用_几何画板_画分段函数图像的简单方法

教学研究
・ ２００８ ０４
用*几何画板+画分段函数图像的简单方法
☆
黎凤仁
先 来 看 例 题 ： 在《 几 何 画 板 》中 画 出 分 段 函 数 Ｆ （ ｘ）＝ 点 １、 ０ ， 点 击 绘 制 得 点 Ａ（ １ ， ０ ） ， 输 入 － １ ， ０ 得 点 Ｂ（ － １ ，
ｆ１ （ｘ），ｘ＜ １ " ｆ２ （ｘ），１＜ ｘ＜ ２ # $ ｆ３ （ｘ），ｘ＞ ２ %
１，ｘ＞ ０ 借 助 函 数 ｓｇｎ （ｘ） ＝ ０，ｘ＝ ０ 可 以 将 Ｆ （ｘ） ＝ － １，ｘ＜ ０
!
２
２
ｘ２＋ ｓｇｎ（ｘ－ ２）＋ １ ×１ ， 点 击“ 确 定 ”即 可 画 出 此 分 段 函 数 ２ ｘ
的图像。 显 然 方 法 二 非 常 简 单 。 对 于 ｎ 段 分 段 函 数 Ｆ （ｘ） ＝
ｆ３ （ｘ）＝ １ （ ｘ＞ ２ ） 。 ｘ＜ ２ ） 、 ｘ
对 于 此 题 ， 可 以 有 两 种 方 法 画 出 其 函 数 图 像 。分 别 介 绍如下： 方 法 一（ 复 杂 ） ： 逐 段 画 图 像 ， 再“ 拼 ”成 一 个 分 段 函 数图像。 作法如下： 第 一 步 ， 打 开《 几 何 画 板 》， 点 击“ 编 辑 ”→“ 参 数 选 项 ”→“ 文 本 ”→ ， 在 “ 所 有 新 建 的 点 ”、 “度量过的对
义时， 对应的端点所处位置要依据原分段函数来确定。 第二， 形 式 统 一 后 定 义 域 会 变 化 。 如 ： Ｆ （ｘ） ＝ 定 义 域 为 Ｒ， 而 Ｆ （ｘ） ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） ・ｘ２ ＋
得 ａ １ ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） ，ａ ２
２
＝ ｓｇｎ（ｘ－ １）－ ｓｇｎ（ｘ－ ２） ，ａ ２ ２
３． 制作函数的动Байду номын сангаас图像
在 区 间 ［ａ，ｂ］ 的 对 应 的 线 段 ＰＱ 上 取 点 Ｒ ， 然 后 在 线 段
ＰＲ 上 取 点 Ｍ， 将 点 Ｍ 限 定 在 线 段 ＰＲ 上 ， 度 量 其 横 坐 标 ｘ Ｍ ， 计 算 ｘ Ｍ ， 绘 制 点 Ｍ＇ （ｘ Ｍ，ｘ Ｍ ） ， 同 时 选 择 点 Ｍ 、 Ｍ＇ ， 点
／ ／ ｚｅｌ．ｃｈｉｎａ５０００．ｏｒｇ．ｃｎ ） 献 花 时 的 留 言 。 在 周 恩 来 同 志 诞
辰 １１０ 周 年 纪 念 日 前 后 ， 广大网友纷纷来到网上周恩来
纪念馆献花、 留言， 表达深切缅怀和思念之情。 许 多 网 友 把 周 恩 来 当 作 党 员 楷 模 来 学 习 。王 小 明 说 ： “周恩来总理始终保持延安时期的光荣传统和作风， 处 处 以 身 作 则 ， 实 为 全 党 之 楷 模 ！ ”洪 三 忠 表 示 ： “ 中 华 民 族、 中国工人阶级和中国共产党人一切最优秀的品质， 在
画 图 。 设 Ｆ（ｘ） ＝ ａ １ｆ１ （ｘ） ＋ ａ ２ｆ２ （ｘ） ＋ … ＋ ａ ｎ － １ｆｎ － １ ＋ ａ ｎｆｎ （ｘ） ， 易 得
列 出 ｘ－ １ 、 ｘ－ ２ 的 符 号 函 数 值 表 ， 见 表 ２ ： 表 ２ 当 ｘ＜ １ 时 当 １＜ ｘ＜ ２ 时 当 ｘ＞ ２ 时
ａ １ ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ ｔ１） ，ａ ２ ｓｇｎ（ｘ－ １） －１ １ １ ｓｇｎ（ｘ－ ２） －１ －１ １
ｆ （ｘ），ｘ≤ １ 中 ， Ｆ（１）＝ ｆ （１） ； 形 式 统 一 ! ｆ （ｘ），ｘ＞ １
１ ２ １
后 Ｆ （ｘ） ＝ １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） ｆ１ （ｘ） ＋ ｓｇｎ（ｘ－ １）＋ １ ｆ２ （ｘ），Ｆ （１） ＝ ２ ２
ｆ１（１）＋ ｆ２（１） ， 后 者 一 般 情 况 不 等 于 前 者 。 因此， 分点处有意 ２
２
＝ ｓｇｎ（ｘ－ ｔ １）－ ｓｇｎ（ｘ－ ｔ ２） ， … ， ａ ｎ － １ ＝ ２
ｓｇｎ（ｘ－ ｔ ｎ－ ２）－ ｓｇｎ（ｘ－ ｔ ｎ－ １） ，ａ ＝ ｓｇｎ（ｘ－ ｔ ｎ－ １）＋ １ 。 ｎ ２ ２
有两点需要注意： 第 一 ， 在 Ｆ（ｘ） ＝
用 ｓｎｇ（ｘ－ １） 、 ｓｇｎ （ｘ－ ２） 构 造 出 与 ａ １ 、 ａ ２、 ａ３ 相 等 的 值 ， 见 表 ３： 表 ３
对 应 的 区 间 ［ａ，ｃ］ 上 的 图 像 。 拖 动 点 Ｍ 使 之 与 Ｒ 重 合 ， 然 后 隐 藏 点 Ｍ ， 拖 动 点 Ｒ ， 可 以 动 态 描 绘 函 数 ｙ＝ ｘ 的 图 像
２
（ 图 １５ ） 。
［Ｊ］． 中学数学月刊 ，２００７，（２）．
（ 作者单位： 钦州学院数学与计算机科学系， 广西钦州
５３５０００ ）
［特约编辑 ： 咸彦平 ］
图 １５
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第 二 步 ， 输 入 １－ ｓｇｎ（ｘ－ １） × ｘ＋ ｓｇｎ（ｘ－ １）－ ｓｇｎ（ｘ－ ２） ×
方 法 二（ 简 单 ） ： 统 一 分 段 函 数 形 式 ， 再 作 函 数 图 像 。 分析：
!
ｆ１ （ｘ），ｘ＜ １ ｆ２ （ｘ），１＜ ｘ＜ ２ 形 式 进 行 统 一 。 ｆ３ （ｘ），ｘ＞ ２
ｘＣ ， 得 到 ｆ（ｘＣ） 值 。
第 六 步 ， 依 次 选 中 ｘＣ 、 ｆ（ｘＣ） ， 再 点 击“ 图 表 ”→“ 绘 制 （ ｘ，ｙ ） ”绘 制 出 点 Ｄ 。 第七步， 依次选中 Ｃ、 Ｄ ， 点 击“ 作 图 ”→“ 轨 迹 ”， 得
ｆ１（ｘ）＝ ｘ 在 ｘ＜ １ 时 的 图 像 。
“我看了周总理的生平事迹， 很受感动， 我要好好学 习 ， 将 来 做 一 个 对 社 会 有 用 的 人 。”这 是 浙 江 省 金 华 市 东 苑 小 学 二 年 级 学 生 冯 镜 霏 在“ 网 上 周 恩 来 纪 念 馆 ” （ ｈｔｔｐ： 他身上得到了集中、 完美的体现。 ”秦 鹏 祥 说 ： “ 您 的 精 神 时 刻 感 染 着 我 ， 我 将 用 我 的 一 生 去 解 读 ！ ”署 名“ 爱 您 的 人 ”的 网 友 表 示 ： “ 今 天 的 社 会 有 很 多 偶 像 ， 但 是 尊 敬 的 周总理一直是我最最崇敬的偶像， 最最崇拜的人。” 网上周恩来纪念馆由共青团中央、中央文献研究室 联 合 主 办 ， 于 ２００３ 年 ３ 月 ５ 日 正 式 开 通 ， 是 爱 国 主 义 网 站“ 民 族 魂 ” “ 血 铸 中 华 ”的 系 列 站 点 。 开通 ５ 年来， 访问 量 已 超 过 １２００ 万 人 次 ， 网 民 献 花 和 留 言 ２０ 多 万 条 ， 留 言 总 字 数 达 ５３００ 多 万 字 。 （ 吴元兵）
重 复 前 面 步 骤 ， 同 法 可 作 ｆ２ （ｘ）＝ ｘ２（ １ ＜ ｘ＜ ２ ） 、 ｆ３ （ｘ）＝
象 ”前 方 框 中 勾 选“ √ ”。 第 二 步 ， 点 击“ 图 表 ”→“ 定 义 坐 标 系 ”建 立 直 角 坐 标 系 ； 点 击“ 图 表 ”→“ 绘 制 点 Ｐ ”， 在 直 角 坐 标 系 下 输 入 第 二 步 ， 作 函 数 在 区 间 ［ａ，ｂ］ 上 的 图 像 。 在 区 间 ［ａ，ｂ］ 对 应 的 线 段 ＰＱ 上 取 点 Ｍ ， 从 而 将 点 Ｍ 限 定 在 区 间 ［ａ，ｂ］ 对 应 的 线 段 上 ， 度 量 其 横 坐 标 ｘ Ｍ２ ， 计 算 ｘ Ｍ２ ， 绘 制 点 Ｍ （ｘ Ｍ， ， 点 击“ 作 图 ”中 的“ 轨 迹 ”， 得 到 ｘ Ｍ２） ， 同 时 选 择 点 Ｍ 、 Ｍ′ 函 数 ｙ＝ ｘ ２ 在 区 间 ［ａ，ｂ］ 上 的 图 像 。
２ ２ ２
击“ 作 图 ”菜 单 中 的“ 轨 迹 ”， 得 到 函 数 ｙ＝ ｘ 在 线 段 ＰＲ
２
［参考文献 ］
七巧板” 与“ 勾股板” 的简便制作原理、 方法与运用 ［Ｊ］． 中 ［１］ 唐剑岚 ． “ 小学电教 ，２００７，（４）． —自 制 《 几何画板》 描点画图工具 ［２］ 吴 江 媛 ． 函 数 教 学 的 好 帮 手——
ｓｇｎ（ｘ－ １）－ ｓｇｎ（ｘ－ ２） ｆ （ｘ）＋ ｓｇｎ（ｘ－ ２）＋ １ ｆ （ｘ） 。 ２ ３ ２ ２
作法： 第 一 步 ， 打 开《 几 何 画 板 》， 点 击“ 图 表 ”→“ 绘 制 新 函 数 ”， 打 开 新 建 函 数 面 板 。
２１３１０１）
［特约编辑 ： 咸彦平 ］
千万青少年网上纪念周恩来
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$
０ ） ； 依 次 选 中 Ａ、 Ｂ ， 按“ 作 图 ”→“ 射 线 ”作 出 射 线 ＡＢ 。
的 图 像 ， 其 中 ｆ １ （ｘ）＝ ｘ （ ｘ＜ １ ） 、 ｆ ２ （ｘ）＝ ｘ２（ １＜ 第 三 步 ， 选 中 射 线 ＡＢ ， 按“ 作 图 ”→“ 射 线 上 的 点 ” 得 射 线 ＡＢ 上 的 点 Ｃ ； 选 中 点 Ｃ ， 右 击 弹 出 面 板 选 中 横 坐 标 ， 得 ｘＣ 值 。 确定， 第 四 步 ， 点 出“ 图 表 ”→“ 新 建 函 数 ”， 点 击 ｘ 、 得 函 数 ｆ（ｘ）＝ ｘ 。 第 五 步 ， 点“ 度 量 ”→“ 计 算 ”， 再 依 次 点 击 ｆ（ｘ）＝ ｘ 、
１ （ ｘ＞ ２ ） 的 图 像 。 ｘ
利 用“ 几 何 画 板 ”绘 制 函 数 的 图 像 不 仅 如 同 使 用 直 尺、 三角板一样方便， 而且所制作的图像比手工制作得更 为精美、 高效， 还可以方便地控制暗示的信息量进行适时 启 发 。 如 果 我 们 能 使 学 生 学 会 把“ 几 何 画 板 ”当 作 直 尺 、 三 角 板 一 样 使 用 ， 把“ 几 何 画 板 ”当 作“ 数 学 实 验 室 ”， 用 它来引导学生探索数学、 发 现 数 学 规 律 ， 让 学 生 获 得“ 做 数学” 的亲身体验， 对于提高其学习数学的兴趣和积极 性， 加深其对数学知识的理解， 培养其实践能力、 探索能 力和创新精神的意义更大。