2017含参不等式恒成立存在性问题

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含参数不等式恒成立问题的解题策略

解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()Mx f ≥⇔min （()M x f ≥有解⇔M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔m a x（()M x f ≤有解⇔M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s in 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。

【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442<+-=∆m m m 2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (故由①②③可知：21-≥m . 例二定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．()()()2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ， 2933++-<⋅x x x k 即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立.令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立.令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线21k x +=当021<+k ,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当021≥+k 时,对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-+=∆≥+⇔02410212k k ，解得2211+-<≤-k综上所述,当221+-<k 时,()()02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.t =m分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式1323-+<x x k 恒成立,只要122-<k 说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例三已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题29 含参不等式的存在性与恒成立问题答案解析

【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】方法一分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.例1 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的分离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用分离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式分离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：（1）()()f x g a <恒成立⇔max ()()f x g a <；（2）()()f x g a ≤恒成立⇔max ()()f x g a ≤；（3）()()f x g a >恒成立⇔min ()()f x g a >。

（4）()()f x g a ≥恒成立⇔min ()()f x g a ≥.【变式演练1】已知函数()f x =在(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【答案】3[,)4-+∞．【解析】函数()f x 在(,1]-∞上有意义，等价于1240x x a ++≥在(,1]-∞上恒成立，即11(),x (,1]42x x a ≥-+∈-∞恒成立，记11()(),x (,1]42x xg x =-+∈-∞，即等价于max (),x (,1]a g x ≥∈-∞.因为()g x 在(,1]-∞上是增函数，因此()g x 的最大值为(1)g . 所以max 3()(1)4a g x g ≥==-，于是a 的取值范围是34a ≥-，故应填3[,)4-+∞．【变式演练2】若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论.例 2 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈，其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f x a <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤.【变式演练3】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的有关知识求解；（2）借助题设运用分类整合思想将不等式进行等价转化,再运用导数知识求解．（2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x--'=∈+∞==，当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =，所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练4】设函数2()1xf x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。

含参不等式恒成立问题

含参不等式恒成立问题湖北省红安县大赵家高中彭春齐“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。

含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成了历年高考的一个热点。

而最常见的就是不等式恒成立求参数的取值范围，下面本文就介绍处理此类问题常见的方法，希望对面临高考的学生有所帮助。

1..函数性质法()0f x >恒成立⇔()min 0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）例1.已知()()232728,2440,f x x x a g x x x x =--=+-当[]3,3x ∈-时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

解析：设()()()322312F x f x g x x x x a =-=-++-，则由题可知()0F x ≤对任意[]3,3x ∈-恒成立，即当[]3,3x ∈-时()max 0F x ≤，令()266120,F x x x '=-++=得1x =-或2x =而()()()()17,220,345,39,F a F a F a F a -=-=--=-=-()max 450F x a ∴=-≤，即45a ≥例2.若对任意的实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求k 的取值范围。

解法1：原不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++>令cos ,t x =则1t ≤，即()()22222121f t t kt k t k k k =-++=--++在[]1,1t ∈-上恒大于0.（1）若1,k <-要使()0,f t >即()()min 10f t f =->，1,2k k >-∴不存在；（2）若11,k -≤≤要使()0,f t >即()()2min 210f t f k k k ==-++>；11k ∴<<1 1.k ∴≤（3）若1,k >要使()0,f t >即()()min 10f t f =>，1k ∴>.由（1），（2），（3）可知，1k >当然由三角函数的有界性可知，此题实质是二次函数在指定区间上的恒成立问题，因此可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

【高考数学解题指导】含参不等式恒成立存在问题的处理策略初探

以函数为载体的不等式恒成立或存在问题含参不等式的恒成立或存在问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.，此类问题处理的手段也多，下面我们来一一探索！第一讲含参不等式恒成立存在问题的处理策略初探一、不等式恒成立与有解的区别不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.结论1：设函数f(x)在区间D 内有最大值max [()]f x ，最小值min [()]f x ，则()a f x >在D 内恒成立⇔max [()]a f x >()a f x ≥在D 内恒成立⇔max [()]a f x ≥ ()a f x <在D 内恒成立⇔min [()]a f x <()a f x ≤在D 内恒成立⇔min [()]a f x ≤结论2：分离参数后的函数不存在相应最值的含参数不等式恒成立问题.首先给出确界的定义：函数()()y f x x D =∈的上确界为min{|(),}M f x M x D ≤∈，记作M 上；函数()()y f x x D =∈的下确界为max{|(),}M f x M x D ≥∈，记作M 下.若函数()f x 在开区间D 内无最值，但有上确界M 上或下确界M 下，则()a f x >在D 内恒成立⇔a M ≥上()a f x ≥在D 内恒成立⇔a M ≥上 ()a f x <在D 内恒成立⇔a M ≤下()a f x ≤在D 内恒成立⇔a M ≤下结论3：设函数f(x)在区间D 内有最大值max [()]f x ，最小值min [()]f x ，则()a f x >在D 内有解⇔min [()]a f x >()a f x ≥在D 内有解⇔min [()]a f x ≥ ()a f x <在D 内有解⇔max [()]a f x <()a f x ≤在D 内有解⇔max [()]a f x ≤比如函数2()=23(03)f x x x x --<<的上确界(3)=0M f =上,下确界(1)=4M f -=下，其中M 下也是这个函数的最小值，但M 上不是这个函数的最大值，只是上确界而已.二、两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max ()[()]a f x x D a f x ≥∈⇔≥在上恒成立；min ()[()]a f x x D a f x ≥∈⇔≥在上有解思路2、min ()[()]a f x x D a f x ≤∈⇔≤在上恒成立；max ()[()]a f x x D a f x ≤∈⇔≤在上有解三、恒成立或存在问题在解题过程中大致可分为以下几种类型（一）一次函数型【例1】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围.【解析】将m 视为变量，即不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x . 【方法小结】对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有()0f x >⇔恒成立()0,()0f m f n >⎧⎨>⎩()0f x <恒成立()0()0f m f n <⎧⇔⎨<⎩（二）二次函数型【例2】已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【解析】()y f x =的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤【变式】若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【分析】要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.【解析】22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a >a ∴不存在. ⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <-74a ∴-≤<- 综上所述72a -≤≤.【变式1】函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.法一：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a . 法二：（运用根的分布）⑴22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a ∴不存在. ⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a⑵ 22a->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥-54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a .【点评】此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题.【方法小结】对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a【例3】若对于任意角θ总有2sin 2cos 410m m θθ++-<成立，求m 的范围. 【解析】此式是可分离变量型，由原不等式得m (cos )cos 242θθ+<，又cos θ+>20，则原不等式等价变形为222m <+cos cos θθ恒成立.根据边界原理知，2m 必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值，这样问题化归为怎样求cos cos 22θθ+的最小.因为2cos cos )(2+=θθθf =2cos +2-4cos 4cos 244-4=0cos 2cos 2θθθθθ=++-≥++（）（+2）+4即cos θ=0时，有最小值为0，故m <0.【变式2】已知函数3()(ln ),()3a f x x x m g x x x =+=+．（1）若2m =，求()f x 的单调区间；（2）若32m =时，本等式()()f x g x ≥有解，求实数a 的取值范围.此种策略是针对不等式中的参数无法分离出来或不需要分离出来而提出的【例4】设函数13)(3+-=x ax x f 对于任意[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，求实数a 的值。

关于高考数学中的恒成立问题与存在性问题

“恒成立问题”的解法常用方法：①函数性质法； ②主参换位法; ③分离参数法；④数形结合法。

、函数性质法 1. 一次函数型：给定一次函数f(x) ax b(a 0),若y f (x)在［m,n ］内恒有f (x) 0 ,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于 ;(;))【同理，若在［m,n ］内恒有f(x) 0,A则有f(m)阴7例1.对满足 * m 略解：不等式即为 2x (x 1)p x 2 x 的取值范围。

2的所有实数 P ,求使不 (x 1)p x 2 2x 10,设 f (p) 1,则f(p)在［2,2］上恒大于0,故有: f( 2) f(2) 0, 即 x 2 x 4x 3 0 1 或 x 3. 2.二次函数: ①.若二次函数 f(x) 2 ax bx c(a 0) 0 (或0 )在 R 上恒成立，则有 a 0 (或 a 0); 0 0②.若二次函数 f(x)ax 2 bx c(a 0) 0 (或 0 )在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.已知函数f x 2mx 2 24 m x 1, g x mx ，若对于任一实数 x , f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数 m 的取值范围是 A . (0 , 2) B• (0 , 8) C (2 , 8) D •(—汽 0)选Bo例3.设f (x) 2x 2ax 2,当x ［ 1,)时, 都有 f (x) a 恒成立,a 的取值范围。

解：设F(x)f (x) a 2ax 2 a , (1)当 4(a 1)(a2) 0时，即2 a1时,对一切x ［ 1, ),F(x) 0恒成立;(2)当4(a 1)(a 2) 0时，由图可得以下充要条件:f( 1) 0 即 a 3 03.其它函数:容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

含参不等式恒成立问题—任意性与存在性

一、基础知识点：
１、f(x)=ax+b,x ∈ [α,β]，则：
f(x)>0恒成立＜
＞
f()>0
f()>0
f(x)<0恒成立＜
＞
f()<0
f()<0
1、一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。
y
α
o
β
x
２、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0
a >0
或
C>0
Δ=b2-4ac<0
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3）若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 能成立，
3] ，使 f ( x) g ( x) 恒成立，
（3）若对 x [3，
求k的取值范围；
3] ，使 f ( x1 ) g ( x若 x1，x2 [3，
例：已知函数 f ( x) 8 x 2 16 x k ，g ( x) 2 x3 5 x 2 4 x ，其中 k 为实数 .
（4）若 x0 [3，
求k的取值范围；
x D ：
x0 D ：
f ( x) g ( x)]min 0 f ( x ) g ( x ) [____________
f ( x) g ( x)]max 0
f ( x) g ( x) [____________
f min ( x) 0

“含参数不等式的恒成立”问题及其解法

“含参数不等式的恒成立”问题及其解法“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高中数学以及高考的常见问题，它一般以函数、数列、三角函数、解析几何为载体，具有一定的综合性。

解决这类问题的主要方法是最值法：若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一已知函数()()1112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f .①求()x f 的反函数()x f 1-;②若不等式()()()x a a x f x ->--11对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析：本题的第二问将不等式()()()x a a x f x ->--11转化成为关于t 的一次函数()()211a t a t g -++=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立的问题. 那么，怎样完成这个转化呢？转化之后又应当如何处理呢？【解析】 ①略解()()10111<<-+=-x xx x f②由题设有()()x a a xx x->-+-111,∴x a a x ->+21,即()0112>-++a x a 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 恒成立. 显然,a ≠-1令x t =,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈41,161x 可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t则()()0112>-++=a t a t g 对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 恒成立.由于()()211a t a t g -++=是关于t 的一次函数.（在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41t 的条件下()()211a t a t g -++=表示一条线段，只要线段的两个端点在x 轴上方就可以保证()()0112>-++=a t a t g 恒成立）∴()()451011210114102104122<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-++>-++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a g g例二定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。

《含参不等式恒成立或存在性问题》热点题型探究

《含参不等式恒成立或存在性问题》热点题型探究含参不等式恒成立和存在性问题覆盖知识点多，综合性强，解法灵活，是高考的高频题型，常见解决方法有以下几种．方法一直接法【例1】已知函数y ＝lg[x 2＋(a －1)x ＋a 2]的定义域为R ，实数a 的取值范围为________. 解析由题设可将问题转化为不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2>0对x ∈R 恒成立，即有Δ＝(a －1)2－4a 2<0，解得a <－1或a >13.所以实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【例2】已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围为________.解析据题意⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )，有f (x )>0对x ∈R 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；f (x )<0对x ∈R 恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ<0.方法二最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的常用处理方法，其一般类型有：f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min ，f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ；f (x )>a 有解⇔a <f (x )max ，f (x )<a 有解⇔a >f (x )min .【例3】已知f (x )＝7x 2－28x －a ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，当x ∈[－3,3]时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解析设F (x )＝f (x )－g (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －a ，则由题可知F (x )≤0对任意x ∈[－3,3]恒成立，令F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12＝0，得x ＝－1或x ＝2，而F (－1)＝－7－a ，F (2)＝20－a ，F (－3)＝45－a ，F (3)＝9－a ，所以F (x )max ＝45－a ≤0，所以a ≥45，即实数a 的取值范围为[45，＋∞)．【例4】函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．解析若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，即对x ∈[1，＋∞)，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，由于不等式的分母x ∈[1，＋∞)，只需x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立即可，即需抛物线g (x )＝x 2＋2x ＋a 在x ∈[1，＋∞)上的最小值g (x )min ＝g (1)＝3＋a >0，即a >－3.故实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．【例5】设函数f (x )＝x －1x －a ln x (a ∈R )，g (x )＝x －ln x －1e ，若在区间[1，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)≥g (x 0)成立，求a 的取值范围．解析记h (x )＝f (x )－g (x )＝(1－a )ln x －1x ＋1e (x >0)，则h ′(x )＝(1－a )x ＋1x 2(x >0)．①若a ≤1，当x ∈[1，e]时，h ′(x )>0，h (x )在区间[1，e]上是增函数，[h (x )]max ＝1－a ≥0，所以a ≤1符合题意．②若1＜a ≤1＋1e ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝1－a x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1＞0，h (x )在区间[1，e]上是增函数，[h (x )]max ＝1－a ≥0，即a ≤1，与1＜a ≤1＋1e 矛盾，所以1＜a ≤1＋1e不符合题意．③若1＋1e <a <2，h ′(x )＝1－a x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，h ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，e 时，h ′(x )<0.所以[h (x )]max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝(a －1)ln(a －1)－(a －1)＋1e .再记φ(t )＝t ln t －t ＋1e ⎝⎛⎭⎫1e <t <1，φ′(t )＝ln t <0，则φ(t )在⎝⎛⎭⎫1e ，1上单调递减，所以φ(t )<φ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e<0，因此[h (x )]max ≥0无解，即1＋1e<a <2不符合题意．④若a ≥2，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝1－a x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a －1≤0，h (x )在区间[1，e]上是减函数，[h (x )]max ＝1e－1<0，因此[h (x )]max ≥0无解，即a ≥2不符合题意．综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．方法三分离变量法)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强．一般地有f (x )<g (a )(a 为参数)恒成立⇔g (a )>f (x )max ，f (x )>g (a )(a 为参数)恒成立⇔g (a )<f (x )min .【例6】已知函数f (x )＝ax －4x －x 2，x ∈(0,4]时，f (x )<0恒成立，求实数a 的取值范围．解析将问题转化为a <4x －x 2x对x ∈(0,4]恒成立．令g (x )＝4x －x 2x ，则a <g (x )min . 由g (x )＝4x －x 2x＝4x－1，可知g (x )在(0,4]上为减函数，故g (x )min ＝g (4)＝0，所以a <0，即a 的取值范围为(－∞，0)．【例7】已知函数f (x )＝x ln x ＋(1－k )x ＋k ，k ∈R . (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当x >1时，求使不等式f (x )>0恒成立的k 的最大整数值．解析 (1)当k ＝1时，f (x )＝x ln x ＋1，所以f ′(x )＝ln x ＋1.由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e .所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)由x >1时f (x )>0恒成立，得x >1时x ln x ＋(1－k )x ＋k >0，所以(x －1)k <x ln x ＋x ，即k <x ln x ＋x x －1对x >1恒成立．设g (x )＝x ln x ＋x x －1(x >1)，则g ′(x )＝－ln x ＋x －2(x －1)2，令μ(x )＝－ln x ＋x －2(x >1)，则μ′(x )＝－1x＋1，所以当x >1时，μ′(x )>0，μ(x )在(1，＋∞)上单调递增，而μ(3)＝1－ln 3<0，μ(4)＝2－ln 4>0，所以存在x 0∈(3,4)，使μ(x 0)＝0，即x 0－2＝ln x 0. 所以当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增．所以g (x )在x ＝x 0处有极小值(也是最小值)，所以g (x )min ＝g (x 0)＝x 0ln x 0＋x 0x 0－1＝x 0(x 0－2)＋x 0x 0－1＝x 0∈(3,4)，又k ＜g (x )恒成立，所以k <g (x )min ＝x 0，所以k 的最大整数值为3.【例8】设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈[0，π]，若f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围．解析因为f (x )≤1＋sin x ⇔ax ＋cos x ≤1＋sin x ⇔ax ≤1＋sin x －cos x ，所以当x ＝0时，0≤1＋sin 0－cos 0＝0恒成立；当0<x ≤π时，ax ≤1＋sin x －cos x ⇔a ≤1＋sin x －cos x x ⇔a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋sin x －cos x x min ，令g (x )＝1＋sin x －cos xx (0<x ≤π)，则 g ′(x )＝(cos x ＋sin x )x －1－sin x ＋cos xx 2＝(1＋x )cos x ＋(x －1)sin x －1x 2，又令c (x )＝(1＋x )cos x ＋(x －1)sin x －1，则 c ′(x )＝cos x －(1＋x )sin x ＋sin x ＋(x －1)cos x ＝x (cos x －sin x )＝2x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4>0，故c ′(x )>0，c (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎦⎤π4，π时，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4<0，故c ′(x )<0，c (x )单调递减．因为c (0)＝0，c ⎝⎛⎭⎫π4＝2π4－1>0，c ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－2<0，c (π)＝－π－2<0，所以存在x 0∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，使得g (x 0)＝0，所以g (x )在区间(0，x 0]上单调递增，在区间(x 0，π]上单调递减．因为g (π)＝2π，lim x →0g (x )＝1，所以[g (x )]min ＝g (π)＝2π.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，2π.(1)分离参数法的步骤：第一步，将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步，利用导数求该函数的最值；第三步，根据要求得所求范围．(2)分离参数法适用题型：①参数与变量能分离；②函数的最值易求出．方法四变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时地把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化．【例9】对任意a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，求x 的取值范围．解析令f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4(a ∈[－1,1])，则原问题转化为f (a )>0恒成立．当x ＝2时，可得f (a )＝0，不合题意；当x ≠2时，应有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)>0，f (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <1或x >3.故x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)．一般地，一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[α，β]上恒有f (x )>0的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (α)>0，f (β)>0.方法五数形结合法f (x )>g (x )⇔函数f (x )图象恒在函数g (x )图象上方； f (x )<g (x )⇔函数f (x )图象恒在函数g (x )图象下方．【例10】设f (x )＝－x 2－4x ，g (x )＝43x ＋1－a ，若恒有f (x )≤g (x )成立，则实数a 的取值范围为________.解析在同一直角坐标系中作出f (x )及g (x )的图象，如图所示，f (x )的图象是半圆(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，g (x )的图象是平行的直线系4x －3y ＋3－3a ＝0.要使f (x )≤g (x )恒成立，则圆心(－2,0)到直线4x －3y ＋3－3a ＝0的距离满足d ＝|－8＋3－3a |5≥2，解得a ≤－5或a ≥53.因为f (x )≥0，且f (x )≤g (x )，所以a ≥53舍去．故实数a 的取值范围为(－∞，－5]．答案 (－∞，－5] 【跟踪检测】1．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)A 解析问题等价转化为不等式ax >2－x 2在区间[1,5]上有解，即不等式a >2x －x 在区间[1,5]上有解，令f (x )＝2x －x ，则有a >f (x )min ，而函数f (x )在区间[1,5]上是单调递减函数，所以函数f (x )在x ＝5处取得最小值，即f (x )min ＝f (5)＝25－5＝－235，所以a >－235.故选A 项．2．已知函数f (x )＝x ln x ＋x (x －a )2(x ∈R )，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )>xf ′(x )成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫94，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)C 解析由f (x )>xf ′(x )得⎣⎡⎦⎤f (x )x ′<0，设g (x )＝f (x )x ＝ln x ＋(x －a )2，则存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得g ′(x )<0成立，即g ′(x )＝1x ＋2(x －a )＜0成立，所以a ＞12x＋x 恒成立，所以a ＞⎝⎛⎭⎫12x ＋x min成立．又12x ＋x ≥212x ·x ＝2，当且仅当12x ＝x ，即x ＝22时，等号成立．所以a ＞ 2.故选C 项．3．若不等式log a x >sin 2x (a >0，a ≠1)对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π4 B ．⎝⎛⎭⎫π4，1 C ．⎝⎛⎭⎫π4，π2D ．(0,1)B 解析记y 1＝log a x ，y 2＝sin 2x ，原不等式相当于y 1>y 2.作出两个函数的图象，如图所示，易知当y 1＝log a x 过点A ⎝⎛⎭⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4<a <1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4都有y 1>y 2.故选B 项．4．已知函数f (x )＝(x －a )2＋(e x －a )2 (a ∈R )，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤12成立，则实数a 的值为( )A ．13B ．22C ．24D ．12D 解析函数f (x )等价于g (x )＝e x 图象上的点与直线y ＝x 上的点(a ，a )距离的平方，因为g (x )＝e x ，令g ′(x )＝1，即e x ＝1，解得x ＝0，g (0)＝e 0＝1，则点(0,1)到直线y ＝x 的距离为|1－0|12＋(－1)2＝12，即g (x )＝e x 上的点与y ＝x 上的点的最短距离为12，此时a >0，即f (x )≥f (0)＝12，因为存在x 0∈R ，使得f (x 0)≤12成立，所以f (x 0)＝f (0)＝12，即a 2＋(1－a )2＝12，解得a ＝12.故选D 项．5．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1x ，在区间⎝⎛⎦⎤0，12内任取两个不相等的实数m ，n ，若不等式mf (m )＋nf (n )<nf (m )＋mf (n )恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．⎝⎛⎦⎤－∞，52 C ．⎣⎡⎦⎤2，52 D ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞B 解析由题设不等式mf (m )＋nf (n )<nf (m )＋mf (n )可得不等式(m －n )[f (m )－f (n )]<0，由此可知函数f (x )是单调递减函数．因为f ′(x )＝a x －1－1x 2，所以问题转化为a x －1－1x2≤0在⎝⎛⎦⎤0，12内恒成立，即x 2－ax ＋1≥0在⎝⎛⎦⎤0，12内恒成立，也即a ≤x ＋1x 在⎝⎛⎦⎤0，12内恒成立，又x ＋1x ≥52，所以a ≤52.故选B 项． 6．函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围为________. 解析依题意，f ′(x )＝3ax 2－3.①当a ≤0时，f ′(x )<0，函数f (x )为R 上的减函数，而f (1)＝a －2<0不满足条件．②当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1a 和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，1a 上为减函数，又f (－1)＝－a ＋4≥0⇒a ≤4，f (1)＝a －2≥0⇒a ≥2，即2≤a ≤4⇒12≥1a ≥12，所以必须有函数f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －3a ＋1＝－2a ＋1≥0⇒a ≥2⇒a ≥4，才能满足在区间[－1,1]上f (x )≥0恒成立，所以a ＝4.答案 {4}7．若不等式2x －1>m (x 2－1)对所有－2≤m ≤2都成立，求x 的取值范围．解析原不等式化为m (x 2－1)－(2x －1)<0，令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，当－2≤m ≤2时，f (m )<0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得－1＋72<x <1＋32，所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32. 8．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )(a >0)的最小值为0. (1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[0，＋∞)，不等式f (x )≤x －mxx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意可得f ′(x )＝1－1x ＋a.令f ′(x )>0，可得x >1－a ；令f ′(x )<0，可得x <1－a .所以x ＝1－a 为函数f (x )的极小值点，亦即函数f (x )的最小值点．故有f (x )min ＝f (1－a )＝1－a －ln(1－a ＋a )＝1－a ＝0，所以a ＝1，所以f (x )＝x －ln(x ＋1)．(2)若对任意x ∈[0，＋∞)，不等式f (x )≤x －mxx ＋1恒成立，即ln(x ＋1)≥mxx ＋1在x ∈[0，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ≥0)，则φ′(x )＝1x ＋1－m(1＋x )2＝x ＋1－m(1＋x )2.①当m≤1时，φ′(x)≥0，仅当x＝0，m＝1时，等号成立，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增．又φ(0)＝0，所以φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立．所以当m≤1时，ln(x＋1)≥mx1＋x在[0，＋∞)上恒成立．②当m＞1时，对x∈(0，m－1)，有φ′(x)＜0，所以φ(x)在x∈(0，m－1)上单调递减，所以φ(m－1)＜φ(0)＝0，即当m＞1时，存在x＞0使φ(x)＜0，故当m＞1时，ln(1＋x)≥mx1＋x在x∈[0，＋∞)上不恒成立．综上可知，实数m的取值范围是(－∞，1]．。

不等式恒成立问题存在性问题讲义

导数及其应用吴冰一、导数的概念及其几何意义（一）变化率与导数、导数的计算1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率：函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为y x∆∆。

2、函数y=f(x)在x=x 0处导数：（1）定义称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y=f(x)在x=x 0处导数，记作 0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即（2）几何意义：函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。

相应地，切线方程为y-y 0=0()f x '(x=x 0).3、函数f(x)的导数：称函数0()()()limx f x x f x f x x∆+∆-'=∆为函数f(x)的导函数，导函数有时也记作y '。

注：求函数f(x)在x=x 0处的导数的方法：方法一：直接使用定义；0000()()()limx f x x f x f x x ∆+∆-'=∆;方法二：先求导函数0()()()lim x f x x f x f x x∆+∆-'=∆，再令x=x 0求0()f x '4、基本初等函数的导数公式运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()y f x =在开区间（a,b ）内的导数的基本步骤：①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导； ③整理得结果。

例题解析：〖例1〗求函数y=24x 的导数。

恒成立存在性问题专题讲义

2016-2017学年度高三《恒成立存在性问题》专题讲义知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤。

6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。

即：M ⊆N 。

7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ．（1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】（1）思路：等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．（2）思路：对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．解：（1）由12012232++<⇒>-+-x xx a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．（2）注意：含参的动轴定区间上的最值求法。

恒成立问题与存在性问题

恒成立问题与存在性问题一、恒成立问题：不等式恒成立问题化归为最值问题1、不等式()x f a >对I x ∈恒成立()max x f a >⇔2、不等式()x f a <对I x ∈恒成立()min x f a >⇔ 变量分离后化归为最值问题型1.(,)0F x a > 对()x I a f x ∈⇔>一切恒成立对m ax ()x I a f x ∈⇔>一切恒成立2.(,)0F x a >对()x I a f x ∈⇔<一切恒成立对m in ()x I a f x ∈⇔<一切恒成立二、存在性问题化归为最值问题不等式有解问题：1、不等式()x f a >在I x ∈有解⇔I x ∈∃，使得()x f a >成立()max x f a >⇔2、不等式()x f a <在I x ∈有解⇔I x ∈∃，使得()x f a >成立()min x f a >⇔三、方程()x f a =有解问题方法1：化为求函数的值域方程()0,=a x F 在I x ∈有解⇔()x f a =I x ∈有解方程()x f a =在I x ∈有解⇔a 的取值范围为函数()x f 的值域，方法2：化为零点问题求解方法3：化为图像交点问题求解实战演练：1、已知0,0a b >>，若不等式212m aba b+≥+恒成立，则 m 的最大值２、定义在R 上的函数()x x x f -=331，设()xm x x g -=ln ，'[1,],()()x e g x f x ∀∈<使求实数m 的范围。

３、定义在R 上的函数()x x x f -=331，设()xm x x g -=ln ，'1212[1,],()()x e x g x f x ∀∈∃∈<[1,2]使，求实数m 的范围４、设238()(2)2x x f x x -+=≥，()1g x kx =+，（1）若0[2,)x ∃∈+∞，使0()f x m =成立，则实数m 的范围（2）若12[2,),(2,)x x ∀∈+∞∃∈+∞，使得12()()f x g x =则实数k 的范围５、已知函数()()1522>+-=a ax x x f（1）若()x f 的定义域和值域均为[]a ,1，求实数a 的值。

谈谈求解含参指对不等式恒成立问题的两种思路

含参不等式恒成立问题往往较为复杂.含参指对不等式恒成立问题的难度较大，侧重于考查同学们的分析、运算能力.本文结合一道含参指对不等式恒成立问题，谈一谈解答此类问题的思路.例题：已知实数λ>0，若对任意x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，求实数λ的取值范围．本题看似简单，实则难度较大.题目中不仅涉及指数式“eλx”和对数式“ln x”，而且涉及参数“λ”，需将问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质来求解.一、利用函数的性质解答含参指对不等式恒成立问题，通常需根据不等式的结构特征，构造合适的函数模型，将问题转化为函数最值问题，如将f(x)≥a恒成立转化为f(x)min≥a，将f(x)≤a恒成立转化为f(x)max≤a.然后对函数求导，讨论导函数与0之间的关系，判断出函数的单调性，求得函数的最值，从而确定参数的取值范围.解法1.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，变形得λx∙eλx≥ln x∙e ln x，设f(t)=te t(t>0)，则f(λx)≥f(ln x)，对其求导得f′(t)=e t+te t=(1+t)e t>0，所以函数f(t)在(0,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知λx>0,ln x>0，可知λx≥ln x对任意x>1恒成立.因为λx≥ln x，则λ≥ln x x对任意x>1恒成立，设g(x)=ln x x，其中x>1，则λ≥g(x)max.对函数求导得g′(x)=1-ln x x2，所以当1<x<e时，g′(x)>0；当x>e时，g′(x)<0，因此函数g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，从而可得g(x)max=g(e)=1e，所以λ≥1e.先构造函数f(t)=te t(t>0)，根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数的单调性，将不等式转化为λx≥ln x；然后将不等式变形为λ≥ln x x，并构造函数g(x)=ln x x，将问题转化为λ≥g(x)max；再对函数g(x)求导，研究其导函数的性质，从而判断出函数的单调性，求得g(x)max，即可确定参数λ的取值范围.解法2.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，变形即得eλx∙ln eλx≥x∙ln x，设f(t)=t ln t(t>1)，则f(eλx)≥f(x).对函数求导得f′(t)=ln t+t×1t=1+ln t>1>0，所以函数f(t)在(1,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知eλx>1，从而可得eλx≥x，即λx≥ln x，所以λ≥ln x x对任意x>1恒成立.下同解法1，过程略.先将不等式进行适当的变形，得到eλx∙ln eλx≥x∙ln x.仔细观察该式可发现不等式左右两边的式子为同构式，于是构造函数f(t)=t ln t(t>1)，对函数求导，讨论导函数的性质，进而判断出函数的单调性，将问题转化为使λ≥ln x x恒成立问题，即使λ≥æèöøln x x max.利用函数的单调性求得函数ln x x的最值，即可解题.思路探寻49思路探寻解法3.由题意可知x>1，在λeλx≥ln x的两边同乘以x得λxeλx≥x ln x，在该不等式的两边同时取对数得λx+ln(λx)≥ln x+ln(ln x).设f(t)=t+e t(t>0)，则f(λx)≥f(ln x).对函数求导得f′(t)=1+e t>0，所以函数f(t)在(0,+∞)上单调递增.由λ>0,x>1知λx>0,ln x>0，从而得出λx≥ln x对任意x>1恒成立，所以λ≥ln x x对任意x>1恒成立.以下同解法1，过程略.先将不等式的两边同时乘x；再取自然对数得到不等式λx+ln(λx)≥ln x+ln(ln x)，即可构造出同构式，进而构造出函数f(t)=t+e t(t>0)；然后借助导数法判断出函数的单调性，利用函数的单调性求得函数的最值，就能顺利求得参数的取值范围.二、数形结合运用数形结合法解答含参指对不等式恒成立问题，实质上是用函数的图象来解题.在解题时，需先根据不等式的结构特征，构造出函数模型，可构造一个函数，也可构造两个函数；然后在同一个坐标系中画出函数的图象，仔细研究函数图象中的最高点、最低点、单调性以及图象的变化趋势，从而找出使不等式恒成立的临界情形，据此建立不等式，求得参数的取值范围.解法4.由解法1得λx≥ln x对任意x>1恒成立，将动直线y1=λx绕着坐标原点旋转，由图1可知，当直线y1=λx与曲线y2=ln x()x>1相切时，直线始终在曲线的上方（包含两个图象的公共点），设直线y1=λx与曲线y2=ln x相切于点(x0,ln x0)，由y′=1x可得1x0=ln x0x0，解得x0=e，所以直线y1=λx与曲线y2=ln x相切的斜率为1e，即λ=1e，所以λ≥1e.我们先将不等式λx≥ln x两边的式子分别构造成函数y1=λx、y2=ln x；然后在同一个坐标系中画出直线y1=λx与曲线y2=ln x的图象，通过改变直线y1=λx的位置，找到使λx≥ln x恒成立的临界情形：当直线y1=λx与曲线y2=ln x()x>1相切时；再根据导数的几何意义和直线的斜率公式求得切点的坐标，即可求得直线的斜率，进而求得参数的取值范围.图1图2解法5.因为λ>0，所以不等式λeλx≥ln x可变形为eλx≥ln xλ，则当x>1时，函数y=eλx的图象始终在函数y=ln xλ的图象的上方（包含两个函数图象的公共点）.由y=eλx可得x=ln yλ，所以函数y=eλx的反函数为y=ln xλ，而函数y=eλx与y=ln xλ的图象关于直线y=x对称，在同一坐标系内画出函数y=eλx与y=ln xλ的图象，以及直线x=m(m>1)，如图2所示，设直线与函数y=eλx,y=x,y=ln xλ分别交于点A,B,C.根据函数y=eλx与y=ln xλ的图象位置关系，可得yA≥y B，即eλm≥m，将其变形得λm≥ln m.则λx≥ln x对任意x>1恒成立.下同解法1，过程略.我们先根据不等式的特点，构造函数y=eλx与y=ln xλ，将问题转化两个函数图象的位置关系问题；然后画出两个函数的图象，结合图象讨论其位置关系，找出临界情形，从而求得问题的答案.可见，解答含参指对不等式恒成立问题，需从函数的图象和性质入手，根据不等式的结构特征，将其进行合适的变形，以构造出不同形式的函数，通过研究其函数的性质、图象，来获得问题的答案.（作者单位：山东省单县第二中学）50。

含参数不等式恒成立与存在性问题含答案

含参数不等式恒成立与存在性问题由任意性和存在性条件求参数的取值范围问题，一直是高考数学考试的重点和难点。

通过对近几年高考数学试题的研究，我们发现这类试题往往以压轴题的形式出现，所涉及的知识点内容覆盖面广，其中命题的核心在函数、方程、不等式等内容的交汇处。

下面就对这类问题进行详细的归类、归法，构建知识体系，希望对同学们有所帮助。

一、在不等式恒成立的条件下，求参数的取值范围问题在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式. 类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=，则有：（1）如果()0()0()0f m f x f n >⎧>⇔⎨>⎩恒成立；（2）如果()0()0()0f m f x f n <⎧<⇔⎨<⎩恒成立.例1、若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围.类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈ （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .例2、已知关于x 的不等式2210mx mx ++>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf aba b f a b 或或；当0>a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f .（2）当0<a 时，如果],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ；当0<a 时，如果],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或.例3、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

含参不等式恒成立问题的常见类型及解题策略

） ≥ ０恒成立的充要条件为：
，‘ 、
类问题呢？转化是捷径。通过转化能使恒成立问题得到简
而转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，下面常见类型及解题策略举例说明。
一
△ ≥ ０．
一
１） ≥０，
ｌ＿ ≤
解得一３≤ ｍ ≤ 一２。
、
可化为一次不等式恒成立的问题
｜一ｌ／｜
／Ｄｊ
图１
例１对于满足０≤Ｐ≤４的一切实数，不等式＋ｐｘ＞４ｘ＋
３恒成立，试求的取值范围。
分析：习惯上把当作自变量，记函数ｙ＝＋（Ｐ一４ｈ＋
综上可得实数ｍ的取值范围为【一３，１ｏ
解法１：设ｆ（ｘ）＝ｌ＋１ｌ —ｌ一２Ｉ，
ｆ一３， ≤ 一１，
￣Ｊｌｆ（ｘ）＝｛２ｘ一１，－１＜ ≤２，
ｌ３，＞２。
【点评】本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转
把它化归为关于Ｐ的一次函数，利用一次函数的单调性求
／
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＿＿＿＿＿、＼＼＼＼
含参不等式恒成立问题的常见类型及解题策略
＼＼Ｉｌ
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张耀彬（山东省嘉祥县第二＝＝学）／／
“ 含参不等式恒成立问题 ”把不等式、函数、三角、几何等

不等式的恒成立与存在性问题

恒成立与存在性问题【基础知识整合】1、恒成立问题①．x D ∀∈，()a f x >恒成立，则max ()a f x >②．x D ∀∈，()a f x <恒成立，则min()a f x <③．x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，记()() (0)F x f x g x =->，则min 0() F x >④．x D ∀∈，()()f x g x <恒成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则max 0() F x <⑤．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x <恒成立，则max min ()()f x g x <2、存在性问题①．x D ∃∈，()a f x >成立，则min ()a f x >②．x D ∃∈，()a f x <成立，则max()a f x <③．x D ∃∈，()()f x g x >成立，记()() (0)F x f x g x =->，则max 0() F x >④．x D ∃∈，()()f x g x <成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则min 0() F x <⑤．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x >成立，则max min ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x <成立，则min max ()()f x g x <3、恒成立与存在性混合不等问题①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x >成立，则min min ()()f x g x >②．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x <成立，则max max ()()f x g x <4、恒成立与存在性混合相等问题若()f x ，()g x 的值域分别为,A B ，则①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ⊆②．1122,x D x D ∃∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ≠∅ 5、解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．6、一次函数)0()(≠+=k b kx x f 若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(>x f ,则根据函数的图像可得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>0)(00)(0n f a m f a 或可合并成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ,同理若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(<x f 则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1：对于满足||2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.例2：若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________7、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（用函数图象解决，不太适用）（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.bb b a aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b b a a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或【基础典例分析】例1：已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（Ⅰ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2，求实数a 的值；（Ⅱ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．例2：已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，（Ⅰ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．例3：设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0．若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．例4：已知函数()133x x af x b+-+=+（Ⅰ）当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；（Ⅱ）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若()g x 满足()()()12333x x f x g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.例5：已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,⑴若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.【高考真题研究】（2017天津卷理8）已知函数()23,12,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a + 在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）(A)47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B)4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)23,2⎡⎤-⎣⎦(D)3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2015全国卷Ⅰ理12）设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）(A)[32e-，1）(B)[32e -，34）(C)[32e ，34）(D)[32e，1）（2014全国卷Ⅰ理11）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（）(A)(2,)+∞(B)(,2)-∞-(C)(1,)+∞(D)(,1)-∞-（2015全国卷Ⅱ理21（2））设函数()2emxf x x mx =+-．若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121e f x f x -- ，求m 的取值范围．(2015山东卷理21（2）)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈，若0x ∀>，()0f x 成立，求a 的取值范围.【名题精选，提升能力】1、函数2()3f x x ax =++，当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是2、已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是3、若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立，则x 的取值范围是4、若=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，对∀123,,[0,2]x x x ∈，恒有()()()123f x f x g x +>，则实数a 的取值范围是5、已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =（n *∈Ν）．若不等式8nn a n λ+≤对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最大值为5、设函数x x e x f 1)(22+=，x ex e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为7、已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,x x R ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为8、当210≤<x 时，x a x log 4<，则a 的取值范围是（）(A)(0，22)(B)(22，1)(C)(1，2)(D)(2，2)9、已知函数()931x x f x m m =-⋅++对()0 x ∈+∞，的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（）(A)22m -<<+(B)2m<(C)2m<+(D)2m ≥+10、设函数3()f x x x =+，x R ∈．若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）(A)1(,1]2(B)1(,1)2(C)[1,)+∞(D)(,1]-∞11、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)()2,e (B)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(C)1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)12ln3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（）(A)a ≤22(B)a ≥22(C)a ≤311(D)a ≤2913、已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，若对(),0,1p q ∀∈，且p q ≠，有()()112f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)(),18-∞(B)(],18-∞(C)[)18,+∞(D)()18,+∞14、若对[),0,x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++，恒成立，则实数a 的最大值是（）(A)14(B)1(C)2(D)1215、已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b的取值范围是（）(A)(-∞(B)3(,2-∞(C)9(,)4-∞(D)(,3)-∞16、设曲线()e x f x x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）(A)[]1,2-(B)()3,+∞(C)21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D)12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17、若曲线21:C y x =与曲线2:x C y ae =(0)a >存在公共切线，则a 的取值范围为（）(A)28[,)e+∞(B)28(0,e(C)24[,)e+∞(D)24(0,]e18、若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）(A)(),0-∞(B)30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦(C)3,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(D)()3,0,2e⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 19、已知函数321()3f x x x ax =++．若1()x g x e =，对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12'()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）(A)(,8]e-∞-(B)[8,)e-+∞(C))e (D)3(,]32e -20、设函数()3269f x x x x =-+，()32111(1)323a g x x x ax a +=-+->，若对任意的[]20,4x ∈，总存在[]10,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（）(A)91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(B)[)9,+∞(C)][91,9,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭(D)][39,9,24⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭21、设函数()()()21ln 31f x g x ax x =-=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（）(A)94(B)2(C)92(D)422、已知()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-，对于[],1a m m ∀∈+，若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是（）(A)22⎡-+⎣(B)1⎡+⎣(C)2⎡+⎣(D)12⎡+⎣23、已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）(A)[)1,0-(B)[]1,0-(C)3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(D)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

专题30 含参不等式的存在性与恒成立问题(原卷版)

方法一分离参数法例1 已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【变式演练1】已知函数()124x x f x a =++在(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是 . 【变式演练2】若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-方法二函数性质法例2 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈，其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.【变式演练3】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；（2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【变式演练4】设函数2()1xf x e x ax =---，若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围。

【变式演练5 （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()2ln f x x ≥错误!未找到引用源。

在[1,)+∞错误!未找到引用源。

上恒成立，求a 的取值范围．方法三判别式法例3 设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围.例4、若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f . （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围.【变式演练6】已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

一类含参数不等式恒成立问题的探究

一类含参数不等式恒成立问题的探究发表时间：2017-07-06T13:44:54.007Z 来源：《教育学》2017年5月总第118期作者：郑英华[导读] 对于“任意x属于U,（U=[m，n]下同），a>f(x)或a<g(x)恒成立”，求a 的取值范围”这类问题。

山东省栖霞市第四中学265301在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数不等式恒成立的问题，这类问题与函数、方程、向量、导数、解析几何等知识综合在一起，演绎出一道道设计新颖、五光十色的题目。

这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措。

这些题目从解题目标上看，基本上有三种：求参数的取值范围，使含参数不等式恒成立，能成立或恰成立。

本文旨在研究恒成立中的一类问题。

一、问题的提出对于“任意x属于U,（U=[m，n]下同），a>f(x)或a<g(x)恒成立”，求a 的取值范围”这类问题，不少学生认为“a>f(x)或a<g(x)对任意x属于U恒成立”可转化为：对任意x属于U，a>f(x)恒成立（1）或对任意x属于U，a<g(x)恒成立（2），其实这种转化是不等价的。

二、问题的剖析“任意x属于U, a>f(x)或a<g(x)恒成立”除了上述两种情况外，还可能有第三种情况：对于U中的部分元素X，a>f(x)（a<g(x)成立，其余所有的X使a<g(x)（a>f(x)）恒成立，即存在X属于A（A是U的非空真子集），a>f(x)（a<g(x)恒成立且对任意X属于A的补集时，a<g(x)（a>f(x)）恒成立（3），故所提的问题是（1）、（2）、（3）的并集。

不妨设对于x属于U，y=f(x)的值域为[t1,t2],y=g(x)的值域为[t3,t4]，（1）等价于 a>f(x)的最大值，推出a>t2，（2）等价于a<g(x)的最小值，推出a<t3, t3≤t2,对于是否有适合（3）的解，可在同一坐标系下做出y=f(x),y=g(x)，y=a的图像，利用数形结合判断之。