公开课圆锥曲线背景下的最值与范围精品PPT课件
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第2部分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围问题 课件(共42张PPT)
2 5
x－
9 25
并化简，得k2x2－
2 5
x＋
9 25
＝0，令Δ＝
－252－4k2·295＝0，解得k＝±13， 所以直线OQ斜率的最大值为13.
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足
直线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x 轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值．
(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
[解]
(1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12，
因为－12<x<32，
所以－1＜x－12＜1，
即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程kx＋ x－kyy＋ －2941kk－＋3214＝＝00，， 解得点Q的横坐标是xQ＝－2k2k＋2＋4k1＋ 3. 因为|PA|＝ 1＋k2x＋12＝ 1＋k2(k＋1)， |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－k－1k2＋k＋1 12，
通性通法：构造函数法求最值或范围时的策略 解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、 角、斜率等)，把所求最值的几何量或代数表达式表示为某个参数的函 数，然后利用函数方法(单调性或导数)进行求解．
1．[借助二次函数求最值]已知椭圆E：
x2 4
＋
y2 3
＝1.若椭圆E的
左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，
设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，故xG＝
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线中范围与最值问题》课件ppt
因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2， 由抛物线的定义知 1＋p2＝2， 解得p＝2.
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线 的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求 △QMN面积的取值范围.
由(1)可知，抛物线E：y2＝4x， 设 Ay421，y1，By422，y2(y1≠0，y2≠0)，
(2)若 A 和 B 为椭圆 C 上在 x 轴同侧的两点，且—AF→2 ＝λ—BF→1 ，求四边形 ABF1F2 面积的最大值.
由—AF→2 ＝λ—BF→1 ， 得AF2∥BF1，如图， 延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的 对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为 四边形ABCD的面积的一半. 由题知，BF1的斜率不为零，故设 BF1 的方程为 x＝my－ 2， 联立x32＋y2＝1，
1234
故 y1y2＝－13x1x2 且 x1x2≠0， 即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以yx11yx22＝kx1＋xt1xk2x2＋t＝k2＋ktx1＋x1xx22＋t2 ＝k2＋－1＋36tk322－kt22＋9 t2＝t32－t2－9k92＝－13，
解得ab＝＝21，， 则 C：x42－y2＝1.
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.
设点M的横坐标为xM>0， 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l的斜率存在时， 设 l：y＝kx＋mk≠±12，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立x42－y2＝1， 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
y＝kx＋m，
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线 的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求 △QMN面积的取值范围.
由(1)可知，抛物线E：y2＝4x， 设 Ay421，y1，By422，y2(y1≠0，y2≠0)，
(2)若 A 和 B 为椭圆 C 上在 x 轴同侧的两点，且—AF→2 ＝λ—BF→1 ，求四边形 ABF1F2 面积的最大值.
由—AF→2 ＝λ—BF→1 ， 得AF2∥BF1，如图， 延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的 对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为 四边形ABCD的面积的一半. 由题知，BF1的斜率不为零，故设 BF1 的方程为 x＝my－ 2， 联立x32＋y2＝1，
1234
故 y1y2＝－13x1x2 且 x1x2≠0， 即3t2－9≠0，则t2≠3，又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， 所以yx11yx22＝kx1＋xt1xk2x2＋t＝k2＋ktx1＋x1xx22＋t2 ＝k2＋－1＋36tk322－kt22＋9 t2＝t32－t2－9k92＝－13，
解得ab＝＝21，， 则 C：x42－y2＝1.
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.
设点M的横坐标为xM>0， 当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l的斜率存在时， 设 l：y＝kx＋mk≠±12，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立x42－y2＝1， 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
y＝kx＋m，
圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 课件(67张)
55 15 .
所以△ABP面积的最大值为251635 5.
[方法技巧] (1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用
图象性质来求解． (2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，
则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最 值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换 元法等．
利用基本不等式求最值 [例 3] (2017·太原模拟)已知椭圆 M：xa22＋y32＝1(a>0)的一个 焦点为 F(－1,0)，左、右顶点分别为 A，B.经过点 F 的直线 l 与 椭圆 M 交于 C，D 两点． (1)当直线 l 的倾斜角为 45°时，求线段 CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2，所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1， 易求直线方程为 y＝x＋1，联立方程，得x42＋y32＝1，
y＝x＋1， 消去 y，得 7x2＋8x－8＝0， 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，Δ＝288，x1＋x2＝－87，x1x2＝－87， 所以|CD|＝ 2|x1－x2|＝ 2 x1＋x22－4x1x2＝274.
[答案] C
[方法技巧] 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定
理、性质等进行求解，也叫做几何法．
建立目标函数求最值 [例 2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛 物线 C：x2＝4y 上，F 为抛物线 C 的焦点，
点 M 为 AB 的中点， PF ＝3FM . (1)若|PF|＝3，求点 M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值． [解] (1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y＝－1. 设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得 y0＝2， 所以 P(2 2，2)或 P(－2 2，2)， 由 PF ＝3FM ，得 M－232，23或 M232，23.
圆锥曲线中变量的最值问题PPT优秀课件
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
y
P
O
x
y B
P
O
x
l
求抛物线上一动P点到 定直线l的距离的最小.值
A
求SPAB的最大值
㈢圆锥曲线上动点到定点的距离的最值问题
例3.已知抛物线y2=2x，点A（
2 ,0 3
），在此抛物线
上求一点P，使|PA|取得最小值.又若A（a，0）呢？
根据两点间的距离公式转化为二次函数的最值问题， 注意定义域。
A B
A B
P
L
L P
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值? ②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
k1
变 如图，已知A、B是椭圆x2 y2 1
y
16 9
B
题 的两个顶点，C、D是椭圆上两点，
且分别在AB两侧，则四边形ABCD
O
面积的最大值是_1_2__2____.
D
C x
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
y
P
O
x
y B
P
O
x
l
求抛物线上一动P点到 定直线l的距离的最小.值
A
求SPAB的最大值
㈢圆锥曲线上动点到定点的距离的最值问题
例3.已知抛物线y2=2x，点A（
2 ,0 3
），在此抛物线
上求一点P，使|PA|取得最小值.又若A（a，0）呢？
根据两点间的距离公式转化为二次函数的最值问题， 注意定义域。
A B
A B
P
L
L P
图3
图4
⑶①圆上一个动点P到圆外一个定点M的距离的最大与最小值? ②圆上一个动点P到与圆相离的直线的距离的最大与最小值?
——求曲线上一动点到圆上一动点的距离的最大（小）值问题， 常转化为求曲线上的动点到圆心的距离的最大（小）值问题。
⑷回顾三种圆锥曲线的定义及其焦半径的取值范围。
k1
变 如图，已知A、B是椭圆x2 y2 1
y
16 9
B
题 的两个顶点，C、D是椭圆上两点，
且分别在AB两侧，则四边形ABCD
O
面积的最大值是_1_2__2____.
D
C x
2018高考数学《圆锥曲线中的最值、范围问题》课件 (共23张PPT)
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题
学习目标： 1.掌握圆锥曲线中的最值问题的求法； 2.掌握圆锥曲线中的范围问题的求法。
二、研究备考应对策略定计划 高考试题分析 2小1大—22分
解析几何 2014年 2015年 2016年 2017年 4. 双曲线求焦 5. 双曲线与向 5. 双 曲 线 中 10.抛物线 两 点到渐近线的 量函数综合 个a,b,c关系 15. 双曲线渐近线 距离 14. 椭 圆 与 圆 意10. 抛 物 线 与 与圆相交 识圆相交求长度 20. 直线、椭圆综 10. 抛 物 线 求 的方程 线段长 20. 直 线 、 抛 20. 直 线 、 椭 合 圆综合 20. 直 线 、 椭 物线综合 圆综合 命题趋势：一般为2小一大，所占分值为22分。三条曲线年 年都有，双曲简，抛物、椭圆难。小题考定义性质的多，大题以 位置关系形式考函数方程的思想，等与不等的方法。题形上有： 求值，求范围求最值，探求存在性等.（小题上注意二次曲线间结 合的考查）
知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA| ＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点， 此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小 值和最大值分别为8,12. [答案] C
―→ 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足 OS ＋ ―→ ―→ OT ＝t OP ，符合题意；
2 8 k tx0＝ 2， 1 ＋ 2 k 当t≠0时， －4k ty0＝ 2， 1＋2k
2
4 7 因为 t＋ t ≥4， 当且仅当 t＝2， 即 k＝± 时等号成立， 且满足 Δ>0. 2 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 7 － x－2. 2 7 x－2 或 y＝ 2
圆锥曲线中的最值、范围问题
学习目标： 1.掌握圆锥曲线中的最值问题的求法； 2.掌握圆锥曲线中的范围问题的求法。
二、研究备考应对策略定计划 高考试题分析 2小1大—22分
解析几何 2014年 2015年 2016年 2017年 4. 双曲线求焦 5. 双曲线与向 5. 双 曲 线 中 10.抛物线 两 点到渐近线的 量函数综合 个a,b,c关系 15. 双曲线渐近线 距离 14. 椭 圆 与 圆 意10. 抛 物 线 与 与圆相交 识圆相交求长度 20. 直线、椭圆综 10. 抛 物 线 求 的方程 线段长 20. 直 线 、 抛 20. 直 线 、 椭 合 圆综合 20. 直 线 、 椭 物线综合 圆综合 命题趋势：一般为2小一大，所占分值为22分。三条曲线年 年都有，双曲简，抛物、椭圆难。小题考定义性质的多，大题以 位置关系形式考函数方程的思想，等与不等的方法。题形上有： 求值，求范围求最值，探求存在性等.（小题上注意二次曲线间结 合的考查）
知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭 圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA， PB分别与圆相交于两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA| ＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于两点， 此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小 值和最大值分别为8,12. [答案] C
―→ 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足 OS ＋ ―→ ―→ OT ＝t OP ，符合题意；
2 8 k tx0＝ 2， 1 ＋ 2 k 当t≠0时， －4k ty0＝ 2， 1＋2k
2
4 7 因为 t＋ t ≥4， 当且仅当 t＝2， 即 k＝± 时等号成立， 且满足 Δ>0. 2 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 7 － x－2. 2 7 x－2 或 y＝ 2
圆锥曲线中的最值及范围问题(PPT)2-2
•
热点题型1：重要不等式求最值
（05浙江•理17）如图，已知椭圆的中心在坐标
原点，焦点 F1, F2 在x轴上，长轴 A1A2 的长为4，左 准线 l 与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1 ：x＝m(|m|＞1)，P l
y
P为l1上的动点，使F1PF2 最大 的点P记为Q，求点Q的坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l M A1F1
1
o
F2 A2 x
(用m表示)．
变式新题型1：
已知椭圆C的方程是
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0，) 双曲线
x2 a2
y2 b2
1
的两条渐近线为 l1,l，2 过椭圆C的右
焦点F作直线 l ，使l l1 ，又 l 与l2 的交于P点， 设 l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.
（1）当l1 与l2 的夹角为60，
双曲线的焦距为4时，求
椭圆C的方程及离心率；
（2）若 FA AP ，求的最大值.
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今日本色在此癫，无人过眼无人厌。 我笑他人伤醉酒，何不学我来发癫。 一笑无人回我语，二笑我心已癫狂。 今夜寒风呼啸，北国风雪飘飘。 顿时举国上下，美梦睡中突醒。 风呼啸，鸡飞狗跳。 一曲清幽，一夜无眠。 万里山水，数亿生灵，尽皆殆灭。 一夜癫狂后清醒，人生能得几回癫。 今朝痛楚随疯去，明日依旧笑人生。 三笑放下心中事，四笑心静如止水。 天降倾盆大雨，地落涛涛江水。 我独一人望月 雨嚎嚎，乱水成荒。 天初晓，鸡鸣不在；日初升，生机不存。 此世独我存！心孤寥，人已亡。
圆锥曲线中的定点 定值 最值 范围问题 公开课一等奖课件
(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1，F2 分别为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为 双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|≥a； ②|PF1|≥c－a. (3)抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2＝2px(p＞0)上的任一点，F 为焦点，则有 p ①|PF|≥2； ②A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.Βιβλιοθήκη (1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM 与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
解 a2－b2 a2＋b2 3 3 3 4 4 (1)因为 e1e2＝ 2 ，所以 a · a ＝ 2 ，即 a －b ＝4
a4，因此 a2＝2b2，从而 F2(b,0)，F4( 3b,0)．于是 3b－b＝|F2F4|
2 2 2· 1 ＋ m 又 因 为 |y1 － y2| ＝ y1＋y22－4y1y2 ＝ ， 所 以 2d ＝ 2 m ＋2
2 2· 1＋m2 . 2 m ＋4
故四边形 APBQ 的面积 2 2· 1＋m2 1 S＝2|PQ|· 2d＝ 2－m2 3 ＝2 2· －1＋ . 2－m2 而 0<2－m2≤2，故当 m＝0 时，S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值 2.
第2讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题
高考定位 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定 值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以 直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要
综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形
结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数 恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．
圆锥曲线中的最值及范围问题(PPT)4-3
和耐蚀性。碲和它的化合物又是一种半导体材料。 钋（Polonium，Po）是一种银白色金属，能在黑暗中发光，由著名科学家居里夫人与丈夫皮埃尔·居里在 年发现，为了纪念居里夫人的祖国波兰,两人对这种元素命名为钋。钋是已知最稀有的元素之一，在地壳中含量约为万亿分之一，钋主要通过人工合成方式取 得。钋是世界上最度的物质之一。 中文名 钋 外文名 Polonium 元素符号 Po 原子量 元素类型 金属元素 CAS号 744-- 发现人 居里夫妇 目录 发现简史 元素分 布 理化性质 ? 物理性质 ? 化学性质 ? 制备方法 4 应用领域 中度事件 发现简史编辑 年皮埃尔·居里与玛丽·居里在处理铀矿时发现钋元素，玛丽·居里为纪念 自己祖国波兰（拉丁文 ： Polonia），把这种新元素定名为钋。 [] 居里夫人
碲可用作石油裂解催化剂的添加剂以及制取乙二醇的催化剂。氧化碲用作玻璃的着色剂。高纯碲可作温差电材料的合金组分。碲化铋为良好的制冷材料。碲 和若干碲化物是半导体材料。超纯碲单晶是新型的红外材料。 另外，在定时中，碲还是延时爆炸的引信。作为制造杀菌剂的原料，碲在医疗中，还可以提取
碘的同位素，治愈甲状腺类疾病。 主要用于石油裂化的催化剂，电镀液的光亮剂、玻璃的着色材料，添加到钢材中以增加其延性，添加到铅中增加它的强度
考试内容：
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线 的位置关系.
高考热点：
解析几何与代数方法的综合.
化态： Main Te+4 [] Other Te-， Te-， Te， Te+， Te+， Te+ [] 化学键能：（kJ /mol） Te-H 4 [] Te-O [] Te-F Te-F [] Te-Cl [] Te-Te [] 制备方法编辑 元素周期表 碲 元素周期表 碲 工业上是从铜冶炼的电解铜的阳极泥中提取碲 [] 。含碲约%的阳极泥干燥后在℃下进行硫酸化焙烧，然后在7℃使二氧化硒挥 发，碲留在焙烧渣中。用水； 精品课程 ；浸出硫酸铜，再用氢氧化钠溶液浸出，得到亚碲酸钠溶液。浸出液用硫酸中和，生成粗 氧化碲沉淀。两次重复沉淀氧化物，然后进行水溶液电解，可得含碲为 %～ %的碲。 [4] 可由炼锌的烟尘中回收而得。 [7] 应用领域编辑 安瓿中的无定型 碲 安瓿中的无定型碲 碲消费量的%是在冶金工业中应用：钢和铜合金加入少量碲，能改善其切削加工性能并增加硬度；在白口铸铁中碲被用作碳化物稳定剂， 使表面坚固耐磨；含少量碲的铅，可提高材料的耐蚀性、耐磨性和强度，用作海底电缆的护套；铅中加入碲能增加铅的硬度，用来制作电池极板和印刷铅字。
碲可用作石油裂解催化剂的添加剂以及制取乙二醇的催化剂。氧化碲用作玻璃的着色剂。高纯碲可作温差电材料的合金组分。碲化铋为良好的制冷材料。碲 和若干碲化物是半导体材料。超纯碲单晶是新型的红外材料。 另外，在定时中，碲还是延时爆炸的引信。作为制造杀菌剂的原料，碲在医疗中，还可以提取
碘的同位素，治愈甲状腺类疾病。 主要用于石油裂化的催化剂，电镀液的光亮剂、玻璃的着色材料，添加到钢材中以增加其延性，添加到铅中增加它的强度
考试内容：
椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线 的位置关系.
高考热点：
解析几何与代数方法的综合.
化态： Main Te+4 [] Other Te-， Te-， Te， Te+， Te+， Te+ [] 化学键能：（kJ /mol） Te-H 4 [] Te-O [] Te-F Te-F [] Te-Cl [] Te-Te [] 制备方法编辑 元素周期表 碲 元素周期表 碲 工业上是从铜冶炼的电解铜的阳极泥中提取碲 [] 。含碲约%的阳极泥干燥后在℃下进行硫酸化焙烧，然后在7℃使二氧化硒挥 发，碲留在焙烧渣中。用水； 精品课程 ；浸出硫酸铜，再用氢氧化钠溶液浸出，得到亚碲酸钠溶液。浸出液用硫酸中和，生成粗 氧化碲沉淀。两次重复沉淀氧化物，然后进行水溶液电解，可得含碲为 %～ %的碲。 [4] 可由炼锌的烟尘中回收而得。 [7] 应用领域编辑 安瓿中的无定型 碲 安瓿中的无定型碲 碲消费量的%是在冶金工业中应用：钢和铜合金加入少量碲，能改善其切削加工性能并增加硬度；在白口铸铁中碲被用作碳化物稳定剂， 使表面坚固耐磨；含少量碲的铅，可提高材料的耐蚀性、耐磨性和强度，用作海底电缆的护套；铅中加入碲能增加铅的硬度，用来制作电池极板和印刷铅字。
专题七7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题课件
10
2
x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=
.
2
2
1+5
1+5
所以 AB 中点的坐标为
5
- 1+5 2 , 1+5 2
所以弦 AB 的垂直平分线方程为
即
4
x+ky+1+5 2 =0.所以
将|m|= 1 +
|k|=
2 代入,得
d=
d=
4
1+5 2
1+ 2
线 l 与椭圆方程得
2
3
+
2
2
= 1,
= (-1),
6 2
3 2 -6
x1+x2=
,x1x2=
,
2+3 2
2+3 2
可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则
2
所以|AB|= (1 + 2 )(1 -2 ) =
6 2 2
-4
2+3 2
(1 + 2 )
因为圆心(0,0)到直线 l 的距离 d=
4
1+5 2
1+ 2
,
1
y-1+5 2 =-
5
x+1+5 2
,
.
=
|4|
1+5 2
=
4
1
+5||
||
≤2
4
5
=
2 5
,当且仅当
5
5
30
,|m|= 时,取等号.综上所述,点 O 到弦 AB 的垂直平分线的距离的最大
圆锥曲线中的范围、最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
设Q(xQ，yQ)，因为5A→B＝8Q→B，所以5(x2－x1)＝8(x2－xQ)，解得xQ＝2， 过点P作PH垂直准线于点H，根据抛物线的定义，得|PF|＋|PQ|＝|PH|＋ |PQ|，当Q，P，H三点共线且与x轴平行时，|PF|＋|PQ|有最小值，最小 值为|QH|＝2＋1＝3，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选A．
6时，f′(x)<0，f(x)在32，
6上单调递减，故当
x＝32时，f(x)有最
大值，
即当 x1＝32时，S△ABM 有最大值，此时 y1＝ 410，抛物线过点32， 410，所以 p＝254.
规律方法
函数法求最值(范围)问题就是构建关于变量的目标函数，将问 题转化为求函数的最值(或值域)，解决问题时要注意自变量的取值 范围．
则3x62 ＋2y02 ＝1， (x＋6)(x－4)＋y2＝0，
可得 2x2＋9x－18＝0，得 x＝32或 x＝－6. 由于 y>0，故 x＝32，于是 y＝523.
所以点
P
的坐标是32，5
2
3.
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上 的点到点M的距离d的最小值．
解：由(1)可得直线AP的方程是x－ 3 y＋6＝0，点B(6,0)． 设点 M 的坐标是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是|m＋2 6|，于是|m＋2 6|＝|m －6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2. 由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得 d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2＝49x－922＋15， 由于－6≤x≤6，由 f(x)＝49x－922＋15 的图象可知， 当 x＝92时，d 取最小值，且最小值为 15.
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Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
,
5 16
与定点 4,2所在直线的斜率。
一 当直线与椭圆相切即为 直线l1时斜率最大，
绕定点 4,2按顺时针方向旋转的过 程中斜率不断减小 .
设直线l1的方程为y 2 k( x 4) l2 y
l1
y 2 k( x 4)
3
x2 y2 16 9 1
·
-4
O
x
1 16
k2 9
x 2
x2 4
y2
1的左、右焦点 .
1若P是该椭圆上的一个动点 ，求PF1 PF2的最大值和最小值； 2设过定点M0,2的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B, 且AOB为锐角
其中O为坐标原点，求直线的斜率的取值 范围.
解：1设Px0 ,
y0 ,则
x02 4
y02
1.易知F1
-
3,0 , F2
所以PF1 3 x0 , y0 , PF2 3 x0 , y0
x2
y2
1
16 9
3x 4 y t
32 y2 8ty 16 9 t 2 0
64t2 4 32(t2 16 9) 0
t 12 2
几何法
变 题
设实数x, y满足 x 2 y 2 1则 y
解析：xy
2 4
16 9
x
的几何意义是椭圆上的
2 4
的取值范围是
动点x, y
l1
46
y
d
2
l2
42 32
P
P
-1 o ·F x
解题感悟： 几何法：若题目的条件和结论有明显的几何意义，
则考虑利用图形性质来解。
代数法
例3.已知F1、F2为椭圆x 2
y2 2
1的两个焦点，
AB是过焦点F1的一条动弦，求 ABF2面积的最大值 .
Y
· F2
O
x
· F1
B
A
代数法
例4.设F1、F2分别是椭圆
y
M·2
y1 y2 kx1 2kx2 2பைடு நூலகம்
B·
k 2 x1 x2 2k( x1 x2 ) 4
4 1 k2 1 4k 2
· F1
o
· F2
x
·
A
因为A0B为锐角，所以OA OB 0
又因为OA OB x1 x2 y1 y2
所以 12
1 4k 2
4 1 k2 1 4k 2
归纳小结
几何法
如图，已知A、B是椭圆 x2 y2 1
变
16 9
题
的两个顶点，C、D是椭圆上两点， 且分别在AB两侧，则四边形ACBD
二 面积的最大值是 _____.
y
B C
O
x A
D
解析：直线AB的方程为 : x y 1,即 : 3x 4 y 12
43
SABC
SABD
1 | AB|两切线间的距离 2
4k 9
2k
1x
16k 9
k
1
5 9
0
由 0 k 5
16
几何法
例2.已知直线l1 : 4x 3 y 6 0和直线l2 : x 1，抛物线y 2 4x
上一动点
P到直线l1
和直线
l
的距离之和的最小值是
2
解析：动点P到l2的距离可以转换为到F点的距离PF
由图可知，距离和的最小值，即F到l1的距离
0
2 k 2
②
y
由①②得 2 k 3 或 3 k 2
22
M·2
B·
· F1
o
· F2
x
·
A
解题感悟：
代数法：
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值； 或者根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组）， 通过不等式得出参数的范围或最值。
3 ,0
y
所以PF1 PF2 3 x0 3 x0 y02
M·2
x02
31
x02 4
3 4
x02
2
PB·
· F1
o
· F2
x
因为P在椭圆上，所以 2 x0 2
·
A
所以，当x0 当x0 2时,
0时 PF1
P FP1F2P取F最2取大最值小为值43为4340221
2
代数法
（2）显然直线l的斜率存在且不为0
法二：
y3x t 44
25 x 2
3 tx
t2
1 0
o
x
x2 y2 1
9
8 16
△=0
几何法
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1 y 16 9
则3x 4 y的最大值是 ____， O 最小值是 _____.
x
3x 4y t
解析:设 3x 4 y t当该直线与椭圆相切时t取得最大最小值
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值；或者 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组） 通过不等式得出参数的范围或最值。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
1 32 42 |12 2 (12 2)| 1 5 24 2 12 2
2
32 42
2
5
y
M·2 B·
· F1
o
· F2
x
·
A
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值联想到 斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面中两点之 间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意义，则可数 形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。
设l的方程为：y kx 2, Ax1 , y1 , Bx2 , y2
y kx 2
x2 4
y2
1
1 4k 2 x 2 16kx 12 0
16k 2 4 1 4k 2 12 0
k 3 或k 3 ①
16k
x1
x2
1
4k 2
2
2
12
x1 x2 1 4k 2
一、圆锥曲线背景下的最值问题与范围 问题是高考的一个热点和难点。
几何法
二、求解方法：
代数法
几何法
知识回顾：
设实数x, y满足x2 y 2 1则3x 4 y的最大值是
最小值是
分析：令t 3x 4 y,则y 3 x t
44
该直线在y轴上的截距最大时t最大，
截距最小是t最小.
y
法一：利用圆心到直线的距离等于半径求t
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,
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与定点 4,2所在直线的斜率。
一 当直线与椭圆相切即为 直线l1时斜率最大，
绕定点 4,2按顺时针方向旋转的过 程中斜率不断减小 .
设直线l1的方程为y 2 k( x 4) l2 y
l1
y 2 k( x 4)
3
x2 y2 16 9 1
·
-4
O
x
1 16
k2 9
x 2
x2 4
y2
1的左、右焦点 .
1若P是该椭圆上的一个动点 ，求PF1 PF2的最大值和最小值； 2设过定点M0,2的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B, 且AOB为锐角
其中O为坐标原点，求直线的斜率的取值 范围.
解：1设Px0 ,
y0 ,则
x02 4
y02
1.易知F1
-
3,0 , F2
所以PF1 3 x0 , y0 , PF2 3 x0 , y0
x2
y2
1
16 9
3x 4 y t
32 y2 8ty 16 9 t 2 0
64t2 4 32(t2 16 9) 0
t 12 2
几何法
变 题
设实数x, y满足 x 2 y 2 1则 y
解析：xy
2 4
16 9
x
的几何意义是椭圆上的
2 4
的取值范围是
动点x, y
l1
46
y
d
2
l2
42 32
P
P
-1 o ·F x
解题感悟： 几何法：若题目的条件和结论有明显的几何意义，
则考虑利用图形性质来解。
代数法
例3.已知F1、F2为椭圆x 2
y2 2
1的两个焦点，
AB是过焦点F1的一条动弦，求 ABF2面积的最大值 .
Y
· F2
O
x
· F1
B
A
代数法
例4.设F1、F2分别是椭圆
y
M·2
y1 y2 kx1 2kx2 2பைடு நூலகம்
B·
k 2 x1 x2 2k( x1 x2 ) 4
4 1 k2 1 4k 2
· F1
o
· F2
x
·
A
因为A0B为锐角，所以OA OB 0
又因为OA OB x1 x2 y1 y2
所以 12
1 4k 2
4 1 k2 1 4k 2
归纳小结
几何法
如图，已知A、B是椭圆 x2 y2 1
变
16 9
题
的两个顶点，C、D是椭圆上两点， 且分别在AB两侧，则四边形ACBD
二 面积的最大值是 _____.
y
B C
O
x A
D
解析：直线AB的方程为 : x y 1,即 : 3x 4 y 12
43
SABC
SABD
1 | AB|两切线间的距离 2
4k 9
2k
1x
16k 9
k
1
5 9
0
由 0 k 5
16
几何法
例2.已知直线l1 : 4x 3 y 6 0和直线l2 : x 1，抛物线y 2 4x
上一动点
P到直线l1
和直线
l
的距离之和的最小值是
2
解析：动点P到l2的距离可以转换为到F点的距离PF
由图可知，距离和的最小值，即F到l1的距离
0
2 k 2
②
y
由①②得 2 k 3 或 3 k 2
22
M·2
B·
· F1
o
· F2
x
·
A
解题感悟：
代数法：
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值； 或者根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组）， 通过不等式得出参数的范围或最值。
3 ,0
y
所以PF1 PF2 3 x0 3 x0 y02
M·2
x02
31
x02 4
3 4
x02
2
PB·
· F1
o
· F2
x
因为P在椭圆上，所以 2 x0 2
·
A
所以，当x0 当x0 2时,
0时 PF1
P FP1F2P取F最2取大最值小为值43为4340221
2
代数法
（2）显然直线l的斜率存在且不为0
法二：
y3x t 44
25 x 2
3 tx
t2
1 0
o
x
x2 y2 1
9
8 16
△=0
几何法
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1 y 16 9
则3x 4 y的最大值是 ____， O 最小值是 _____.
x
3x 4y t
解析:设 3x 4 y t当该直线与椭圆相切时t取得最大最小值
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值；或者 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组） 通过不等式得出参数的范围或最值。
写在最后
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1 32 42 |12 2 (12 2)| 1 5 24 2 12 2
2
32 42
2
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y
M·2 B·
· F1
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· F2
x
·
A
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值联想到 斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面中两点之 间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意义，则可数 形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。
设l的方程为：y kx 2, Ax1 , y1 , Bx2 , y2
y kx 2
x2 4
y2
1
1 4k 2 x 2 16kx 12 0
16k 2 4 1 4k 2 12 0
k 3 或k 3 ①
16k
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x2
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4k 2
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2
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x1 x2 1 4k 2
一、圆锥曲线背景下的最值问题与范围 问题是高考的一个热点和难点。
几何法
二、求解方法：
代数法
几何法
知识回顾：
设实数x, y满足x2 y 2 1则3x 4 y的最大值是
最小值是
分析：令t 3x 4 y,则y 3 x t
44
该直线在y轴上的截距最大时t最大，
截距最小是t最小.
y
法一：利用圆心到直线的距离等于半径求t