高一：零点问题的解题方法

谈函数与方程(零点问题)的解题方法

课题

——解题技能篇

从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点,题型主要以选择题、填空题为主,难度中等及以上.主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．

(1）函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D),把使f（x)＝０成立的实数ｘ叫做函数ｙ＝ｆ(ｘ）(x∈D）的零点．

(2)零点存在性定理(函数零点的判定)

若函数ｙ=f(x）在闭区间［a，ｂ]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f （a)·f(ｂ)<0,则在区间（a，b)内,函数y=ｆ(x）至少有一个零点，即相应方程f(x)=0在区间(a，b)内至少有一个实数解.

也可以说:如果函数y＝f（x）在区间[ａ，ｂ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f（a）·ｆ(ｂ）<0,那么,函数y=f(x)在区间（a，ｂ)内有零点，即存在ｃ∈（a,b),使得f(c）＝0,这个c也就是方程f（x)=0的根.

[提醒］此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．

(3)几个等价关系

函数y=f（x)有零点⇔方程ｆ（x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与函数ｙ＝０(即x轴)有交点.

推广:函数ｙ＝f(x)-g(x)有零点⇔方程f(x)-g(x)＝0有实数根⇔函数y=f(x)-ｇ(x)的图象与y＝0(即ｘ轴)有交点.

推广的变形：函数ｙ=ｆ（x)-g(x）有零点⇔方程f(x）＝g(ｘ)有实数根⇔函数y＝f（x)的图象与y＝g（ｘ)有交点．

1.函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗?是否任意函数都有零点？

提示：函数的零点不是函数ｙ=f（x）与x轴的交点，而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(ｘ）=０有根的函数y=f(x)才有零点.

２.若函数y＝f(x)在区间(a，ｂ)内有零点,一定有ｆ(a)·f(b)＜０吗?

提示:不一定，如图所示，f（ａ)·f(b)>０.

3.若函数y=f（ｘ)在区间（a，b)内，有f(ａ)·f(b)<０成立,那么y＝ｆ（x)在(ａ，b)内存在唯一的零点吗？

提示:不一定，可能有多个.

(4)二次函数y ＝ａx 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系

Δ＝b ２

-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<０

二次函数 ｙ＝ａx ２+bx ＋c (a ＞0)的图象

与x 轴的交点 （x 1,0)，(x ２，０)

（x １,0) 无交点 零点个数

2

1

对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有:

1.函数零点的求解与所在区间的判断；

2.判断函数零点个数;

３．利用函数的零点求解参数及取值范围．

考向一、函数零点的求解与所在区间的判断

1．(２015·温州十校联考）设f (x )＝ｌn x +x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) Ａ．（0,1） ﻩﻩ ﻩ ﻩ B.（1，2) C.(２,３)

ﻩ

ﻩ

D.(3,4）

【解析】法一:∵f (1）＝l ｎ 1+1-２＝－1＜0,f （２)＝ln 2>0，∴ｆ(1)·f （2)＜0,∵函数f (x )=ln x ＋x －2的图象是连续的,∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，２）.

法二：函数ｆ（x ）的零点所在的区间转化为函数g (x )=ln x ,ｈ(x )=－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f (x )的零点所在的区间为(１，2）.

【答案】B

２.(20１5·西安五校联考）函数y =ln(x ＋1)与y =1x 的图象交点的横坐标所在区间为( )

A ．(0，1） ﻩﻩ

ﻩﻩﻩB.(1，2）

Ｃ．(2，3）ﻩ

ﻩﻩﻩD.（3，4）

【解析】函数y =ｌｎ(x +1）与y =错误!的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(ｘ＋1)－错误!的零点,∵f

（x）在(０，＋∞)上为增函数,且ｆ（1)＝ln 2－1＜０,f（2)＝lｎ３-错误!＞0,∴ｆ(x)的零点所在区间为(1,２)．

【答案】B

3.函数ｆ(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间（n，ｎ＋1)(ｎ∈Ｎ)内，则n=__＿＿____.

【解析】求函数f(x)=3x-７＋lｎx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2,由于lｎ2＜lｎｅ=1,所以f（2）<0,ｆ（3)＝２+lｎ３，由于ｌn 3＞1,所以f(３)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,３)内，故n=2．

【答案】2

４.（2015·长沙模拟）若a＜b<ｃ,则函数f(x)=(x－a)（x-b)＋（x－ｂ)(x－ｃ）+（x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()

A．(a，b)和(b，c)内ﻩﻩB．(－∞，a)和(a，b)内

C．（b,c)和（c,+∞)内D．（－∞，a)和(c，＋∞)内

【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a-ｂ)(ａ－c)＞０,f（b)＝(ｂ-ｃ）(b-a)＜0,f(c)＝(c－b)（c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间（a,ｂ)和(b，ｃ)内.

【答案】A

5．(2０１４·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥０时，f（x)＝x2－3x，则函数ｇ(x）=f （ｘ)－ｘ＋3的零点的集合为（）

Ａ.{1,3}ﻩﻩﻩﻩﻩB.{-3,-１,１,3}

C.{2-错误!，１,3} ﻩﻩﻩＤ.{-2-错误!，1,3}

【解析】令ｘ＜0，则－x>0,所以f（ｘ)＝-f(-ｘ)＝-［(－x）2－３(-x)]=－x2-3x．求函数g（x)＝f(ｘ)-x+3的零点等价于求方程ｆ(x)＝－3＋x的解．当x≥０时，ｘ2-3x＝－3＋ｘ,解得ｘ1=3，ｘ2=1;当x<0时,－x2－3ｘ＝-3＋ｘ,解得x3＝-2－7．

【答案】D

确定函数f（ｘ）零点所在区间的方法

(1)解方程法:当对应方程ｆ(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上.

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,ｂ］上的图象是否连续，再看是否有ｆ

(a)·f(b）<0．若有,则函数ｙ=f（x)在区间（a,ｂ)内必有零点．

(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.

１.已知函数f(ｘ）＝＼ｆ(6,x)-log2ｘ，在下列区间中，包含f(ｘ)零点的区间是( )