公开课圆锥曲线背景下的最值与范围精品PPT课件
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一、圆锥曲线背景下的最值问题与范围 问题是高考的一个热点和难点。
几何法
二、求解方法：
代数法
几何法
知识回顾：
设实数x, y满足x2 y 2 1则3x 4 y的最大值是
最小值是
分析：令t 3x 4 y,则y 3 x t
44
该直线在y轴上的截距最大时t最大，
截距最小是t最小.
y
法一：利用圆心到直线的距离等于半径求t
x2
y2
1
16 9
3x 4 y t
32 y2 8ty 16 9 t 2 0
64t2 4 32(t2 16 9) 0
t 12 2
几何法
变 题
设实数x, y满足 x 2 y 2 1则 y
解析：xy
2 4
16 9
x
的几何意义是椭圆上的
2 4
的取值范围是
动点x, y
3 ,0
y
所以PF1 PF2 3 x0 3 x0 y02
M·2
x02
31
x02 4
3 4
x02
2
PB·
· F1
o
· F2
x
因为P在椭圆上，所以 2 x0 2
·
A
所以，当x0 当x0 2时,
0时 PF1
P FP1F2P取F最2取大最值小为值43为4340221
2
代数法
（2）显然直线l的斜率存在且不为0
设l的方程为：y kx 2, Ax1 , y1 , Bx2 , y2
y kx 2
x2 4
y2
1
1 4k 2 x 2 16kx 12 0
16k 2 4 1 4k 2 12 0
k 3 或k 3 ①
16k
x1
x2
1
4k 2
2
2
12
x1 x2 1 4k 2
法二：
y3x t 44
25 x 2
3 tx
t2
1 0
o
x
x2 y2 1
9
8 16
△=0
几何法
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1 y 16 9
则3x 4 y的最大值是 ____， O 最小值是 _____.
x
3x 4y t
解析:设 3x 4 y t当该直线与椭圆相切时t取得最大最小值
x2 4
y2
1的左、右焦点 .
1若P是该椭圆上的一个动点 ，求PF1 PF2的最大值和最小值； 2设过定点M0,2的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B, 且AOB为锐角
其中O为坐标原点，求直线的斜率的取值 范围.
解：1设Px0 ,
y0 ,则
x02 4
y02
1.易知F1
-
3,0 , F2
所以PF1 3 x0 , y0 , PF2 3 x0 , y0
0
2 k 2
②
y
由①②得 2 k 3 或 3 k 2
22
M·2
B·
· F1
o
· F2
x
·
A
解题感悟：
代数法：
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值； 或者根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组）， 通过不等式得出参数的范围或最值。
百度文库
l1
46
y
d
2
l2
42 32
P
P
-1 o ·F x
解题感悟： 几何法：若题目的条件和结论有明显的几何意义，
则考虑利用图形性质来解。
代数法
例3.已知F1、F2为椭圆x 2
y2 2
1的两个焦点，
AB是过焦点F1的一条动弦，求 ABF2面积的最大值 .
Y
· F2
O
x
· F1
B
A
代数法
例4.设F1、F2分别是椭圆
归纳小结
几何法
如图，已知A、B是椭圆 x2 y2 1
变
16 9
题
的两个顶点，C、D是椭圆上两点， 且分别在AB两侧，则四边形ACBD
二 面积的最大值是 _____.
y
B C
O
x A
D
解析：直线AB的方程为 : x y 1,即 : 3x 4 y 12
43
SABC
SABD
1 | AB|两切线间的距离 2
1 32 42 |12 2 (12 2)| 1 5 24 2 12 2
2
32 42
2
5
y
M·2 B·
· F1
o
· F2
x
·
A
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值联想到 斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面中两点之 间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意义，则可数 形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。
4k 9
2k
1x
16k 9
k
1
5 9
0
由 0 k 5
16
几何法
例2.已知直线l1 : 4x 3 y 6 0和直线l2 : x 1，抛物线y 2 4x
上一动点
P到直线l1
和直线
l
的距离之和的最小值是
2
解析：动点P到l2的距离可以转换为到F点的距离PF
由图可知，距离和的最小值，即F到l1的距离
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
,
5 16
与定点 4,2所在直线的斜率。
一 当直线与椭圆相切即为 直线l1时斜率最大，
绕定点 4,2按顺时针方向旋转的过 程中斜率不断减小 .
设直线l1的方程为y 2 k( x 4) l2 y
l1
y 2 k( x 4)
3
x2 y2 16 9 1
·
-4
O
x
1 16
k2 9
x 2
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值；或者 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组） 通过不等式得出参数的范围或最值。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
y
M·2
y1 y2 kx1 2kx2 2
B·
k 2 x1 x2 2k( x1 x2 ) 4
4 1 k2 1 4k 2
· F1
o
· F2
x
·
A
因为A0B为锐角，所以OA OB 0
又因为OA OB x1 x2 y1 y2
所以 12
1 4k 2
4 1 k2 1 4k 2
几何法
二、求解方法：
代数法
几何法
知识回顾：
设实数x, y满足x2 y 2 1则3x 4 y的最大值是
最小值是
分析：令t 3x 4 y,则y 3 x t
44
该直线在y轴上的截距最大时t最大，
截距最小是t最小.
y
法一：利用圆心到直线的距离等于半径求t
x2
y2
1
16 9
3x 4 y t
32 y2 8ty 16 9 t 2 0
64t2 4 32(t2 16 9) 0
t 12 2
几何法
变 题
设实数x, y满足 x 2 y 2 1则 y
解析：xy
2 4
16 9
x
的几何意义是椭圆上的
2 4
的取值范围是
动点x, y
3 ,0
y
所以PF1 PF2 3 x0 3 x0 y02
M·2
x02
31
x02 4
3 4
x02
2
PB·
· F1
o
· F2
x
因为P在椭圆上，所以 2 x0 2
·
A
所以，当x0 当x0 2时,
0时 PF1
P FP1F2P取F最2取大最值小为值43为4340221
2
代数法
（2）显然直线l的斜率存在且不为0
设l的方程为：y kx 2, Ax1 , y1 , Bx2 , y2
y kx 2
x2 4
y2
1
1 4k 2 x 2 16kx 12 0
16k 2 4 1 4k 2 12 0
k 3 或k 3 ①
16k
x1
x2
1
4k 2
2
2
12
x1 x2 1 4k 2
法二：
y3x t 44
25 x 2
3 tx
t2
1 0
o
x
x2 y2 1
9
8 16
△=0
几何法
例1.设实数x，y满足 x2 y2 1 y 16 9
则3x 4 y的最大值是 ____， O 最小值是 _____.
x
3x 4y t
解析:设 3x 4 y t当该直线与椭圆相切时t取得最大最小值
x2 4
y2
1的左、右焦点 .
1若P是该椭圆上的一个动点 ，求PF1 PF2的最大值和最小值； 2设过定点M0,2的直线l与椭圆交于不同的两点 A、B, 且AOB为锐角
其中O为坐标原点，求直线的斜率的取值 范围.
解：1设Px0 ,
y0 ,则
x02 4
y02
1.易知F1
-
3,0 , F2
所以PF1 3 x0 , y0 , PF2 3 x0 , y0
0
2 k 2
②
y
由①②得 2 k 3 或 3 k 2
22
M·2
B·
· F1
o
· F2
x
·
A
解题感悟：
代数法：
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值； 或者根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组）， 通过不等式得出参数的范围或最值。
百度文库
l1
46
y
d
2
l2
42 32
P
P
-1 o ·F x
解题感悟： 几何法：若题目的条件和结论有明显的几何意义，
则考虑利用图形性质来解。
代数法
例3.已知F1、F2为椭圆x 2
y2 2
1的两个焦点，
AB是过焦点F1的一条动弦，求 ABF2面积的最大值 .
Y
· F2
O
x
· F1
B
A
代数法
例4.设F1、F2分别是椭圆
归纳小结
几何法
如图，已知A、B是椭圆 x2 y2 1
变
16 9
题
的两个顶点，C、D是椭圆上两点， 且分别在AB两侧，则四边形ACBD
二 面积的最大值是 _____.
y
B C
O
x A
D
解析：直线AB的方程为 : x y 1,即 : 3x 4 y 12
43
SABC
SABD
1 | AB|两切线间的距离 2
1 32 42 |12 2 (12 2)| 1 5 24 2 12 2
2
32 42
2
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y
M·2 B·
· F1
o
· F2
x
·
A
有些最值问题具有相应的几何意义（如求分数最值联想到 斜率公式，求平方和最值联想到距离公式，平面中两点之 间线段最短等等），若能恰当地利用其几何意义，则可数 形结合，或者将图形局部进行转化，使最值问题得以求解。
4k 9
2k
1x
16k 9
k
1
5 9
0
由 0 k 5
16
几何法
例2.已知直线l1 : 4x 3 y 6 0和直线l2 : x 1，抛物线y 2 4x
上一动点
P到直线l1
和直线
l
的距离之和的最小值是
2
解析：动点P到l2的距离可以转换为到F点的距离PF
由图可知，距离和的最小值，即F到l1的距离
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
,
5 16
与定点 4,2所在直线的斜率。
一 当直线与椭圆相切即为 直线l1时斜率最大，
绕定点 4,2按顺时针方向旋转的过 程中斜率不断减小 .
设直线l1的方程为y 2 k( x 4) l2 y
l1
y 2 k( x 4)
3
x2 y2 16 9 1
·
-4
O
x
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k2 9
x 2
若题目的条件和结论难以体现一种明确的函数关系， 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值；或者 根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式（组） 通过不等式得出参数的范围或最值。
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
y
M·2
y1 y2 kx1 2kx2 2
B·
k 2 x1 x2 2k( x1 x2 ) 4
4 1 k2 1 4k 2
· F1
o
· F2
x
·
A
因为A0B为锐角，所以OA OB 0
又因为OA OB x1 x2 y1 y2
所以 12
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