铅垂法求三角形面积
三角形水平宽铅垂高面积公式
三角形水平宽铅垂高面积公式在我们学习数学的奇妙旅程中，三角形这个家伙可是个常客。
今天咱们就来聊聊三角形的水平宽铅垂高面积公式，这可是个相当有趣又实用的小知识！先来说说啥是三角形的水平宽和铅垂高。
想象一下，有一个三角形稳稳地躺在平面直角坐标系里。
水平宽呢，就是三角形底边在 x 轴上的投影长度；铅垂高呢，则是从三角形的顶点向 x 轴作垂线，垂线的长度就是铅垂高。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地问我：“老师，这水平宽和铅垂高怎么就跟面积有关系啦？”我笑着告诉他：“别着急，咱们一起来探究探究。
”咱们来看个具体的例子。
假设有个三角形，三个顶点的坐标分别是A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)。
首先，咱们来找出底边，假设底边是线段BC，那它在 x 轴上的投影长度就是水平宽。
B 点和 C 点的横坐标分别是 3 和 5，所以水平宽就是 5 - 3 = 2。
接下来找铅垂高。
咱们从 A 点向 x 轴作垂线，与 x 轴交点设为 D，那 AD 的长度就是铅垂高。
A 点的纵坐标是 2，所以铅垂高就是 2。
这时候，根据三角形水平宽铅垂高面积公式，面积就等于水平宽乘以铅垂高的一半。
也就是 2×2÷2 = 2。
再比如，还有个三角形，顶点坐标是 E( -1, 3)，F(2, 5)，G(4, -1)。
同样的方法，先找底边 FG 在 x 轴上的投影，也就是水平宽，4 - 2 = 2。
再找顶点 E 到 x 轴的垂线长度，也就是铅垂高，是 3。
那这个三角形的面积就是 2×3÷2 = 3。
同学们在做这类题的时候，可一定要仔细看准坐标，别把数值弄混了。
有个同学就因为粗心，把横坐标看成纵坐标，算出的面积差了十万八千里，自己还纳闷怎么不对呢！其实啊，这个公式的妙处就在于，它能让我们在面对一些复杂的三角形时，不用费力地去分割或者转化，就能轻松算出面积。
在实际生活中，这个公式也有大用处。
专题三。(一)。二次函数三角形之面积问题(铅垂法)
专题三。
(一)。
二次函数三角形之面积问题(铅垂法)专题三（一）：二次函数三角形之面积问题（铅垂法）在处理坐标系中的面积问题时，我们应该充分利用横平竖直线段的长度和几何特征以及函数特征的互转。
处理面积问题的思路有公式法（对于规则图形）、割补法（通过分割求和和补形作差）和转化法（例如，同底等高）。
当三角形的三边都斜放在坐标系中时，我们通常使用铅垂法来表达其面积。
铅垂法的具体做法是，如果三角形是固定的，则可以从任意一点作铅垂；如果三角形是变化的，则可以从动点向另外两个点所在的定直线作铅垂。
利用铅垂法来表达三角形的面积，我们可以从动点向另外两个点所在的固定直线作铅垂。
将变化的竖直线段作为三角形的底，高即为两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式来表达面积。
例如，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B和C（其中B在C的左侧）。
已知A点坐标为（0，3），点P是抛物线上的一个动点，且位于A和C两点之间。
当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积。
例如2，一次函数y=1/x+2与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线y=-x^2+bx+c过A、B两点。
Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值。
通过以上例题，我们可以看出铅垂法求面积的应用范围和具体做法。
在考试中，我们可以根据题目要求灵活运用铅垂法来解决问题。
上一动点在第三象限，记为S。
若存在点M使得S△ACM=1/2S△ABC，则求此时点M的坐标。
改写：假设动点S位于第三象限，现在需要找到一个点M，使得S与三角形ACM的面积是S与三角形ABC面积的一半。
求点M的坐标。
已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
直线Mx+x-2与x轴交于点A。
求点M的坐标。
改写：已知直线y=1/2x+3与点B(6,3)，直线x=22/3与y轴交于点C。
2020--2021学年九年级数学中考冲刺：二次函数之铅垂法求三角形面积
二次函数与面积解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化.课前练习如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题：如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交轴于点A （3,0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △；△是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．x CB模型讲解 竖切面积公式均为1=2S dh横切面积公式均为1=2S dh总结这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得.CBhC Bh CBD例题1 已知一次函数y＝（k＋3）x＋（k-1）的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，P（-1，-4）.（1）若△OBP的面积为3，求k的值；（2）若△AOB的面积为1，求k的值.ax2-ax＋c的图像的顶点为C，一次函数y＝-x＋3例题2 如图，二次函数y＝12的图像与这个二次函数的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与它的对称轴交于点D.（1）求点D的坐标；（2）若点C与点D关于x轴对称，且△BCD的面积为4，求此二次函数的关系式.例题3 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝-2.（1）求抛物线解析式；（2）若点E时线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF△AC 交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围.巩固练习1.已知直线y ＝2x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A ，D 两点，抛物线y ＝-12x ²＋bx ＋c 经过点A ，D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM S △:OMD S △＝1:3，求点M 的坐标；2．如图，已知抛物线y ＝-x ²＋bx ＋c 与一直线相交于A （-1,0），C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ． （1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，直接写出△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；，求a （2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为54 Array的值；4. 已知：二次函数y＝ax²＋bx＋6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x²-4x-12＝0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ△AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．5. 已知：在直角坐标系中，点C 的坐标为（0，-2），点A 与点B 在x 轴上，且点A 与点B 的横坐标是方程x ²-3x -4＝0的两个根，点A 在点B 的左侧. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的关系式.（2）点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0）连接CD 、CP ，设△CDP 的面积为S ，当S 取某一个值时，有两个点P 与之对应，求此时S 的取值范围？7、如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线l 与抛物线y ＝mx ²＋nx 相交于A （1，3），B （4，0）两点. （1）求出抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上一动点，（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PM △OA ，交第一象限内的抛物线于点M ，过点M 作MC △x 轴于点C ，交AB 于点N ，若△BCN 、△PMN 的面积BCN S △、PMN S △满足BCN S △＝2PMN S △，求出MNNC的值，并求出此时点M 的坐标.。
二次函数之“铅垂法”求三角形面积
二次函数之“铅垂法”求三角形面积求三角形面积往往用公式12S a h∆=或1sin2S ab C∆=进行计算。
在二次函数里，有时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。
图1 图2作法：1、作铅直线PM交线段AB于点M；2、分别过A、B两点作PM的垂线段。
计算：如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=12×PM×h2+12×PM×h1=12×PM×(h2+h1)；①如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=12×PM×h2－12×PM×h1=12×PM×(h2－h1)。
②理解：我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。
特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即S△=12×（y P－y M）×（x B－x A）。
我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。
运用：例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。
解答：（1）y=－x 2+2x+3；（2）过点M 作MC ⊥x 轴交直线AB 于点C 。
设M （t ，－t 2+2t+3），则C （t ，－t+3）。
∵A （3，0），B （0，3）∴S=12×〖（－t2+2t+3）－（－t+3）〗×（3－0）化简整理得：23327()224S t =--+。
水平宽铅垂高求三角形面积完整版
解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得： 所以二次函数的表达式为：
（2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x， ），PP 交CO于E若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，∴OE=EC= = ．
∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（ ， ）
（3）过点P作 轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x， ），易得，直线BC的解析式为 则Q点的坐标为（x，x－3）.
图① 图②
3.(2015年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
水平宽铅垂高求三角形面积
作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法
------------二次函数教学反思
铅垂高
如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
铅锤高求三角形面积法
作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法------------ 二次函数教课反思近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好方法。
在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类方法现总结以下：如图1，过△ ABC 的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽” ( a ) ，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高 ( h ) ” . 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.2yy铅垂高BBChCDB水平宽A O xA Oxa图 1P例 1．（2013 深圳） 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA ，将线段 OA 绕原点O 顺时针旋转 120°，获得线段OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的分析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.解：（ 1）B （ 1， 3 ）（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B （ 1,3 ），得 a3，所以 y3 x 2 2 3 x33 3（ 3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点 C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△ BOC 的周长最小 .k 3k b3,33 2 3 3设直线 AB 为 y=kx+b.所以解得，所以直线 AB 为 y ，2k b 0.2 3 x，当 x=－1 时，yb3333所以点 C 的坐标为（－ 1， 3 /3） .（ 4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D .1 SPABSPADSPBD( y D y P )( x Bx A )21 3 x23 3 x 2 2 3 x 323 3 333 x 2 3 x 3 2 2 23 1392x82当 x=－ 1 时，△ PAB 的面积的最大值为9 3，此时 P 1 ,3 .28 24例 2．(2014 益阳 ) 如图 2，抛物线极点坐标为点 C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的分析式； (2)点 P 是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点， 连接 PA ，PB ，当 P 点运动到极点C 时，求△ CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3)能否存在一点 P ，使 S △ PAB =98若不存在，请说明原由 .S △ CAB ，若存在， 求出 P 点的坐标；解： (1) 设抛物线的分析式为：y 1 a(x 1) 2 4 把 A （3,0）代入分析y 式求得 a1所以 y 1(x1) 2 4x 22x 3 设直线CAB 的解B析式为： y 2 kx b 由 y 1x 2 2x 3 求得 B 点的坐标为 (0,3) 把DA(3,0) ， B(0,3) 代入 y 2kx b 中1x解得 ：AO1k1, b3 所以 y 2x3图- 2(2) 因为 C 点坐标为 (１ ,4)所以当 x ＝１时， y 1＝ 4， y 2＝ 2 所以 CD ＝ 4- 2＝ 2S CAB13 2 3 (平方单位 ) 2(3) 假设存在吻合条件的点 P ，设 P 点的横坐标为 x ，△ PAB 的铅垂高为 h ，则h y 1y 2 ( x22x 3) ( x 3)x 291 3 ( x23x) 9 3化简3x 由 S = S得△ PAB8 △ CAB2 8得： 4x 212 x9 0解得， x3 将 x3代入 y 1 x 22x3 中，解得 P 点坐标为 ( 3 , 15 )2 22 4例 3．（ 2015 江津） 如图，抛物线 yx 2 bxc 与 x 轴交于 A(1,0),B(- 3， 0) 两点，（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交 y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上能否存在点Q ，使得△ QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原由 . （ 3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上能否存在一点 P ，使△ PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△ PBC 的面积最大值 . 若没有，请说明原由 .解： (1) 将 A(1 ， 0) ， B( － 3，0) 代 yx2bx c 中得1 b ＝b 2c 0 ∴9 3b c 0 c3∴抛物线分析式为： yx 22x 3(2) 存在。
铅锤法求三角形面积
铅锤法求三角形面积三角形是几何图形中最重要的基本形状之一，在数学中，求解三角形的面积是一个重要的问题。
一般来说，求解三角形面积有几种方法，其中最常用的一种方法就是铅锤法求三角形面积法。
因此，本文旨在简要介绍三角形面积求解中常见的铅锤法求法。
首先，让我们来看看铅锤法求三角形面积的原理。
铅锤法是一种直观的求面积的方法，它着重于将原始三角形分解为三个小三角形，这三个小三角形的总面积等于原始三角形的面积。
当然，要求解三角形的面积，我们还需要知道每个小三角形的面积。
算法的具体步骤如下：1.定三角形的三条边a、b、c和顶点A、B、C，以及三角形中心点O。
2.于AO边，计算与AB边关于A点的垂直平分线段AH，计算AH 的长度。
3.过三角形SSA（两边+夹角）定理求解小三角形AOH的面积，记为T1。
4.于BO边，计算与BC边关于B点的垂直平分线段BK，计算BK 的长度。
5.过三角形SSA（两边+夹角）定理求解小三角形BOK的面积，记为T2。
6.于CO边，计算与CA边关于C点的垂直平分线段CL，计算CL 的长度。
7.过三角形SSA（两边+夹角）定理求解小三角形COL的面积，记为T3。
8.后，将T1、T2和T3的和作为原始三角形ABC的面积。
由于铅锤法求三角形面积法只需要解决三个小三角形，因此它比其他一些计算方法要简单得多，并且它可以用于解决复杂的三角形情形。
另外，铅锤法求三角形面积的步骤略显复杂，并需要计算不同的边和角度，但是整体而言，仍然是一种非常有效的面积计算方法。
总之，铅锤法求三角形面积是一种用于求解复杂三角形面积的有效方法，它可以帮助我们快速准确地求出三角形面积。
此外，铅锤法求三角形面积方法还可以帮助我们理解几何图形的结构，对更有效地研究几何图形和探究几何原理有着非常重要的意义。
以上就是本文关于铅锤法求三角形面积的详细介绍，希望本文的内容能够对读者有所帮助。
在未来的学习和研究中，我们将要深入探讨三角形，探究更多求解三角形面积的方法和思路，以此加深我们对几何图形的理解。
用铅垂高法计算三角形的面积
证明如下 ：
ｈ 。 Ｓ ￣Ｂ ｃ ＝ Ｓ △ ｃ ｓ 。－ １ － 一
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高乘积的一半的方法去求三角形 的面积会有三种方法 ， 这三种方 法中的铅垂高有一种是在三角形的里面 ， 有两种是在三角形的外
样ｓ “ １
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此 时 ， 点 Ｅ 坐 标 为（ 一 孚， 孚）
【 小结 】 对 于不规则 四边形 面积的求法 ， 我们常规 的方法是
把它化成规则 的图形去解决。但 是在平面直角坐标系 中求图形 的面积 ， 涉及 到坐标 与线段的转化 ， 是很麻烦的 。如果把四边形 分 割成一个斜三角形和一个 固定 的三角形 ， 斜三角形用“ 铅垂 高 法” 就会很 方便 。 三、 体 会
・ ． ．
ｆ ｓ 。 ＼
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Ｐ Ｅ＝ 一 ａ ２ — ２ 。 ＋ ３ 一 （ 口 ＋ ３＝ － ａ ２ — ３ ａ
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直线之间的距离 叫做 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 水平宽（ ｎ ） ， 过点 Ｂ的直线与 鲋
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．
当 一 孚 时 ， Ｓ 踟最 大 ， 且 最 大 值 为 ６ ３ ．
与 的延长线之间线段 的长度 叫 ＡＡ Ｂ Ｃ的“ 铅垂 高 Ｂ Ｄ（ Ａ ） ， 同
１
三角形面积铅垂法公式
三角形面积铅垂法公式
就是沿三角形的最高点做一条垂直于平面的直线,另外两点作这条线的垂线,如果在平面直角坐标系中,两条高就是两个点横坐标的差,再求出那条直线在三角形内的长就行了。
设三角形abc，铅垂线ad垂直bc焦点d，面积为ad*bc/2。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常用的三角形按边棕斑普通三角形（三条边都不成正比），等腰三角（腰与底左右的等腰三角形、腰与底成正比的等腰三角形即为等边三角形）；按角分存有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形泛称横三角形。
从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
水平宽铅垂高求三角形面积
利用三角形铅垂高、水平宽 求三角形面积 （专题）1． 三角形面积公式的推广：过△ABC 三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在 △ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =21ah 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半例1.（全品探究题）如图，直线343+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线c x ax y ++=432经过B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点E 的坐标和△BEC 面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△P AB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△P AB的最大面积；若没有，请说明理由.解：例3．如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△P AB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：图1图-2xCOyABD11例4．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点。
铅垂高水平宽求三角形面积
铅垂高水平宽求三角形面积
S△ABC＝1\2ah。
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高(h)，我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC＝1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
铅垂高法是解决与二次函数相关的三角形面积问题的一个特殊的方法。
铅垂高
任何物件如铅垂一样的与地成正垂直，就是铅垂方向，沿铅垂方向的高度就是铅垂高，即在铅垂方向的投影；
与铅垂方向垂直的方向就是水平方向，物体沿水平方向的宽度就是水平宽。
把三角形沿水平方向分割成上下两部分，上部分面积＝水平宽×h1×1/2，下部分面积＝水平宽×h2×1/2，h1+h2＝铅垂高，结论得证。
铅垂法求三角形面积讲课教案
铅垂法求三角形面积二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC 的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M 使得12ACM ABC S S ∆∆=，求此时点M 的坐标.3.如图，已知直线12y x =与抛物线2(0)y ax b a =+≠交于A （-4，-2），B （6，3）两点，抛物线与y 轴的交点为C ．在抛物线上存在点P 使得△PAC 的面积是△ABC 面积的34，求时点P 的坐标.。
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二次函数三角形之面积问题（铅垂法）专题前请先思考以下问题:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
问题4：铅垂法的具体做法是什么？答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）例2：如图，一次函数122y x=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2y x bx c=-++过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值. 解：试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积 （铅垂线在三角形外部）……………………………………………………………………………………………………… 总结反思篇：决胜中考：1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数213222y x x =-++的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）．点P 是第二象限内抛物线上的点，△PAC的面积为S ，设点P 的横坐标为m ，求S 与m 之间的函数关系式.2. 如图，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．M 为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得12ACM ABCS S∆∆=，求此时点M的坐标.3.如图，已知直线12y x=与抛物线2(0)y ax b a=+≠交于A（-4，-2），B（6，3）两点，抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的34，求时点P的坐标.。
铅锤高定理公式
铅锤高定理公式
解析
铅垂线定理公式是三角形面积=铅锤高×水平宽的一半三角形面积。
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线（用圆锥形铅垂测得）。
多用于建筑测量。
用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线。
铅垂线地球重力场中的重力方向线。
它与水准面正交，是野外观测的基准线。
悬挂重物而自由下垂时的方向，即为此线方向，包含它的平面则称铅垂面。
判断物体是否与地面垂直，可用铅垂线法，即一根线加上一个重物。
此重物称为铅锤，铅锤受重力作用，即受万有引力的一个分力作用，让线与地面垂直，成90度角度。
铅垂法求三角形面积
铅垂法求三角形面积铅垂法是一种求三角形面积的常用方法之一。
这种方法的核心思想是先在三角形的某个顶点画一个垂线，把三角形分成两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积，最后将它们相加得到整个三角形的面积。
在应用铅垂法时，我们需要掌握以下三个重要的基本概念：1.直角三角形的面积公式：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为a和b，那么这个三角形的面积就是(a*b)/2。
2.直角边：对于一个直角三角形，其中那条与直角相邻的边就被称为直角边。
3.高：直角边上的垂线就被称为三角形的高。
接下来，我们来看看铅垂法具体的计算步骤。
1.选择一个顶点，画一条垂线。
2.这条垂线将三角形分成两个直角三角形。
3.计算左边的直角三角形的面积。
为此，需要测量该直角三角形的直角边和高。
如果直角边长为a，高为h，则该直角三角形的面积就是(a*h)/2。
4.计算右边的直角三角形的面积。
同样，需要测量该直角三角形的直角边和高。
如果直角边长为b，高为h，则该直角三角形的面积就是(b*h)/2。
5.将两个直角三角形的面积加起来，即(a*h)/2 + (b*h)/2 = (a+b)*h/2。
6.最后得到的结果就是整个三角形的面积。
那么，如何选择合适的顶点呢？一般来说，选择以已知量为边的顶点进行计算可以使计算更加简单。
同时，也可以根据需要选择其他顶点来计算三角形面积。
铅垂法是求解三角形面积的重要方法之一，可以应用于各种各样的情况，比如计算平面图形的面积，或者测量某个建筑物的高度等。
掌握这种方法，可以让我们更加便捷地进行各种计算，也为数学学习和实际应用提供了极大的方便。
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C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动
点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大
面积.
解：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。
的面积为S，设点P的横坐标为m，求S与m之间的函数关系式.
2.如图，已知抛物线
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2
yxx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．M为抛
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物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得
标.
1
SS，求此时点M的坐
ACMABC
2
3.如图，已知直线
1
yx与抛物线
2
2(0)
yaxba交于A（-4，-2），B（6，3）两点，
问题4：铅垂法的具体做法是什么？
答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两
点所在的定直线作铅垂。
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？
答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则
高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。
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二次函数三角形之面积问题（铅垂法）
专题前请先思考以下问题:
问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？
问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？
问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？
问题4：铅垂法的具体做法是什么？
问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？
以下是问题及答案，请对比参考:
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例2：如图，一次函数
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yx2与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线
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2
yxbxc
过A，B两点．Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，△QAB的面积为
S，求出S与n之间的函数关系式并求出S的最大值.
解：
试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形外部）
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总结反思篇：
决胜中考：
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1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
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yxx2的图象与y轴交于点A，与
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x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）．点P是第二象限内抛物线上的点，△PAC
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抛物线与y轴的交点为C．在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的
求时点P的坐标.
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