圆的一般方程轨迹问题

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圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版

圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程．重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc

的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

高中数学圆的一般方程

∴圆心 C(1,2)，半径 r＝ 3－12＋3－22＝ 5，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
设 P(x，y)，M(x0，y0)，∵M，N 的中点是 P，
x0＝2x－4，
∴
y0＝2y＋2，
∵M 在圆 C 上，∴(2x－5)2＋(2y)2＝5，
52 2 5
即(x－ ) ＋y ＝ .
圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0）
由于点B的坐标是（4，3），且点M是线段AB的中点，
y0 + 3
x0 + 4
y
=
所以 x = 2 ，
2
于是有 x 0 = 2 x - 4， y 0 = 2 y - 3 ①
因为点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆的条件:
1、A＝C ≠ 0
2、B=0
3、 D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程
表示圆的一般方程
练习2
•已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
(x-1)2+(y+2)2=2
（1，-2）
2
(x+2)2+(y-2)2=5
（-2，2）
5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
（-a，2）
a

【原创】圆的一般方程与点的轨迹

圆的一般方程与点的轨迹
概念
圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特殊地，当 a＝b＝0 时，方程为 x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为 r 的圆．
概念
(1)圆的一般方程的概念：当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－D2 ，－E2)，半径长为12 D2＋E2－4F.
注：
应用待定系数法求圆的方程时： (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或
半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法求出常数 D、E、F.
例1
求过三点 O(0,0) 、 M1 (1,1) 、 M 2 (4,2) 的圆的方程，并求出圆的
设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线且|PA|＝1，求 P 点的轨迹方程．
思考
已知△ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3，求顶点 C 的轨迹方程．
半径长和圆心坐标。
例2
方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆，求实数 m 的取值范围。
例3
已知一动点与两个定点 O(0,0) 、 A(3,0) 距离之比为 1 ， 2
求动点的轨迹方程。
例4
长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动，
求线段 AB 中点 M 的轨迹。

第二讲圆的一般方程

第二讲圆的一般方程一、圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。

【要点】1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2240D E F +-=时表示的是一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2240D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。

2.22,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。

3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径长为2242D E F +-4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方圆的标准方程考点一由圆的一般方程求圆的圆心和半径由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。

例1 圆22420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（）A. ()2,1,5-B.()2,1,5-C.()2,1,5-D.()2,1,5-考点二判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；3. 2240D E AF +->以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。

例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。

（1）222750x y x +-+=；（2）22580x xy y x y -+-++=；（3）222240x y x +-=；（4）22210x y ay ++-=；（5）2220x y ax ++=.考点三由确定圆的条件求参数范围二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2240D E F +->。

2.1.1-2.1.2 圆的标准方程圆的一般方程(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)

△ABC的外接圆的标准方程.
解：法一：待定系数法
设所求的方程是（ − ) + ( − ) = ①
因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所
以它们的坐标都满足方程①.
（ − + − =
+ − − + =
02
圆的一般方程
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题？
提示：
确定直线位置的几何要素：点、
方向
直线的倾斜角和斜率
直线的点斜式方程、直线的两点
式方程等
直线的一般式方程
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
问题3
圆心O的坐标是方程组 + + = 的解.
半径是 =
圆心O（2，-3）
( − ) +( + ) =
所以，△ABC的外接圆的标准方程是（ − ) + ( + ) = .
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，
圆的标准方程是 (
)
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-5)2+y2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-5)2+y2=5
解析: 因为圆的一条直径的端点分别是 A(0,0),B(2,4),
所以利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),
2
2
从而可求得半径为 (0-1) + (0-2) = 5,

第三节圆的方程

教材研读
栏目索引
1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( D )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x+1)2+(y+1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=2
2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故答案 D 由题意得圆的半径为
选D.
教材研读
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2.确定一个圆最基本的要素是④ 圆心和⑤
半径 .
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3.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥ (a,b) 为圆心,⑦ r 为半径.
教材研读
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4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧ D2+E2-4F>0 ,其中圆心为
考点突破
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1-1 若不同的四点A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)、D(a,3)共圆,则a的值为
7
. 7
答案
解析设过A、B、C三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
分别代入A、B、C三点坐标,得
25 5D F 0, 1 D F 0, 9 9 3D 3E F 0, D 4, 25 解得 E , 3 F 5.
2 2 ( x -1) +( y +1) =2 C的方程为
.
答案 (x-1)2+(y+1)2=2 解析
| 4 | x-y=0和x-y-4=0之间的距离为 =2 2 ,所以圆的半径为 2 .又因 2

2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)

三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改为“k(k>0)倍”，你能分析并解决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法：设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.

4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)

一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3），端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程（轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.

方法总结
直接法也称直译法：将已知条件直接翻译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间

圆的一般方程2(求轨迹方程)

推导圆的标准方程问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1．即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？解：设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程．解：设｜PB｜＝r．

圆的一般方程轨迹方程

2015-2016（上）狮山高中高二术科班数学学案（36）内容：4.1.2圆的一般方程（2）轨迹方程班别：姓名：学习目标1、进一步熟悉圆的方程及求法2、初步体会求动点轨迹的方法和方程的思想，会用直接法和相关点法求曲线的轨迹方程重点与难点圆的方程的求法；利用直接法和相关点法求轨迹方程学习过程一、自主学习：（知识归纳与探究）1．确定圆的几何条件确定圆的几何条件是和 .圆心的坐标中含有个量，故需要个独立条件才能确定圆的方程.2．求圆的方程的方法（1）直接法：根据已知条件，求出圆心坐标和圆的半径，直接写出圆的方程.（2）待定系数法：①根据题中条件，选择圆的方程（标准方程或一般方程）；②根据条件列出方程组；③解出待定系数，代入圆的方程.二、例题学习例1．（P124 B 1）等腰ABC 的顶点(4,2)A ，底边一个端点(3,5)B ，求另一顶点C 满足的等式？【知识点提炼】轨迹方程：动点M 的坐标(,)x y 满足的等式称为点M 的轨迹方程. 问题：例题1中C 的轨迹方程是什么？其轨迹是个什么图形？例2．已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.归纳小结：求轨迹方程的步骤：1）根据题目中条件，将动点满足的几何关系直接转化为坐标关系，再经过整理、化简得到动点的轨迹方程的方法叫做直接法.2）当动点(,)Q x y的变化而有规律地变动，可把Q点的坐标'x，'y分P x y，随另一动点(',')别用动点P的坐标x，y表示，代入Q点满足的等式，得到动点P的轨迹方程的方法叫做代入法或相关点法.三、巩固练习1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝12．圆22x x y y-++-=的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是42403．（书本P124 B4）已知点M与两个定点()()O A的距离的比为12，求点M的轨迹0,0,3,0方程。

4.1.2圆的一般方程

方程.
解：建立直角坐标系，原点为O，A在x轴上，则A坐标为（ 2 x， 0）B坐标为（ 0,2 y）根据勾股定理， OA2 OB2 AB2 就有（ 2 x） (2 y ) (2a)
2 2 2
B在y轴上，连接AB设中点P的坐标为（x, y），
化简得x 2 y 2 a 2
不是
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系: 1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
方法二：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0 F=0 D+E+F+2=0 解得 D=-8 4D+2E+F+20=0 E=6 3.源自D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E 圆心 , 2 2
y C o
圆心在 y轴上
x
y
圆心在x轴 C 上
x
y
圆过原点C
o x
o
D=0
E=0
F=0
x y Dx Ey F 0

圆的一般方程的第二课时：求轨迹方程问题

教学设计主备课人：德庆县香山中学王婷教学内容圆的一般方程第2课时：求轨迹方程问题教学目标能直接法和相关点法求圆的轨迹方程，渗透数形结合、化归与转化的思想。

核心素养a.数学抽象：通过圆的一般方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力；b.逻辑推理：运用转移代换的思想方法推导求出轨迹方程;c.数学运算：化简、整理方程；d.数学建模：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.教学重点能直接法和相关点法求圆的轨迹方程。

教学难点学会用数形结合、化归与转化的思想方法解答数学问题。

教学策略手段（教学过程）一、复习回顾知识点圆的一般方程：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（必备条件：D2 + E2– 4F＞0）将它化成圆的标准方程22224()()224D E D E Fx y+-+++=得，圆心(,)22D E--，半径为2244D E Fr+-=；二、引入：求轨迹方程设动点(,)M x y动点M满足MC r=即22()()x a x b r-+-=222()()x a y b r-+-=结论：求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标(x，y)所满足的关系.二、例题讲解例1：已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-、（1,0)，直线AM 与直线BM 垂直相交于M ,且它们的斜率都存在,求动点M 的轨迹方程。

例2：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆22(1)4x y ++= 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

对点练习对点练习1：已知点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程。

对点练习2：点P 是圆2216x y +=上的动点，点A(12,0),当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？。

高考轨迹方程的求解知识点-圆的轨迹方程例题

高考轨迹方程的求解知识点|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹。

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。

轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0；⒋化简方程为最简形式；⒌检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

三、直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系；②设点设轨迹上的任一点P（x，y）；③列式列出动点p所满足的关系式；④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。

圆的一般方程课件

①由圆的一般方程的定义令 D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
类型二待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，
所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠ －1)．
方法二：同法一得 x≠3 且 x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2 ＝16，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 ＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)．方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3 且 x≠1)．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法． (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的曲线(图形)． (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
【解析】方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

圆的轨迹方程ppt课件

x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）

[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m

1
(
m

1)

2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1

小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系

圆中的轨迹方程问题

圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。

在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。

让我们来了解一下什么是轨迹方程。

在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。

而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。

在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。

内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。

根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。

以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。

我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。

我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。

即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。

通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。

举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。

我们需要求出M点的轨迹方程。

根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。

M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。

圆的一般方程参考答案

2.4.2 圆的一般方程参考答案1．(多选)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的值可以为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D.23答案 ABD解析根据题意，若方程表示圆，则有(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得a <1，又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，23，则a 的值可以为－2,0，23. 2．已知圆的方程为x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为( )A ．3 B. 5 C ．5 D ．4答案 D解析圆的方程x 2＋y 2＋2ax ＋9＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝a 2－9，它的圆心坐标为(－a ,0)，可得a ＝－5，故它的半径为a 2－9＝25－9＝4.3．(多选)下列结论正确的是( )A ．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B ．圆的一般方程和标准方程可以互化C ．方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0表示圆D ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0答案 ABD解析 AB 显然正确；C 中方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D 正确．4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，则圆C 的圆心的轨迹是( )A ．点B ．直线C ．线段D ．圆答案 D解析 ∵圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1过点A (1,0)，∴(1－a )2＋(0－b )2＝1，∴(a －1)2＋b 2＝1，∴圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．5．圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5B ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5 答案 C解析把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)．设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)， ∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.6．若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α等于( )A.π2B.π4C.3π4D.π5答案 C解析 x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为标准式为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，所以当k ＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为3π4. 7．过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0解析设过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－8，E ＝6，F ＝0，故所求圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.8．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的一般方程为________________．答案 x 2＋y 2－4x －5＝0解析设圆C 的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，由题意可得|2a |5＝455，解得a ＝2(a ＝－2舍去)，所以圆C 的半径为22＋(－5)2＝3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0.9．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3)求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．解 (1)圆的方程化为[x －(t ＋3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝1＋6t －7t 2.由7t 2－6t －1<0，得－17<t <1. 故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－17，1. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t ＋3,4t 2－1)，半径为1＋6t －7t 2.(3)r ＝－7t 2＋6t ＋1 ＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167≤477. 所以r 的最大值为477，此时t ＝37，故圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167. 10.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．解设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.11．圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由于圆x 2＋y 2－ax －2y ＋1＝0的圆心为M ⎝⎛⎭⎫a 2，1，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心为N (2,0)，又两圆关于直线x －y －1＝0对称，故有1－0a 2－2×1＝－1，解得a ＝2. 12．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( )A ．8πB ．4πC ．2πD ．π 答案 C解析原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2，∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.13．已知圆C 经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C 与两坐标轴的四个截距之和为________．答案－2解析设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，1＋9＋D ＋3E ＋F ＝0，25＋1＋5D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，则y 2＋4y －20＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－4；令y ＝0，则x 2－2x －20＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，故圆C 与两坐标轴的四个截距之和为y 1＋y 2＋x 1＋x 2＝－4＋2＝－2.14．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是____________．答案 3x －2y －3＝0解析圆的方程x 2＋y 2－2x －3＝0，化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，圆心坐标为(1,0)，由k AB ＝－23，得AB的垂直平分线的斜率为32，且过圆心，从而所求直线方程为y －0＝32(x －1)，即3x －2y －3＝0.15．已知点P (7,3)，圆M ：x 2＋y 2－2x －10y ＋25＝0，点Q 为圆M 上一点，点S 在x 轴上，则|SP |＋|SQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 C解析由题意知圆M 的方程可化为(x －1)2＋(y －5)2＝1，所以圆心为M (1,5)，半径为1.如图所示，作点P (7,3)关于x 轴的对称点P ′(7，－3)，连接MP ′，交圆M 于点Q ，交x 轴于点S ，此时|SP |＋|SQ |的值最小，否则，在x 轴上另取一点S ′，连接S ′P ，S ′P ′，S ′Q ，由于P 与P ′关于x 轴对称，所以|SP |＝|SP ′|，|S ′P |＝|S ′P ′|，所以|SP |＋|SQ |＝|SP ′|＋|SQ |＝|P ′Q |<|S ′P ′|＋|S ′Q |＝|S ′P |＋|S ′Q |.故(|SP |＋|SQ |)min ＝|P ′M |－1＝(1－7)2＋(5＋3)2－1＝9.16．在平面直角坐标系xOy 中，长度为2的线段EF 的两端点E ，F 分别在两坐标轴上运动．(1)求线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴交于A 1，A 2两点，P 是轨迹C 上异于A 1，A 2的任意一点，直线P A 1交直线l ：x ＝3于M 点，直线P A 2交直线l 于N 点，求证：以MN 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解 (1)设G (x ，y )，由中点坐标公式得E (2x ,0)，F (0,2y )，∴|EF |＝(2x )2＋(－2y )2＝2，整理得x 2＋y 2＝1，∴线段EF 的中点G 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝1.(2)由已知设A 1(－1,0)，A 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，x 0≠±1，x 20＋y 20＝1，直线P A 1的方程为y ＝y 0x 0＋1(x ＋1)，令x ＝3，得y ＝4y 0x 0＋1，则M ⎝⎛⎭⎫3，4y 0x 0＋1，同理，可求N ⎝⎛⎭⎫3，2y 0x 0－1，MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫3，1－3x 0y 0，|MN |＝⎪⎪⎪⎪4y 0x 0＋1－2y 0x 0－1＝2⎪⎪⎪⎪3－x 0y 0， ∴以MN 为直径的圆C 的方程为(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －1－3x 0y 02＝(3－x 0)2y 20. 令y ＝0，得(x －3)2＝－⎝⎛⎭⎫1－3x 0y 02＋(3－x 0)2y 20＝8－8x 20y 20＝8. ∴x ＝3±22，圆C 总过定点，定点坐标为(3＋22，0)或(3－22，0)．。

轨迹方程问题—6大常用方法

轨迹方程问题—6大常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。

6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。