离散习题代数系统部分答案1
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《离散数学》代数系统
1.以下集合和运算是否构成代数系统如果构成,说明该系统是否满足结合律、交换律求
出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
1)P(B)关于对称差运算⊕,其中P(B)为幂集.
构成代数系统;满足结合律、交换律;幺元φ;无零元;逆元为自身。
2)A={a,b,c},*运算如下表所示:
构成代数系统;满足结合律、交换律;无幺元;无逆元;零元b.
2.设集合A={a,b},那么(1)在A上可以定义多少不同的二元运算(2)在A上可以定义
多少不同的具有交换律的二元运算
24个不同的二元运算;23个不同的具有交换律的二元运算
3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.
1)列出B的元素.2元集合上只有2种划分,因此只有2个等价关系,即B={I A,E A}
2)给出代数系统V=的运算表.
3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.
幺元E A、零元I A;只有E A可逆,其逆元为E A.
4)说明V是否为半群、独异点和群
V是为半群、独异点,不是群
4.设A={a,b,c},构造A上的二元运算*,使得a*b=c,c*b=b,且*运算满足幂等律、交换律.
1)给出关于*运算的一个运算表.
其中表中位置可以是a、b、c。
2)*运算是否满足结合律,为什么
不满足结合律;a*(b*b)=c ≠(a*b)*b=b
5.设
*是R上的一个二元运算,使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法).
证明::
6.如果是半群,且*是可交换的.
证明:如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b,则(a*b)*(a*b)=a*b.
(a*b)*(a*b)
= a*(b*a)*b 结合律
= a*( a*b)*b 交换律
= (a* a)*(b*b)
= a*b.
7.设
a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c. (见课件)
8.设
现定义一种新的二元运算⊙:x⊙y=x*a*y,x,y∈G .
证明:
证明:显然⊙是G上的一个二元运算。
x,y,z∈G,(x⊙y)⊙z=(x⊙y)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)= x*a*(y⊙z)= x⊙(y⊙z).
故运算⊙满足结合律.
x∈G,x⊙a-1=x*a*a-1=x*e=x,a-1⊙x=a-1*a*x=e*x=x,故a-1是幺元.
x∈G,x⊙(a-1*x-1* a-1)=x*a*(a-1*x-1* a-1)= x*e*(x-1* a-1)= a-1.
(a-1*x-1* a-1)⊙x= (a-1*x-1* a-1)*a*x=(a-1*x-1)*e*x = a-1.
故a-1*x-1* a-1是x关于⊙的逆元.
综上所述
9.试写出模6加法群
10.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.
1)A关于整除关系是否构成偏序集构成偏序集
2)如果构成偏序集合,画出其对应的哈斯图.
3)如果构成偏序集,该偏序集合构成哪种格(分配格、有界格、有补格、布尔格).
分配格、有界格、有补格、布尔格