江苏省姜堰市张甸中学2013-2014学年高二下学期数学(文)期末复习(2) 有答案

一、填空
1、设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则
U C A B =（） 2、已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = 3、函数1
2ln y x x
=
+的单调减区间为__________ 4、已知集合22{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ ，若A B R =，
{|34}A B x x =<≤，则a b +的值等于
5、若关于x 的方程08
2=-+a x
x 有正数根，则实数a 的取值范围为
12、已知()f x 是定义在[2,2]-上
的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212
()()
0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为
13、给出下列等式：22cos
,222cos
,2222cos
4
8
16
π
π
π
=+=++=， 请从
中归纳出第(*)n n N ∈个等式：2
222n +++个…= ；
14、设函数)(13)(3R x x ax x f ∈+-=，若对于任意]1,1[-∈x ，都有0)(≥x f 恒成立， 则实数a 的值为_________。

二、解答题
15、设p ：22
33
m m -≤-，q ：关于x 的不等式2240x x m -+≤的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.
16、复数z ＝3(1)()1i a bi i
++-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,,z z
对应的点是
正三角形的三个顶点，求实数,a b 的值．
19．已知函数2()ln ,a
f x x a R x
=+
∈． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．
20．已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈为偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围．
1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则
U C A B =（） ． 【答案】{}4,32， 【解析】
试题分析：依题意可得
{}{}|,3,4U C A x x U x A =∈∉=，所以
{}{}|()2,3,4U U C A B x x C A x B =∈∈=（）或.
考点：集合的运算.
2．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = . 【答案】2 【解析】
试题分析：由
21(1)()
11()
i i i iz i z i i i i i i ++-=+⇒=
==--=-⨯-，所以
22||1(1)2z =+-=.
考点：1.复数的四则运算；2.复数的基本概念——模.
3．命题“若a b >，则22
ac bc >（,a b ∈R ）”否命题的真假性为 （从“真”、“假”
中选填一个）． 【答案】真 【解析】
试题分析：依题意知原命题的否命题为：“若a b ≤，则22
ac bc ≤”，该命题是真命题.因为
当0c =时，220ac bc ==，显然22
ac bc ≤成立；当0c ≠时，由
22
2
0a b ac bc c ≤⎫⇒≤⎬>⎭
，综上可知，否命题为真命题.
考点：1.四种命题；2.命题真假的判断；3.不等式的基本性质.
4．已知集合22
{|230},{|0}A x x x B x x ax b =-->=++≤ ，若A
B R =，
{|34}A B x x =<≤，则a b +的值等于 .
【答案】7- 【解析】 试题
分析：依题可得
{}{}2{|230}|(3)(1)0|31A x x x x x x x x x =-->=-+>=><-或，由A
B R =及
{|34}A B x x =<≤可知{}2|14{|0}B x x x x ax b =-≤≤=++≤，所以1-和4是方程
20x ax b ++=的两个根，所以143
144
a a
b b -+=-=-⎧⎧⇒⎨⎨
-⨯==-⎩⎩，所以347a b +=--=-. 考点：1.集合的运算；2.二次方程根与系数的关系.
5．若22(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数m 的值是 . 【答案】2
【解析】
试题分析：因为(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件为0
a b =⎧⎨
≠⎩，所以若
22
(4)(32)x x x i -+++是纯虚数，则有22
40221,2320x x x x x x x ⎧-==±⎧⎪⇒⇒=⎨⎨≠-≠-++≠⎪⎩
⎩. 考点：复数的基本概念.
6．“2:{|20}p x x x x ∈--≥”，“:{|}q x x x a ∈<”，若p ⌝是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．
【答案】2a ≥ 【解析】
试题分析：因为2:{|20}p x x x x ∈-
-≥即{}:|21p x x x x ∈≥≤-或，所以
{}:12p x x ⌝∈-
<<，由p ⌝是q 的充分不必要条件可知{}12{|}x x x a -<<<Ü，所以2a ≥.
考点：1.充分必要条件；2.集合间的关系.
7．函数1
2ln y x x =+的单调减区间为___________. 【答案】1
(0,)2
【解析】
试题分析：因为函数12ln y x x =
+的定义域为(0,)+∞，且212y x x
'=-+，由2200
101221
200x x x x y x x x
>>⎧⎧⎪⎪
⇒⇒<<-⎨⎨'=-+<<⎪⎪⎩⎩，所以函数12ln y x x =+的单调递减区间为1
(0,)2
.
考点：函数的单调性与导数.
8．曲线2ln y x x =-在点(1,2)处的切线方程是 ． 【答案】10x y -+=
【解析】
试题分析：因为1
2y x
'=-
，所以1|211x y ='=-=，由直线的点斜式可写出所求切线的方程为2(1)10y x x y -=-⇒-+=. 考点：导数在切线上的应用.
9．若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞
【解析】
试题分析：因为“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，所以命题“x R ∃∈，使
210x ax ++<”是真命题，即关于x 的不等式210x ax ++<有解，所以
2402a a ∆=->⇒>或2a <-，所以a 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞.
考点：1.全称命题与特称命题；2.逻辑联结词；3.二次函数的图像与性质.
10．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x
f x =+，若()3f a =，则实数a 的值为 . 【答案】1± 【解析】
试题分析：当0a ≥时，由()32131a
f a a =⇒+=⇒=，因为()f x 为偶函数，所以函数
()f x 的图像关于y 轴对称，所以(1)(1)3f f -==，所以在0a <时，也有唯一实根1a =-，
综上可知1a =±. 考点：函数的奇偶性.
12．已知()f x 是定义在[2,2]-上
的函数，且对任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212
()()
0f x f x x x ->-，且()f x 的最大值为1，则不等式2(log )1f x <的解集为 .
【答案】1|44x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
【解析】
试题分析：设1222x x -≤<<，则有120x x -<，由任意实数1212,()x x x x ≠，恒有
1212
()()
0f x f x x x ->-，可得此时12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，所以()f x 为[2,2]-上
的
单
调
递
增
，
从
而
可
得
max [()](2)1
f x f ==，所以
2222log 21
(log )1(log )(2)4log 2
4x f x f x f x x ≤⎧<⇔<⇔⇔≤≤⎨≥-⎩，所以不等式
2(log )1f x <的解集为1|44x x ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
.
考点：1.函数的单调性；2.对数函数的图像及性质. 13、1
2cos
2n π
+
14．已知函数2,1
()1,1
x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，
则实数a 的取值范围是 ． 【答案】2a < 【解析】
试题分析：因为1x ≤时，2
()f x x ax =-+，该二次函数的对称轴为2a x =
，当12
a
≥即2a ≥时，()f x 在(,1]-∞单调递增，此时1x >时，11(1)ax a f ->-=，从而此时函数()f x 在R 上单调递增，
不存在1212,,x x R x x ∈≠，使得12()()f x f x =；当12
a
<即2a <时，()f x 在(,]2a -∞单调递增，在[,1]2
a 单调递减，由二次函数的对称性可知，此时必然满足“1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立”；综上可知实数a 的取值范围为2a <. 考点：1.一次函数、二次函数的图像与性质；2.函数的单调性.
15．设p ：
2233
m m -≤-，q ：关于x 的不等式22
40x x m -+≤的解集是空集，试确定实数m 的取值范围，使得p 或q 为真命题，p 且q 为假命题.
【答案】(,2)[0,2][3,)m ∈-∞-⋃⋃+∞. 【解析】
试题分析：首先将命题,p q 分别化成两个集合,A B ，因为得
p 或q 为真命题，p 且q 为假
命题，则两命题中有且只有一个命题为真，所以m 的取值集合为:()
()R R C A B A
C B .
将
2233m m -≤-化为03
m
m ≤-，∴03m ≤< 4分 ∵不等式2240x x m -+≤的解集为φ，∴21640m ∆=-<，∴2m <-或2m > 8
分
∵p 或q 真，p 且q 假，∴p 与q 有且仅有一真 9分
当p 成立而q 不成立时，03
22
m m ≤<⎧⎨
-≤≤⎩，所以02m ≤≤ 11分
当p 不成立而q 成立时，03
22
m m m m <≥⎧⎨
<->⎩或或，解得2m <-或3m ≥ 13分
综上所述，(,2)[0,2][3,)m ∈-∞-⋃⋃+∞ 14分. 考点：1.命题与逻辑联结词；2.分式不等式的解法；3.集合的运算.
16．复数z ＝3(1)()
1i a bi i
++-且||4z =，z 对应的点在第一象限，若复数0,,z z 对应的点是
正三角形的三个顶点，求实数,a b 的值． 【答案】3a =-，1b =-. 【解析】
试题分析：先将复数z 进行化简得到22z a bi =--，进而由||4z =得到,a b 的一个等式
224a b +=，再由复数0,,z z 对应的点构成正三角形，得到||||z z z -=，代入z 化简得到
||1b =，结合z 对应的点所在的象限确定b 的值，进而再由224a b +=确定a 的值即可.
2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i
=⋅+=⋅+=--＋＋－ 5分
由||4z =，得22
4a b +=
∵复数0,,z z 对应的点构成正三角形
∴||||z z z -=，把22z a bi =--代入化简得||1b = 10分
又∵Z 点在第一象限，∴0,0a b <<，由①②得3
1a b ⎧⎪⎨⎪⎩
＝－＝－ 14分
故所求值为3a =-，1b =- 15分. 考点：1.复数的几何意义；2.复数的四则运算.
17．(1）用综合法证明：
（2）用反证法证明：若,,a b c 均为实数，且2
22
a x y π
=-+
，2
23
b y z π
=-+
，
226
c z x π
=-+
求证：,,a b c 中至少有一个大于0.
(2) 假设,,a b c 都不大于0即0,0,0a b c ≤≤≤ 8分
根据同向不等式的可加性可得0a b c ++≤ ④ 11分 又
222222222(1)(1)(1)30
2
3
6
a b c x y y z z x x y z π
π
π
π++=-+
+-+
+-+
=-+-+-+->与④式矛盾
所以假设不成立即原命题的结论,,a b c 中至少有一个大于0 15分. 考点：1.综合法；2.反证法；3.基本不等式的应用.
18、解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为rh rh ππ2002100=⋅元，
底面的总成本为2
160r π元，所以蓄水池的总成本为)160200(2r rh ππ+ 元． …2分
又据题意πππ12000160200
2
=+r rh ， ………………………3分 所以r
r h 543002-=，从而)4300(5)(32r r h r r V -==ππ． ………5分
因为0>r ，由0543002
>-=
r
r h 可得35<r ，故函数)(r V 的定义域为)35,0(．…6分
(2)因为)12300(5
)()4300(5)(23r x V r r r V -=
'⇒-=
π
π
…………………8分
令550)(21-==⇒='r r x V ，（因为-5不在定义域内，所以舍去） ……………10分 当)5,0(∈r 时，0)(>'r V ，所以)(r V 在)5,0(上为单调增函数
当)35,5(∈r 时，0)(<'r V ，所以)(r V 在)35,5(上为单调减函数．……………12分
由此可知，)(r V 在5=r 处取得最大值，此时825
100
300543002=-=-=
r r h . 所以当85==h r ，时，该蓄水池的体积最大． …………………14分
19．已知函数2()ln ,a
f x x a R x
=+
∈． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值． 【答案】（1）(,1]-∞；（2）a e =.
【解析】 试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题，恒成立问题是我们所熟悉的问题，可采用分离参数法进行解答，也可由函数本身的性质作出判断；（2）这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题，可通过导数的符号去判断函数的单调区间，当然一般会涉及对参数的讨论，之后利用单调性则可求出函数的最小值，再由最小值为3，就可求出参数a 的值. （1）∵2()ln a f x x x =+
，∴212()a
f x x x
'=- 2分 ∵()f x 在[2,)+∞上是增函数
∴212()a
f x x x
'=
-≥0在[2,)+∞上恒成立，即a ≤2x 在[2,)+∞上恒成立 4分
令()2
x
g x =
，则a ≤[]min (),[2,)g x x ∈+∞ ∵()2
x
g x =
在[2,)+∞上是增函数，∴[]min ()(2)1g x g == ∴1a ≤．所以实数a 的取值范围为(,1]-∞ 7分 （2）由（1）得2
2()x a
f x x -'=
，[1,]x e ∈ ①若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数 所以()min (1)23f x f a ===⎡⎤⎣⎦，解得3
2a =（舍去） 10分
②若12a e ≤≤，令()0f x '=，得2x a =，当12x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在
(1,2)a 上是减函数，当2a x e <<时，()0f x '>，所以()f x 在(2,)a e 上是增函数
所以()()min
2ln(2)13f x f a a ==+=⎡⎤⎣⎦，解得2
2
e a =（舍去） 13分
③若2a e >，则20x a -<，即()0f x '<在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是减函数 所以()()min 213a
f x f e e
==+
=⎡⎤⎣⎦，所以a e = 16分. 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数；3.分类讨论的思想. 20．已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈为偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且只有一个根，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1
2
k =-；(2) 1a >或222a =--. 【解析】
试题分析：(1)法一：根据)(x f 为偶函数，将等式)()(x f x f =-化简整理即可得到k 的值；法二：根据)(x f 为偶函数，得到(1)(1)f f -=即4
45
log log 54
k k -=+，从中求解即可得
到12
k =-
，检验此时是否满足()()f x f x -=即可；(2)首先将方程)2(log )(4a a x f x -⋅=化简:()f x =x x
2
1)14(log 4-+1244log (41)log 4x x =+-44log (41)log 2x x =+-；由
4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +)2(log 4a a x -=4log 2x +，进而可得
41(2)2
20
x x x
x a a a a ⎧+=⋅-⋅⎪⎨⋅->⎪⎩，令x t 2= ，则*变为关于t 的方程2(1)10a t at -++=只
有一个正实数根，先考虑1a =的情形是否符合，然后针对二次方程的根的分布分该方程有一正一负根、有两个相等的正根进行讨论求解，并保证20x a a ⋅->即可，最后根据各种情况讨论的结果写出a 的取值范围的并集即可. (1)法一：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-
即=-+-kx x
)14
(log 44log (41)x
kx ++，∴kx x x x 2)14(log 4
1
4log 44
=+-+ ∴0)12(=+x k ，∴12
k =- 6分 法二：因为)(x f 为偶函数，所以(1)(1)f f -=即445
log log 54
k k -=+，解得12k =-
此
时
4
1()l o
2
x
f x x =
+-，44411411
()log (41)log log (14)2422
x x
x x f x x x x x -+-=++=+=+-+
41
log (14)()2
x x f x =+-
=，所以12a =-.
(2)
依
题
意
知
:
()f x =x x
2
1)14(log 4-+1
244log (41)log 4x x
=+-44log (41)log 2x x =+-
∴由4()log (2)x f x a a =⋅-得4log (41)x +)2(log 4a a x
-=4log 2x +
41(2)220x x x x
a a a a ⎧+=⋅-⋅⎪∴⎨⋅->⎪⎩………①…………………②
8分 令x t 2= ，则①变为2
(1)10a t at -++=，只需关于t 的方程只有一个正根即可满足题意
(1)1,1-==t a 不合题意 9分
(2)①式有一正一负根，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>--=∆0
110)1(4212a t t a a 经验证满足20x a a ⋅->，1a ∴> 11分。