三角函数诱导公式_课件
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三角函数的诱导公式 课件
类型 3 化简求值问题(误区警示)
[ 典 例 3]
化
简
：
sin（α＋nπ）＋sin（α－nπ） sin（α＋nπ）cos（α－nπ）
(n∈Z)．
易错提示：解答本题常因忽视对 n 的奇偶性的讨论致
误．
防范措施：在处理含参数的式子时，应树立分类讨论 的意识，常常需要对参数的奇偶性进行讨论．如本例中， α＋2kπ(α－2kπ)与α＋(2k＋1)π所用的诱导公式不 同，因此要对 n 分奇数、偶数两种情况讨论．
诱导公式二、三、四
公式名称 诱导公式二 诱导公式三 诱导公式四 角π＋α的 角－α的终 角π－α的
终边与角α 边与角α的 终边与角α 两角关系
的终边关于 终边关于 x 的终边关于 原点对称 轴对称 y 轴对称
图示
sin(π＋α)＝－ sin(－α)＝－sin sin(π－α)＝
sin α；
α；
sin α；
温馨提示 在推导过程中，利用单位圆，运用数形结
合思想研究了对称点的坐标关系，从而得到诱导公式．
类型 1 给角求值问题(自主研析)
[典例 1] 求下列各三角函数值： (1)sin－8π3 ； (2)cos196π； (3)tan(－855°)．
[自主解答] (1)sin－8π3 ＝sin－4π＋43π＝
而 sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝
(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α.
答案：(1)2 3 2或－2 3 2
m2－1 (2) 2
归纳升华 解此类问题的关键在于利用化归的思想探究两个
角之间的关系，再通过诱导公式化简计算．需注意的是若 α的象限位置不确定时需要讨论．
当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1，n∈Z，
三角函数的诱导公式课件
跟踪训练
3．化简：
cosθ＋4πcos2θ＋πsin2θ＋3π sinθ－4πsin5π＋θcos2－π＋θ.
解：scinosθθ－＋44ππscinos52πθ＋＋θπcsoisn22－θ＋π＋3πθ
＝cos sin
θθcsions2θπs＋inθ2cθo＋s2πθ＝csoins
θsin2θ＋π θsinπ＋θ
精彩推荐典例展示
规范解答 化简含参数的三角函数式 例4 (本题满分 12 分)化简：cos(3k＋ 3 1π＋α)＋cos(3k－ 3 1π
第一章 三角函数
1．3 三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
诱导公式二～四 的推导方法
―理―解→
诱导公式一～ 四的作用
―掌―握→
诱导公式并 能运用公式
重点难点 重点：初步运用诱导公式二、三、四求三角函 数值． 难点：利用诱导公式进行一般的三角关系式的化简和证明．
＝－cos sin
θθssiinn2θθ＝－cos
θ.
方法感悟
1．诱导公式的记忆方法 诱导公式一～四可用口诀“函数名不变，符号看象限” 记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同 名，“符号”是指等号右边是正号还是负号， “看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．
2．公式一～四的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任意一角的三角函数 问题转化为研究绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角三角函数转化成正角三角函数． (3)公式二、四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
＝sinπ＋siαn＋αc2ossinαα－π＝－ssiinn
三角函数诱导公式教学课件
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
பைடு நூலகம்结论
O
X
由上述推导可得公式二，同理可证公式三和四。
sin（Π+α）= -sinα cos（Π+α）= cosα tan（Π+α）= tanα
sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα
y=sinx
y=cosx
sin（Π-α）= sinα cos（Π-α）= -cosα tan（Π-α）= -tanα
y=cosx
X
c2=a2+b2
Y
观察
O
观察图像，易知： Π-α的终边与角α的终边关于y轴对称； Π+α的终边与角α的终边关于原点对称； 角-α的终边与角α的终边关于x轴对称； 角Π/2 -α的终边与角α的终边关于y=x
对称。
那么，这些角的三角函数又有什么关系呢？
y=sinx
y=cosx
X
c2=a2+b2
2
思考？
y=sinx
y=cosx
c2=a2+b2
Y
推导
O
设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为
P1（x，y）。由于角Π+α的终边与角α的终 边关于原点对称，角Π+α的终边与单位圆的
交点P2与点P1关于原点O对称，因此点P2的坐标 是（-x，-y），由三角函数的定义得：
sinα=y sin（Π+α）=-y
cosα=x cos（Π+α）=-x
tanα=y/x tan（Π+α）=y/x
sinα=y sin（Π -α）=x
三角函数的诱导公式ppt课件
这些公式通过角度的加、减、乘、除和周期性，将任意角度的三角函数转换为基 本角度（0度、90度、180度、270度、360度）的三角函数。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
三角函数诱导公式的重要性
三角函数诱导公式是学习和研究三角函数的基础，是解决三角函数问题的重要工具。
通过诱导公式，我们可以简化复杂的三角函数表达式，求解三角函数的值，以及进 行三角函数的化简和恒等变换。
利用三角函数的和差角公式推导
和差角公式总结
三角函数还有一些和差角公式，如$sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$和$cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$。利用这些公式可以推导出一些诱导公式。
具体推导
例如，利用和差角公式，我们可以推导出$sin(180^circห้องสมุดไป่ตู้- x) = sin 180^circ cos x + cos 180^circ sin x = cos x$。同样地，利用和差角公式，也可以推导出其他诱导公式。
在工程领域的应用
在工程领域中，三角函数诱导公式被 广泛应用于各种实际问题的解决。例 如，在机械工程中，三角函数诱导公 式可以帮助我们更好地设计和分析机 械零件的力学性能。
VS
在航空航天工程中，三角函数诱导公 式被用于分析和设计飞行器的姿态控 制和导航系统。此外，在土木工程、 水利工程和交通运输等领域中，三角 函数诱导公式也有着广泛的应用。
已知$tangamma = -frac{1}{3}$，求 $tan(180^circ + gamma)$的值。
高阶练习题
总结词
综合运用诱导公式解决复杂问题
练习题7
已知$cos(180^circ + alpha) = -frac{4}{5}$，求$sin(270^circ + alpha)$的值。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
(2024年)三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件
三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。
三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。
正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。
正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。
余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。
第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。
通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。
小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。
小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。
教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。
教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。
课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。
三角函数的诱导公式 课件
三角函数的诱导公式
知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六
2．公式五和公式六的语言概括 (1)函数名称：π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的 ___余__弦__(正__弦__)___函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号． (3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函 数的相互转化．
题型一 利用诱导公式化简、求值
【例 1】 (1)已知 cosα＋π6＝35，π2≤α≤32π，求 sinα＋23π的值； 解 ∵α＋23π＝α＋π6＋π2， ∴sin(α＋23π)＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35．
(2)化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－－ααscinos－2ππ－＋ααcosisn725π2π－＋αα． 解 原式＝s－incαo·s－αc·soisnαα··s－insαin·－αs·cinosαα＝tan α．
＝csoins
α α＝(－35)2×(－54)＝－290．
【迁移 1】 本例条件不变，求 f(α) ＝sin5－π－tanα－cos1972ππ－－ααstiann－－απ＋α的值． 解 f(α)＝sintaαn·－α·s－insαin·tαan α＝sin α＝－35．
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】 求证：tan2π－sinααs＋in3－2π2cπo－sαα＋c3o2πs6π－α＝－tan α． 证明 左边＝sinta2nπ－－απ2－·siαn－·coαs·2cπo－s－π2－αα ＝sin－－tanπ2－α·α－csoisn－α·π2co－s αα ＝－sinπ2－siαn2cαosπ2－α ＝－cossinα2·αsin α＝－csoins αα＝－tan α＝右边．
知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六
2．公式五和公式六的语言概括 (1)函数名称：π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的 ___余__弦__(正__弦__)___函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号． (3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函 数的相互转化．
题型一 利用诱导公式化简、求值
【例 1】 (1)已知 cosα＋π6＝35，π2≤α≤32π，求 sinα＋23π的值； 解 ∵α＋23π＝α＋π6＋π2， ∴sin(α＋23π)＝sinα＋π6＋π2＝cosα＋π6＝35．
(2)化简：csoisnπ2－π＋ααsinco3sππ－－ααscinos－2ππ－＋ααcosisn725π2π－＋αα． 解 原式＝s－incαo·s－αc·soisnαα··s－insαin·－αs·cinosαα＝tan α．
＝csoins
α α＝(－35)2×(－54)＝－290．
【迁移 1】 本例条件不变，求 f(α) ＝sin5－π－tanα－cos1972ππ－－ααstiann－－απ＋α的值． 解 f(α)＝sintaαn·－α·s－insαin·tαan α＝sin α＝－35．
题型二 利用诱导公式证明恒等式
【例 2】 求证：tan2π－sinααs＋in3－2π2cπo－sαα＋c3o2πs6π－α＝－tan α． 证明 左边＝sinta2nπ－－απ2－·siαn－·coαs·2cπo－s－π2－αα ＝sin－－tanπ2－α·α－csoisn－α·π2co－s αα ＝－sinπ2－siαn2cαosπ2－α ＝－cossinα2·αsin α＝－csoins αα＝－tan α＝右边．
人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件
探究与归纳
角 与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数 定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数 关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。 概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象 限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐 角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式 记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学
1.3三角函数的诱导公式课件人教新课标
则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．
全优16页基础夯实
如图，设任意角的终边与
单位圆的交点P1(x, y).
则角
2
的终边与
单位圆的交点P2( y, x).
于是：
cos x,sin y;
cos( ) y,sin( ) x.
2
2
诱导公式（五）
-1
sin( ) x cos
2
cos( ) y sin
5
5
5
5
全优16页能力提高
4．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则
△ABC一定是( C )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】∵A＋B＋C＝π， ∴sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)等价于 sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin 2B＝sin 2C. ∴B＋C＝90°或B＝C，
o
． P’
-α的终边
思考：那tan（-ɑ）呢？
． 终边关系
(1,0) x 点的关系 函数关系
角α
-α
关于x 轴对称
P(x,y)
P’(x,-y)
sinα= y sin(-α) = -y cosα= x cos(-α) = x
因此，可得：
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
2
练习：课本27页2（1）（2）（4）
1．求下列各式的值： (1)sin(－855°)； (2)sin 21πcos 4πtan 19π.
436
【解析】(1)sin(－855°)＝ sin(－3×360°＋225°) ＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
三角函数的诱导公式 课件
4π 19π 21π (2)sin 3 ·cos 6 ·tan 4 . 解：(1)原式＝cos 120°(－sin 150°)＋tan 855° ＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°) ＝cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°sin 30°－tan 45°＝12×12－1＝－34.
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos1169π. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋
120°)＝－sin
120°＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
[活学活用] 化简下列各式： (1)taconsαα＋＋ππcsoins32－α＋α－3ππ； (2)ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα](k∈Z)． 解：(1)原式＝－－tcaons αα··csions23αα＝ttaann2αα＝tan α .
(2)当k＝2n(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[22nnπ＋－1απc＋osα[]2cno－s21nππ－ ＋αα] ＝sins－inαπ＋·coαs·－coπs －α α＝－－sinsiαn·α－·cocsosαα＝－1； 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[[22nn＋ ＋11＋π－1πα＋]·cαo]s·[co2sn[＋2n1－＋11ππ－ ＋αα]] ＝ssiinnαπ·－coαsπ·c＋osαα＝sinsiαn·α－·ccoossαα ＝－1. 综上，原式＝－1.
给角求值问题
[典例] 求下列三角函数值： (1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos1169π. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋
120°)＝－sin
120°＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
[活学活用] 化简下列各式： (1)taconsαα＋＋ππcsoins32－α＋α－3ππ； (2)ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα](k∈Z)． 解：(1)原式＝－－tcaons αα··csions23αα＝ttaann2αα＝tan α .
(2)当k＝2n(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[22nnπ＋－1απc＋osα[]2cno－s21nππ－ ＋αα] ＝sins－inαπ＋·coαs·－coπs －α α＝－－sinsiαn·α－·cocsosαα＝－1； 当k＝2n＋1(n∈Z)时， 原式＝ssiinn[[22nn＋ ＋11＋π－1πα＋]·cαo]s·[co2sn[＋2n1－＋11ππ－ ＋αα]] ＝ssiinnαπ·－coαsπ·c＋osαα＝sinsiαn·α－·ccoossαα ＝－1. 综上，原式＝－1.
三角函数的诱导公式 课件
给值求值问题
设 tanα＋87π＝a，
sin 求
sin
172570ππ＋－αα＋－3ccoossαα＋－217723ππ的值．
【思路分析】从角的关系入手，将所求各角用 α＋87π 表示，
然后利用诱导公式和三角函数关系式求解．
【规范解答】设 α＋87π＝θ，则 tan θ＝a. ∴sin 175π＋α＝sin(π＋θ)＝－sin θ； cosα－173π＝cos(－3π＋θ)＝－cos θ； sin 270π－α＝sin(4π－θ)＝－sin θ； cosα＋272π＝cos(2π＋θ)＝cos θ. ∴原式＝－－ssiinnθθ－－3ccoossθθ＝ttaann θθ＋ ＋31＝aa＋ ＋31.
解决此类问题的关键是角的变换及整体思 想运用，此题中把 α＋87π 看成一个角，建立已知角与目标式子 中的角的关系，三角函数中许多问题正是通过挖掘角之间的内 在联系获得解决的．
三角函数的诱导公式
1．角的对称关系 (1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称． (2)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称． (3)－α的终边与角α的终边关于x轴对称．
2．诱导公式 公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ ＋α)＝tan α(k∈Z)． 公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋ α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
求任意角的三角函数值一般先将负角化为 正角，再化为[0,2π)内的角，最后化为锐角进行求值，对一些 特殊角的三角函数值要熟记，做到“见角知值，见值知角”．
三角函数式的化简
1.3三角函数的诱导公式课件
一.复习回顾
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ （2）余弦cosα＝
y
P(x,y)
y
x
O
（3）正切tanα＝
y x
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
3 当n为奇数时， 4
练习1 求sin(2n+2/3)· cos(n+4/3)的值(nZ)
3 当n为偶数时， 4
2 化简 cos[(4n+1)/4+x]+ cos[(4n-1)/4-x]
当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)
小结
①三角函数的简化过程图：
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
（公式一）
sin( 2k ) sin ( k Z )
cos( 2k ) cos (k Z )
tan( 2k ) tan ( k Z )
三角函数
负化正，大化小，化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
3 16 n ) (3) sin( ) sin 3 3 2 3 3
-1 0 -1
任意角三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ （2）余弦cosα＝
y
P(x,y)
y
x
O
（3）正切tanα＝
y x
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 ? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于x轴对称 3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
3 当n为奇数时， 4
练习1 求sin(2n+2/3)· cos(n+4/3)的值(nZ)
3 当n为偶数时， 4
2 化简 cos[(4n+1)/4+x]+ cos[(4n-1)/4-x]
当n为奇数时，原式=-2cos(/4+x) 当n为偶数时，原式=2cos(/4+x)
小结
①三角函数的简化过程图：
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系? 终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
（公式一）
sin( 2k ) sin ( k Z )
cos( 2k ) cos (k Z )
tan( 2k ) tan ( k Z )
三角函数
负化正，大化小，化到锐角为终了。
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
3 16 n ) (3) sin( ) sin 3 3 2 3 3
-1 0 -1
三角函数的诱导公式 课件
sin n
θ＋cos θ－cos
θ θ
右边
公式―一―→、二
tan tan
θ＋1 θ－1
切化―弦―，→化简
sin sin
θ＋cos θ－cos
θ θ
→ 得证
证明：左边 ＝－2sin321π－－2θs·in－2 θsin θ－1 ＝2sinπ＋1－π2－ 2siθn2sθin θ－1 ＝－2sin1－π2－2sθins2inθ θ－1 ＝cos－2 θ2＋cossinθ2siθn－θ2－si1n2 θ
• 【特别提醒】灵活运用几个诱导公式进行化简，在化简的 过程中一定要谨慎，防止出现错误功亏一篑．
求证：2sinθ1－－322πsinc2osπ＋θ＋θπ2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
【思路点拨】
左边
―选公―用式→
－2cos θsin 1－2sin2
θ－1 θ
“消1―”公―的因→代式换
12 分
• 【题后总结】遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善
于利用角的变换的思想方法解决问题．
三角函数的诱导公式
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先 行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行 切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于 kπ±α 和π2±α 这两套诱导公式，切记运用前一套公式 不变名，而后一套公式必须变名．
• 【特别提醒】运用诱导公式时要特别注意三角函数在各象 限的符号．
又 α 为第三象限角
∴cos α＝－
1－sin2
α＝－2 5
6 .
• 【即借题f(α发)的挥值】为熟2练56地. 运用诱导公式进行化简求值时，特别 应注意三角函数的符号．
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栏目 导引
跟踪训练
4．化简：sinπ2c－osαπc＋osαπ2 ＋α－sin2πs－inαπ－coαsπ2－α.
解：原式＝cos－αc－ossαin
α－sin－αsin sin α
α
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
栏目 导引
sin cos sin cos
θθθθ＋－11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ， θ
∴左边＝右边，所以等式成立．
【名师点评】 证明三角恒等式，一般有两种方法：一
是从等式较复杂的一边证到较简单一边；二是采用“两
面夹击，中间会师”的方法．不论采用哪种方法．都要
灵活运用诱导公式．
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跟踪训练
栏目 导引
【名师点评】 诱导公式五、六是实现函数名称互化的有 力工具，而公式五、六直接针对的是互余关系的两角．常 见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到的方便．
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互动探究
1．本例条件不变，求 cos(53π＋α)的值．
解：cos(53π＋α)＝cos[π＋(23π＋α)] ＝－cos(23π＋α)＝－cos[π－(π3－α)]
＝cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝
3 3.
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题型二 三角恒等式的证明
例2 求证：2sinθ－132－π2csoisn2θθ＋π2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
栏目 导引
2．sin(32π－α)＝________，cos(32π＋α)＝________.
答案：－cos α sin α
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典题例证技法归纳
题型探究
题型一 三角函数求值 例1 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosπ3－α的值．
【解】 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，
∴π3－α＝π2－π6＋α， ∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α ＝sinπ6＋α＝ 33.
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精彩推荐典例展示
易错警示 三角函数化简中公式记忆不牢致误 例4 化简：
sin－α－co32sππ2·－coαs23·sπin－π2α＋·tαan2π－α＝________. 【常见错误】 (1)诱导公式把握不准 ，符号和名称 记忆不牢固，如 sin(32π＋α)＝cos α，cos(32π－α)＝cos(π2 －α)这样类似错误． (2)运算不准确，如 tan2(π－α)＝－tan2α.
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题型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角．
求证：sinA＋2 B＝cosC2，cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝－tan C. 【证明】 在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C， ∴A＋2 B＝π－2 C.∴sin(A＋2 B)＝sinπ－2 C ＝sin(π2－C2)＝cosC2 .同理 cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.
两式平方相加得 2cos2A＝1，∴cos A＝±22，
若 cos A＝－ 22，则 cos B＝－ 23，此时 A，B 均为钝角，
不符合题意．∴cos A＝ 22，∴cos B＝
3cos 2
A＝
23，
∴A＝π4，B＝π6，C＝π－(A＋B)＝71π2.
栏目 导引
方法感悟
1．诱导公式浅析 所有的诱导公式可以统一概括为k2π±α(k∈ Z)的形式， 诱导公式的记忆口诀统一为：“奇变偶不变，符号看 象限”，对此要从以下几方面理解：
【证明】 左边＝sin－2θ2＋cocsoθs·2sθin－θ2－sin12θ
＝
cos
－sin θ＋cosθ2 θ＋sin θcos θ－sin
θ＝ssiinnθθ－＋ccooss
θ θ.
栏目 导引
右边＝tanta8nπ＋ π＋π＋ θ－θ＋ 1 1＝ttaannππ＋ ＋θθ＋ －11＝ttaannθθ＋－11＝
栏目 导引
(1)角一定要归纳成：k2π±α(k∈Z)的形式，奇偶针对 k 而言． (2)“ 变”与“ 不变”是 相对于互 余关系 的函数而 言 的，sin α 与 cos α 互余． (3)“符号”指k2π±α(k∈Z)中，将 α 看作锐角时，k2π±α(k ∈Z)所在象限的原函数值的符号．
栏目 导引
栏目 导引
【解析】 原式＝－sin23π＋α·－sin α·tan2α sin α·cos α
＝－cos α·sin α·tan2α＝－ sin α·cos α
tan2α.
【答案】 －tan2α 【失误防范】 (1)对于六组诱导公式要熟记，特别注 意符号和三角函数名称的变化．
(2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法．
2．诱导公式的作用 (1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一， 化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再 利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数． (2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱 导公式化为0°到90°间的角的三角函数． (3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及－ α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
诱导公式
学习导航
学习目标
实例
―了―解→三角函数诱导公式Fra bibliotek、 六的推导过程
―掌―握→
六组诱导公式 的综合应用
重点难点 重点：诱导公式五、六． 难点：六组诱导公式的综合应用．
栏目 导引
新知初探思维启动
诱导公式五、六
栏目 导引
做一做 1.若cos 40°＝a，则sin 50°＝________. 解析：sin 50°＝sin(90°－40°)＝cos 40°＝a. 答案：a
栏目 导引
【名师点评】 三角形 ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B2＋C＝π2， 注意到这些隐含条件，结合诱导公式我们能发现很多结论性 的东西，这些规律在处理三角形中有关问题时非常方便．
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跟踪训练
3．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos
A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A＝ 2cos B，
2．求证：tan2π－coαssαi－n－π2siπn－5πα－coαs6π－α＝－tanα. 证明：左边＝csions22cπoπ－s－παα－·sαin·s－inαπ－cosα－α ＝－cossinαα－－cossinαα·scinosαα＝－csoinsαα＝－tan α＝右边． ∴原式成立．