()V x 和()W x 的符号来判断系统（2.4）零解的稳定性.
例2 讨论微分方程组
1
12
112
4426dx x x dt
dx x x
dt
⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 解取2
2
1212(,)()W x x x x =-+，利用上述的巴尔巴欣公式可得
22112
20214
20
1()1600410
21
4
6
x x x x V x --=
---
()22222
1122121211(786)(32)2020
x x x x x x x x =
++==+++ 显然()V x 是正定的，()2()V x W x =
是负定的，故上述方程组的零解是渐进稳定的. 2.3 线性类比法
线性类比法是将一些非线性系统当作线性系统，用类比的方法构造出需要的Liapunov 函数.
例3设1()f x 连续可导，(0)0f =，讨论微分方程组
1
1122
2211222
()dx f x a x dt
dx a x a x
dt
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（2.5） 零解的稳定性.
解当1111()f x a x =时，上述非线性系统（2.5）就是线性系统
1
111122
2211222
dx a x a x dt
dx a x a x
dt
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（2.6） 线性系统（2.6）的特征方程为
2112211221221()0a a a a a a λλ-++-=
容易看出，当1122112212210,0a a a a a a +<->时，特征方程有两个根都有负实部，线性系统（2.6）的零解是渐进稳定的.非线性系统（2.5）的零解稳定性无法用特征根的方法来判断，
但可以用类似于线性系统的Liapunov 函数去判断其稳定性.事实上，对线性系统（2.6）取
2121122112212211(,)()()V x x a a a a a a x =+-
则12(,)V x x
是半负定的函数，利用巴尔巴欣公式得
221211221221122112211
(,)()()22
V x x a a a a x a x a x =-+-
12(,)V x x 是正定函数，所以线性系统（2.6）的零解是稳定的.对比非线性系统（2.5）和线性
系统（2.6），线性系统（2.6）中的11a 相当于非线性系统（2.5）中的11
()
f x x .所以很自然地猜想，当
112222122111
()()
0,0f x f x a a a a x x +<->（2.7）
成立时，非线性系统（2.5）的零解很可能是稳定的，注意到
12112212211112212211101
()()2
x a a a a x a a a a x dx -=-⎰
由此类比构造与线性系统类似的V 函数
1
2112221221112211220
1()1
(,)(
)()2
x f x V x x a a a x dx a x a x x =-+-⎰ 当式（2.7）的条件成立时，12(,)V x x 正定，计算全导数得
12221122111122(2.5)
(,)
(())(())V x x a f x a a x f x a x =-++
22112222112212211222()((())())a x a x a f x a x a a x a x -+-+
21122122122111
()()
(
)()0f x f x a a a a x x x =-+≤ 所以，非线性系统（2.5）的零解是稳定的.
3 总结
本文中我们仅仅给出了两种构造Liapunov 函数的方法，也很容易看出即便是这两种发
放也都有其局限性. 仅仅对于常系数线性系统才可以使用巴尔巴欣公式，并且当微分方程组的阶数太大时，利用巴尔巴欣公式将会产生巨大的计算量.线性类比法需要我们先找到非线性系统对应的线性系统的Liapunov 函数，然后类比构造出非线性系统的Liapunov 函数，但是在实际问题中，往往很难进行类比，更多的要靠个人的经验总结.在教材上还介绍了能量函数法、分离变量法、变梯度法，微分方程组的形式结构不同，就要用不同的方法，遗憾的是至今仍未形成构造Liapunov 函数的通用方法，找到通用方法最大的困难是依赖于一个未知的V 函数的存在，然而构造这种V 函数又没有一般的规律可循，这是一种技巧性问题，更大的可能只能靠个人的经验.但是，我相信随着学科的发展，数学家们会继续研究构造Liapunov 函数的一般方法，Liapunov 函数的构造定会取得重大突破.
4 参考文献
[1]马知恩，周义仓，李承治. 常微分方程定性与稳定性方法[M]. 北京:科学出版社,2015.6. [2]张志芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜. 微分方程定性理论[M]. 北京: 科学出版社,1985. [3]王高雄，周之铭，朱思铭等. 常微分方程[M]. 北京：高等教育出版社,2006.7.。