二次函数图像解题——根的分布

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二次函数根的分布

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论 ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ） ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（0<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()0f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ） ——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f ()n m ,12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <g 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二次函数图象与二次方程的根的分布

页，为学生指明参考材料的范围，让学生在网络上有目的地搜索与
研究，这样可以避免无意义的“ 冲浪”从而提高学习效率。在解决，这一问题过程中发现，对于我们很多没有网页设计能力的教师而
课题
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＜２才可能满函数值的符号影响图象与轴交点的左右对称轴０一＜位置。下面举例说明。
个大于１的不同根，ｍ的取值范围。求分析：基本方法解出方程的根，构造关足题意，再加上ｏ＜ｊ２＜）ｏＫ￣）０就可以控
ｆ＝乙４＞ △ｍｍＯ
Ｉ
判别式 △＝－８Ｏ对称轴一ｍ－＞，＇
ｍ
内，若有求ｍ的取值范围，若无说明理由。二次函数图象是二次函数ｙａｂ＋２＞＝ｘｘｃ＋ｌ才可能满足题意，再分析：考的表示形式之一，当ｙＯ时，ｂ＋＝＝Ｏ＋ｘｃＯ是Ｘ．加上，（）０就ｌ１＞可以控制函数图象满足题虑函数ｆ（）＝二次方程，所以二次方程是二次函数的特意，因而解法如下。，＋，— ）＋扎（１殊形式。研究二次方程根的分布最基本的ｆ＝一＞ △ ｍ。８Ｏｌ图象的四个方法是解出它的根，造出不等式，构造关因素，这里ｏ＝图ｌ图２解：依题意得：ｍ，，｛１一解之得于参数的不等式，出不等式即可。但这种解１＿ ‘ ｍ，ｍ影响图象开口方向与大小，判别式与方法比较麻烦，利用影响二次函数图象与１＝＋＞）ｍ３ｏ对称轴影响根的分布，但是它们的影响叮轴交点位置的几个因素，来构造关于参数３ｍ＜２／。＜一、以有１２一）ｍ的符号决定，））２与如的不等式较为简单。（实际上是数形结合的ｍ的取值范围为一＜一、。３ｍ＜２／图１图２当ｍＯ如图１只需，１＞、：＜，，（）ｏ厂方法）例２关于的方程ｘ＋ｘｍ＝．若－＇ｍ＋０有两（）０厂一）０当ｍＯ时，２＜（２＜，＞如图２需有，，影响二次函数ｙａ６＋－ｘ＋ｃ图象与轴个根，一根大于２一根小于０求／的取值（）Ｏ２＞一）０综合两种情况只需，，／ｔ＇１＜）Ｏ２＞，交点的因素有：．１ａ的符号及。的绝对值，ｏ范围。１２＜１，２＜。解法如下。）ｏ（）０１一的符号决定抛物线开口方向，ｎ的绝对值影分析：虑函数）考＝解：由题意，考虑函数）册（一）＝ｍ１响抛物线开口的大小。２．判别式Ａｂ４ｃｘ＋ｘｍ图象的四个因素，＝２ｏ２ｍ＋－ｘｌ图象，图可知只需ｍ≠ ＋的如０且厂１（）的符号决定图象与轴交点的个数。．３对称如右图：这里ａｌ开口方向＝，ｆ２＜（）０且ｆ１厂一）０满足题意，２（）（２＜即ｍ轴一决定图象相对于Ｙ轴的左右位置，与大小均定，．对根的分布无Ｄ（ｍ— ）０且２（ｍ＋）ｏ解之得：无６１＜ｍ２３＜ｍ

二次方程根的分布情况归纳(教师版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为X|,X2且X i x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间夕卜，即在区间两侧为2,（图形分别如下）需满足的条件是f n 0 f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： (1)两根有且仅有一根在 m, n 有以下特殊情况：1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。

如方程mx 2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由13m m2得 m 2即为所求；3 2方程有且只有一根，且这个根在区间m, n ，即 0,此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给疋的区间，如右不在，舍去相应的参数。

如方程x 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0 ,求m 的取值围。

分析：①由f 3gf 0 0 即 14m 15 m3 0得出 3 15 m；②由0即 16m 2 4 2m146 0得出m 31 或 m —,2 当m1时，根x23,0 ,即m31满足题意；当m 时，根x 323,0，故 m-不满足题意； 2综上分析，得出3 m至或14m1根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数 m 的取值围。

1解：由 2m 1 gf 0 0即 2m 1 m 1 0，从而得m 1即为所求的围。

二次函数根的分布

特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。
现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”
分成两组研究: 第一组：(1)-(5) 第二组：(6)-(10)
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（2）有两个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
（6）一个正根，一个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3)2 4m 0
x1x2 m 0
m m0
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（6）一个正根，一个负根
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题
解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
＝(3-m)2 -4m 0

- b =- 3-m >0 2a 2 f ( 0 )=m>0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
两个根都小于k
小
y
两个根都大于k
y
两个根都在（k1.k2)内
y
kx
k
x
k1 O
kx 2
结
0
0

b 2a

k

二次函数根的分布

二次函数根的分布二次函数是二次多项式的函数，其一般形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0）。

首先，我们需要了解二次函数的图像特点。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，a>0时开口向上，a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。

其次，我们来探讨二次函数的根的分布。

二次函数的根即方程的解，即使二次方程的解的个数以及位置。

对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以利用判别式来判断解的情况：判别式Δ=b^2-4ac。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

实根的个数与开口方向无关，只与判别式Δ有关。

-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

-当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。

-当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。

值得注意的是，只有在a≠0时，方程为一元二次方程，才能求解二次函数的根。

接下来，我们来分析二次函数根的分布。

1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。

此时，二次函数与x轴交于两个不同的点，也就是有两个实根。

这两个实根的位置由二次函数的对称轴决定，对称轴的方程为x=-b/2a。

假设根的位置为x1和x2，那么有以下三种情况：-当x1和x2均小于对称轴的x坐标时，二次函数开口向上，根的位置为x1>x2-当x1和x2均大于对称轴的x坐标时，二次函数开口向下，根的位置为x1<x2-当x1小于对称轴的x坐标，x2大于对称轴的x坐标时，一个根位于对称轴的左侧，一个根位于对称轴的右侧。

2.当Δ=0时，方程有一个实根，这个实根称为方程的重根。

此时，二次函数与x轴有且仅有一个交点，也就是有一个实根。

这个实根的位置正好位于二次函数的对称轴上，对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 当Δ<0时，方程无实根，但可以有两个共轭虚根。

此时，二次函数与x轴没有交点，也就是无实根。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表〔每种情况对应的均是充要条件〕表一：〔两根与0的大小比拟即根的正负情况〕分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象〔<a 〕得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论〔不讨论a〕()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：〔两根与k 的大小比拟〕分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象〔>a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象〔<a 〕得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论〔不讨论a〕()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：〔根在区间上的分布〕分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内〔图象有两种情况，只画了一种〕一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象〔>a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象〔<a 〕得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论〔不讨论a〕——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，〔图形分别如下〕需满足的条件是〔1〕0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；〔2〕0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：〔1〕两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：假设()0f m =或()0f n =，那么此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二次函数根的分布

二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则【定理3】0021<<<ac x x ，则例3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？【定理4】 1)01=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b；2)01<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab。

例4若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零，则另一根是正根还是负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k ab k af ac b k x x 20)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 此定理可直接由定理4推出，请自证。

二次函数根的分布和最值

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2bx 0根的分布情况设方程ax2 bx 0 a = 0的不等两根为X i, X2且x i ：：：X2，相应的二次函数为f x =ax2■ bx ■ c = 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧为：：：m,x2• n ,（图形分别如下）需满足的条件是对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1) 两根有且仅有一根在 m,n 内有以下特殊情况:1 若f m =0或f n =0，贝眦时f m|_f n ：： 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n 内，从而可以求出参数的值。

如方程 mx 2-m ・2x ・2=0在区间 1 , 3E 有一根，因为 f1=0 , 所以222mx 2 - m2x ^ x-1 mx-2，另一根为一，由13得 m ：：： 2即为所求； mm 32 方程有且只有一根，且这个根在区间 m,n 内，即丄=0，此时由厶=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程x 2 -4 m x 2 m 6 = 0有且一根在区间-3,0内，求m 的取值范围。

分析：①由15f -3Lf 0 :： (即卩 14m 15 m 3 ：： 0得出 -3 ：： m ;②由• ； -0即 16m 2-4 2m 6；=0得 143 3出m~-1或m ,当m = -1时，根x=-2三i 3。

,即m=-1满足题意；当m 时，根2 23 15-3, 0，故m 不满足题意；综上分析，得出 -3：：：m 或m=-1』 2 14根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 -2mx ■ m -1 =0有一正根和一负根，求实数 m 的取值范围。

微专题11 二次函数根的分布问题(解析版)

微专题11 二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ；命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围为_______．【答案】(20,0]-【解析】由命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ，当0m =时，不等式40-<恒成立；OnmyxOn m yxOn myx当0m ≠时，则满足2160m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得160m -<<，综上可得160m -<≤．由命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根，则满足2121244(20)020200m m x x m x x m ⎧∆=-+>⎪+=<⎨⎪=+>⎩，整理得2200020m m m m ⎧-->⎪<⎨⎪>-⎩，所以45020m m m m <->⎧⎪<⎨⎪>-⎩或，解得204m -<<-．所以甲、乙至少有一个为真命题时，有160m -<≤或204m -<<-，可得200m -<≤，即实数m 的取值范围为(20,0]-．故答案为：(20,0]-．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________. 【答案】0a ≤或1a =【解析】若方程2210ax x ++=有且仅有一个负实数根，则当0a =时，12x =-，符合题意. 当0a ≠时，方程2210ax x ++=有实数根，则440a ∆=-≥，解得1a ≤，当1a =时，方程有且仅有一个负实数根1x =-，当1a <且0a ≠时，若方程有且仅有一个负实数根，则10a<，即0a <. 所以当0a ≤或1a =时，关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“0a ≤或1a =”. 故答案为：0a ≤或1a =.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________. 【答案】125k ≤-或3k > 【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则1212120,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k k kk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-或3k >．故答案为：125k ≤-或3k >．例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.故答案为：112m -<<例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,3111,3b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣. 例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．【解析】（1）由题意，一元二次方程有两个正根1x ､2x 故20,(4)16(+1)0k k k k ≠∆=-≥，即0k ≤，且121210104x x k x x k +=>⎧⎪+⎨=>⎪⎩，解得：1k <-．（2）由题意，当0∆≥，即0k ≤时，有121211,4k x x x x k ++==()()2221212121212129(1)93222+252()92442k k x x x x x x x x x x x x k k ++--=-=+-=-=-=-解得：95k =，与0k ≤矛盾.故不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.故答案为：5(,2)2--.例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩ ，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．【解析】令2()22f x x ax a =-++，因为方程2220x ax a -++=有不同的两根且两根在(1,3)内，所以213Δ44(2)0(1)30(3)1150a a a f a f a <<⎧⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪=->⎩ ，解得1125<<a ，故答案为：112,5⎛⎫⎪⎝⎭例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．【解析】（1）设二次函数()2221y x tx t t =-+-∈R 的两个零点分别为1x ，2x ，由已知得120x x +=，而122x x t +=，所以20t =，故0=t ，不等式22210x tx t -+-≥即210x -≥，解得1≥x 或1x ≤-，故不等式的解集为{1x x ≥或}1≤-x .（2）因为方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，所以()()()()222222Δ2t 4t 102t 422t 2t 1042t 4t 10⎧=---≥⎪⎪-<<⎨⎪--⨯-+->⎪-⨯+->⎩，即2240244308150t t t t t ≥⎧⎪-<<⎪⎨++>⎪⎪-+>⎩，解得：13t -<<，即实数t 的取值范围为{}13t t -<<.例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根. 【答案】(1)1m <- (2)7554m -<<- (3)1m ≤- 【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或．②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-． ③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】()()2,13,4--【解析】令()()227132f x x a x a a =-++--，因为程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，所以()()()001020f f f ⎧>⎪<⎨⎪>⎩，即()22220713202821320a a a a a a a a ⎧-->⎪--+--<⎨⎪-++-->⎩，解得21a -<<-或34a <<，所以实数a 的取值范围为()()2,13,4--. 故答案为：()()2,13,4--.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】16(5,]3【解析】关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，令()()214f x x a x =--+，则有()()()2Δ1160113216031630a a f a f a ⎧=-->⎪-⎪<<⎪⎨⎪=-≥⎪=-≥⎪⎩，解得1653a <≤，所以实数a 的取值范围是16(5,]3. 故答案为：16(5,]3例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．【答案】3,0【解析】显然0a ≠，关于x 的方程220ax x ++=对应的二次函数()22f x ax x =++ 当0a >时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向上，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧<⎪⎨<⎪⎩，即2030a <⎧⎨+<⎩，解得a ∈∅；②当0a <时，二次函数()22f x ax x =++的图象开口向下，因为220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1等价于二次函()22f x ax x =++的图象与x 轴的两个零点一个小于0，另一个大于1，所以()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，即2030a >⎧⎨+>⎩，解得30a -<<．；综上所述，实数a 的范围是3,0．故答案为：3,0．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,)2故答案为：5[2,)2例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -< C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<；②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)， ()2(2)4210m m ∆=---=，解得67m =±当67m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为27-- 若627m =-2(2)210x m x m +-+-=72，符合题意综上：实数m 的取值范围为{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值. 【解析】（1）假设存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立，一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，()2400Δ(4)441160k k k k k k ≠⎧∴⇒<⎨=--⋅+=-⎩，(不要忽略判别式的要求)，由韦达定理得1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，()()()()2221212121212129322252942k x x x x x x x x x x x x k +∴--=+-=+-=-=-， 95k ⇒=但0k <，∴不存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立.（2）()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++，∴要使其值是整数，只需要1k +能被4整除，故1124k +=±±±，，，即021335k =---，，，，，， 0k <，235k ∴=---，，.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18C ．21D ．26【答案】C【解析】设2()6f x x x a =-+，其图象为开口向上，对称轴为3x =的抛物线，根据题意可得，3640a ∆=->，解得9a <，因为()0f x ≤解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得(2)0(1)0f f ≤⎧⎨>⎩，即4120160a a -+≤⎧⎨-+>⎩，解得58a <≤，又,a Z ∈所以a =6，7，8，所以符合题意的a 的值之和6+7+8=21. 故选：C例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9【答案】BC【解析】设()26f x x x a =-+，函数图象开口向上，且对称轴为3x =，因此关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足()()2010f f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即2226201610a a ⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩，解得58a <≤，又因为a ∈Z ，所以6a =或7或8，故选：BC.例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______. 【答案】1【解析】方程化为()221860k x x --+=，由()Δ6424210k =-->，12k ≠解得116k <，所以k 最大整数值是1. 故答案为：1. 题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.【答案】3-【解析】a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根， ∴可得2a b +=，10ab t =-≥，1t ∴≥，又()4410t ∆=--≥ ，可得2t ≤，12t ∴≤≤，又()()()()()()222222211121a b ab a b ab a b ab --=-++=-+++()()()()2221114211a b t t ∴--=--+-+，24t =- ，又12t ≤≤， 2340t ∴-≤-≤，故答案为：3-．例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x . (1)当1m =时，求1211+x x 的值； (2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.【解析】（1）当1m =时，方程为2410x x -+=，2(4)4120∆=--=>，所以12124,1x x x x +=⋅=，122112114x x x x x x ∴+⋅+==. （2）因为240x mx m -+=两根120,0x x >>，所以21212Δ1640400m m x x m x x m ⎧=-≥⎪+=>⎨⎪⋅=>⎩，解得14m ≥.因为12124x x x x +=，120,0x x >>，所以12114x x +=，所以21211212121212441111194(4)()(5)524444x x x x x x x x x x x x x x ⎛+=++=++≥+⨯= ⎝，当且仅当21124x x x x =，即1233,48x x ==时等号成立，此时91324m =>符合题意， 124x x ∴+的最小值为94. 例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（） A ．4 B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】因为函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=，所以1012200288b c b c +=++-，解得4b =-，所以()224f x x x c -+=，因为方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，所以()Δ168000c f c =-≥⎧⎨=>⎩，解得02c <≤，所以121212112422x x c x x x x c =++==≥，当c =2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（） A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得12120·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k . 故两个根的倒数和为12121211x x x x x x ++= 1331k k k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+， ∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23. 故选：B例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是( ) A ．12a x x b <<< B ．12x a b x <<< C ．12a x b x <<< D ．12x a x b <<<【答案】A【解析】由题可得：12x x a b +=+，121x x ab =+.由a b <，12x x <，设1x a m =+，则2x b m =-.所以212()()()1a m b m ab m b a m ab x x =+-=+--=+，所以2()1m b a m --=，21m m b a+=-.又a b <，所以0b a ->，所以0m >.故1x a >，2x b <.又12x x <，故12a x x b <<<. 故选：A.例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈． (1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【解析】(1)当0a =时，原不等式可化为()120x x -⋅-<…①．（ⅰ）当0x ≥时，①式化为220x x --<，解得12x -<<，所以02x ≤<；（ⅰ）当0x <时，①式化为220x x -+>，解得x ∈R ，所以0x <．综上，原不等式的解集为(),2-∞．(2)依题意，()()()2211,11,x a x a x af x x a x a x a ⎧-++--<⎪=⎨-++-≥⎪⎩．因为()10f a =-<，且二次函数()211y x a x a =-++-开口向上，所以当x a ≥时，函数()f x 有且仅有一个零点．所以x a <时，函数()f x 恰有两个零点．所以()()()21,21410,10.a a a a f a +⎧<⎪⎪⎪=+-+>⎨⎪=-<⎪⎪⎩解得3a >．不妨设123x x x <<，所以1x ，2x 是方程()2110x a x a -++--=的两相异实根，则12121,1x x a x x a +=+⎧⎨=+⎩，所以121212111x x x x x x ++==．因为3x 是方程()2110x a x a -++-=的根，且312a x +>，由求根公式得()23114a a x ++-+=因为函数()()2114a a g a ++-+在()3,+∞上单调递增，所以()3322x g >=31201x <<123111x x x ++．所以a 的取值范围是21,2⎛ ⎝⎭．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】C【解析】因为2210ax x ++=有一正一负两个根，所以224010a a ⎧∆=->⎪⎨<⎪⎩，解得0a <. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以0m <，且m ∈Z ，则m 的最大值为1-. 故选：C2．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（） A ．(5,4)(4,)--+∞ B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)-- D ．(4,2)(4,)--+∞【答案】C【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（） A ．3 B ．6C ．22D ．42【答案】D【解析】2610x x -+=，364320∆=-=>，故121261x x x x +=⎧⎨=⎩，()()2212121212||43642x x x x x x x x --=+--=故选：D.4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）. A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】令2()2g x x ax a =-+，由方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解可得244011(1)0(1)0a a a g g ⎧∆=->⎪-<<⎪⎨->⎪⎪>⎩，即011131a a a a <⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩或111131a a a a >⎧⎪-<<⎪⎪⎨>-⎪⎪<⎪⎩，解得103-<<a ，故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a C ．1a <- D ．2a <【答案】C【解析】由题意，不妨设2()21f x ax x =++，因为(0)10=>f ，且()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根，所以2()21f x ax x =++的图像开口向下，即0a <，故对于选项ABCD ，只有C 选项：1a <-是0a <的充分不必要条件. 故选：C.6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞【答案】B【解析】由题意，{}2320{|12}A x x x x x =-+<=<<若A B ⋂≠∅，即方程2210ax x --=存在根在区间(1,2)（1）若102102a x x =∴--=∴=-，不成立；（2）若0a ≠，由于0x =不为方程的根，故0x ≠，则222221211210(1)1x ax x a x x x x+--=⇔==+=+- 由于21115(1,2)(,1)(1)1(,3)24x x x ∈∴∈∴+-∈综上，实数a 的取值范围是5,34⎛⎫⎪⎝⎭故选：B7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（） A ．{}12a a -<【答案】B【解析】由题意可得()2211220a a a a +-+-=+-<，解得21a -<<.故选：B.8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-【答案】A【解析】因为元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，令2()(1)1f x x m x =+++，则由题意可得(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即10,30,1330,m m >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩解得1333m -<<-，又m Z ∈，可得4m =-. 故选：A 二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）. A ．24a b =B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c = 【答案】ABD【解析】由题意，不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，所以240a b ∆=-=，24a b ∴=，所以A 正确；对于B ：2+x ax b c +<变形为2+0x ax b c +-<，其解集为(3,1)-，所以231? 314? a b c a b -+=-⎧⎪-⨯=-⎨⎪=⎩，得214a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故7a b c ++=成立，所以B 正确；对于C ：若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21204a x xb =-=-<，所以C 错误；对于D ：若不等式2x ax bc 的解集为12(,)x x ，即20x ax b c 的解集为12(,)x x ，由韦达定理知：21212,4a x x a x x b c c +=-=-=-，则222121212||()44()244a x x x x x x a c c -+---=，解得4c =，所以D 正确.故选：D.10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（） A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m【答案】ACD【解析】设()24f x x x m =-+，则二次函数()f x 的图象的对称轴为2x =．当4m =时，方程即()224420x x x -+=-=，求得2x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故4m =是方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故A 满足条件；当5m =时，方程即()224521x x x -+=-=-，求得x ∈∅，不满足方程有正实数根，故5m =不是方程240x x m -+=有正数根的充分条件，故排除B ．当1m =时，方程即()224123x x x -+=-=，求得23=x但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故1m =方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故C 满足条件；当12=-m 时，方程即24120x x --=，求得2x =-，或6x =，满足方程有正根，但由方程240x x m -+=有正数根，可得()240f m =-≤，即4m ≤，故12=-m 方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件，故D 满足条件，故选：ACD ．11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（） A ．3- B ．18 C ．14 D ．1【答案】BC【解析】由题意22x x λ=--在(1,0)-上有解．∵(1,0)x ∈-，∴222(1)1(0,1)x x x λ=--=-++∈，故选：BC ．12．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确；对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误；对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC 【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f fm f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-，又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．【答案】a <-2【解析】∵关于x 的方程 210x ax ++=的一根大于1，另一根小于1，令2()1=++f x x ax ，则(1)20f a =+<，求得2a <- ，故答案为：2a <-15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．【答案】（52，＋∞）【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞． 16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-，所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.故答案为：(),3-∞-.17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1- 【解析】由()()2320x x x -+-≤，得 23020x x x ⎧-≥⎪⎨+-≤⎪⎩或 23020x x x ⎧-≤⎪⎨+-≥⎪⎩，解得 13x ≤≤，所以集合{|31A x x =-≤≤- 或}13x ≤≤，因为A B ⊆，令()212f x x ax =--，则 ()()3030f f ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩，即 9312093120a a +-≤⎧⎨--≤⎩，解得 11a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,1-故答案为：[]1,1-四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．【解析】（1）若命题q 为假命题，则对()0,x ∀∈+∞，2390x mx -+≥为真命题； 239mx x ∴≤+，即93m x x ≤+； 9926x x x x +≥⋅=（当且仅当9x x =，即3x =时取等号），36m ∴≤，解得：2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2-∞.（2）由（1）知：若命题q 为真命题，则2m >；若命题p 为真命题，则Δ1400m m =->⎧⎨>⎩，解得：104m <<；若p 真q 假，则104m <<；若p 假q 真，则2m >；综上所述：实数m 的取值范围为()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．【解析】令2()57f x x x a =--，则根据题意得(1)057012(0)000(1)0202(2)0201406f a a f a a f a a f a a ->⇒+->⇒<⎧⎪<⇒-⇒⎪⎨<⇒--⇒-⎪⎪>⇒-->⇒<⎩， ∴06a <<.故实数a 的取值范围(0,6).20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）1.已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)()()2213f x x a x =+-+的对称轴为1x a =-要想方程()0f x =在()0,3有两个根，需要满足()()()100001330f a f a f ⎧-<⎪>⎪⎨<-<⎪⎪>⎩解得：(1,13a ∈-(2)[]1,2x ∃∈，()22130x a x +-+>成立，即3122x a x ⎛⎫->-+ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上有解，只需1a -大于()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小值，其中()322x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为对勾函数，在3x ⎡∈⎣上单调递增，在)3,2x ∈上单调递减，又()131222g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()2372244g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以最小值为()12g =- 故12a ->-，解得：1a >-，实数a 的取值范围为()1,-+∞21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； (2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.【解析】（1）∵()22820440x x x -+=-+>∴()()221940f x ax a x a =++++<在R 上恒成立∵0a ≠，则()()20Δ414940a a a a <⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得12a <-综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）∵()()0,1f c f a b c ==++，则c 为奇数，a b +为偶数当Z x ∈时，则有：1.若a b 、均为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根2.若a b 、均为奇数时，则有①若x 为偶数时，则2ax bx +为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根②若x 为奇数时，则()2ax bx x ax b +=+为偶数∴()20f x ax bx c =++≠，即方程()0f x =无整数根综上所述：方程()0f x =无整数根（3）()()2221f x x k x k =+-+由题意可得()()222Δ21402112120k k k f k k ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪=+>⎪⎩，解得2k<-则k 的取值范围为(),2∞--.。

二次函数根的分布(一)

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点. 即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
y
ac O
bx
y
c Oa
b x
实根分布探究
【探究一】方程ax2 bx c 0两(a根 0均) 在数应满足什么条件。
（第一课时）
学习目标
根据一元二次方程根的分布情况, 确定部分类型中参数的取值范围。
复习
函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。等价关系
方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
复习
零点存在判定定理
x1, x2 (k1, k2 )
备
注
y
ykxFra bibliotek0b 2a
k
f (k) 0
k1
k2 x
0
b k1 2a k2
f (k1) 0, f (k2 ) 0
条件中 0均可
换为 f b 0 2a
课后思考
1.方程ax2 bx c 0(a 0)一根为正,一根为负，系
数应满足什么条件。
2.方程 ax2 bx c 0(a 0)一根大于k,另一根小于k，
系数应满足什么条件。
3.方程ax2 bx c 0(a 0)仅有一根在区间（k1,k2）
内，系数应满足什么条件。
y
（f k1） 0
（f k1） 0
（f k2） 0
（f k2） 0
f ( b ) 0 2a
0

人教版高中数学课件：二次函数根的分布

(x1－m)＋(x2－m)>０．
(3)若x1＜m＜x2，则应有 f(m)＜０，或 (x1－m)(x2－m)＜０．
y
x1 O
m x 2 x
(4)若m＜x1＜x2＜n，则应有 Δ＝b2－４ac＞０，
y
f(m)＞０，
f(n)＞０， m＜－
b 2a
＜n.
x1 m O
x2
n
x
(5)若x1＜m＜n＜x2，则应有 f(m)＜０，
ab 2
f(x)为二次函数，f(c＋x)=f(c - x)
-1 a O
1
2b 3
ab
x
∴ f(2x)< f(3x)
若x=0，则1<2x<3x x 2 ∴ f(2x)< f(3x) 若x=0，则1<2x<3x，综上所得，f(2x)≤ f(3x)。
例3 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，当x∈[－1，1]时，试证： (1)当b＜－2时，f(x)是递减函数； (2)当b＜－2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|≥成 2 立。 b b
Δ＝m2＋４(m－１)≥０， m≥－２＋ x1 x2 ＝
1 m 1
2 或m≤－２－ 2
， 2 2
＞０，
m m 1
m＜１，
x1＋x2＝－
∴2
＞０，
０＜m＜１．
2 2 －２.
2 －２≤m＜１
由此得，实数m的范围是m≥ ．
根的分布
x2>x1>m
x1＜x２＜m
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
函数图像 m x1 x2 x1 x2 m x1
有两相等实根x1 ＝x2＝所有不等于－的实数空集

经典例题二次函数根的分布(供参考)

二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k 的大小比较）论论论论表三：（根在区间上的分布）二、经典例题例1：（实根与分布条件）已知βα,是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。

变式：关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。

例2：（动轴定区间）函数32)(2--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围是？变式2：函数32)(2+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。

列3：（定轴动区间）求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的值域。

变式3：已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取值范围。

例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式。

变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。

例5：（恒成立问题）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围。

变式5：已知函数1)(2+-=mx x x f 在)2,21(上恒大于0，求实数m 的取值范围。

三、课后练习1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

2、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

专题二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式(解析版)

专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式【考点预测】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：（1）按二次项系数a 的符号分类，即0,0,0a a a >=<；（2）按判别式的符号分类，即0,0,0∆>∆=∆<；（3）按方程20ax bx c ++=的根1x 、2x 的大小分类，即121212,,x x x x x x >=<．【典型例题】例1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩； OnmyxOn m yxOn myx（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->，当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠；当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >；例2．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0，当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅，当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．例3．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围. 【解析】（1）由题意可得1-和13是方程210+-=ax bx 的两个实根，则11,3111,3b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩解得3,2a b ==.（2）因为31b a =--，所以()23110ax a x -+-=，由题可知Δ0>，则1a <-或19a >-，由题意，方程有两个负根，即310,10,a a a +⎧<⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得103-<<a .综上，实数a 的取值范围是109aa ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣. 例4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？【解析】（1）二次函数22y x x a =-+的图象是开口向上的抛物线，故方程220x x a -+=的一个根大于1，另一个根小于1，则2120a -+<，解得1a <，所以a 的取值范围是{}1a a <．（2）方程220x x a -+=的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3，作满足题意的二次函数22y x x a =-+的大致图象，由图知，120120440960a a a a ++>⎧⎪-+<⎪⎨-+<⎪⎪-+>⎩ ，解得30a -<<．所以a 的取值范围是{}30a a -<<．（3）方程220x x a -+=的两个根都大于0，则Δ4400a a =-≥⎧⎨>⎩，解得01a <≤，所以a 的取值范围是{}01a a <≤．例5．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根. 【答案】(1)1m <- (2)7554m -<<- (3)1m ≤-【分析】设()()22126y f x x m x m ==+-++，一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定. （1）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()20f <，即()441260m m +-++<，得1m <-．（2）设()()22126y f x x m x m ==+-++．依题意有()()()02601450410140f m f m f m ⎧=+>⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得7554m -<<-．（3）设()()22126y f x x m x m ==+-++．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得()()Δ0002102f m ⎧⎪≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪-⎩，即153.311m m m m m ≤-≥⎧⎪>-∴-<≤-⎨⎪<⎩或． ②有一个正根，一个负根，此时可得()00f <，得3m <-．③有一个正根，另一根为0，此时可得()6203210m m m +=⎧∴=-⎨-<⎩，．综上所述，得1m ≤-．【过关测试】一、单选题1．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -< C ．27a <-D ．2011a -<< 【答案】D【解析】当0a =时，()2290ax a x a +++=即为20x =，不符合题意；故0a ≠，()2290ax a x a +++=即为22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，令2219y x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由于关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，则()229y ax a x a =+++与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故1x =时，0y <，即211190a ⎛⎫++⨯+< ⎪⎝⎭，解得211a <-，故2011a -<<，故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<； ②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意；③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)， ()2(2)4210m m ∆=---=，解得67m =±当67m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为27-- 若627m =-2(2)210x m x m +-+-=72，符合题意综上：实数m 的取值范围为{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦故选：D3．（2022·江苏·高一专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（） A ．1- B ．4- C ．4-或1 D ．1-或4【答案】A【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根， ()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m ，解得：1m ，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.4．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1【答案】B【解析】由题意可得∆2()4(3)0k k =--+，解得6k 或2k ≤-，设两个为1x ，2x ，由两根为正根可得1212·30x x k x x k +=>⎧⎨=+>⎩，解得0k >，综上知，6k .故两个根的倒数和为12121211x xx x x x ++=1331k k k==++，6k ，∴1106k <，3102k <，故33112k <+， ∴12331k+，故两个根的倒数和的最小值是23. 故选：B5．（2022·全国·高一专题练习）已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（） A ．34a <≤ B ．14a <≤ C ．1a > D ．4a ≤【答案】A【解析】设方程240x x a -+=的两根为12,x x ，依题意有：121216404a x x x x a ∆=-≥⎧⎪+=⎨⎪=⎩，因12,x x 都大于1，则122x x +>，且12()1(1)0x x ->-，显然122x x +>成立，由12()1(1)0x x ->-得1212()10x x x x -++>，则有410a -+>，解得3a >，由1640a ∆=-≥解得：4a ≤，于是得34a <≤，所以a 的取值范围是34a <≤. 故选：A6．（2022·全国·高一期中）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（） A ．(]6,7 B ．[)1,0- C ．[)(]1,06,7-⋃ D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C7．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，则关于x 的不等式2()0ax ac b x bx -++>，以下结论正确的是（） A ．当0c >时，解集为{}|0x x c < D ．以上都不正确【答案】C【解析】由题意，121,x x b ==为方程2320ax x -+=的两个根代入方程2320320a ab b -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：1a =，2b =于是关于x 的不等式2()0ax ac b x bx -++>，即为20x cx ->令2120,0,x cx x x c -===，对应的二次函数开口向上当0c >时，解集为{|0x x <或}x c > 当0c 时，解集为{|0}x x ≠ 当0c <时，解集为{|x x c <或0}x > 故选：C8．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 A ．{}34a a <时，解得1x a <<，此时解集中的整数为2，3，则34a <；当1a <时，解得1<<a x ，此时解集中的整数为0，-1，则21a -<-.当1a =时，不符合题意.故实数a 的取值范围是{|21a a -<-或}34a <，故选D ．二、多选题9．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（） A ．5- B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <- 解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=-（1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<-此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤；（2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数，则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-. 故选：ABD.10．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数23y ax bx =+-，则下列结论正确的是（） A ．关于x 的不等式230ax bx +-<的解集可以是{}3x x > B ．关于x 的不等式230ax bx +->的解集可以是∅ C ．函数23y ax bx =+-在()0,∞+上可以有两个零点D ．“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >” 【答案】BCD【解析】若不等式230ax bx +-<的解集是{}3x x >，则0a =且330b -=，得1b =，而当0a =，1b =时，不等式230ax bx +-<，即30x -<，得3x <，与3x >矛盾，故A 错误；取1a =-，0b =，此时不等式230x -->的解集为∅，故B 正确；取1a =-，4b =，则由2430y x x =-+-=，得1x =或3，故C 正确；若关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根，则0,30,a a≠⎧⎪⎨-<⎪⎩得0a >，若0a >，则2120b a ∆=+>，故关于x 的方程230ax bx +-=有两个不等的实根12,x x ，且1230x x a=-<，即关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根．因此“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >”，故D 正确．故选：BCD ．11．（2022·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是（）A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9}B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1} 【答案】BCD【解析】方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是()2340m m ∆=--≥，解得(][),19,m ∈-∞+∞，A 错误；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是()23400m m m ⎧∆=-->⎪⎨<⎪⎩，解得(),0m ∈-∞，B 正确；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是()2340030m m m m ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪->⎩，解得(]0,1m ∈，C 正确；方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的充要条件是()2340m m ∆=--<，解得()1,9m ∈，()()1,91,⊆+∞，故必要条件是m ∈{m |m >1}，故D 正确.故选：BCD.12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．13 B ．14C ．15D ．17【答案】ABC【解析】设二次函数f (x )=x 2-8x +a ，开口向上，其对称轴为x =4，因为一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数∴3个整数解必然是3，4，5，∴根据对称性，满足f （2）>0且f （3）≤0，故4160a -+>，且9240a -+≤，即12<a ≤15，a =13，14，15. 故选：ABC. 三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．【答案】54a -<≤-【解析】由题意，方程()2250x a x a +=－－－的两根都大于2，令()()225f x x a x a =+－－－，可得()020222f a⎧⎪≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩，即2165024a a a ⎧≥⎪+>⎨⎪->⎩，解得54a <≤－－．故答案为：54a -<≤-.14．（2022·全国·高一专题练习）方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为__．【答案】322m >+【解析】令()()211f x mx m x =--+，图象恒过点()0,1，方程()211mx m x --+=0在区间()0,1内有两个不同的根，()()2010********Δ0m m m m m f m m >⎧⎧⎪>-⎪⎪<<⎪⎪∴⇒>⎨⎨⎪⎪>-->⎪⎪⎩>⎪⎩，解得322m >+ 故答案为：322m >+15．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．【答案】()0,1.【解析】方程()()()()2211010x a x a a x a x a ⎡⎤+++=⇒--+=⎣⎦－∴方程两根为12,1x a x a ==+，若要满足题意，则01113a a <<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，故答案为：()0,1.16．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若A B ，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】()1,2-【解析】原不等式220x x a a -+-≤可变形为()()10x a x a -+-≤，当1a a ，即12a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，满足题意；当1a a <-，即12a <时，{}1A x a x a =≤≤-，所以112a a ≥-⎧⎨-<⎩，解得1a >-，所以112a -<<；当1a a ，即12a >时，{}1A x a x a =-≤≤，所以21112a a a ⎧⎪<⎪-≥-⎨⎪⎪>⎩，解得122a <<.综上可得1a 2-<<，即()1,2a ∈-；故答案为：()1,2- 四、解答题17．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()()3f x x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式()0f x <；(2)当()3x ∈+∞，时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围. 【解析】(1)当3a <时，不等式()0f x <的解集为(),3a ，当3a =时，不等式()0f x <的解集为∅，当3a >时，不等式()0f x <的解集为()3,a .(2)因为()3x ∈+∞，，所以由()9f x ≥-可得93x a x --≥-，93a x x ≤+-，因为()999332339333x x x x x x +=-++≥-⋅=---，当且仅当933x x -=-，即6x =时等号成立，所以9a ≤.18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()21f x x x a a =++-，(1)当2a =时，求不等式()0f x <的解集. (2)求不等式()2f x x <的解集.【解析】（1）当2a =时，2()20f x x x =+-<，解得为21x -<<，所以解集为{|21}x x -<< （2）由()2f x x<可得2(1)0x x a a -+-<，[(1)]()0x a x a ---<①当1a a ->，即12a <时，不等式2(1)0x x a a -+-<解集为(,1)a a -； ②当1a a -=，即12a =时，不等式可化为2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时解集为∅；③当1a a -<，即12a >时，不等式2(1)0x x a a -+-<解集为(1,)a a - 综上所述，当12a <时，解集为(,1)a a -；当12a =时，解集为∅；当12a >时，解集为(1,)a a -. 19．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数()()222,R f x ax bx b a a b =++-∈，当()1,3x ∈-时，()0f x >；当()(),13,x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <. (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：()()220R ax b c x c c +-+>∈.【解析】(1)由题意可知：()2220f x ax bx b a =++-=的两根为1,3- ，故21323bab a a⎧-=-+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ ，即得12a b =-⎧⎨=⎩ ,即1,2a b =-= ； (2)由（1）可知：()()220R ax b c x c c +-+>∈，即2(2)20x c x c ---< ，解方程2(2)20x c x c ---=得两根为122,x x c ==- ，当2c -> ，即2c <-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x x c <<- ；当2c -= ，即2c =-时，2(2)20x c x c ---<解集为∅；当2c -< ，即2c >-时，2(2)20x c x c ---<解集为{|2}x c x -<< ；故2c <-时，解集为{|2}x x c <<-；2c =-时，解集为∅； 2c >-时，解集为{|2}x c x -<< .20．（2022·湖南·高一课时练习）当k 为何值时，关于x 的方程()22340x k x k +-+=分别满足：(1)无实数根？(2)有两正实根？【解析】(1)∵关于x 的方程()22340x k x k +-+=无实数根，∴()243440k k ∆=--⨯<， ∴21090k k -+<，解得19k <<，即()1,9k ∈.(2)∵关于x 的方程()22340x k x k +-+=有两正实根，∴()()2Δ4344023040k k k k ⎧=--⨯≥⎪-->⎨⎪>⎩，解得01k <≤，即(0,1]k ∈.21．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2220x mx m +++=分别满足下列条件： (1)当4m =时，两根分别为1x 、2x ，求2212x x +的值； (2)m 为何值时，有一正根一负根； (3)m 为何值时，有两个不相等的正根．【解析】（1）当4m =时，方程变为2860x x ++=，由韦达定理得，12128,6x x x x +=-=，所以212122122()2642652x x x x x x =+-=⨯=+-.（2）由题意，1200x x ∆>⎧⎨<⎩，即244(2)020m m m ⎧-+>⎨+<⎩，解得2m <-.（3）由题意1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即244(2)02020m m m m ⎧-+>⎪->⎨⎪+>⎩，解得21m -<<-.22．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程2(21)70x m x m -+++=有两个不等的实根1x ，2x ．（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数m 的取值范围；（2）113x <<，24x >，求参数m 的取值范围．【解析】令()2(21)7f x x m x m =-+++，（1）两根一个根大于1，一个根小于1，等价于()10f <，则()12170m m -+++<，解得7m >；（2）若113x <<，24x >，则(1)0(3)0(4)0f f f >⎧⎪<⎨⎪<⎩，即1(21)709(21)37016(21)470m m m m m m -+++>⎧⎪-+⋅++<⎨⎪-+⋅++<⎩，即7135197m m m ⎧⎪<⎪⎪>⎨⎪⎪>⎪⎩，解得1977m <<.。