椭圆及其标准方程(1)PPT课件
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【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
,, 2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
椭圆标准方程1-PPT课件
F2（0，c）
[3]c2= a2 - b2
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 进 8
比较：
x y 2 1( a b 0 ) 2 a b
y x 1 ( a b 0 ) 2 2 a b
焦点在分母大 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 的那个轴上 进
2 2
y
M
2
2
F1
0 y F2
F2
2 10
a 10
2 2
Hale Waihona Puke 12又∵c=2∴b2=a2-c2=10-4=6
y x 1 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 故所求椭圆的标准方程为： 10 6 进
求椭圆标准方程的解题步骤：
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用待定系数法确定a、b 的值，写出椭圆的标准方程.
x y 1 故所求椭圆的标准方程为： 学贵有疑，小疑则小进，大疑则大 25 9 进
2
2
11
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. y2 x2 （2）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b 3 3 2 5 2 2 5 2 2 a ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 2
2
2
2
2
⑵
⑶
练习[二]
[五]定义应用
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2）， 并且椭圆经过点（-1.5，2.5）. 2 x y2 （1）解：依题意，可设椭圆方程为： 2 2 1 (ab0 ) a b ∵2a=10,∴a=5,又∵c=4 ∴b2=a2-c2=52-42=9
第1节 椭圆标准方程和几何性质ppt课件
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 焦点位置
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在x轴上
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 对称性
顶点 性质 轴长
焦距 离心率 a,b,c的
关系
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a -b≤y≤b
a5 两个焦点分别为F1(3, 0)和F2 (3, 0), 四个顶点的坐标分别为A1(5, 0), A2 (5, 0), B1(0, 4)和B2 (0, 4).
【变式1-1】(2019新课标II卷,文)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是
椭圆 x2 y2 1的一个焦点,则p=( ) 3p p
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】 D 【解析】 由题意可得:3 p p ( p )2,解得p 8.故选D.
2
【变式1-2】 (2018新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C:
x2 a2
y2 4
1的一
个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
D. 2 2
3
2
2
3
【答案】 C 【解析】 根据题意,可知c 2,因为b2 4, 所以a2 b2 c2 8, 即a 2 2,所以椭圆C的离心率为e 2 2 ,故选C.
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称轴:x轴、y轴; 对称中心:(0,0)
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
椭圆及其标准方程ppt课件
依题意有
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
人教A版高中数学选择性必修一3.1.1椭圆及其标准方程课件
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
本章研究的基本思路：现实背景一曲线的概念一曲线的方程一
曲线的性质一实际应用.
二、教学过程—归纳抽象，获得概念
引导语：椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生
结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别
是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
通过互联网阅读圆锥曲线的形成与发展
一、教学过程—立足全章，新知引入
问题2：历史上，古希腊人曾用纯几何的方法研究圆锥曲线．17世纪
后，人们开始用坐标法研究圆锥曲线．你能猜测这些变化的大致原
2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
( > >0) ⑥
+ =1
2
2
2
= 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
设点M与焦点 1 ，2 的距离的和等于2.
(2)点满足的几何条件.由椭圆的定义可知，
椭圆可看作点集 = | 1 + 2 = 2 .
根据建立曲线方程的五个步骤，推导椭圆的标准方程：
(3)几何关系代数化.因为 1 = ( + )2 + 2 ,
2 = ( − )2 + 2 ,
将方程④两边同除以2 (2
高中数学选择性必修一课件：椭圆及其标准方程(第1课时)
4．椭圆方程中的 a，b 以及参数 c 有什么意义，它们满足什么关系？ 答：椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的 一半，可借助图形(如图)帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个 直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距，a， b，c 始终满足关系式 a2＝b2＋c2.
2．求椭圆的标准方程时，应先判断焦点位置再设出标准方程，若不能确定 焦点的位置，可分两类设出椭圆方程或设两种椭圆方程的统一形式．
3．两种椭圆方程的统一形式为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)或xm2＋yn2＝ 1(m>0，n>0，m≠n)．
课后巩固
1．设定点 F1(0，－3)，F2(0，3)，动点 P 满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，
(2)因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． 方 法 一 ： 由 椭 圆 的 定 义 知 2a ＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2 ＋ （4－0）2＋（3 2－2）2＝6＋ 2＋6－ 2＝12，解得 a＝6. 又 c＝2，所以 b＝ a2－c2＝4 2. 所以椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，那么设所求的椭圆方程为ay22＋ bx22＝1(a>b>0)．
(2)如果椭圆的中心在原点，但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上， 那么椭圆方程可以设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解．
3．怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？ 答：看 x2，y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的 分母是 a2，较小的分母是 b2.如果 x2 的分母大，那么焦点就在 x 轴上；如果 y2 的 分母大，那么焦点就在 y 轴上．
椭圆及其标准方程ppt课件
c表示).
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
M
C
F1
F2
情景二：
M
问题1：当, 的大小变化时，得到的图像是什么？
（1） 必须在平面内;
（2）两个定点---两点间距离确定;
（3）定长---轨迹上任意点到两定点距离和确定.
注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：
C
F1
F2
问题2
(1)已知A(−3,0), B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是
1 = 2 = ， = 2 − 2 ，
令b= = 2 − 2 ，
2
那么方程 2
2
2
+
2
2
+
2
2 − 2
=1
=1 >>0 .
1
2
概念3：
y
2
2
+
2
2
= 1 > > 0 叫做椭圆的标准方程.
M
它表示焦点在x轴上，
焦点坐标：1 (−, 0)，2 (, 0)
(3)若|1| + |2| < |12|, 点轨迹不存在.
2.求椭圆的标准方程
情景三：
问题3：回忆下圆的方程：我们是如何求圆轨迹方程的？
（1）建系
（2）设点
（3）限制条件
（4）代换
（5）化简
求轨迹方程的流程---------建设现代化
类比这个方法，我们开始求取椭圆的标
准方程
追问1：我们该如何建系？
整理，得 2 − 2 2 + 2 2 = 2 2 − 2 . ④
2
2
将方程④两边同除以 −
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共34张PPT).ppt
焦点在x轴上：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
焦点在y轴上：
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
y
O
x
其中, PF1 PF2 2a, F1F2 2c,c2 a2 b2.
问题4：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0,-c)，F2 (0,c)，a,b的意义同上， 则椭圆的方程是什么？
F1(c,0), F2(c,0) F1(0,c), F2 (0,c)
概念辨析1：椭圆的定义
1.命题甲: 动点P到两定点A、B的距离之和| PA | | PB | 2a(a为常数,a 0)
命题乙: 动点P的轨迹是椭圆.
则命题甲是命题乙的___B____条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
甲 / 乙 乙甲
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若两定点F1, F2,且 F1F2 10,则满足下列条件的动点P 的轨迹是什么？ ① PF1 PF2 10; 线段F1F2 ② PF1 PF2 16; 椭圆 ③ PF1 PF2 6. 不存在
1(a
b 0),
(法1) 2a
22 3
2
5
22 3 5 2
( 15
3)2
( 15
3)2 2 15,
a 15,b2 15 5 10,方程 y2 x2 1为所求.
15 10
(法2)
代入(2,3)得
9 a2
4 b2
1,
又b2
a2
5,
联立解得a2
15或3(3
设为 y2
a2
x2
b2
1(a
b 0)
课件椭圆及其标准方程_人教版高中数学选修PPT课件_优秀版
思 考 为什么要求 2a2c?
当绳长等于两定点间
距离即2a=2c 时,
M
轨迹为线段；
F1
F2
当绳长小于两定点
间距离即2a<2c时，
轨迹不存在。
F1
F2
例1：命题甲：动点P到两定点A，B的距离之 和|PA|＋|PB|恒等于一个常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y (x5); AM x5
k 同理，直线BM的斜率
y (x5); BM x5
由已知有 y y 4(x5)
x5 x5 9
化简，得点M的轨迹方程为
x2
y2 1( x 5).
25 100
9 椭圆
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
D
例3已：知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P 5 ， 3 ，求它的标准方程.
2 2
y
解：因为椭圆的焦点在 x轴上，设
x2 a2
by22
1(ab0)
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
MFMFa， 为什么要求
已知椭圆两个焦点的坐标分别是( -2, 0 ), (2,0)，
并且经过点P
那么，如何求椭圆1的方程呢？ 2
y M ，求它的标准方程.
又设M与F1， F2的距离的和等于2a
a b c， 2 2 又因为 ， 所以
那么，如何求椭圆的方程呢？
2
（1）距离的和2a 大于焦距2c ，即2a>2c>0.
椭圆及其标准方程ppt课件
PF1 PF2 2a , F1 F2 2c，求动点 P 的轨迹方程.
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
y
y
y
O
F1
2
F2
2
x
y
2 1
2
a
b
P ( x, y )
P ( x, y )
P ( x, y )
x
F1
x c
a2
x
F2
2
2
y
2 1
b
x
F2
F1
x c
a2
2
y2
2 1
b
16
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
（2）设椭圆的焦距 F1F2 2c c 0
（3）椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数
2a a c .
8
探究二
例1 用定义判断下列动点的运动轨迹是否为椭圆.
(1) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为6
的点的轨迹.
是
(2) 在平面内，到 F1 2,0 , F2 2,0 的距离之和为4
结果？
线段 F1F2
4.如果绳子的长度小于F1F2的距离时，你是否还能
画出图形？ 不存在运动轨迹
7
探究二
思考：你能否根据以上实验操作，类比圆的定义，
归纳总结出椭圆的定义？
椭圆定义 平面内到两定点 F1 、F2 的距离之和等于
常数（大于 F1F2 ）的点的集合叫作椭圆。
（1）焦点：定点 F1 、F2
建系
设点
列式
化简
证明
10
已知：在平面内有两个定点 F1 、F2 和动点 P ，满足
人教A版高二数学《椭圆及其标准方程》课件
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
M
椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐 标分别是(c,0)、(c,0) .
F1 0 F x
2
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
代入坐标 | MF1 | (x c)2 y2 ,| MF2 | (x c)2 y2
点 焦点的位 x2 , y2 项中哪个分母大，焦点就在哪一条
置的判定
坐标轴上.
15
x2 变式1：椭圆的方程为：3
y2 7
1
,
则
a=____7_，b=____3___，c=___2____，焦点坐
标为：(0_,_2_)和__（__0_,-_2_）_焦距等于_____4_____;曲
线上一点P到焦点F2的距离为3，则点P到另 一个焦点F1的距离等于___2__7___3_，则 △F1PF2的周长为_2__7___4_____ y
25 16
25 16
思考：求合适下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭
圆经过点(5,0)．
y
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设
x2 a2
y2 b2
1(a
>
b>
0).
由椭圆的定义知
F1 O
F2 P x
2a (5 4)2 (0 0)2 (5 4)2 (0 0)2 10，
所以 a 5.
又因为 c 4，所以 b2 a2 c2 25 16 9.
因此，所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1. 25 9
定义法 20
椭圆及其标准方程ppt课件
令b=POI=√a²-c², 那么方程⑤就
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变 形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y) 都满足方程⑥;反之，以方程⑥的解为 坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(c,0),(-c,0)的距离之和为2a, 即以方程⑥的 解为坐标的点都在椭圆上.则方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做圆的标准方 程.它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F(-c,0),F₂ (c,0) 的椭圆，这里
所以点M 的轨迹是椭圆.
例3如图，设A,B 两点的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM 相交于点M, 且它们的斜率之积是 ,求点M 的轨迹方程.
事
解 ：设点M 的坐标为(x,y),因为点A 的坐标是(-5,0), 所以直线AM的斜率 同理，直线 BM 的斜率 由已知有
化简得点M 的轨迹方程为
设M(x,y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0), 那么焦点F,F₂ 的 坐 标分别为(-c,0),(c,0) ,根据椭圆的定义，设点M 与焦点F,F₂ 的距离的和等于 2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF₁I+|MF₂I=2a}. 因为IMFI= √ (x+c)²+y²,IMF₂F= √ (x-c)²+y², 所以J(x+c)²+y²+ √ (x-c)²+y²=2a.① 化简得√(x+c)²+y²=2a-√(x-c)²+y².② 对方程②两边平方得(x+c)²+y²=4a²-4aJ(x-c)²+y²+(x-c)²+y². 整理得a²-cx=aJ(x-c)²+y².③
3.1.1椭圆及其标准方程(1)课件高二上学期数学人教A版选择性
【解析】 (1) 因为方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，
m＋9>25－m，
所以m＋9>0， 25－m>0，
解得 8<m<25.
故实数 m 的取值范围是(8,25)．
内容索引
(2)
将椭圆方程化成标准方程y12＋
x2 1
＝1，
k 2k
因为椭圆的一个焦点坐标为(0，－4)，所以1k－21k＝16，解得 k＝312.
内容索引
首先把椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据 方程求出半焦距c的值，从而写出焦点坐标．
内容索引
(1) 已知方程25x－2 m＋m＋y2 9＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 m
的取值范围；
(2) 若椭圆 2kx2＋ky2＝1 的一个焦点为(0，－4)，求实数 k 的值．
12345
内容索引
谢谢观看
Thank you for watching
在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
【解析】 把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的 长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数．
内容索引
1. 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__常__数__(_大__于__F_1_F_2_) _的点 的轨迹叫作椭圆，这__两__个__定__点____叫作椭圆的焦点，_两__焦__点__间__的__距__离_叫 作椭圆的焦距，焦距的__一__半____称为半焦距．
故实数 k 的值为312.
内容索引
内容索引
1. (2022·无锡一中期中)已知椭圆 C：x2＋yk2＝1 的一个焦点是(0,1)， 则 k 的值是( )
1
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由椭圆定义知，动点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点，焦距 为 8 的椭圆．其标准方程为2x52 ＋y92＝1 或2y52 ＋x92＝1.
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
• 新知导学
• 1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的 连轨结这迹两为点的线段的垂直平分线
______________________________．也曾 讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的 轨迹的情形．那么平面内到两定和点距离的和 (或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？ (1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧， 把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在 方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方． 4．椭圆的标准方程 ，参数 a、b(a>b>0)有什么意义？方程 ax22＋by22＝1 与ay22＋bx22＝1 有何不同？a、b、c 满足什么关系？
A．－1
B．1
C. 5
D．－ 5
• [答案] B
[解析] 由 5x2＋ky2＝5 得，x2＋y52＝1. k
∵焦点为(0,2)， ∴a2＝5k，b2＝1， ∴c2＝a2－b2＝5k－1＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ∴k＝1.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与 两焦点的距离的和等于 8，则椭圆的标准方程为________； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过 点( 3，－ 5)的椭圆的标准方程为________； (3)焦点在坐标轴上，且经过 A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点 的椭圆的标准方程为________________________． [答案] (1)1x62 ＋y72＝1 (2)2y02 ＋x42＝1 (3)31x02＋1y02 ＝1
• 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由 于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单， 必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使 已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能 简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过 两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，
一个焦点坐标是( )
A．(3,0)
B．(0,3)
C．(0,1)
D．(1,0)
• [答案] D
[解析] 由椭圆的标准方程x52＋y42＝1 可知，焦点在 x 轴上， 且 c＝ a2－b2＝ 5－4＝1，所以椭圆的焦点坐标为(±1,0)，故 选 D.
3．椭圆 5x2＋ky2＝5 的一个焦点是(0,2)，那么 k＝( )
• a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a、 b、c的关系如图．
当 a>b>0 时，方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，方 程ay22＋bx22＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大．
牛刀小试
2．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)椭圆x52＋y42＝1 的
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
(3)在椭圆方程中含两个待定系数，由椭圆过 A、B 两点建 立方程组可解，只需将方程设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
• 焦2点．平两面焦内点与两个定点F1、F2的距离的 _____线_段_|等F1F于2| 常数(大于|F1F2|)的点的不轨存在迹(或 集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ______，________间的距离叫做椭圆的焦 距．当常数等于|F F |时轨迹为__________，
• 牛刀小试 • 1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， • (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的
·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程 第二章
2.2 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程
第二章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程．
(2)因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以动点 M 的轨迹是线 段 F1F2.
•椭圆的标准方程思维导航
• 1．如何建立坐标系才能使椭圆的方程比较简 单．
轨迹是______________________． • (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨
迹是____________________． • [答案] 以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆
线段F1F2
[解析] (1)因为|F1F2|＝8 且动点 M 满足|MF1|＋|MF2|＝ 10>8＝|F1F2|，
• 2．在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|＝2c， 常数为2a？为何令a2－c2＝b2，
• 在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆 上任意一点到两个焦点的距离的和为2a(a>0)， 这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出 现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形 式简单．令a2－c2＝b2是为了使方程的形式 整齐而便于记忆．
• 3．通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导， 培养观察、分析、探索能力和数形结合、等 价转化的思想方法，提高用坐标法解决几何 问题的能力．
• 重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形 式．
• 难点：椭圆标准方程的建立和推导．
•椭圆的定义思维导航
• 在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车 的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行 星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在 圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形 的．那么椭圆是怎样定义的？怎样才能画出 椭圆呢？
• 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸 板，你能画出椭圆吗？
• 新知导学
• 1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的 连轨结这迹两为点的线段的垂直平分线
______________________________．也曾 讨论过到两定点距离之比为某个常数的点的 轨迹的情形．那么平面内到两定和点距离的和 (或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？
3．推导椭圆方程时，需化简无理式，应注意什么？ (1)方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧， 把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在 方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式，然后两边平方． 4．椭圆的标准方程 ，参数 a、b(a>b>0)有什么意义？方程 ax22＋by22＝1 与ay22＋bx22＝1 有何不同？a、b、c 满足什么关系？
A．－1
B．1
C. 5
D．－ 5
• [答案] B
[解析] 由 5x2＋ky2＝5 得，x2＋y52＝1. k
∵焦点为(0,2)， ∴a2＝5k，b2＝1， ∴c2＝a2－b2＝5k－1＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， ∴k＝1.
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与 两焦点的距离的和等于 8，则椭圆的标准方程为________； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆经过 点( 3，－ 5)的椭圆的标准方程为________； (3)焦点在坐标轴上，且经过 A(－ 2，2)和 B( 3，1)两点 的椭圆的标准方程为________________________． [答案] (1)1x62 ＋y72＝1 (2)2y02 ＋x42＝1 (3)31x02＋1y02 ＝1
• 求椭圆的方程，首先要建立直角坐标系，由 于曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同，曲线的方程也不同，为了使方程简单， 必须注意坐标系的选择．一般情况下，应使 已知点的坐标和直线(或曲线)的方程尽可能 简单，在求椭圆的标准方程时，选择x轴经过 两个定点F1、F2，并且使坐标原点为线段 F1F2的中点，这样两个定点的坐标比较简单，
一个焦点坐标是( )
A．(3,0)
B．(0,3)
C．(0,1)
D．(1,0)
• [答案] D
[解析] 由椭圆的标准方程x52＋y42＝1 可知，焦点在 x 轴上， 且 c＝ a2－b2＝ 5－4＝1，所以椭圆的焦点坐标为(±1,0)，故 选 D.
3．椭圆 5x2＋ky2＝5 的一个焦点是(0,2)，那么 k＝( )
• a表示椭圆上的点到两焦点距离和的一半，a、 b、c的关系如图．
当 a>b>0 时，方程ax22＋by22＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，方 程ay22＋bx22＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应 的那个项的分母就大．
牛刀小试
2．(2014·淄博市临淄中学学分认定考试)椭圆x52＋y42＝1 的
[分析] (1)由焦点坐标知椭圆的焦点在 x 轴上，且可知 c 的值，由 P 到两焦点距离和可求出 a，进而可求出 b2.
(2)由两焦点坐标可知 c 值及焦点在 y 轴上，结合 a2＝b2＋ c2 可设出椭圆的标准方程，再结合椭圆经过点( 3，－ 5)，可 确定 a、b 的值．
(3)在椭圆方程中含两个待定系数，由椭圆过 A、B 两点建 立方程组可解，只需将方程设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
• 焦2点．平两面焦内点与两个定点F1、F2的距离的 _____线_段_|等F1F于2| 常数(大于|F1F2|)的点的不轨存在迹(或 集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ______，________间的距离叫做椭圆的焦 距．当常数等于|F F |时轨迹为__________，
• 牛刀小试 • 1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， • (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的
·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程 第二章
2.2 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程
第二章
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中 抽象出椭圆的过程和椭圆标准方程的推导与 化简过程．
• 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形， 会用待定系数法求椭圆的标准方程．