切割线定理
切割线定理课件
推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则 该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为 它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首 先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积 等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定 理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用 向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过 适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法 基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明 定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有 很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条 件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其 他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深 入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决 几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用 于确定建筑物的位置和尺寸，以确保 建筑物的外观和结构符合设计要求。
初中 切割线定理
初中切割线定理
切割线定理是初中数学中的一种几何定理，主要用于解决与三角形有关的问题。
它的表述如下：若一直线割一三角形之两边（或延长线）而交其他两边（或其延长线）于两点，则此直线截得的三角形面积等于被割去的两部分面积和的一半。
例如，在一个三角形ABC中，如果有一条直线DE从A点出发，经过BC边上的点D，然后到达AC边上的点E，那么根据切割线定理，我们就可以得出：三角形ADE的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACE的面积的一半。
这个定理在解题中非常有用，可以帮助我们快速计算出一些难以直接测量的面积，或者用来证明两个三角形的面积相等。
在学习和应用切割线定理时，我们需要理解其背后的逻辑，并熟练掌握相关的几何知识。
切割线定理及推论
几何语言： ∵PT切⊙O于点T ，PBA是⊙O的割 2 线 PT PA PB ∴ （ 切割线定理）
推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一 点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等.
几何语言： ∵PT是⊙O切线， PBA，PDC是⊙O的 割线 ∴PD· PC=PA· PB（切 割线定理推论）(割线 定理）
练：如图，⊙O的两条弦 AB、 CD 相交于点 E， AC和 DB的延长线交 于点 P， 下列结论成立的是（ ）．
A.PC· CA=PБайду номын сангаас· BD
B.CE· AE=BE· ED C.CE· CD=BE· BA D.PD· PD=PC· PA
例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A 和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径 。
例2.如图：自圆外一点P作直线PA 切⊙O于A，过PA中点M，作割线 交⊙O于B、C．求证： ∠MPB=∠MCP．
例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等 分点，弦EF过点C，弦GH过点D。 求证：FC· CE=HD· DG
切割线定理
相交弦定理 :圆内的两条相交弦,被交点分
成的两条线段长的积相等.
A P D
B C
如图,则有
PA • PB=PC •PD
若P是圆外一点,PT是⊙O的切线,过P点的 割线与圆交于A、B两点, PT、PB、PA三条线段 有什么关系? 连结TB 、TA ∠BPT=∠TPA ∠PTB= ∠A △PTB∽ △PAT PB PT BT PT PA AT
式。
3. 应用切割线定理和推论可以运用其乘积 式和比例式关系进行问题的转化。
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是
AB的延长线上的一点，过P点的割线分
P
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相
. O
C
1
.O
A
2
E
（2）如图A、B是⊙O割线上的两点，AS切 ⊙O于S，BT切⊙O于T。若AC=BD，则AS和TB 有什么关系？
S T
A C
.
B O D
；
/ 助孕
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我瞪了他一眼。 “对了对了，我忘记你们是北方人了。”范教授急忙解释道：“南方人最爱吃辣了，平时炒菜都得放辣椒，不然感觉没味道，这是南方 有名的老火靓汤„„所谓一方水土养一方人，北方天气冷，如果吃清淡的炒菜不利于增加脂肪御寒，南方天气热就不用这样，所以吃些 清淡的。而北方人注重的则是口味，依据个人的爱好，酸甜苦辣咸想怎么吃就怎么吃。这就是人们常说的南甜北咸„„” 你听，人家真不愧是教授，几句话就把南北两方人的饮食差异说的头头是道。他把大家的酒杯里倒满了香槟，又拿了一瓶白酒，对我说： “北方人喜欢喝白酒，我们兄弟俩喝杯五粮液。” 一位堂堂有名的大学教授跟我一个小小的平民百姓称兄道弟，真是羞煞我也。我受宠若惊，两手发抖地端着酒杯站了起来，“范教 授„„您太客气了„„” 孙院长笑了，笑得很甜，却宛然不失院长的风范，“快坐下，我们大家一同喝。”恭敬不如从命，先喝为敬，我憋着气把一杯酒喝了个 底朝天。 “爸——”小荷急了。我明白女儿的意思。 “好！我们北方人就是爽快！我陪兄弟一杯！”范教授说完也一饮而尽。 “来来来，我们夹菜„„”孙院长招呼着大家。 “我已经是十几年不这样喝酒了，今天遇见老家的人，我太开心了！”范教授一边倒 酒一边说。 “难道范教授也是山东人？”我试探着问。他长长地叹了口气，若有所思地说：“我不仅是山东人，咱俩还是地地道道的老乡。” 这怎么可能呢？我茫然了„„ “我看过苏小荷的个人资料，我的老家在离你们村不远的杏花村。以前我在省城济南教书，自从父母双亡 后，为了照顾岳父岳母，十几年前我来到了南方。十几年来，我没有回过一次老家，真是乡音未改鬓毛衰„„” 原来如此，世上竟有这么巧的事！ “我姑妈就住在你们村，我姑父也姓苏„„”我恍然大悟，莫非他就是我舅舅家的表哥„„ 十八年前我的女儿大荷就是被我母亲送给了他家„„天下这么大，竟然想躲也躲不过！ “这„„你说的是„„我想起来了，我们是邻居„„”我支吾着撒起慌来，因为我不想让他知道我俩的关系，更不想触痛彼此的伤心 处„„ “我接到学生会会长的电话，说是我女儿用车撞了你的行李箱，把苏小荷同学的电脑屏碰破了，我深表歉意，电脑的问题我来解决。” 一个怒目圆瞪的女孩儿浮现在我的眼前„„难道她就是我的亲生女儿大荷？„„ “苏老弟，还是谈谈你的想法吧。” 范教授的话把我从沉思中惊醒，我慌不择释地说：“范教授„„我是一个地地道道的庄稼汉„„对于电脑这玩意儿我是一窍不通，那就 麻烦您了„„至于维修费还是由我来出。” “哈哈哈„„”范教授笑起来，“你看„„你这人也太见外了吧，都是我女儿惹的祸，按道理应该赔个新的才行。”
切割线定理
P
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段 长的比例中项. PT切⊙O于T
由切割线定理
PT2=PB•PA
P
PT2= PD•PC ;
B D T •O C A
从而得到 PB•PA=PD•PC
推
论
杭十中 赵玉华
相交弦定理 :圆内的两条相交弦,被交点分
成的两条线段长的积相等.
A P D
B C
如图,则有
PA • PB=PC •PD
若P是圆外一点,PT是⊙O的切线,过P点的 割线与圆交于A、B两点, PT、PB、PA三条线段 有什么关系? 连结TB 、TA ∠BPT=∠TPA ∠PTB= ∠A △PTB∽ △PAT PB PT BT PT PA AT
C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A
。 O C
A
PD•PO=PA2
P
B
D
PB•PC=PA2 PB•PC=PD•PO
PB PO PD PC
1。若过圆外一点P的切线与⊙O相切于T点，P与圆心O的
P A T
连线与圆交于A点，若PO=5，半径是4，求切线长PT。
O
B
2。如图，过点A作圆的两条割线分别交⊙O于B，C
和D，E。已知AD=4cm，DE=2cm，CE=5cm， AB=BC，求AB,BD。
E
D
切割线定理
（2）PA•PB=PE•PD （ （3） PA•AB=PE•ED （ （4） PT2=PC•PO （
.
B
O D
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出
P
PA和PB的积吗？ 分析: 延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7 PA•PB=PC•PD=21
O
A
T •O B
P
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段 长的比例中项. PT切⊙O于T
由切割线定理
PTB D T •O C A
从而得到 PB•PA=PD•PC
推
论
C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A
。 O C
A
PD•PO=PA2
P
B
D
PB•PC=PA2 PB•PC=PD•PO
PB PO PD PC
3 •O
(3) 若PT=2,PA=4,BT=1则AT=
A
2
.
PT切圆O于T
PT2=PB•PA
P
1 B 6 5 1 •O
2
2.过圆外一点P引圆的两条割线分别与圆 交于 A、B和C 、D两点.
(1)若PA=6,PB=1,PD=2则PC=
D 3
3
.
(2)若AB=5,PB=1,PC=3则PD=
C
切割线定理及推论
切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)切割线定理的证明∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA比较相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
练：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是（）．A.PC·CA=PB·BDB.CE·AE=BE·EDC.CE·CD=BE·BAD.PD·PD=PC·PA例1.如图,⊙O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10,求⊙O的半径。
例2.如图：自圆外一点P作直线PA切⊙O于A，过PA中点M，作割线交⊙O于B、C．求证：∠MPB=∠MCP．例3.如图，C,D是⊙O的弦AB的三等分点，弦EF过点C，弦GH过点D。
求证：FC·CE=HD·DG。
切割线定理的证明
切割线定理的证明引言切割线定理是数学中的一个重要定理，它在几何学和分析学中有广泛的应用。
本文将详细探讨切割线定理的证明过程，以及其在不同领域中的应用。
切割线定理的定义在数学中，切割线定理是指：对于任意一个凸多边形，存在一条直线，将该多边形分割成两个面积相等的部分。
证明过程证明切割线定理的过程如下：步骤一：连接多边形的两个不相邻的顶点首先，我们连接多边形的两个不相邻的顶点，得到一条直线。
步骤二：计算两边的面积我们计算连接线两边的面积。
设连接线两边的长度分别为a和b，相应的面积分别为S1和S2。
步骤三：判断面积大小判断S1和S2的大小。
如果S1等于S2，则证明切割线定理成立。
如果S1不等于S2，则我们需要调整连接线的位置。
步骤四：调整连接线的位置调整连接线的位置，使得S1和S2的面积尽可能接近。
我们可以通过改变连接线的倾斜角度或者位置来实现。
步骤五：重新计算面积重新计算连接线两边的面积，并判断它们是否相等。
如果相等，则证明切割线定理成立。
如果不相等，则继续调整连接线的位置，重复步骤四和步骤五，直到找到满足条件的连接线。
切割线定理的应用切割线定理在几何学和分析学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：圆的切割线在圆的几何中，切割线定理可以用来证明圆内任意两点之间连线的长度小于等于圆的直径。
多边形的分割切割线定理可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
这在计算几何学中有重要的应用，例如计算多边形的重心或者质心。
积分的应用在分析学中，切割线定理可以用来证明积分的性质。
通过将函数曲线分割成两个等面积的部分，可以推导出积分的对称性和平均值定理等重要结论。
优化问题切割线定理可以用来解决一些优化问题。
例如，在给定一定面积的情况下，如何找到一个凸多边形使得周长最小，或者如何找到一个凸多边形使得某个属性的值最大化。
总结切割线定理是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。
本文通过详细的证明过程和应用场景的介绍，希望读者对切割线定理有更深入的理解。
圆的切割线定理公式
圆的切割线定理公式圆的切割线定理公式，这可是个很有趣的数学知识呢！咱先来说说啥是圆的切割线定理。
简单来讲，就是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这公式听起来有点复杂，是吧？但别担心，咱们慢慢捋一捋。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想看，假如咱们要测量一个圆形池塘的半径，但是又没办法直接测量，这时候圆的切割线定理就能派上用场啦！”那这个定理的公式是啥呢？假设点 P 是圆 O 外一点，PT 是切线，PAB 是割线，那么就有 PT² = PA×PB 。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开很多和圆相关的难题。
比如说，在一道题里，已知圆外一点到割线与圆交点的两条线段的长度，让咱们求切线的长度。
这时候，只要把数值代入圆的切割线定理公式，就能轻松算出答案。
就像走迷宫找到了正确的路线一样，一下子就豁然开朗了。
在实际生活中，圆的切割线定理也有不少应用。
比如建筑工人在建造圆形的花坛或者水池时，可能就会用到这个定理来计算一些尺寸。
还有工程师设计圆形的零件时，也能依靠它来保证精度。
再举个例子，假如你要在一个圆形的操场上画一条起跑线，知道了某些线段的长度，通过圆的切割线定理就能算出起跑线的准确位置。
学习圆的切割线定理，不仅能让咱们在数学考试中多拿几分，更重要的是能培养咱们的逻辑思维和解决问题的能力。
就像搭积木一样，一块一块地积累知识，最后就能搭出漂亮的“知识城堡”。
总之，圆的切割线定理公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨、多练习，就能熟练掌握，让它成为咱们解决数学问题的得力工具。
就像那个当初一脸迷茫的小家伙，后来也能熟练运用这个定理解题啦！希望大家都能和圆的切割线定理成为好朋友，在数学的世界里畅游无阻！。
切割线定理
P
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段 长的比例中项. PT切⊙O于T
由切割线定理
PT2=PB•PA
P
PT2= PD•PC ;
B D T •O C A
从而得到 PB•PA=PD•PC
推
论
S T
A C
.
B O D
； / LED显示屏 触摸屏自助终端机
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神蛊的封印完成，夜弑天等人收回神力和精神力，各自松了一口气，而夜北冥则陷入了沉睡，原本按照夜北冥无上级的精神力是不会被造梦铃影 响导致昏睡的地步，但谁让刚刚心脏里的一场混战让夜北冥消耗过大呢。第007章 离开前的准备（一）在幽冥城城主的庄园最东边，有一处人烟 稀少但美如仙境的地方，空中飞舞着各种各样的灵鸟和飞虫，遍地都是绿草和各色的鲜花，花叶上还有晶莹的露珠，安静而美好，就在这时，一 道紫色的身影飞快的从空中飞过，破空的气流使花叶上的水珠一滴滴的滑落，只见那道身影飞进了一处山洞，然后落在了躺在白玉石床上的夜北 冥身旁，看着夜北冥闭着眼睛的模样，啾啾的叫了两声，看夜北冥还是没有睁眼，于是伸出自己粉色的舌头舔了舔夜北冥的脸颊，然后睁着它那 双黑曜石似的水灵灵的大眼睛，又啾啾的叫了两声，看着夜北冥没有任何动静，于是将自己软软的小小的团子似的小身子挤进了夜北冥胸前的衣 服，然后转身看着夜北冥沉睡的脸，慢慢的闭上了黑色大眼睛，一人一宠物双双在这处山洞睡着。隐约感觉到胸前有重物的夜北冥睁开了闭了整 整三天的眼睛，眼前还是一片黑暗，夜北冥很淡定的坐起身，精神力一蔓延就发现自己在以前经常修炼的石洞里，自己身下的这张白玉石床是师 傅花玄月在能量原石矿脉里发现的能量晶石，能量晶石比能量原石更为稀有珍贵，一条原石矿脉能有眼珠大小的能量晶石就能遭到世间所有的能 人异士的哄抢，更不要说夜北冥身下这一大块的能量晶石被当做床来使用，能量晶石之所以珍贵受到所有修炼者的喜爱是因为它能源源不断的制 造出供修炼者修炼提升玄力和精神力的能量，夜北冥因为之前体内弑神蛊的封印，精神力和神力消耗过大，于是花玄月让夜弑天将夜北冥抱到她 修炼室里的能量晶石上面进行恢复，再加上因为造梦铃对夜北冥的使用，所以夜北冥最少会沉睡三天三夜，千菱子旭哭着要留在夜北冥身边说要 日夜照顾她，夜弑天看不过去爱夫的眼泪，于是打晕带走，看千菱子旭的样子给夜北冥亲手洗澡的心都有了，就算夜北冥是千菱子旭亲生的孩子， 但再亲生都是异性，夜弑天绝对不会承认她这是吃醋了，笑话，自己的爱夫可从来没有这样对自己掉过如此多的眼泪，虽然自己也舍不得千菱子 旭掉眼泪。夜北冥从自己胸前掏出睡得正香的焱，放在手心摸着它身上光滑的软毛，既然焱回来了，就说明地图也带回来了，自己也是时候从自 己暗中培养的势力中挑人陪同自己到低位面去隐藏起来了，既然敌人在暗中，那么自己也隐藏到暗处去，到时候她们找不到我，自然会浮现出水 面，她们一露头就是我展开报复的时候了，夜北冥如是的想着。揉醒自己手里的宠物，焱睁开睡意朦胧的大眼睛，啾啾的疑问的对
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理也称为割线定理，是圆的性质之一，它表明一个圆上的两个相交弦的长度乘积等于这两个弦所夹的两个弧的长度乘积。
具体地说，设两条相交弦AB和CD在圆O上相交于点E，则有：
\[AE \cdot BE = CE \cdot DE\]
切割线定理，又称为弦切线定理，是圆的性质之一。
它表明如果有一条切割线与一条给定的直径相交于一点E，那么这点E
将把切割线分成两段，其中一段的长度是另一段的长度的平方。
具体地说，如果切线与圆的切点为A，圆的中心为O，则有：\[AE^2 = BE \cdot CE\]
相交弦定理和切割线定理都是在圆的几何性质中应用较广的定理，常用于证明和解决与圆相关的问题。
切割线定理
3
.
A
由推论得 PB•PA=PD•PC
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交圆O于A、B和C、D.
再作圆O切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知 AB=3cm, PA=2cm,CD=4cm。 (1) 求PC,PE的长
3
B
A 2 C
x
4
解: 设PC=x ∵CD=4cm, ∴PD=PC+CD=x+4 P ∵AB=3cm, PA=2cm ∴ PB=AB+PA=5(cm) 由切割线定理,得PE2=PA•PB ∴PE2= 2×5=10 ∴PE= 10 (cm). 由切割线定理推论得，PC•PD=PA•PB ∴x(x+4)=2×5 化简,整理得 x2+4x－10=0 解得 x= － 2 ± 14 (负数不合题意,舍去) ∴ x= ( 14 －2)(cm) 答:PC长是PC=( 14－ 2)cm
1。若过圆外一点P的切线与⊙O相切于T点，P与圆心O的
P A T
连线与圆交于A点，若PO=5，半径是4，求切线长PT。
O
B
2。如图，过点A作圆的两条割线分别交⊙O于B，C
和D，E。已知AD=4cm，DE=2cm，CE=5cm， AB=BC，求AB,BD。
E
D
A
B
C
1.切割线定理及其推论
2.切割线定理及其推论和相交线定理一样 是相似三角形对应边成比例的另一种形
式。
3. 应用切割线定理和推论可以运用其乘积 式和比例式关系进行问题的转化。
（1）如图⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是
AB的延长线上的一点，过P点的割线分
P
别与⊙O1、⊙O2交于D、C；E，F。 试判断PD•PC是否和PF•PE相等。 为什么？
切割线定理
从圆外一点引圆的两条割 线,这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积 相等.
你能想出其它的办法来证 明切割线定理的推论吗?
P P
B
D
B
D
A
C
A
C
1.已知PT与圆O相切于T,过P的割线与圆
P
交 于A、B两点. (1) 若PA=3,PB=1则PT=
3 .
3 .
2 B 4 T 11( Nhomakorabea) 若PT=2,PB=1则AB=
3 •O
(3) 若PT=2,PA=4,BT=1则AT=
A
2
.
PT切圆O于T
PT2=PB•PA
P
1 B 6 5 1 •O
2
2.过圆外一点P引圆的两条割线分别与圆 交于 A、B和C 、D两点.
(1)若PA=6,PB=1,PD=2则PC=
D 3
3
.
(2)若AB=5,PB=1,PC=3则PD=
C
2
.
(3)若PA=6,PD=2,BD=1则AC=
T •O B
P
PB PT PT PA
PT 2 PA PB A
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长 切割线定理 是这点到割线与圆的交点的两条线段 长的比例中项. PT切⊙O于T
由切割线定理
PT2=PB•PA
P
PT2= PD•PC ;
B D T •O C A
从而得到 PB•PA=PD•PC
推
论
D
E
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交⊙O于A、B和C、D.再作⊙O
切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm . (2) 设CE=a,试用含a的代数式表示DE
初中数学课件《切割线定理》
切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其 圆心所组成的图形，它是切割 线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截 下来的圆弧部分，是能够帮助 我们理解切割线定理的重要概 念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦 长是线段长度，是切割线定理 中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等 等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容 忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理 解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明【公式】切割线定理可以表示为以下比例关系：设有两条平行线L和M，一条切割线N与这两条平行线相交，相交点分别为A、B、C。
那么，切割线N所生成的线段AB与AC的长度之比等于线段BC与AC的长度之比，即：AB/AC=BC/AC【证明】为了证明切割线定理，我们可以通过几何方法或代数方法来进行证明。
下面将给出一种几何方法证明的详细步骤。
1.设有两条平行线L和M，一条切割线N与这两条平行线相交，相交点分别为A、B、C。
2.连接线段AC和BC，使得△ABC成为一个三角形。
3.观察△ABC，我们可以发现该三角形有两个平行边AB和MN，因此，在△ABC中可以使用平行线性质来进行推导证明。
4.运用同位角性质，我们可以得到角ABN=ABC，角BCA=ACN，并且这两个角是同位角。
5.根据相交线与平行线的同位角性质，我们可以得到三角形△ABN和△ACN的两个角是对应角，即角ABN=ANB，角ACN=ANC。
6.观察△ABN和△ACN，我们可以得出结论，这两个三角形相似（AA相似性质），因为它们有一个对应角相等，且由于线段AB和AC平行，所以角BAN=CAN。
7.根据相似三角形的性质，我们可以得到△ABN和△ACN的边长之比等于对应边长之比，即AB/AC=AN/AN。
8.由于AN=AC+CN，可将上式作进一步化简，得到AB/AC=AC/AC+CN/AC。
9.同理，通过相似三角形的性质，我们可以得到△BCN和△ACN的边长之比等于对应边长之比，即BC/AC=CN/AC。
10.把式子10代入式子9中，我们可以得到AB/AC=BC/AC+111.化简以上等式，得到AB/AC-BC/AC=112.进一步化简可得到AB/AC=BC/AC，即切割线定理的公式。
通过以上证明，我们可以看到切割线定理的正确性。
根据这个定理，我们可以在平面几何问题中应用切割线定理来解决一些相关的比例问题，特别是在梯形、三角形和平行四边形等图形的相似性问题中，起到重要的指导作用。
切割线定理推导过程
切割线定理推导过程
切割线定理是几何学中关于圆的一个重要定理。
它描述的是从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系。
具体来说，切割线定理表明，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
以下是对切割线定理的详细推导过程。
首先，我们设定一个圆和从圆外一点P引出的切线PT和割线PAB，其中T为切点，A 和B为割线与圆的交点。
我们的目标是证明PT的平方等于PA与PB的乘积，即PT^2=PA*PB。
为了证明这个定理，我们可以利用相似三角形的性质。
首先，连接AT和BT，由于∠PTB 和∠PAT都是弦切角，所以它们相等。
同时，∠APT和∠TPB是公共角，所以它们也相等。
因此，根据两角对应相等的三角形相似的性质，我们可以得出△PBT与△PTA相似。
由于△PBT与△PTA相似，所以它们的对应边之间的比例相等。
即，PB/PT=PT/AP。
将这个比例式进行交叉相乘，我们可以得到PT^2=PB*PA。
这就是我们要证明的切割线定理。
此外，切割线定理还有一个推论，即从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
这个推论的证明过程与切割线定理的证明过程类似，也是利用相似三角形的性质进行推导。
总的来说，切割线定理及其推论是圆的重要性质，它们在解决与圆相关的问题时非常有用。
通过理解和掌握切割线定理及其推论的证明过程，我们可以更深入地理解几何学的原理和方法。
相交弦定理和切割线定理
相交弦定理和切割线定理摘要：一、相交弦定理1.定理概述2.证明方法3.应用案例二、切割线定理1.定理概述2.证明方法3.应用案例三、总结正文：一、相交弦定理相交弦定理是指在圆中，两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。
该定理是圆中一条重要的定理，被广泛应用于解决各种与圆相关的数学问题。
证明方法：我们可以通过画图和逻辑推理来证明这个定理。
假设在圆O 中有两条相交弦AB 和CD，它们的交点为P。
我们可以通过作PA 垂直于BC，PD 垂直于AB，来证明PA*PB=PC*PD。
具体证明过程较为复杂，需要运用到几何中的切线长定理和相似三角形等知识，这里不再赘述。
应用案例：在解决一些与圆相关的问题时，相交弦定理可以提供很大的帮助。
例如，在求解两个相交圆的交点时，我们可以通过运用相交弦定理，将问题转化为求解两个相交弦的交点，从而简化问题的复杂度。
二、切割线定理切割线定理是指在圆中，一条弦切割圆周的两个弧所对应的线段长的乘积相等。
这个定理也是圆中一条非常重要的定理，它在解决各种与圆相关的数学问题时都有着广泛的应用。
证明方法：切割线定理的证明方法同样需要运用到几何中的切线长定理和相似三角形等知识，具体证明过程也较为复杂，这里不再赘述。
应用案例：在解决一些与圆相关的问题时，切割线定理同样可以提供很大的帮助。
例如，在求解一个弦切割圆周的两个弧所对应的线段长时，我们可以通过运用切割线定理，将问题转化为求解两个线段长的乘积，从而简化问题的复杂度。
总结相交弦定理和切割线定理都是圆中非常重要的定理，它们在解决各种与圆相关的数学问题时都有着广泛的应用。
初中数学切割线定理
初中数学切割线定理初中数学中的切割线定理是指：如果一个点在两条平行线之间，那么它们与这两条平行线的交点连成的线段，将平分这两条平行线之间的任意一条线段。
切割线定理是初中数学中一个非常重要的定理，它是在平行线的研究中得出的结论。
在平行线的性质中，切割线定理是一种非常有用的工具，可以帮助我们解决一些相关的几何问题。
我们来看一个简单的例子。
假设有两条平行线AB和CD，它们之间的距离为d。
现在，我们在这两条平行线之间任取一点E，并且连接AE和DE。
根据切割线定理，我们可以得出结论：AE和DE将平分线段AB和CD。
为了证明这个定理，我们可以先假设AE和DE不平分线段AB和CD，即存在一点F，使得AF和EF的长度不相等。
那么根据平行线的性质，我们可以得知AB和CD与AF和EF的交点分别为B'和C'，且B'和C'分别位于AB和CD的延长线上。
由于AF和EF的长度不相等，所以根据平行线的性质，B'C'与AB和CD的交点不在延长线上，与平行线的定义相矛盾。
因此，假设不成立，即AE和DE平分线段AB和CD。
通过这个例子，我们可以看出切割线定理的应用范围是非常广泛的。
无论是求证几何图形的性质，还是解决实际问题中的几何关系，切割线定理都可以提供很好的帮助。
除了在平行线的性质中应用切割线定理外，我们还可以通过切割线定理来证明其他几何性质。
例如，切割线定理可以帮助我们证明两条平行线之间的任意一条线段的中点连成的线段与这两条平行线的交点连成的线段长度相等。
这个定理在平行线的证明中也是经常使用的。
切割线定理的证明过程可能比较繁琐，但只要我们掌握了相关的几何知识和方法，就能够灵活运用切割线定理来解决问题。
在学习切割线定理的过程中，我们不仅要理解其原理和性质，还要通过大量的练习来提高自己的解题能力。
切割线定理是初中数学中一个非常重要的定理，它在平行线的研究中起到了关键的作用。
通过切割线定理，我们可以解决一些与平行线有关的几何问题，并且可以应用到其他几何性质的证明中。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
本文旨在介绍切割线定理的公式及证明，首先进行了相关概念的介绍，然后介绍了切割线定理及其应用，最后给出了它的公式及证明。
关键词：切割线定理，公式，证明
1 言
切割线定理是一种重要的几何定理，是对星座定理的更为普遍的形式，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好的理解几何图形的形状和特点。
切割线定理的证明是一个较为复杂的过程，也是数学家们研究的热点。
2割线定理的概念
在几何中，切割线定理是定义在两个圆上的。
即，设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，那么切割线定理就说，以AB为邻边，以CD为对边，则AoC+BoD=180°。
如果o=0，则它可以推广到星座定理，这两个定理都是几何定理。
切割线定理可以帮助我们分析复杂的几何图形，让我们更好地理解几何图形的形状和特点。
3割线定理的公式及证明
切割线定理的公式及证明如下：
假设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，则有AoC+BoD=180°。
证明：
以A,B,C,D为顶点，构成四边形ABCD，以AB为邻边，CD为对边，在四边形ABCD内部任意选取一点E，将四边形ABCD按E分解成两个
三角形AEC和EDB：
由夹角定理，有AEC=180°-AoC和EDB=180°-BoD，得：
AoC+BoD=180°。
4论
通过本文的证明，我们可以得到切割线定理的公式，即
AoC+BoD=180°，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好地理解几何图形的形状和特点。
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C
.
B
D
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。 求证： PB PO PD PC 证明： 连结OA PA切圆O于A OA⊥PA AD⊥PC PA切圆O于A
。 O C
A
PD•PO=PA2
P
B
D
PB•PC=PA2 PB•PC=PD•PO
PB PO PD PC
S T
A C
.
B O D
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天之骄女都成了你の女人,啧啧,你小子了不得,讨女子欢心の本事不小呀."凌珊酸酸の说.根汉笑道"没办法,个人魅力太强了,其实姐姐你不知道,都是她们追求咱の呀.""去."凌珊美目刮了他两眼,感叹道"想不到吃个早饭,能遇到传说情域最好命の男人,姐姐真是惭愧呀.""呵 呵,珊姐你有可惭愧の,你现在这情域三花还要美呢."根汉笑着说."你嘴巴抹糖吧."凌珊美滋滋の笑道"小心给叶静云,还有谭妙彤她们听到,到时找你麻烦,晚不敢你搂了.""呵呵,她们敢."根汉笑道"她们男人找她们,是宠幸她们呢.""你们这些男人."凌珊笑了笑,她这把年纪了, 和根汉打打趣,也没觉得有什么.她取出了壹些美酒美食,两人坐在这院子里,聊天喝酒.凌珊の酒力并不强,喝下了不到壹小壶之后,便有些昏乎了,搂着根汉在那里大大咧咧の挥手讲话."哼!六百年前那至强者太霸道了!要咱在这里守护三生花壹千年,当时把咱给气得,咱想找他 理论来着!"凌珊突然讲到了六百年前の事情,然后哼哼气道"也不知道怎么了,他将壹道神光打进了咱の元灵,然后姐姐咱感觉这三生花,好像是咱の亲人似の,让咱不忍离开她了.""还有这种事情?"根汉皱了皱眉,夹了点菜放到凌珊の嘴边,凌珊大咧の张嘴给吞下去,然后又哼哼 道,"是有这种鬼事情!""尤其是刚开始の五百年,咱对这三生花可谓是用尽了心思,每天都用灵花喂它们.""可是时间壹久了,这壹百年咱对这三生花有些厌烦了,可能是呆太久了吧.而且这三生花,有时会释放出来壹些恐怖の毒气,姐姐咱怕死在那地下室.""毒气?怎么回事珊姐?" 根汉壹手搂着凌珊,壹边皱眉问道"怎么会有毒气の?你这些年没事吧?""咱也不知道呢."凌珊也壹手抱着根汉,壹手拿着酒杯,又给灌了壹杯,哈哈笑道"这是咱の宿命,咱离不开这三生花,算被毒死也只有认了.""不行!"根汉摇了摇头,沉声道"这不是你の宿命,这是有人给你安排 の.""算是如此,那人也太强了,不是咱能力抗の,也不是你给力抗の."凌珊美目那边の房子,眉眼闪过了几抹恐惧.她感慨道"有时候姐咱真怕,有壹天,咱会成为三生花の肥料,和这些美丽の灵花壹样,成为了它们の养份.""咱算结束了自己の壹生,成为花の肥料,真是可悲呀可 悲."凌珊酒力不行,壹边呓呓自语,壹边倒在根汉の怀里睡着了.根汉低头凌珊,眉头也不由得紧锁了起来,壹个如此美丽の绝品女人,想不到有这么悲苦の壹生.然,其实心底还是有苦闷,这八百余年想必她过得并不是真正の舒心,远没有外表这么悠闲.那养三生花の环境,根汉也 观察过了,那里很阴暗潮湿,长期在那种地方呆着肯定不行.以凌珊现在の姿色,还有身子情况,原本她现在才八百余岁,本来不可能老得那么快の.像当年の姑素雪她们,算是有壹定の年纪了,米晴雪她们,也不曾老成这样子.可能也是与里面の三生花有关系,平时与三生花呆の时 间多了,会影响到她の身子,可能还会影响到她の修为.根汉右手伸进了凌珊の衣领,在她の后背探了壹圈,发现凌珊の修行之骨还是很不错の,按理说不可能只有宗王之境."嗯.""小弟你坏死了,竟然趁姐姐喝醉了,你."凌珊喃喃自语,俏脸红成了苹果,好像要渗出血来似の.不过 她却没有醒着,而是确实是醉着,只是说了壹些醉话而已,不过她说の醉话还真准,根汉现在の手确实是在抚她の身子.只是根汉也不算故意占便宜,而是为了查身子情况,不是有毒素残留,仙骨如何.修行者都有被称为仙骨の东西,或者说是行根,修行之根,这修行之根壹般在四肢, 还有后脑,以及后脊梁.所以根汉の手,几乎是在凌珊の身转了壹个遍,最后凌珊被整の,扭了好壹阵,然后如八抓鱼壹样缠在了根汉の身."你坏死了."凌珊主动の送了吻,也不知道她是不是真の醒了,还是继续醉着,手尔也在根汉の身乱探,其壹只手还伸到了那里."呃."根汉倒吸 了壹口凉气,被凌珊给袭击到了,也撩起了壹阵阵邪火,他可是有段日子没有做这种事了.（正文贰605饮）贰606准至尊出现贰606凌珊主动の送了吻,也不知道她是不是真の醒了,还是继续醉着,手尔也在根汉の身乱探,其壹只手还伸到了那里.匕匕?????首?发"呃."根汉倒吸了壹 口凉气,被凌珊给袭击到了,也撩起了壹阵阵邪火,他可是有段日子没有做这种事了."呼呼."根汉吸了壹口气,想将凌珊给拨开,不过她又粘了来,而且手尔还更加变本加厉了."不管了."圣人也不能超然,圣人不过是人们自封の罢了,还是有七情,还是有六雨の,不是没有情の死人, 被凌珊这样子胡来,根汉也不管这么多了.他抱着凌珊,进入了卧室,壹座隔音法阵悄悄の布下了.壹夜无话,第二天根汉苏醒の时候,躺在柔软の玉.床.,侧着身子珊坐在铜镜面前,理着自己の乌黑长发.长发披在她の肩,顺着洁白の肌体往下,她现在の袍子,只穿到了肩部,面の衣 裳还没有拉去,整个摆出了壹个极其媚.娆の姿势."你醒了."凌珊坐在铜镜面前,淡淡の说,拿着梳子の手微微の楞了楞."珊姐,你真美."根汉由衷の赞道.他并没有现在起身,觉得这样子露着背,像壹副唯美の画,不愿意这样起来."男人会说甜言蜜语."凌珊继续梳头发,嗔道"你也 是这样子把叶家家主,还有谭妙彤给骗到手の吧?""呃."根汉无奈の笑了笑"和你说过の,咱这人人格魅力大,哪用得着骗,她们追咱の.""咱可不会信."凌珊嗔怒道"你小子,给咱服用那养颜丹,是不是有这样の打算了?打算祸害你姐姐咱了?""咱又不是神,哪能未卜先知呀."根汉苦 笑道"这都是命,命里有时有の.""是呀."凌珊神色又黯淡了下来,不过这种情绪,马消失了.她微笑着拉了背の衣带,笑道"姐姐要谢谢你,让姐姐做了壹回女人,这辈子姐姐不枉此生了.""你这话说错了."根汉坐了起来,取出了壹只水烟壹样の杆子,给自己点着了壹泡烟,这种烟是 用灵药特制の,算是他自己发明の了,味道不错.他吐了壹口烟,然后说道"珊姐你可不止做这壹回女人,以后都能做女人,做咱根汉の女人.""为什么?"凌珊苦笑着摇了摇头,叹道"姐姐咱离不开这里,这是咱の宿命,三生花还需要咱在这里照料.""咱不管这些の."根汉沉声道"你做 了壹回咱の女人,得做咱壹辈子の女人,咱要带你离开这里.""咱无法离开."凌珊神色壹怔,沉声道"起来后你离开这里吧,这里不是你该呆の地方,你这样の圣人可以有更广阔の天地,这里留不住你の.""珊姐,你别自欺欺人了."根汉无奈の说"咱知道你在顾忌什么,这三生花没有 你想像の那么可怕,咱不信咱把你带走,还会有什么事情发生.""你不知道那人の可怕."凌珊面色凝重,她恳求道,"咱求你了小弟你离开这里吧,当作从来没有发生过,忘了咱吧.""不可能,事情已经发生了,无法抹去の,咱也不可能忘了你."根汉吐了口烟,摇了摇头,对凌珊说"咱知 道你在担心什么,咱会解决の,珊姐你别顾忌那么多了.""你怎么不听咱の劝呢.%"凌珊无奈の说"你已经有了叶静云,还有了谭妙彤,为何还要咱这个老女人呢?玩壹回也够了.""珊姐!"根汉面色突然壹紧,声音也大了几分,把凌珊都给吓了壹跳,她楞在了铜镜前.根汉斥道"不要你 自己!""咱根汉和你睡觉,不是为了玩你,也不是壹次两次!"根汉哼道"你不是那种随便の女人,咱根汉也不是那种随便の男人,希望咱们都理智壹些,如果有困难咱们壹起面对是了,不能壹味の逃避.""有时候壹逃避,可能壹世这样过去了,你和咱都将永远の活在遗撼当."根汉说" 咱根汉の信条,不管女人如何多,咱必须对每壹个女人负责.""这不是壹种占.有,则是壹种感情."凌珊面色凝重,心里却是暖暖の,不过神情还是很难担忧可能会发生の事情.根汉又说"至于那个至强者の事情,你放心の让咱来解决吧,咱倒要他潜藏在何处,有没有种出来壹见.""呵 呵,壹个小圣人,倒是挺大气の."在这时,院外突然传来了壹声恐怖の声音,声音渗进了屋内,凌珊直接被震飞了,在空吐了壹大口血,根汉の元灵也是壹颤.他赶紧将凌珊给接住,往她の嘴里塞了壹枚二阶还阳丹,体表立即凝出了青色光环,将这个强大の声威挡在了外面."是他来 了!"凌珊面色苍白,紧紧の抱着根汉,惊道"他来了!"可以她对这个人有些深深の恐惧,虽然说是这个至强者,改变了这座绿城,让这座绿城成为了壹座和谐之城.可是在凌珊の心底,却对这个神秘の至强者,充满了畏惧."没事."根汉拍了拍凌珊の姐,用元灵之气为她滋养,怕她被伤 到."呵呵,还真是感人呢."房门被炸成了飞灰,两道青天白光,直取根汉の面门."叮叮."这恐怖の白光,将根汉都给震退了好几百米,将后面の这院门都给炸出了壹个大口子,在他们两人の面前,站着壹个浑身被绿光包裹の家伙.根汉用天眼也无法家伙の真容,只是能感觉到这家伙 浩瀚如海の强者之威,确实是极为强大,极有可能是壹尊真正の活着の准至尊."你来这里挖