工程力学第9章 应力状态与强度理论
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强度理论
在Mmax和FS,max同时存在的横截面C稍稍偏左的横截 面上，该工字形截面腹板与翼缘交界点a处，正应力 和切应力分别比较接近前面求得的max和max，且该 点处于平面应力状态，故需利用强度理论对该点进 行强度校核。
M max ya 80103 N m 135103 m 122.7 MPa 6 4 Iz 8810 m
第9章 强度理论
9-1 强度理论概述
强度条件： max
[ ]
适用于单向应力状态，σmax为拉（压）杆横截面上 的正应力或梁横截面上的最大弯曲正应力。
max [ ]
适用于纯剪切应力状态，τmax为圆轴扭转时横截 面上的最大切应力或梁在横力弯曲时横截面上的 最大弯曲切应力。
[σ]或[τ]是由拉伸（或压缩）试验或纯剪切试验所
且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时
需先求主应力值等的麻烦，可直接利用图示应力状
Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
铸铁拉伸时沿试件的横截面断裂
铸铁圆轴扭转时沿与轴线约成 450的螺旋面断裂。 断裂与最大拉应力或最大拉应变有关，是拉应力 或拉应变过大所致。
低碳钢拉伸至屈服时，会出现与轴线约成450 的滑移线。
低碳钢圆轴扭转时沿纵横方向出现滑移线。
屈服或显著塑性变形是切应力过大所致。
2
2 0
3 2 27.7 MP a 2 2
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第 四强度理论校核a点的强度。
r3 1 3 150.4 MPa 27.7 MPa 178.1 MPa
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
M max ya 80103 N m 135103 m 122.7 MPa 6 4 Iz 8810 m
第9章 强度理论
9-1 强度理论概述
强度条件： max
[ ]
适用于单向应力状态，σmax为拉（压）杆横截面上 的正应力或梁横截面上的最大弯曲正应力。
max [ ]
适用于纯剪切应力状态，τmax为圆轴扭转时横截 面上的最大切应力或梁在横力弯曲时横截面上的 最大弯曲切应力。
[σ]或[τ]是由拉伸（或压缩）试验或纯剪切试验所
且相应的材料多为塑性材料；为避免在校核强度时
需先求主应力值等的麻烦，可直接利用图示应力状
Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。
铸铁拉伸时沿试件的横截面断裂
铸铁圆轴扭转时沿与轴线约成 450的螺旋面断裂。 断裂与最大拉应力或最大拉应变有关，是拉应力 或拉应变过大所致。
低碳钢拉伸至屈服时，会出现与轴线约成450 的滑移线。
低碳钢圆轴扭转时沿纵横方向出现滑移线。
屈服或显著塑性变形是切应力过大所致。
2
2 0
3 2 27.7 MP a 2 2
2
由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第 四强度理论校核a点的强度。
r3 1 3 150.4 MPa 27.7 MPa 178.1 MPa
r4
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 2
工程力学 (杨庆生 崔芸 龙连春 著) 科学出版社 课后答案 第9章
m ( F ) 0 P 1 Q 0.5 0 Q 2 P
mA ( F ) 0 1.5Q 3.5P 5 FB 0 FB 1.3P mB ( F ) 0 1.5P 3.5Q 5FA 0 FA 1.7 P
课
P 2. 4 4 2. 4 9.6(kN m) 2 8 2 P =2.561(kN ) FN cos 2 2 22 2.42
w.
9.6
A
25
-
2.561
+
FN （kN
25
z
co
）
FQ D2
M
M 图（ kN .m ）
m
P/2
补充 2： 水塔盛满水时连同基础总重量为 G， 在离地面 H 处， 受一水平风力合力为 P 作用， 圆形基础直径为 d,基础埋深为 h，若基础土壤的许用应力[σ]=300kN/m ，试校核基础的承载
梁上各横截面上轴力弯矩均为常2510253应力分析判危险点如右所示图整个横截面上均有n引起的均布的拉应力my引起后拉前压的弯曲应力mz引起上拉下压的弯曲应力点于d100025pa1010101010206060mpa140mpa四点的应力值
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ww
w.
max
（4）强度计算选择槽钢的型号：
1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：
材料力学第9章 强度理论
由于物体在外力作用下所发生的弹性变形既包括 物体的体积改变，也包括物体的形状改变，所以可推 断，弹性体内所积蓄的变形比能也应该分成两部分： 一部分是形状改变比能（畸变能） ，一部分是体积改 变比能 。 在复杂应力状态下，物体形状的改变及所积蓄的 形状改变比能是和三个主应力的差值有关；而物体体 积的改变及所积蓄的体积改变比能是和三个主应力的 代数和有关。
注意：图示应力状态实际上为弯扭组合加载对 应的应力状态，其相当应力如下：
r 3 2 4 2 [ ] 2 2 [ ] r 4 3
可记住，便于组合变形的强度校核。
例1 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论 求相当应力。
120 MPa 140 MPa
r4
1 2 2 2 [(0 120) ( 120 120) ( 120 0) ] 120MPa 2
140 MPa
（2）单元体（b）
σ1 140MPa
σ 2 110MPa
σ3 0
110 MPa
σr 3 σ1 σ 3 140MPa 1 2 2 2 σr 4 [30 110 ( 140) ] 128MPa 2
1u
1u
E
b
E
1 1 1 2 3 E
1u
1u
E
b
E
1 2 3 b
强度条件为： 1 2 3
b
n
[ ]
实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下,且压应 力值超过拉应力值时,该理论与实验结果相符合。
σ1 94 .72MPa σ 3 5 .28MPa
工程力学中四种强度理论
为了探讨导致材料破坏的规律，对材料破坏或失效进行了假设即为强度理论，简述工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用第一理论的应用和局限1、应用材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
2、局限没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
工程力学四大强度理论的基本内容
工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。
材料力学第9章应力分析强度理论
已知如图，设ef 面积为dA
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
F
n
0
F 0
dA ( xydAcos ) sin ( x dAcos ) cos ( yxdAsin ) cos ( y dAsin ) sin 0
dA ( xydAcos ) cos ( x dAcos ) sin ( yxdAsin ) sin ( y dAsin ) cos 0
2
2 xy
xy
min
y
yx
23
⒉主方向
应力圆：D点顺时针转2α0到A1点
单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线
证明：
xy 2 xy AD tg 2 0 CA x y x y 2
24
㈣利用应力圆求剪应力极值 应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪 应力的极大、极小值。 证明：
2
?
min
tg 2 0
2 xy
max
yx
x
x y
xy
解出两各极值点α0,α0=90+α0 最大、最小应力即为主应力
max x y x y 2 2 ( ) xy min 2 2
y
σmax、σmin为三个主应力中的两个。
11
讨论： ⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是
σx与σmax之间夹角，且小于45。 ⑵若代数值 σx≤σy ，则α0 、α0 中，绝对值较小者是 σx 与 σmin之间夹角，且小于45。
min
max
yx
x
xy
12
y
㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)
工程力学(水利)
16
4.力的表示方法 力的作用效应将随这三个要素 中的任何一个的改变而发生改变。 力是矢量。在图上它可用一个带有 箭头的有向线段表示，如图所示。 力的大小用按一定的比例所画的线 段的长度表示，力 的方向用线段的 箭头表示，力的作用点用线段的起 点或终点表示，线段所在的直线称 为力的作用线。
17
5.力系 力系是指作用于被研究物体上的一组力。如果力系使物 体处于平衡状态，则称该力系为平衡力系。对同一物体作用 效应相同的两个力系，彼此称为等效力系。若一个力与一个 力系等效，则此力为该力系的合力。用简单力系等效替代复 杂力系，称为力系的简化。 1.1.2 力的性质（静力学公理） 公理1 二力平衡公理 仅受两 个力作用的刚体平衡的必要与充 分条件是：这两个力必须大小相 等、方向相反、并且作用在同一 条直线上，即FA=－FB，如图所示。
20
力的可传性原理说明，力是滑移矢量。这个原理只适用 于刚体而不适用于变形体。刚体的力的三要素可以改为力的 大小，方向与作用线。 公理3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个 力可以合成为一个力，该合力也作用于这个点，合力由这两 个力为边所构成的平行四边形的对角线来确定。 如图所示，A点为作用点，F1、F2是两个分力，是合力， 公理3也可以用下式来表示： FR=F1+F2 （1.1） 即作用在同一点上的两个力的合 力等于这两个力的矢量和。
6
7
8
9
10
４.工程力学的研究方法 工程力学研究解决问题的一般方法，可归纳为： ① 对研究系统进行抽象简化，建立力学模型，其中包括几 何形状、材料性能、载荷及约束等真实情况的理想化和简化。 ② 将力学原理应用于理想模型，进行分析、推理，得出结 论。 ③ 验证结果，若得出的结论不能满意，则需要重新考虑关 于系统特性的假设，建立不同的模型，进行分析，以期取得 进展。 上述方法中，建立力学模型是最关键的。
7工程力学(下)—应力状态和强度理论1
σα =
σx +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
7.2 平面应力状态
对于斜截面的切线t参考轴列平衡方程为 对于斜截面的切线 参考轴列平衡方程为 ΣFt = 0, τ α d A − (σ x d A cos α ) sin α − (τ x d A cos α ) cos α + (σ y d A sin α ) cos α
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α −τ x sin 2α
τα =
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α
2 求正应力的极值
σ x −σ y dσ α = −2[ sin 2α + τ x cos 2α ] = 0 令: dα 2
比较可知, 极值正应力所在的平面, 比较可知 极值正应力所在的平面 就是切应力 τα为零的平面。这个切应力等于零的平面 叫做 为零的平面。这个切应力等于零的平面, 主平面, 主平面上的正应力, 叫做主应力。也就 主平面 主平面上的正应力 叫做主应力。 主应力 是说, 在通过某点的各个平面上, 是说 在通过某点的各个平面上 其中的最大正 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 应力和最小正应力就是该点处的主应力。 表示主平面的法线n与 轴间的夹角 轴间的夹角, 以α0表示主平面的法线 与x轴间的夹角 由上式 可得 −2τ x tan 2α 0 = σ x −σ y
σ α = σ x cos 2 α + σ y sin 2 α − 2τ x sin α cos α
又由三角关系: 又由三角关系
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第9章 应力状态与强度理论
τ max =
σ1 −σ 3
2
=
380 1 2 + 100 2 + 4τ xy < 160 4 4
解得 | τ xy | ＜120MPa
所以，取 | τ xy | ＜120MPa。 9－ 6 图示外径为 300mm 的钢管由厚度为 8mm 的钢带沿 20°角的螺旋线卷曲焊接而
成。试求下列情形下，焊缝上沿焊缝方向的剪应力和垂直于焊缝方向的正应力。 1．只承受轴向载荷 FP = 250 kN； 2．只承受内压 p = 5.0MPa（两端封闭） *3．同时承受轴向载荷 FP = 250kN 和内压 p = 5.0MPa（两端封闭）
εt =
2 π ( r + Δ r ) − 2 πr Δ r = 2 πr r 1 Δr = ε t ⋅ r = [σ t −νσ m ] E 1 = (118.72 − 0.33 × 59.36 ) × 254 = 0.336mm 75 ×103
9－ 8
构件中危险点的应力状态如图所示。 试选择合适的准则对以下两种情形作强度校
9－ 7
承受内压的铝合金制的圆筒形薄壁容器如图所示。 已知内压 p = 3.5MPa， 材料
的 E = 75GPa， ν = 0.33。试求圆筒的半径改变量。
5
习题 9－7 图
解：
σm =
3.5 × (254 × 2 + 7.6) = 59.36 MPa 4 × 7.6 3.5 × (254 × 2 + 7.6) = 118.72 MPa σt = 2 × 7.6
σ r4 =
1 (100 2 + 20 2 + 120 2 ) = 111.4 MPa 2
2． σ =
第9章应力应变分析及应力应变关系
(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x轴平行于杆件轴线，用x坐标表示横 截面位置； (2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控 制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点； (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据 绘图需要在该段曲线上选取若干代表点（如：最大、最小值点及曲线 的拐点）计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+，-”号及各控 制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x轴方向的平行线， 即绘制得到所需的内力图。
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
材料力学知识点总结
材料力学知识点总结材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科，它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。
以下是对材料力学主要知识点的总结。
一、拉伸与压缩拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。
在拉伸或压缩时，杆件横截面上的内力称为轴力。
轴力的正负规定为：拉伸时轴力为正，压缩时轴力为负。
通过实验可以得到材料在拉伸和压缩时的应力应变曲线。
低碳钢的拉伸应力应变曲线具有明显的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。
弹性阶段内应力与应变成正比，遵循胡克定律；屈服阶段材料出现明显的塑性变形；强化阶段材料抵抗变形的能力增强；局部变形阶段试件在某一局部区域产生显著的收缩，直至断裂。
对于拉伸和压缩杆件，其横截面上的正应力计算公式为：＄＼sigma ＝＼frac{N}｛A}＄，其中$N$为轴力，＄A$为横截面面积。
而纵向变形量$＼Delta L$可以通过公式$＼Delta L ＝＼frac{NL}｛EA}＄计算，其中$E$为材料的弹性模量，＄L$为杆件长度。
二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。
在剪切面上的内力称为剪力。
剪切面上的平均切应力计算公式为：＄＼tau ＝＼frac{Q}｛A}＄，其中$Q$为剪力，＄A$为剪切面面积。
挤压是在连接件与被连接件之间，在接触面上相互压紧而产生的局部受压现象。
挤压面上的应力称为挤压应力，其计算公式为：＄＼sigma_{jy} ＝＼frac{F_{jy}｝｛A_{jy}｝＄，其中$F_{jy}＄为挤压力，＄A_{jy}＄为挤压面面积。
三、扭转扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动。
圆轴扭转时，横截面上的内力是扭矩。
扭矩的正负规定：右手螺旋法则，拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。
材料力学课件 第9章 强度理论
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第九章 强度理论
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例题 一铸铁构件 bL= 400MPa， by= 1200MPa，一平面应力状
态点按莫尔强度理论屈服时，最大剪应力为450MPa，试求该点
的主应力值。 M
[ y]
P
O2 3
解：做莫尔理论分析图
KL
sinO2M O1L
oN
O3 O1 1 [ L]
O1O2
by
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例题 某铸铁构件危险点的应力如图所示，若许用拉应力
[ ] 30MPa ，试校核其强度。
y 20MPa
解 由图可知，x与y截面的应力为
10MPa x
15MPa
x 10MPa, x 15MPa, y 20MPa
计算最大正应力与最小正应力，得到
max m in
26.2MPa 16.2MPa
密度值，材料即发生屈服。
ud max uds
ud
1
6E
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1）破坏判据： 2）强度准则
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
s
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
3）实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。
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第九章 强度理论
即主应力为： 1 26.2MPa, 2 0, 3 16.2MPa
上式中主应力 3 虽为压应力，但其绝对值小于主应力 1 所以，宜采用
最大拉应力理论校核强度，显然有1
[
]
说明该构件满足强度要求。
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第九章 强度理论
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根据广义胡克定律，有
解 （1）m-m 截面的内力为：
（2）m-m 截面上 K 点的应力为：
28
29
30
9.5 强度理论
9.5.1 强度理论的概念 在第7章中介绍了杆件在基本变形情况下的强度计 算，根据杆件横截面上的最大正应力或最大切应力及相 应的试验结果，建立了如下形式的强度条件：
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33
（2）第二强度理论———最大伸长线应变理论
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（3）第三强度理论———最大切应力理论
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（4）第四强度理论———最大形状改变比能理论
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（2）校核正应力强度
（3）校核切应力强度
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（4）按第三强度理论校核 D 点的强度
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思考题 9.1 某单元体上的应力情况如图9.18所示，已知 σx=σy。试求该点处垂直于纸面的任意斜截面上的正应力、 切应力及主应力，从而可得出什么结论？
6
9.2.1 方位角与应力分量的正负号约定 取平面单元体位于Oxy平面内，如图9.5（a）所示。 已知x面（外法线平行于x轴的面）上的应力σx及τxy，y 面上的应力σy及τyx。根据切应力互等定理，τxy=τyx。现 在为了确定与z轴平行的任意斜截面上的应力，需要首 先对方位角α以及各应力分量的正负号作如下约定：
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11
9.2.3 平面应力状态下的主应力 与极值切应力由式（9.1）和式（9.2）可知，当σx， σy和τxy已知时，σα和τα将随α的不同而不同，即随斜截面 方位不同，截面上的应力也不同。因而有可能存在某种 方向面，其上之正应力为极值。设α=α0时，σα取极值。 由
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式中，E为弹性模量，μ为泊松比，G为切变模量。E，μ 及 G均为与材料有关的弹性常数。对理想弹性体，3个常数之 间存在如下关系
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例9.5 图9.13（a）所示边长为15mm 的正方体混凝 土块，很紧密地放在绝对刚性的槽内，刚槽的高、宽均 为150mm，混凝土块的顶面上作用有q=20MPa的均布压 力，已知混凝土的泊松比μ=0.2。当不计混凝土与槽间的 摩擦时，试求混凝土块中沿x，y，z三方向的正应力σx， σy及σz。
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（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个主应 力不为零，如图9.4（a）所示。 （2）二向应力状态：三个主应力中有两个主应力 不为零，如图9.4（b）所示。 （3）三向应力状态：三个主应力均不为零，如图 9.4（c）所示。
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9.2 平面应力状态分析
在平面应力状态下，当单元体两对应力作用面上的 应力确定时，求任一斜截面上的应力，可采用解析法或 图解法。解析法是用一假想截面将单元体从所考虑的斜 截面处截成两部分，考虑其中任意一部分的平衡，即可 由平衡条件求得该截面上的正应力和切应力。这是分析 单元体斜截面上应力的基本方法。下面以一般平面应力 状态为例，说明这一方法的具体应用。
9.5.2 常用的强度理论 1.材料破坏的主要形式 实践表明，尽管各类材料的破坏现象比较复杂，但 就其破坏形式来说，大体可分为两大类：一类为屈服破 坏，另一类为脆性断裂。 塑性破坏（plastic failure）一般是对塑性材料而言的。 脆性断裂（brittle fracture）一般是对脆性材料而言。 2.常用的强度理论 （1）第一强度理论———最大拉应力理论 该理论认为，材料发生脆性断裂的主要因素是该点 的最大拉应力。
7
8
（1）α 角——从 x轴逆时针转至 α 面外法线 n者为 正，反之为负。 （2）正应力———拉应力为正，压应力为负。 （3）切应力———τxy，τα以使绕微元内任意点产生 顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。τyx由切应力互 等定理确定其具体指向。
9
9.2.2 平面应力状态下任意斜截面上的应力 为确定平面应力状态下任意斜截面上的应力，将单 元体从任意方向面处截为两部分。考察其中任一部分， 其受力如图9.5（b）所示。该部分沿α面法向及切向的平 衡方程分别为：
第9章 应力状态与强度理论
前面研究杆件的基本变形下的应力时，主要是研究 横截面上的应力，并根据横截面上的应力以及相应的实 验结果，建立了只有正应力或切应力作用时的强度条件。 但对某些杆件来说，仅研究横截面上的应力是不够的， 有些杆件破坏时并非沿着横截面。例如，铸铁圆杆，其 受压破坏时，将沿与轴线成一定角度的斜截面破坏，这 就必然与斜截面上的应力有关，因此，还需要进一步研 究斜截面上的应力。一般情况下杆件横截面上不同点的 应力是不相同的；过同一点不同方向面上的应力也是不 相同的。因此，当提及应力时，必须指明“哪一个面上， 哪一点，沿什么方向”的应力。
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9.1 应力状态的概念
应力状态（stressstate）又称为一点处的应力状态， 是指过一点所有不同方向面上应力的集合。 应力状态分析（analysisofstress-state）是用平衡的方 法，分析过一点不同方向面上应力情况及其变化规律， 确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。
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Hale Waihona Puke 0应用式（9.5）和式（9.7），可以得出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 组方向面内的极值正应力和极值切应力，通过比较可得 三向应力状态下任一点的最大应力分别为：
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9.4 广义胡克定律
在第7章中已经介绍，杆件轴向拉伸（压缩）时， 在横截面上产生正应力的同时，沿纵向与横向分别产生 纵向线应变ε与横向线应变ε′。对于理想弹性材料，当正 应力不超过材料的比例极限时，正应力σ与纵向线应变ε 之间存在下列关系
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9.3 空间应力状态下的最大应力
组成工程结构物的构件都是三维体，能按材料力学 方法进行受力分析的，只是一般三维结构的特殊情况。 既然这样，在建立强度条件时，必须按三维问题考虑才 符合实际。因此，在研究了三向应力状态的一种特殊情 况——平面应力状态后，还应将它们返回到三向应力状 态，作进一步的分析，才能符合工程实际。另外，在工 程中还存在许多三向应力状态的问题。例如，处于液体 中一定深度的单元体，在液体压力作用下便处于三向应 力状态；火车轮与轨道接触处，也是处于三向应力状态。