2014届瑞金一中高三周练十一尖优班(理数)

2014届瑞金一中高三周练十一（理数）2014年1月9日一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设i 是虚数单位，复数12ii -+等于 ( )A ．135i- B ．133i - C ．335i -D ．1-i2. 已知某几何体的三视图如下图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为 （ ）A．132+ B ．4136π+ C．166+ D ．2132π+ 3. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知17648,a a a ==满足，，2101210(),f x a x a x a x =++⋅⋅⋅+函数 11()()22f x x f ='则在时的导数的值等于 （ ）A. 554B. 574C. 16D. 184. 从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人人选，而乙没有人选的不同选法的种数位为 （ ） A ． 28 B ． 49 C ． 56D ． 865. 下列说法不正确的是（ ） A ．“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∈--≥任意”B ．命题“若x>0且y>0，则x +y>0”的否命题是假命题C ．△ABC 中，A 是最大角，则22sin sin B C +<sin 2A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件D ． 212,0,a R x x a x x ∈++=存在使方程2的两根满足x 1<1<x 2”和“函数2()log (1)f x ax =-在[1，2]上单调递增”同时为真6.7. 若直线l 被 圆 224x y +=所截得的弦长为l 与下列 曲 线一定有公共点的是（ ）A ．2y x = B ．22(2)4x y -+= C ．2213x y += D ． 2212x y -=８. 函数()sin()(0,0)11f x A x A x x ωϕω=+>>==-在和处分别取得最大值和最小值，且对于任意12121212()(),[1,1],,0,f x f x x x x x x x -∈-≠>-都有则 ( )A ．函数(1)y f x =+一定是周期为4的偶函数B ．函数(1)y f x =+一定是周期为2的奇函数C ．函数(1)y f x =+一定是周期为4的奇函数D ．函数(1)y f x =+一定是周期为2的偶函数9. 已知定义域为区间[]a b ，的函数()f x ，其图像是一条连续不断地曲线，且满足下列条件：①()f x 的值域为G ，且[]G a b ⊆，；②对任意不同的x 、[]y a b ∈，，都有()()f x f y x y -<-，那么函数()()g x f x x =-在区间[a ，b ]上( )A ．没有零点 B. 有且只有一个零点 C ．恰有两个不同的零点D ．有无数个不同的零点10. 若函数()(*)n f x x n N =∈图像在点（1，1）处的切线为,n n l l 在x 轴，y 轴上的截距分别为,n n a b ，则数列{25}n n a b +的最大项为 （ ）A ．1５ B. 1６ C ．1７ D ．1８ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 由下面的流程图输出的s 为 ； 12.13. 公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14．如图，将边长为1，2,3的正八边形叠放在一起，同一边上相邻珠子的距离为1，若以此方式再放置边长为4,5,6，…,10的正八边形，则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________15. 选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）（1）在极坐标系中(,)(02)ρθθπ≤<中，曲线2sin cos 1ρθρθ==-与的交点的极坐标为 。

（2）对于任意实数(0)a a ≠和b ，不等式|||||||1|a b a b a x ++-≥-恒成立，则实数x 的取值范围是三、解答题:本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. (本题12分) 已知向量2(cos ,1),(3sin ,cos )222x x x m n =-=，设函数()f x m n =∙＋1 （1）若[0,]2x π∈， 11()10f x =,求cos x 的值；（2）在△ABC中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f x 的取值范围．17. (本题12分) 2009年，福特与浙江吉利就福特旗下的沃尔沃品牌业务的出售在商业条款上达成一致，据专家分析，浙江吉利必须完全考虑以下四个方面的挑战：第一个方面是企业管理，第二个方面是汽车制造技术，第三个方面是汽车销售，第四个方面是人才培养．假设以上各种挑战各自独立，并且只要第四项不合格，或第四项合格且前三项中至少有两项不合格，企业将破产，若第四项挑战失败的概率为14，其他三项挑战失败的概率分别为13. （1）求浙江吉利不破产的概率；（2）专家预测：若四项挑战均成功，企业盈利15亿美元；若第一、第二、第三项挑战中仅有一项不成功且第四项挑战成功，企业盈利5亿美元；若企业破产，企业将损失10亿美元．设浙江吉利并购后盈亏为X 亿美元，求随机变量X 的期望．18.(本题12分) 如图在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ACD ，是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且1AD BD CD ==，另一侧面ABC 是正三角形．（1）求A 到平面BCD 中的距离；（2）求平面BAC 与平面DAC 夹角的余弦值；19. (本题12分) 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．且12,4224+==n n a a S S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12-=n a n ，数列{}nb 满足：,31=b 11+-=-n n n a b b )2(≥n ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T ．20. (本题13分) 已知F 1、F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，其左准线与x 轴相交于点N ，并且满足2||,221121==F F NF F F ．设A 、B 是上半椭圆上满足NB NA λ=的两点，其中]3151[⋅∈λ．（I ）求此椭圆的方程及直线AB 的斜率的取值范围；（II ）过A 、B 两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点P ，求证：点P 在一条定直线上，并求点P 的纵坐标的取值范围21. (本题14分) 已知函数()()ln 0x af x ax a x-=-≠ （Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数n ，均有1111ln 23!ne n n ++++≥（e 为自然对数的底数）； （Ⅲ）当a ＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y ＝f （x ）的图象相切? 若存在，有多少条?若不存在，说明理由．x2014届瑞金一中高三第十一次周练（理数)参考答案一、选择题4,9甲、丙都没入选相当于从7人中选3人共有C73=35，∴满足条件的事件数是84-35=49，故答案为C6.8.二、填空题11. 25612.2; 13. 16; 14. _341_ ; 15.（1）)43,2(π（2）31≤≤-x三．解答题21cos161()cos cos112222111cos sin()2262x x x xf x xx x xπ+=-+=-+=-+=-+、解：（）……………………3分∵11()10f x=,∴3sin()65xπ-=；又∵[0,]2xπ∈，∴[,]663xπππ-∈-，即4cos()65xπ-=3cos cos[()]cos()cos sin()sin66666610x x x xππππππ∴=-+=---=-…………………………6分22bcosA2c2sin cos2sin2sin cos2sin()2sin cos2[sin cos cos sin]2sin cos cos(0,]26B A c AB A A B AB A A B A B AA B A B Bπ≤≤⇒≤+⇒≤+-⇒≥⇒≥⇒∈（）由－得：………………10分∴1sin()(,0]62Bπ-∈-，即11()sin()()(0,]622f B B f Bπ=-+⇒∈…………12分17. 解：(1)第四项失败的概率14，其他三项失败的概率13破产的概率=14+34[(3223112()()333C+)] =14+34[11232793+⨯⨯] =49………4分不破产的概率1-49=59………6分(2)x可能的取值15 ， 5 ，-10………7分P(x=15)=34⨯(23)3=34⨯827=836=29……9分P(x=5)=34[C1313(23)2]=34⨯13⨯3⨯49=1236=39……11分P(x=-10)=1636=49EX=15⨯29+5⨯39-10⨯49=59……12分18. 解：（1）作AH⊥面BCD于H，连BH CH DH，，，则四边形BHCD是正方形，且1AH=，所以A到平面BCD距离为1。

（2）以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图，则(100)(010)(111)B C A，，，，，，，，．(110)(111)BC DA =-=，，，，，， 0BC DA ∴=，则BC AD ⊥．设平面ABC 的法向量为1()n x y z =，，， 则由1n BC ⊥知：10n BC x y =-+=；同理由1n CA ⊥知：10n CA x z =+=．可取1(111)n =-，，． 同理，可求得平面ACD 的一个法向量为2(101)n =-，，． 由图可以看出，平面BAC 与平面DAC 夹角的大小应等于12n n <>，，则121212cos 32n n n n n n <>===，．{}111111143144(2)19.1,,,22(21)22(1)1n a a d a d a a d d a n d a n d ⋅⎧=+=+⎧⎪⎨⎨=⎩⎪+-=+-+⎩解：（）由题设等差数列的首项为，公差为则解得12-=∴n a n .(5分))12.(462324321112112121111114121311211111),211(2118).1(2)()()()(2,32212121341112232111分分）（也成立时，当）由题（+++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=∴+-=∴=+=+++++=+-+-++-+-=≥=-+---n n n n n n n n n b b b b T n n b n n n b a a a a b b b b b b b b b b n b n n n n n n n n n n n20. 解：（I ）由于,2,221121==F F NF F F⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===-==∴12 ,1||12||2222221221b a c b a NF c a F F c 解得 从而所求椭圆的方程是1222=+y x …………………………………………3分)0,2(,,,,-∴=的坐标为而点三点共线N N B NB NA A λ设直线AB 的方程)2(+=x k y ，其中k 为直线AB 的斜率，依条件知k>0.由02412,22)21(,12)2(2222222=+-+=+-⎪⎩⎪⎨⎧=++=y k y k k y y k x y x x k y 即得消去 根据条件可知220,0128)4(222<<>+⋅-=∆k kk k 解得…………………5分 设122;124,),,(),,(22212212211+=+=+k k y y k k y y y x B y x A 得则根据韦达定理又由),2(),2(,2211y x y x +=+=λλ得 ,)2(22121⎩⎨⎧=+=+∴y y x x λλ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+122124)1(222222k k y k k y λλ从而 消去128)1(222+=+k y λλ得 令2222111)21()(],31,51[,)1()(λλλλλλϕλλλλϕ-=-='++='∈+=则由于0)(,3151<'≤≤λϕλ所以. ]31,51[)(在区间λϕ∴上是减函数. 从而,21||62,536128316,536)(316),51()()31(2≤≤≤+≤∴≤≤≤≤k k 解得即λϕϕλϕϕ 而2162,220≤≤∴<<k k ，因此直线AB 的斜率的取值范围是]21,62[………7分（II ）上半椭圆的方程为,2112x y -=且,211,211222211x y x y -=-= 求导可得22112x x y --='. 所以两条切线的斜率分别为222221121122112,22112y x x x k y x x x k PB pA -=--=-=--=………………9分 切线PA 的方程是22,222),(2212112121111111=+++-=--=-y x y y x y x x y x x y x y y 又即 从而切线PA 的方程为11112y y x x y +-=， 同理可得切线PB 的方程为22212y y x x y +-=…11分Az图5-3-6由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=2112120211212000222111)(2),(1212y x y x x x y y x y x y y x y x P y y x x y y y x x y 满足的坐标可解得点 再由)(222,)2(212211222112121y y y x y x y x y x yy x x -=-⇔+=+⎩⎨⎧=+=+得λλ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=---=∴AB k y y x x y y y y y x 21)(21)(2)(21212012120……………………………………………………12分 又由(I)知2231,231221620≤≤∴≤≤⇔≤≤y k k AB AB 因此点P 在定直线1-=x 上，并且点P 的纵坐标的取值范围是]223,1[…………13分21. （Ⅰ）解：由题意2()x af x x-'=． ………………1分 当0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，此时函数在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数， 2min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………3分当0<a 时，函数)(x f 的定义域为)0,(-∞，此时函数在(,)a -∞上是减函数，在(,0)a 上是增函数，2min ()()ln f x f a a ==，无最大值．………………5分(Ⅱ)取1=a ，由⑴知0)1(1ln )(=≥--=f xx x x f ， 故xe x x ln ln 11=-≥， 取1,2,3,x n =，则!ln 131211n e n n≥++++ ．………………9分(Ⅲ)假设存在这样的切线，设其中一个切点)1ln ,(0000x x x x T --， ∴切线方程：)1(1120--=+x x x y ，将点T 坐标代入得：220000)1(11ln x x x x x -=+--，即0113ln 2000=--+x x x ， ① 设113ln )(2--+=x x x x g ，则3)2)(1()(x x x x g --='．………………12分 0x >，()g x ∴在区间)1,0(，),2(+∞上是增函数，在区间)2,1(上是减函数，故1()(1)10,()(2)ln 204g x g g x g ==>==+>极大值极小值． 又11()ln12161ln 43044g =+--=--<， 注意到()g x 在其定义域上的单调性，知()0g x =仅在1(,1)4内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…………14分。