初中数学数格点算面积综合实践教案
初中数学综合实践活动教案
数学活动课题：数格点算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究1．求下列多边形的面积2．我们设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，写出下图中3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段课内活动一．对第一阶段活动的再认识1．认识格点多边形2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一探究N=0的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系？活动三探究N=2的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）活动四自主探究N=3时S与L之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S与L之间的关系活动五猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L之间的关系活动六归纳分析S、N、L三者关系三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会第三阶段课后活动活动一填写活动评价报告数学综合实践活动评价报告。
从感性到理性体现数学的实验味--以数学实验“数格点算面积”教学设计为例
从感性到理性 体现数学的实验味———以数学实验“数格点 算面积”教学设计为例江苏省昆山市葛江中学 杨丽娟 （邮编：２１５３００）摘 要 通过观摩数学苏科版八年级下册实验课枟数格点 算面积枠，探究格点多边形的面积Ｓ与多边形边上的格点数Ｌ及它内部的格点数Ｎ之间的数量关系，结合课堂教学，对如何帮助学生理解数学，体现数学的实验味有如下理解：通过实验操作，获得感性经验；验证实验结果，培养推理能力；表述实验结论，提升数学理解；获得实验感悟，实现课堂价值．关键词 中学数学实验教学；实验教学过程；教学价值 枟数学课程标准枠指出：“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．”所谓的数学实验是指为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动．数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征．数学实验教学是指恰当运用数学实验，通过实践操作，自主探索，合作交流，从而发现问题，提出猜想，验证猜想的数学活动．２０１６年５月苏州市初中数学实验教学研讨活动在苏州市工业园区星海实验中学开展，笔者观摩了研究课枟数格点 算面积枠，这是苏科版八年级下册安排的实验１５，本节课主要探究格点多边形的面积Ｓ与多边形边上的格点数Ｌ及它内部的格点数Ｎ之间的数量关系，通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现皮克定理．结合枟数格点 算面积枠的课堂教学，对如何帮助学生理解数学，体现数学的实验味有以下的一些感悟．１ 通过实验操作，获得感性经验．所谓感性经验是通过感觉器官对客观事物现象及外部联系片面的认识经验，数学实验是以“做”为支架，在教师的指导下，学生运用有关工具，通过实际操作获得亲身体验，积累直接经验．１．１ 巧设问题情境，说明实验操作的必要性问题情境是数学课堂上常用的营造良好课堂氛围的有效手段，创设情境是希望学生以已有生活经验为基础，准确概括数学信息，然后自己试着去解决问题，以此提高学生对知识探索的欲望，培养学生用数学思想解决问题的能力．本课设计的问题情境：兄弟分地．如图１，哥哥说：“我的地一圈只有１５棵树，而弟弟的地一圈有１７棵树，弟弟的面积大！”弟弟说：“我的地里只有１６棵树，而哥哥的地里有１７棵树，哥哥的面积大！”到底谁的话有道理？分析 在这个问题情境中，分出来的两块地就是两个格点多边形，地的面积即格点多边形的面积Ｓ，圈上的树即多边形边上的格点数Ｌ，地里的树即多边形内部的格点数Ｎ．学生要判断兄弟俩所说的话正确与否，就需要探究Ｓ、Ｌ、Ｎ之间的关系，就需要通过实验操作来验证．１．２ 开展系列探究活动，循序渐进获得感性经验在平时的教学中，学生习惯研究两个变量之间的关系，现在要探究Ｓ、Ｌ、Ｎ三个变量之间的关系，对学生是一种新体验，为此设计了四个探究活动：活动一 探究当格点多边形内部的格点数Ｎ＝０时，格点多边形的面积Ｓ与边上的格点数Ｌ之间的数量关系．如图２，①②③都是Ｎ＝０的格点多边形，课９２０１６年第５期中学数学教学万方数据堂上师生合作探究，通过画图、列表、分析数据，发现当Ｎ＝０时，Ｓ＝１２Ｌ－１．活动二 探究当格点多边形内部的格点数Ｎ＝１时，格点多边形的面积Ｓ与边上的格点数Ｌ之间的数量关系．活动三 探究当格点多边形内部的格点数Ｎ＝２时，格点多边形的面积Ｓ与边上的格点数Ｌ之间的数量关系．活动四 探究当格点多边形内部的格点数Ｎ＝３时，格点多边形的面积Ｓ与边上的格点数Ｌ之间的数量关系．说明 活动二、三、四采用学生分组探究，通过分配实验任务，让所有学生参与进来，模仿Ｎ＝０的探究过程进行操作，最后汇总探究结果：当Ｎ＝１时，Ｓ＝１２Ｌ；当Ｎ＝２时，Ｓ＝１２Ｌ＋１；当Ｎ＝３时，Ｓ＝１２Ｌ＋２，由此得到Ｓ、Ｌ、Ｎ之间的关系Ｓ＝１２Ｌ＋Ｎ－１．分析 设计的系列探究活动，让学生通过动手操作、观察类比、分析归纳、猜想、合作交流，经历从特殊到一般的过程，体验“控制变量法”是解决多变量问题的一种科学思维方法．采用“控制变量法”探究问题，分析实验数据时，要分清哪个因素是自变量（引起实验结果变化的原因），哪个因素是因变量（实验结果，其变化是由其它因素的变化引起的），要注意两个变量之间的因果关系，不能前后颠倒．２ 验证实验结果，培养推理能力著名数学家波利亚曾说过：“在数学领域中，猜想是合理的，值得尊重，是负责任的态度．在有些情况下，猜想比教会证明更重要，有了猜想，更能激发学生的探索欲望．”但是如果只有猜想而无法验证，那只能是空想，由探究活动得到Ｓ、Ｌ、Ｎ之间的关系，Ｓ＝１２Ｌ＋Ｎ－１，还需验证这个实验结果，体现数学的严谨性．以当Ｎ＝０时，Ｓ＝１２Ｌ－１为例，说明如何猜想并进行验证的．（１）直接观察在数学教学中，学生观察的对象是图形、数量关系、逻辑过程等．这里我们利用图２所列表格，抓住变量Ｓ与Ｌ之间的变化，发现Ｓ＝１２Ｌ－１．（２）描点连线因为当Ｎ＝０时，Ｎ是确定的，变量只有Ｓ与Ｌ，两个变量可以联系我们学习过的函数图象来研究，将有序实数对（Ｌ，Ｓ）作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出，发现在一直线上，由此猜想Ｓ是Ｌ的一次函数．（３）计算验证在猜想获知Ｓ是Ｌ的一次函数后，设Ｓ＝ｋＬ＋ｂ（ｋ≠０），把有序实数对（４，１）、（６，２）代入，求得ｋ＝１２，ｂ＝－１，然后把有序实数对（８，３）代入验证关系式正确．分析 对于动手操作、猜想获得的数学结论不可替代推理论证，必须利用“数学工具”再进行思维实验．思维实验是科学实验的一种重要形式，是通过产生灵感、逻辑推理、数学演算等发现科学规律的过程．我们通过直接观察发现Ｓ＝１２Ｌ－１，利用描点连线发现是一直线，最终采用计算得以验证，不仅验证实验的结果，同时培养了学生推理的能力．３ 表述实验结论，提升数学理解数学实验探究的最终任务，除了对探究过程中所收集的数据进行分析和处理，从而得出某些规律、找到某种关系外，准确表述实验结论，是实验探究的一个重要环节．本节课，教师最后引导学生通过数学实验得到Ｓ、Ｌ、Ｎ之间的关系：Ｓ＝１２Ｌ＋Ｎ－１，用语言表述为：如果格点多边形的面积为Ｓ，多边形内部格点数为Ｎ，它边上的格点数为Ｌ，那么Ｓ与Ｎ、Ｌ之间存在如下的数量关系：Ｓ＝１２Ｌ＋Ｎ－１．这个公式被称为“皮克定理”，是奥地利数学家皮克（ＧｅｏｒｇＡｌｅｘａｎｄｅｒＰｉｃｋ，１８５９～１９４３）在１８９９年发现并进行证明．该定理被誉为有史以来“最重要１００个的数学定理”之一．数学理解是对于具体数学问题的解决而言，０１中学数学教学２０１６年第５期万方数据通常明白了问题的条件与结论，弄清了由条件到结论每一步骤的语义与根据，领悟了体现在步骤与过程中的思想方法，用所接受到的结论或方法去解决其它问题，同时进行错误矫正，并作变通与推广．在数学试验中，强调用语言表述实验结论，可以提升学生的概括能力．首先是培养对数学材料的抽象概括能力，其次是培养对数学的概括与推理的能力，最后是培养对图形的概括与推理能力．数学是一种“文字兼数字与符号的结构”的语言体系，提升对数学语言的理解力可以提高文字的阅读能力，培养对“数与符号”的理解力，最终提升学生的数学理解．４ 获得实验感悟，实现课堂价值枟数格点 算面积枠这节课学生通过特定的数学实验，直观地了解“皮克定理”，最后师生利用“皮克定理”解决情景引入中兄弟分地的问题，从而加深“皮克定理”的应用背景，化枯燥为有趣，增加了学生学习数学的兴趣，也为本节数学实验课画上完美句号．观摩这节数学实验课，有太多的实验感悟，虽然课堂上教师没有时间让学生倾诉，但如何借助数学实验课实现课堂价值留给我们诸多的思考．４．１ 育人价值———学生知情和谐发展在数学实验的过程中，学生会遇到挫折和失败，可以让学生体会研究的艰辛；用小组合作的方式来实验，可以培养学生团队合作精神和人际交往能力；学生结合已有的知识解决正在研究的问题，使知识不再是孤立的，而是密不可分的；通过数学实验，学生亲身体验数学、理解数学，可以使学生由接受性学习转变为探索性学习，增强学生学习数学的主动性．４．２ 教学价值———教学过程完整体现教学过程是一种特殊的认识过程，也是一个促进学生身心发展的过程．在教学过程中，教师有目的有计划地引导学生能动地进行认识活动，循序渐进地掌握学科知识和基本技能，以促进学生知情和谐发展．数学实验教学，学生在教师的指导下，从问题情境出发，设计研究步骤，进行探索性实验，发现规律、提出猜想、进行证明或验证，正是教学过程的完整体现．４．３ 课程价值———课程资源深度挖掘枟基础教育课程改革纲要枠指出：要重视教学在课程资源的开发与利用中的积极作用．课程实施是课程开发与利用的重要环节，而数学实验在课程资源的开发利用过程中起着不可忽视的作用．数学实验教学中结合学校的实际和学生的经验与体验，从具体到一般，发现图形的变换、探索数学规律，进行几何解释，就是对课程资源进行选择、组合、改造与创造性加工，是课程资源的深度挖掘．４．４ 师培价值———教师水平有效提升数学实验教学扩充了教学目标的范围，加大了教学目标的深度，是新课程改革精神的体现形式，作为教师应重新审视传统的教育教学模式，积极探索各种有益的教学补充形式，使数学教育教学水平和教学效果更上一个台阶．（１）提升教师教学理念，关注学生数学核心素养的培养．通过数学实验教学的研究使教师意识到培养数学核心素养比培养成绩更重要，将关注学生解题能力的目标进一步升华为培养学生综合能力．（２）改善教师教学方法，重视学生的感受和体验，探索初中数学实验课教学方式．通过数学实验教学使教师更加尊重学生的个体差异，根据学生的认知特点和经验基础，学会分析知识的内在联系和变化规律，充分展示知识发生发展的过程，并形成开放性和自主性的数学实验教学方式．参考文献１ 焦光虹．数学实验［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０２ 董林伟．数学实验：促进初中生数学学习的一种有效方式［Ｊ］．中国数学教育，２０１２（９）３ 陈鑫笑．中学数学实验教学的研究［Ｊ］．好家长，２０１６（１１）４ 李海军．让数学实验有效地进入课堂［Ｊ］．中学数学教学，２０１４（２）（收稿日期：２０１６‐０８‐１５）１１２０１６年第５期中学数学教学万方数据。
1 格点与面积
1 格点与面积学习目标：1、通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理；2、让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；3、通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，渗透“从特殊到一般”的数学思想。
教学重点:掌握格点数与图形面积之间的关系，即皮克定理。
教学难点：引导学生学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题（找规律）的方法，领悟“从特殊到一般”的数学思想。
教学过程：一、情景体验准备道具：三片树叶，其中两片用肉眼分不清大小，另一片明显比前两片更小。
一张透明的网格塑料片。
师：同学们看，老师手上拿的是什么东西啊？（展示能比较出大小的两片树叶）生：树叶。
师：你们能判断哪片树叶大吗？生：左手拿的树叶大。
（或者右手，具体看老师实际操作）师：很容易判断对不对，那如果是这两片树叶呢？（展示用肉眼分不清大小的两片树叶）生：（猜测回答，并不确定。
）师：今天呀，我们的小伙伴朋朋和优优也碰到同样的情况（展示PPT，参考教材讲述故事）师：同学们，你们也想知道吗？今天我们就一起来学习格点与面积吧！（板书课题：格点与面积）二、思维探索（建立知识模型）师：让我们先来认识下面的几幅图吧！（展示PPT）师：图（1）是我们常见的方格图，画着横竖两组平行线，相邻平行线之间的距离是相等的。
两组直线的交点，我们称它为格点。
（板书：格点）比如说这个点（老师可以具体指出几个点，让学生直观认识什么叫做格点）。
师：如果老师将这些平行线都隐去，结果会怎样呢？生：只留下格点了。
师：是的，就变成图（2）了。
师：现在我在图（1）图（2）上画了一些多边形，如图（3）（4），大家观察一下这些多边形的顶点与格点之间有什么关系呢？生：多边形的顶点都在格点上。
师：这位同学观察得非常细致！像这样，如果一个多边形它所有的顶点都在格点上，这样的多边形就叫做格点多边形或格点图形。
(导学案)课题学习 格点多边形的面积计算
第4章平行四边形格点多边形的面积计算【教学目标】知识与技能掌握格点多边形的概念，并会用它来判断是否是格点多边形，过程与方法通过对格点多边形面积的分析，让学生经历观察、实验、猜想、求证的数学活动，初步发展推理能力和归纳能力。
情感、态度与价值观学会用实验的方法来解决一些数学问题，获得解决问题的成功经验，提高学生学好数学的自信心。
【教学重难点】重点：难点：在格点多边形面积计算公式的确认过程中，运用控制变量法进行数学实验。
【导学过程】【情景导入】房子外面的马赛克留下了污渍，外墙清洗工需要根据污渍的面积来购买洗涤剂，你能帮帮我们的清洗工吗？已知墙面上粘贴的马赛克的规格是1cm*1cm，缝隙长度可以忽略不计。
图1-1（设计意图：马赛克是生活中较为常见、使用较广泛的一类装修材料，选取马赛克作为本课的切入点，体现了我们的数学来源于生活。
前两种情况是三角形和正方形问题，可以直接利用面积公式解决，班级学生基本上都能独立完成，第三个图虽然是个三角形问题，但是不能用面积公式来直接计算，但是也有不少学生能够想到用割补法中的补解决。
第四个图形割法补法均适用。
以一个简单的生活现象入手，轻松将学生带入格点多边形的面积计算。
）【新知探究】向学生介绍格点多边形的概念：各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形，称为格点多边形。
提出疑惑：1、格点多边形的面积与其覆盖的格点数目是否有关？2、多边形的格点从分布位置来看有哪几类？前面所涉及的马赛克中的图形只是一种特殊的格点多边形，在此特向学生讲授格点多边形的定义，旨在让学生了解它的概念，并引导学生提出格点与面积是否有关这一问题。
数学实验记格点多边形内部的格点数为a，边界上的格点数为b，格点多边形的面积记为S。
探究S与a、b之间的关系。
再次分析马赛克问题时，我们不易发现他们之间的关系。
通过观察表格中的结论，引导学生发现，当a相等时，b不相等，那么所得多边形的面积也不一样；当b相等，而a不相等时，所得多边形的面积也不一样；只有当a、b均相等时，才能保证，多边形面积S相等。
《格点与面积》教案
教 学 内 容 格点与面积重 点 难 点 图形的特点教 学 目 标 初步认识图形的特点针对性授课格点与面积 在一张方格图中，每个方格都是一个小正方形，并且大小都相等，我们称为一个面积单位。
例如：右图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形面积大小。
例题与方法 下图是用皮筋在钉板上分别围成的正方形、长方形、平行四边形和三角形。
它们的面积分别是多少？求下图中各图形的面积。
求下左图中图形的面积。
求右图中图形的面积。
练习与思考求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中各图形的面积。
求下图中图形的面积第3讲：火柴棒游戏[知识要点]用火柴棒可以拼搭成各种有趣的图形，这些图形随着火柴棒的移动、增减，会发出意想不到的变化，这类游戏非常有趣、益智，你也来试试看。
[例题精讲一：摆图形]例题1：用三根火柴棒可以摆出一个三角形，如图，加两根，摆出两个三角形。
练习1：1、摆一个正方形要4根火柴棒，如图：，你能用7根火柴棒摆出两个正方形吗？2、摆一个三角形要用3根火柴棒，摆3个三角形至少需要多少根火柴棒？3、把两根火柴棒添在那里，可以摆出5个正方形？例题2：用16根火柴棒摆成的四个相等的正方形（如图）。
减少1根，还可以拼成四个正方形，你会吗？如果减少2根呢？练习2：1、用12根火柴棒，摆成四个大小一样的正方形，怎么摆？2、图中有几个正方形？最少要添上几根火柴棒就能得到8个正方形？例题3：下图是由5根火柴棒摆成的图形，请你移动其中的3根成这样的图形：移动3根练习3：1、第一排有1根火柴棒，第二排有2根，第三排有3根，请你移动2根，变为第一排3根，第二排2根，第三排1根。
2、如下图，由火柴棒摆了两只倒扣的杯子，请移动4根火柴棒，把杯口正过来。
3、下面的3个三角形是用9根火柴棒搭成的，你能用9根火柴棒搭出5个三角形吗？例题4：用12根火柴摆成一个田字形：（1）拿去两根火柴棒，变成两个正方形；（2）移动三根火柴棒，变成三个正方形。
数数格点算出面积
数数格点算出面积一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。
如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。
这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。
如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。
由于这个缘故，我们又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。
有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
设格点多边形的面积为S，多边形内部有N个格点，多边形边线上有 L个格点。
为了寻求公式，我们从简单的图形（如图2，图3，图4）考虑起，并列成一表，探求它们之间的关系。
图1图2 图3图4图形 S N L S-N L/2OABC 1 0 4 1 2OPQR 4 1 8 3 4OQB 1/2 0 3 1/2 3/2OPC 1 0 4 1 2OLMR 8 3 12 5 6EFG 9/2 1 9 7/2 9/2HIJKXY 10 7 8 3 4看过上表的前四行，我们可能感到很失望，S，N，L之间看不出有什么联系来，不过，我们在前面已经看到，当S很大时，S和N的差(相对地说)是很少的。
因此，我们在表上添了一列，包含S-N，这行数字是随着L而增大的。
如果用2去除L，列到最后一刻，我们立刻得到下面的有趣的关系：S－N=－1,即 s=n+＝－1。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
我们这里并不想对皮克定理给予严格的证明，同学们可以通过不同的格点多边形验证它的正确性。
不过，通常我们需要计算的图形，往往并不是格点多边形。
因此，首先需要通过割补的办法，化为面积相近的格点多边形，然后再用皮克公式进行计算。
同学们，当你亲自算出一些图形的实际面积时，你一定会为科学的胜利而感到无限的欣慰。
格点面积教案初中
格点面积教案初中教学目标：1. 理解格点面积的概念，掌握格点面积的计算方法。
2. 能够运用毕克定理解决与格点面积相关的问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 格点面积的概念和计算方法。
2. 运用毕克定理解决格点面积问题。
教学难点：1. 理解并运用毕克定理。
2. 解决实际问题中的格点面积问题。
教学准备：1. 方格纸。
2. 计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍方格纸和格点。
2. 引导学生观察方格纸上的点，并提出问题：如何计算这些点构成的图形的面积？二、新课（20分钟）1. 介绍格点面积的概念：在方格纸上，每个小方格的顶点称为格点，格点构成的图形的面积就是格点面积。
2. 讲解格点面积的计算方法：对于一个由格点构成的图形，可以将其分解为多个小三角形、矩形等基本图形，计算出每个基本图形的面积，再将它们相加得到整个图形的格点面积。
3. 介绍毕克定理：格点面积内部格点数与周界上格点数之差的两倍等于格点面积。
4. 示例讲解：通过实际例子，讲解如何运用毕克定理计算格点面积。
三、练习与讨论（15分钟）1. 学生分组进行练习，计算给定的格点图形的面积。
2. 学生相互交流解题思路和方法，讨论遇到的问题和解决办法。
四、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考实际问题中的格点面积问题，如在平面设计、建筑等领域中的应用。
2. 学生尝试解决实际问题，如计算一个平面图形的格点面积，或估算一个不规则图形的面积。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学的内容，回顾自己的学习过程。
2. 教师对学生的学习情况进行评价，给予鼓励和指导。
教学延伸：1. 引导学生进一步研究格点面积的性质和规律。
2. 探索其他图形的格点面积计算方法。
教学反思：本节课通过方格纸和格点的引入，让学生了解格点面积的概念和计算方法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在教学过程中，要注意引导学生运用毕克定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
课题学习格点多边形的面积计算-浙教版八年级数学下册教案
课题学习格点多边形的面积计算-浙教版八年级数学下册教案一、教材解析在《浙教版八年级数学》下册中，第十一章节《坐标系与直线》中的第四节内容为《格点图形与面积计算》。
其中，掌握计算格点图形面积的方法是十分关键的。
本节涉及的知识点有：平移、旋转、坐标轴对称和计算格点图形面积的简单方法。
二、教学目标通过本节课学习，学生应该能够掌握以下内容：•了解格点图形的定义•认识格点图形的基本变换（平移、旋转和对称）及其性质•掌握计算格点图形面积的简单方法三、教学重点•认识格点图形的基本变换及其性质•掌握计算格点图形面积的简单方法四、教学难点•计算格点图形面积的简单方法五、教学内容及过程5.1 引入新知识通过展示一些图形，引导学生思考如何计算这些格点图形的面积。
5.2 认识格点图形1.引导学生看图，询问学生这些图形都有什么共同之处？2.介绍格点图形的定义，即图形上每个点都是整点。
5.3 认识格点图形的基本变换1.平移变换：介绍平移变换的定义，并通过实例演示平移变换的方法。
2.旋转变换：介绍旋转变换的定义，并通过实例演示旋转变换的方法。
3.对称变换：介绍对称变换的定义，并通过实例演示对称变换的方法。
5.4 计算格点图形的面积1.引导学生看图，询问学生如何计算图形面积。
2.介绍简单的计算格点图形面积的方法，即：用直角坐标系画出图形后，计算顶点所围成的小矩形的面积之和，并根据题目给定的单位换算成所需单位。
六、教学反思通过本节课学习，学生对于格点图形的基本变换及其性质以及计算面积的简单方法应该都有了一定的认识和理解。
在后续的课程中，教师可以上升一步，让学生学习如何利用反演计算格点图形的面积，提高学生的数学思维能力和实际计算能力。
“数格点算面积”活动设计方案
１ ■慧 数攀
பைடு நூலகம்
ＣＨ ＵＺＨ ｏ Ｎ Ｇ ＳＨ ＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ ＪＩ Ｅ
“ 数格 点算面积 ’ ’ 活 动 设 计 方案
张 伟
数 学 理 性 之 美 尤 其 体 现 在 它 的 简 洁
【 设计意 图 】 通 过 用 字母 表 示 数 ， 培 养
上， 数 学公 式 越简 洁 ， 越 能 散 发 理 性 的 氤 同学 们 的符 号 意 识 ． 更 加 亲 密 地 接 触 自己
突 显 同 学 们 在 数 学 学 习 活 动 中 的 主 体 地 问题 中 ， 是 否 可 以 得 到 一 个 将 Ｓ、 Ⅳ、 Ｌ 统 一
位， 发 挥 同学 们 的 积 极 性 、 主 动 性 及 创 造 的 式 子 ？ 性 ．同 时利 用 同学 们 的创 作 素 材 为 接 下 来 【 设计意 图 】 对 于 问题 一 ， 当Ｎ＝ Ｉ 时， 最
预 习格 点 、 格 点 多边 形 等概 念 ．
全班共 享实验数 据 ， 分别 获 取 Ｎ＝ ０ 、 １ 、 ２ 、 ３ 时 相 应 的数 据 Ｓ 、 Ｌ， 并 在 事 先 已做 好 的
０ 、 Ｎ＝ Ｉ 、 Ｎ ＝ ２ 完 成 表格 ． 【 活动 目的 】 探索计算格点 多边 形面积 表 格 中按 ＾ 【 设计意 图 】 培养 同学们大 团队协作 的 的新 途 径 ．
氲 ．今 天 这 节 数 学 活 动 课 我 们 一 起 来 探 索 所 创 作 的多 边 形 ， 加 深 了 解 多 边 形 内部 的
一
个 简 洁 的公 式 ．
格 点 数 和边 上 的格 点数 的 区别 和联 系 ．
活动 三 ： 数 据 互 通
【 活 动课 题 】 数格点算面积． 【 活动准备 】 网格纸若干 张 ， ３ 人 一组 并
初中数学综合实践活动教案
数学活动课题：数格点 算面积一、活动目标(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律；(2) 获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识（3）通过获得成功的体验和克服困难的经历，增强应用数学的自信心二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念认识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A 、B 、C 、D 、E …）.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,如果其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b 中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.二．自主探究1．求下列多边形的面积2．我们设格点多边形的面积为S ，多边形内部的格点数为N ，它的边上的格点数为L ，写出下图中格点多边形的N 、Lab3．仿照2中的图在网格纸上画出符合条件的不同．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段 课内活动一．对第一阶段活动的再认识 1．认识格点多边形 2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系活动一 探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=0来吗？活动二 探究N=1满足N=1活动三 探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系（展示所画不同类型图形）观察上表，你又有了什么发现？活动四 自主探究N=3时S 与L 之间的关系 1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系活动六 归纳分析S 、N 、L 三者关系121-+=N L S三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同交流课内活动体会第三阶段课后活动活动一填写活动评价报告数学综合实践活动评价报告。
初中数学求面积的教案
初中数学求面积的教案教学目标：1. 理解并掌握基本图形的面积公式。
2. 能够运用面积公式计算不同图形的面积。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 掌握常见图形的面积公式。
2. 能够正确运用面积公式计算。
教学难点：1. 理解面积公式的推导过程。
2. 解决实际问题中的面积计算。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 各种图形纸片。
3. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的图形知识，如三角形、矩形、平行四边形等。
2. 提问：我们知道这些图形的周长是如何计算的？二、探究面积公式（15分钟）1. 介绍面积的概念：面积是指图形所覆盖的平面区域的大小。
2. 引导学生通过观察和动手操作，探究不同图形的面积公式。
a. 三角形：底乘以高除以2。
b. 矩形：长乘以宽。
c. 平行四边形：底乘以高。
3. 讲解面积公式的推导过程，引导学生理解并掌握。
三、巩固练习（15分钟）1. 让学生分组合作，互相练习计算不同图形的面积。
2. 教师选取一些学生的作业进行讲解和点评。
四、应用拓展（15分钟）1. 给学生发放一些实际问题，如计算房间地面的面积、计算三角形旗帜的面积等。
2. 引导学生运用面积公式解决问题，并解释答案的合理性。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的面积公式和计算方法。
2. 提问：你认为面积公式在实际生活中有哪些应用？教学评价：1. 课后布置一些有关面积计算的练习题，检查学生对面积公式的掌握程度。
2. 在下一节课开始时，进行面积计算的测试，了解学生的学习效果。
以上是一份关于初中数学求面积的教案，希望能够帮助学生掌握面积的计算方法，并能够运用到实际问题中。
格点多边形面积公式的探索教学设计
格点多边形面积公式的探索教学设计Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】格点多边形的面积计算教学设计——浙教版八年级下课题学习丈亭镇中 张荣一、教学目标知识与技能：理解格点多边形的定义，掌握求格点多边形面积的一般方法；过程与方法：1、培养学生观察能力；2、进一步提高学生推理、归纳能力；情感与价值观：1、体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；2、渗透函数的数学思想；3、培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识；二、教学重点格点多边形面积公式的理解与探索过程三、教学难点格点多边形面积公式的探索过程四、教学方法：启发式教学启发学生逐步发现格点多边形特点及探索出格点多边形面积计算公式五、教学手段计算机多媒体教学平台与板书结合六、教学过程（一）问题情境如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点。
如：点A 、点B 。
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形。
如：格点多边形ABCDE 。
提出问题：你能求这个格点多边形的面积吗让学生讲述他们的方法，（1）把图形补成一个规则的图形，如：长方形用长方形面积减去补上去的部分面积。
（2）把图形分割成几个三角形或四边形，进行求解。
（二）引入新课1、直接引入主题以上方法繁琐，继而引导学生一起探索简便的格点多边形面积计算公式。
下图的4个格点多边形, 其内部都只有一个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
多边形的序号 ① ② ③ ④多边形的面积s 2 3 4各边上格点的个数和 a 4 5 6 8从表格中，你能发现当格点多边形内部有1个格点时，面积s 与各边上格点的个数和 a 之间的函数关系 a s 21 2、进一步探索引导学生继续探索多边形内部分别有2个，3个格点的情形： （1）下图的4个格点多边形, 其内部都有两个格点，请计算它们的面积，并完成下面的表格。
初中数学精品教案 ：格点多边形的面积计算教案
格点多边形的面积计算——三学稿（教案）教学目标：(1)了解格点多边形的概念(顶点在格点上的多边形)，会通过(割补)的方法计算格点多边形的面积． (2)经历探索格点多边形的面积计算方法的过程，初步体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”，并通过二次实验、列表、画图、猜想，发现并验证皮克定理一一(1-+=nb ma s (其中m 、n 为常数) )；(3)逐步领悟数形结合、类比归纳和数学建模的数学思想和掌握建模、图像、待定系数法等数学方法． 教学重点：经历探索格点多边形的面积计算方法并验证的过程，掌握蕴含其中的数学思想和方法． 设计说明：在助学中设计学生体验自主探索、合作学习的过程，教师引导分析来突出重点. 教学难点：格点多边形的面积与形内及边界上的格点数之间关系的探究．设计说明：采用变量控制法，降低难度，学生自主探索，层层递进，合作交流来类比归纳出皮克公式来突破难点. 【引学】了解格点多边形的概念，会算格点多边形的面积．1. 如图1，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等， 这两组平行线的交点称为格点（如图中的点A 、B 、C 等）.若阴影部分的小 正方形面积是单位1，问1请直接写出以下三角形的面积:S △HBC = 21 ；S △IDE = 1 S △JAE = 23 ；S △KAB = 2设计意图：学生掌握格点中规则三角形的求法，为格点多边形面积的求法奠定基础．2. 如图2，若多边形的各顶点都在格点上．．．．．．．．．．．．，这 样的多边形称为格点多边形．如图中的格点五 边形ABCDE ，问2求出格点多边形的面积，你 有几种方法？解：1“割”102231521=++++=s2“补”102-23-1-21-53=⨯=s设计意图：开放性设计，让学生探索出割补的方法，也为后续学习中s 的求法铺设，也为验证埋下伏笔．3.不妨设s 表示格点多边形的面积，a 表示格点多边形内的格点数，b 表示边界上的格点数， 问3，如图3，格点五边形中s = 10 ，a = 7 ，b = 8 ．那么s 、a 、b 三者之间有什么关系呢？奥地利数学家皮克研究成果: 1-+=nb ma s (其中m 、n 为常数)， 下面我们通过待定系数法去求出m 、n 的值．设计意图：熟悉形内格点和边界上格点，提出问题，激发学生求知兴趣． 【助学】探究格点多边形的面积与形内及边界上的格点数之间的关系． 活动一、探究a =0的格点多边形中s 与b 之间的关系 根据左图，填写右表：（学生自主探索后交流）满足a =0的格点多边形中的s 、b 之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？121-=b s ，可知21=n图1图2(2)图2(1)图3¢Ù¢Ú设计意图：若有2个变量时，可采用变量控制法，先固定1变量，降低难度，再层层递进，突破难点． 活动二、探究a =4的格点多边形中s 与b 之间的关系 根据左图，填写右表，并画出s 关于b 的函数图像． s s（学生先自主探索后合作交流，1同学板演）（学生先自主探索后合作交流，请1同学板演） 满足a =4的格点多边形中的s 、b 之间存在一个 什么样的关系，你能表示出来吗？321+=b s 类比1-+=nb ma s ，求出m 、n 的值．314=-m ，1=m 设计意图：通过自主探索后合作学习，突出建模的数学思想方法，丰富学生问题解决的活动经验． 活动三、类比归纳s 、a 、b 三者关系：121-+=b a s （皮克定理）注：凹多边形同样适用． 活动四、用皮克公式去验证引学3中的格点五边形面积．设计意图：通过验证，承上启下，提高学生获得知识，并感受到探索的乐趣． 【拓学】1.求下列各个格点多边形的面积.a = ，b = ， S= a = ， b = ， S= 2.在下图中画1个格点多边形，并让同伴求出其面积． 板书设计 1-+=nb ma s学生板演区图形序号 sab① 5.5 4 5 ②6 4 6 ③ 6.5 47 ④748图①AB CDE图②ABCDE图③A B C D EF 图④AB C D EF sb121-+=b a s3.作业：归纳今天所学到的数学思想和方法，并在百度搜索奥地利数学家皮克．设计意图：及时应用巩固，让学生设计图形，在提高学生兴趣同时，既巩固格点多边形的概念，又应用了皮克公式．作业设计说明：今天的学习主要在于过程，故对知识不需要深化，作业以提高能力和兴趣为主．。
“数格点 算面积”的活动设计方案
“数格点算面积”的活动设计方案作者：张伟来源：《初中生世界·七年级》2015年第02期《义务教育课程标准（2011版）》指出“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力.[活动课题]数格点算面积.[活动准备]网格纸若干张，学生3人一组并预习格点、格点多边形等概念.[活动目的]探索计算格点多边形面积的新途径.数学理性之美尤其体现在它的简洁美，数学公式越简洁，越能散发理性的氤氲.今天这节数学活动课我们一起来探索一个简洁的公式.活动一：自主创作每个小组在事先准备好的网格纸上画格点多边形，边数不超过6条，至少画6幅.画好后，每组派一名代表，到展台前展示，其余学生给出评判.[设计意图]了解学生预习概念的情况，让学生通过实际操作，积累直接经验，突显学生在数学学习活动中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性及创造性.并主要利用学生的创作素材为接下来的探究活动作铺垫.活动二：步步为营[设计意图]通过用字母表示数，培养学生的符号意识.更加亲密的接触自己所创作的多边形，加深对多边形内部的格点数和边上的格点数的区别和联系.活动三：数据互通全班共享实验数据，分别获取N=0，1，2，3时相应的数据S， L，并在事先已做好的表格中按N=0， N=1， N=2完成表格.[设计意图]培养学生大团队协作的能力，呼唤学生数据分析、加工的意识并渗透分类讨论的数学思想方法.让学生在做中学，在学中做.活动四：探究高潮问题1.对于某个特定的N值，思考： S与L有何关系？问题2.如果将N也放入S与L关联的浪潮中，是否可以得到一个将S、N、L统一的式子？[设计意图]针对问题一，当N=1时，最容易发现，此时可再问它适用于N=0 和N=2时吗？显然不适用，但已经非常接近对应的两种特殊情形了.在这里学生经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法” 的科学思维方法.活动五：坚定信心下面以小组为单位，继续验证当N=4，5，6……的情况.[设计意图]特殊的情形再次登场不是为了寻觅公式，而成了检验公式正统性的试金石.这能增强学生们的信心，体会这来之不易的丰硕成果.在本次活动中，我们经历了画图、列表、分析数据、需找规律，发现并验证了S与N，L 三者之间的关系，公式最先由奥地利数学家皮克（Georg Pick，1859～1943）给出，这个公式被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理，希望同学们跟他交上好朋友.课后请将你本节课所获得的体会或疑惑写成小文章，以供大家交流.。
数格点算面积
活动一
探究N＝0的格点多边形的S与L之间的数量关系
①
②
③
图形序号 ① ② ③
内部格点数N 内部格点数N 0 0 0
边上格点数L 边上格点数L 4 6 8
面积S 面积S 1 2 3
活动二
探究N＝1的格点多边形的S与L之间的数量关系． 之间的数量关系．
①
②
③
图形序号 ① ② ③
内部格点数N 内部格点数N 1 1 1
A E B
1 S= L＋ N－1 ＋ － 2
C
D
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年 Pick，1859～1943） 1899年 奥地利数学家皮克（ 发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理” 发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理 被誉为有史以来“最重要100个的数学定理 之一. 个的数学定理” 被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.
数学综合与实践活动
数格点 算面积
哥哥说： 我的地一圈只有15棵树 而弟弟的地一圈 地一圈只有 棵树， 地一圈有 哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17 棵树，弟弟的面积大！ 棵树，弟弟的面积大！” 弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树， 弟弟说： 我的地里只有16棵树，而哥哥的地里 17棵树， 地里只有16棵树 地里有 棵树 哥哥的面积大！ 哥哥的面积大！”
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行 如图，网格纸上画着纵、横两组平行线， 线之间的距离相等 这两组平行线的交点称为格点 距离相等， 格点. 线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果 一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多 一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多 边形. 边形. A E B 格点 多边形 C D 格点
八年级数学下册《格点多边形的面积计算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解格点的概念，掌握格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点；
2.学会利用格点计算多边形面积的方法，特别是不规则多边形的面积计算；
3.能够运用三角剖分、拼凑等方法将复杂多边形转化为简单多边形，从而求解其面积；
4.掌握计算多边形面积的公式，如海伦公式、向量叉乘等，并能够灵活运用；
教学活动：使用多媒体动画演示格点多边形的形成过程，结合实物模型，让学生直观地理解多边形的构成。
3.设想三：采用分组讨论、合作探究的方式，引导学生发现并总结多边形面积计算的方法。
教学活动：设计具有挑战性的问题，让学生分组讨论、合作探究，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的团队协作能力。
4.设想四：设计丰富的例题和练习，巩固提高作业：选取一道生活中的实际问题，如测量不规则地块的面积，运用所学知识进行计算，并撰写解题报告。报告内容包括问题背景、解决方法、计算过程和结果。
3.创新作业：鼓励学生尝试编写一个程序（如使用Scratch、Python等编程语言），实现格点多边形面积的计算。此作业旨在培养学生的编程兴趣和跨学科综合运用能力。
（二）讲授新知
1.教学活动一：讲解格点的概念及基本性质
从定义入手，详细讲解格点的概念，并通过示例说明格点构成的线段、三角形、四边形等基本图形的特点。
2.教学活动二：介绍多边形面积计算方法
以具体的图形为例，讲解如何利用格点计算多边形面积，特别是不规则多边形的面积计算方法，如三角剖分、拼凑等。
3.教学活动三：推导面积计算公式
3.教学活动三：小组代表展示讨论成果
每个小组选派一名代表，展示他们的讨论成果，分享解题思路和经验。
初中数学综合实践活动教案
数学活动课题：数格点算面积一、活动目的(1)通过画图、列表、分析数据、找寻规律；(2) 获得一些探讨问题的方法与阅历，开展思维实力，加深理解相关的数学学问（3）通过获得胜利的体验与克制困难的经验，增加应用数学的自信念二、活动重点：经验理论活动的过程，学会找寻思索问题的着眼点，驾驭探讨问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为三个阶段第一阶段：课前活动一．概念相识格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点（如左图中的点A、B、C、D、E…）.明显，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.假如一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)凸多边形与凹多边形：如下图a,把多边形的任何一边向两方延长,假如其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.而图b中的多边形不具备这种性质,称为凹多边形.1．求下列多边形的面积 2．我们设格点多边形的面积为S ，多边形内部的格点数为N，N 、L3．．格点多边形 1）画2个满足条件N=0的格点多边形，求出它们的面积S 2) 画2个满足条件N=1的格点多边形，求出它们的面积S 3) 画2个满足条件N=2的格点多边形，求出它们的面积S第二阶段 课内活动一．对第一阶段活动的再相识 1．相识格点多边形 2．识别凹、凸多边形3．归纳格点多边形面积的求法4．会数格点多边形边上及内部的格点数二．探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系ab画不同类型图形）满足N=0的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？活动二探究N=1的格点多边形中S与L之间的关系（展示所画不同类型图形）满足N=1的格点多边形中的S、L之间存在一个什么样的关系？画不同类型图形）视察上表，你又有Array了什么发觉？活动四自主探究N=3时S与L之间的关系1．示范引领：画N=3的格点多边形2．合作沟通：四人一组，画图探讨N=3时S与L之间的关系活动五猜测N=4、5、…、10、…的格点多边形中S与L之间的关系活动六归纳分析S、N、L三者关系三．规律的应用求下列多边形的面积四．共同沟通课内活动体会第三阶段课后活动活动一填写活动评价报告数学综合理论活动评价报告。
苏科版八年级下册12章 数格点,求面积
@ 展示
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数
量关系的“皮克公式”，并进行 了证明，得到“皮克定理”。
☆“皮克定理”被誉为有史以来“最重要100个 数学定理”之一。
实验拓展
如果每相邻的四个点构成的小长方形的面积 是1，那么多边形的面积是多少？
课后，请各小组完成学习小日记。
展示
探究方法
仿造探究一的过程与方法， 借助图形计算器完成探究二、探究三、探究四。 填写实验报告单
猜想归纳
Ｎ＝０ Ｎ＝１ Ｎ＝２ Ｎ＝３
Ｓ＝
1 2
L
1
Ｓ＝ 1 L＋０
2
Ｓ＝1 L 1
2
Ｓ＝12 L 2
S=
1 2
L
N
1
展示
验证猜想
你将如何验证归纳所得
S=
1 L N 1 2
的正确性？
探究S与L、N之间的数量关系。
@
探究方法
本次探究有S、L、N三个变量，关系复杂。 我们可以先固定某一个量，探求其他两个量的 变化规律，将复杂问题简单化。
探究1: 探究N=0的格点多边形中S与L之间的数量关系
图形编号
（1） （2） （3） （4）
内部格 点数N
边上格 点数L
面积SΒιβλιοθήκη S与L的数量 关系八年级数学实验课
数格点 算面积
数学工具之一：网 格
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平 行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格 点.如果一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形 叫做格点多边形.
A
E
初中数学下册面积教案
初中数学下册面积教案教案标题：初中数学下册面积教案教案目标：1. 理解面积的概念，掌握计算不规则图形、平行四边形、三角形、梯形、圆等图形的面积公式。
2. 运用所学知识解决实际问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
3. 培养学生的合作意识和团队合作能力，通过小组合作讨论和展示结果，促进互相学习和交流。
教学重点：1. 掌握不规则图形、平行四边形、三角形、梯形、圆等图形的面积计算方法。
2. 运用所学知识解决实际问题。
教学难点：1. 理解和应用面积的概念，将其运用到不同图形的计算中。
2. 解决实际问题时的思维能力培养。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具（尺子、量角器等）。
2. 学生准备：课本、笔记本、尺子、量角器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入面积的概念，与学生一起回顾上册学习的内容，复习周长与面积的区别。
2. 提出一个问题引发学生思考：如何计算一个不规则图形的面积？二、理论讲解与示范（15分钟）1. 通过PPT或板书，讲解不规则图形的面积计算方法。
介绍如何将不规则图形分解为若干个矩形或三角形，再分别计算其面积并相加。
2. 讲解平行四边形、三角形、梯形、圆的面积计算公式，并结合示例进行演示。
3. 强调面积计算时的单位问题，引导学生注意单位的转换。
三、小组合作探究（20分钟）1. 将学生分成小组，每组3-4人，发放练习题目和纸板。
2. 每组选择一个不规则图形，利用尺子、量角器等工具测量边长、角度等数据，并计算出该图形的面积。
3. 学生在小组内相互讨论，合作解决问题，思考如何将图形分解为矩形或三角形，再计算其面积。
4. 鼓励学生运用所学知识解决实际问题，例如计算教室地板的面积、花坛的面积等。
四、展示与讨论（10分钟）1. 每个小组派代表上台展示他们的解题过程和结果，并解释他们选择的分解方法。
2. 其他小组进行评价和提问，促进学生之间的互相学习和交流。
3. 教师引导学生总结不同图形的面积计算方法和注意事项。
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初中数学综合实践活动教案
课题：数格点 算面积
一、活动目标
(1)通过画图、列表、分析数据、寻找规律，发现并验证皮克定理； (2)让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验,积累直接经验。
强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动；
(3)通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法；经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法。
二、活动重点：经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想。
三、活动难点：格点多边形的面积与图形内部及它边上的格点数之间关系的探究。
四、活动过程：本活动分为两个阶段
第一阶段：课内活动
一．概念认识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点（如图中的点A 、B 、C 等）.
如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形(如图中的多边形ABCDE)
二．设疑：你会求图中格点多边形的面积吗？
介绍割补两种方法：
2．不妨S---格点多边形的面积，N--多边形内部的格点数，L--它的边上的格点数，那么S N 、L 三者之间有什么关系呢？ 三、探究格点多边形的面积与边上、内部格点数的关系 活动一 探究N=0的格点多边形中S 与L 之间的关系
满足N=0的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系，你能表示出来吗？
活动二 探究N=1的格点多边形中S 与L 之间的关系
满足N=1的格点多边形中的S 、L 之间存在一个什么样的关系？
②
B A ③
C A
活动三 探究N=2的格点多边形中S 与L 之间的关系
观察上表，你又有了什么发现？
活动四 探究N=3的格点多边形中S 与L 之间的关系
自主探究N=3时S 与L 之间的关系 1．示范引领：画N=3的格点多边形
2．合作交流：四人一组，画图研究N=3时S 与L 之间的关系
活动五 猜想N=4、5、…、10、…的格点多边形中S 与L 之间的关系
B
A F
②③①
D
C
D
③
B
②D
C
活动六 归纳分析S 、N 、L 三者关系
12
1
-+=N L S
介绍皮克定理
四、应用皮克定理求格点多边形的面积
下面的方格纸中，画出了一个“小鸟”的图案，已知每个小正方形的边长为1．你能求出“小鸟”所占的面积为多少吗？
五、共同交流课内活动体会
第二阶段：课外活动数学综合实践活动评价报告。