向量的点积与叉积

习题二 向量的点积与叉积

一、是非题

解：1.（×）满足000=⨯≠≠b a b a ,,的向量a 与b 平行，可能同向或反向. 2.（√）由向量点积定义可得.

3.（×）b a ⨯的大小表示a ,b 两向量构成的平行四边形的面积.

4.（√）c a b a ⋅=⋅，即0)(=-⋅c b a ，所以)(c b a -⊥.

二、填空题 解：1. 1413)2(222=++-=

a ，21)1(22=+-=

b ,

所以夹角余弦为7

1

72221411)1(302cos -

=-=⨯⨯+-⨯+⨯-=⨯⋅=

b a b a θ. 而以向量a ,b 为邻边的平行四边形的面积即为b a ⨯，所以

62)7

1(1214cos 1sin 2

2=-

-⨯⨯=-⨯=⨯=θθb a b a S . 2. 由向量加法的三角形法则及余弦定理，有2

32

3222)32(2cos 2

22=⨯⨯-+=θ，得a 与b 的夹角为6

π=

θ. 3. k j i a 2++-=，k j i b 2+-=，所以

222)1(11)1(=⨯+-⨯+⨯-=⋅b a ，j i j i b a 442

11211+=--=⨯k

.

4. 22

2224πsin =⨯⨯=⨯=⨯b a b a .

三、选择题

解：1.(A) 因为1)32(

)3

1()3

2(22

2

=-++，所以),,(3

23132-可以作为方向余弦.

2. (C)因为向量的点积满足乘法分配律.

3. (B)因为k j i a ++=，k j i j 010++=，所以同时垂直于a 和Oy 轴的单位向量为)(21

1

)1(22k i k i k i k i j a j a c +-±=+-+-±=+-+-±=⨯⨯±

=.

4.(C)由三角形法则及余弦定理，133

π

2cos 432432

2

=⨯⨯⨯-+=+b a .

四、解：1. k j i k

j i

b a 7351

12231

-+=-=⨯,83)7(35222=-++=⨯b a , 所以同时垂直于a ,b 的单位向量为{}73583

1-±

,,,即⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧-±837833

83

5

,

,

.

2.设{}p n m ,,=b ，由题意有⎪⎩⎪

⎨⎧=++-==,

14,2

36222p n m p n m 解得12±=m ，6±=n ，4 =p ，因此所求向量为{}4,6,12-±=b .

3.{}2,3,1-=，{}8,0,2-=，k j i k

j i

612248

02231

++=--=⨯AC AB ，

ABC ∆的面积是以AC AB ,为邻边的平行四边形面积的一半，于是

213612242

1222=++==

∆S ABC .