2017含参不等式恒成立存在性问题

（20170301063）含参不等式恒成立存在性问题

班级___________姓名________________

一、知识点

(1)恒成立问题

1. ?x ∈D,均有f(x)>A 恒成立，则f(x)min>A ；

2. ?x ∈D,均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0

3. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max

(2)存在性问题

1. ?x0∈D,使得f(x0)>A 成立，则f(x) max >A ；

2. ?x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立，设F(x)= f(x)- g(x)，∴ F(x) max >0

3. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x) max > g(x) min

(3)相等问题

1. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立，则{ f(x)} {g(x)}

(4)恒成立与存在性的综合性问题

1. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min> g(x) min

2. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1)

二、例题讲解

例1:已知1ln )

(++=ax x x f （a>0）

，若0)(

变１：已知x a x x f ln )(2-=（a>0）在]2,1[∈x 内至少存在一个实数使0)(

变2：已知x a x g x x f ln )(,)(2==，对任意),0(+∞∈x 有)()(x g x f ≥恒成立,求a 的范围

变3：已知函数f x =x 2?x ?1与g x =x 3?x 2?5x +m ,若?x ∈[?2,2],得f(x)≤g (x )成立，求实数m 的取值范围。

例2、设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.如果对于任意的x 1，x 2∈[12

，2]，都有f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

变1：设函数b x x a x h ++=

)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4

1[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．

变2：已知函数f x =2ax 3?3ax 2+1,g x =?a 4x +32，其中a<0,若对任意x 1∈[0,2]，总存在x 2∈[0,2]，使得f x 1

变3:已知

2331)(ax x x f -=

,对任意)2,(,21a a x x ∈都有

31)()(21≤-x f x f 恒成立,求a 的范围

例3、1、若实数m ≠0，存在x 1∈[1,2 2]，x 2∈[?1,1]满足方程 x 12+8=mx 2+1,求实数m

取值范围。

2、已知函数f x =2ax 3?3ax 2+1,g x =?a 4x +32，其中a<0,若对任意x 2∈[0,2]，总存在x 1∈[0,2]，使得f x 1 =g(x 2)成立，求实数a 的取值范围

作业:

1、)2,1(∈?x ，

0ln 2

12>--a x x ，则实数a 的取值范围是. 2、)2,1(∈?x ，0ln 212>--a x x ，则实数a 的取值范围是.

3、已知：不等式0ln 2<-x a x （a>0）在]2,1[∈x 有解，则a 的范围

4、不等式022cos 2sin 2<--+k x k x 对于R x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为__________．

5、若关于x 的方程|3|2(22)3x a ---=+有实数根，则实数a 的取值范围为___________．

6、设函数()()432

2f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式()1f x ≤在[]1,1-上恒成立，求b 的取值范围．

7．已知函数12)(2+-=ax x x f ，x

a x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；

8、已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.

1()ln 1a f x x ax x -=-+

-()a R ∈12

a ≤()f x 2()2 4.g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b

9、 设函数()(,,)n n

f x x bx c n N b c R +=++∈∈ （1）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12?? ???内存在唯一的零点；

（2）设2n =，若对任意

12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；

10、浙江高考2011:设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R

（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；

（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立.