2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》

【解析】(1)C1
的普通方程为x2＋y2＝1，曲线 3
C2
的直角坐标方程为
x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α，sin α).因为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的最小值.
| | 又 d(α)＝| 3cos α＋sin α－4|＝ 2
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2020 年高考理科数学《坐标系与参数方程》
【题型归纳】
题型一 曲线的极坐标方程 例 1 、在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为θ＝π(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求△C2MN 的面积.
【答案】（1）2x＋y－6＝0；（2）最大值为22 5，最小值为2 5.
5
5
1
x＝2cos θ，
【解析】(1)曲线 C 的参数方程为
(θ为参数).
y＝3sin θ
直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为
d＝ 5|4cos θ＋3sin θ－6|. 5
cos θ＋sin θ
Байду номын сангаас
4
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 2
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π 4
【答案】A
【解析】∵
x y
cos , sin ,
∴y＝1－x
化为极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，即ρ＝ cos
1 θ＋sin
.∵0≤x≤1，∴线 θ
段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π.故选 A. 2
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得 C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)在直线 x＋y－1＝0 中，令 y＝0，得点 P(1，0).
把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t2－3 2t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3 2，t1t2＝1.
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.
【答案】（1）x－ 3y－1＝0，表示一条直线，(x－1)2＋y2＝1 圆. 【解析】(1)由 C1：ρcos θ－ 3ρsin θ－1＝0， ∴x－ 3y－1＝0，表示一条直线. 由 C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1， ∴C2 是圆心为(1，0)，半径 r＝1 的圆. (2)由(1)知，点(1，0)在直线 x－ 3y－1＝0 上，因此直线 C1 过圆 C2 的圆心. ∴两交点 A，B 的连线段是圆 C2 的直径，因此两交点 A，B 间的距离|AB|＝2r＝2. 3.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系.求圆 C2 关于极点的对称圆的方程. 【答案】ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆 C2 上， ∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，
故所求圆 C2 关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0. 题型二 参数方程及其应用
1.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方 程为( )
3
A．ρ＝ 1 ，0≤θ≤π
cos θ＋sin θ
2
B．ρ＝ 1 ，0≤θ≤π
y＝sin α
θ＋π 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρsin 4 ＝2 2. (1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.
3，1 【答案】（1）x＋y－4＝0；（2）最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 2 2 .
2. 在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最 值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
题型三 极坐标与参数方程的综合应用
x＝ 3cos α，
例 3、在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的
x ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方 程，然后求解.
题型二 参数方程及其应用
例
2、已知曲线
C：x2＋y2＝1，直线
l：
x＝2＋t， (t
为参数).
49
y＝2－2t
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值.
4 【答案】（1）C1 的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为1.
2
【解析】(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以 C1 的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C2 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
题型三 极坐标与参数方程的综合应用
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1.在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 6)2 y2 25 ．
（1）以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
x t cos
（2）直线 l
的参数方程是
y
t
sin
（t
为参数）,
l 与 C 交于 A, B 两点，| AB |
3.
(θ为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
y＝2sin θ
θ＋π 标系，直线 l 的极坐标方程为ρsin 6 ＝4.
(1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程；
(2)若射线θ＝π与曲线 C 交于 O，A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线θ＝11π与曲线 C 交于 O，P 两点，求△PAB
【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）1.
x＝1－ 2t， 2
【解析】(1)直线 l 的参数方程为 y＝
2t
2
(t 为参数)，
消去参数 t，得 x＋y－1＝0.
x＝2cos θ，
曲线 C 的参数方程为
(θ为参数)，
y＝2＋2sin θ
利用平方关系，得 x2＋(y－2)2＝4，则 x2＋y2－4y＝0.
则|PA|＝ d ＝2 5|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且 tan α＝4.
sin 30° 5
3
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5； 5
当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 5. 5
【易错点】参数方程要变形使用. 【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消 参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.
4 得ρ2－3 2ρ＋4＝0，解得ρ1＝2 2，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 的面积为1.
2 【易错点】互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响.
x 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2 ＝x2＋y2，tan θ＝y(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧.
10 ，求 l 的斜率．
【答案】（1） 2 12 cos 11 0 ；（2）
15
.
3
【解析】（1）由 x cos , y sin 可得 C 的极坐标方程 2 12 cos 11 0.
（2）在（I）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ( R)
由 A, B 所对应的极径分别为 1, 2 , 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 2 12 cos 11 0.
于是 1 2 12 cos , 12 11,
| AB || 1 2 |
(1 2 )2 412
144 cos 44, 2 [来源:学科网]
由| AB |
10 得 cos2 3 , tan
15
，
8
3
所以 l 的斜率为 15 或 15
3
3
x＝2＋2cos θ，
2.已知曲线 C 的参数方程为
3ρsin θ＋1ρcos θ＝4，
2
2
∴直线 l 的直角坐标方程为 x＋ 3y－8＝0.
2，π 4，π (2)依题意，A，B 两点的极坐标分别为 3 ， 3 ，
联立射线θ＝11π与曲线 C 的极坐标方程， 6
得 P 点极坐标为 2
3，11π 6
，
∴|AB|＝2，
∴S△PAB＝12×2×2
π＋π 3sin 3 6 ＝2
α＋π sin 3 －2
，当且仅当α＝2kπ＋π(k∈Z)时，d(α)取得最小值，
2
6
3，1 最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 2 2 .
【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程