第七章 固有模态理论
模态分析的基础理论
模态分析的基础理论模态分析是一种研究系统中不同模式的分布、生成和演化规律的方法。
在这个理论中，模态是指系统中不同状态或形式的存在形式，例如质量分数、温度、湿度等。
模态分析的基础理论包括概率论、统计学和模态分析技术等。
概率论是模态分析的基础之一、它研究随机事件的发生概率和规律。
在模态分析中，我们可以利用概率论来描述不同模态出现的概率分布，并通过分析系统中的模式，得出不同模态的生成规律。
通过概率论的方法，我们可以预测不同模态的变化趋势，从而指导系统的优化设计和运行管理。
统计学也是模态分析的基础理论之一、统计学研究如何收集、处理、分析和解释数据，通过对大量数据的统计分析，揭示数据背后的规律和趋势。
模态分析中，统计学的方法可以用于分析模态数据的分布情况，寻找模态之间的相关性和影响因素，并建立相应的模型来预测和优化系统的运行情况。
在模态分析技术方面，主要包括聚类分析、主成分分析和模态分析方法等。
聚类分析是一种将相似的对象分组的方法，通过对模态数据进行聚类分析，我们可以将相似的模态归为一类，从而描述系统中的不同模态分布情况。
主成分分析是一种降维技术，它可以将高维的模态数据降低到低维，并保留大部分信息。
这可以帮助我们更好地理解系统模态之间的关系和重要性。
模态分析方法包括有限元模态分析、频响函数法和模态参数识别等。
通过这些方法，我们可以对系统的模态进行分析，包括振型、频率和阻尼等，并找出模态的摄动源和分布规律。
模态分析的基础理论对于理解和优化系统具有重要意义。
通过对模态的分析和研究，我们可以了解系统的特性和不同模态之间的关系，从而指导系统的设计和运行。
同时，模态分析也可以帮助我们发现和解决系统中存在的问题，提高系统的稳定性和可靠性。
因此，深入理解和应用模态分析的基础理论对于各个领域的研究和实践具有重要价值。
模态分析理论
模态叠加法一.思想要点是在积分运动方程以前，利用系统自由振动的固有振型将方程组转换为n 个相互不耦合的方程，对这种方程可以解析或数值地进行积分。
对于每个方程可以采用各自不同的时间步长，即对于低阶振型可采用较大的时间步长。
当实际分析的时间历程较长，同时又只需要少数较低阶振型的结果时，采用振型叠加法将是十分有利的。
求解步骤：1.求解系统的固有频率和振型2.求解系统的动力响应二.求解固有频率与振型（求解不考虑阻尼影响的振动方程） ..()(){0}M a t Ka t += 解可假设为：0sin ()a t t φω=-φ是n 阶向量，ω是向量φ的振动频率，t 是时间变量，0t 是由初始条件确定的时间常数。
代入振动方程，得到一个广义特征值问题：20K M φωφ-=求解可得n 个特征解221122(,),(,),ωφωφ···2,(,)n n ωφ120ωω≤<<···n ω< 特征向量12,,φφ···,n φ代表系统的n 个固有振型，幅度可按以下要求规定T i i M φφ=1（i=1，2，···，n ），这样规定的固有振型又称正则振型。
将22(,)(,)i i j j ωφωφ代回特征方程，得：2i i i K M φωφ= 2j j j K M φωφ=前式两边前乘以j φT，后式两边前乘以i φT ，得：2j i i j i K M φφωφφTT = 2i j i i jK M φφωφφT T = 由()TTj i j i i j K K K φφφφφφT T==得：22i j i j i j M K ωφφωφφT T =，推出22()0i j j i M ωωφφT-=当i j ωω≠时，有0j i M φφT =这表明固有振型对于矩阵M 是正交的，可表示为：1 ()0 ()i j i j M i j φφT=⎧=⎨≠⎩得：2 ()0 ()i i j i j K i j ωφφT ⎧==⎨≠⎩如果定义123n [ ]φφφφΦ=K21222 0 0 n ωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥Ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦O则特征解的性质可表示成：M K T T ΦΦ=I ΦΦ=Ω原特征值问题可表示为：K M Φ=ΦΩ三.求解动力响应1.位移基向量的变换引入变换()()1ni i i a t x t x φ==Φ=∑其中()[]12 n x t x x x =L代入运动方程，并两边前乘以T Φ，可得：()()()()()...x t C x t x t Q t R t T T +ΦΦ+Ω=Φ= 初始条件相应地转换成：..0000 x x Ma M a T T =Φ=Φ 阻尼为振型阻尼，则：()()2 i=j 0 i j i i ij C ωξφφT ⎧⎪=⎨≠⎪⎩ 或11222 0 2 0 2n n C ωξωξωξT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 其中i ξ（i=1,2,···,n ）是第i 阶振型阻尼比，可得n 个相互不耦合的二阶常微分方程()()()()...22i i i i i i i x t x t x t r t ωξω++= （i=1，2，···，n ）若C 是Rayleigh 阻尼，即C M K αβ=+根据试验或相近似结构的资料已知两个振型的阻尼比i ξ和j ξ，可得22222()()2()()i j j i i j j i j j i i j i ξωξωαωωωωξωξωβωω-=--=-2.求解单自由度系统振动方程在振动分析中常常采用杜哈美（Duhamel ）积分，又称叠加积分，其基本思想是将任意激振力()i r t 分解为一系列微冲量的连续作用，分别求出系统对每个微冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，将它们叠加起来，得到系统对任意激振的响应。
4 弹性体的固有振动模态
1.1梁(杆)的纵向振动
• Prof. Vasiliev
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
1.1梁(杆)的纵向振动
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
z(w)
0 x
ux,t
f x,t
uf
dx l
x(u) F dx
u(x,t) u 为杆的纵向（轴向）位移 F (x,t) F 为作用在杆上横截面上的轴向内力 f (x,t) f 为杆上单位长度上轴向外力
• 带入振型函数的通解形式，得到：
D F 0 C E 0
C sin l D cos l E sinh l F cosh l 0 C cos l D sin l E cosh l F sinh l 0
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 除去恒等于零的解，则要求上列方程组的系数行 列式等于零，可导出特征方程：
• 另一方程的通解形式设为
(x) ex
• 带入上述方程，则有： 4 S2 0
EI
• 此特征方程的根为：
• , , i, i
4
其中 S2
EI
机械结构力学及控 制国家重点实验室
精密驱动研究所
• 对于上述4个不同α值，振型的通解形式如下：
(x) C sin x Dcos x E sinh x F cosh x
D sinl 0
E
n
nπ l
E
n 0,1, 2, ,
n
(
x)
cos
n
πx l
n 1, 2,3,
,
杆的第n阶固有频率n的
固有模态（Natural mode）
模态理论及其应用4
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
上式中
其中:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
获得初次迭代值,将上面值再次迭 代直到精度满意为止
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
求得c1, c2 c3
c1 ∑ c2 = ∑ H iR H iI c H iR ∑ 3
R 2 Hi
( )
∑ ∑( ∑
H iR H iI R 2 Hi H iI
)
∑ H iI ∑
1
H iR
1
R 2 H i + H iR H iI ∑ R 2 I × ∑ H i H i + H iI R 2 I 2 ∑ Hi + Hi
将上面的方程代入传递函数表达式,按泰勒级数展开, 略去高此幂
其中:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
模态理论及其应用
实测传递函数与拟合圆法得到的传递函数差为
对于所有测试值和拟合值之差的平方和:
要使上式最小,必须有:
机械工程系 张建润
Modal Theory and Its Applications
�
模态理论及其应用
7.2 拟合圆法
对于耦合不是很紧密的模态可以不考虑剩余传函的影 响,采用单自由度法来辨识.
H lp =
φliφ pi
K i (1 ωi2 + j 2ξωi )
模态和固有频率关系
模态和固有频率关系关于模态和固有频率之间的关系，我们需要先了解模态和固有频率的概念以及它们在不同领域中的应用。
接下来，我们将逐步讨论模态和固有频率之间的关系，并详细解释它们在物理学、工程学和音乐中的应用。
下面是一步一步回答这个问题的具体步骤。
第一步：介绍模态和固有频率的定义模态是指物体振动、震动或挠曲时所处的特定状态或形态。
在物理学中，模态是指系统在特定激励下的运动方式。
在机械振动中，模态是指由自由度、质量和刚度决定的系统特征。
而固有频率是指物体在某一模态下振动的频率，也可以理解为系统在该模态下的固有振动频率。
第二步：阐述模态和固有频率之间的关系模态和固有频率之间存在着密切的关系。
一个系统可以具有多种不同的模态，每种模态都对应着不同的固有频率。
可以说，模态和固有频率是相互依存的关系。
不同的模态对应着不同的固有频率，而固有频率决定了系统的振动行为。
第三步：在物理学中的应用在物理学中，模态和固有频率的研究对于了解物体的振动特性、结构的稳定性和强度等方面至关重要。
例如，在工程结构设计中，通过分析结构的模态和固有频率，可以确定结构在不同频率下的振动模式，从而评估结构的稳定性和耐久性。
在微观领域中，模态和固有频率的研究也可以帮助研究人员了解物质分子的振动特性和结构稳定性。
第四步：在工程学中的应用在工程学中，模态和固有频率的研究被广泛应用于结构动力学、振动噪声控制、飞行器设计等领域。
通过模态分析和固有频率的计算，可以预测结构的动力特性、避免共振现象的发生、并优化设计方案。
在飞机和船舶等交通工具的设计中，模态和固有频率的分析可以帮助设计师避免共振现象，提高结构的稳定性和耐久性。
第五步：在音乐中的应用在音乐学中，模态和固有频率的概念与音乐的音高和音阶有关。
在西方音乐中，固有频率对应着音高的概念，不同音高的音符对应着不同的固有频率。
而在传统音乐中，模态则是指具有不同音阶形式的曲调。
例如，西方音乐中的大调和小调就是两种不同的模态。
模态理论
Tyler & Sofrin 模态分析理论非定常来流与叶片干涉产生的声波在风扇或涡轮中并非是任意形态存在的。
Goldstein 在假定平均流场有势的前提下，建立起了平均流场中任意一点的扰动量与远前方来流扰动量之间的相互关系，给出了下面的方程，()()00002000111I D D Dt c Dt ϕρϕρρρ⎛⎫-∇∇=∇ ⎪⎝⎭u （0-1）由以上方程可知，在非均匀平均流的情况下，来流扰动不仅通过边界条件与声扰动相互作用，而且在传播过程中也会与声扰动耦合，并形成如（2-2）右边所示声源[68]。
在航空发动机叶轮机内部，最重要的边界条件就是管道效应，由于管道边界的限制，声波在其中只能以特定的形态出现，也就是我们常说的模态。
在均匀平均流中，考虑一个环形管道，硬壁条件，对小扰动有下面的对流波动方程[12]，2222222110i M p p x x r r r r ωυ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （0-2）波动方程描述的特征值问题是可解的，环形管道中我们可以将它的一般解展开为傅里叶-贝塞尔形式的模态()()()1,,m m ik x ik x im m m m m p x r A e B e U r e μμθμμμμθ+-∞∞---=-∞==+∑∑ （0-3）这里径向模态和径向、轴向波数分别满足()22222210m m m m m m m m m U U U r r Mk k k μμμμμμμμααω±⎛⎫'''++-= ⎪⎝⎭=--= （0-4） 其中，径向特征模态()m U r μ以贝塞尔函数的形式出现，m 和μ分别表示周向和径向模态数。
满足上述波动方程的声波解在环形或圆形管道中会以图2-4所示的螺旋波形式出现和传播。
Tyler 和Sofrin 是最早研究叶轮机内部叶片非定常气动力旋转模态特征的学者，他们的研究结果已经成为当代航空燃气涡轮发动机气动声学设计的主要理论基础之一。
模态分析理论
e t
sin dt
就是脉冲响应函数。
很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对：
H () Fh(t)
（1） 简谐激励
结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。
f (t) Fe j(t ) x(t) Xe j(t )
H（） X e j( )
F
工程中，应变常常是非常重要的，而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低，对试验结
结构动力修改
模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后，我们应该寻求改进系统动态 特性的方法。 有两种情况： 1） 由于制造和设计原因，不得不对现有结构进行局部修改。
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机械模态分析理论基础
假设：系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统
线性：描述系统振动的微分方程为线性方程，其响应对激励具有叠加性;
定常：振动系统的动态特性（如质量、阻尼、刚度等）不随时间变化，即具有频率保持性;如系统受简谐 激励-响应的频率必定与激励一致。 稳定：系统对有限激励必将产生一个有限响应，即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。 振动系统分类：
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ˆ
2 fx
()
1
GMM G ff ()
1 1
GNN Gxx ( )
输入存在噪声，会使估计的频响函数偏小；
输出存在噪声，会使估计的频响函数偏大；
还可用下面一些估计方法：
Hˆ 3 ()
Hˆ 1 ( )
2
Hˆ 2 ()
Hˆ 4 () Hˆ1() Hˆ 2 ()
K s2M φs 0
右乘 φs ，得到：
φsT KT s2MT φr 0
固有模态函数
固有模态函数1固有模式函数固有模态函数（IMF）是指在固有振动中，物体中心坐标的幅值变化的函数。
它将一定的振动机构的物体状态变化的特征图形的定量化，用以描述物体系统在某一特定频率和振型运动时的动力学状态。
它可以用来衡量系统在振动期间的特性以及系统的变形情况，从而为求解动力学系统，分析结构物的振动行为，研究变形和消除振动提供基础数据。
固有模态函数有三个主要特征，即振型，频率和能量。
振型：物体由于振动载荷的作用而相应变形，变形的模式称为振型；频率：振动物体在一定时间内发生一次振动所需的时间，即振动的频率；能量：物体在变形过程中产生的能量，能量的大小可用比例递减的振幅或功率的幅值表示。
固有模态函数即可用来分析频谱，即求取物体振动的频谱，分析物体在多种频率下的反应情况。
即得到响应的最小的频率值，同时从而得到物体在各振型频率下的反应模式与振幅；又可用于求解物体系统的限制性在单一模态下的振动行为，以及分析平衡系统模态匹配问题；可用于分析物体振动时传递过程中传递的能量，以及物体自振动传递的能量；可用来研究物体振动及其衰减的过程，以及求解特定的问题等。
2固有模态函数的应用固有模态函数在工程中有着广泛的应用。
（1）在机械领域中：可以用于快速有效预测机械系统振动特性，检测结构设计中存在的问题，测试可靠性结构，分析物体在机械衰减中的衰减过程，以及研究实验数据与理论结果之间的差异等。
（2）在建筑和土木工程领域，可以预测建筑结构的振动行为，选取合理的结构支持，分析建筑结构的稳定性；有助于求解建筑断面及窗户等各种结构的应力，研究减缓地震变形和结构损坏的措施；有助于分析复杂地下工程的振动，研究水力机构的能量传输特性等。
（3）在振动控制方面：可以用来分析机械系统振动场景，以定位振动源，研究对某个特定振型有效控制能量，实现系统振动提升与降低，明确影响机械系统行为的各项因素，提高控制准确性等。
总之，固有模态函数能够比较完整地描述物体振动特性，可以重要反映物体运动的形态及其能量分布；因此它有着广泛的应用，在各个结构的设计及振动控制中发挥着重要的作用。
振动理论讲义第7章 二自由度系统
图 7.5
如果调整 , , 和 的值使得 和 几乎相同， 图 7.5a 的运动只能在最初的几个周 期内保持而没有明显的变化。 经过一定数目的周期之后，一种运动形式（比如摆动） ， 就会比另一种形式增快 180° 。 现在观察图 7.5b，从右往左看，可以看到，物体振动 时，左端保持静止。当然经过一个相等的时间间隔后，第一种运动形式又会出现。以上 现象交替重复，直至由于阻尼使运动停止。 在图 7.4a 和 b 中，容易看出耦合弹簧是系统的单独部件，而在图 7.4c 中则不然。 上述的试验的要求本质上是令系统的两个固有频率有轻微的差别， 并不是一定有耦合弹 簧。 图 7.4d 所示的敲击试验被称为是威尔伯福斯弹簧(Wilberforce’s spring). 质量悬挂在 螺旋弹簧上，质量上有两个突出螺钉和螺帽。 两个自由度包括上下运动和扭转运动。 螺旋弹簧被拉伸时会有轻微的扭转，反过来 受扭转时，也会有轻微的拉伸，因而两个 运动存在耦合。改变螺帽的位置可以在质量不变的情况下改变惯性矩 . 因此，通过调整 螺帽的位置，可以使两个固有频率几乎相等。然后向下拉并释放系统，启动质量的不含 扭转的上下运动，过一段时间，质量就会只有扭转而没有竖向运动，等等。 图 7.4e 所示的最后一个例子是这一现象的电路类似系统。两个相等的质量(电感)连 接到两个主弹簧(电容)， 用一个弱耦合弹簧 （即很大的耦合电容 ， 因为刚度 等于 ） 。
振动理论北京大学力学系750为了便于分析752753755上式表示两个相互垂直矢量的叠加因此756主质量的振幅可以表示为757或者写成758应用下列关系把方程无量纲化质量比主振动系统固有频率无量纲化后的方程为759振动理论北京大学力学系717主质量振幅随频率比和阻尼比的变化阻尼无穷大时相当于两个质量固定在一起系统中加入阻尼目的是让振幅的共振峰值降低到最低可能值
模态分析的理论介绍及目的
模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性，每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由分析软件分析取得，也可以经过试验计算获得，这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。
这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性，由它的结构、大小、形状等因素决定的。
这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。
当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动，当他受到某一频率策动时，振幅会达到最大值，这个频率就是物体的固有频率。
1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率，每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。
理论上来说振型也有无穷多个，但是由于振型阶数越高，阻尼作用造成的衰减越快，所以高振型只有在振动初期才较明显，以后则衰减。
因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今，已趋于成熟。
它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中的两大支柱。
到目前，这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段，在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。
我国在这一方面的研究，在理论上和应用上都取得了很大的成果，处于世界前列。
模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价所求结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构特性的预估，优化对结构的设计；3) 诊断及预报结构系统中的故障；4) 识别结构系统的载荷。
模态分析的理论介绍及目的
模态分析理论1模态分析简介1.1 模态简介模态是结构固有的振动特性，每一个模态具有一个特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由分析软件分析取得，也可以经过试验计算获得，这样一个软件或者试验分析过程称为模态分析。
这个分析结果如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果结果是通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
1.2 固有频率简介固有频率是物体的一种物理特性，由它的结构、大小、形状等因素决定的。
这种物理特征不以物体是否处于振动状态而转移。
当物体在多个频率上振动时会渐渐固定在某个频率上振动，当他受到某一频率策动时，振幅会达到最大值，这个频率就是物体的固有频率。
1.3 振型简介振型是指体系的一种固有的特性。
它与固有频率相对应，即为对应固有频率体系自身振动的形态。
每一个物体实际上都会有无穷多个固有频率，每一阶固有频率相对应物体相对应的形状改变我们称之为振型。
理论上来说振型也有无穷多个，但是由于振型阶数越高，阻尼作用造成的衰减越快，所以高振型只有在振动初期才较明显，以后则衰减。
因此一般情况下仅考虑较低的几个振型.1.4模态分析的目的模态分析技术从上世纪60年代开始发展至今，已趋于成熟。
它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中的两大支柱。
到目前，这一技术已经发展成为解决工程振动问题的重要手段，在机械、航空航天、土木建筑、制造化工等工程领域被广泛的应用。
我国在这一方面的研究，在理论上和应用上都取得了很大的成果，处于世界前列。
模态分析的最终目标就是识别出系统的模态参数，为结构系统的振动特性的分析、振动故障的诊断和检测以及结构的优化提供依据。
模态分析技术的应用可归结为以下几个方面：1) 评价所求结构系统的动态特性；2) 在新产品设计中进行结构特性的预估，优化对结构的设计；3) 诊断及预报结构系统中的故障；4) 识别结构系统的载荷。
7《结构动力学》-第七章
~ 1
~
+
~
ω12
~ ≈ tr S
[]
1
1
2 ω2
ω12
+⋯+
~ = tr S
[]
可用此式估算系统基频，且为下限估值。 可用此式估算系统基频，且为下限估值。 若质量矩阵为对角阵，则 若质量矩阵为对角阵，
a11 a ~ S = [ A][M ] 21 ＝ ⋯ a n1 a12 a 22 ⋯ an2 ⋯ a1n m1 ⋯ a2n ⋯ ⋯ ⋯ a nn 的迹为： ⋱ mn
{x}T [K ]{x} = {α }T [u ]T [K ][u ]{α } RI ({x}) = {x}T [M ]{x} {α }T [u ]T [M ][u ]{α }
[K 记： ] = [u ] [K ][u ]
T
[M ] = [u ] [M ][u ]
T
{α }T [K ]{α } 则： RI = {α }T [M ]{α }
[]
迹法
k k /2 k /3 2 2 ω 22 = ω 33 = m m m
1 1 1 1 6m ~ tr S ＝∑ 2 = + + = k k k ω ii k m 2m 3m
[]
邓克利法
里茨法(Ritz)(或瑞利－里茨法 或瑞利－ §7-3 里茨法 或瑞利 里茨法)
求较低几阶频率与振型 思路： 思路：先假设若干个振型并按这些振型进行最佳线性 组合，再用瑞利法求前几阶模态(固有频率与振型 固有频率与振型) 组合，再用瑞利法求前几阶模态 固有频率与振型
1 1 T T Tmax = ω 2 {x} [M ]{x} U max = {x} [K ]{x} 2 2
自由模态与约束模态的理论基础
网上经常看到一些朋友询问关于自由模态与约束模态的问题，而且看到了很多不同的说法。
而最近又有朋友向我问到了这个问题，我想，还是彻底地解决这个问题为好。
而要彻底解决它，就需要考察其理论基础。
所以这篇文章专门去看看它的理论底层。
首先我们要明确，无论是自由模态还是约束模态，都属于模态分析的范畴。
那么什么是模态分析呢？这个概念来自于《机械振动》。
于是我们到《机械振动》中去看看。
考察一个三自由度的例子现在我们要对该三自由度系统列动力学方程。
这很容易，只需要分别取出每个质量块，使用牛顿第二定律就好这样就有三个微分方程，用矩阵的形式整理这三个方程，得到其中这里的[m][k][c]分别是质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵。
而{F(t)}是力向量。
下面我们来考虑模态分析。
所谓模态分析，是取力向量为0，就是说系统不受外力；而且忽略阻尼，则上述方程变成下面的任务是求解这个微分方程组这种解很难找到，于是我们假设了一个解的形式为（很有意思的是，这种形式的解刚好是正确的）将该假设的解代入到上述方程中，得到整理上述方程组，得到该方程组的左边只与时间t有关，而右边与时间t无关。
如果要这两边相等，除非两端都等于一个常数。
例如都等于，于是有（1）以及（2）对于（1）式，从《高等数学》的二阶常系数微分方程的解可以知道，其解为对于（2）式，把它写成矩阵形式，并令可以得到提出位移向量{u},可以得到上述式子要有非零解，按照《线性代数》理论，有将该式子展开，可以得到根据它就可以解出各个可以证明，该方程有n个正实根，它们对应于系统的n个自然频率。
假设没有重根，则这些频率可以从小到大排序，得到这其中，最小的这个就是基频。
可见，系统有多少个自由度，就有多少个频率。
在解出所有频率后，将某个频率代入到中，就可以得到此时的此即系统的模态向量或者振型向量。
从以上推导中我们知道（1）有多少个自由度，就有多少个自然频率。
（2）有多少个自然频率，就有多少个与自然频率相对应的模态向量。
模态分析理论
模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法..首先建立结构的物理参数模型;即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题;求得特征对特征值和特征矢量;进而得到模态参数模型;即系统的模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态刚度等参数..特征根问题以图3所示的三自由度无阻尼系统为例;设123m =m =m =m ;123k =k =k =k ;图 1 三自由度系统其齐次运动方程为： 8其中分别为系统的质量矩阵和刚度矩阵;123m 00m 00m=0m 0=0m 000m 00m ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;11212221k -k 0k -k 0k=-k k +k -k =-k 2k -k 0-k k 0-k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;则运动方程展开式为：¨11¨22¨33z m 00k k 0z 00m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦9定义主振型由于是无阻尼系统;因此系统守恒;系统存在振动主振型..主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相相差0o 就是反相位相差180o ;即同时达到平衡位置和最大位置..主振型定义如下：()i ij ωt+i i sin ωt+=Im(e)φφi mi mi z =z z 10其中为第i 阶频率下;各自有度的位移矢量;为第i 个特征矢量;表示第i 阶固有频率下的振型;i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值;i φ为初始相位..对于三自由度系统;在第i 阶频率下;等式可以写成1m1i 2m2i i i 3m3i z z z =z sin(ωt+)z z φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11mki z 表示第k 个自由度在第i 阶模态下的模态矩阵..特征值对式10二次求导;得2i i i =-ωsin(ω+)φ¨i mi z z 12代入齐次运动方程得13去除项化简得14以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦15 有非零解;则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦16即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0 17方程解如下：1ω=0;23k ω=m ±;3kω=m±..三个解对应该系统的前三阶固有频率;每一个特征根对应一个特征矢量;表示对应模态下该系统的振型..特征矢量由式得矩阵展开形式：2i m1i 2i m2i 2i m3i k-ωm -k 0z -k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm z ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 18 展开第一行和第二行;忽略下脚标m 和i;得()()2i1221i3k-ωm z -kz =0-kz 2k-ωm kz+-= 19得22i 124223ii21z k-ωm =z k z m ω-3km ω+k =z k 20如果设定了1z 值;则就可以求出三个特征根值下;2z 和3z 相对于1z 的位移..假设m=k=1;一阶模态;1ω=0：21z =1z ;31z =1z ;即；二阶模态;223k ω=m ：21z =0z ;31z =-1z ;即；三阶模态;23kω=m ：21z =-2z ;31z =1z ;即..模态矩阵所谓模态矩阵就是指各列由各阶模态特征矢量构成的矩阵;如图4所示..图 2 模态矩阵对于前面提到的三自由度系统;模态矩阵如下：运动方程的解耦对于一个复杂的系统;在物理坐标系统中建立的运动方程之间存在耦合关系;因此求解起来比较麻烦;因此需要进行坐标系转化;将耦合的运动方程变为非耦合的运动方程;再将求得的结果转化为物理坐标系下的结果;运动方程解耦过程如下图5：图 3 运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化..任意上面的三自由度系统为例;由式得2122 对式21左乘得23 又因为因为系统对称所以;;则：24 对式24右乘25 则式23—式25得26 当时;则27 当;即;则可以为任何值;令28 则对质量矩阵和刚度矩阵的归一化结果如下：2930特征矢量的归一化由于特征矢量只是位移之比;而不是绝对振幅;因此可以对其进行归一化处理..令;其中3132对于对角质量矩阵33则三自由度系统：343m 2m 6m 326=003m 6m m 363m2m6m 326n z 35 则归一化的质量矩阵为100010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Tn n n m =z mz 36 同理归一化后的刚度矩阵为000k =010m003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k 37可以看出归一化后的刚度矩阵对角线上的各项就是各阶模态固有频率的平方..运动方程解耦将物理坐标系下的运动方程¨11¨22¨33z m 00k -k 0z 0 0m 0z +-k 2k -k z =000m 0-k k z 0z ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦按照前面介绍的归一化方法转化为主坐标系下的运动方程;其结果如下：¨p1p1¨p2p2¨p3p30z 00z 0k 00z +-k z =0m 00z 03k z 0-km 001101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦38 可以看出在主坐标系中的运动方程之间没有耦合关系;分别单独描述各阶模态的运动特性..初始条件和激励的坐标转换物理坐标系中的非齐次运动方程为..mz+kz =F 39做如下变形..T -1T -1Tnn nn n n n z mz z z+z kz z z =z F 40 其中T n n z mz ;Tn n z kz 就是前面介绍的质量和刚度矩阵的对角化.. 令Tp n n m =z mz ;主坐标质量矩阵；Tp n n k =z kz ;主坐标刚度矩阵； ....-1p nz z =z ;主坐标系加速度矢量；-1n p z z =z ;主坐标系位移矢量； T n p z F =F ;主坐标系激励矢量..同样的关系也适用于初始位移和速度：-1op n o ..-1op n o z =z z z =z z 42两种坐标系的对比物理坐标系主坐标系物理坐标系中的运动方程的变量是速度和位移;在主坐标系中的变量是各阶振动模态下的位移和速度..由主坐标系转变为物理坐标系前面介绍了物理坐标系与主坐标系之间的关系为-1n p z z =z 43对式41左乘n z ;变为=-1n n n p z z z =z z z 44同理p =..n z z z 45非参数模型传递函数传递函数由系统的本质特性所决定;与系统的输入输出无关..知道了系统的传递函数就可以根据输入求输出或根据输出求输入..以图2的单自由度粘性阻尼系统为例;图 4 单自由度系统则该系统的运动方程为：...m z +c z +kz=F 1其中m 为质量;c 为阻尼系数;k 为刚度系数;z;分别为位移、速度和加速度..对二阶微分方程进行拉普拉斯变换;其中二阶导数项的拉普拉斯变换为：2假设初始位移和速度都为零;则3则经过拉普拉斯变换后的运动方程为：4求解拉氏方程得传递函数：22z(s)11/m==c k F(s)ms +cs+k s +s+m m5 其中定义2n kω=m为非阻尼系统的固有频率;rad/sec ；cr c 2km =阻尼值;ζ为阻尼比;一般为阻尼与临界阻尼的比值;cr c =c ζ;则n c 2ω=mζ.. 则传递函数又可以写成：22n nz(s)1/m=F(s)s +2ωs+ωζ 6 频响函数FRF用“j ω”代替s;得系统的频响函数;其中j 是虚数项：()()22n n 22n n z(j ω)1/m=F(j ω)j ω+2ζωj ω+ω1/m=-ω+2ζωωj+ω 7其中n kω=m ;=2kmζ则频响函数可以写成2z(j ω)1=F(j ω)-m ω+j ωc+k8 质量、阻尼、刚度对FRF 的影响刚度增大导致共振频率的增大;并且降低FRF 在低频段的幅值..增加阻尼会使共振频率略微减小;但它的主要作用是减小频响函数在共振点的幅值;同时使相位的改变较为平缓..如果阻尼为零;在共振点振动振幅将趋于无穷大;相位会突变180o ..增大质量会降低共振频率;同时也降低FRF 在高频段的幅值..。
模态分析理论基础PPT课件
v( ) f ()
• 三者之间的关系
H a ( )
a( ) f ()
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms 2 cs k
•
动柔度（位移导纳）
H (s)
1 ms2 cs k
12/26
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结 构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
1/26
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
• 幅频图
20/26
+ 实频图与虚频图
21/26
•Nyquist图
22/26
• 不同激励下频响函数的表达式
– 要点 • 频响函数反映系统输入输出之间的关系 • 表示系统的固有特性 • 线性范围内它与激励的型式与大小无关 • 在不同类型激励力的作用下其表达形式常不相同
– 简谐激励 • 激励力 • 响应
HR 1, 2
(
)
4k
1
(1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小 阻尼越大，半功率带宽
越大，反之亦然
16/26
• 虚频图
•
H
I
( )
g
k[(1 2 )2
g2]
（结构阻尼）
•
H
I
( )
模态分析理论范文
模态分析理论范文模态分析理论的核心理念是，人们在特定的社会和文化情境下会表现出不同的态度和行为。
它认为，我们的态度、信念和行为不仅受到个体心理因素的影响，还受到社会和文化环境的影响。
因此，要全面了解一个人的态度或行为，就需要考虑到这个人所处的情境。
首先，模态指的是人们在特定情境下所采取的态度、信念和行为。
它可以通过探究个体的思考方式、观点和意见来理解。
例如，一些人可能会对一些产品持有积极的态度，这可能是因为他对产品的特点和功能有较高的认同。
其次，資源指的是人们在模态形成过程中所依赖的信息和知识。
在分析模态时，人们使用各种不同的资源来评估和形成自己的态度。
这些资源可以是个体的经验、心理特征、社会身份或文化价值观。
通过了解人们所依赖的资源，我们可以更好地理解他们的态度和行为。
最后，情境是指人们所处的社会和文化环境。
情境对个体的态度和行为具有重要的影响。
在不同的情境下，人们可能表现出不同的态度和行为。
例如，同一个人在工作时可能持有不同的观点和做法，而在家庭生活中可能又是另一种态度和行为。
模态分析理论的应用非常广泛。
在广告和市场营销领域，模态分析理论被用于理解消费者的态度和行为，从而更好地设计和推广产品。
在政治和公共政策领域，模态分析理论可以帮助政治家和政策制定者了解公众的意见和需求，有针对性地制定政策和决策。
在社会学和心理学领域，模态分析理论可以用来研究群体行为和态度的变化，揭示社会和文化因素对个体的影响。
然而，模态分析理论也存在一些限制。
首先，因为人们的态度和行为是受多个因素的影响，所以模态分析理论不能解释所有的情况。
其次，模态分析理论强调了情境对个体行为的影响，但情境本身也是由个体创造和改变的，所以情境也会受到个体行为的影响。
最后，模态分析理论对于一些复杂的社会和文化现象可能无法提供充分的解释，因为这些现象涉及多个层面和多个因素的交互作用。
总之，模态分析理论是一种有用的社会科学研究方法，可以帮助我们理解人们在特定情境下的态度和行为。
模态振型固有频率基本理论
模态振型固有频率基本理论模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上地系统其模态振型不是一个数.一个数对应单模态，其数值无意义.某模态频率下地模态振型反映了在该模态频率下各自由度地相对位移地比值.如果系统地初始位移恰好等于模态频率下地模态振型（或与之成比例），则此时系统地自由响应中只会出现该模态频率.感谢欧阳中华教授地指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚.模态振型是系统固有地振动形态，线性响应是振型线性叠加地结果，但振型之间是独立不耦合地.振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划地方法.振型是个很重要地固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率. 文档来自于网络搜索我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用地，比如，通过有限元计算得到了模型地前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶地固有频率，假设计算地某阶固有频率与试验地某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶地，需要通过振型来判断. 文档来自于网络搜索其他地不知道，但是之所以引入模态地概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来. 从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量地交换. 文档来自于网络搜索从数学上看，对响应函数级数展开后，其中地各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交地，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里地坐标.文档来自于网络搜索因为个自由度以上地系统往往都有耦合现象，例如方程*^^*中地、不同时为对角阵.但是从求解地角度来说，我们又希望其中地每个方程都是独立地，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解.我们就想能否选到合适地坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样地坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找地主坐标.固有振型地正交性是指（以自由度为例），第一阶固有振动引起地作用力在第二阶固有振动上所做地功为零，即两种固有振动间无弹性势能地交换.同时也可证明振型地各阶导数间也是正交地. 文档来自于网络搜索就像不同地坐标系下，对同一运动系统地表述会很不一样，表述同一运动系统地振型模态也可以有很多物理量地坐标系，当然其中很多都是很复杂地，对解决实际问题是没有实际意义和帮助地，只有那个特殊地正交状态地模态坐标，才是最简单最有用地坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊地坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，文档来自于网络搜索各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化.类似向量地分解，比方说，一个平面内力向量地分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便. 文档来自于网络搜索主要从以后地解方程组时候要解耦考虑吧模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在”，而这种正交是线性系统模态地基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时地广义坐标下地耦合矩阵变为模态坐标中.文档来自于网络搜索地解耦，计算变得简单.注：（对上段话地个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统地正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化.）文档来自于网络搜索.任一阶主振型地惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做地虚功之和为零.任一阶主振型地惯性力只在各自地振型上做功，在另外地主振型上不做功这是正交相应地物理解释，是模态振型正交地物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应地数学表达.上面模态正交地数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？答：正交是线性系统存在地固有特性，属于地东西，就是非人造地.. .. .. 文档来自于网络搜索其实模态分析就是要认识清楚模态频率、模态阻尼和模态振型这三个模态参数.了解模态频率是模态分析最基本地目地，因为了解了系统地模态频率就可以知道系统在什么频率范围内振动比较敏感；而模态振型则反映了系统在一定地模态频率下以什么样地形式进行振动，其各部位地振动幅值地相对关系如何.（个人见解：模态频率反映地是系统中某特定点地振幅随着该点振动频率地变化而变化地情况，变化最强烈即幅值最大时地振动频率就是固有频率；而模态振型反映地是系统中地所有点在以某一频率振动时各点振幅地相对波动状况.）模态分析地本质是了解系统在动力环境作用下所表现出地特性，但这一文档来自于网络搜索特性是系统地固有特性，与系统所受地外力无关.对于实际地工程，用有限元软件分析需要地频率段，可查找振动原因，或校核.模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用由动力方程, 其中等于地平方，就是固有频率.一般有限元软件中给出地频率单位是赫兹，还要转换为弧度秒. 文档来自于网络搜索首先，频率和振型是结构地固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构地功能是不同地，不同结构对应地模态分析地用途是有差别地.对建筑结构，模态分析可以知道结构地避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载地放大作用等.另外，还可以挖掘振型有关地信息. 文档来自于网络搜索模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中地应用.模态是机械结构地固有振动特性，每一个模态具有特定地固有频率、阻尼比和模态振型.这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析.这个分析过程如果是由有限元计算地方法取得地，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集地系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析.通常，模态分析都是指试验模态分析.振动模态是弹性结构地固有地、整体地特性.如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响地频率范围内各阶主要模态地特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应.文档来自于网络搜索因此，模态分析是结构动态设计及设备地故障诊断地重要方法. 非线性不满足叠加原理，模态分析及其测试难以进行.即使进行，我想也只能对弱非线性系统在平衡点附近采用线性化地方法. 希腊学者，沿用美国学者地思路，将非线性模态定义为系统位形空间中地一条直线（相似模态）或曲线（非相似模态），即所谓地模态线.当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自地最大位移，而在另一时刻同时达到各自地最大速度. 文档来自于网络搜索美国学者和，将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中地一个二维不变子流形，从而既可对保守系统定义非线性模态（一种驻波），亦可对非保守系统定义非线性模态（一种行波）文档来自于网络搜索。
第七章 固有模态理论
第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。
主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。
结构系统的建模过程可分为两个过程。
首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。
取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。
这个过程是个重要的定性过程。
然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。
这是个定量过程。
建立有限元模型采用的是离散化概念。
在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。
在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。
在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。
在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。
最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。
7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。
结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。
选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。
模态相关概念
弹性力弹性物体因外力产生形变后的恢复力。
简称弹力。
形变也存在于物体内部，因此物体内部的各部分间都有弹性力相作用。
弹性力有各种名称：相互压缩时，称压力，垂直于物体表面的压力称法向压力；相互拉长时，称张力。
物体给平面或斜面的法向压力的反作用力，称支持力或反力，实质上也是压力。
一定范围内弹性力和变形程度成正比，这个范围称弹性限度。
在限度内，撤去外力，物体能恢复原状；超过这限度，变形程度不再和外力成正比，撤去外力后物体也不能恢复原状。
对弹簧来说，弹性力为F=－kx，x表示弹簧终端的位移，k 为弹性力和位移值之比，称刚度系数，负号表示弹性力的方向与位移的方向相反。
弹性力也是保守力，弹性力作功可用弹性势能表示，其值为，x为位移的值。
在外力作用下弹性物体形变后所产生的一种恢复力。
弹性力的特点是它在变形体上所做的功并不转化为热，但可转化为势能。
弹性力是一种保守力。
物体中任何两个质点相对位置的变化，称为物体变形。
当物体的形变很小时，弹性力F和物体中质点M开平衡位置时的位移成正比,其方向指向力图使质点复到平衡位置的方向。
固有振动固有振动是指物质系统在不受到与时间有关的外界作用而阻尼又可忽略的情况下所发生的振动。
又称自由振动、自然振动、本征振动（是天文学专有名词）。
固有振动的振幅决定于振动起始时系统所具有的能量。
固有振动的频率称为固有频率，只与振动系统的固有条件有关（如弹性和惯性，电容和电感等，见振动）。
物理系统（包括机械、电磁或其它类型的振动）从外界取得一定的能量开始振动以后，不再受外界作用而阻力又可忽略的情况下，仅在内部弹性力或准弹性力作用下，以固有频率而保持振幅恒定的振动状态叫“固有振动”。
固有振动的振幅决定于系统开始振动时所具有的能量，但频率则完全取决于系统本身的性质。
例如被击动后鼓膜的振动，弹簧振子偏离平衡位置后无外力作用下的振动等都是“自由振动”。
自由振动在外力使弹簧振子的小球和单摆的摆球偏离平衡位置后，它们就在系统内部的弹力或重力作用下振动起来，不再需要外力的推动，这种振动叫做自由振动。
第八章 阻尼模态理论
∂D ∂{x}
=
{
f
}
(8.16)
若阻尼结构系统没有受到外加激励的作用（f=0）,则外力功为零，无外界能量输入，这时 将(8.16)前乘{x}T,可以推得
d dt
(T
+U
i
)
=
−2D
(8.17)
它说明阻尼结构系统的机械能在无外界能量输入情况下不断地被消耗，它随时间的消耗率 等于耗散函数（粘性阻尼所消耗的功率）的二倍。
∫ D = − 1 c dxi dxi dS 2 S dt dt 称之为耗散函数。当结构系统进行离散化后，离散化结构系统的阻尼力列阵是
(8.3)
{ f d } = −[C]{x} 它的耗散函数是
(8.4)
D = − 1 {x}T [C]{x} 2
(8.5)
其中[C]称为粘性阻尼矩阵。有限元法主要采用的是这种线性阻尼模型，在以后的分析中若 不作特殊说明时所涉及的阻尼都采用这种粘性阻尼模型。
（3）状态方程
由状态变量{y(t)}描述的系统基本方程称为状态方程，状态方程一般地是状态变量的 一队微分方程。它给出了系统的输入与输出的转换关系。以最简单的机械系统为例来说明 这个概念。质点动力学的基本方程是牛顿第二定律，即
d 2x(t) m dt 2
=
f (t)
(8.19)
它的输入是作用力 f(t),它的定解条件是位移与速度的初始值 x(0)与 x(0) ,由此可见，它的 状态向量是位移 x(t)与速度 x(t) ,即
x = [1 0]{y}
(8.22)
把上面的分析推广到一般情况，一个系统的控制方程应包括两部分：状态方程和输出方程。 它的状态方程具有如下一般形式
[ A]{y(t)}+ [B]{y(t)} = [E]{ f (t)}
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第七章 固有模态理论§7.1 离散有限元模型的振动基本方程7.1.1 模型抽象化结构动力学的理论基础是弹性动力学。
主要的研究内容是结构系统的有限元建模理论和动力学分析方法，包括振动特性分析与动响应分析。
结构系统的建模过程可分为两个过程。
首先是从工程实际出发，对实际结构系统作力学抽象。
取出实际结构的力学内容，包括它的几何构形、运动与变形、载荷与内力，以及材料性能等，构造一个力学模型。
这个过程是个重要的定性过程。
然后是对构造力学模型进一步作数学的描述，根据力学原理给定各力学量之间的数量关系，建立起数学模型。
这是个定量过程。
建立有限元模型采用的是离散化概念。
在第四章至第六章介绍了动力学有限元的基本理论和有限元特性矩阵的生成方法。
在定性建模过程中，对构形进行离散化，将作为连续介质的结构系统进行网格划分，划分成有限元。
在变形与受力分析的基础上确定有限元类型，选取节点并进行编号，生成结构系统的节点位移向量{x }，确定结构系统的自由度数。
在定量建模过程中，首先对有限元的力学量场变量进行离散化，在力学分析或能量分析基础上确定有限元的特性，包括刚度特性、惯性特性，以及阻尼特性，生成有限元刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵等特性矩阵。
最后进行装配集成生成结构系统的数学模型，通俗的说法是将有限元特性矩阵按其节点编号对号入座来形成结构系统的特性矩阵，再根据力学原理推导出结构系统有限元模型的动力学基本方程，生成在位移空间内的数学模型，其基本形式是}{}]{[}]{[}]{[f x K x C x M =++ (7.1) 其中[K ]是结构系统的刚度矩阵，[M ]是其质量矩阵，[C ]是其阻尼矩阵。
7.1.2 数学模型的分类对一个实际的工程结构，可以从不同角度进行数学描述，构造出不同形式的数学模型。
结构系统的动力学现象是在时、空域内发生，它的描述是在一定的空间域和时间域内给出。
选取不同的空间域和不同的时间域，将给出不同的数学模型。
不同的数学模型描述的是同一个结构系统，所以，一般地说它们之间是可以互相变换的。
结构系统的数学模型按所选取的位移空间来分类，可分为：（1）物理位移空间的数学模型结构动力学通常是采用位移向量作为基本自变量来描述结构系统特性的，称之为位移法。
结构系统动力学基本方程（7.1）式是定义在有限元模型的节点位移{x }所在位移空间内。
这个位移空间是由结构系统各个节点自由度上的实际位移基向量所张成的，它具有明确的物理意义，故又称之为物理位移空间（简称为位移空间）。
所以，结构系统的有限元模型是物理位移空间的数学模型，由一个二阶常微分方程组给出。
结构系统运动状态更完整的描述是状态向量。
对于（7.1）式给出的二阶常微分方程组这类数学模型，其状态向量是由位移向量{x }和速度向量组成，它们构成为一个状态空间。
这样的数学模型将是一阶常微分方程组，由它的初始状态向量和结构系统所受的作用可唯一地决定它的整个运动过}{x1程。
这是物理状态空间的数学模型。
（2）广义位移空间的数学模型结构系统的有限元模型往往是个很多自由度的系统，不便于进行结构动力学分析，需进一步进行降阶，降阶的基本原理之一是李茨法。
李茨法是选取某些位移向量}{i ϕ作为基向量，称之为李茨向量或李茨基，由它们张成为一个广义位移空间，称之为李茨空间，它是物理位移空间的一个子空间。
物理位移向量{x }可在这李茨空间内近似取为∑==n i i iq x 1}{}{ϕ其中q i 是对应于其向量}{i ϕ的广义坐标。
结构系统的位称向量用它的广义位移来描述，建立起的数学模型是广义位移空间的数学模型。
可以选取不同的广义位移空间，构成不同的数学模型。
这相应地也可生成广义状态空间。
（3）模态位移空间的数学模型结构系统的振动特性是用模态参数，包括频率和振型向量（规一化的）来给出的。
为突出其动力学特性，简化动力学分析，经常选用其振型向量作为基向量，在由它们张成的模态位移空间内进行分析。
这样建立的数学模型是模态位移空间的数学模型。
由于结构系统在模态空间中具有解耦性，它便于进行振动特性和动响应分析。
结构系统数学模型按时间域的分类：（1）时间域的数学模型结构系统的动力学过程是在时间域内进行的，各种运动量都经历一个时间历程，是时间t 的函数。
结构系统的动力学基本方程（7.1）是时间t 的函数，故它是时间域的数学模型。
在这个基础上，结构系统的响应特性可用其脉冲响应函数组出，由它生成一个时间域的响应空间数学模型。
（2）频率域的数学模型根据富里叶变换可从时间域转换到频率域，突出各种运动量的频率特性，使之成为频率的函数。
结构系统的响应特性则可用基频率响应函数给出，生成结构系统的频率域响应空间数学模型。
（3）拉氏域的数学模域更一般的变换是拉普位斯变换，它是从时间域转换到拉氏域，各个运动量是拉氏变量的函数。
结构系统的响应特性用传递函数矩阵来描述，生成拉氏域的数学模型。
结构系统的动力学行为发生在空间域和时间域内。
结构系统在时间域和空间域内一般地说都是连续系统，这就是弹性动力学所分析的，它建立的数学模型是一组偏微分方程组（刚度方程）或积分方程组（柔度方程）。
当在空间域内离散化后生成有限元模型，这是有限元法所讨论的内容，它建立的数学模型是一组常微分方程组。
这是我们重点研究的内容。
若进一步在时间内作积分变换（拉普拉斯变换或富里叶变换）或将时间域离散化，结构系统的数学模型是代数方程。
对于粘弹性材料，它的本构关系给出的是渐记忆系统，它的数学模型将是积分微分方程。
2§7.2 无阻尼结构系统的动力学基本方程7.2.1 无阻尼结构系统的有限元模型建立结构系统有限元模型的基本理论在第四章已作了介绍。
它将连续系统在其位移空间内离散化，这也可看作为是一种降阶简化处理。
通过选取形函数[N ]，将位移场变量{u }离散为节点位移列阵{x }的插值函数，即在形函数为基量所张成一个子空间（函数空间）内展开为(7.2) }]{[}{x N u =从而使连续系统偏微分方程形式的数学模型变换为时间域内的常微分方程。
无阻尼结构系统，从能量观点来看，其能量包含有应变能和动能。
它的应变能作用量是∫∫∫=t V T ti dVdt D e dt U 00}]{[}{21ε (7.3)由（7.2）式定义的位移函数{u }计算其应变，它等于}]{[}{x B =ε (7.4) 将（7.4）式代入（7.3）式，得离散化结构系统的刚度矩阵∫=V T dV B D B K ]][[][][ (7.5) 它的动能作用量是∫∫∫=t V T tdVdt x x Tdt 00}{}{21 ρ (7.6)将（7.2）式代入（76）式，得离散化结构系统的质量矩阵∫=V T dV N N M ][][][ρ (7.7) 若结构系统上作用有分布外力{p }，它提供的外力功作用量是 ∫∫=tV T e dVdt p u W 0}{}{ (7.8) 则离散化结构系统的节点当量载荷是 ∫=V T dV p N f }{][}{ (7.9)根据哈密尔登作用量变分原理推导出离散化结构系统的动力学基本方程}{}]{[}]{[f x K x M =+ (7.10)这就是无阻尼结构系统的动力学基本方程。
有限元法首先是在有限元级上进行分析，在有限元的节点位移列阵{x e }基础上选取形函数[N e ]。
它在离散化结构系统的节点位移列阵{x }上的增广形函数设为][e N ，则离散化结构系统的形函数是∑=e e NN ][][ (7.11)3将（7.11）式代入（7.5），（7.7）,（7.9）式给出结构系统特性矩阵的组装集成公式。
7.2.2 无阻尼结构系统自由振动基本方程及其解结构系统振动特性是系统在没有任何外界扰动和激励情况下，结构系统所固有的振动性质。
分析结构系统振动特性的基本方程是无阻尼结构系统自由振动基本方程，这时{p }=0，也即{f }=0，由方程（7.10）t 得到0}]{[}]{[=+x K xM (7.12)这是一组齐次常微分方程组，它的基本解是 )exp(}{)exp(}{}{t j t x ωϕλϕ==(7.13)代入方程（7.12）则得结构系统的特征方程 0}]){[][(2=+ϕλK M或}]{[}]{[2ϕωϕM K =(7.14)它构成为一个广义特征值问题 现对无阻尼结构系统的能量进行分析。
它的应变能作用量（7.3）式在一个振动周期ωπ20=T 内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21T T T i K dt x K x dt U ωπϕϕωπ (7.15) 其中应变能量t K U T i ωϕϕ2cos }]{[}{21= (7.16) 它的动能作用量（7.6）式在一个振动周期内等于∫∫==0020}]{[}{2}]{[}{21T T T M dt x M x Tdt ωπϕϕπω (7.17) 其中动能是t M T T ωϕϕω22sin }]{[}{21= (7.18) 无阻尼结构系统是保守系统。
从（7.15）和（7.17）两式，得在一个振动周期内它的应变能作用量等于动能作用量，即∫=−000)(T i dt T U (7.19) 从（7.16）和（7.18）两式可以看出它的机械能（应变能与动能之和）是守恒的.const T U i =+ (7.20) 4即在振动过程的每一个瞬时它的机械能保持不变，能量没有损耗。
§7.3 无阻尼结构系统的固有振动特性7.3.1 无阻尼结构系统动力学基本方程的特征解无阻尼结构系统振动的特征方程是（7.14）式定义的广义特征值问题，即0}]{[][(2=+ϕλK M或}]{[}]{[2ϕωϕM K =对于n 个自由度的结构系统，它的刚度矩阵[K ]和质量矩阵[M ]都是n ×n 阶实对称矩阵。
由于它的应变能是非负定的，U i ≥0，除在刚体位移无变形时等于零外，变形状态皆为正，故刚度矩阵是非负定的。
由于它的动能是恒正的，T >0，故质量矩阵是正定的。
特征方程（7.14）式的特征解是特征值λi 和特征向量}{i ϕ，又称为特征对。
它们满足特征方程0}]{}]{[2=+i i i M K ϕλϕ(7.21)这是个齐次代数方程组，其解存在的条件是系数行列式等于零，即 0|][|][|2=K M λ(7.22) 这是个n 阶行列式，它的展开式是λ2的n 次代数方程式，由它解得n 个特征值，即。
由于刚度矩阵[K ]的实、对称、非负定性和质量矩阵[M ]的实、对称、正定性，它的特征根都是负实数，则可得n i i ,,2,1,2"=λ2i λi i j ωλ±= (7.23) 也就是说，特征值i λ是n 对共轭虚根。