寒假好帮手 高二数学寒假作业 练习册

目录第1天空间平行 (2)第2天空间垂直 (6)第3天空间几何体的侧面积、表面积与体积 (10)第4天直线方程、两条直线的位置关系 (13)第5天圆的方程 (15)第6天直线与圆、圆与圆的位置关系 (17)第7天必修2综合测试 (19)第9天椭圆 (26)第10天双曲线与抛物线 (28)第11天空间向量 (30)第12天导数（1） (34)第13天导数（2） (37)第14天推理与证明 (40)第15天选修2系列综合测试 (43)第1天 空间平行自主演练1．给出下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a α∥； ③若直线a ∥b 直线b ⊂平面α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b α⊂，则直线a 就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为__________． 2．下面给出了几个结论：①若一个平面内的一条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ②若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ③若两个平面没有公共点，则这两个平面平行； ④平行于同一条直线的两个平面必平行． 其中结论正确的是__________．（填序号） 3．已知平面αβ∥，直线a α⊂，有下列说法： ①α与β内的所有直线平行； ②α与β内的无数条直线平行； ③α与β内的任意一条直线都不垂直． 其中说法正确的序号是__________．4．考察下列三个命题，在横线处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面），则此条件为__________．①_________m l l m αα⊂⎫⎪⇒⎬⎪⎭∥∥；②_________m l m l αα⎫⎪⇒⎬⎪⎭∥∥∥；③__________l l βααβ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⎭∥．5．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系是__________．6．已知a ，b 是一对异面直线，且a 平行于△ABC 的边所在直线，b 平行于AC 所在的直线，若∠BAC=120°，则a，b所成的角为__________．7．如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出下列结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PCB．其中正确的是__________．（填序号）8．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是__________．9．设a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①ccααββ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②αγαββγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；③caa cαα⎫⇒⎬⎭∥∥∥；④aaγααγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥．其中正确命题的序号是__________．10．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α．以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，构造三个命题，写出一个你认为正确的命题：__________．（用序号表示）11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB =2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．12．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β的四个结论： ①若m α⊂，l A α=，点A m ∉，则l 与m 不共面； ②若m 、l 是异面直线，,l m αα∥∥且n ⊥l ，n ⊥m ，则n α⊥； ③若,,l m αβαβ⊥∥∥，则l m ∥； ④若,,,,l m lm A l m ααββ⊂⊂=∥∥，则αβ∥．13．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若过A 、C 、B 1三点的平面与底面A 1B 1C 1D 1的交线为l ，求证：AC ∥l ．14．如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H．提升训练15．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（1）求证：BE=DE；（2）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．第2天 空间垂直自主演练1．若直线a ⊥平面α，直线b ∥a ，则a 与b 的位置关系为__________．2．已知l ，m ，n 为两两垂直的三条异面直线，过l 作平面α与直线m 垂直，则直线n 与平面α的位置关系是__________．3．设△ABC 所在的平面为α，直线l ⊥AB ，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，⊥AC ，则不重合的直线l ，m 的位置关系是__________．4．如图，在正四面体P -ABC （棱长均相等）中，E 是BC 的中点，则平面RAE 与平面ABC 的位置关系是__________．5．如图，□ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，且AF =2，CD =3，则CE =__________．6．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④αβ∥．当满足条件：__________时，有m β⊥．（填序号）7．若PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连结P A 、PB 、PC 、AC 、BD ，则一定互相垂直的平面有__________对．8．已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，,m n βαα=⊂，要使n ⊥β则应增加条件的序号是__________．①m ∥n ；②n ⊥m ；③n ∥α；④n ⊥α．9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①αββγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②mmαββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭∥；③//mmααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭；④m nmnαα⎫⇒⎬⊂⎭∥∥．其中正确命题的序号是__________．10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1BD和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值为__________．11．如图，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使点G1、G2、G3重合，重合后的点记为G．给出下列结论：①SG⊥平面E FG；②SE⊥平面E FG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG．其中结论成立的序号为__________．12．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E．要使AB1⊥平面C1DF，则线段的长为__________．13．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．14．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：（1）CE∥平面P AD；（2）平面EFG⊥平面EMN．提升训练15．如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD 的中点，Q为SB的中点，M为BC的中点．（1）求证：CD⊥平面SAD；（2）求证：PQ∥平面SCD；（3）若SA=SD，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．第3天 空间几何体的侧面积、表面积与体积自主演练1．若一个圆台的母线长是上、下底面圆的半径的和的一半，且侧面积为8π，则母线长为__________．2．若一个球的体积与其表面积在数值上相等，则该球的半径为__________． 3．各棱长都等于4，且侧棱垂直于底面的三棱柱的表面积为__________．42，那么它的侧面积为__________．5．如图，若三棱柱ABC -A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B 的体积是__________．6．如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，那么圆柱、球、圆锥的体积之比为__________．7．已知圆柱形容器的内壁底面半径是10cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为__________cm 2．8．已知圆柱的轴截面是边长为5的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从点A 到点C 的最短距离为__________．9．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，三棱锥B -A 1C 1C 的体积是__________． 10．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和四个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________．11．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，将该正方体沿对角面BB 1D 1D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．12．设三棱柱ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱，底面边长及侧棱长均为a ，E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，则几何体B-EFB 1的体积为__________．13．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB=AC=5，BB 1=BC=6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求三棱锥E-BCD的体积．14．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°．（1）证明：平面ABD⊥平面BDC；（2）若BD=1，求三棱锥D-ABC的表面积．提升训练15．如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是边长为a的等边三角形，四边形ABCD是矩形，F是AB的中点，EC与平面ABCD成30°角．（1）求三棱锥E-CDF的体积；（2）求点D到平面EFC的距离．第4天直线方程、两条直线的位置关系自主演练1．点（0，-1）到直线x+2y=3的距离是__________．2．倾斜角为30°，且在y轴上截距为2的直线方程为__________．3．若两平行直线3x-2y-1=0，6x+ay+c=0之间的距离为，则实数c的值是__________．4．已知直线l过点（-1，2）且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为__________．5．下列说法正确的是__________．（填序号）①因为两点可以确定一条直线，所以任何直线都可以写出两点式方程；②方程()()()()211211x x y y y y x x--=--表示过任意两点()111,P x y，()222,P x y的直线方程；③在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为1x ya b+=；④经过点（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示．6．已知过点A（-2，m），B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则实数m=__________．7．已知直线kx-y+1-3k=0，当k变化时直线恒过定点__________．8．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过第__________象限．9．点（a，b）关于直线：x+y+1=0的对称点是__________．10．在坐标平面内，与点A（1，2）的距离为1，且与点B（3，1）的距离为2的直线共有__________条．11．若直线l过点（8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为__________．12．已知两点A（3，0），B（0，4）．动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值是__________．13．已知直线l的方程为14x ym m+=-．（1）若直线l的斜率等于2，求实数m的值；（2）若直线l在x轴与y轴上的截距相等，求实数m的值；（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大，求此时直线l的方程．14．已知在□ABCD中，A（1，2），B（5，0），C（3，4）．（1）求点D的坐标；（2）试判断□ABCD是否为菱形．提升训练15．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x=上时，求直线AB 的方程．16．已知10条直线的方程分别是(111223310100,:0,:0,,:0l x y c c l x y c l x y c l x y c -+=-+=-+=-+=：，其中12c c c <<<．这10条直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2，3，4，…，10．求：（1）10c ；（2）直线x-y+c 10=0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．第5天圆的方程自主演练1．圆222430x y x y++-+=的圆心坐标是__________．2．以两点A（-3，-1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是__________．3．圆心为点C（8，-3），且经过点P（5，1）的圆的标准方程是__________．4．若方程220x y x y m+-++=表示圆，则实数m的取值范围是__________．5．已知圆22:2230,C x y x y AB+-+-=为圆C的一条直径，点A（0，1），则点B的坐标为__________．6．圆22(2)5x y++=关于原点O（0，0）对称的圆的方程为__________．7．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是__________．8．已知圆心在直线x=2上的圆与y轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则该圆的标准方程为__________．9．若实数x，y满足222(5)(12)14x y++-=，则22x y+的最小值为__________．10．已知圆的方程为22680x y x y+--=，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________．11．已知圆22:40C x y mx++-=上存在两点关于直线x-y+3=0对称，则实数m=__________．12．若直线l：ax+by+1=0始终平分圆22::4210M x y x y++++=的周长，则22(2)(2)a b-+-的最小值为__________．13．若一圆过原点O和点P（1，3），圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程．14．已知在△ABC中，顶点A（2，2），边上的中线CD所在直线的方程是x+y=0，边AC上的高BE所在直线的方程是x+3y+4=0．（1）求点B，C的坐标；（2）求△ABC外接圆的方程．提升训练15．已知曲线22:(1)(1)480C a x a y x ay+++-+=．（1）当a取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．16．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数2()2()f x x x b x R=++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．第6天 直线与圆、圆与圆的位置关系自主演练1．圆22(1)1x y -+=与直线y 的位置关系是__________．2．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是__________． 3．过坐标原点且与圆22420x x y -++=相切的直线方程为__________．4．直线250x y +-+被圆22240x y x y +--=截得的弦长为__________． 5．圆221:2220C x y x y +++-=与圆222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有__________条．6．若直线ax+by+1=0与圆22:1:O x y +=相交，则点P （a ，b ）与圆O 的位置关系是__________． 7．过点（3，1）作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦，其中最短弦的长为__________．8．圆2244100x y x y +---=上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是__________．9．一辆卡车宽1.6m ，要通过一个半径为3.6m 的半圆形隧道，则这辆卡车的车篷篷顶距地面的高度不得超过__________m ．（精确到0.1m ）10．已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a=__________．11．若直线y=x+b 与曲线3y =-b 的取值范围是__________．12．与直线x +y -2=0和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是__________．13．已知圆C 的圆心与点P （-2，1）关于直线对称，直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A ，B 两点，且AB =6，求圆C 的方程．14．在平面直角坐标系x Oy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x-y+a=0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求实数a 的值．提升训练15．已知以点2,(,0)C t t R tt⎛⎫∈≠⎪⎝⎭为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．16．已知点P（-2，-3）和以点Q为圆心的圆22:(4)(2)9Q x y-+-=．（1）Q'为PQ的中点，画出以PQ为直径，点Q'为圆心的圆，再求出它的方程；（2）作出圆Q和圆Q'的两个交点A，B．直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．第7天必修2综合测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知点(A B-，则直线AB的倾斜角是__________．2．两条平行线l1：3x+4y-2=0，l2：ax+6y=5之间的距离为__________．3．若直线3ax-y-1=0与直线2103a x y⎛⎫-++=⎪⎝⎭垂直，则实数a=__________．4．圆2225x y+=截直线4x-3y=20所得弦的垂直平分线的方程是__________．5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为__________．6．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于__________．7．直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是__________．8．已知圆M的圆心M在y轴上，半径为1，直线l：y=2x+2被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方，则圆M的标准方程是__________．9．已知两个平面垂直，现有下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是__________．10．已知圆22:2220C x y ax y+--+=（a为常数）与直线y=x相交于A，B两点，若3ACBπ∠=，则实数a=__________．11．已知m，n是两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，有下列四个命题：①若,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥；②若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ∥；③若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥；④若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥．其中所有正确的命题是__________．（填序号）12．已知圆22:42200C x y x y +---=，直线l ：4x+3y+15=0与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A 、B 两点的任意一点，则△ABD 面积的最大值为__________．13．如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题： ①三棱锥A -D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1． 其中正确命题的序号是__________．14．已知点A （1，1），B （1，3），圆22:()(2)4C x a y a -++-=上存在点P ，使2232PB PA -=，则圆心横坐标a 的取值范围为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证： （1）B 1C 1∥平面A 1DE 。