2020年高中数学竞赛湖南省B卷试题与答案

2020年高中数学竞赛湖南省B 卷试题与答案选择题（本大题共8个小题，每小题7分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）{}{}{}()3,,31,,31,,,,M P Q M x x n n Z Q x x n n Z P x x n n Z a M b Q c P d a b c A d B d C d D ==∈==+∈==-∈∈∈∈=-+∈∈∈1.已知集合且，，则，，，以上都不对。

2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（ ）A 776，B 784，C 798，D 800。

()221,21,1,235ABC D 3346m m m m ππππ+++-3.一个三角形的三边恰为则这个三角形的最大角为，，，。

4、()()()()()22222511x y x y +---若实数x,y 满足+=9,，则+的最大值为A 2，B 4，C 8，D 64。

()()()cos 4cos 2sin ,cos ,2sin ,2cos .y f x x x y x f x A x B x C x D x π==5.将函数的图象向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得函数的图象，则可以是 6、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的K 的值为（ ） A 3， B 4, C 5， D 6。

()()()23R 215315A 2B ,CD 523x x x +７.已知f =a-是上奇函数，则方程f =的根为，，。

()()()()OB 2,0OC 2,2CA 2cos ,2sin OA OB 5A 0B 441255C D 1221212ααπππππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦８.已知向量＝，向量＝，向量＝，则向量与向量的夹角的范围是，，，，，，，填空题（本大题共6个小题，每小题7分，共42分，请将正确的答案填在横线上。

） 9、{}()1215_____.n n a n N a a a ∈+++=设数列的通项为a =2n-7，则开始 K ＝0S ＝0S ＜100？ S S S S ＝＋K ＝K ＋1是输出K结束否10、1x ax a =+已知方程有一个负根而没有正根，则实数的取值范围是＿＿＿。

11、考虑十进制中的四位数，其数码是互不相同的正整数，且数码之和是12，则这样的四位数中的四个数码只可能是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、先后抛掷两粒均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2，3,4，5,6），骰子朝上的面的点数分别为x,y ，则2log 1x y =的概率为＿＿＿＿＿＿。

13、正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则它的体积是＿＿＿＿＿＿＿。

()()()()()()111220091f x x f x f x f f f x ++==-１４.对任意整数，函数满足，且，则＝＿＿＿。

三、解答题（本大题共5个小题，共52分，要求解答有必要的过程。

） 15、（本题满分10分）()()()()()cos ,sin cos ,cos 1,01692,28a x x b x x c a c x a b πππ--⎡⎤∈•⎢⎥⎣⎦已知=,=,=,（）若x=，求向量与的夹角。

当x 时，求函数f =2+1的最大值。

16、（本题满分10分）()()()()()()()()()()()()()()2,,122430,F 0,f x x a g x ax a R f x a g x f x x x a F x g x f x x a =-=∈==>=-+∞已知函数判断函数的对称性和奇偶性。

当时，求使成立的所构成的集合。

若记，且在上有最大值，求的取值范围。

17、（本题满分10分）已知O 为两同心圆的圆心，且大圆半径为5，小圆半径为2，如图所示，过小圆上任意一点P 作弦PA 与过P 点的大圆之弦BC 垂直，求证：222AB BC AC ＋＋为定值，并求出这个定值。

POBCA18、（本题满分10分）已知圆O 的方程为225x y +=，其中O 为坐标原点。

（1）设点P(),a b 是圆O 内一点，点Q 是直线1ax by +=上一动点，试求OQ的取值范围。

（2）设()1,2a =，直线l 与圆O 相交于两点A 、B ，若圆O 上存在一点C ，使得()OC OA OB a λλ=+=>0，试求直线l 的方程。

19、（本题满分12分）()()()()()()()()()()()()()()()21212121212121221200.0,1,,,,121,,2,2,21,,.f x ax bx c a x x R x x f x f x x f x f x f x x x x f x f x f x x x m x x m f x x x x m =++≠∈<≠=+⎡⎤⎣⎦=+⎡⎤⎣⎦+=-=<已知二次函数若且求证：关于的方程有两个不相等的实数根，且必有一个根属于若关于的方程在的根为且满足设函数的图象的对称轴为求证：答案：一、1、C ，2、B ，3、B ，4、D ，5、C ，6、B ，7、A ，8、D 。

二、9、153,10、1a ≥，11、1、2、3、6或1、2、4、5。

12、1.12 13、4383.99或 14、2．三、15、()()()[]()2max 31351,cos ,,,622262212cos 2sin cos 1sin 2cos 292sin 2,,,2,242844sin 21,1 2.4a c a a c a c a c f x a b x x x x xx x x x f x πππππππππ⎛⎫•=⇒==-⇒= ⎪ ⎪•⎝⎭=•+=-++=-⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-∈⇒-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫⇒-∈-⇒= ⎪⎝⎭解：当x=时，16、PO BCA DE()()()()()()(){}()()()()()()22221,0,,0,22424,10,22,0221,31,2102100,1,2113,0,10f x x a a f x a f x a g x f x x x x x x x x x x x x x x x a x a x aF x ax x a a a x a x a f x ==≠==-==≥<≠⎧⎧⇒=+⇒=⎨⎨--=-+=⎩⎩∴∈+-+≥⎧⎪=--=>⎨+-<⎪⎩∞∴≤解：关于直线对称当时为偶函数当时为非奇非偶函数。

当时，当时适合题意综合知在，＋上有最大值，a-10,又(]00,1.a a >∴∈，17、如图，作E D AP D OE BC O ⊥⊥于，于，()()()()2222222222222222222,,2484862862521502158.OE x OD y AB BC AC AP BP CP BE x BE y BE y BE x BE y x x y x y ==⇒++=+++=+-+++=++=+-+=++=设()()()()()()()222211221221515,.521,2,0,O 1,2O 1C 1,2A ,,,,1,11B AB OC ,212AB OC a b OQ a b OC OA OB a C x y B x y x x OC OA OB OA O k x b λλλλ+<≥>+=+=>∴⇒+=-=+⇒⊥=-=∴++１８.解：＝－点在圆上，且－在圆上，＝，－，设又，＝，k 设l 的方程为y=代入圆的方程得5x 2124420045151,,.5424bx b b x x b x +-=∴+=-=-⇒=∴+l 的方程为y=19、()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()121122221121212121220111,,2211,0,24,01,22,2x f x f x f x x f x f x x f x f x x x f x f x x x x x x f x f x f x x x b x f m am a =-+⇒=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⇒•=--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴=+⎡⎤⎣⎦=-=解：设g g g g g 又g 也是二次函数，由二次函数的图象特征知，g 在上必有一个根，且g ＝有两个不相等的实数根。

有两个不相等的实数根,且在上必有一个根.()()()()()()()22121212222121201222211111221201112221112212222212111221,22441,,0,21002bm c f x f x a x x b x x c b am bm a x x x x b m x m m x x a m m m x m x x m m m m x x x m x x x x ++=+=++++⎡⎤⎣⎦⎡⎤⇒+=+-+-⇒=-=-+-+⎣⎦-⎛⎫=-+-+--=--+-≤-≤ ⎪⎝⎭==⇒+=-=⇒=<∴<上式等号成立时与矛盾。

2.m。