初中数学新定义阅读理解题

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初中数学流程图、新定义运算、阅读理解题型(1)

初中数学流程图、新定义运算、阅读理解题型一、流程图运算1.按下面的程序计算，若开始输入x的值为正整数，最后输出的结果为22，则开始输入的x值可以为（）A.1B. 2C.3D.42.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是2，则输出y的值是1，若输入x的值是7，则输出y的值是（）A.1B.－1C.2D.－23.按下面的程序计算，如果输入－1，则输出的结果为_________.4.有一数值转换器，原理如图所示.（1）若开始输入x的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，依次继续下去...，第2022次输出的结果是___；（2）若输入的x值为整数，且第二次输出的结果与开始输入的数值相等，则x的值为_____.5.解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作:魔术师能立刻说出观众想的那个数.（1）如果小玲想的数是－2，那么她告诉魔术师的结果应该是______;（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为73，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是____;（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，若设观众心想的数为a，请通过计算解密这个魔术的奥妙，6.如图，按下面的步骤进行数值运算，规定运行到“判断结果是否大于35”为一次运算.若某运算进行了两次才停止，则x的取值范围是（）A.x≤19B.x>11C.11<x≤19D.11≤x≤19二、新定义运算1.定义一种新的运算“※”，规定它的运算法则为：a※b＝a2＋2ab，例如：3※（－2）＝32＋2×3×（－2）＝－3．（1）求（－2）※3的值；（2）若1※x＝3，求x的值；（3）若（－2）※x≥（－2）＋x，求x的取值范围．2.对于x，y定义一种新运算“φ”，xφy＝ａx＋by，其中a，ｂ是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3φ5＝15，4φ7＝28，求1φ1的值.3.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝a－2b，比如3⊕（－2）＝3－2×（－2）＝3－（－4）＝3＋4＝7（1）求（－2）⊕3的值．（2）若（x－3）⊕（x＋1）＝－1，求x的值．4.有一个数学运算符号“○X”，使下列算式成立：4○X8＝16，10○X6＝26，6○X10＝22，18○X14＝50.求7○X3＝？5.设a，b表示两个不同的数，规定aΔb＝3a＋4b.求（8△7）△6.6.设x，y为两个不同的数，规定x□y＝（x＋y）÷4.求a□16＝10中a的值.7. 历史上的数学巨人欧拉最先把关于x 的多项式用记号f （x ）来表示．例如f （x ）＝x 2＋3x －5，把x ＝某数时多项式的值用f （某数）来表示．例如x ＝－1时多项式x 2＋3x －5的值记为f （－1）＝（－1）2＋3×（－1）－5＝－7．（1）已知g （x ）＝－2x 2－3x ＋1，分别求出g （－1）和g （－2）值．（2）已知h （x ）＝ax 3＋2x 2－x －14，h （12）＝a ，求a 的值．8. 阅读材料：对于任何实数，我们规定符号|a c b d |的意义是|a c b d|＝ad −bc . 例如：|1324|＝1×4−2×3＝−2，|−1536|＝−1×6−3×5＝−21.按照这个规定，解答下列问题：（1）计算|56−7−8|的值. （2）计算：当 5x 2＋y ＝7 时，|x 2＋y 2x 2−y −1−3|的值. （3）若|x ＋223x −1−3|＝0.5，求x 的值.9. 定义一种法则“○×”如下：a ○×b ＝{a ，a >bb ，a ≤b ，如：1○×2＝2.若（2m －5）○×3＝3，则m 的取值范围是______.三、阅读理解1. 选阅读下列解题过程，再解方程组.解方程组{x −y −1＝0， ①4(x −y )＝5＋y.②解：由①，得：x －y ＝1 ③把③代入②，得：4×1＝5＋y解得：y ＝－1把y ＝－1代入③，得：x ＝0所以原方程组的解为{x ＝0y ＝−1上面这种结题的方法称为“整体代入法”.请用上述方法解下面的方程组：{2x −3y −2＝0， ①2x−3y ＋57＋2y ＝9. ②是点M 的“m 倍相关点”.例如，点A （2，1）的“2倍相关点”的横坐标为：2＋1x2＝4，纵坐标为2×2＋1＝5，所以点B （4，5）是点A 的“2倍相关点”.（1）若点C （－6，3）的“一倍相关点”是点D （a ，b ），求2a ＋b 的值；（2）若点P （3，2n ）的“－3倍相关点”是点Q ，且点Q 在y 轴上，求点Q 到x 轴的距离.3. 有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x ＋2|x|＝3解：当x ≥0时，方程可化为：x ＋2x ＝3解得x ＝1，符合题意．当x ＜0时，方程可化为：x －2x ＝3解得x ＝－3，符合题意．所以，原方程的解为：x ＝1或x ＝－3．仿照上面解法，解方程：x ＋3|x －1|＝7．4. 【背景知识】数轴上A 点、B 点表示的数为a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB ＝|a －b |；线段AB 的中点M 表示的数为a ＋b 2．【问题情境】已知数轴上有A 、B 两点，分别表示的数为－40和20，点A 以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B 以每秒2个单位向左匀速运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）运动开始前，A 、B 两点的距离为_____；线段AB 的中点M 所表示的数为_____．（2）它们按上述方式运动，A 、B 两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？（3）当t 为多少时，线段AB 的中点M 表示的数为－5？并直接写出在这一运动过程中点M 的运动方向和运动速度．5. 试验与探究：我们知道分数1写为小数即0.3．，反之，无限循环小数0.3．写成分数即1一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.现在就以0.7．为例进行讨论:设0.7．＝x ，由0.7．＝0.7777…，可知，10x －x ＝7.77…－0.777…＝7，即10x －x ＝7，解方程得x ＝79，于是得0.7．＝79. 请仿照上述例题完成下列各题:（1）请你把无限循环小数0.5．写成分数，即0.5．＝_______（2）你能化无限循环小数0.7．3．为分数吗?请仿照上述例子求解之.6. 我们知道：|a |表示数轴上，数a 的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“|a |＝|a －0|”，进而提出这样的问题：数轴上，数a 的点到数1点的距离，是不是可以表示为|a －1|？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探究吧!步骤一：实验与操作：步骤二：观察与猜想：（2）观察上表：猜想 A 、B 两点之间的距离可以表示为___________（用 a 、b 的代数式表示）步骤三：理解与应用：（3）动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动．运动到 3 秒时，两点相距 15 个单位长度．已知动点 A 、 B 的速度之比是 3：2（速度单位：1 个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度；②A 、B 两动点运动到 3 秒时停止运动，请在数轴上标出此时 A 、B 两点的位置；③若 A 、B 两动点分别从（2）中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A 、B 两动点之间相距 4 个单位长度．7.小红同学在做作业时，遇到这样一道几何题：已知：AB∥CD∥EF，∠A＝110°，∠ACE＝100°，过点E作EH⊥EF,垂足为E，交CD于H点．（1）依据题意，补全图形；（2）求∠CEH的度数．小明想了许久对于求∠CEH的度数没有思路，就去请教好朋友小丽，小丽给了他如图2所示的提示：请问小丽的提示中理由①是；提示中②是：度；提示中③是：度；提示中④是：，理由⑤是．提示中⑥是度；8.我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的.例如：(1)请仿照上例化简.①。

专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品(原卷版)

《中考压轴题全揭秘》专题16 新定义和阅读理解型问题一、单选题1．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A． B． C． D．2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．163．已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B 两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对4．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A．23B．1 C．43D．535．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（）A ．9B ．7C ．﹣9D ．﹣76．已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（） A ．B ．C ．D ．或17．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：()()22@a b a b a b =+--，则下列结论：①若@0a b =，则a =0或b =0；②()@@@a b c a b a c +=+；③不存在实数a ，b ，满足22@5a b a b =+；④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，@a b 最大．其中正确的是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③8．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（）A ．B ．C ．34D ．109．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C． D．10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A． B． C． D．方程组的解为11．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣212．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤1213．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A． B． C． D．14．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．4201815．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1二、填空题16．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.17．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．18．对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．19．规定：，如：，若，则＝__.20．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．21．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．22．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．23．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．24．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．25．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．26．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．27．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．28．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．29．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）30．定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=_____．31．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.32．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．三、解答题33．综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．解决问题(1)在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为．34．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．35．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．36．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．38．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．39．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为__________；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．40．阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.41．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为正整数).求的长(用含的式子表示).42．结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，，.根据勾股定理，得.整理，得.所以.小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：的内切圆与相切于点，，.可以一般化吗？（1）若，求证：的面积等于.倒过来思考呢？（2）若，求证.改变一下条件……（3）若，用、表示的面积.43．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

初中几何43模型解题模型【10】新定义问题(3)(附解析)

模型10新定义问题（3）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【经典例题】例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 有（）A ．6个B ．10个C ．16个D ．20个【分析】由236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，以及若x 不是整数，则[]x <x 知,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，得到n 的值【解析】∵236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若x 不是整数，则[]x <x∴,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数∴n 值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，选C 【小结】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解[]x 表示不超过x 的最大整数，得到,,223366n n n n n n⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，由此解决问题.例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t能写成t＝x2﹣y2（x，y均为正整数，且x≠y），则称t为“万象数”，x，y为t的一个万象分解，在t的所有万象分解中，若x yx y-+最小，则称x，y为t的绝对万象分解，此时F（t）＝xy．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为9797-+＝18，6262-+＝12，1182<．所以9和7为32的绝对万象分解，则F（32）＝97．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，则所有满足条件的数m中F（m）的最大值为______．【分析】设n的个位数字是a，十位数字是b，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m=99(a+b)(a-b)，再由a与b的取值范围，m同时能被13整除，可以确定m的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．【解析】设n的个位数字是a，十位数字是b，∵n是“博雅数”，∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，∴m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），∵m能被13整除，∴（a+b）（a﹣b）是13的倍数，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∴a+b＝13，∴a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；∴m的值所有情况为：1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；∵F（1287）＝7667；F（3861）＝6948；F（6435）＝362353；∴F（m）的最大值为69 48．【小结】本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．根据题中所给材料，解答以下问题：（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；（2）对一个各个数位数字均不超过6“希望数m ，设m abcd =，若个位数字是千位数字2倍，且十位数字和百位数字均是2倍数，定义()|()()|F m a b c d =+-+，求()F m 最大值．【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m ，再根据定义()|()()|F m a b c d =+-+求出()F m 即可得出最大值．【解析】（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m ，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m ”可能是1062；1602；1242；1422；2664．当m abcd ==1602时，()|(16)(02)|=5F m =+-+；当m abcd ==1062时，()|(10)(62)|=7F m =+-+；当m abcd ==1242时，()|(12)(42)|=3F m =+-+；当m abcd ==1422时，()|(14)(22)|=1F m =+-+；当m abcd ==2664时，()|(26)(64)|=2F m =+-+；故()F m 的最大值为7．【小结】本题考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．【巩固提升】1．（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）若规定“！”是一种数学运算符号，且1!1=，2!212=⨯=，3!3216=⨯⨯=，，则100!98!的值为（）A ．5049B ．99C ．9900D ．2【分析】先根据数学运算符号“！”得出100!和98!的值，再计算有理数的乘除法即可得【解析】由题意得：100!10099982198!98979621⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 10099=⨯9900=，选C 【小结】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．2．（2020·江苏常州市·七年级期中）定义：一种对于三位数abc (其中在abc 中，a 在百位，b 在十位，c 在个位，a 、b 、c 不完全相同)的F 运算：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc ＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F 运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F 运算也会得到一个定值，这个定值为（）A ．4159B ．6419C ．5179D ．6174【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F 运算即可得到这个定值．【解析】由题意，不妨设这个四位数为1234，则经过第1次F 运算的结果为432112343087-=，经过第2次F 运算的结果为87303788352-=，经过第3次F 运算的结果为853*********-=，经过第4次F 运算的结果为764114676174-=，由此可知，这个定值为6174，选D ．【小结】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F 运算的定义是解题关键．3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知a 是不等于1-的数，我们把11a+称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______．【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【解析】a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+，则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=【小结】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．4．（2020·江门市新会尚雅学校八年级期中）定义：若两个二次根式a 、b 满足a b c ⋅=，且c 是有理数，则称a 与b 是关于c的共轭二次根式．若与是关于2的共轭二次根式，则m 的值为___．【分析】根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m 的值；【解析】∵与是关于2的共轭二次根式，∴=2⨯∴1=12m 【小结】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．5．（2020·重庆市凤鸣山中学八年级期中）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n 个则称为n 进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+=（1）请将以下两个数转化为十进制：()5333=，（746)=．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得227755a b c c b a ++=++，化简成24a +b =12c ，根据a 、b 、c 的取值范围分别将a 从1开始取值验证，即可得到答案．【解析】（1）()253333535393=⨯+⨯+=，7(46)47634=⨯+=，故答案为：93，34；（2）根据题意得：227755a b c c b a ++=++，∴24a +b =12c ，∴212bc a =+，∵a 、b 、c 均为整数，且04b ≤≤，∴b =0，c =2a ，∵04a <≤，04c <≤，∴12a c =⎧⎨=⎩或24a c =⎧⎨=⎩，∵27(102)170251=⨯++=，27(204)2704102=⨯++=．∴这个数用十进制表示为51或102．【小结】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．6．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -；②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,24-，中分线解析式为110y x =-．【解析】（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得234201x x -+=，解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24，中分线经过点O ，∴中分线解析式为76y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,22++，即(1,2)．中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-，中分线经过点O ，∴中分线解析式为110y x =-，综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-．【小结】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．模型11新定义问题（4）【模型分析】知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析

初中数学论文：中考数学“新定义”试题浅析中考数学“新定义”试题浅析随着新课改的深入，中考试题中考查学生的学习能力，促进学生发展的创新型试题不断地涌现。

而“新定义”试题是创新型试题的主要表现之一，也是2022年中考数学试题中的一个热点。

“新定义”试题具有新颖公平的问题背景，且与已学数学知识密切关联的知识基础，能有效考查学生的数学阅读理解能力和运用已学知识分析问题、解决问题的综合能力，在中考试题中有较好地效度。

现举例说明如下：考点一：利用“新定义”构建数、式模型例1、（2022年绍兴市）李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A 与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的1，4311均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第二次操作422后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是____________．AB0 1 21 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （例3图）1311，均变成，变成1，∴在第二次操作后，44221313原线段AB上的，均变成1，∴点所对应的数之和是??1。

4444解：∵在第一次操作后，原线段AB上的【剖析】本题是一道PISA型试题，以学生已学的数轴和已有的生活经验为基础，对某种操作进行了新的定义。

解答本题，关键是要读懂新定义中“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度。

第一次操作后，在拉长后1处为对折点，均匀21131变成1，原线段AB上的，均变成，这在题目中已有提示。

第二次操作后，2442113在线段处有两个数和为对折点，均匀拉长后这两个数都江堰市变为1，根据题意，24413在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为和，这样马上可以得出结论。

4413解：??1。

专题13 新定义

人大初中数学教研组2011年9月专题十三新定义1.（2007丰台一模，12，4分）对于整数a 、b 、c 、d 规定符号bd ac c b da-=，若34b d 11<<，则b+d=__________。

2.（2007宣武二模，12,4分）在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“*”如下：当b a ≥时，;b b *a 2=当b a <时，,a b *a =则当2x =时，)x *3(x )x *1(-⋅的值为__________。

（“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号） 3.（2008朝阳二模，12,4分）我们把分子为1的分数叫做理想分数，如21，31，41，…，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=，1214131+=，2015141+=，…根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数ba n 111+=(n 是不小于2的整数，且a ＜b )，那么b －a ＝________．(用含n 的式子表示)4. （2008东城二模，12,4分）对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *(a *x )＝－41有两个相等的实数根，则满足条件的实数a 的值是________． 5.（2008石景山二模，12,4分）定义：平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________. 6.（2010石景山二模，12,4分）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如{25}=3，{5}=6，{－1.3}=－1等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如[27]=3，[4]=4，[－1.5]= －2，如果整数．．x 满足关系式:{}[]1232=+x x ，则=x __________.7.（2011海淀二模，12,4分）某种数字化的信息传输中，先将信息转化为数字0和1组成的数字串，并对数字串进行了加密后再传输。

数学一题一课系列新定义类题

初中一“题”一课系列新定义类试题（初中通用）姓名_________近年各地中考出现了丰富的以考查创新意识、创造精神为目的的创新命题，归纳起来有以下类型：1．定义一种新运算；2．定义一类新数；3．给定一定规则或要求，然后按上述规则要求解题；4．注重跨学科命题．解创新命题时，需要在新的问题情境下，尽快适应新情况，充分运用已学过的数学知识方法去创造性地思考解决问题，对培养阅读理解能力、创新能力、提高学习兴趣有重要的促进作用．1．现定义两种运算：，对于任意两个整数a ，b ，＝a+b 一1，=ab-1，那么．2．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定bc ad d c b a -=,如果81122<--x ，那么x 的取值范围是． 3．餐厅里有两种餐桌，方桌可坐4人，圆桌可坐9人，若就餐人数刚好坐满若干张方桌和圆桌，餐厅经理就称此数为“发财数”，在l ～100这100个数中，“发财数”有个．4．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为∑=1001n n ，这里“∑”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为∑=-50112n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为∑=1013n n .同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；②计算：∑=-512)1(n n＝（填写最后的计算结果）。

5．现规定一种运算： a ※b=ab+a －b ，其中a 、b 为有理数，则a ※b +(b －a) ※b 等于( )．A ．a 2—6B ．b 2一bC ．b 2D ．b 2一a6．“△”表示一种运算符号，其意义是：a △b=2a-b ，如果x △(1△3)＝2，那么x 等于( )．A ．1B ．21C ．23 D ．2 7．设[a]表示不超过a 的最大整数，如[4.3]=4，[－4.3]＝－5，则下列各式中正确的是( )．A ．[a]=aB ．[a]=1-aC ．[a]=－aD ．[a]> a 一18．设记号“※”表示a ※b=2b a +，试写出两边均含有运算符号“※”和“+”且对任意3个数a ，b ，c 都成立的等式(不少于两个)．9．设[x] 表示为不超过x 的最大整数，解下列方程： (1) x +2[x]+4[x]+8[x]+16[x]+58=0；(2)[2x+1]=x －3110．△表示一种运算，它的含义是x △y=))(1(11A y x xy +++，已知2△1＝32)1)(12(1121=+++⨯A ，那么2001△2002= ．11．若规定a △b=22b a +，那么方程3△x =4的解x= ． 12．对一切正整数n ，有f (n+1)＝f (n)+n ，且f (1)＝1，则f (n)＝．13.定义一种新运算：观察下列各式：1⊙3=1×4+3=7 ； 3⊙（－1）= 3×4－1=11；5⊙4=5×4+4=24 ； 4⊙（－3）= 4×4－3=13（1）请你想一想：a ⊙b =___________；（2）若a ≠b ,那么a ⊙b ______b ⊙a (填入 “=”或 “≠ ”) ；（3）若a ⊙(－2b ) = 4，请计算 (a －b )⊙(2a + b )的值．14.一般情况下a 2+b 3 = a +b 2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a =b =0．我们称使得a 2+b 3 = a +b 2+3成立的一对数a ，b 为“相伴数对”，记为(a ，b )．（1）若(1，b )是“相伴数对”，求b 的值；（2）写出一个“相伴数对”(a ，b )，其中a ，b 为整数且a ≠0；（3）若(m ，n )是“相伴数对”，求代数式m －223n －[4m －2(3n －1)]的值．15.已知甲组数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12；乙组数据:a 1，a 2，a 3，…，a n （a 1，a 2，a 3，…，a n 分别是甲组数据中某个数的相反数，且它们各不相同）.若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－39，则称乙组数据是关于甲组数据的一个“零和数”.(1) 判断－1，－4，－5，－7，－10，－12这组数据是否是关于甲组数据的一个“零和数”，并说明理由；(2)若丙组数据: b 1，b 2，b 3，…，b m 是关于甲组数据的一个“零和数”，则m 的最大值及最小值分别是多少，并说明理由.16.a*b=3×a+2×b ，如果8*（x*2）=50，x 的值是多少？17.我们常用的数为十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数字0和1的二进制数，这两者可以互相换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为：1× 2的0次方+0×2的一次方+1×2的二次方+1×2的三次方=13。

中考数学新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)

专题01 数与式中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ．【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗131132x x =--+1=．故答案为：1．2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=．（1）2⊕(3)-= 1- ．（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ．【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+1=-．故答案为：1-．（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，故答案为：1．3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则20202020x y +=20203．【解答】解：()2x y -=⊗，2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，41y x ∴+=-②．①+②得：331x y +=． 13x y ∴+=． 2020202020202020()3x y x y ∴+=+=．故答案为：20203． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ．【解答】解：(3)&(2)--2(3)(2)=--- 92=+11=，故答案为：11．5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7☆24427131=+⨯+=．（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-，解得：7m =；故答案为：7；（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=，即2(2)419n n -++=，解得：2n =或2-，(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，解得：2n =-或32，则2n =-或32或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，11215([][])55n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ．【解答】解：110a =， 21115([]0)115a a ∴=+--=，322115([][])1255a a =+--=，433215([][])1355a a =+--=，544315([][])1455a a =+--=，65415([1][])105a a =+--=，⋯1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，202254042÷=⋯，2022211a a ∴==，故答案为：11．7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=，解得：2m =；（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=，解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，解得：2n =-或1n =，则0n =或5-或2-或1．8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值；（2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩；（2）根据题意得4320433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩，解得322x-<．故x 的取值范围是322x-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )A ．B ．-C ．D ．【解答】解：原式2(2)(2)=--==故选：A ．10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+．根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）计算：(2)(34)i i +⨯-；（3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=，故答案为：i -，1；（2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++105i =-；（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-1i =-．11．阅读理解：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-．（1）填空：3i = i - ，4i = ；（2）(7)(7)i i +-；（3）计算：2(2)i +；（4化简成a bi +的形式．【解答】解：（1）21i =-，32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，故答案为：i -，1；（2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；（4=====∴= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331(log 9)813log += ．（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由．（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论．【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，2331(log 9)813log ∴+21243=+⨯443=+ 163=，故答案为：4；163；（2）555log 5log 25log 125+=，理由如下：根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，又n m n m a a a +⋅=，∴1212b b b b a a a +⋅=，即log log log ()a a a M N MN +=，故答案为：log ()a MN ．13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有()个．①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；4381=，3log 814∴=，故②符合题意；44256=， 14256a ∴+=，242a ∴=，故③不符合题意；72128=， 2log 1287∴=，4216=， 2log 164∴=，328=， 2log 83∴=，743=+，222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；综上所述，符合题意的有2个，故选：C ．14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：a c ad bcb d =-，如232413514=⨯-⨯=，计算2x yx x y=+ 22x xy + ．【解答】解：原式2()x x y xy =+-222x xy xy =+- 22x xy =+，故答案为：22x xy +．15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：a bad bc c d=-．例如：14232=⨯-⨯=-．按照这个规定，解决下列问题：（1）请你计算3574-的值．（2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy yx xy y+--+的值．（3）如果2157353x x -=--，求x 的值．【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+47=；（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；当3x =，1y =-时，原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-16=；（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9M NF M -=．例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783(2378)459F -==-．材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．根据以上材料，解决下列问题：（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，4221∴-=≠，2467∴不是“满天星数”．3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，431∴-=，981-=，3489M ∴=是“满天星数”， 3894N ∴=，34893894(3489)459F -∴==-．（2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．()()G P G Q +能被11整除且s m >，∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，4116s m ∴++，111s m ∴++=即10s m +=．∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或． 2367P ∴=或3467或4567．23672673(2367)349F -∴==-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），525a a a ∴++=+，当1a =时，257a +=，7∴能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当2a =时，259a +=，9∴能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有721，723，729，当3a =时，2511a +=，11∴能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当4a =时，2513a +=，13∴能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答案为：7．18．阅读下列材料，解决问题．【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．【解答】解：（1）不是，理由如下：31425628......2÷=，(3142)52+++÷=，3142∴不是5的同余数；（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，这个三位数是7的“余同数”，10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，10010()7a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997a b += 2147a b a b +=++， ∴27a b +是整数，又18a ，09b ，9a b +<，1218a b ∴+<，27a b ∴+=或214a b +=，∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，综上，这个三位数为708或516或324或132或263．19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为和；②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；③经检验，所求x 的值符合题意吗？（填“符合”或“不符合” )【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，故答案为：2202，；（2）①设这个数字为x ，自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，故答案为：60x +，106x +；②由题意得：12(60)21(106)x x +=+，解得：3x =，x ∴的值为3；③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，12633621∴⨯=⨯，3x ∴=符合题意，故答案为：符合．20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m=0,0)n a b =>>，将(,)m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2，1)与1(1,)2．（1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和；（2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．【解答】解：（1）由题意知：1,25m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1(,2)5和1(2,)5，故答案为：1(,2)5；1(2,)5．（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，∴=，∴= ∴13y =．（3）数对(,2)x的一对“对称数对”是和，∴=，∴1=，1x∴=．（4）数对(,)a b的一对“对称数对”是和，∴====或，∴11327273a ab b⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩或，∴199ab=或．21．若一个三位正整数m abc=（各个数位上的数字均不为0)满足9a b c++=，则称这个三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数n，记()9m nF m+=．如：216m=满足2169++=，则216为“长久数”，那么612n=，所以216612(216)929F+==．（1）求(234)F、(522)F的值；（2）对于任意一个“长久数”m，若()F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234m=时，2349++=，m是长久数，432n∴=，234432(234)749F+∴==．当522m=时，5229++=，m是长久数，225n∴=，522225(522)839F+∴==．（2）由题意得：10010m a b c=++，10010n c b a=++．1001010010()9a b c c b aF m+++++∴=101101209a c b ++= 101()209a cb ++=． 9a bc ++=，101(9)20()9b b F m -+∴= 901819b -= 1019b =-．又a 、b 、c 均为不为0的正整数，1b ∴=，2，3，⋯⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，此时5a c +=，∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩或或或． 144m ∴=或243或342或441．当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +==．（1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；（2）若自然数P ，Q 都是“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，2658-≠-， 2586∴不是“差同数”，对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，8473-=-，8734∴是“差同数”， 847311s ∴=-=，83749t =-=，1129(8734)129F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”，8734是“差同数”， (8734)1F =；（2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6，又自然数P 是差同数，66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，(101)661065p t x y x y =++-=+-，10552(1065)()629y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +，又自然数Q 是差同数，3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，34(102)3210Q t m n m n =-++=--，10282(3210)()329n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，19x ，08y ，且11x y +=，39x ∴，19m ，07n ，且5m n +=，15m ∴，1132111x m ∴-+-，又321x m +-能被11整除，32111x m ∴+-=±或0，①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =，此时，()363()312F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =，此时，()963()352F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，此时，()0F Q =，k ∴值不存在，综上，k 的最小值为32-．23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为．【解答】解：由题意得：现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，∴对36只需进行3次操作后变为2；现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256．24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．例如：因为211-=，615-=，所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．（1）判断435 是（填“是”或“否” )为“阶梯数”；（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数），且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；（3）若p 、q 都是“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数），当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值．【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．故答案为：是．（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，解得4a =，6b =．436s ∴=，765b =．（3）p 、q 都是阶梯数，1y x ∴=-，1a =，又23x ，28b ，10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，(F q ，824)(102)218b =+⨯+，由(F p 、132)(F q +，824)157=，得102080x b +=，其中x 为偶数，2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．(F p 、)2311375q =⨯+=．25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 能（选填“能”或“不能” )被13整除；（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍(k 为正整数），所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，35726691∴-=，91137÷=，266357∴能被13整除，故答案为：能；（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，则这个多位数可表示为1000b a +，根据题意得：13(a b n n -=为整数），13a n b ∴=+，则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，100113b n +可以被13整除，1000b a ∴+可以被13整除，∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），依题意不妨设13m kn t +=，则原多位数为10m n +，依题意不妨设1013m n s +=，联立可得：3110(101)101313n k s t k t kn +=--=-+，则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，4k ∴=或17k =或30k =或43k =．26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -==．（1）判断236 不是（选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，09d ，a ，b ，c ，d 为整数），若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．【解答】解：（1）2361110++=>，236∴不是完美数，根据题意，321123(321)1811G -==；故答案为：不是；18．（2）10010m a b =++，10010m b a '∴=++，100n c d =+，100n d c '∴=+，()()9(2)112m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，∴满足条件的a 只有7或8或9，当9a =时，m 不是完美数，故舍去，当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，此时，8122c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则510m n -=；4d =，3c =时，403n =，则811403408m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则811505306m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为306；当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，此时，7022c d -+=+，即25c d =-，09c ，09d ，3d ∴=，1c =时，301n =，则710301409m n -=-=；4d =，3c =时，403n =，则710403302m n -=-=；5d =，5c =时，505n =，则710505205m n -=-=；6d =，7c =（舍去）， ∴共有三种情况，最小的为205；综上，m n -的最小值为205．27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f ==．（1）计算：f （6）=23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数）（2）若21010(2)1011f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值．（3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23=；4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =．故答案为：23；1；1．（2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2x f x x x +=+，又21010(2)1011f x x +=，所以101021011x x =+，解得2020x =，经检验，2020x =符合题意．（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），即2(3)(3)x x t +-=，33x t x ∴-<<+，有以下几种情况：①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；③当t x =时，229x x -=，无解；④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134x =-；综上所述，5x =．28．阅读下列材料：材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩．根据上述材料解决问题：（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．【解答】解：（1）9810是“平方差数”，229081-=，9810∴是“平方差数”； 6361不是“平方差数”，22613536-=≠，6361∴不是“平方差数”．（2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，由题意得2230a b a b ++-=，即()(1)30a b a b +-+=．a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．①()(1)215a b a b +-+=⨯，解得87a b =⎧⎨=⎩，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，解得64a b =⎧⎨=⎩，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，解得50a b =⎧⎨=⎩，即5250M =；解得51a b =⎧⎨=⎩，即5241M =．8157∴=或6204或5250或5241．M29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b=-．||例如：两点A，B表示的数分别为3，1AB=--=．-，那么|3(1)|4（1）若|3|2x-=，则x的值为1或5．（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3-++=成立．x x（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．我们定义：当||1-=时，点P叫点A的1倍伴随点，p a当||2-=时，点P叫点A的2倍伴随点，p a⋯当||-=时，点P叫点A的n倍伴随点．p a n试探究下列问题：若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）|3|2x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321x=-=；当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325x=+=；故答案为：1或5；（2）|1||2|3-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2x x-的点的距离之和，分下列三种情况：①当表示数x的点在2-到1之间时，如图1，此时|1||2|3-++=成立；x x满足条件的x的整数为2-，1-，0，1；②当表示数x的点在2-左侧时，如图2，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x③表示数x的点在1右侧时，如图3，此时|1||2|3-++>，不存在这样的点；x x故答案为：2-或1-或0或1；（3）存在，理由如下：设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，点M 和N 重合，∴点N 所表示的数为n ，点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，||1m a ∴-=，||2m b -=，12m a b ∴=±=±，当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；综上，存在，此时AB 的长为1或3．30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”．（1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当()()S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ．【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，2100∴是“十全九美数”；1681412=⨯，10l l +≠，168∴不是“十全九美数“；（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--，由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-，根据题意，令()1925(()21S M n k k T M m -==-为整数），由题意知：19m ，09n ，且都为整数，119219n ∴-，12117m -，当k l =时，192521n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；当2k =时，1921021n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩，解得192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）；当3k =时，1921521n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，325∴不是“分解数”； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，851∴是“分解数”．（2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，1()10x y G M x y ++∴=-+，2x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，当2x =时，315()11212y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，∴舍去；当8x =时，927()11818y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，391898099M ∴=⨯=．综上所述，M 的值为899，891，8099．32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12ab dc F N -=．例如：7028N =．因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-．（1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；6731(6713)312F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．()312ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）， 2()b c a d -=-③，由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312ab dc F A k -==①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数），根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=，将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=，同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，630a b c d ∴+++，a b c d ∴+++是13的倍数，a b c d ∴+++只能取13或26．Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除），即20d c =⎧⎨=⎩；当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩（舍去），即20a b =⎧⎨=⎩，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=5602A ∴=或2065．33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +==．（1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值．【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：7351-=-，7513∴是一个“天平数”． 735122s ∴=-=，715318t =-=，2218(7513)410f +∴==；（2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，75(101)7410Mt x y x y =-++=--，66107410()1421010s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，(101)521051Nt m n m n =++-=+-，10491051()2101010s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，39x ∴，19m ，08n ，且6m n +=，16m ∴，()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，14x m ∴+=，14x m ∴=-，56m ∴，此时，()142721()21055f M x m k f N m m m --====----，当5m =时，k 值不存在；当6m =时，1k =-，综上，k 的值为1-．34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”．又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．（1）最小的“团圆数”是 187 ；（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值．【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，故答案为：187；（2）1951315=⨯，且358+=，195∴是“团圆数”， 6212327=⨯，378+≠，621∴不是“团圆数”；（3）设10A a b =+，则108B a b =+-，208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，()()()||P M A B G M Q M A B +==-能被8整除， ∴2088|28|a kb +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，52a ∴+是4的倍数，∴满足条件的a 有2，6，若2a =，则488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|k b =-， |4|b ∴-是3的因数，43b ∴-=-，1-，1，3，∴满足条件的b 有1，3，5，7，21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，567A B ∴⨯=或575，若6a =，则1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|k b =-， |4|b ∴-是8的因数，48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，∴满足条件的b 有2，3，5，6，62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，综上，M 的值为567或575或4092或4095．35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；故答案为：262；875；（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3F n 是4的倍数，当1x =时，y 可取2，5，8，此时()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；当2x =时，y 可取1，4，7，此时()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；当4x =时，y 可取2，5，8，此时()3503F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =，当5x =时，y 可取1，4，7，此时()3523F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =，综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。

新定义概念问题2019中考数学高端精品(解析版)

专题04 新定义概念问题【考点综述评价】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【考点分类总结】考点1：定义新数【典型例题】（2017枣庄）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=pq．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=34．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）15，26，37，48，59；（3）34．【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；学，科、网（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，由“吉祥数”的定义确定出x与y 的关系式，进而求出所求即可；（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．【方法归纳】对新数的解析蕴含在对数量关系的描述中，充分理解，结合相应知识，才能顺利解答．【变式训练】（2017重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=()()F sF t，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【答案】（1）F（243）=9，F（617）=14；（2）54．【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=() () F s F t中，找出最大值即可．【解答】（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F考点2：定义新运算【典型例题】（2017山东省日照市）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P0（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==35．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线3544y x=-+的距离为；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线34y x b=-+相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【答案】（1）4；（2）b =54或154；（3）S △ABP 的最大值=4，S △ABP 的最小值=2．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C 到直线3x +4y +5=0的距离，求出⊙C 上点P 到直线3x +4y +5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【方法归纳】理解新运算法则是解题的关键．【变式训练】（2017四川省乐山市）对于函数mnx x y +=，我们定义11--+='m n mx nx y （n m 、为常数）．例如24x x y +=，则x x y 243+='．x.k-w 已知：()x m x m x y 223131+-+=．（1）若方程0='y 有两个相等实数根，则m 的值为；（2）若方程41-='m y 有两个正数根，则m 的取值范围为．【答案】（1）12；（2）m ≤34且m ≠12．【分析】根据新定义得到y ′=222(1)x m x m +-+ ．（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．考点3：定义新概念【典型例题】（2017内蒙古通辽市）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形，如图1，▱ABCD 中，若AB =1，BC =2，则▱ABCD 为1阶准菱形．（1）猜想与计算：邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知▱ABCD 的邻边长分别为a ，b （a ＞b ），满足a =8b +r ，b =5r ，请写出▱ABCD 是阶准菱形．（2）操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．【答案】（1）3，12；（2）证明见解析．【分析】（1）利用平行四边形准菱形的意义即可得出结论；（2）先判断出∠AEB =∠ABE ，进而判断出AE =BF ，即可得出结论．（2）由折叠知：∠ABE =∠FBE ，AB =BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∴∠AEB =∠FBE ，∴∠AEB =∠ABE ，∴AE =AB ，∴AE =BF ，∴四边形ABFE 是平行四边形，∴四边形ABFE 是菱形．【方法归纳】解题关键是理解新定义，再结合已学知识解答．【变式训练】（2017北京市）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1（12，0），P 2（12，P 3（52，0）中，⊙O 的关联点是． ②点P 在直线y =﹣x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①P 2，P 3；②﹣2≤x ≤﹣2或2≤x ≤2；（2）﹣2≤x C ≤1或2≤x C ≤【分析】（1）①根据点P 1（12，0），P 2（12，2），P 3（52，0），求得OP 1=12，OP 2=1，OP 3=52，于是得到结论；学-科=网②根据定义分析，可得当最小y =﹣x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P （x ，﹣x ），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到A （1，0），B （0，1），如图1，当圆过点A 时，得到C （﹣2，0），如图2，当直线AB 与小圆相切时，切点为D ，得到C （10），于是得到结论；如图3，当圆过点A ，则AC =1，得到C （2，0），如图4，当圆过点B ，连接BC ，根据勾股定理得到C （0），于是得到结论．【解答】（1）①∵点P 1（12，0），P 2（12，2），P 3（52，0），∴OP 1=12，OP 2=1，OP 3=52，∴P 1与⊙O 的最小距离为32，P 2与⊙O 的最小距离为1，OP 3与⊙O 的最小距离为12，∴⊙O ，⊙O 的关联点是P 2，P 3；（2）∵直线y =﹣x +1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，∴A （1，0），B （0，1），如图1，当圆过点A 时，此时，CA =3，∴C （﹣2，0）；如图2，当直线AB 与小圆相切时，切点为D ，∴CD =1，∵直线AB 的解析式为y =﹣x +1，∴直线AB 与x轴的夹角=45°，∴AC ，∴C （10），∴圆心C 的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C ≤1；综上所述：圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤12≤x C≤考点4：定义新法则【典型例题】（2017上海市）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ．．【答案】2【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．【解答】如图，正六边形ABCDEF 中，对角线BE 、CF 交于点O ，连接EC ．【方法归纳】正确理解新定义的图形，寻找形与数的对应关系. 【变式训练】（2017吉林省长春市）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y =x ﹣1，它的相关函数为()()1010x x y x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y =ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2142y x x =-+-．x..k+-w ①当点B （m ，32）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值； ②当﹣3≤x ≤3时，求函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣12，1），（92，1}），连结MN ．直接写出线段MN与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．【答案】（1）1；（2）①m =2m =2或m =2；②最大值为432，最小值为﹣12；（3）﹣3＜n ≤﹣1或1＜n ≤54．【分析】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将然后将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3求解即可；（2）二次函数2142y x x =-+-的相关函数为2214(0)214(0)2x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+-≥⎪⎩，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+-，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x ≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数24y x x n =-++的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【解答】（1）函数y =ax ﹣3的相关函数为3(0)3(0)ax x y ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，将点A （﹣5，8）代入y =﹣ax +3得：5a +3=8，当m ≥0时，将B （m ，32）代入2142y x x =-+-得：213422m m -+-=，解得：m =2或m =2．综上所述：m =2m =2或m =2． ②当﹣3≤x ＜0时，2142y x x =-+，抛物线的对称轴为x =2，此时y 随x 的增大而减小，∴此时y 的最大值为432．当0≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-，抛物线的对称轴为x =2，当x =0有最小值，最小值为﹣12，当x =2时，有最大值，最大值y =72．综上所述，当﹣3≤x ≤3时，函数2142y x x =-+-的相关函数的最大值为432，最小值为﹣12；（3）如图1所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x =2时，y =1，即﹣4+8+n =1，解得n =﹣3．如图2所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有3个公共点∵抛物线24y x x n =-++经过点（0，1），∴n =1．如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n =-++的相关函数的图象恰有2个公共点．【新题好题训练】1．定义[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y =[x ]的图象如图所示，则方程[]221x x =的解为（）．A ．0或2B ．0或2C ．1或2-D ．2或2- 【答案】A ．【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x ≤2时，则212x =1；当﹣1≤x ≤0时，则212x =0，当﹣2≤x ＜﹣1时，则212x =﹣1，然后分别解关于x 的一元二次方程即可．学+/科网【解答】当1≤x ＜2时，212x =1，解得x 1=2，x 2=﹣2；当x =0，212x =0，x =0；当﹣1≤x ＜0时，212x =﹣1，方程没有实数解；当﹣2≤x ＜﹣1时，212x =﹣1，方程没有实数解；所以方程[]221x x =的解为0或2．故选A ． 2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A 经过一次跳马变换可以到达点B ，C ，D ，E 等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N ，最少需要跳马变换的次数是（）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】B ．【分析】A ﹣C ﹣F 的方向连续变换10次后点M 的位置，再根据点N 的位置进行适当的变换，即可得到变换总次数．3．已知点A 在函数11y x=-（x ＞0）的图象上，点B 在直线y 2=kx +1+k （k 为常数，且k ≥0）上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【答案】A．【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，1a）关于原点的对称点B（－a，1a）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．4．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．则下列说法正确的是．（写出所有正确说法的序号）学科.+网①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=6；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=﹣7；③方程4[x]+3（x）+[x）=11的解为1＜x＜1.5；④当﹣1＜x＜1时，函数y=[x]+（x）+x的图象与正比例函数y=4x的图象有两个交点．【答案】②③．【分析】根据题意可以分别判断各个小的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】①当x=1.7时，[x]+（x）+[x）=[1.7]+（1.7）+[1.7）=1+2+2=5，故①错误；②当x=﹣2.1时，[x]+（x）+[x）=[﹣2.1]+（﹣2.1）+[﹣2.1）=（﹣3）+（﹣2）+（﹣2）=﹣7，故②正确；③4[x]+3（x）+[x）=11，7[x]+3+[x）=11，7[x]+[x）=8，1＜x＜1.5，故③正确；④∵﹣1＜x＜1时，∴当﹣1＜x＜﹣0.5时，y=[x]+（x）+x=﹣1+0+x=x﹣1，当﹣0.5＜x＜0时，y=[x]+（x）+x =﹣1+0+x =x ﹣1，当x =0时，y =[x ]+（x ）+x =0+0+0=0，当0＜x ＜0.5时，y =[x ]+（x ）+x =0+1+x =x +1，当0.5＜x ＜1时，y =[x ]+（x ）+x =0+1+x =x +1，∵y =4x ，则x ﹣1=4x 时，得x =13-；x +1=4x 时，得x =13；当x =0时，y =4x =0，∴当﹣1＜x ＜1时，函数y =[x ]+（x ）+x 的图象与正比例函数y =4x 的图象有三个交点，故④错误，故答案为：②③．5．阅读理解：如图1，⊙O 与直线a 、b 都相切，不论⊙O 如何转动，直线a 、b 之间的距离始终保持不变（等于⊙O 的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图2是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的．拓展应用：如图3所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也是“等宽曲线”，如图4，夹在平行线c ，d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c ，d 之间的距离等于2cm ，则莱洛三角形的周长为 cm ．【答案】2π．【分析】由等宽曲线的定义知AB =BC =AC =2cm ，即可得∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，根据弧长公式分别求得三段弧的长即可得其周长．【解答】如图3，由题意知AB =BC =AC =2cm ，∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，∴AB 在以点C 为圆心、2为半径的圆上，∴AB 的长为602180π⨯ =23π，则莱洛三角形的周长为23π×3=2π，故答案为：2π． 6．对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min = ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．【答案】2或-1．【分析】首先理解题意，进而可得min{min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．7．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．【答案】113°或92°．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可．【解答】∵△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A=46°，∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，∴∠ADC ＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=（180°﹣46°）÷2=67°，∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°，故答案为：113°或92°．8．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△P AB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC 的自相似点．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：=x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．在平面直角坐标系中，点M是曲线yx（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是3），点N ，0）时，求点P 的坐标；学+-科网（2）如图3，当点M 的坐标是（3），点N 的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）P （4，34）；（2）（1，3）或（2，3）；（3）存在， M ，3），N （0）．【分析】（1）由∠ONP =∠M ，∠NOP =∠MON ，得出△NOP ∽△MON ，证出点P 是△MON 的自相似点；过P 作PD ⊥x 轴于D ，则tan ∠POD =MNONAON =60°，由点M 和N 的坐标得出∠MNO =90°，由相似三角形的性质得出∠NPO =∠MNO =90°，在Rt △OPN 中，由三角函数求出OP =2，OD =4，PD =34，即可得出答案；（2）作MH ⊥x 轴于H ，由勾股定理求出OM =OM 的解析式为y =3x ，ON =2，∠MOH =30°，分两种情况：①作PQ ⊥x 轴于Q ，由相似点的性质得出PO =PN ，OQ =12ON =1，求出P 的纵坐标即可；②求出MN 2，由相似三角形的性质得出PN MNON MO=，求出PN =3，在求出P 的横坐标即可；（3）证出OM =ON ，∠MON =60°，得出△MON 是等边三角形，由点P 在△MON 的内部，得到∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，即可得出结论．①如图3所示：∵P 是△MON 的相似点，∴△PON ∽△NOM ，作PQ ⊥x 轴于Q ，∴PO =PN ，OQ =12ON =1，∵P 的横坐标为1，∴y =3×1=3，∴P （1，3）； ②如图4所示：由勾股定理得：MN 2，∵P 是△MON 的相似点，∴△PNM ∽△NOM ，∴PN MNON MO=，即2PN =，解得：PN ，即P ，代入y x ，解得：x =2，∴P （2，3）；综上所述：△MON 的自相似点的坐标为（12）；（3）存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点，M ，3），N （0）；理由如下：∵M 3），N （0），∴OM =ON ，∠MON =60°，∴△MON 是等边三角形，∵点P 在△MON 的内部，∴∠PON ≠∠OMN ，∠PNO ≠∠MON ，∴存在点M 和点N ，使△MON 无自相似点．9．综合与实践背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或3，4，5）型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．实践操作如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．问题解决（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明．（3）请在图4中证明△AEN是（3，4，5）型三角形．探索发现（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．【答案】（1）证明见解析；（2）NF=ND′，证明见解析；（3）证明见解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA．【分析】（1）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（2）NF=ND′，证明Rt△HNF≌Rt△HND′即可；（3）根据题中所给（3，4，5）型三角形的定义证明即可；（4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是与△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形．【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠DAE=90°．由折叠知：AE=AD，∠AEF=∠D=90°，∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，∴四边形AEFD是矩形．∵AE=AD，∴矩形AEFD是正方形．（2）NF=ND′．证明如下：连结HN．由折叠知：∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′．∵CF∥AE，∴△MFN∽△AEN．∵EN：AE：AN=3：4：5，∴FN：MF：CN=3：4：5，∴△MFN是（3，4，5）型三角形；同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．10．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．（1）等边三角形“內似线”的条数为；（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．【答案】（1）3；（2）证明见解析；（3）3512．【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出∠ABC =∠C =∠BDC ，∠A =∠ABD ，证出△BCD ∽△ABC ，再由三角形的外角性质证出BD 平分∠ABC 即可；（3）分两种情况：①当43CE AC CF BC ==时，EF ∥AB ，由勾股定理求出AB 5，作DN ⊥BC 于N ，则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，求出DN =12（AC +BC ﹣AB ）=1，由角平分线定理得出43DE CE DF CF ==，求出CE 的长，证明△CEF ∽△CAB ，得出对应边成比例求出EF =3512； ②当43CF AC CE BC ==时，同理得：EF =3512即可．（3）解：设D 是△ABC 的内心，连接CD ，则CD 平分∠ACB ，∵EF 是△ABC 的“內似线”，∴△CEF 与△ABC 相似；分两种情况：①当43CE AC CF BC ==时，EF ∥AB ，∵∠ACB =90°，AC =4，BC =3，∴AB 5，作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则DN ∥AC ，DN 是Rt △ABC 的内切圆半径，∴DN =12（AC +BC ﹣AB ）=1，∵CD 平分∠ACB ，∴43DE CE DF CF ==，∵DN ∥AC ，∴37DN DF CE EF ==，即137CE =，∴CE =73，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CEAB AC=，即7354EF=，解得：EF=3512；②当43CF ACCE BC==时，同理得：EF=3512；综上所述，EF的长为35 12．。

专题四阅读理解问题

例如,(a+b)2=a2+2ab+b2展开式中的系数1,2,1恰好对应图中第
三行的数字;再如,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数
1,3,3,1恰好对应图中第四行的数字,请认真观察此图,写出 (a+b)4的展开式.(a+b)4=______________________.
【思路点拨】根据杨辉三角中的已知数据，易发现：每一行的
1 x
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,
共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x 千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
【解析】直接应用 x=1 变形应用解：∵ y2
2 ③sin 60 3 2
cos 45
„
2 2 3 cos 30 2
根据以上规律，计算sin2α +sin2(90°-α )＝________.
【解析】当α=30°时， 2 sin 2 90 sin 2 30 sin 2 (90 30) sin =sin230°+sin260° ( 1 )2 ( 3 )2 1. 当α=45°时，
间的直角距离，记作d(P1，P2). (1)已知O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)=1，请写出x 与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
(2)设P0(x0，y0)是一定点，Q(x，y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0，Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M(2，1)到直线y=x+2的直角距离.

初中数学中考几何题中的新定义型题集锦

初中数学中考几何题中的新定义型题集锦在近年的中考试题中，在近年的中考试题中，涌现出了许多创意新颖、涌现出了许多创意新颖、涌现出了许多创意新颖、情境熟悉的几何新定义型试题，情境熟悉的几何新定义型试题，情境熟悉的几何新定义型试题，为了便为了便于同学们了解掌握这方面的信息，现从近年的中考试题中精选数例，供同学们参考与借鉴。

一、定义一种新的几何体一、定义一种新的几何体例1（2001年泰州市）我们把相似形的概念推广到空间：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，如图1，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体。

都是相似体。

（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）下列几何体中，一定属于相似体的是（） A. 两个球体两个球体 B. 两个圆锥体两个圆锥体C. 两个圆柱体两个圆柱体D. 两个长方体两个长方体（2）请猜想出相似体的主要性质：）请猜想出相似体的主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧长）的比等于_______；②相似体表面积的比等于_______；③相似体体积的比等于_______。

（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为18kg ，到了初三，身高为1.65m ，问他的体重为多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）（不考虑不同时期人体平均密度的变化）解：（1）由相似体的定义可知，应选A 。

（2）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。

）①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方。

（3）设初三时体重为x kg ，则由题意，得，则由题意，得()31.1:65.118:x =，解之，得()kg 75.60x »故到了初三时，他的体重约为60.75kg 。

二、定义一种新的规则二、定义一种新的规则例2 （2003年安徽省）如图2，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程度称为“正度”，在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。

初中数学新定义题型习题1含答案

新定义题型习题1一．解答题（共23小题）1．阅读与理解：已知关于x的方程kx＝5﹣x有正整数解，求整数k的值．解：kx+x＝5，（k+1）x＝5，x＝因为关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以k+1＝1或k+1＝5，所以k＝0或k＝4；探究与应用：应用上边的解题方法，已知关于x的方程kx＝6+x有正整数解，求整数k 的值．2．已知方程（2a+1）x＝3ax﹣2有正整数解，求整数a的值．3．设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．4．已知关于x的方程ax+＝的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解．5．已知关于x的方程4（x﹣2）＝ax的解为正整数，求整数a的所有可能取值．6．若有理数a，b满足条件：（m是整数），则称有理数a，b为一对“共享数”，其中整数m是a，b的“共享因子”．（1）下列两对数中：①3和5，②6和8，是一对“共享数”的是______；（填序号）（2）若7和x是一对“共享数”，且“共享因子”为2，求x的值；（3）探究：当有理数a，b满足什么条件时，a，b是一对“共享数”．7．阅读下列材料，规定一种运算＝ad﹣bc．例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）＝______，＝______（只填结果）；（2）若＝0，求x的值．（写出解题过程）8．请阅读下列材料：让我们来规定一种运算：＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2．按照这种运算的规定，请回答下列的问题：（1）求的值；（2）若＝，试用方程的知识求x的值．9．对于任意有理数，我们规定：＝ad﹣bc．例如＝1×4﹣2×3＝﹣2（1）按照这个规定，当a＝3时，请你计算：；（2）按照这个规定，若＝1，求x的值．10．设a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算：＝ad﹣bc，当＝10时，求代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值．11．定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b，除新运算“⊗”外，其它运算完全按有理数和整式的运算进行．（1）直接写出b⊗a的结果为______（用含a、b的代数式表示）；（2）化简：[（2x+y）⊗（x﹣y）]⊗3y；（3）解方程：2⊗（1⊗x）＝⊗x12．对于任意有理数a和b，我们规定：a*b＝a2﹣2ab，如3*4＝32﹣2×3×4＝﹣15．（1）求（﹣5）*6的值；（2）若（﹣3）*x＝10，求x的值．13．我们定义一种新的运算“⊗”，并且规定：a⊗b＝a2﹣2b．例如：2⊗3＝22﹣2×3＝﹣2，2⊗（﹣a）＝22﹣2（﹣a）＝4+2a．请完成以下问题：（1）求（﹣3）⊗2的值；（2）若3⊗（﹣x）＝2⊗x，求x的值．14．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）2﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．15．若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．（1）试求（﹣2）※3的值；（2）若（﹣2）※x＝﹣1+x，求x的值．16．用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝ab2+2ab+a．如：1⊗3＝1×32+2×1×3+1＝16（1）求2⊗（﹣1）的值；（2）若（a+1）⊗3＝32，求a的值；（3）若m＝2⊗x，n＝（x）⊗3（其中x为有理数），试比较m、n的大小．17．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab2+2ab+a．如：1※2＝1×22+2×1×2+1＝9（1）（﹣2）※3＝______；（2）若※3＝16，求a的值；（3）若2※x＝m，（x）※3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．18．设x、y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x、y，运算“⊕”满足x⊕y＝y⊕x，则称此运算具有交换律．x⊕y＝（1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x＝0，求x的值．19．（1）先化简，再求值：已知代数式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出当a＝﹣2，b＝3时5A﹣4B的值．（2）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．规定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根据上述规定解决下列问题：①有理数对（5，﹣3）★（3，2）＝______．②若有理数对（﹣3，x•1）★（2，2x+1）＝15，则x＝______．③若有理数对（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值与x的取值无关，求k的值．20．我们规定x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“差解方程”，例如：3x ＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程4x＝m是“差解方程”，则m＝______．（2）已知关于x的一元一次方程4x＝ab+a是“差解方程”，它的解为a，则a+b＝______．（3）已知关于x的一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，求代数式﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]的值．21．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x＝﹣8______（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m）2﹣m]﹣的值．22．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）已知关于x的一元一次方程5x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．23．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．新定义题型习题1参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．解：kx＝6+x，kx﹣x＝6，（k﹣1）x＝6，x＝因为关于x的方程kx＝6+x有正整数解，所以为正整数，因为k为整数，所以k﹣1＝6或k﹣1＝3或k﹣1＝2或k﹣1＝1，解得k＝7或k＝4或k＝3或k＝2．故整数k的值为7或4或3或2．2．解：（2a+1）x＝3ax﹣2，移项，合并同类项得：（﹣a+1）x＝﹣2，因为方程有解，所以（﹣a+1）≠0，即x＝，因为方程有正整数解，且a取整数，所以a﹣1＝1或a﹣1＝2，解得：a＝2或a＝3，答：整数a的值为2或3．3．解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，，（2）当m≠5时，方程有解，，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．4．解：由ax+＝，得ax+9＝5x﹣2，移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11，系数化成1得：x＝﹣，∵x是正整数，∴a﹣5＝﹣1或﹣11，∴a＝4或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝4．则x＝﹣＝11．综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11．5．解：去括号，得：4x﹣8＝ax，移项、合并同类项，得：（4﹣a）x＝8，系数化成1得：x＝，∵x是正整数，∴4﹣a＝8或4或2或1，∴a＝﹣4或0或2或3．即整数a的所有可能取值为﹣4或0或2或3．6．解：（1）根据题中的新定义得：+＝+2，即3和5是一对“共享数”；+＝+，即6和8不是一对“共享数”，故答案为：①；（2）根据题中的新定义得：+＝+2，去分母得：14+2x＝7+x+8，解得：x＝1．7．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝6+10＝16，原式＝﹣2x﹣3（x﹣3）＝﹣2x﹣3x+9＝﹣5x+9；故答案为：16；﹣5x+9；（2）依题意得：2（x+3）﹣5x＝0，去括号得：2x+6﹣5x＝0，解得：x＝2，则x的值为2．8．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝3﹣28＝﹣25；（2）根据题中的新定义化简得：2x+x﹣＝，移项合并得：3x＝2，解得：x＝．9．解：（1）当a＝3时，＝2a×5a﹣3×4＝10a2﹣12＝10×32﹣12＝90﹣12＝78（2）∵＝1，∴4（x+2）﹣3（2x﹣1）＝1，去括号，可得：4x+8﹣6x+3＝1，移项，合并同类项，可得：2x＝10，解得x＝5．10．解：根据题中的新定义运算方法得：6x﹣4（3x﹣2）＝10，去括号得：6x﹣12x+8＝10，解得：x＝，∴2（x﹣2）﹣3（x+1）＝2x﹣4﹣3x﹣3＝﹣x﹣7＝﹣（）﹣7＝．∴代数式2（x﹣2）﹣3（x+1）的值是．11．解：（1）根据题意得：b⊗a＝b﹣2a；故答案为：（b﹣2a）；（2）根据题中的新定义得：原式＝[（2x+y）﹣2（x﹣y）]⊗3y＝（x+3y）⊗3y＝x+3y﹣6y＝x﹣3y；（3）已知等式利用题中的新定义化简得：2⊗（1⊗x）＝2﹣2（1﹣2x）＝﹣2x，解得：x＝．12．解：（1）根据题意得：（﹣5）*6＝（﹣5）2﹣2×（﹣5）×6＝85，（2）根据题意得：（﹣3）*x＝（﹣3）2﹣2×（﹣3x）＝10，整理得：9+6x＝10，解得：x＝．13．解：（1）根据题中的新定义得：原式＝9﹣4＝5；（2）已知等式利用题中的新定义化简得：9+2x＝4﹣2x，移项合并得：4x＝﹣5，解得：x＝﹣．14．解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×72﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）2﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x＝﹣．15．解：（1）（﹣2）※3＝（﹣2）2+2×（﹣2）×3＝4﹣12＝﹣8；（2）∵（﹣2）※x＝﹣1+x，∴（﹣2）2+2×（﹣2）×x＝﹣1+x，即4﹣4x＝﹣1+x，解得：x＝1．16．解：（1）2⊗（﹣1）＝2×（﹣1）2+2×2×（﹣1）+2＝2﹣4+2＝0，（2）（a+1）⊗3＝（a+1）×32+2（a+1）×3+（a+1）＝16（a+1）＝32，解得：a＝1，（3）m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝x×32+2×x×3+x＝4x，m﹣n＝2x2+2＞0，即m＞n．17．解：（1）原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）＝﹣18﹣12﹣2＝﹣32，故答案为：﹣32．（2）因为※3＝×32+2××3+＝8a+8，所以8a+8＝16，解得a＝1；（3）根据题意，得m＝2x2+2×2x+2＝2x2+4x+2，n＝x×32+2×x×3+x＝4x，则m﹣n＝2x2+2＞0，所以m＞n．18．解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x＞y时，x⊕y＝2x+3y﹣7，y⊕x＝3y+2x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x当x＝y时，x⊕y＝2x+3y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x当x＜y时，x⊕y＝3x+2y﹣7，y⊕x＝2y+3x﹣7，此时x⊕y＝y⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x＝0，2×2+3x﹣7＝0解得x＝1当x＞2时，2⊕x＝03×2+2x﹣7＝0解得x＝（舍去）答：x的值为1．19．解：（1）∵A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），∴5A﹣4B＝5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2，当a＝﹣2，b＝3时，原式＝36+18＝54；（2）①根据题中的新定义得：原式＝10+9＝19；②根据题中的新定义得：﹣3（2x+1）﹣2x＝15，去括号得：﹣6x﹣3﹣2x＝15，移项合并得：﹣8x＝18，解得：x＝﹣；③根据题中的新定义化简得：2（2x+k）﹣k（x﹣1）＝4x+2k﹣kx+k＝（4﹣k）x+3k，由结果与x取值无关，得到4﹣k＝0，即k＝4．故答案为：①19；②﹣20．解：（1）由题意可知x＝m﹣4，由一元一次方程可知x＝，∴m﹣4＝，解得m＝；故答案为：；（2）由题意可知x＝ab+a﹣4，由一元一次方程可知x＝，又∵方程的解为a，∴＝a，ab+a﹣4＝a，解得a＝，b＝3，∴；故答案为：．（3）∵一元一次方程4x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“差解方程”，∴mn+m＝，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝．∴﹣3（m+11）+4n+2[（mn+m）2﹣m]﹣[（mn+n）2﹣2n]＝﹣5（m﹣n）﹣33，＝﹣5×﹣33+2×，＝，＝﹣．21．解：（Ⅰ）：∵5x＝﹣8，∴x＝﹣，∵﹣8﹣5＝﹣13，﹣，∴5x＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a＝3，∴x＝b﹣3，∴，∴，即b＝时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m＝4，mn+n＝﹣，两式相减得，m﹣n＝，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m）2﹣m]﹣＝﹣5（m﹣n）﹣22+3（mn+m）2﹣（mn+n）2，＝＝﹣，＝﹣．22．解：（1）∵关于x的一元一次方程5x＝m是“和解方程”，∴5+m是方程5x＝m的解．∴5（5+m）＝m∴m＝﹣．（2）∵关于x的一元一次方程﹣3x＝mn+n是“和解方程”，∴mn+n﹣3是方程﹣3x＝mn+n的解．又∵x＝n是它的解，mn+n﹣3＝n．∴mn＝3．把x＝n代入方程，得﹣3n＝mn+n．∴﹣3n＝3+n．∴﹣4n＝3．n＝﹣．∴m＝﹣4．23．解：（1）方程2x﹣4＝x+1的解为x＝5，将x＝﹣5代入方程5x+m＝0得m＝25；（2）另一解为﹣n．则n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，∴n＝4或n＝﹣4；（3）方程2x+3m﹣2＝0的解为，方程3x﹣5m+4＝0的解为，则，解得m＝2．所以，两解分别为﹣2和2．。

中考数学新定义题型专题05 四边形中的新定义问题(学生版)

专题05 四边形中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：(1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识";(3)定义新概念。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．阅读与探究我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．请结合上述阅读材料，解决下列问题：（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是；（写出一种即可）（2）下面图1，图2均为66的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接AD，CD，使得四边形ABCD符合下列要求：图1中的四边形ABCD是勾股四边形，并且是轴对称图形；图2中的四边形ABCD是勾股四边形且对角线相等，但不是轴对称图形．2．阅读理解：定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”．（1）在“和谐四边形”ABCD中，若135∠=；B∠=︒，则A（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C 处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是“和谐四边形”．3．定义：长宽比为:1(n n为正整数）的矩形称为n矩形．通过下面的操作方式我们可以折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BD．1操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．则四边形BCEF为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD由折叠性质可知1BG BC ==，90CFE BFE C ∠=∠=∠=︒，则四边形BCEF 为矩形．90A BFE ∴∠=∠=︒．//EF AD ∴． ∴BG BFBD AB =1BF =． ∴BF =∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）已知四边形BCEF 矩形，沿用上述操作方式，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（2）在图②中，求2tan D BC ∠的值．（3）若将矩形沿用上述方式操作m 次后，得到一个矩形，求k 和1tan k D BC -∠的值．（用含m 和n 的代数式表示，直接写出结论即可）4．我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180)︒，则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有矩形，正方形．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若ADB ACB ∠=∠，问四边形ABCD 是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD 是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明AOD BOC ∆∆∽，得到比例式OA OD OB OC =，再证明AOB DOC ∆∆∽，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图，四边形ABCD 中，AD BD ⊥，AC BC ⊥，AB 与DC 的延长线相交于点E ，BE BD =，5AB =，3AD =，求CE 的长．5．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．（1）矩形垂等四边形（填“是”或“不是” )；（2）如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AD ，AB ，BC 边上．若四边形DEFG 是垂等四边形，且90EFG ∠=︒，AF CG =，求证：EG DG =；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC BC=，25AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ，过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ABC ∆与BDE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．6．阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，55A B DEC ∠=∠=∠=︒，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为1)的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形ABCD 的边AB 上存在强相似点E ，则:AE EB = ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．7．我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图点E 是四边形ABCD 内一点，已知BE EC =，AE ED =，90BEC AED ∠=∠=︒，对角线AC 与BD 交于O 点，BD 与EC 交于点F ，AC 与ED 交于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是垂美四边形；（2）猜想四边形ABCD 两组对边AB 、CD 与BC 、AD 之间的数量关系并说明理由；（3）若3BE =，4AE =，6AB =，则CD 的长为．8．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．（1）如图1，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，1AB =，2CD ，BCD DBC ∠=∠，判断四边形ABCD 是不是“等邻边四边形”，并说明理由；（2）如图2，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，现将Rt ABC ∆沿ABC ∠的平分线BB '方向平移得到△A B C '''，连接AA '，BC '，若平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，求BB '的长．9．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．（1）概念理解如图（1），在ABC∆中，CH AB⊥于H，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连接DF、EF、EH、DE、FH，写一个图形中的“等邻角四边形”：（不再添加除图形以外的字母）；（2）解决问题如图（2），四边形ABCD是“等邻角四边形”，且DAB ABC∠=∠，延长AB、DC交于点P．求证：AD PC BC PD⋅=⋅；（3）探索研究如图（3），Rt ABCAC=，3AD=，点E是BC边上的一个AB=，4∠=︒，8∆中，90BAC动点，当四边形ADEC成为“等邻角四边形”时，求四边形ADEC的面积．10．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是；（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG 是垂等四边形，且90=．∠=︒，AF CGEFG①求证：EG DG =；②若BC n BG =⋅，求n 的值；（3）如图2，在Rt ABC ∆中，2AC BC =，5AB =，以AB 为对角线，作垂等四边形ACBD ．过点D 作CB 的延长线的垂线，垂足为E ，且ACB ∆与DBE ∆相似，求四边形ACBD 的面积．11．新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”， A C ∠≠∠，60A ∠=︒，70B ∠=︒，求C ∠，D ∠的度数（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” ABCD （如图2)，其中ABC ADC ∠=∠，AB AD =，此时她发现CB CD =成立．请你证明此结论（3）已知：在“等对角四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，10AB =，8AD =．求对角线AC 的长．12．定义：长宽比为:1(n n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为2矩形．（1）证明：四边形ABCD为2矩形；（2）点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM ON⊥，连接MN．求tan OMN∠的值；②若AM AD=，点N在边BC上，当DMN∆的周长最小时，求CNNB的值；③连接CM，作BR CM⊥，垂足为R．若22AB=，则DR的最小值=．13．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，ABC∆的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）①如图2，在四边形ABCD中，80ABC∠=︒，140ADC∠=︒，对角线BD平分ABC∠．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；②若4BD=，求AB BC⋅的值．运用：（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，30EFH HFG∠=∠=︒．连接EG，若EFG∆的面积为63FH的长．14．新定义：两邻角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）四边形ABDE 是邻余四边形，则下列说法正确的是（填序号）．①AE ，BD 的延长线的夹角为90︒；②若AB 为邻余线，则AB 是最长边；③若AB 为邻余线，则D ABD ∠>∠．（2）在64⨯的方格纸中，A ，B 在格点上，请在图①，图②中各画出一个符合条件的邻余四边形ABHG ，使AB 不是邻余线，G ，H 在格点上．（3）如图③，四边形ABDE 是邻余四边形，AB 为邻余线，点F 为DE 的中点，连接AF ，BF ，恰有AF ，BF 分别平分EAB ∠，DBA ∠．若8AE BD ⋅=，求DE 的长．15．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到△A B C ''，点B '落在边AC ，过点A 作//AD A B ''交CA '的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”；（3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．16．已知在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3BC =．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．（1）如图1，四边形CDEF 是ABC ∆的内接正方形，则正方形CDEF 的边长1a 等于；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中EDA ∆的内接正方形，那么第2个正方形DGHI 的边长记为2a ；继续在图2中的HGA ∆中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，⋯⋯则第n 个内接正方形的边长n a = ．(n 为正整数）17．有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形．（1）已知四边形ABCD 是倍角梯形，//AD BC ，100A ∠=︒，请直接写出所有满足条件的D ∠的度数；（2）如图1，在四边形ABCD 中，180BAD B ∠+∠=︒，BC AD CD =+．求证：四边形ABCD 是倍角梯形；（3）如图2，在（2）的条件下，连结AC ，当2AB AC AD ===时，求BC 的长．18．我们定义：有两条边相等，一组对角互补的四边形称为“奇妙”四边形，其中相等的这组边称为“奇妙”边．（1）下列选项中一定是“奇妙”四边形的是．（填写序号）；①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形（2）如图，在722⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的四个顶点均在格点（小正方形的顶点）上，连接AC ．①图中ACD ∆中CD 边上的高的长为．②请判断四边形ABCD 是否为“奇妙”四边形，说明理由；③请用图中的ABC ∆和ADC ∆拼成一个新的图形（两个三角形不重叠），使得该图形为轴对称图形，在网格图中画出两个你所拼后的图形（全等的图形只能算一个），所拼的两个图形分别为、（在原图上作图，或在空余网格处作图均可，注明图形顶点字母并表示在横线上）；（3）已知在“奇妙”四边形ABCD 中，其中一条“奇妙”边2AB =，对角线2BD =，60ADC ∠=︒，请直接写出该“奇妙”四边形的周长．19．定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，满足2AC AB AD =⋅，四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是亮线．（1）以下说法正确的是（填写序号）①正方形不可能是闪亮四边形；②矩形中存在闪亮四边形；③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60︒．（2）如图2，四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，9AD =，12AB =，20CD =，判断哪一条线段是四边形ABCD 的亮线？请你作出判断并说明理由．（3）如图3，AC 是闪亮四边形ABCD 的唯一亮线，90ABC ∠=︒，60D ∠=︒，4AB =，2BC =，请直接写出线段AD 的长．20．我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）如图①，请你在图中画出格点M ，使得四边形OAMB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（2）如图②，将ABC ∆绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到DBE ∆，连接AD ，DC ，CE ．若30DCB ∠=︒，则四边形ABCD 是勾股四边形，为什么？。

中考数学新定义题型专题03 函数中的新定义问题(老师版)

专题03 函数中的新定义问题一、考情分析"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题1．在平面直角坐标系中，有系列抛物线2131(44n y nx nx n n =--++为正整数）．系列抛物线的顶点分别为1M ，2M ，3M ，⋯，n M ．（1）下列结论正确的序号是 ①②④ ． ①系列抛物线的对称轴是直线32x =-；②系列抛物线有公共交点(4,1)-和(1,1)； ③系列抛物线都是由抛物线214y x =-平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；（2）对于任意一条与x 轴垂直的直线x a =，与系列抛物线的交点分别为1N ，2N ，3N ，⋯，n N ．①当0a =时，1n n N N -= ；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离1n n N N -；若不相等，说明理由；③以1n n N N -为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a 的值．【解答】解：（1）系列抛物线的对称轴是直线3341222()4nb x a n -=-=-=-⨯-，故①正确； 221311(34)1444n y nx nx n n x x =--++=-+-+，令2340x x +-=．解得4x =-或1x =，∴系列抛物线有公共交点为(4,1)-，(1,1)，故②正确；系列抛物线二次项的系数为14n -，与抛物线214y x =-的系数不同，∴系列抛物线不是由抛物线214y x =-平移所得，故③错误；2221319913251(3)1()1444444216n y nx nx n n x x n n x n =--++=-++-++=-+++，∴系列抛物线的顶点坐标为3(2-，251)16n +． 12516n n M M -∴=，即任意两条相邻抛物线顶点的距离都等于2516，故④正确；综上，正确的有①②④，故答案为：①②④；（2）当x a =时，213144n y na na n =--++，2221131133(1)(1)(1)1444444n y n a n a n na a na a n -=----+-+=-+-++，21113144n n n n N N y y a a --∴=-=+-；①当0a =时，11n n N N -=；故答案为：1；②相邻两点之间的距离相等，距离为2113144n n N N a a -=+-；③系列抛物线的对称轴是直线32x =-；当32a <-时，由题意得：21331442a a a +-=-+；整理得2720a a ++=．解得a =a = 当32a >-时，整理得2100a a --=，解得a =a =综上，a 的值为72-或12+ 2．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”．（1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的是 ②③ （填序号）； ①6y x=；②|4|y x =；③225y x x =--．（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （3）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，5B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且1212y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）解：根据定义，函数关于直线(x n n =为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①6y x=的图象是中心对称图象，不符合题意： ②|4|y x =，③225y x x =--的图象是轴对称图形，符合题意．故答案为：②③．（2）||y x h =-是“X （3）”函数， 3h ∴=，如图，3y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(3,0)C ∴，(0,3)D -， 45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒， AM CM ∴=，BN CN =， 5B A x x -=，5MN ∴=，设CN x =，则5MC x =-， (3,)B x x ∴+，(2,5)A x x --， (3)(2)(5)0x x x x ∴++--=， 1x ∴=，(4,1)B ∴， 4m ∴=；（3）由题意得4112a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22121(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，54t ∴=（舍)； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+， x t =时，2224y t t =-++，22121(1)2(1)4(24)232y y t t t t t -=--+-+--++=-=， 74t ∴=（舍)； ⑧当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，221215[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=，又312t <，2t ∴=． ④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，22y t =-十24t +，221215(24)442y y t t t t -=--++=-+=，1t ∴=，又因为322t <，1t ∴=．综上所述：22t =-或12t =+． 3．我们知道，对于二次函数2()y a x m k =++的图象，可由函数2y ax =的图象进行向左或向右平移一次、再向上或向下移一次平移得到，我们称函数2y ax =为“基本函数”，而称由它平移得到的二次函数2()y a x m k =++为“基本函数” 2y ax =的“朋友函数”．左右、上所学的函数：二次函数2y ax =，函数y kx =和反比例函数ky x=都可以作为“基本函数”，并进行向左或向右平移一次、再向上或向下平移一次得到相应的“朋友函数”．如一次函数25y x =-是基本函数2y x =的朋友函数，由252(1)3y x x =-=--朋友路径可以是向右平移1个单位，再向下平移3个单位，朋友距离=（1）探究一：小明同学经过思考后，为函数25y x =-又找到了一条朋友路径为由基本函数2y x =先向左平移1个单位，再向下平移7个单位，相应的朋友距离为．（2）探究二：已知函数263y x x =-+，求它的基本函数，朋友路径，和相应的朋友距离．（3）探究三：为函数341x y x +=+和它的基本函数1y x =，找到朋友路径，并求相应的朋友距离．【解答】解：（1）2(1)7y x =+-，∴向左平移1个单位；=故答案为：向左平移1个单位；（2）2263(3)6y x x x =-+=--，∴基本函数为2y x =；原抛物线的顶点坐标为(0,0)，新抛物线的顶点坐标为(3,6)-，∴朋友路径为先向右平移3个单位，再向下平移6个单位；=；（3）函数341x y x +=+可化为131y x =++，∴朋友路径为先向左平移1个单位，再向上平移3个单位．．4．定义：1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y 是二次函数2()y ax bx c m x n =++图象上任意三个不重合的点，若满足1y ，2y ，3y 中任意两数之和大于第三个数，住意两数之差小于第三个数，且1y ，2y ，3y 都大于0，则称函数2y ax bx c =++是m x n 上的“仿三角形函数”．（1）①函数2(12)y x x =的最小值是m ，最大值是n ，则2m < n ；（填写“>”，“ <”或“=” )②函数2y x = 12x 上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是” )（2）若二次函数函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，求a 的取值范围；（3）若函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，求m 的取值范围．【解答】解：（1）①12x ，∴当1x =时，函数的最小值为1m =，当4x =时，函数的最大值为4n =， 2m n ∴<，故答案为：<；②当 1.1x =时，函数的最小值为1.21，当2x =时，函数的最大值为4，当1x =时，函数值为1， 1.2114+<，∴函数2y x = 不是12x 上的“仿三角形函数”；故答案为：不是；（2）当1x =时，3y a =-+，当2x =时，3y =，①当0a >时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，则302(3)3a a -+>⎧⎨-+⎩，解得：302a<； ②当0a <时，函数223y ax ax =-+是12x 上的“仿三角形函数”，则233a ⨯-+，30a ∴-<；综上所述，a 的取值范围为302a <或30a -<；（3）2222()y x mx x m m =-=--，∴函数最小值为2m -，当1x =时，12y m =-； 32x =时，934y m =-； ①当1m 时，1x =时120y m =-<，不满足题意； ②当1m <时，函数22y x mx =-在312x 上是“仿三角形函数”，则12092(12)34m m m ->⎧⎪⎨--⎪⎩，解得：14m -；综上所述：若函数22y x mx =-在312x上是“仿三角形函数”时m 的取值范围为14m -． 5．定义：当x a =时，其对应的函数值为y f =（a ），若f （a ）a =成立，则称a 为函数y 的不动点．例如：函数234y x x =-+，当2x =时，y f =（2）223242=-⨯+=，因为f （2）2=成立，所以2为函数y 的不动点．对于函数2(1)(21)3y t x t x =+-+-，（1）当0t =时，分别判断1-和0是否为该函数的不动点，并说明理由；（2）若函数有且只有一个不动点，求此时t 的值；（3）将函数图象向下平移(0)m m >个单位长度，4t -时，判断平移后函数不动点的个数．【解答】解：（1）1-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点；理由如下：当0t =时，23y x x =--，当1x =-时，1y x =-=，当0x =时，30y =-≠，1∴-是函数y 的不动点；0不是函数y 的不动点．（2）由不动点的定义可知，函数的不动点在y x =上，当1t =-时，函数3y x =-，此时函数没有不动点；当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x =+-+-，整理得，2(1)(22)30t x t x +-+-=，函数有一个不动点，∴△2(22)12(1)0t t =+++=，整理得4(1)(4)0t t ++=，1t ∴=-（舍)或4t =-；综上可知，符合题意的t 的值为4-；（3）向下平移后的函数为：2(1)(21)3y t x t x m =+-+--，当1t =-时，3y x m =--，函数没有不动点；当1t ≠-时，令2(1)(21)3x t x t x m =+-+--，整理得，2(1)(22)30t x t x m +-+--=，∴△2(22)(1)(3)0t t m =++++=，整理得△4(1)(4)t t m =+++，0m >，4t -，40t m ∴++>，当41t -<-时，△0<，平移后函数不动点的个数为0个；当1t =-时，不是二次函数；当1t >-时，△0>，平移后函数不动点的个数为2个．综上可知，当41t --时，平移后函数不动点的个数为0个；当1t >-时，平移后函数不动点的个数为2个．6．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，定义1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两点之间的“直角距离”为1212(,)||||d P O x x y y =-+-，二次函数234y x x =-+的图象如图所示．（1）点A 为图象与y 轴的交点，点(1,)B b -在该二次函数的图象上，求(,)d A B 的值．（2）点C 是二次函数234(0)y x x x =-+图象上的一点，记点C 的横坐标为m ． ①求(,)d O C 的最小值及对应的点C 的坐标．②当1t m t +时，(,)d O C 的最大值为p ，最小值为q ，若34p q -=，求t 的值．【解答】解：（1）把0x =代入234y x x =-+，得4y =，∴点A 坐标为(0,4)，把(1,)b -代入234y x x =-+，得1348b =++=，∴点B 坐标为(1,8)-，(,)|10||84|5d A B ∴=--+-=．（2）①223734()24y x x x =-+=-+，∴抛物线开口向上，顶点坐标为3(2，7)4，74y∴，点C 在抛物线上，2(,34)C m m m ∴-+，2(,)|0||340|d O C m m m ∴=-+-+-，0m ，27344m m -+， (d O ∴，22)24(1)3C m m m =-+=-+，∴当1m =时，(,)d O C 最小值为3，此时点C 坐标为(1,2)． ②(d O ，2)(1)3C m =-+，∴当01m <时，(,)d O C 随m 增大而减小，当1m 时，(,)d O C 随m 增大而增大，把m t =代入(d O ，2)(1)3C m =-+得(d O ，2)(1)3C t =-+，把1m t =+代入入(d O ，2)(1)3C m =-+得2(,)3d O C t =+，当111t t +-=-时，12t =，当102t<时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值2(1)3p t =-+， 23(1)4p q t -=-=，解得312t =+（不符合题意，舍去），312t =-，当112t <时，(,)d O C 的最小值3q =，最大值23p t =+， 234p q t -==，解得32t =，32t =-（不符合题意，舍去）．当1t >时，(,)d O C 的最小值2(1)3q t =-+，最大值23p t =+， 223(1)4p q t t -=--=，解得78t =（不符合题意，舍去），综上所述，312t =-或32． 7．定义：如图，已知点M 是一次函数3y x =图象上的一个动点，M 的半径为2，线段OM 与M 交于点A ．若点P 在M 上，且满足2PA =，则称点P 为M 的“等径点”．（1）若点M 的横坐标为3时，M 的“等径点”是 (1,33)或(4,23) ；（2）若M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，求圆心M 的坐标；（3）若M 的“等径点” P 在二次函数22323y x x =++的图象上，求点P 的坐标．【解答】解：（1）点M 在一次函数3y x =图象上，∴可设点M 的坐标为(3)a a ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，则||ON a =，|3|MN a =， 2||OM a ∴=，30OMN ∴∠=︒，60MON ∠=︒．①点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 左侧时，如下图所示，2PA PM AM ===， PAM ∴∆是等边三角形，60PMA MON ∴∠=∠=︒， //PM x ∴轴， (2,3)P a a ∴-；②点P 为M 的“等径点”，且当点P 在OM 右侧时，如下图所示，设AP '与MN 交于点Q ，此时60P AM MON ∠'=∠=︒， //P A x ∴'轴， MN AP ∴⊥'，90MQP ∴∠'=︒，30QMP ∠'=︒，1QP ∴'=，MQ =(P a ∴'+．当点M 横坐标为3时，3a =，则M 的“等径点”是或(4,；故答案为：或(4,；（2）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．当M 的“等径点” P 恰好在y 轴上，则点P 的横坐标为0， 20a ∴-=或10a +=，解得2a =或1a =-，∴点M 的坐标为(2,或(1,-；（3）由（1）知，M 的“等径点” P 为()a -或(a +-．令2x a =-，y =，则y =+；令1x a =+，y =-y =-M ∴的“等径点” P 在直线y =+上或直线y =-令2y x =+++，解得0x =或x =∴点P 的坐标为(0,或(3-+．令2y x =++-，方程无解．综上所述：点P 的坐标为(0,或(3-+．8．定义：若抛物线2111()y a x h k =++与抛物线2222()y a x h k =++．同时满足214a a =-且2114k k =-，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．（1）已知抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，求1y 的解析式；（2）如图1，将一副边长为2的形式，若以BC 中点为原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，设经过点A ，E ，D 的抛物线为1y ，经过A 、B 、C 的抛物线为2y ，请立接写出1y 、2y 的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【解答】解：（1）22223(1)4y x x x =--=--， 21a ∴=，1h =-，24k =-，抛物线2114y x bx c =-++与2223y x x =--是一对共轭抛物线，21144a a ∴==--，1h =-且21164k k ==-， 22111163(1)164424y x x x ∴=--+=-++．（2）由题意可得，42DF AF ==4AG GF DG GF ====， 2EG =，2HG =，4BC =，2OF =，点O 为BC 的中点， 2BO OC ∴==，(2,0)B ∴-，(2,0)C ，(4,6)A -，(4,6)D ，(0,8)E ，∴可设抛物线11(4)(4)6y a x x =+-+，与抛物线22(2)(2)y a x x =+-，11668a ∴-+=，2(42)(42)6a -+--=，解得：118a =-，212a =，∴抛物线2111(4)(4)6888y x x x =-+-+=-+，抛物线2211(2)(2)222y x x x =+-=-，118a ∴=-，0h =，18k =，212a =，0h =且22k =-， 11(2)82-⨯-=，1824-⨯=-， ∴满足214a a =-且2114k k =-，1y ∴、2y 是一对共轭抛物线．9．阅读理解：我们把一条直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，用小写字母k 表示．一般的，直线(0)y kx b k =+≠中的k ，叫做这条直线的斜率，则有tan k α=．探究发现：某数学兴趣小组利用以上材料，通过多次验证和查阅资料探究得出：经过两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，212)()y x x ≠的直线y kx b =+的斜率为：2121PQ y y k x x -=-．启发应用：（1）应用以上结论直接写出过(3,2)A ，(1,2)B -两点的直线AB 的斜率k 为 2 ；深入探究：数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．（2）①已知(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，当直线CD 与直线EF 互相垂直时，请求出直线CD 与直线EF 的斜率之积；②事实上，任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值，由①可知这个定值为．③如图，M 为以点M 为圆心，MN 的长为半径的圆．已知(1,2)M ，(3,5)N ，请结合（2）中的结论，求出过点N 的M 的切线l 的解析式．【解答】解：（1）根据题目中的新概念可知：22213k --==-．故答案为：2．（2）①(6,1)C --，(2,9)D ，(0,2)E ，(10,6)F -，∴直线CD 的斜率为：9(1)52(6)4CD k --==--，直线EF 的斜率为：6241005EF k --==--， 1CD EF k k ∴⋅=-，∴直线CD 与直线EF 的斜率之积为1-，②由①可得这个定值为：1-，故答案为：1-．③设直线MN 的解析式为：11y k x b =+，切线的解析式为y kx b =+， ∴1111253k b k b =+⎧⎨=+⎩，132k ∴=，112b =， ∴直线MN 的解析式为：3122y x =+，圆的切线与过切点的半径垂直， 11k k ∴=-，132k =， 23k ∴=-，把(3,5)N 代入y kx b =+，得：35k b +=，把23k =-代入35k b +=，得：7b =，∴切线的解析式为273y x =-+．10．在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．（1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 11A B ； ②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ；（2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC长．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段335A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)，此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-，此时2m =，故答案为：3或2；（2）直线(0)y x b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x =，OC ∴，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，2253()()722B C '=+=；∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线33y x b =-+中， 3403b -⨯+=，解得：433b =，过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，32B D '=，17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，2273()()1322B C '=+=，b ∴的最大值为433，13BC =；最小值为233，7BC =．11．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线(x n n =为常数）对称，则把该函数称之为“()X n 函数”．（1）在下列关于x 的函数中，是“()X n 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“()X n 函数”的打“⨯”． ①(0)my m x=≠ ⨯ ②|2|y x = ③225y x x =+-（2）若关于x 的函数||(y x h h =-为常数）是“X （2）函数”，与||(my m x=为常数，0)m >相交于(A A x ，)A y 、(B B x ，)B y 两点，A 在B 的左边，4B A x x -=，求m 的值；（3）若关于x 的“()X n 函数” 24(y ax bx a =++，b 为常数）经过点(1,1)-，且1n =，当1t x t -时，函数的最大值为1y ，最小值为2y ，且122y y -=，求t 的值．【解答】解；（1）①设(,)m a a 关于x n =对称的点为(2,)mn a a-，令2x n a =-，则2my n a=-，若2m m n a a=-，则a n =， ∴(0)m y m x =≠不是“()X n 函数”； ②设(,|2|)a a 关于x n =对称的点为(2,|2|)n a a -，令2x n a =-，则|2(2)||42|y n a n a =-=-，若|42||2|n a a -=，则a n =或0n =，|2|y x ∴=是“(0)X 函数”； ③设2(,25)a a a +-关于x n =对称的点为2(2,25)n a a a -+-，令2x n a =-，则2(2)2(2)5y n a n a =-+--，若2225(2)2(2)5a a n a n a +-=-+--，则有n a =或1n =-，225y x x ∴=+-是“(1)X -函数”；故答案为：⨯，√，√；（2）|y x =一|h 是“X （2）”函数， 2h ∴=，如图，2y x =-与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，作AM x ⊥轴交于M 点，BN x ⊥轴交于N 点，(2,0)C ∴，(0,2)D -，45BCN OCD ∴∠=∠=︒，由对称性可知，45ACM OCD ∠=∠=︒，AM CM ∴=，BN CN =，4B A x x -=，4MN ∴=，设CN x =，则4MC x =-，(2B ∴十x ，)x ，(2,4)A x x --，(2)(2)(4)0x x x x ∴++--=，1x ∴=，(3,1)B ∴，3m ∴=；（3）由题意得4112a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩， ∴此“()X n 函数”为224y x x =-++，①当1t <时，x t =时，2124y t t =-++，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，2212(24)[(1)2(1)4]232y y t t t t t -=-++---+-+=-+=，12t ∴=； ②当11t -，即2t 时，1x t =-时，21(1)y t =--十2(1)4t -+，x t =时，2224y t t =-++，1y 一222(1)2(1)4(24)232y t t t t t =--+-+--++=-=，52t ∴=； ③当312t <时， 1x =时，15y =，1x t =-时，22(1)y t =--十2(1)4t -+，22125[(1)2(1)4]442y y t t t t -=---+-+=-+=，2t ∴=±（舍去）:④322t <时， 1x =时，15y =，x t =时，2224y t t =-++，22125(24)212y y t t t t -=--++=-+=，12t ∴=±（舍去），综上所述：12或52．12．定义：我们把一次函数(0)y kx b k =+≠与正比例函数y x =的交点称为一次函数(0)y kx b k =+≠的“不动点”．例如求21y x =-的“不动点”：联立方程21y x y x =-⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，则21y x =-的“不动点”为(1,1)．（1）由定义可知，一次函数32y x =+的“不动点”为 (1,1)-- ；（2）若一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，求m 、n 的值；（3）若直线3(0)y kx k =-≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且直线3y kx =-上没有“不动点”，若P 点为x 轴上一个动点，使得3ABP ABO S S ∆∆=，求满足条件的P 点坐标．【解答】解：（1）联立32y x y x =+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数32y x =+的“不动点”为(1,1)--，故答案为：(1,1)--；（2）一次函数y mx n =+的“不动点”为(2,1)n -，12n ∴-=，3n ∴=，∴ “不动点”为(2,2)，223m ∴=+，解得12m =-；（3）直线3y kx =-上没有“不动点”，∴直线3y kx =-与直线y x =平行，1k ∴=，3y x ∴=-，(3,0)A ∴，(0,3)B -，设(,0)P t ，|3|AP t ∴=-，1|3|32ABP S t ∆∴=⨯-⨯， 1332ABO S ∆=⨯⨯， 3ABP ABO S S ∆∆=，|3|9t ∴-=，12t ∴=或6t =-，(6,0)P ∴-或(12,0)P ．13．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数2(3)2y x =--+是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①221y x x =++和②23(2)y x x =-中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数2(,)y x a x b b a =-+>的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过21a +，求a 的取值范围；（3）如果函数222(15)y x ax x =-+是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．【解答】解：（1）①2221(1)0y x x x =++=+，∴①无上确界；②23(2)y x x =-，1y ∴，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1；（2）2y x =-+，y 随x 值的增大而减小，∴当a x b 时，22b y a -+-+，上确界是b ，2a b ∴-+=，函数的最小值不超过21a +，221b a ∴-++，1a ∴-，b a >，2a a ∴-+>，1a ∴<，a ∴的取值范围为：11a -<；（3）222y x ax =-+的对称轴为直线x a =，当1a 时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=（舍)；当5a 时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=（舍)；当13a <时，y 的最大值为251022710a a -+=-， 3为上确界，27103a ∴-=，2.4a ∴=；当35a <<时，y 的最大值为12232a a -+=-， 3为上确界，323a ∴-=，0a ∴=，综上所述：a 的值为2.4．14．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0m >，对于任意的函数值y ，都满足m y m -，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数21(2,0)y x x t t =-+-的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足9542n 时，则t 的取值范围是 1324t 或5342t ．【解答】解：由题干可得函数21y x t =-++在2x t -时，函数最大值或最小值为n ，9542n ， 0t >，抛物线21y x t =-++开口向下，顶点坐标为(0,1)t +，1t ∴+为函数最大值，当512t +=时，32t =， 302t ∴<，当2t =时，直线2x =-与直线x t =与抛物线交点关于对称轴对称， 302t ∴<时，直线2x =-与抛物线交点为最低点，把2x =-代入21y x t =-++得3y t =-+，当532t -+=-时，12t =， 12t ∴，当95142t +时，5342t ，当59324t --+-时，1324t ， ∴1324t 或5342t 满足题意．故答案为：1324t 或5342t ． 15．定义：若实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”．例如，点(1,2)-满足：2123=-+，2(2)13-=+，则点(1,2)-是“轮换点”．已知：在直角坐标系xOy 中，点(,)A m n ．（1）1(3,2)A -和2(2,3)A -两点中，点 2A 是“轮换点”；（2）若二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”，且满足：①当1x =时，8y =，②241b ac -=，求二次函数解析式；（3）若点A 是“轮换点”，用含t 的代数式表示m n ⋅，并求t 的取值范围．【解答】解：（1）根据实数x ，y 满足2x y t =+，2y x t =+，且x y ≠，t 为常数，则称点(,)x y 为“轮换点”，1(3,2)A -，则23211=-+，此时2(2)311-≠+，1(3,2)A ∴-不是轮换点；2(2,3)A -，则2237=-+，此时2(3)27-=+，2(2,3)A ∴-是轮换点．故答案为：2A ；（2）设点(,)m n 是轮换点，由题意可知：2m n t =+①，且2n m t =+②，①-②得到：22m n n m -=-，即：(1)()0m n m n ++-=， 10m n ∴++=或0m n -=；当m n =时，则2am bm c m ++=，即：2(1)0am b m c +-+=，二次函数21(0)y ax bx c a =++≠上有且仅有一个“轮换点”， 2(1)0am b m c ∴+-+=有两个相等的根，即：2(1)40b ac --=，又241b ac -=，22211b b b ∴-+=-，解得：b l =，40ac ∴=，且0a ≠，0c ∴=，当1x =时，8y =，8a b c ∴++=，7a ∴=，217y x x ∴=+；当10m n ++=时，21am bm c m ∴++=--，即：2(1)10am b m c ++++=，同理得：2(1)4(1)0b a c +-+=，241b ac -=，21b a ∴=-；8a b c ++=，93c a ∴=-，241b ac -=，216400a a ∴-=，解得：52a =或0a = （舍去）， 4b ∴=，32c =， 2153422y x x ∴=++，综上所述，二次函数解析式为：217y x x =+或2153422y x x =++；（3）点(,)A m n 是“轮换点”，2m n t ∴=+①，2n m t =+②，①-②得：220m n m n -+-=，()(1)0m m m n ∴-++=，由“轮换点“定义可知：m n ≠，10m n ∴++=，1m n ∴+=-，①+②得：222m m n n t -+-=，222()21m n t m n t ∴+=++=-，2()221m n mn t ∴+-=-，1221mn t ∴-=-，1mn t ∴=-，m n ≠，2()0m n ∴->，2220m mn n ∴-+>，2()40m n mn ∴+->，把1m n +=-代入，得：140mn ->，14mn ∴<， 114t ∴-<， 34t ∴>，故1mn t =-，34t >． 16．二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．其中定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线． ①抛物线2(0)y ax a =≠的焦点为1(0,)4F a ，准线为14y a =-，例如，抛物线213y x =的焦点是3(0,)4F ；准线是34y =-；抛物线23y x =-的焦点是是1(0,)12- 准线是； ②将抛物线2(0)y ax a =≠向右平移h 个单位、再向上平移k 个单位(0,0)h k >>，可得抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠；因此抛物线2()(0)y a x h k a =-+≠的焦点是1(,)4F h k a +，准线为14y k a =-+．例如，抛物线2113y x =+的焦点是7(0,)4F ，准线是14y =；抛物线21(1)2y x =+的焦点是准线为．根据以上材料解决下列问题：（1）完成题中的填空；（2）已知二次函数的解析式为221y x x =+-．①求其图象的焦点F 的坐标以及准线解析式；②求过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标． ③抛物线上一点P ，点P 与坐标原点O 、F 点构成三角形，求POF ∆周长的最小值，以及P点的坐标．【解答】解：（1）①根据新定义，可得11144(3)12y a ===-⨯-，所以抛物线23y x =-的焦点是1(0,)12-；故答案是：1(0,)12-；112x =-； ②根据新定义，可得1h =-，111014242k a +=+=⨯，所以抛物线21(1)2y x =+的焦点是1(1,)2-，准线是12y =-；故答案是：1(1,)2-；12y =-；（2）①将221y x x =+-化为顶点式得：2(1)2y x =+- 根据新定义，可得1h =-，11724414k a +=-=-⨯，所以可得抛物线221y x x =+-的焦点坐标7(1,)4F --，准线解析式为94y =-；②由①知7(1,)4F --，所以过点F 且与x 轴平行的直线是74y =-，将74y =-代入221y x x =+-得：27214x x -=+-，解得：12x =-或32x =-，所以，过点F 且与x 轴平行的直线与二次函数221y x x =+-图象交点的坐标为17(,)24--和37(,)24--． ③二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹．过原点O 向二次函数221y x x =+-的准线94y =-作垂线．P ∴点坐标为(0,1)-．OPF ∴∆周长OF OP PF =++，PF PQ =，OP PQ OQ +=，OPF ∆周长OF PQ =+． OPF ∴∆周长的最小值即OP ⊥直线2y =-．|2|2OF OQ +=-=+OPF ∴∆周长的最小值为2+． P ∴点的坐标为(0,1)-，OPF ∆周长的最小值为2+．17．将抛物线2y ax =的图象（如图1)绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图象（如图2)，记为21:C y x a=．【概念与理解】将抛物线214y x =和22y x =按上述方法操作后可得新的抛物线图象，记为：1:C 214y x =；2:C ．【猜想与证明】在平面直角坐标系中，点(,0)M x 在x 轴正半轴上，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线1C 于点A 、B ，交抛物线2C 于点C 、D ，如图3所示．（1）填空：当1x =时，AB CD = ；当2x =时，ABCD= ；（2）猜想：对任意(0)x x >上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．【探究与应用】（3）利用上面的结论，可得AOB ∆与COD ∆面积比为；（4）若AOB ∆和COD ∆中有一个是直角三角形时，求COD ∆与AOB ∆面积之差；【联想与拓展】（5）若抛物线23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，如图所示，过点M 作平行于y 轴的直线，分别交抛物线3C 于点A 、B ，交抛物线4C 于点C 、D ．过点A 作x 轴的平行线交抛物线4C 于点E ，过点D 作x 轴的平行线交抛物线3C 于点F ．对于x 轴上任取一点P ，均有PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，请直接写出m 和n 之间满足的等量关系是．【解答】解：【概念与理解】根据题中的定义可知：211:4C y x =；22:C y x =；故答案为：214y x =；2y x =；【猜想与证明】（1）把1x =代入1C 中，得214y =， 12y ∴=±，1(1,)2A ∴，1(1,)2B -．1AB ∴=；把1x =代入2C 中，得21y =， 1y ∴=±，(1,1)C ∴，(1,1)D -． 2CD ∴=．∴12AB CD =．把2x =代入1C 中，得212y =，y ∴=2A ∴，(1,2B ．AB ∴=；把2x =代入2C 中，得22y =，y ∴=C ∴，(1,D ．CD ∴=∴12AB CD ==．故答案为：12；12．（2）成立，理由如下： 211:4C y x =，0x >，1y ∴=；2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=；22:C y x =，0x >，1y ∴=2y =(A x ∴，(,B x ；AB ∴=12AB CD ==．【探究与应用】（3）AOB ∆的面积12h AB =⋅；COD ∆的面积12h CD =⋅，111::222AOB COD S S h AB h CD ∆∆∴=⋅⋅=．故答案为：12．（4）①AOB ∆是直角三角形时，AM BM == OM AM ∴=，x ∴=，解得14x =或0x =（舍去）； 14OM ∴=，12AB =，1CD =，11111112424216COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=；当COD ∆中有一个是直角三角形时，CM DM =OM AM ∴=，则x =1x =或0x =（舍去）； 1OM ∴=，1AB =，2CD =，1111211222COD AOB S S S ∆∆∴=-=⨯⨯-⨯⨯=．∴面积差为116或12；【联想与拓展】（5）由题意23:C y mx =、24:(0)C y nx m n =<<，(,0)M k 在x 轴正半轴上，当x k =时，2y mk =，2y nk =，解得y =或y =(A k ∴，(,B k ，(C k ，(,D k ，//AE x 轴，//DF x 轴，(mk E n ∴，(nkF m，， mk AE k n ∴=-，nkDF k m=-， 1()2PAE mk S k n ∆∴=-，1()2PDF nk S k m∆=-， PAE ∆与PDF ∆面积的比值1:3，11[()]:[()]1:322mk nkk k n m∴--=，整理得，339n m =．故答案为：339n m =．18．阅读下面的材料，再回答问题．我们知道利用换元法与整体的思想方法可以解方程，分解因式等等，还可以求函数的解析式等．一般地，函数解析式表达形式为：1y x =+，223y x x =+-，3y x =．还可以表示为：()1f x x =+，2()23f x x x =+-，3()f x x=的形式．我们知道()1f x x =+和()1f t t =+和()1f u u =+等表达的意思一样的．举个例子：2(1)f x x +=，设1x t +=，则1x t =-，2()(1)f t t =-，即2()(1)f x t =-．已知：函数2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式．分析：我们可以用换元法设1x t +=来进行求解．解：设1x t +=，则1x t =-，所以222()(1)2(1)212243f t t t t t t t t =---=-+-+=-+．所以2()43f x x x =-+．看完后，你学会了这种方法了吗？亲自试一试吧！（1）若()1f x x =-，求(3)f x -；（2）(21)1f x x +=+，求()f x 的解析式；（3）若2(1)32f x x x -=-+，求(2)f x +的解析式．【解答】（1）令3t x =-，则()(3)1314t x f t f x x -=-==--=- （2）令21x t +=，则12t x -=，所以11()122t t f t -+=+=，所以1()2x f x += （3）同理（2），可先求出()(1)23(1)22f x x x x x =+-++=-，再可求出(2)(2)2(2)232f x x x x x +=+-+=++19．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，2()0a b -，20a ab b ∴-，2a b ab ∴+，只有当a b =时，等号成立．结论：在2(a b ab a +、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则2a b p +，只有当a b =时，a b +有最小值2p（1）根据上述内容，回答下列问题：若0m >，只有当m = 3 时，9m m+有最小值．（2）探索应用：如图，已知(3,0)A -，(0,4)B -，P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，PD y ⊥轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值．（3）判断此时四边形ABCD 的形状，说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，992m m m m +⋅9m m=．当9m m=时，解得：3m =或3-（不合题意舍去），故当3m =时，9m m+有最小值，其最小值是6．故答案是：3；6；（2）P 为双曲线12(0)y x x=>图象上的任意一点， ∴不妨可设12(,)p x x ，则(,0)C x ，12(0,)D x． ADC ABC ABCD S S S ∆∆=+四边形．∴1122ABCD S AC OD AC OB =⨯+⨯四边形 1()2AC OD OB =⋅+ 112(3)(4)2x x =+⋅+ 18212x x=++ 92()12x x=++．又90,0xx>>，∴由阅读理解中的结论可知：9926x x x x+⋅=，所以当9(0)x x x=>时，即当3x =时，261224ABCD S =⨯+=四边形的最小值；（3）此时四边形ABCD 是菱形，理由如下：由（2）可知：当3x =时，此时点P 的坐标为(3,4)P ，∴5AB ==，5BC ==，5CD =，5DA =，AB BC CD AD ∴===，∴四边形ABCD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）．另解：证34OA OC OD OB ====得四边形ABCD 是平行四边形，再由AC BD ⊥知平行四边形ABCD 是菱形．20．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 和B （点A 在点B 左侧），若ABC ∆是等腰三角形，则称抛物线2(0)y ax bx c a =++≠是“理想抛物线”．（1）判断抛物线24y x =-+是否为“理想抛物线”，并说明理由；（2）已知经过点(3,0)B 的抛物线2(0)y ax bx c a =++>是“理想抛物线”．①若点1(2,)P k y -，(1Q k -，211)(0)y y y ⋅>是抛物线上另两点，满足当4k >时，PB 与AQ 的交点始终在抛物线的对称轴上，且线段AC 的垂直平分线恰好经过点B ，求此抛物线的解析式；②是否存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，且502n <？若存在，求出所有满足条件的整数c 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线24y x =-+是“理想抛物线”，理由如下：抛物线24y x =-+的对称轴为直线：0x =，∴该抛物线是关于y 轴对称，则点A 、B 关于y 轴对称，OC ∴垂直平分AB ，ABC ∴∆为等腰三角形，24y x ∴=-+是为“理想抛物线”；（2）①要满足ABC ∆是等腰三角形，则AB 可能为底边，也可能为腰；当AB 为底边时，AC AB =，点A 、B 关于y 轴对称，此时(3,0)B ，(3,0)A -，当4k >时，22k -<-，13k ->， 2P x ∴<-，3Q x >，AC 的垂直平分线恰好经过点B ，6BC AB ∴==，又ABC ∆是等腰三角形， 6AC AB BC ∴===， ABC ∴∆是等边三角形；又132OA AB ==，OC ∴=，(0,C ∴-；∴抛物线的交点式为：(3)(3)y a x x =+-，把点C 坐标代入，(03)(03)a -=+-．a ∴=（负值舍去），∴此时抛物线的解析式为：3)(3)y x x =+-；当AB 为腰时，AB CB =，仍满足2P x <-，3Q x >， 120y y ⋅>，0a >，0P y ∴>，0Q y >，∴必有点P 在A 点上方，则(2,0)A -，对称轴直线12x =， 5CB AB ∴==， 3OB =，4OC ∴=，(0,4)C -，4c =-，又A B c x x a ⋅=，得23a =，32b =-；∴此时抛物线的解析式为：223432y x x =--； ②存在整数c 使得||ABC S cn ∆=，理由如下：OC 是ABC ∆的高，且0a >，开口向上，抛物线与x 轴有两个交点，1(3)||||2ABC A C S x y cn ∆∴=⋅-⋅=， 1||(3)2A n x ∴=⋅-， 502n<， 150(3)22A x ∴<⋅-，解得23A x -<，则需要分两种情况，当20A x -<时，0c <，此时BA BC =，|3|A x ∴-=，解得22(3)9A c x =--，20A x -<，20(3)916A x ∴<--，即2016c <，此时，存在1c =-或2c =-或3c =-或4c =-满足题意；当03A x <<时，0c >，此时，AB AC =，|3|A x ∴-296A c x =-，03A x <<，9969A x ∴-<-<，即209c <<，此时，存在1c =或2c =满足题意；综上可知，存在整数c 是使得||ABC S cn ∆=，且502n <，此时c 的值为1-或2-或3-或4-或1或2．21．对某一个函数给出如下定义：对于函数y ，若当a x b ，函数值y 满足m y n ，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 系和谐函数”．（1）已知正比例函数5(14)y x x =为“k 系和谐函数”，请求出k 的值；（2）若一次函数3(14)y px x =-为“3系和谐函数”，求p 的值；（3）已知二次函数22242y x ax a a =-+++，当11x -时，y 是“k 系和谐函数”，求k 的取值范围．【解答】解：（1）14x ，520y ∴，205(41)k ∴-=-，5k ∴=；（2）14x ，当0p >时，343p y p --，(43)(3)33p p ∴---=⨯，3p ∴=；当0p <时，433p y p --，3(43)33p p ∴---=⨯，3p ∴=-；综上所述：3p =±；（3）22222422()32y x ax a a x a a a =-+++=--++，当1x =时，262y a a =+-，当1x =-时，222y a a =--，当x a =时，232y a a =+，①当1a <-时，226222a a y a a +---，22(22)(62)(11)a a a a k ∴---+-=+，4k a ∴=-，4k ∴>；②当1a >时，226222a a y a a +---，22(62)(22)(11)a a a a k ∴+----=+，4k a ∴=，4k ∴>；③当10a -<时，226232a a y a a +-+，22(32)(62)(11)a a a a k ∴+-+-=+，2(1)k a ∴=-，14k ∴；④当01a 时，222232a a y a a --+，22(32)(22)(11)a a a a k ∴+---=+，2(1)k a ∴=+，14k ∴；综上所述：1k ．22．【阅读理解】已知关于x ，y 的二次函数22222()2y x ax a a x a a =-++=-+，它的顶点坐标为(,2)a a ，故不论a 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线2y x =上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．【问题解决】（1）若二次函数223y x x =+-和243y x x =---是同源二次函数，求它们的根函数；（2）已知关于x ，y 的二次函数22:4441C y x mx m m =-+-+，完成下列问题： ①求满足二次函数C 的所有二次函数的根函数；②若二次函数C 与直线3x =-交于点P ，求点P 到x 轴的最小距离，并求出此时m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+-，∴该抛物线的顶点为(1,4)--；2243(2)1y x x x =---=-++，∴该抛物线的顶点坐标为(2,1)-．设经过点(1,4)--和点(2,1)-的直线的解析式为y kx b =+，∴421k b k b -+=-⎧⎨-+=⎩，。

初中数学关注“新定义”型试题

初中数学关注“新定义”型试题近年来在各级竞赛和中考中，涌现了大量的着意考查学生的创新意识、创新精神为目的的新“定义”试题。

所谓“新定义”试题指给出一个考生从未接触过的新规定，要求考生现学现用，其目的考查考生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质。

“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路。

1. 关注边缘概念的新定义所谓新定义的边缘概念，即给出一种特殊的概念或满足某种特殊的关系，要求学生运用这种概念去创造性地思考并解决问题。

例1. 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如223516-=，故16是一个“智慧数”。

在自然数列中，从1开始起，第1990个“智慧数”是__________。

分析“智慧数”是一种全新的、特殊的概念，解这类题的关键是要准确全面地理解“智慧数”的涵义，通过可逆思维结合的方法解决问题。

由于自然数可分为奇数和偶数，所以要分析奇数与偶数中哪些数是“智慧数”。

解：设奇数为12+k （k 是自然数），显然12)1(22+=-+k k k 成立，当偶数为4k 时（k 是正整数），k k k 4)1()1(22=--+也成立，即：每个形如12+k ，4k 的非零自然数都是智慧数，而被4除余数为2的偶数都不是智慧数，所以智慧数有1，3，4；5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20；…，即2个奇数，1个4的倍数，三个一组依次排列下去。

因为1990＝663×3＋1，即第1990个智慧数是664组的第一个，所以它是663×4＋1=2653。

2. 关注对新命题运算的定义新命题的运算，就是在代数式中对某些相同的结构或某种特定的操作用特定的算式符号来表示，形成一种新的运算。

例2. 读一读：式子“1004321+++++ ”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了方便起见，我们可将“1+2+3+4+…+100”表示为∑=1001n n ，这“∑”是求和符号。

初中数学新定义题专题

初中数学新定义题专题类型一新运算型1. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③B 【解析】①∵24＝16，∴log 216＝4，故①正确；②∵52＝25，∴log 525＝2≠5，故②不正确；③∵2－1＝12，∴log 212＝－1，故③正确．2. 阅读材料：设a →＝(x 1，y 1)，b →＝(x 2，y 2)，如果a →∥b →，则x 1·y 2＝x 2·y 1.根据该材料填空：已知a →＝(2，3)，b →＝(4，m )，且a →∥b →，则m ＝________.6 【解析】∵a →∥b →，∴2m ＝3×4，解得m ＝6.3. 对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q }表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1.因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝______．－3，2或－1 【解析】∵－2＞－3，∴min{－2，－3}＝－3；当(x －1)2＝1时，解得x ＝0或x ＝2，当x ＝0时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，0}＝0，不符合题意舍去，当x ＝2时，min{(x －1)2，x 2}＝min{1，4}＝1；当x 2＝1时，x ＝－1或x ＝1，当x ＝1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{0，1}＝0，不符合题意舍去，当x ＝－1时，min{(x －1)2，x 2}＝min{4，1}＝1，综上所述，x ＝2或x ＝－1.4. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a ＋bi (a ，b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2－i )＋(5＋3i )＝(2＋5)＋(－1＋3)i ＝7＋2i ； (1＋i )×(2－i )＝1×2－i ＋2×i －i 2＝2＋(－1＋2)i ＋1＝3＋i ；根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：i 3＝________，i 4＝________；(2)计算：(1＋i )×(3－4i )； (3)计算：i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017.解：(1)－i ；1；【解法提示】∵i 2＝－1， ∴i 3＝i 2·i ＝－i ，i 4＝i 2·i 2＝1. (2)原式＝3－4i ＋3i －4i 2 ＝3－i ＋4 ＝7－i ；(3)根据题意可得i ＝i ，i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，i 5＝i ，i 6＝－1，…，i 2016＝1，i 2017＝i ， ∵i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，2017÷4＝504……1， ∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2017＝i .类型二新概念型5. 已知点A 在函数y 1＝－1x (x ＞0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k (k 为常数，且k ≥0)上，若A ，B 两点关于原点对称，则称点A 、B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )A. 有1对或2对B. 只有1对C. 只有2对D. 有2对或3对A 【解析】设A 坐标为(x ，－1x )，则B 坐标为(－x, 1x )，把B (－x, 1x )代入y 2＝kx ＋1＋k ，得1x ＝－kx ＋1＋k ，整理得：kx 2－(k ＋1)x ＋1＝0.当k ＝0时，x ＝1，只有一组解；当k ≠0时，b 2－4ac ＝(k ＋1)2－4k ＝(k －1)2≥0，该方程有两个实数根．综上所述，x 有一个或两个值，即“友好点”有1对或2对．6. 新定义：[a ，b ]为一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0，a ，b 为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1的解为________．x ＝3 【解析】根据题意可得：y ＝x ＋m －2，∵“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，∴m －2＝0，解得m＝2，则关于x 的方程1x －1＋1m ＝1变为1x －1＋12＝1，解得x ＝3，检验：把x ＝3代入最简公分母2(x －1)＝4≠0，故x ＝3是原分式方程的解．7. 在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”．(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？(2)M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n )，求直线MN 的表达式(用含m 、n 的代数式表示)；(3)在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，直线AB 经过点P (12，12)，求此抛物线的表达式．解：(1)不一定，理由如下：设这一对“互换点”的坐标为P (m ，n )、Q (n ，m )． ①当mn ＝0时，它们不在反比例函数的图象上；②当mn ≠0时，点P (m ，n )在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，则mn ＝k ，∵nm ＝k ，∴点Q 在反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象上；综上所述，任意一对“互换点”不一定都在一个反比例函数的图象上； (2)点M (m ，n )的互换点N 的坐标为(n ，m )；设直线MN 的解析式为y ＝k ′x ＋a ，将点M ，N 代入得⎩⎪⎨⎪⎧mk ′＋a ＝n nk ′＋a ＝m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝－1a ＝m ＋n ，∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋m ＋n ；(3)∵点A 在反比例函数y ＝－2x 的图象上，则设点A 的坐标为(t ，－2t )，∵点A 和点B 是互换点， ∴点B 的坐标为(－2t，t )，由(2)知直线AB 的解析式为y ＝－x ＋t －2t ，∵点P (12，12)在直线AB 上，∴－12＋t －2t ＝12，解得t 1＝－1，t 2＝2，则点A 的坐标为(－1，2)或(2，－1)，则对应的互换点B 的坐标为(2，－1)或(－1，2)，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上，将点(－1，2)，(2，－1)代入得，⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝24＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－1， ∴抛物线解析式为y ＝x 2－2x －1.拓展类型新方法型8. 阅读下面的材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2. (1)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)，则称f (x )是增函数： (2)若x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则称f (x )是减函数．例题：证明函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数．证明：假设x 1＜x 2，x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2x 2－2x 1x 1x 2＝2（x 2－x 1）x 1x2， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0， ∴2（x 2－x 1）x 1x 2＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )＝2x (x ＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：(1)函数f (x )＝1x 2(x ＞0), f (1)＝112＝1, f (2)＝122＝14.计算， f (3)＝________，f (4)＝________，猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是________函数(填“增”或“减”)；(2)请仿照材料中的例题证明你的猜想．解：(1)19，116，减；【解法提示】∵f (x )＝1x 2(x ＞0)，f (1)＝211＝1，f (2)＝122＝14，∴f (x )＝1x 2(x ＞0)， f (3)＝132＝19，f (4)＝142＝116，∵19＞116， ∴猜想f (x )＝1x 2(x ＞0)是减函数；(2)证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22， ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1＞0，x 21·x 22＞0， ∴()x 2－x 1()x 2＋x 1x 21x 22＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )＝1x2(x ＞0)是减函数．9. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x 2－5x ＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A (0，1)，B (5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A ，另一条直角边恒过点B ；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x 轴上点C 处时，点C 的横坐标m 即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x 轴上另一点D 处时，点D 的横坐标n 即为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D (请保留作出点D 时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m 就是方程x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m 1，n 1，m 2，n 2与a ，b ，c 之间满足怎样的关系时，点P (m 1，n 1)，Q (m 2，n 2)就是符合要求的一对固定点？第9题图解：(1)如解图①，第9题解图①先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(2) 证明：如解图②，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，第9题解图②∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠BCE ＝90°， ∵∠OAC ＋∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCE ，∵∠AOC ＝∠CEB ＝90°， ∴△AOC ∽△CEB ， ∴AO CE ＝OC EB ，即15－m ＝m 2， ∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实数根； (3) (0，1)、(－b a ，ca)(答案不唯一)；(4)如解图③中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x 轴于M ，N ，第9题解图③易得△PMD ∽△DNQ ， ∴PM DN ＝MD NQ ，即n 1m 2－x＝x －m 1n 2， ∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解， ∴－b a ＝m 1＋m 2，ca＝m 1m 2＋n 1n 2.10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1－x 2|；若|x 1－x 2|＜|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1－y 2|.例如：点P 1(1，2)，点P 2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值(点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点)．(1)已知点A (－12，0)，点B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，求满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； (2)已知C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图②，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图③，点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．第10题图解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点， ∴设点B 的坐标为(0，y )； ∵|－12－0|＝12≠2，∴|0－y |＝2，解得y ＝2或y ＝－2. ∴点B 的坐标是(0，2)或(0，－2)；②点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12；(2)①取点C 与点D 的“非常距离”的最小值，根据运算定义“若|x 1－x 2|≥|y 1－y 2|，则点P 1与点P 2的‘非常距离’为|x 1－x 2|”，此时|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|.∵C 是直线y ＝34x ＋3上的一个动点，点D 的坐标是(0，1)，∴设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，由题意知，此时点C 位于第二象限，|x C －x D |＝－x ，|y C －y D |＝34x ＋2，∴－x ＝34x ＋2，此时，x ＝－87，y ＝34x ＋3＝157， ∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值为87，此时，点C 的坐标为(－87，157)；②当点E 在过原点且与直线y ＝34x ＋3垂直的直线上时，点C 与点E 的“非常距离”最小，设点E (x ，y )(点E 位于第二象限)，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－43x 2＋y 2＝1，解得：⎩⎨⎧x ＝－35y ＝45，故E (－35，45)，设点C 的坐标为(x ，34x ＋3)，∴－35－x ＝34x ＋3－45，解得x ＝－85，当x ＝－85时，y ＝34x ＋3＝95，－35－x ＝1，∴点C 的坐标为(－85，95)时，与点E 的“非常距离”最小，最小值为1.。

初中数学中考八大题型典中典专题复习试题阅读理解问题

专题复习（五）——阅读理解问题类型1：新定义运算型定义运算“*”，规定x *y ＝ax 2＋by ，其中a 、b 为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝_________ 【变式练习】定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）A ． ①④ B． ①③ C． ②③④ D． ①②④类型2：学习应用型我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF ,BE 是△ABC 的中线, AF ⊥BE , 垂足为P .像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC =a ,AC b =,AB c =. 特例探索(1)如图1，当∠ABE =45°，c =22时，a = ，b = ；如图2，当∠ABE =30°，c =4时， a = ，b = ；45°30°图3图2图1CEFBCEFAPCEF BPAB PA归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想,,a b c 222三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4，在□ABCD 中，点E ,F ,G 分别是AD ,BC ,CD 的中点，BE ⊥EG , AD =25,AB =3. 求AF 的长.FBEGCD A【变式练习】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出所有正确说法的序号） ①方程x 2﹣x ﹣2=0是倍根方程．②若（x ﹣2）（mx+n ）=0是倍根方程，则4m 2+5mn+n 2=0；③若点（p ，q ）在反比例函数y=2x的图象上，则关于x 的方程px 2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax 2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M （1+t ，s ），N （4﹣t ，s ）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，则方程ax 2+bx+c=0的一个根为54．类型3：新概念阅读型对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a 、b 中的较大值，如：Max {2，4}=4，按照这个规定，方程{}x x x x Max 12,+=-的解为（）.（A ）21- （B ）22- （C ）2121-+或（D ）121-+或【变式练习】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1）概念理解如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.（2）问题探究①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

2021年人教版初中数学七年级上新定义问题专项练习

数学七年级（上）2021年人教版七年级上化简求值专项练习一．选择题（共6小题）1．对于有理数a、b，定义一种新运算“※”，规定：a※b＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|，则2※（﹣3）等于（）A．﹣2 B．﹣6 C．0 D．22．定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（）个．①3*2＝11．②2⊕（﹣1）＝﹣5．③（*）⊕（⊕）＝﹣．④若a*b＝b*a，则a＝b．A．1个B．2个C．3个D．4个3．定义一种新的运算：，如，则（2•3）•1＝（）A．B．C．D．4．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，如果x△（1△3）＝2，那么x等于（）A．1 B．C．D．25．现定义一种新运算“*”，规定a*b＝ab+a﹣b，如1*3＝1×3+1﹣3，则﹣2*5等于（）A．17 B．15 C．﹣17 D．﹣156．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为；（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n＝49，则第2020次“F运算”的结果是（）A．152 B．19 C．62 D．31二．填空题（共10小题）7．x，y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：x※y＝6x+5y，x△y＝3xy，那么（﹣2※3）△（﹣4）＝．8．数学家发明了一种魔术盒，当任意数（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：a2+b+1，例如把（3，﹣2）放入其中就会得到32+（﹣2）+1＝8，现将一数对（﹣2，3）放入其中得到数m，则m＝．9．观察下列各式：13＝12，13+23＝32，13+23+33＝62，13+23+33+43＝102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）＝．10．已知a、b都是正数，规定a2*b2＝，那么*（52*42）＝．11．定义运算a*b＝，a﹣1≠0，若（a﹣1）*（a﹣4）＝1，则a＝．12．定义运算a*b＝，若（a﹣1）*（a﹣4）＝1，则a＝．13．对于正数x，规定f（x）＝，例如：f（2）＝＝，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（）＝＝，……利用以上规律计算：f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）+f（1）+f（2）+……+f（2019）的值为：．14．规定图形表示运算a﹣b﹣c，图形表示运算x﹣z﹣y+w．则+＝（直接写出答案）．15．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q（p≤q）是n的最佳分解，并规定F（n）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9，3×6，这时就有F（18）＝＝．结合以上信息，给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（24）＝；③F（27）＝；④若n是一个整数的平方，则F（n）＝1．其中正确的说法有．（只填序号）16．阅读理解：，，…阅读以上材料后计算：＝．三．解答题（共6小题）17．定义一种新运算“⊗”，即m⊗n＝（m+2）×3﹣n，例如2⊗3＝（2+2）×3﹣3＝9．根据规定解答下列问题：（1）求6⊗（﹣3）的值；（2）通过计算说明6⊗（﹣3）与（﹣3）⊗6的值相等吗？18．对于正整数a，b，定义一种新算a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b（1）计算1△2的值为；（2）写出a△b的所有可能的值；（3）若a△b△c△d△e△f＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）c+（﹣1）d+（﹣1）e+（﹣1）f，其中a、b、c、d、e、f都是正整数，请你写出使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值；（4）若a，b，c都是正整数，则下列说法正确的是．（选出所有正确选项）A．a△b＝b△aB．a△（b+c）＝a△b+a△cC．（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]D．（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]19．规定运算△为：若a＞b，则a△b＝a+b；若a＜b，则a△b＝a×b；若a＝b，则a△b＝a﹣b+1．（1）计算6△（﹣4）的值；（2）计算[（﹣2）△3]+（4△4）+（7△5）的值．20．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，＝（﹣2）×5﹣4×3＝﹣22．（1）按照这个规定请你计算的值；（2）按照这个规定请你计算：当|x﹣2|＝0时，的值．21．一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得+＝成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；（2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣n﹣[4m﹣2（3n﹣5）]的值．22．计算：（1）（﹣1）（2）计算：6，嘉嘉同学的计算过程如下：原式＝6．请你判断嘉嘉的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．（3）定义一种新运算，观察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11；5⊙4＝5×4+4＝24；4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．①请你想一想：a⊙b＝；②若a≠b，那么a⊙b b⊙a（填“＝”或“≠”）；③先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝1，b＝2．参考答案1．B．2．B．3．B．4．B5．C．6．D．7．﹣36．8．89．10．．11．1，3或5．12．1或3或5．13．．14．﹣815．①③④．16．81．17．解：（1）6⊗（﹣3）＝（6+2）×3﹣（﹣3）＝24+3＝27；（2）（﹣3）⊗6＝（﹣3+2）×3﹣6＝﹣3﹣6＝﹣9，所以6⊗（﹣3）与（﹣3）⊗6的值不相等．18．解：（1）∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，∴1△2＝（﹣1）1+（﹣1）2＝﹣1+1＝0．故答案为：0；（2）正整数a，b都是奇数，a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1﹣1＝﹣2；正整数a，b一奇一偶，a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝﹣1+1＝0；正整数a，b都是偶数，a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b＝1+1＝2．综上所述，a△b的所有可能的值是﹣2或0或2．故答案为：﹣2或0或2；（3）使a△b△c△d△e△f＝﹣4成立的一组a、b、c、d、e、f的值1，3，5，7，9，2（答案不唯一）．故答案为：1，3，5，7，9，2（答案不唯一）；（4）A．∵a△b＝（﹣1）a+（﹣1）b，b△a＝（﹣1）b+（﹣1）a，∴a△b＝b△a，故说法正确；B．∵a△（b+c）＝（﹣1）a+（﹣1）b+c，a△b+a△c＝（﹣1）a+（﹣1）b+（﹣1）a+（﹣1）c，∴无法得到a△（b+c）＝a△b+a△c，故说法错误；C．∵（a△a）2＝[（﹣1）a+（﹣1）a]2＝4，2[（2a）△（2a）]＝2[（﹣1）2a+（﹣1）2a]＝2×2＝4，∴（a△a）2＝2[（2a）△（2a）]，故说法正确；D．∵（a△b）3＝[（﹣1）a+（﹣1）b]3，3[（3a）△（3b）]＝3[（﹣1）3a+（﹣1）3b]，∴无法得到（a△b）3＝3[（3a）△（3b）]，故说法错误．故答案为：A、C．19．解：（1）由题意可得，6△（﹣4）＝6+（﹣4）＝2；（2）由题意可得，[（﹣2）△3]+（4△4）+（7△5）＝（﹣2）×3+（4﹣4+1）+（7+5）＝（﹣6）+1+12＝（﹣5）+12＝7．20．解：（1）原式＝5×（﹣2）﹣（﹣3）×（﹣4）＝﹣10﹣12＝﹣22；（2）∵|x﹣2|＝0，∴x﹣2＝0，解得：x＝2，则原式＝3×（﹣2）﹣2×14＝﹣34．21．解：（1）根据题中新定义得：+＝，解得：b＝﹣4；（2）答案不唯一，如（2．﹣8），满足﹣＝；（3）∵+＝，∴n＝﹣4m，原式＝m﹣n﹣4m+6n﹣10，∵n＝﹣4m，∴原式＝m+27m﹣4m﹣24m﹣10＝﹣10．22．解：（1）（﹣1）＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝；（2）嘉嘉的计算过程不正确，正确的计算过程如下：6＝6÷（﹣+）＝6÷（﹣）＝6×（﹣6）＝﹣36；（3）①a⊙b＝4a+b；②a⊙b＝4a+b，b⊙a＝4b+a，∵a≠b，∴a⊙b＝≠b⊙a；③（a﹣b）⊙（2a+b）＝4（a﹣b）+（2a+b）＝4a﹣4b+2a+b＝6a﹣3b，当a＝1，b＝2时，原式＝6×1﹣3×2＝0．故答案为：4a+b；≠．。

4.题型四新定义问题

题型四新定义问题(2020年北京、长沙、常州、河南等地考查)【全国视野解读】新定义问题，主要是在问题中定义了初中数学没有学过的概念，新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识，能力进行了理解．根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，新定义问题也成为近年来中考的新亮点，特推荐此类题型.1. 对于某个函数，若自变量取实数m ，其函数值恰好也等于m 时，则称m 为这个函数的“等量值”．在函数存在“等量值”时，该函数的最大“等量值”与最小“等量值”的差d 称为这个函数的“等量距离”，特别地，当函数只有一个“等量值”时，规定其“等量距离”d 为0.(1)请分别判断函数y ＝x －1，y ＝x1，y ＝x 2有没有“等量值”？如果有，直接写出其“等量距离”； (2)已知函数y ＝2x 2－bx .①若其“等量距离”为0，求b 的值；②若1≤b ≤3，求其“等量距离”d 的取值范围；③若“等量距离”d ≥4，直接写出b 的取值范围．2. (2020重庆B卷)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4＋2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6＋4＝10，10不能被3整除．(1)判断312，675是否是“好数”？并说明理由；(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．3. 如图①，定义：在四边形ABCD中，若∠ADB＋∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补四边形．(1)如图②，分别延长互补四边形ABCD两边AD、BC交于点E，求证：∠E＝∠CAB＋∠DBA；(2)如图③，在等腰△ABE中，AE＝BE，D、C分别为AE、BE上的点，四边形ABCD是互补四边形，∠E ＝2∠CAB，证明：AD2＋BD2＝AB2.第3题图4. 定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”．如图①，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，AB＞CD，四边形ABCD即为“等邻对角四边形”．第4题图①概念理解(1)①如图②，在等边△ABC中，BC＝6，点D，E分别在AC，AB上，CD＝2，当BE的长为________时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”；②如图③，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF＝CE，四边形FBCD为“等邻对角四边形”，若∠BDC＝110°，则∠BFC的度数为________；性质探究(2)根据图①及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系；问题解决(3)如图④，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB＞CD，∠ABC＝∠DCB，AB＝3，AD＝1，AD、BC的延长线相交于点E，若DE＝8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．第4题图。

初中数学中考复习第6关以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题(原卷版)

第6关以新定义与阅读理解问题为背景的选择填空题【考查知识点】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力. 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.【解题思路】“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.【典型例题】【例1】（2019·湖南中考真题）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（）A ．10B ．6C ．5D ．4【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键．【例2】（2020·四川绵阳实中、绵阳七中初三月考）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=；22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．【名师点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.【例3】（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）【名师点睛】本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．【例4】(2018新疆中考)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．【名师点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．【方法归纳】阅读试题提供新定义、新定理，根据所给的内容类比解决新问题；阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题；阅读理解型问题是指通过阅读材料，理解材料中所提供新的方法或新的知识，并灵活运用这些新方法或新知识，去分析、解决类似的或相关的问题。

初中数学专题讲解1专题十《新定义阅读理解题》

每相邻两个正整数的平方差分别是3、5、7、9、11、13、15、17、19…，由此可知
，相邻两个正整数的平方差之间差2.
∴当x＝a2－b2(a，b均为正整数，且a≠b)时，
x的值是3、5、7、9…中的一个数(相邻时)或几个数(不相邻时)的和，等于112.
∴112是“雪松数”；
(2)解：设另一个“南麓数”为t′＝1000m＋100n＋10n＋m(m，n均为正整数，且0＜n＜m
即c2＝b2＋a2，
∴满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数；
1
2
1
(2)当n＝5时，a＝ (m2－25)，b＝5m，c＝ (m2＋25)，
2
当a＝37时，解得m＝3 11，非正整数，不合题意，舍去，
37
5
当b＝37时，解得m＝，非正整数，不合题意，舍去，
当c＝37时，解得m＝7，满足题意，此时a＝12，b＝35，
∴m为4567或5678或6789.
(2)q是“发财数”．理由如下：
∵t＝100a＋10(a＋1)＋(a＋2)＝111a＋12，
∴k＝100(a＋2)＋10(a＋1)＋a＝111a＋210，
∴q＝k－t＝(111a＋210)－(111a＋12)＝210－12＝198，
∵198÷18＝11，
∴198可被18整除，即198是“发财数”，
构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的三边长满足上述勾
股数，其中一边长为37，且n＝5，求直角三角形另两边的长．4. 解：(1)由题意知，
c2＝(2n2＋2n＋1)2
＝(2n2＋2n)2＋2(2n2＋2n)＋1
＝(2n2＋2n)2＋4n2＋4n＋1
＝(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2.

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