2021年九年级中考数学专题训练：矩形、菱形(含答案)

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2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合(四)

2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（四）1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：△AEC≌△DFB；（2）若∠EBD＝60°，BE＝BC，求证四边形BFCE是菱形．2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接AF．（1）求证：AD＝CF．（2）请你再添加一个条件（不再添加辅助线），使四边形AFCD是菱形，并说明理由．3．如图，点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．（1）试判断四边形AECF的形状；（2）若AE＝BE，∠BAC＝90°，求证：四边形AECF是菱形．4．给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图，在筝形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O．在OC上截取OE ＝OA，连接BE、DE．（1）求证：AC垂直平分BD；（2）判断四边形ABED的形状．5．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．（1）证明：四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．6．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，求证：OE⊥DC．7．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形．（2）连接CE，若CE＝EF，CE＝5，求AB的长．8．如图，EF是平行四边形ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若ED＝5，BD＝8，求菱形BFDE的面积．9．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．（1）求证：AB＝AE；（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形；（3）在（2）的条件下，若DH＝16，AD＝8，直接写出AF的长为．10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．参考答案1．证明：（1）∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）；（2）∵△ACE≌△DBF，∴EC＝BF，∠ECA＝∠FBD，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形，∵∠EBD＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴EB＝EC，∴四边形BFCE是菱形．2．（1）证明：在△DEA和△FEC中，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠EFC．又∵E为AC的中点，∴AE＝CE．在△DEA与△FEC中，，∴△DEA≌△FEC∴AD＝CF；（2）解：添加DA＝DC．证明：∵AD∥BC，又∵AD＝CF，∴四边形AFCD为平行四边形．又∵DA＝DC，∴四边形AFCD为菱形．3．（1）解：四边形AECF为平行四边形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF为平行四边形；（2）证明：∵AE＝BE，∴∠B＝∠BAE，又∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠BCA＝∠CAE，∴AE＝CE，又∵四边形AECF为平行四边形，∴四边形AECF是菱形．4．证明：（1）∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．（2分）∵BC＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上．（4分）∴AC垂直平分BD．（5分）（2）∵AC垂直平分BD．∴OB＝0D，∵OE＝OA，（6分）∴四边形ABED是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（7分）又AB＝AD，∴▱ABED是菱形．（一组邻边相等的平行四边形是菱形）（8分）5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴OA＝OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，∵AC⊥AB，∴EF∥AB，∴∠OEC＝∠B＝30°，∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．6．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵ABCD是矩形，∴OC＝OD．∴四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD．7．解：（1）∵E为AD中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴△AFE∽△DBE，∴，∴AF＝DB，∵AD是直角三角形CAB斜边CB上的中线，∴AD＝BD＝DC，∴AF＝DC，∵AF∥DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD＝DC＝DB，∴四边形ADCF是菱形．（2）∵CE＝EF＝BE，∴∠FCB＝90°，∵四边形ADCF是菱形，∴四边形ADCF是正方形，∴∠ADC＝90°，∵DC＝DB，AD⊥BC，∴AC＝AB，∴AD＝CD＝DB，设AE＝DE＝x，则CD＝BD＝AD＝2x，∵EC2＝CD2+DE2，∴5x2＝25，∴x＝（负根已经舍弃），∴AD＝BD＝CD＝2，∴AB＝AD＝2．8．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴四边形BFDE是菱形；（2）∵四边形BFDE是菱形，BD＝8∴OD＝BD＝4∵ED＝5∴OE＝3∴EF＝6∴菱形BFDE的面积为：×8×6＝24答：菱形BFDE的面积为24．9．（1）证明：∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAD+∠D，∠EAD＝∠FEC，∴∠AEF＝∠D，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∴∠B＝∠AEF，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（AAS），∴AB＝AE；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAF＝∠EHA，∵∠BAF＝∠EAF，∴∠EHA＝∠EAF，∴AE＝HE，∵AB＝AE，∴AB＝EH，∴四边形ABHE是平行四边形，又∵AB＝AE，∴四边形ABHE为菱形；（3）解：∵四边形ABHE为菱形，∴AE＝BH＝EH，设AE＝BH＝EH＝x，∵平行四边形ABCD中，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即：82+（16﹣x）2＝x2，解得：x＝10，∴CH＝＝＝6，同理，DE＝6，∴CE＝EH﹣CH＝10﹣6＝4，∴AB＝CD＝DE+CE＝6+4＝10，∵∠EAD＝∠FEC．∠EAD+∠AED＝90°，∴∠FEC+∠AED＝90°，∴∠AEF＝90°，∵AF平分∠BAE，∴BF＝EF，设BF＝EF＝m，在Rt△FCE中，EF2＝FC2＝EC2，即m2＝42+（8﹣m）2，解得：m＝5，∴AF＝＝＝5；故答案为：5．10．（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF＝∠EBD．∵E是BC中点，∴CE＝BE．∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED（ASA），∴CF＝BD，且CF∥AB，∴四边形CDBF是平行四边形．（2）∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD，且四边形CDBF是平行四边形，∴四边形CDBF是菱形，（3）如图，作EM⊥DB于点M，在Rt△EMB中，EM＝BE•sin∠ABC＝2，∴BM＝2在Rt△EMD中，∵∠EDM＝30°，∴DM＝ME＝2，∴BD＝2+2∴△BDE面积＝×BD×ME＝×2×（2+2）＝4+4。

2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合(三)

2021年中考数学一轮专题训练：菱形性质与判定综合（三）1．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE．（1）求证：OE＝CB；（2）如果OC：OB＝1：2，CD＝，求菱形的面积．2．在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF＝BC．（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．3．已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD＝30°，求CE的长．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长．5．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和CD的中点，连接AF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）试确定，当菱形ABCD再满足一个什么条件时，四边形AECF为矩形？请说明理由．6．如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，AB＝2，求：（1）∠BAD的度数；（2）对角线AC的长及菱形ABCD的周长．7．如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：△ADG≌△CDG；（2）若＝，EG＝4，求AG的长．8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分别为点D、E、F、G，DF、EG相交于点P．判断四边形MDPE的形状，并说明理由．9．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC 与BD相交于点O，连接CD．（1）求∠AOD的度数；（2）求证：四边形ABCD是菱形．10．如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥AB交BC于E，EF∥AC交AB于F．（1）求证：BE＝AF；（2）连接DF，试探究当△ABC满足什么条件时，使得四边形BEDF是菱形，并说明理由．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OCEB是平行四边形，∴四边形OCEB是矩形，∴OE＝CB；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝，由（1）知，AC⊥BD，OC：OB＝1：2，∴在Rt△BOC中，由勾股定理得BC2＝OC2+OB2，∴CO＝1，OB＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝4；2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，∵E点是边CD的中点，∴OE是△BDC的中位线，∴OE∥BC且OE＝BC，∵CF＝BC，∴OE＝CF，∵OE∥CF，∴四边形OCFE是平行四边形；（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，∴EF＝，∵CE＝，CF＝＝CD，∴△ECF为等边三角形；∵四边形OCFE是平行四边形，∴OC＝EF＝CE＝CF＝OE，∴△OCE为等边三角形；∵△ECF为等边三角形，∴∠ECF＝60°，∴∠ABC＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴△ABC为等边三角形；同理得△ADC为等边三角形；∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）解：∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠BAD＝×60°＝30°，∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DAO﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵菱形的边长为2，∠DAO＝30°，∴OD＝AD＝×2＝1，∴AO＝＝＝，∴AE＝CF＝×＝，∵菱形的边长为2，∠BAD＝60°，∴高EF＝2×＝，在Rt△CEF中，CE＝＝＝．4．（1）证明：∵DE＝OC，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，∴在△ACE中，AE＝＝2．5．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD．∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE；（2）菱形ABCD的内角∠B＝60°时，则四边形AECF为矩形，理由如下：连接AC，∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∵AE＝BE，∴CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴四边形AECF为矩形．6．解：（1）∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∵AE⊥BC，E为垂足，且BE＝CE，∴△ABC等腰三角形，∴AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAD＝2∠BAC＝120°；（2）∵AB＝2，AB＝AC∴AC＝AB＝2，菱形ABCD的周长＝4AB＝8．7．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠F＝∠FCD，在△ADG与△CDG中，，∴△ADG≌△CDG，∴∠EAG＝∠DCG，∴AG＝CG；（2）∵＝，AD∥BC，∴BC＝3AE，∴ED：BC＝2：3，∴EG：CG＝2：3，∵EG＝4，∴CG＝6，∵△ADG≌△CDG，∴AG＝6．8．证明：四边形MDPE为菱形，理由：连接AM．∵ME⊥AC，DF⊥AC，∴ME∥DF，∵MD⊥AB，EG⊥AB，∴MD∥EG，∴四边形MDPE是平行四边形；∵AB＝AC，M是BC的中点，∴AM是角平分线，∴MD＝ME，∴四边形MDPE为菱形．9．（1）解：∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，＝180°，∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，∴∠AOD＝90°；（2）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．10．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠BDE＝∠DBE，∴BE＝DE，∵EF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE，∴AF＝BE；（2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵EF∥AC，∴∠A＝∠BFE，∠C＝∠BFE，∴∠BFE＝∠BFE，∴BF＝BE，∵DE＝BE，∴BF＝DE，∵DE∥AB，∴四边形BEDF是菱形．。

2021年中考复习数学《一轮专题训练》—选择题专项：菱形的性质与判定综合(四)

2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：菱形的性质与判定综合（四）1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．8 C．D．42．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD 于点F，则EF的长为（）A．4.8 B．C．5 D．63．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A ＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为BC中点，连接OE，若菱形ABCD的周长为8，则线段OE的长为（）A．4B．2C．D．5．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．28m B．35m C．42m D．56m6．如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（）A．8 B．6 C．7 D．47．如图，将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，连接AD，下列结论正确的是（）A．AD＝ABB．四边形ABCD是平行四边形C．AD＝2ACD．四边形ABCD是菱形8．下列说法中，错误的是（）A．有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D．三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分9．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的四边形C．对角线相等的平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形10．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AC＝2BD C．AC平分∠BAD D．AB＝BC11．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．都有可能12．如图，在▱ABCD中，下列说法能判定ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC13．下列说法中，错误的是（）A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形是菱形D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）15．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm16．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若BD＝6，则四边形CODE的周长是（）A．10 B．12 C．18 D．2417．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，分别以直角边AB、斜边AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AC的中点，DE与AC交于点O，DF与AB交于点G，给出如下结论：①四边形ADFE为菱形；②DF⊥AB；③AO＝AE；④CE＝4FG；其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝8，则四边形CODE的周长（）A．8 B．12 C．16 D．2019．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（）A．B．C．D．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C．D．3参考答案1．解：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．故选：A．2．解：∵在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝4，AC⊥BD，∴AB＝＝5，＝AC•BD＝AB•EF，∵S菱形ABCD即×6×8＝5EF，∴EF＝4.8．故选：A．3．解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．4．解：∵菱形ABCD的周长为8，∴BC＝2，AC⊥BD，∵E为BC的中点，∴OE＝BC＝．故选：C．5．解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM＝∠GMN＝120°，GM＝GF＝EF，∴∠BMG＝∠BGM＝60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG＝GM＝2.5（m），同理可证：AF＝EF＝3.5（m）∴AB＝BG+GF+AF＝3.5×3＝10.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4＝42（m）．故选：C．6．解：∵菱形ABCD的周长为32，∴AD＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵H为AD边中点，∴OH＝AD＝4，故选：D．7．解：∵将三角尺ABC沿边BC所在直线平移后得到△DCE，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：B．8．解：A、∵有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形，∴选项C符合题意；D、如图所示：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴DE与AF互相平分，∴选项D不符合题意；故选：C．9．解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；故选：D．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E，F分别是OA，OC的中点，∴OE＝OF＝＝，∴四边形EBDF是平行四边形，添加AC⊥BD时，∵BO是△BEF的中线，∴BE＝BF，∴四边形EBFD是菱形，选项A正确；添加AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACB，∴AD＝AB＝BC，在△ABE和△DAE中，，∴△ABE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∴四边形EBFD是菱形，选项C正确；添加AB＝BC时，∴∠BAE＝∠BCF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE＝BF，∴四边形EBFD是菱形，选项D正确；只有添加选项B不能判定四边形EBFD是菱形；故选：B．11．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF．∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故选：C．12．解：∵对角线垂直的平行四边形是菱形，或一组邻边相等的平行四边形是平行四边形，∴当AC⊥BD或AB＝BC或AB＝AD或AD＝CD或BC＝CD时，平行四边形ABCD是菱形，故选：A．13．解：A．如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后，所得的图形能与原图形重合，那么这个四边形是正方形，本选项正确；B．在一个平行四边形中，如果有一条对角线平分一个内角，那么该平行四边形是菱形，本选项正确；C．在一个四边形中，如果有一条对角线平分一组内角，则该四边形不一定是菱形，本选项错误；D．两张等宽的纸条交叠在一起，重叠的部分是菱形，本选项正确；故选：C ．14．解：（1）如图1，连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ，∵∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∠ABD ＝60°，∵DC ∥AB ，∴∠CDB ＝∠ABD ＝60°，∴∠A ＝∠CDB ，∵∠EBF ＝60°，∴∠ABE +∠EBD ＝∠EBD +∠DBF ，∴∠ABE ＝∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中，，∴△ABE ≌△DBF （AAS ），∴BE ＝BF ，故（1）成立；（2）∵BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∴△BEF 是等边三角形；故（2）成立；（3）∵△ABE ≌△DBF ，∴S △ABE ＝S △DBF ，∴四边形EBFD 面积＝S △BED +S △DBF ＝S △ABE +S △BED ＝S △ABD ，∵，∴四边形EBFD面积是菱形面积的一半，故（3）成立；（4）设AE＝DF＝x，∴DE＝1﹣x，如图2，过点F作FH⊥AD于点H，∵∠ADF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∴＝，＝﹣，∴当x＝时，S有最大值为．故（4）成立；故选：D．15．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，故选：A．16．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD＝6，∴OC＝OD＝3，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝OC＝OD＝CE＝3，∴四边形CODE的周长＝4×3＝12．17．解：∵∠BAC＝30°，△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠DAF＝90°，∴DF＞AD，∴四边形ADFE不可能是菱形．故①错误．连接BF．∵△ABC是直角三角形，AF＝CF，∴FA＝FB，∵DA＝DB，∴DF垂直平分线段AB，故②正确，∵AE⊥AB，DF⊥AB，∴AE∥DF，∵AE＝2AF，DF＝2AF，∴AE＝DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴OA＝OF，∴AE＝AC＝4OA，故③正确，在Rt△AFG中，∠FAG＝30°，∴AF＝2FG，∵EC＝AC＝2AF，∴EC＝4FG，故④正确，故选：D．18．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴EC∥DO，DE∥OC，∴四边形DOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，∴OC＝OD，∴▱DOCE是菱形，∴OC＝OD＝DE＝CE，∵AC＝8，∴OC＝OD＝DE＝CE＝AC＝4，∴四边形CODE的周长＝4×4＝16．故选：C．19．解：如图，连接BF、BD，∵菱形ABCD的边长为2，∵∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝2，∠DBC＝60°，∴∠DBA＝60°，∵点G为AB的中点，∴菱形BEFG的边长为1，即BE＝EF＝BG＝1，∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°，∴∠FBG＝30°，连接EG，∴EG⊥FB于点O，∴OB＝，∴FB＝，∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°，根据勾股定理，得DF＝＝，∵点P为FD的中点，∴PB＝DF＝．故选：A．20．解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ＝90°，∵∠ACB＝90°，∴PO∥AC，∴＝，∵设点Q运动的时间为t秒，∴QC＝6﹣t，∴CO＝3﹣，∵AC＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6，∴＝，解得：t＝2，故选：B．。

2021年中考数学几何专题训练：矩形、菱形(含答案)

2021中考数学几何专题训练：矩形、菱形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是( )2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD的是( )成为菱形，下列给出的条件不正确．．．A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC3. （2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE 的长是（）A．2 B．52C．3 D．44. （2020·毕节）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF的长是（）A．2.2 cm B．2.3 cmC．2.4 cm D．2.5 cm5. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．966. （2020·乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于E，连接OA，则四边形AOED的周长为（）A．9＋2 3 B．9＋ 3 C．7＋2 3D．87. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC ＝60°，则BD的长为( )A. 2B. 3C. 3D. 2 38. （2020·黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A ．4∶1B ．5∶1C ．6∶1D ．7∶19. 如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE ＝BF ，将△AEH ，△CFG 分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则AEEB为( )A. 53B. 2C. 52 D. 410. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD 按如图所示操作：(1)将DA 沿DP 向内折叠，使点A 落在点A 1处,(2)将DP 沿DA 1向内继续折叠，使点P 落在点P 1处，折痕与边AB 交于占M .若P 1M ⊥AB ,则∠DP 1M 的大小是（） A.135° B. 120° C. 112.5° D.115° 二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC ，OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)12. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为.13. 如图，矩形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．14. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-815. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________cm.16. 如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．17. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.18. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B 在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．三、解答题（本大题共4道小题）19. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．20. 如图，在菱形ABCD 中，点E.F 分别为AD ．CD 边上的点，DE=DF ，求证：∠1=∠2．21. 矩形ABCD 中，34AB AD ==，，将矩形沿EF 对折，使点C 与A 重合，如图，求折痕EF 的长GFEDCBA22. 如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG ∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．2021中考数学几何专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN ∽△CBD ⇒CPCO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的．2. 【答案】C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．3. 【答案】B【解析】根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再结合等腰三角形的性质及判定得出OE ＝CE ＝DE ，从而求出．∵四边形ABCD 是菱形，∴OC ＝21AC＝4， OD ＝21BD ＝3， AC ⊥DB ．∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝OE ∠DCO ．∵∠DOE＋∠EOC ＝∠ODC ＋∠ECO ＝90°，∴∠DOE ＝∠ODC ，∴OE ＝DE ，∴OE ＝21DC ．在R t △DOC 中，CD ＝22OC OD ＝5，∴OE ＝21DC ＝52．故选项B 正确．4. 【答案】D ，【解析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理．解：矩形ABCD 中，∵AB ＝6cm ，∴DC ＝6cm ，∵∠BCD ＝90°，BC ＝8cm ，∴BD ＝10．∵对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝5．∵点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，∴EF ＝2.5．故选D ．5. 【答案】 C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∴BD ＝2OH ，∵OH ＝4，∴BD ＝8， ∵OA ＝6，∴AC ＝12，∴菱形ABCD 的面积．故选：C ．6. 【答案】B【解析】由已知及菱形的性质求得∠ABD ＝∠CDB ＝30º，AO ⊥BD ，利用含30º的直角三角形边的关系分别求得AO、DO、OE、DE，进而求得四边形AOED 的周长．∵四边形ABCD是菱形，O是对角线AC的中点，∴AO⊥BD，AD＝AB＝4，AB∥DC；∵∠BAD＝120º，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CDB＝30º；∵OE⊥DC，∴在R t△AOD中，AD＝4，AO＝12AD＝2，DO＝AD2－AO2＝23；在R t△DEO中，OE＝12OD＝3，DE＝AD2－AO2＝3，∴四边形AOED的周长为AO＋OE＋DE＋AD＝2＋3＋3＋4＝9＋3．7. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝12AC＝1，∴BO＝AB2－AO2＝3，∴BD＝2OB＝2 3.8. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识．由菱形的周长为16可得其边长为4，而高为2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为4，一直角边为2，求该直角三角形的锐角．由sinα=2142=，可得锐角α=30°，所以该菱形的两邻角为150°和30°，两邻角之比5∶1，因此本题选B．9. 【答案】A 【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A＝∠J，∠C＝∠M，四边形MNJK和四边形BENF都是菱形，则BE＝NE，AE＝JE，∵菱形MNJK与菱形ABCD相似，且菱形MNJK的面积是菱形ABCD面积的116，∴⎝⎛⎭⎪⎪⎫JNAB2＝116，∴JNAB＝14，设JN＝a，EN＝b，则AB＝4a，∵AB＝AE＋EB＝EJ＋EN＝JN＋EN＋EN＝JN＋2EN＝a＋2b，∴a＋2b＝4a，∴a＝23b，AEBE＝a＋bb＝53.10. 【答案】C【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且190∠=PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠=，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠=MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM 中由三角形内角和定理即可求解．解：由折叠知，190∠=PMA ， ∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠=，由折叠可得，∴1122.52∠=∠=∠=∠=MDP ADP PDM ADM ， ∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--=DPM ，因此本题选C ．二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】AB=AD或AB=BC 或AC ⊥BD 等12. 【答案】1613. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3.14. 【答案】12[解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b (b>a )，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.15. 【答案】13【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC ·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB＝60，∵AE2＝50, OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB ＝OA2＋OB2＝122＋52＝13.解图16. 【答案】(3＋2，1) 【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x 轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝12BC＝1，CF＝DG＝3，∴OF＝3＋2，∴D(3＋2，1)．解图17. 【答案】15【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝12∠ACB＝15°.解图18. 【答案】23t．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为23t．三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】(1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝12∠ABC，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，(2分)∴∠DBC＝12∠ABC＝30°，∴tan∠DBC＝tan30°＝33.(3分)(2)【思路分析】由BE∥AC，CE∥BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，(4分)∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形．(5分)方法指导(1)要求一个角的正切值，可通过相关计算先求得角的度数，再求其正切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求直角三角形边长来，求其正切值．(2)矩形的判定：①平行四边形＋有一个角是直角；②平行四边形＋对角线相等；③四边形的三个角是直角．20. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=CD ，在△ADF 和△CDE 中，AD CD D D DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CDE(SAS)， ∴∠1=∠2．21. 【答案】154【解析】设EF 与AC 交于点G ，根据条件，易求得552AC AG EF AC ==⊥，，，且G 是EF 中点，由AGF ADC ∆∆∽，得GF AG DC AD =，即5234GF =，求得158GF =，所以154EF =22. 【答案】8955(1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.(1分) ∵EG ∥DC ， ∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，(2分) ∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ， ∴四边形EFDG 是菱形．(3分)(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ， ∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE.(4分)∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ， ∴EFFH ＝AFEF ，即EF 2＝FH ·AF ， ∴EG 2＝12GF ·AF.(5分) (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF ·AF ，∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.(6分) ∵DF ＝EG ＝25， ∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8.(7分) ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°， ∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，(8分) ∴ECDF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855，∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.(9分)。

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质(一)

2021年九年级数学中考复习分类专题：菱形的判定与性质（一）一．选择题1．下列说法中不正确的是（）A．对角线垂直的平行四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等2．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．32 C．40 D．483．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB ＝1，BC＝3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（）A．2 B．C．D．4．如图平行四边形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠PEF＝（）A．35°B．45°C．50°D．55°5．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是，那么sinα的值为（）A．B．C．D．6．如图，在∠AOB中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA于点C，交射线OB 于点D，再分别以C、D为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内部交于点E，作射线OE，若OC＝10，OE＝16，则C、D两点之间距离为（）A．10 B．12 C．13 D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．10 B．12 C．16 D．188．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．28 C．32 D．369．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF 的面积为（）A．1 B．2C．2D．410．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若CF＝6，AC＝AF+2，则四边形BDFG的周长为（）A．9.5 B．10 C．12.5 D．20二．填空题11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝5，AC ＝4，则BD的长为．12．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，给出下列判断：①若△AEF是等边三角形，则∠B＝60°，②若∠B＝60°，则△AEF是等边三角形，③若AE＝AF，则平行四边形ABCD是菱形，④若平行四边形ABCD是菱形，则AE＝AF，其中，结论正确的是（只需填写正确结论的序号）．13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A 作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为．15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是．16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．三．解答题17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．19．已知，在平行四边形ABCD中，点F是AB上一点，连接DF交对角线AC于E，连接BE．（1）如图1，若∠EBC＝∠EFA，EC平分∠DEB，求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）如图2，对角线AC与BD相交于点O，当点F是AB的中点时，直接写出与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）．20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝5，AB＝12，求菱形ADCF的面积．21．已知，四边形ABCD是菱形，（1）若AB＝5，则菱形ABCD的周长＝；（2）如图①，AC、BD是对角线，则AC与BD的位置关系是．（3）如图②，点M、N分别在AB、AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点G、F分别在CD、BC上，MG与NF相交于点E．求证：四边形AMEN是菱形．22．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．参考答案一．选择题1．解：A．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；B．四边相等的四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．2．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∴AE＝DE＝DF＝AF＝8，∴四边形AEDF的周长＝4AF＝4×8＝32．故选：B．3．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，∴四边形AGCH是平行四边形，在△ABG和△CEG中，，∴△ABG≌△CEG（AAS），∴AG＝CG，∴四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝3﹣x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴CG＝，∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×1＝，即图中重叠（阴影）部分的面积为；故选：C．4．解：∵平行四边形ABCD中，AD＝DC，∴四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝，∴AD＝CD＝，∴sinα＝＝，故选：B．6．解：由作图过程可知：OC＝OD，OC＝CE＝DE，∵OC＝OD＝DE＝CE，∴四边形ODEC是菱形．如图，连接CD交OE于点F，∵四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OF＝FE＝OE＝8，OC＝10，∴CF＝DF＝6，∴CD＝12．故选：B．7．解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，∴AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OA＝OE，OB＝OF＝BF＝6，∴OA＝＝＝8，∴AE＝2OA＝16；故选：C．8．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四边形AEDF为菱形．∵AF＝6，＝4AF＝4×6＝24．∴C菱形AEDF故选：A．9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积是：AE•BC＝2．故选：C．10．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，设AF＝x，则AC＝x+2，FC＝6，∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，∴AF2+CF2＝AC2，即x2+62＝（2+x）2，解得：x＝8，故AC＝10，故四边形BDFG的周长＝4BD＝2×10＝20．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接AC、BD交点为O．∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．∴OB＝＝＝．∴BD＝2．故答案为：2．12．解：①∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AE＝AF，又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠C＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣∠C＝60°，故①正确；②∵∠D＝∠B＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，但是AE不一定等于AF，故②错误；③若AE＝AF，则BC•AE＝CD•AF，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，故③正确；④若平行四边形ABCD是菱形，则BC＝CD，∴BC•AE＝CD•AF，∴AE＝AF，故④正确；故答案为：①③④．13．解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．14．解：∵AG∥BD，BD＝FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD＝DF＝AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG＝GF＝DF＝BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，由勾股定理得：AC＝13，∵BD为△ACB的中线，∴BD＝AC＝，∴BG＝GF＝DF＝BD＝，故四边形BDFG的周长＝4GF＝26．故答案为：26．15．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD＝2，∴四边形CODE是菱形，∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；故答案为：8．16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2＝BC2，∵AC＝2OC，BF＝2OB，∴AC2+BF2＝（2OC）2+（2OB）2＝4OC2+4OB2＝4BC2，又∵BC＝CD，∴AC2+BF2＝4CD2．故答案为：AC2+BF2＝4CD2．三．解答题（共6小题）17．（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∵BE＝DF，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；∴四边形ABCD是菱形．18．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC＝∠EFA，∵∠EBC＝∠EFA，∴∠EBC＝∠EDC，∵EC平分∠DEB，∴∠DCE＝∠BCE，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（AAS），∴CD＝CB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴平行四边形ABCD为菱形；（2）解：与△ADF面积相等的三角形（不包括以AD为边的三角形）为△AOB、△BOC、△COD、△DFB；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OB，OC＝OD，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△ABD的面积，∵点F是AB的中点，∴△ADF的面积＝△DFB的面积＝△ABD的面积，∴△AOB的面积＝△BOC的面积＝△COD的面积＝△DFB的面积＝△ADF的面积．20．（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD ＝BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：∵D 是BC 的中点，∴S 菱形ADCF ＝2S △ADC ＝S △ABC ＝AB •AC ＝．21．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝5，∴菱形ABCD 的周长＝20；故答案为：20；（2）∵四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是对角线， ∴AC ⊥BD ，∴AC 与BD 的位置关系是垂直，故答案为：垂直；（3）证明：∵MG ∥AD ，NF ∥AB ，∴四边形AMEN 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵BM ＝DN ，∴AB ﹣BM ＝AD ﹣DN ，∴AM ＝AN ，∴四边形AMEN 是菱形．22．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_四边形_菱形的性质,单选题专训及答案

19.答案：
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26.答案： 27.答案： 28.答案： 29.答案： 30.答案：
A. B. C. D. 29、 (2020温州.中考真卷) 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D。若⊙O的半径为1，则BD的长为( )
A.1B.2C. D. 30、 (2020广州.中考模拟) 菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A . 对角线互相垂直 B . 对角线相等 C . 对角线互相平分 D . 对角互补
A. B.1C. D.2
27、 (2020盘锦.中考真卷) 下列命题正确的是（） A . 圆内接四边形的对角互补 B . 平行四边形的对角线相等 C . 菱形的四个角都相等 D . 等边三角形是中心对称图形 28、 (2020山西.中考真卷) 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）
A . 1cm B . 2 cm C . 3cm D . 4cm 15、 (2019岐山.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，当△OPD是以PD为底的等腰三角形时，CP的长为（）
A.2B. C. D.
16、
(2019广州.中考模拟) 如图，在菱形ABCD中，
A. B.
C.2D.
5、 (2019铜仁.中考模拟) 已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（） A . 3cm2 B . 4cm2 C . cm2 D . 2 cm2

矩形综合 2021年中考数学复习专题突破(函数)(全国通用)(填空专项一)

2021年中考数学复习专题突破（函数）（全国通用）专题02 矩形综合1．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．2．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（3，2），则对角线AC＝．3．已知三角形一边上的中线，与三角形三边有如下数量关系：三角形两边的平方和等于第三边一半的平方与第三边中线平方之和的2倍．即：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则有AB2+AC2＝2（BD2+AD2）．请运用上述结论，解答下面问题：如图2，点P为矩形ABCD外部一点，已知PA＝PC＝3，若PD ＝1，则AC的取值范围为．4．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝8，DF＝3FC，则BC＝．5．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE ＝62°，则∠BAF的度数为．6．两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是．（用m，n表示）7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝1，∠BOC＝120°，则BC的长为．8．在四边形ABCD中，有以下四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③AC＝BD；④∠ADC＝∠ABC．从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为矩形．则可以选择的条件序号是．9．若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件（一个即可）使四边形ABCD 为矩形．10．如图，点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点：下列结论：①EH＝EF；②当AB＝CD，EG平分∠HGF；③当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形；其中正确的结论序号是．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，要使它变为矩形，需要添加的条件（写出一种情况即可）12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是矩形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）．13．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝时，四边形ABEC是矩形．14．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这依据的道理是．15．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．16．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是．18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．19．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是AC上的任意一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P是AB上一动点，PF⊥BC于点F，PE⊥BC于点E，连接EF，则线段EF的最小值是参考答案1．解：剩余白色长方形的长为b，宽为（b﹣a），所以剩余白色长方形的周长＝2b+2（b﹣a）＝4b﹣2a．故答案为4b﹣2a．2．解：如图，连接AC，BO，∵点B的坐标为（3，2），∴OB＝＝，∵四边形ABCO是矩形，∴AC＝BO＝，故答案为：．3．解：如图，连接BD交AC于O，连接PO，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO＝BO＝DO，∵PO是△ACP的中线，也是△PBD的中线，∴PA2+PC2＝2（AO2+PO2），PB2+PD2＝2（PO2+OD2），∴PA2+PC2＝PB2+PD2，∴9+9＝1+PB2，∴PB＝，在△PBD中，﹣1＜BD＜+1，∴﹣1＜AC＜+1，当点P在AC上时，CD＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故答案为：﹣1＜AC＜2．4．解：延长EF和BC，交于点G，∵3DF＝4FC，∴，∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝7，∴直角三角形ABE中，BE＝＝8，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝8，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴，设CG＝x，DE＝3x，则AD＝8+3x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴8+3x+x＝8．解得x＝2．∴故答案为：6．5．解：∵四边形ABDE是矩形，∴∠BAE＝∠E＝90°，∵∠ADE＝62°，∴∠EAD＝28°，∵AC⊥CD，∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°，∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，故答案为：34°．6．解：由题意可知：AD＝ED，DG＝CD，设AD＝ED＝x，∴x+n+x＝m，∴x＝，∴AD＝，CD＝，∴长方形ABCD的面积为AD•CD＝，故答案为：．7．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，∴AC＝2OA＝2，∴BC＝＝．8．解：当具备①③④这三个条件，能得到四边形ABCD是矩形．理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠ABC＝∠ADC，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴∠ACB＝∠DCA，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故答案为：①③④．9．解：添加条件∠A＝90°，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°．10．解：∵点E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF∥CD，HG∥CD，EF＝EF，HG＝CD，HE＝AB，AB∥HE，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AB不一定等于CD，∴EH不一定等于EF，故①错误，∵AB＝CD，∴EH＝EF，∴平行四边形HEFG是菱形，∴EG平分∠HGF，故②正确，③∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠BCD＝90°，∵四边形HEFG是平行四边形，∴GF∥HE∥AB，∴∠GFC＝∠ABC，∵EF∥CD，∴∠BFE＝∠BCD，∴∠GFC+∠BCD＝90°，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形HEFG是矩形，故③正确，故答案为：②③．11．解：可添加AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠D＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AD＝BC（答案不唯一）．12．解：添加的条件是：AC＝BD或∠ABC＝90°；理由如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，由题意易得AB∥EC，AB＝EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∴四边形ABEC是矩形，故答案为：2．14．解：因为门窗所构成的形状是矩形，所以根据矩形的判定（对角线相等的平行四边形为矩形）可得出．故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形．15．解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP．因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．16．解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．17．解：连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，当AP⊥BC时，AP值最小，＝×5×12＝×13×AP，此时S△BAC∴AP＝，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴≤AM＜6．故答案为：≤AM＜6．18．解：如图，连接AP，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝，∴AM＝；故答案为：．19．解：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，连接BD，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴四边形EBFD是矩形，∴EF＝BD，当BD最小时，则EF最小，根据垂线段最短可知当BD⊥AC时，则BD最小，∴EF＝BD＝＝2.4，故答案为：2.420．解：连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴PC的最小值为：．∴线段EF长的最小值为4.8．故答案为：4.8．。

2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质(二)(解析版)

2021年中考数学一轮专题训练：矩形及其性质（二）1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（）A．B．C．D．2．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角∠BCD的大小为（）A．100°B．120°C．135°D．150°3．一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1）、（﹣1，2）、（3，2），则第四个顶点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（3，﹣1）D．（3，3）4．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．12 B．10 C．8 D．65．下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边平行6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，连接CE，△DEC的周长为（）A．10 B．11 C．12 D．137．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD 上从点C到点D运动．则当时间t为（）s时，能够使△BPE与△CQP全等．A．1 B．1或4 C．1或2 D．2或48．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，重足为E，已知∠EAB：∠EAD＝1：3，则∠EOA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°9．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于点F，若DE＝2，矩形ABCD的周长为16，且CE＝EF，求AE的长（）A．2 B．3 C．4 D．610．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在这段时间内，线段PQ平行于AB的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是矩形，不能用的方法是（）A．测量两条对角线是否相等B．用重垂线检查竖门框是否与地面垂直C．测量门框的三个角是否都是直角D．测量两条对角线是否互相平分12．▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠A＝∠B D．BC＝CD 13．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，下列条件中能判定这个平行四边形是矩形的是（）A．AC＝BD B．AB＝BC C．∠BAC＝∠CAD D．AC⊥BD 14．下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（）A．∠A＝∠C B．∠A＝∠B C．AC＝BD D．AB⊥BC 15．平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（）A．OD＝OC B．∠DAB＝90°C．∠ODA＝∠OAD D．AC⊥BD 16．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ACD＝∠CDB 17．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A．一般平行四边形B．一般四边形C．对角线垂直的四边形D．矩形18．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE•BE的值为（）A．B．1 C．D．19．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（）A．B．C．3 D．4参考答案1．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故选：C．2．解：如图，作AE⊥BC于点E．∵矩形的面积＝BC•CF＝2S平行四边形ABCD＝2BC•AE，∴CF＝2AE，∴AB＝2AE，∴∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠BCD＝180°﹣∠ABE＝150°．故选：D．3．解：如图所示：过（﹣1，﹣1）、（3，2）两点分别作x轴、y轴的平行线，交点为（3，﹣1），即为第四个顶点坐标．故选：C．4．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，∵DE＝CF＝2，∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，∴S阴＝4+4＝8，故选：C．5．解：矩形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：内角和360°，对边平行且相等，对角线互相平分；故选项A、B、D不符合题意，C符合题意；故选：C．6．解：设DE＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，AO＝OC，∵EF⊥AC，AO＝OC，∴AE＝CE＝6﹣x，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DE2+DC2＝EC2，即x2+42＝（6﹣x）2，解得：x＝，即DE＝，CE＝AE＝6﹣＝，∴△DEC的周长为DE+CE+DC＝++4＝10，故选：A．7．解：分两种情况：①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP，∵AB＝20cm，AE＝6cm，∴EB＝14cm，∴PC＝14cm，∵BC＝16cm，∴BP＝2cm，∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，∴t＝2÷2＝1（s）；②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP，由题意得：2t＝16﹣2t，解集得：t＝4（s），故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠BAD＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠EAB：∠EAD＝1：3，∴∠EAB＝22.5°，∵AE⊥BD于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝67.5°，∴∠OBA＝∠OAB＝67.5°，∴∠AOB＝45°，即∠EOA的度数为45°，故选：D．9．解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠CED+∠AEF＝90°，∵∠CED+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE＝DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16，DE＝2，∴2AE＝6，∴AE＝3；故选：B．10．解：当AP＝BQ时，AP∥BQ．∵AP∥BQ，AP＝BQ，∴四边形ABQP为平行四边形，∴QP∥AB．∵点P运动的时间＝12÷1＝12秒，∴点Q运动的路程＝4×12＝48cm．∴点Q可在BC间往返4次．∴在这段时间内PQ与AB有4次平行．故选：C．11．解：∵门框两组对边分别相等，∴门框是个平行四边形，∵对角线相等的平行四边形是矩形，故A不符合题意；∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；故B不符合题意；∵三个角都是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D符合题意，故选：D．12．解：A、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，BC＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．13．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故选项A符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠CAD，∴∠ACD＝∠CAD，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D不符合题意；故选：A．14．解：A、在▱ABCD，若∠A＝∠C，则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在▱ABCD中，AC＝BD，则▱ABCD是矩形；故选项C不符合题意；D、在▱ABCD中，AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：A．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，A、OD＝OC时，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠ODA＝∠OAD，∴OA＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．16．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D、∵∠ACD＝∠CDB，∴OD＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；故选：B．17．解：如图；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB+∠ADC＝180°；∵AH、DH平分∠DAB、∠ADC，∴∠HAD+∠HDA＝90°，即∠EHG＝90°；同理可证得：∠HEF＝∠EFG＝∠FGH＝90°；故四边形EFGH是矩形．故选：D．18．解：过A作AF⊥BC于F，∵∠D＝∠C＝90°，∴四边形AFCD是矩形，∴AF＝CD＝2，CF＝AD，设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，∵AB2＝AF2+BF2，∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，∴xy＝1，∴AE•BE＝1，故选：B．19．解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．20．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝，∴MN的最小值为；故选：A．。

中考数学专项训练：矩形、菱形与正方形(含解析)

一、选择题9．（2019·苏州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC =4，BD =16将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之问的距离为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（第9题）【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC 12=AC ＝2，OB ＝OD 12=BD ＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '，点A '与点C 重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°， ∴AO '＝AC +O 'C ＝6，∴AB'===10，故选C ．10．（2019·温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a 2-b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】如图，连接ALGL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH＝22-a b ，∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．9．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积 ( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变10．（2019·烟台）如图，面积为24的ABCD 中，对角线BD 平分，过点D 作交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M因为四边形ABCD 是平行四边形，所以F 是BD 的中点，AD//BC ，所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠，所以ABD ADB ∠=∠，所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又因为DE BD ⊥，所以AC//DE ，因为AC//DE ，F 是BD 的中点，所以C 是BE 的中点，所以132CF DE ==，因为四边形ABCD 是菱形，所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， FADB所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形，所以142BF BD ==，在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ==，因为四边形ABCD 是菱形，所以5DC BC ==，因为ABCD S BC DM =⨯菱形所以245ABCDS DM BC==菱形，在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 6．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C.3．（2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（）A 平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF ∥HG ∥AC ，EF ＝HG ＝12 AC ，故四边形EFGH 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，∴EH ⊥EF ，∠HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形．故选C ．10．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是A. 0B. 4C. 6D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’G＝2EF ＝，∴EF’＝9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.1.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．2. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PBB的最小值是A.2B.4C.2D.22【答案】D【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝22BC CP＝22.3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=74，故选B.4.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．5.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。

2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(五)

2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（五）1．在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE．（1）如图1，点F为AE的中点，连接CF．已知tan∠FBE＝，BF＝5，求CF的长；（2）如图2，过点E作AE的垂线交CD于点G，交AB的延长线于点H，点O为对角线AC的中点，连接GO并延长交AB于点M，求证：AM+BH＝BE．2．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC ＝，AB＝2，求GE的长．3．已知：如图，长方形ABCD中，∠A＝∠B＝∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝4米，AD＝BC＝8米，点M是BC边的中点，点P从点A出发，以1米/秒的速度沿AB方向运动再过点B沿BM方向运动，到点M停止运动，点O以同样的速度同时从点D出发沿着DA方向运动，到点A停止运动，设点P运动的时间为x秒．（1）当x＝2秒时，线段AQ的长是米；（2）当点P在线段AB上运动时，图中阴影部分的面积发生改变吗？请你作出判断并说明理由．（3）在点P，Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BP＝DQ？若存在，求出点P的运动时间x的值；若不存在，请说明理由．4．A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为；（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为．5．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝6，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明原因．7．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B，C不重合），如图1，求证：CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由．8．我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”，试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题：如图1，在正方形ABCD中，G是射线DB上的一个动点（点G不与点D重合），以CG为边向下作正方形CGEF．（1）当点G在线段BD上时，求证：∠DCG＝∠BCF；（2）连接BF，试探索：BF，BG与AB的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝a（a是常数），如图2，过点F作FT∥BC，交射线DB于点T，问在点G 的运动过程中，GT的长度是否会随着G点的移动而变化？若不变，请求出GT的长度；若变化，请说明理由．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，点F从点B出发，在折线段BA﹣AD上运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动，过点E作EG⊥EF，交矩形的边于点G，连接FG．设点F运动的路程为x，△EFG的面积为S．（1）当点F与点A重合时，点G恰好到达点D，此时x＝，当EF⊥BC时，x ＝；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当S＝15时，求此时x的值．10．把一副三角板按如图1所示放置，其中点E在BC边上，∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝CD＝6，将三角板DCE绕点C顺时针旋转，记旋转角为α（0°≤α≤180°）．（1）在图1中，设AB与DE的交点为F，则线段AF的长为；（2）当α＝15°时，三角板DCE旋转到△D1CE1的位置（如图2所示），连接D1A，D1B，请判断四边形ACBD1的形状，并证明你的结论；（3）当三角板DCE旋转到△D2CE2的位置（如图3所示）时，此时点D2恰好在AB延长线上．①求旋转角α的度数；②求线段AD2的长．参考答案1．解：（1）Rt△ABE中，BF为中线，BF＝5，∴AE＝10，FE＝5，作FP⊥BC于点P，Rt△BFP中，，∴BP＝3，FP＝4，在等腰三角形△BFE中，BE＝2BP＝6，由勾股定理求得，∴CP＝8﹣3＝5，∴；（2）∵∠ACD＝∠BAC＝45°，AO＝CO，∠AOM＝∠COG，∴证明△AMO≌△CGO（ASA），∴AM＝GC，过G作GP垂直AB于点P，得矩形BCGP，∴CG＝PB，∵AB＝PG，∠AEB＝∠H，∠ABE＝∠GPH，∴△ABE≌△GPH（ASA），∴BE＝PH＝PB+BH＝CG+BH＝AM+BH．2．解：（1）如图2，四边形ABCD是垂美四边形；理由如下：连接AC、BD交于点E，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，证明：如图1，在四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2∴AB2+CD2＝AD2+BC2，（3）如图3，连接CG，BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2∵，AB＝2，∴BC＝1，，，∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣1＝13，∴．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∵DQ＝2，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣2＝6，故答案为6．（2）结论：阴影部分的面积不会发生改变．理由：连结AM，作MH⊥AD于H．则四边形ABMH是矩形，MH＝AB＝4．∵S阴＝S△APM+S△AQM＝×x×4+（8﹣x）×4＝16，∴阴影面积不变；（3）当点P在线段AB上时，BP＝4﹣x，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴4﹣x＝x，∴x＝3．当点P在线段BM上时，BP＝x﹣4，DQ＝x．∵BP＝DQ，∴x﹣4＝x，∴x＝6．所以当x＝3或6时，BP＝DQ．4．解：（1）∵沿EF，FH折叠，∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，∵点B′在FC′上，∴∠EFH＝（∠BFB'+∠CFC'）＝×180°＝90°，故答案为：90°；（2）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∵2x+18°+2y＝180°，∴x+y＝81°，∴∠EFH＝x+18°+y＝99°；（3）∵沿EF，FH折叠，∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y），即x+y＝180°﹣m°，又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°，故答案为：180°﹣2m°．5．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：∵Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积，由①得：四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E用EH垂直于AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝6，∴CE＝2答：CE的长为2；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF＝AF，CF＝GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形7．（1）证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD；（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论仍然成立．理由：∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，在在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，即CF＝BD．8．解：（1）∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴CD＝CB，CG＝CF，∠BCD＝∠FCG＝90°，∵∠DCG＝90°﹣∠BCG，∠BCF＝90°﹣∠BCG，∴∠DCG＝∠BCF；（2）BF+BG＝AB，理由：在Rt△CDG和△CBF中，，∴△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，在Rt△ABD中，AD＝AB，∴BD＝AB，∵BD＝DG+BG＝BF+BG，∴BF+BG＝AB；（3）∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，由（2）知，△CDG≌CBF（SAS），∴DG＝BF，∠CDG＝∠CBF＝45°，∴∠DBF＝∠CBD+∠CBF＝90°，∴∠FBT＝90°，∵FT∥CB，∴∠BTF＝∠CBD＝45°，∴∠BFT＝45°＝∠BTF，∴BF＝BT，∴DG＝BT，∴GT＝BG+BT＝BG+DG＝BD＝AB＝a．9．解：（1）当点F与点A重合时，x＝AB＝6；当EF⊥BC时，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案为：6；10；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分两种情况：①当点F在AB上时，如图1所示：作GH⊥BC于H，则四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴＝，即＝＝，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面积为S＝梯形ABEG的面积﹣△EFB的面积﹣△AGF的面积＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②当点F在AD上时，如图2所示：作FM⊥BC于M，则FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴＝，即＝，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面积为S＝梯形CDFE的面积﹣△CEG的面积﹣△DFG的面积＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102 即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）当x2+9x+12＝15时，解得：x＝﹣6±2（负值舍去），∴x＝﹣6+2；当x2﹣21x+102＝15时，解得：x＝14±4（不合题意舍去）；∴当S＝15时，此时x的值为﹣6+2．10．（1）解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，AB＝6，∴BC＝AB＝3，在Rt△CDE中，∠D＝30°，CD＝6，∴CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝﹣3，在Rt△BEF中，∠B＝90°﹣∠A＝45°，∴BF＝BE＝6﹣3，∴AF＝AB﹣BF＝3，故答案为：3；（2）四边形ACBD1是正方形，理由：∵∠BCE1＝α＝15°，∴∠D1CB＝45°＝∠BAC，由旋转知，CD1＝CD，∵CD＝AB，∴CD1＝AB，∵BC＝AC，∴△D1CB≌△BAC（SAS），∴D1B＝BC，同理可证：D1A＝AC，又∴AC＝BC，∴D1A＝AC＝BC＝BD1，∴四边形ACBD1是菱形，又∠ACB＝90°，∴菱形ACBD1是正方形．（3）①取AB边的中点H，连接CH，∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB＝6，∴CH⊥AB，且AH＝CH＝AB＝3，∵△D2CE2是直角三角形，且斜边CD2＝6，∠CD2E2＝30°，∴CE2＝3，又∵∠CHD2＝∠E2＝90°，∴Rt△D2CH≌Rt△D2CE2（HL），∴∠HD2C＝∠E2D2C＝30°，又∵∠ABC＝45°，∴∠BCD2＝15°，又∵∠E2CD2＝60°，则旋转角α＝∠BCE2＝75°；②在Rt△D2CE2中，D2E2＝CE2＝3，∵Rt△D2CH≌Rt△D2CE2，∵D2H＝D2E2＝，AH＝3，∴AD 2＝AH+D2H＝3+．。

2021年中考复习数学一轮专练：矩形及其性质(一)及答案

2021年中考数学一轮专练：矩形及其性质（一）1．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB＝时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）2．矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为．3．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）4．如图矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为．5．在矩形ABCD中，AC、BD交于点O．过点O作OE⊥BD交射线BC于点E，若BE＝2CE，AB＝3，则AD的长为．6．如图，矩形ABCD被分割成一个菱形和两个三角形，如果其中一个三角形的面积是菱形面积的，那么AB：AD的值是．7．如图，在矩形ABCD中，E是直线BC上一点，且CE＝CA，连结AE．若∠BAC＝60°，则∠CAE的度数为．8．已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为．9．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，EF⊥AC于点F．若tan∠BAC＝2，EF ＝1，则AE的长为．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，若BE＝CE，连接B'C，则B′C的长为．11．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长到D，连接AD，CD．添加一个条件，使四边形ABCD是矩形（填一个即可）．12．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，请添加一个条件，可得平行四边形ABCD是矩形．13．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件．（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．14．如图，在▱ABCD中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是．15．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的条件是．16．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是．17．用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有．（只要填序号即可）①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等．②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等．③量出一组邻边的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．④量出两条对角线长，看是否相等．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．19．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．20．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．参考答案1．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，∵M为AD中点，∴AM＝DM，在△ABM和△DCM，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）答：四边形MENF是菱形．证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，∴NE＝FM，NE∥FM，∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME＝MF，∴平行四边形MENF是菱形；（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°，∵△ABM≌△DCM，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，∴AM＝DM＝AB，∴AD＝2AB，当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．故答案为：2：1．2．解：在矩形ABCD中，AC＝2OB，∵△AOB是正三角形，∴OB＝AB，∴AC＝2AB，①AB＝1时，AC＝2，根据勾股定理，BC＝＝＝，所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（1+）＝2+2；②BC＝1时，根据勾股定理，AB2+BC2＝AC2，所以，AB2+12＝（2AB）2，解得AB＝，所以，矩形的周长＝2（AB+BC）＝2（+1）＝+2；综上所述，矩形的周长为2+2或+2．故答案为：2+2或+2．3．解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，∴△ABD的面积＝△CDB的面积，△MBK的面积＝△QKB的面积，△PKD的面积＝△NDK的面积，∴△ABD的面积﹣△MBK的面积﹣△PKD的面积＝△CDB的面积﹣△QKB的面积＝△NDK的面积，∴S1＝S2．故答案为S1＝S2．4．解：连接EB，∵EF垂直平分BD，∴ED＝EB，设AE＝xcm，则DE＝EB＝（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2＝BE2，即：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，故答案为：cm．5．解：如图，当点E在BC的延长线上时，∵BE＝2CE，∴BC＝CE，∵OE⊥BD，∴OC＝BC＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO，AD＝BC；∴BO＝CO＝BC，∴△BOC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴tan∠ACB＝，∴BC＝＝AD，如图，当点E在线段BC上时，设直线OE与直线AB，CD交于点F，点H，∵AB∥CD，∴，∴AF＝CH，∵AB∥CD，∴△EBF∽△ECH，∴，∴BF＝2CH＝2AF，∴3+AF＝2AF，∴AF＝3＝AB，且OE⊥BD，∴AO＝AB＝AF＝3，∵AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD ＝60°， ∴tan ∠ABD ＝， ∴AD ＝3，故答案为：3或．6．解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE ＝CE ＝CF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠B ＝∠D ＝90°，CD ＝AB∴Rt △AED ≌Rt △CFB （HL ）∴S △ADE ＝S △CBF ，∵一个三角形的面积是菱形面积的，∴×AD ×DE ＝×AD ×EC ， ∴EC ＝2DE ，∴AE ＝2DE ，DC ＝3DE ＝AB ，∴AD ＝＝DE ， ∴AB ：AD ＝3DE ：DE ＝：1，故答案为：：1． 7．解：∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝90°， ∴∠ACB ＝30°，如图，当点E 在点B 左侧时，∵CE ＝CA ，∴∠CAE ＝∠AEC ＝75°，若点E '在点C 右侧时，∵AC ＝CE '，∴∠CAE '＝∠CE 'A ，∵∠ACB＝∠CAE'+∠CE'A＝30°，∴∠CAE'＝15°，综上所述：∠CAE的度数为75°或15°，故答案为75°或15°．8．解：如图，连接AE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，且∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO＝OB＝AB＝2，若点E在BO上时，∵OE＝1，∴BE＝EO＝1，且△ABO等边三角形，∴AE⊥BO，∴AE＝＝＝，若点E'在OD上时，∴AE'＝＝＝，故答案为：或．9．解：∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，tan∠BAC＝2 ∴＝2，∵AD＝BC，CD＝AB，∴＝，∴tan∠EAF＝，∵EF＝1，∴AF＝2，∴AE＝＝＝，故答案为：．10．解：∵将△ABE沿着AE折叠至△AB'E，∴S△ABE ＝S△AB'E，BE＝B'E，∵BE＝CE，∴BE＝EC＝B'E＝3，∴∠BB'C＝90°，在Rt△ABE中，AE＝＝＝5，∵×AE×BB'＝2××AB×BE，∴BB'＝＝，∴B'C＝＝＝，故答案为：．11．解：添加BO＝DO，理由：∵O为AC的中点，∴AO＝CO，∵BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：BO＝DO．12．解：若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是：AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC＝90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC＝BD或∠ABC＝90°．13．解：添加的条件是AC＝BD，理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD．答案不唯一．14．解：可添加AC＝BD，在平行四边形ABCD中，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．15．解：可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．16．解：添加条件：AC＝BD；理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；故答案为：AC＝BD．17．解：①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；③量出一组邻的长a、b以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c，计算是否有a2+b2＝c2．可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平分才是矩形；故此选项错误；综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②．故答案为：①②．18．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．19．解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．20．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，∴∠AOD＝90°，∴AD＝＝5＝CD∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，又∵AC⊥BD∴四边形OCED为矩形∴CD＝OE＝5故答案为：5。

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(三)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合（三）1．问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE ＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．2．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是；（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、OE之间的关系．3．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．4．在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD 的面积．5．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA ＝4，OC＝8．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E．（1）求点E坐标．（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD 的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．6．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D 出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B；点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y（cm2），y与x的函数图象如图②所示，根据图象回答下列问题：（1）BD＝，a＝；（2）当x为何值时，以A、Q、C、P为顶点的图形面积为4cm2？（3）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有x的值：．7．在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A的路径运动，运动时间为t（秒）．以BE为边在矩形ABCD的内部作正方形BEHG．（1）如图，当四边形ABCD为正方形且点H在△ABC的内部，连结AH，CH，求证：AH＝CH；（2）经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有条；（3）当AB＝9，BC＝12时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．8．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为；（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．9．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．（1）在下列图形中：①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四边形”的是．（填序号）（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长．（3）如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和．10．▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．（1）如图1，连结DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连结DG，点H 为GD中点，连接AH，求证：4AH2+DF2＝2AF2；（2）如图2，连结BD，把△ABD沿直线BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝，EC＝2，求在平移过程中A'C+B'C的最小值．参考答案1．解：（1）∵AD是中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝NC，∴EG＝GC．2．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG（AAS），∴OE＝OG，∵∠GFE＝90°，∴OE＝OF；（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE，证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH，又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，∴HF＝EH＝OE，∴OE＝CF+CH＝CF+AE．3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴∠AFB＝30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF＝30°，∴∠CBE＝∠FBC＝15°；（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴，∴AF•DF＝AB•DE，∵AF•DF＝10，AB＝5，∴DE＝2，∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，∴EF＝3，∴DF＝＝＝，∴AF＝＝2，∴BC＝AD＝AF+DF＝2＝3．（3）过点N作NG⊥BF于点G，∵NF＝AN+FD，∴NF＝AD＝BC，∵BC＝BF，∴NF＝BF，∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，∴△NFG∽△BFA，∴，设AN＝x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，设FG＝y，则AF＝2y，∵AB2+AF2＝BF2，∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解得y＝x．∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．∴＝．4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠EAG＝∠FCG，又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF，∴△CFG≌△AEG（AAS），∴FG＝EG；（2）（1）中结论依然成立．理由如下：如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，∴∠MAE＝∠AME＝45°，∴AE＝EM，又∵AE＝FC，∴EM＝CF，∵∠AEM＝∠ABC，∴ME∥CF，∴∠MEG＝∠GFC，又∵∠MGE＝∠FGC，∴△MEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG；（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，∴∠DAE＝∠DCF＝90°，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF，由（2）知EG＝GF，∴DG⊥EF，∴DH是EF的中垂线，∴EH＝FH，∵BE＝12，BH＝5，∴EH＝＝＝13，∴FH＝13，设AE＝x，则CF＝x，∴AB＝CB＝12+x，∴CH＝7+x，∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7，∴2x+7＝13，解得x＝3，∴AB＝15，∴正方形ABCD的面积为225．5．解：（1）如图1中，∵四边形OABC是矩形，∴AB＝OC＝8，AB∥OC，∴∠ABO＝∠BOC，由翻折可知，∠BOC＝∠BOD，∴∠EOB＝∠EBO，∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x，在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°，∴OA2+AE2＝OE2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴E（3，4）．（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．∵DG∥BC，∴∠DGB＝∠CBG，由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD，∴∠DGB＝∠DBG，∴DG ＝BD ＝BC ，∵DG ∥BC ，∴四边形BCGD 是平行四边形，∵BD ＝BC ，∴四边形BCGD 是菱形．（3）当点N 与G 重合，点M 与A 重合，四边形DM 1ON 1是平行四边形， ∵DH ＝＝，∴EH ＝＝＝， ∴AH ＝3+＝，∴D （，），N 1（，），当四边形ODN 1M 是平行四边形时，N 1（，），当四边形ODN 2M 2是平行四边形时，N 2（），当四边形ODM 1N 3是平行四边形时，N 3（（﹣，﹣），当四边形ODM 4N 4是平行四边形时，N 4（﹣，﹣）综上所述，满足条件的点N的坐标为N1（，），N2（，），N3（（﹣，﹣），N4（﹣，﹣）．6．解：（1）如图①中，连接AC交BD于点O．由题意：点N的实际意义表示x＝3时，点Q运动到点D，∴BD＝2×3＝6，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠ADB＝30°，OB＝OD＝3，∴OA＝OC＝，AB＝2AO＝2，∴S菱形ABCD＝×BD×AC＝×6×2＝6．∴a＝6，故答案为：6，6；（2）设x秒后P，Q相遇．则3x＝6，x＝2，∴M（2，0），∴直线EM的解析式为：y＝﹣3x+6，当y＝4时，x＝，∵N（3，3），F（6，6），∴直线NF的解析式为y＝x，当y＝4时，x＝4，综上所述，满足条件的x的值为s或4s；（3）a：当0≤x≤3时，PQ＝（6﹣3x）2，AQ2＝3+（3﹣2x）2，AP2＝3+（3﹣x）2，①当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2，（6﹣3x）2＝3+（3﹣x）2+3+（3﹣2x）2，解得x＝或（舍去），②当∠APQ＝90°时，AP2+PQ2＝AQ2，即3+（3﹣x）2+（6﹣3x）2＝3+（3﹣2x）2，解得x＝2或x＝3，③当∠AQP＝90°时，AP2＝PQ2+AQ2，即3+（3﹣x）2＝（6﹣3x）2+3+（3﹣2x）2，解得：x＝2（不合题意，舍去），x＝，b：3＜x≤6时，此时Q已经到达终点，所以，AQ2＝（2）2＝12，此时PQ2＝x2，AP2＝3+（x﹣3）2，此时，∠AQP＝30°，∴当∠APQ＝90°时，AQ2＝AP2+PQ2，即12＝x2+3+（x﹣3）2，解得：x＝3或0（舍去）当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2，即x2＝12+3+（x﹣3）2，解得：x＝4，综上所述，满足条件的x的值为或或3或4，故答案为：或或3或4．7．（1）证明：∵四边形ABCD、四边形BEHG是正方形，∴AB＝BC，BE＝BG＝EH＝GH，∠B＝∠BEH＝∠BGH＝90°，∴AB﹣BE＝BC﹣BG，∠AEH＝∠CGH＝90°，∴AE＝CG，在△AEH和△CGH中，，∴△AEH≌△CGH（SAS），∴AH＝CH；（2）解：连接BD交AC于O，如图1所示：作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分，即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条，故答案为：1；（3）解：分两种情况：①如图2所示：连接AH交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴△ABC的面积＝△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积＝△ACM的面积，∴BM＝CM＝BC＝6，由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GM＝6﹣t，∵△ABM的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，∴×6×9＝x（9﹣t）+t2+t（6﹣t），解得：t＝；②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，∵四边形ABCD是矩形，∴∠MCK＝∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝12，CD＝AB＝9，△ABC的面积＝△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ADM的面积＝△ACM的面积，∴DM＝CM＝CD＝，在△KCM和△ADM中，，∴△KCM≌△ADM（ASA），∴CK＝DA＝12，∴BK＝BC+CK＝24，由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GK＝24﹣t，∵△ABK的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，∴×24×9＝t（9﹣t）+t2+t（24﹣t），解得：t＝；综上所述，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，t的值为或．8．（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD +∠CAE ＝90°∵∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中，，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：∵四边形AEFC 是菱形，∴CE ⊥AF ，∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，∴S △AOC ＝OA •OC ＝×4×3＝6，∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，故答案为：24；（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示：∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），∴EM＝AH＝GN，在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点，∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，∴∠EAG＝90°，在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝＝＝10，∵I是EG的中点，∴AI＝EG＝×10＝5．9．解：（1）①等腰梯形对角线相等，但一条对角线的中点到另外两个顶点的距离的和大于另一条对角线，不符合题意；②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意；③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意；故答案为：②；（2）根据等距四边形的定义，当点F在AD上且BF⊥AD时，四边形BFDE是等距四边形，如图1，取BD的中点O，连接OF，OE，EF，∵BF⊥AD，BE⊥DC，∴∠BFD＝∠BED＝90°，∴OF＝OE＝BD，∴四边形BFDE是等距四边形，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，AD∥BC，∴∠C＝∠A＝60°，∠ABC＝120°，∴∠ABF＝∠CBE＝30°，∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°，根据菱形的对称性得，BF＝BE，∴△BEF是等边三角形，在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝2，根据勾股定理得，BF＝2，∴EF＝BF＝2，当点F在AB上且DF⊥AB时，四边形DFBE是等距四边形，如图1﹣1，连接BD，EF，交于点O，∵DF⊥AB，DE⊥CD，∴∠BFD＝∠BED＝90°，∵AB∥CD，∴∠FBE＝180°﹣∠BED＝90°，∴∠BFD＝∠BED＝∠FBE，∴四边形BFDE是矩形，∴BD＝EF，在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∴BD＝AB＝4，∴EF＝4；（3）过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图2，同（2）的方法得，四边形ADPF，四边形BEPD，四边形ECFP是等距四边形，过点A作AG ⊥BC于G，在Rt△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝2，根据勾股定理得，AG＝2，∴S△ABC＝BC•AG＝×4×2＝4，∴S△ABC ＝S△APB+S△BPC+S△APC＝4，∴（AB•PD+BC•PE+AC•PF）＝4，∵AB＝BC＝AC＝4，∴PD+PE+PF＝2∴四边形ADPF，四边形DBEP，四边形PEFC的周长的和为AB+BC+AC+2（PD+PE+PF）＝12+4．10．（1）证明：如图1中，延长AH交CD于T，连接EG，GF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AGH＝∠TDH，∵∠AHG＝∠THD，HG＝HD，∴△AHG≌△THD（ASA），∴AH＝TH，AG＝DT，∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∵AF⊥AG，∴∠EAD＝∠GAF．∴∠GAE＝∠FAD，∵AD＝AE，AF＝AG，∴△GAE≌△FAD（SAS），∴DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠GEF＝90°，∴EG2+EF2＝FG2＝2AF2，∵∠BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°，∴∠B＝∠EAF，∵∠B＝∠ADT，∴∠EAF＝∠ADT，∵AG＝AF，AG＝DT，∴AF＝DT，∵AE＝AD，∴△EAF≌△ADT（SAS），∴EF＝AT＝2AH，∴DF2+4AH2＝2AF2．（2）如图2中，∵A′B′＝CD，A′B′∥AB∥CD，∴四边形A′B′CD是平行四边形，∴A′D＝B′C，∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，∴作点D关于定直线的对称点E，∵A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′E≥CE，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，过点E作EH⊥BC于H，交AD于J，过点A作AT⊥BD于T，设DE交AA′于K，过点C作CR⊥AD于R．∵∠AEC＝∠EAR＝∠ARC＝90°，∴四边形AECR是矩形，∴AR＝EC＝2，设AE＝AD＝x，在Rt△CRD中，则有x2+（x﹣2）2＝10，解得x＝3或﹣1（舍弃），∴AD＝AE＝BC＝3，BE＝BC﹣EC＝1，过点B作BQ⊥DA交DA的延长线于Q，则AQ＝BE＝1，DQ＝AQ+AD＝4，BQ＝AE＝3，∴BD＝＝＝5，＝•BD•AT＝•AD•BQ，∵S△ABD∴AT＝，∵四边形ATDK是矩形，∴DK＝AT＝KD′＝，在Rt△ADK中，AK＝＝＝，∵S＝•AD•EJ＝•DE•AK，△ADE∴EJ＝，在Rt△DJD′中，DJ＝＝，∴AJ＝EH＝AD﹣DJ＝3﹣＝，∴CH＝EC﹣EH＝2﹣＝，∵EH＝EJ+JH＝+3＝，在Rt△CEH中，CE＝＝，∴A'C+B'C的最小值为．。

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_四边形_菱形的判定,填空题专训及答案

备考2021年中考数学复习专题：图形的性质_四边形_菱形的判定，填空题专训及答案备考2021中考数学复习专题：图形的性质_四边形_菱形的判定，填空题专训1、(2018伊春.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是菱形．2、(2018黑龙江.中考真卷) 如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是菱形．3、(2019松北.中考模拟) 如图，正方形的对角线，相交于点，将向两个方向延长，分别至点和点，且使 .若，，则四边形的周长为________.4、(2016鸡西.中考模拟) 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________（添加一个条件即可）．5、(2018鼓楼.中考模拟) 如图，在□ABCD中， E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足________时，四边形EHFG 是菱形．6、(2018灌南.中考模拟) 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是________．7、(2018温州.中考真卷)如图，直线与轴、轴分别交于A ，B 两点，C 是OB 的中点，D 是AB 上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE 的面积为________．8、(2018安徽.中考模拟) 如图,已知正方形ABCD 的对角线交于O 点,点E,F 分别是AO,CO 的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S = S ;④四边形BFDE 是菱形.9、(2017芜湖.中考模拟) 如图，在四边形ABCD 中，已知AB=BC=CD ，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点F 是对角线BD 上的一点，EF ∥AB 交AD 于点E ，FG ∥BC 交DC 于点G ，四边形EFGP 是平行四边形，给出如下结论：①四边形EFGP 是菱形；②△PED 为等腰三角形；③若∠ABD=90°，则△EFP ≌△GPD ；④若四边形FPDG 也是平行四边形，则BC ∥AD 且∠CDA=60°．其中正确的结论的序号是________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．10、(2017瑶海.中考模拟) 如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形CFHE 是菱形；②线段BF 的取值范围为3≤BF≤4；③EC 平分∠DCH ；④当点H 与点A 重合时，EF=2以上结论中，你认为正确的有________．（填序号）11、(2017灵璧.中考模拟) 如图，正方形ABCD 的边长为1，AC ，BD 是对角线．将△DCB 绕着点D 顺时针旋转45°得到△DG H ，HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ．则下列结论：△A ED △A CD①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．12、(2017东营.中考模拟) 如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F 为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH= BD其中正确结论的为________（请将所有正确的序号都填上）．13、(2017大祥.中考模拟) 用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形________．14、(2019常德.中考真卷) 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为P是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是________．（填序号）15、(2016广州.中考真卷) 如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DG H，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．16、(2019云南.中考模拟) 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________（写出一个即可）．17、(2016兰州.中考真卷) ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形．18、(2019三明.中考模拟) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC为菱形，OA在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，过点C的反比例函数的图象与AB交于点D，则△COD的面积为________．19、(2020玉林.中考真卷) 如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD_______ _菱形（填“是”或“不是”）.20、(2020朝阳.中考模拟) 正方形的边长为4，点在对角线上（可与点重合），，点在正方形的边上．下面四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有正确结论的序号是________．备考2021中考数学复习专题：图形的性质_四边形_菱形的判定，填空题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：13.答案：14.答案：15.答案：16.答案：17.答案：18.答案：19.答案：20.答案：。

2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：菱形的性质与判定综合(二)

2021年中考数学《一轮专题训练》—选择题专项：菱形的性质与判定综合（二）1．如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．502．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A．8B．8 C．4D．23．如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），将菱形绕点O 旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）A．（﹣2，﹣2）或（2，﹣2）B．（2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）或（2，2）4．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD 的周长为32，则OE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°6．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13 B．10 C．12 D．57．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE8．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD 9．如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC 10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO 11．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（）A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 13．下列说法中不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等14．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．1515．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为（）A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm16．过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF．若AB＝，∠DCF＝30°，则EF的长为（）A．2 B．3 C．D．17．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE＝3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．418．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（）A．4 B．6 C．8 D．1019．如图，在菱形ABCD中，∠D＝120°，AB＝2，点E在边BC上，若BE＝2EC，则点B到AE的距离是（）A．B．C．D．20．如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将该纸片折叠，EF为折痕，点A、D分别落在A′、D′处．若A′D′经过点B，且D′F⊥CD，则DF的长为（）A．2﹣2 B．4﹣2C．D．参考答案1．解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．2．解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∵菱形的周长为8，∴边长AB＝2，∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．故选：D．3．解：∵菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2），∴AO＝＝4，tan∠AOB＝，即∠AOB＝60°，又∵AO＝AB，∴△AOB是等边三角形，分两种情况讨论：如图所示，当点A在x轴正半轴上时，过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，∴点C的坐标为（﹣2，﹣2）；如图所示，当点A在x轴负半轴上时，过C作CD⊥AO于D，则OD＝CO＝2，CD＝，∴点C的坐标为（2，2）；综上所述，点C的对应点的坐标为（﹣2，﹣2）或（2，2），故选：D．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝8，∵E为AB边中点，∴OE＝AB＝4．故选：B．5．解：连结AE，∵AE间的距离调节到60cm，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，∴AC＝20cm，∵菱形的边长AB＝20cm，∴AB＝BC＝20cm，∴AC＝AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠DAB＝120°．故选：C．6．解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．7．解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．8．解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；当∠ABD＝∠CBD时，由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；故选：C．9．解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，可知选项D正确，故选：D．10．解：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；当∠ABO＝∠CBO时，由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，∴∠ABO＝∠ADO，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；故选：B．11．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD＝DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．12．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．13．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；D．菱形的邻边相等；正确；故选：C．14．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．15．解：如图，连接AC、BD相交于点O，∵四边形ABCD的四边相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，S四边形ABCD＝AC•BD，∴×24BD＝120，解得BD＝10cm，∴OA＝12cm，OB＝5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝＝13（cm），∴四边形ABCD的周长＝4×13＝52（cm），故选：A．16．解：∵矩形对边AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∵O是AC的中点，∴AO＝CO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形，∵∠DCF＝30°，∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CF，∵AB＝，∴CD＝AB＝，∵∠DCF＝30°，∴CF＝÷＝2，∴EF＝2．故选：A．17．解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；∴①正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，易证△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，∴MB＝，OF＝，∵OE＝OF，∴MB：OE＝3：2，∴④正确；故选：C．18．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．故选：C．19．解：过点B作BH⊥AE于点H，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，∵菱形ABCD中，AB＝2，∴BC＝2，∵BE＝2EC，∴BE＝，CE＝，∵∠D＝120°，∴∠ABE＝120°，∴∠EBF＝60°，∴BF＝BE＝，EF＝，∴AF＝AB+BF＝2+＝，∴AE＝＝＝，∵S△ABE＝AB•EF，∴BH＝＝＝．故选：A．20．解：如图，延长FC、A′D′相交于点G，∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∠D＝180°﹣60°＝120°，由翻折的性质得，∠A′D′F＝∠D＝120°，FD′＝FD，∴∠FD′G＝180°﹣∠A′D′F＝180°﹣120°＝60°，∵D′F⊥CD，∴∠G＝90°﹣∠FD′G＝90°﹣60°＝30°，∴∠CBG＝∠BCD﹣∠G＝60°﹣30°＝30°，∴∠CBG＝∠G，∴BC＝CG，在Rt△FD′G中，tan∠G＝，∵FG＝FC+CG＝FC+BC＝FC+CD＝FC+FD+FC＝2FC+FD，∴tan30°＝，即，∴FD＝（）FC，∵FD+FC＝2，即（+1）FC+FC＝2，解得：FC＝4﹣2，∴FD＝2﹣FC＝2﹣2．故选：A．。

中考数学二轮专项训练——菱形的判定与性质

中考二轮专项训练——菱形的判定与性质一、单选题1．如图，在ABCD 中， AC 平分 DAB ∠ ， 2AB = ，则ABCD 的周长为（）A ．4B ．6C ．8D ．122．已知四边形ABCD 中， AB BC CD DA === ，对角线AC ，BD 相交于点O.下列结论一定成立的是（）A ．AC BD ⊥B ．AC BD = C ．90ABC ∠=︒ D ．ABC BAC ∠=∠3．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD ＝8，∠ABD ＝∠CDB ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．40B ．24C ．20D ．154．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形． A ．甲、乙对，丙错 B ．乙、丙对，甲错 C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错5．如图，CE 是□ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E 、连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：①四边形ACBE 是菱形；②∠ACD ＝∠BAE ；③AF ：BE ＝2：3；④S 四边形AFOE ：S ∠COD ＝2：3．其中正确的结论有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，已知∠ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，小红按如下步骤作图：①分别以A 、C 为圆心，以大于 12AC 的长为半径在AC 两边作弧，交于两点M 、N ；②连接MN ，分别交AB 、AC 于点D 、O ；③过C 作CE∠AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD ．则四边形ADCE 的周长为（）A ．10B ．20C ．12D ．247．如图，在平面直角坐标系中，已知点 (20)31)A B ，，，，若平移点 A 到点 C ，使以点 O A C B ，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )A ．向左平移（ 43 ）个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移 3 个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移3 个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移2个单位，再向上平移1个单位8．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，BF∠AC ，CF∠BD ．若四边形BECF 的面积为2，则矩形ABCD 的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．169．如图，点A，B在方格纸的格点上，将线段AB先向右平移3格，再向下平移2个单位，得线段DC，点A的对应点为D，连接AD，BC，则关于四边形ABCD的对称性，下列说法正确的是（）．A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．是轴对称图形，但不是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．42B．62C．2D．5二、填空题11．如图，要使平行四边形ABCD为菱形，还需添加的一个条件是．（写出一个即可）．12．如图，两条宽都为4cm的纸条交叉成45°角重叠在一起，则重叠四边形的面积为cm2．13．如图，两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是．14．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为12和8时，则阴影部分的面积为 .15．如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD∠DB ，∠DBE=70°，则∠ADE= .16．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l 及其外一点A ．求作：l 的平行线，使它经过点A ．小云的作法如下：(1)在直线l 上任取一点B ；(2)以B 为圆心，BA 长为半径作弧，交直线l 于点C ；(3)分别以A 、C 为圆心，BA 长为半径作弧，两弧相交于点D ；(4)作直线AD ．直线AD 即为所求．小云作图的依据是．17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形 ABCD 中， 3AB = ， 2AC = ，则 BD 的长为．三、解答题18．如图，在菱形 ABCD 中，将对角线 AC 分别向两端延长到点 E 和 F ，使得 AE CF = ．连接 ,,,DE DF BE BF ．求证：四边形 BEDF 是菱形．19．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，且 //DE AC ， //AE BD ，连接 OE .求证： OE AD ⊥ .20．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 是AC 上两点，AE ＝CF.求证：四边形BFDE 是菱形.21．如图，四边形 ABCD 是菱形，E 、F 是直线 AC 上两点， AF CE = .求证：四边形 FBED 是菱形.22．如图，四边形ABCD中，AD∠BC，AB∠AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点.（∠）求证：四边形AECD是菱形；（∠）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵在ABCD中，AC平分DAB∠，∴四边形ABCD为菱形，∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8.故答案为：C.【分析】首先根据一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形证出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长. 2．【答案】A【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，AB BC CD DA===，∴四边形ABCD是菱形，∴AC BD⊥；故答案为：A.【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.3．【答案】B【解析】【解答】∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∠CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO12=BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积12=⨯6×8＝24，故答案为：B．【分析】根据等腰三角形的性质，可得AC∠BD，∠BAO＝∠DAO，根据平行线的判定与性质可得∠BAC＝∠ACD，从而得出∠DAC＝∠ACD，由等角对等边可得AD＝CD，从而可得AB＝CD，从而可证四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可求出AO的长，从而得出AC，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.【解析】【解答】解：菱形 ,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD ∴===⊥== 90,FOB FOD ∴∠==∠=︒,FO FO = ,FOB FOD ∴≌ ,FB FD ∴=同理可得： ,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE ∴===∴四边形FBED 是菱形．故甲符合题意；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ∠BD ，AO =CO ，BO =DO ， ∵AF =CE ， ∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法错误；故答案为：A.【分析】先利用菱形的性质证明,FOB FOD ≌ 可得,FB FD = 同理可得FD=ED ，ED=EB ，即得,FB FD DE BE ===据此判断甲；连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质可得AC∠BD ，AO=CO ，BO=DO ，再证明OF=OE ，可证四边形FBED 是菱形，据此判断乙正确，丙错误.5．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∠CD ，AB ＝CD ， ∵EC 垂直平分AB ， ∴OA ＝OB ＝12 AB ＝ 12DC ，CD∠CE ，∴EAED＝EOEC＝OACD＝12，∴AE＝AD，OE＝OC，∵OA＝OB，OE＝OC，∴四边形ACBE是平行四边形，∵AB∠EC，∴四边形ACBE是菱形，故①符合题意，∵∠DCE＝90°，DA＝AE，∴AC＝AD＝AE，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②符合题意，∵OA∠CD，∴AFCF＝OACF＝12，∴AFAC＝AFBE＝13，故③不符合题意，设∠AOF的面积为a，则∠OFC的面积为2a，∠CDF的面积为4a，∠AOC的面积＝∠AOE的面积＝3a，∴四边形AFOE的面积为4a，∠ODC的面积为6a∴S四边形AFOE：S∠COD＝2：3．故④符合题意，故答案为：C．【分析】利用平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质和定义先证得四边形ACBE是菱形；再由菱形的性质和平行线的性质可得∠ACD＝∠BAE；根据三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质可证得AF：AC=AF:BE＝1：3；设∠AOF的面积为a，利用相似三角形的性质和两个同底三角形的面积比等于底的比可得S四边形AFOE=4a：S∠COD=6a．6．【答案】A【解析】【解答】∵分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，∴MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE，∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，∵CE∠AB，∴∠CAD=∠ACE，∴∠ACD=∠CAE，∴CD∠AE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形；∴OA=OC= 12AC=2，OD=OE，AC∠DE，∵∠ACB=90°，∴DE∠BC，∴OD是∠ABC的中位线，∴OD= 12BC=12×3=1.5，∴AD= 22OA OD+=2.5，∴菱形ADCE的周长=4AD=10．故答案为：A．【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∠AB，可证得CD∠AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．7．【答案】C【解析】【解答】解：过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，则四边形OACB是平行四边形，过B作BH∠x轴于H，∵B（3，1），∴OB= ()22312+=，∵A（2，0），∴C（3，1）∴OA=OB，∴则四边形OACB是菱形，∴平移点A到点C，向右平3个单位，再向上平移1个单位而得到，故答案为：C．【分析】过B作射线BC∠OA，在BC上截取BC=OA，过B作BH∠x轴于H，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OACB是平行四边形，用勾股定理可求得OB的长，由计算可求得OA=OB，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形OACB是菱形，根据菱形的性质即可得平移的方向和距离。

中考数学专项训练矩形、菱形与正方形(含解析)(2021年整理)

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矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（)A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（)A．矩形B．菱形C．正方形 D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND 是菱形，则等于( ）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE;④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°,则∠α=．9．如图,在正方形ABCD中，E是AB上一点,BE=2，AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF;②∠AEB=75°;③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上)．三、解答题(共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1)线段BD与CD有什么数量关系,并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE，连接CF．(1）求证：四边形BCFE是菱形；(2）若CE=4，∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE;（2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP 与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；(2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行,故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图,在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形 D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE,DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解:∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE,∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC,点D是边AB的中点,∴∠ADC=90°,∴四边形ADCF是矩形．故选:A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中,AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND 是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质;矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形,∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°．设AB=x，AM=y,则MB=2x﹣y，(x、y均为正数)．在Rt△ABM中,AB2+AM2=BM2,即x2+y2=（2x﹣y)2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选:C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质,以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G,则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长,然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm,则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示,E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中,错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF,以及△ADE和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF;可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF(故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF,S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF(故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC,这与正方形的边长AB=BC相矛盾,∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选:A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等,每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大,求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解:由题意,知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1)利用底乘以相应底上的高；(2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10,则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形;矩形的性质．【分析】根据矩形的性质,可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5,故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α（0°＜α＜90°)，若∠1=110°，则∠α=20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°,根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图,∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP,则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形,∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上,下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上)．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误;根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF,∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF,∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC,交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF,∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a,在Rt△ADF中,AD2+DF2=AF2，即a2+(a﹣）2=4,解得a=,则a2=2+,S正方形ABCD=2+,④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大,但是有一点麻烦．三、解答题(共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】(1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF 和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证;（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中，,∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD;(2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图,在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形;（2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知,DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等,所以四边形BCFE是平行四边形,又因为BE=FE,所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC 为60°,所以菱形的边长也为4,求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC,EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形;（2）解:∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形,∴菱形的边长为4,高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP 与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】(1）根据正方形的性质可得AB=AD,∠BAE=∠D=90°,再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可;（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1)相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF,∵在△ABE和△DAF中，,∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AF=BE;（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中,AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF(ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质,同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为;（2）求证:AE=EP;(3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在,请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定．【分析】（1)由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3)作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC,在Rt△ABE中,AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二:由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，(2)证明:在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE,∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°,∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP,∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA）,∴AE=EP;（3）答：存在．证明:作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，,∴△ADM≌△BAE(ASA),∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题1、如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．求证：AM⊥DF．3、在⊥ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知⊥A=60°；（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，⊥CPE 的面积最大，并求出面积的最大值．（2）试探究当⊥CPE ⊥⊥CPB 时，⊥ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？4、已知：如图9，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E 、F ．(1)求证：EF=AE–BE ；(2)连接BF ，如果BF AF ADDF，求证：EF=EP ．5、如图，在⊥ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值.7、如图1，2,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD (或延长线)于E ，作PF ⊥DC (或延长线)于F ，作射线BP 交EF 于G .（1）在图1中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =x ，求y 关于x 的函数表达式．（2）结论GB ⊥EF 对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．8、在正方形ABCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接BE DE ，，其中DE 交直线AP 于点F ．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB ∠=︒，求ADF ∠的度数；（3）如图2，若4590PAB ︒<∠<︒，用等式表示线段AB FE FD ，，之间的数量关系，并证明．9、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，OP 交AC 于点Q ．（1）求证：⊥APQ ⊥⊥CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒． ①当t 为何值时，DP ⊥AC ？图 1PD CBA A BCDP图 2②设S⊥APQ+S⊥DCQ=y，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值．10、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，⊥AEP=90°，且EP 交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11、分别以□ABCD （CDA ∠≠90°）的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ADF .（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF ，EF ．请判断GF与EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF ，EF ，(1)中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.12、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点O 为对角线BD 的中点，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DO ﹣OC 以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与⊥ABD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）．（1）求点N 落在BD 上时t 的值；（2）直接写出点O 在正方形PQMN 内部时t 的取值范围；（3）当点P 在折线AD ﹣DO 上运动时，求S 与t 之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN 平分⊥BCD 面积时t 的值．ABCDGF E图1ABCDGFE图213、菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，4AC BD ==,动点P 在线段BD 上从点B 向点D 运动，PP ′⊥AB 于点P ′，四边形PFBG 关于BD 对称。

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2021中考数学专题训练：矩形、菱形一、选择题1. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是()A.OM=ACB.MB=MOC.BD⊥ACD.∠AMB=∠CND2. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()3. 如图，菱形ABCD的周长为8 cm，高AE长为cm，则对角线AC和BD长之比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶D.1∶4. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC ＝60°，则BD的长为()A. 2B. 3C. 3D. 2 35. （2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．966. （2020·武威）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°7. 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AED．AE＝CE8. （2020·邵阳）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：(1)将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处,(2)将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于占M.若P1M⊥AB,则∠DP1M的大小是（）A.135°B. 120°C. 112.5°D.115°二、填空题9. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是.(写出一个即可)10. 如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点.若MN=4，则AC的长为.11. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长为________．12. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为.图K24-813. 如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是.14. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．15. （2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．A BC D QP16. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB ＝30°，则∠E＝________度.三、解答题17. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD. 求证：四边形AODE是矩形．18. 如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．19. 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．20. 如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O 于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FGFC 的值．2021中考数学专题训练：矩形、菱形-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]添加OM=AC.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD.∵对角线BD 上的两点M ，N 满足BM=DN ， ∴OB -BM=OD -DN ，即OM=ON ， ∴四边形AMCN 是平行四边形. ∵OM=AC ，∴MN=AC ， ∴四边形AMCN 是矩形，故选A .2. 【答案】C【解析】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、函数的图象和二次函数的图象和性质. 解题思路：设AC 、BD 交于点O ，由于点P 是菱形ABCD的对角线AC 上一动点，所以0＜x ＜2.当0＜x ＜1时，△AMN ∽△ABD ⇒APAO ＝MN BD ⇒x 1＝MN 1⇒MN ＝x ⇒y ＝12x 2.此二次函数的图象开口向上，对称轴是x ＝0，此时y 随x 的增大而增大. 所以B 和D 均不符合条件．当1＜x ＜2时，△CMN∽△CBD ⇒CP CO ＝MN BD ⇒2－x 1＝MN 1⇒MN ＝2－x ⇒y ＝12x(2－x)＝－12x 2＋x.此二次函数的图象开口向下，对称轴是x ＝1，此时y 随x 的增大而减小. 所以A 不符合条件．综上所述，只有C 是符合条件的． 3. 【答案】D [解析]由菱形ABCD 的周长为8 cm 得边长AB=2 cm .又高AE 长为 cm ，所以∠ABC=60°，所以△ABC ，△ACD 均为正三角形，AC=2 cm ，BD=2AE=2cm .故对角线AC 和BD 长之比为1∶，应选D .4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，∵∠ABC ＝60°，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝1，∴BO ＝AB 2－AO 2＝3，∴BD ＝2OB ＝2 3.5. 【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ， ∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°，∴BD ＝2OH ，∵OH ＝4，∴BD ＝8， ∵OA ＝6，∴AC ＝12，∴菱形ABCD 的面积．故选：C ．6. 【答案】连结AE ，∵AE 间的距离调节到60cm ，木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成， ∴AC ＝20cm ，∵菱形的边长AB ＝20cm ， ∴AB ＝BC ＝20cm ， ∴AC ＝AB ＝BC ， ∴△ACB 是等边三角形， ∴∠B ＝60°， ∴∠DAB ＝120°．故选：C ．7. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质可得∠BAC ＝∠EAC, ∴∠ACD ＝∠EAC ，∴AE ＝CE .8. 【答案】 C【解析】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、矩形的性质，由折叠前后对应角相等且190∠=PMA 可先求出145∠=∠=DMP DMA ，进一步求出45ADM ∠=，再由折叠可求出122.5∠=∠=∠=MDP ADP PDM ，最后在1∆DPM中由三角形内角和定理即可求解．解：由折叠知，190∠=PMA ， ∴145∠=∠=DMP DMA ，即45ADM ∠=，由折叠可得，∴1122.52∠=∠=∠=∠=MDP ADP PDM ADM ， ∴在1∆DPM 中，1=1804522.5112.5∠--=DPM ，因此本题选C ．二、填空题9. 【答案】AB=AD 或AB=BC 或AC ⊥BD 等10. 【答案】1611. 【答案】16【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.12. 【答案】12 [解析]设图①中小直角三角形的两直角边长分别为a ，b (b>a )，则由图②，图③可列方程组解得所以菱形的面积S=×4×6=12.故答案为12.13. 【答案】[解析]如图，当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长AC=x ，则AB=4-x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即x 2=(4-x )2+12，解得x=， ∴菱形的最大周长=×4=.14. 【答案】105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.解图15. 【答案】317【解析】由于已知BC 的长，故可设想在R t △BCQ 中利用勾股定理求解，则需求CQ 的长，这可通过求DQ 的长得到，结合已知条件BP ＝BA ＝5，易知DQ ＝DP ，显然DP 可求，思路沟通．在矩形ABCD 中，∠BAD ＝90º，AB ＝5，AD ＝12，∴BD ＝22AD AB +＝13，又∵BP ＝BA ＝5，∴DP ＝13－5＝8，∠BAP ＝∠BP A ．∵AB ∥DQ ，∴∠BAP ＝∠PQD ，∴∠PQD ＝∠BP A ＝∠DPQ ，∴DQ ＝DP ＝8，∴CQ ＝8－5＝3．在R t △BCQ 中，BC =12，CQ =3，∴BQ ＝22312+＝317．16. 【答案】15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB ＝15°.解图三、解答题17. 【答案】证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，(2分) ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ， ∴∠AOD ＝90°，(4分)∵四边形AODE 是平行四边形，∠AOD ＝90°， ∴四边形AODE 是矩形．(5分)18. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝∠D ＝60°，由折叠性质可知，∠D ＝∠AD′E ＝60°， ∴∠AD ′E ＝∠B ＝60°， ∴ED ′∥BC ，又∵EC ∥D′B ，∴四边形BCED′是平行四边形，(4分) ∴ED ′＝BC ＝AD ＝1， ∴DE ＝ED′＝1，又DC ＝AB ＝2， ∴EC ＝1，∴EC＝ED′，∴四边形BCED′是菱形．(6分)(2)解图解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD，BD之长即为所求，(8分) 作DG⊥BA的延长线于点G，∵∠DAB＝120°，∴∠DAG＝60°，∵∠G＝90°，∴∠ADG＝30°，在Rt△ADG中，AD＝1，∴AG＝12，DG＝32，(9分)∵AB＝2，∴BG＝5 2，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2＋DG2＝7，∴BD＝7，即PD′＋PB的最小值为7.(10分)19. 【答案】解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，(2分)∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，(3分)∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(4分)(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，(5分) 此时CE最小，且CE＝CD＝3；(6分)如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．(7分)设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.(8分)解图20. 【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG ∥BD ，∴△AFG ∽△ABD ，∴FG BD ＝AF AB ，即FG ＝BD ·AF AB ， ∴FC FG ＝AB OB ＝2， ∴FG FC ＝12.。