点和圆直线和圆的位置关系
直线与圆的三种位置关系
(1)若直线AB与⊙C相离，则r的取值范围为
____________
(2)若直线AB与⊙C相切，
B
则r的取值为____________
4
(3)若直线AB与⊙C相交，
则r的取值范围为____________ C
5
D
3A
思维拓展：
如图直线l1与l2垂直，垂足为O，AM⊥l1于M，AN⊥l2于 N，AM=4,AN=3，以A为圆心，R为半径作⊙A根据下列
类似点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系 是否也可以用数量关系来刻画呢?
A
B
A
类似点和圆的位置关系，直线和圆的位 置关系是否也可以用数量关系来刻画呢?ຫໍສະໝຸດ .Odr .A
.B
.O
d r .D
l
C
H 相离
l 相切
1、直线与圆相离 <=> d>r 2、直线与圆相切 <=> d=r 3、直线与圆相交 <=> d<r
C
A
D
B
练习、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r=2cm；（2）r=2.4cm； (3)r=3cm．
B
4
D
C
3A
练习2：在△ABC中，AB=5㎝,CB=4㎝,AC=3㎝,
以点C为圆心，r为半径画⊙C，
条件，确定R的取值范围。
L1
M
A
L2
O
N
1）若⊙A与两直线无公共点,则R的取值范围为____； 2）若⊙A与两直线共有一个公共点,则R的取值为__； 3）若⊙A与两直线共有两个公共点,则R的取值范围为_； 4）若⊙A与两直线共有三个公共点，则R的取值为____； 5）若⊙A与两直线共有四个公共点，则R的取值范围为_。
点、直线、圆与圆地位置关系—知识讲解(基础)
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的切圆和三角形的心的概念，并熟练掌握以上容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、含)，两个圆相切(外切、切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆.6．三角形的心：三角形切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的心. 三角形的心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为切圆的半径).要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的部时，叫做这两个圆含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 d＞r1+r2两圆外切 d=r1+r2两圆相交 r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆切 d=r1-r2 (r1＞r2)两圆含 d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、含)、相切(含切、外切)、相交；(2) 切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有切或含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解析】（1）当d=4 cm时，∵d＜r，∴点P在圆；（2）当d=5 cm时，∵d=r，∴点P在圆上；（3）当d=6 cm时，∵d＞r，∴点P在圆外.【总结升华】利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O，则点A到圆心O的距离d的围是________.【答案】0≤d＜3.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【答案与解析】过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴AC BC34CD===2.4AB5•⨯(cm)，（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；(3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．【总结升华】欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．举一反三：【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB 相切。
点和圆直线和圆的位置关系课件
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解答这类问题抓住点到圆心的距离与圆半径的大小关系,
数形结合,根据已知得出r与各边长的关系是解题关键.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点三与外接圆有关的综合题
例3 在等腰△ABC中,AB=AC=13 cm,BC=10 cm,求等腰△ABC外
接圆的半径.
分析:设O为△ABC外接圆的圆心,连接AO,并延长AO交BC于D,连
交于B点,已知∠P=28°,C为☉O上一点,连接CA,CB,则∠C的度数为
(
)
A.28° B.62° C.31° D.56°
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
解析:由于∠C 是圆周角,而图中没有所对的圆心角,又 A 为切
点,故想到连接 AO.
∵PA 是☉O 的切线,A 为切点,∴∠OAP=90°.
个数来判定它们的位置关系,也可以用圆心到直线的距离与半径的
大小关系来判定它们的位置关系.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
知识点五
例1 如图,△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AO=x,O在AB上,且☉O的
半径为1.问当x在什么范围内取值时AC与☉O相离、相切、相交?
分析:由三角形的内角和定理可求出∠A的大小,根据含30°角的直
接OB,OC,得出AD⊥BC,BD=DC,根据勾股定理求出AD,设出等腰
△ABC外接圆的半径,在Rt△OBD中,由勾股定理得出
OB2=OD2+BD2,代入求出即可.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解:如图所示,设 O 为△ABC 外接圆的圆心,连接 AO,并延长 AO
点、直线、圆与圆的位置关系
点、直线、圆与圆的位置关系【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1.已知圆的半径等于5 cm，根据下列点P到圆心的距离：(1)4 cm；(2)5 cm；(3)6 cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由.【变式】点A在以O为圆心，3 为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是________.类型二、直线与圆的位置关系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？(1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米【变式】如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P .求证：⊙P与OB相切。
点、直线、圆与圆的位置关系
平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内
当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点在圆外。
当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点在圆上。
当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点在圆内。
例1．如图1，已知矩形ABCD的边AB=4cm，AD=3cm。
（1）△ABC的形状是______，理由是______。
（2）求证：BC平分∠ABE；
（3）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．
（3）若将图10-1中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF处，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，如图10-3，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
题型四、切线长定理的运用
15．如图11，在△ABC中，O是△ABC的内心，若∠A=50°，则∠BOC=______。
16．如图12，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______。
题型二、切线的判定
12．如图8，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径。求证：AE与⊙O相切。
题型三、切线性质的应用及拓展
13．如图9，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，OP交⊙O于点B，点C为优弧AMB上一点，若∠P=28°，求∠ACB的度数。
外离 d>R+r
外切 d=R+r
相交 R－r<d<R+r
内切 d=R－r
内含 0≤d<R－r（其中d=0，两圆同心）
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
点和直线与圆的位置关系
一：新课内容九年级上 24.2 直线和圆的关系二：新知识点回顾一.点与圆的位置关系有三种1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 4.不在同一直线上的三点确定一个圆 5. 三角形的外接圆与外心（1）. 外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
（2）.外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。
二、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
r dd CBAO4 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
5.与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
注意：直角三角形外接圆半径R=c 2，内切圆半径r = a+b-c26.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。
三：例题剖析（ 至少10个例题与习题 ） 点和圆的位置关系例1：若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么正确的是（ ） A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆上 C. 点A 在圆内 D ．不能确定例2. ⊙O 的半径为r ，⊙O 的一条弦AB 长为r 3，那么以2r为半径的同心圆与AB 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定例3. 等腰△ABC 的腰AB=AC=6cm ，若以A 为圆心，以3cm 为半径的圆与BC 相切，则∠BAC 的度数为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°例4. 已知：∠AOB=60°，P 为OA 上一点，OP=4cm ，以P 为圆心，cm 34为半径的圆与直线OB 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都有可能例5. 直线l 上的一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径时，l 与⊙O 的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交例6. ⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若l 与⊙O 有公共点，则d 与r 的关系为（ ）A. r d <B. r d ≤C. r d ≤<0D. r d ≤≤0例7如图,BC 是半圆O 的直径,P 是BC 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A,∠B=30°. (1)试问AB 与AP 是否相等?请说明理由.(2)若PA=3,求半圆O 的直径。
点和圆、直线和圆的位置关系
§24.2 点和圆、直线和圆的位置关系一、知识点过关知识点1 点和圆的位置关系（重点；掌握）点和圆的位置关系有三种，设点P 到圆心O 的距离d OP =，⊙O 的半径为r ，则有： 点P r >；点P 在圆上 r =；点P 在圆内 r <； 【命题点1 根据d 与r 的数量关系判定点与圆的位置关系】例1 已知⊙O 的面积是16π，若5.4=OP ，则点P 在⊙O ；若4=OP ，则点P 在⊙O ；若OP ，则点P 在⊙O 内.针对性训练1、若点)0(，a B 在以点)01(，A 为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为 （ ） 31.<<-a A 3.<aB 1.->aC 13.-<>ora a D知识点2 圆的确定（重点；理解）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 【命题点2 求三角形外接圆的半径】例2 △ABC 中，10==AC AB ，12=BC ，求△ABC 的外接圆半径.针对性训练1. 如图，点A ，B ，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这4个点中的任意3个点，能画圆的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4知识点3 直线和圆的位置关系（重点；掌握）1.相交、相切与相离的概念[画图板书]（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离.2.直线与圆的位置关系如果设⊙O 的半径为r ，圆心到直线l 的距离为d ，可归纳出下列结论： （1）直线l 和⊙O 相离 r d >； （2）直线l 和⊙O 相切 r d =； （3）直线l 和⊙O 相交 r d <；【命题点3 根据直线与圆的位置关系求半径R 的取值范围】例3 已知︒=∠30MON ，在ON 边上有一点P ，cm OP 5=，若以点P 为圆心，以R 为半径作圆，求满足下列条件的⊙P 的半径R 的取值范围. （1）射线OM 与⊙P 只有一个公共点； （2）射线OM 与⊙P 有两个公共点.针对性训练1、在Rt △ABC 中，cm AC 3=，cm BC 4=，︒=∠90ACB .若以点C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 不相离，求r 的取值范围.知识点4 圆的切线的判定与性质（重点、难点；理解）1.切线的判定（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（2）如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线是圆的切线.经过半径的外端并且垂直于这条半斤的直线是圆的切线（切线的判定定理） 2.切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径. 【命题点4 切线的性质定理的应用】例4 如图所示，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且CAD D ∠=∠2.连接OC. （1）求D ∠的度数；（2）若2=CD ，求BD 的长.针对性训练1、已知⊙O 中，AC 为直径，MA ，MB 分别切⊙O 于点A ，B. （1）如图①，若︒=∠25BAC ，求AMB ∠的大小；（2）如图②，过点B 作AC BD ⊥于点E ，交⊙O 于点D ，若MA BD =，求AMB ∠的大小.知识点5 切线长的定义及定理（重点、难点；掌握）1.定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 【命题点5 利用切线长定理求角的度数】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP.︒=∠20BAC ，则P ∠的度数为 （ ）A.50°B.70°C.110°D.40°针对性训练1、如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，已知BC 是⊙O 的直径，连接AB ，AC ，OP. 求证：（1）ABC APB ∠=∠2；（2）AC ∥OP.【命题点6 利用切线长定理求线段的长】例5 如图所示，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，Q 为︵AB上一点，过Q 点作⊙O 的切线，交PA ，PB 与E ，F 两点，已知cm PA 10=，求△PEF 的周长.针对性训练1、如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别和⊙O 相切于点A ，B ，C 是劣弧︵AB上任意一点，过C 作⊙O 的切线DE ，分别交PA ，PB 于点D ，E. 已知△PDE 的周长为8，︒=∠70DOE ，点M ，N 分别在PB ，PA 的延长线上，MN 与⊙O 相切于点F ，且DN ，EM 的长是方程0102=+-k x x 的两根. （1）求P ∠的度数；（2）求PA 的长；（3）求四边形DEMN 的周长.知识点6 三角形的内切圆（重点、难点；掌握）（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.（内切圆与外接圆对比）（2）三角形的内心到三角形三边的距离都相等.（3）三角形的内切圆的作法：先作出三角形的两条角平分线，以两条角平分线的交点为圆心，交点到一边的距离为半径作圆，即而已得到三角形的内切圆.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【命题点6 利用三角形内心求角的度数】例6 如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，与边BC 、CA 、AB 的切点分别为D ，E ，F ，若上︒=∠70A ，则EDF ∠= 度.针对性训练1、⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，︒=∠90C ，4=AC ，3=AB ，求⊙O 的半径r .知识点7 圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）1.概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.性质：圆内接多边形的对角互补.【命题点7 圆内接四边形与垂径定理的综合应用】例7 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，BD AC ⊥于E ，AB OF ⊥于F ，求证：CD OF =2.针对性训练1、如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，︒=∠30B ，则=∠D .二、全方位技巧类型题1 根据点与圆的位置关系求r 的取值范围例1 已知△ABC ，︒=∠90C ，2=AC ，3=BC ，AB 的中点为M. （1）以C 为圆心，2为半径作⊙C ，则点A ，B ，M 与⊙C 的位置关系如何？（2）若以C 为圆心作⊙C ，使A ，B ，M 三点至少有一点在⊙C 的内部，且至少有一点在⊙C 的外部，求⊙C 的半径r 的取值范围.类型题2 有关圆与一元二次方程的综合题例2 设⊙O 的半径为2，点P 到圆心的距离m OP =，且m 使关于x 的方程012222=-+-m x x 有实数根，试确认点P 与⊙O 的位置关系.类型题3 切线的判定和性质的综合应用例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 与⊙O 相交于点D ，连接AD 并延长，与BC 相交于点E. （1）若3=BC ，1=CD ，求⊙O 的半径；（2）取BE 的中点F ，连接DF ，求证DF 是⊙O 的切线.类型题4 圆的切线与四边形的综合应用例4 如图所示，AB 是半圆O 的直径，点C 为半径OB 上一点，过点C 作CD ⊥AB 交半圆O 于点D ，将△ACD 沿AD 折叠得到△AED ，AE 交半圆于点F ，连接DF. （1）求证DE 是半圆的切线；（2）当BC OC =时，判断四边形ODFA 的形状，并证明你的结论.类型题5 圆周角定理的推论与垂径定理的综合应用例5 如图所示，点C ，D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分ACB ∠，若2=AB ，︒=∠15CBA ，则CD 的长为 .类型题6 巧引辅助线，构造特殊三角形解题例6 如图所示，在⊙O 中，︒=∠=∠60BDC ACB ，cm AC 32=. （1）求BAC ∠的度数. （2）求⊙O 的周长.三、分层实战训练【基础巩固】1.已知点P 与圆周上的点的最小距离为6cm ，最大距离为16cm ，求该圆的半径.2.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，若R d ，是方程02092=+-x x 的两个实数根，则直线和圆的位置关系是 .3.如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O ，圆心O 到弦BC 的距离等于3， 则A ∠的正切值等于 （ ） 53.A 54.B 43.C 34.D4.已知AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，OB BD =，点C 在圆上，︒=∠30CAB .求证：DC 是⊙O 的切线.5.AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.求证：DE 是⊙O 的切线.6.AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且︵AF =︵FC =︵CB ，连接AC ，AF ，过点C 作AF CD ⊥，交AF 的延长线于点D ，垂足为D.求证：CD 是⊙O 的切线.7.已知⊙O 的直径为AB ，AB AC ⊥于点A ，BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得EA ED =. （1）求证：ED 是⊙O 的切线；（2）当3=OA ，4=AE 时，求BC 的长度.8.如图所示，在△ABC 中，BC AC =，α=∠CAB （定值），⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q. （1）求POQ ∠的大小；（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，E 在CB 的延长线上，试判断DOE ∠的大小是否随着D 点位置的变化而变化，并说明理由. （3）在（2）的条件下，如果m AB =(m 为已知数)，53cos =α，设y DE x AD ==，，求y 关于x 的函数解析式.9.如图所示，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点)24(，P 是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C. （1）求证PA 是⊙O 的切线；（2）求点B 的坐标.10.如图，AB 是⊙O 的直线，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作⊙O 的切线与CD 的延长线交与点F ，如果CE DE 43=，58=AF ，D 为EF 的中点. （1）求证：ACF AFC ∠=∠；（2）求AB 的长.11.(2014*江苏扬州)如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切与点D ，与直角边AC 相交于E 、F 两点，连接DE.已知︒=∠30B ，⊙O 的半径为12，弧DE 的长度为4π. （1）求证：DE ∥BC ；（2）若CE AF =，求线段BC 的长度.12.(2014*黑龙江哈尔滨)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，连接CD ，且DE AE =，CE BC =.（1）求ACB ∠的度数；（2）过点O 作AC OF ⊥于点F ，延长FO 交BE 与点G ，3=DE ，2=EG ，求AB 的长.。
24.2点、直线、圆和圆的位置关系(共7课时)
24.2点、直线、圆和圆的位置关系（共7课时）第一课时：点和直线的位置关系教学内容1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．4．反证法的证明思路．教学目标1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P 在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r及其运用．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．难点：讲授反证法的证明思路．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面的问题．1．圆的两种定义是什么？2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．（3）都等于半径．（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．二、探索新知由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d则有：点P在圆外⇒d>r点P在圆上⇒d=r点P在圆内⇒d<r反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d=r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．因此，我们可以得到：这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．下面，我们接下去研究确定圆的条件：（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？老师在黑板上演示：（1）无数多个圆，如图1所示．（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．lBAB(1) (2) (3)（3）作法：①连接AB、BC；②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；③以O 为圆心，以OA 为半径作圆，⊙O 就是所要求作的圆，如图3所示． 在上面的作图过程中，因为直线DE 与FG 只有一个交点O ，并且点O 到A 、B 、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A 、B 、C 三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．证明：如图，假设过同一直线L 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线L 1，又在线段BC 的垂直平分线L 2，•即点P 为L 1与L 2点，而L 1⊥L ，L 2⊥L ，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；（2）作两线段的中垂线，相交于一点．则O 就为所求的圆心．四、应用拓展例2．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB=48cm ，CD=30cm ，高27cm ，求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）分析：要求作一个圆经过A 、B 、C 、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或OA 或OB ，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt △EOC 中，设OF=x ，则OE=27-x 由OC=OB 便可列出，•这种方法是几何代数解．作法分别作DC 、AD 的中垂线L 、m ，则交点O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴Al m BA C E D O F ∵OB=OA ，∴点B 也在⊙O 上∴⊙O 为等腰梯形ABCD 的外接圆设OE=x ，则OF=27-x ，∵OC=OB= 解得：x=20∴，即半径为25m ． 五、归纳总结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1． 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，则;;.P d r P d r P d r ⇔>⎧⎪⇔=⎨⎪⇔<⎩点在圆外点在圆上点在圆内2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．5．以上内容的应用．六、布置作业1．教材P93 练习第二课时：直线和圆的位置关系（1）教学内容1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；•直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d直线L 和⊙O 相交⇔d<r ；直线和⊙O 相切⇔d=r ；直线L 和⊙O 相离⇔d>r ．教学目标1.探索并了解直线和圆的位置关系．2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．重点：探索并了解直线和圆的位置关系．难点：掌握识别直线和圆的位置关系的方法．教学过程一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，(b)(c)则有：点P在圆外⇔d>r，如图（a）所示；点P在圆上⇔d=r，如图（b）所示；点P在圆内⇔d<r，如图（c）所示．(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？探究一、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．（老师板书）如图所示：l(a)(b)相离(c)如图（a ），直线L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．如图（b ），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，•这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．如图（c ），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．探究二、割线切线基本概念探究二、(1) 能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？练习已知：如图所示，∠AOB =30°，P 为OB 上一点，且OP =5 cm ，以P 为圆心，以R 为半径的圆与直线OA 有怎样的位置关系？为什么？①R =2 cm ；②R =2.5 cm ；③R =4 cm ．(2) 练习课堂小结：（学生归纳，总结发言老师点评）1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念．2．设⊙O 的半径为r ，直线L 到圆心O 的距离为d 则有：直线L 和⊙O 相交⇔d<r直线L 和⊙O相切⇔d=r直线L和⊙O相离⇔d>r第三课时：直线和圆的位置关系（2）教学内容1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．教学过程是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，•按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，•请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L和⊙O相交⇔d<r，如图（a）所示；l(a)直线L和⊙O相切⇔d=r，如图（b）所示；直线L和⊙O相离⇔d>r，如图（c）所示．因为d=r⇒直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，•我们可以得到切线的判定定理：例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，•那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图AD 所示的CD 即可．（2）用d 和r 的关系进行判定，或借助图形进行判定．解：（1）如图24-54：过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △ABC 中∴因此，当半径为时，AB 与⊙C 相切．理由是：直线AB 为⊙C 的半径CD 的外端并且CD ⊥AB ，所以AB 是⊙C 的切线．（2）由（1）可知，圆心C 到直线AB 的距离，所以当r=2时，d>r ，⊙C 与直线AB 相离；当r=4时，d<r ，⊙C 与直线AB 相交．刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD 是切线，A 是切点，连结AO 与⊙O 于B ，那么AB 是对称轴，所以沿AB 对折图形时，AC 与AD 重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°．因此，我们有切线的性质定理:三、巩固练习教材P94 练习，四、应用拓展例．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．A D （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．分析：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，•因为C 点已在圆上．由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10解：（1）CD 与⊙O 相切理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A∴∠OCA=∠DCB∴∠OCD=90°综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30°∴∠COD=60°∴∠A=30°∴∠BCD=30°∴BC=BD=10∴AB=20，∴r=10答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）本节课应掌握：1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2、切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．3、应用上面的知识解决实际问题．六、布置作业一、选择题．1．如图，AB 与⊙O 切于点C ，OA=OB ，若⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是（ ）A2．下列说法正确的是（ ） A ．与圆有公共点的直线是圆的切线．B ．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D ．过圆的半径的外端的直线是圆的切线3．已知⊙O 分别与△ABC 的BC 边，AB 的延长线，AC 的延长线相切，则∠BOC 等于（ ）A ．12（∠B+∠C ）B ．90°+12∠A AC．90°-12∠A D．180°-∠A二、填空题1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D•点，•若AB=10，AC=8，则DC长为________．D2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=•________，•∠BOC=________．第四课时：直线和圆的位置关系（3）教学内容1．切线长的概念．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．教学目标1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．3、复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．重点：切线长定理及其运用．•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．教学过程一、复习引入1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：•①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和⊙相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：•经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．二、探索新知从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB•的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，•我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，•叫做这点到圆的切线长．从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．下面，我们给予逻辑证明．例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．Array求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．∴OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP，∴Rt △AOP ≌Rt △BOP ∴PA=PB ，∠OPA=∠OPB因此，我们得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．（同刚才画的图）设交点为I ，那么I 到AB 、AC 、BC 的距离相等，如图所示，因此以点I 为圆心，点I 到BC 的距离ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，•内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 例2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，•因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO 、BO 、CO ，就可把三角形ABC 分为三块，•那么就可解决． 解：连结AO 、BO 、CO∵⊙O 是△ABC 的内切圆且D 、E 、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S △ABC =6∴12（4+5+3）r=6 ∴r=1答：所求的内切圆的半径为1． 三、巩固练习 教材P98 练习．五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：1．圆的切线长概念； 2．切线长定理3．三角形的内切圆及内心的概念．l AC第五课时：直线和圆的位置关系（4） 内容：直线和圆的位置关系复习要点梳理一、 直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。
点与圆、直线与圆位置关系
一、点与圆的位置关系1.确定圆的条件（1）圆心(定点)，确定圆的位置；（2）半径(定长)，确定圆的大小．注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2.点与圆的位置关系（3）点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．（4）设O=；⊙的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外⇔d r>；点在圆上⇔d r 点在圆内⇔d r<.如下表所示：二、过已知点的圆1.过已知点的圆（1）经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．（2）经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．（3）过三点的圆：若这三点A B C、、三点不共线时，圆心、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的（4）过n()4圆的圆心．2.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（1）“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；（2）“确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．三、三角形的外接圆及外心1.三角形的外接圆（1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．（2）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.2. 三角形外心的性质（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.一、点与圆的位置关系【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．7【巩固】1、一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm ，最小距离为1cm ，则此圆的半径为______．2、若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）DA ．2b a + B ．2ba - C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或3、定义：定点A 与O ⊙上的任意一点之间的距离的最小值称为点A 与O ⊙之间的距离．现有一矩形ABCD如图，14cm 12cm AB BC ==，，K ⊙与矩形的边AB BC CD 、、分别相切于点E F G 、、，则点A 与K ⊙的距离为______________．【例2】 已知ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC =，3BC =，AB 的中点为M ，⑴以C 为圆心，2为半径作C ⊙，则点A ，B ，M 与C ⊙的位置关系如何？ ⑵若以C 为圆心作C ⊙，使A ，B ，M 三点至少有一点在C ⊙内，且至少有一点在C ⊙外，求C ⊙半径r 的取值范围．M CBA【巩固】1、Rt ABC ∆的两条直角边3BC =，4AC =，斜边AB 上的高为CD ，若以C 为圆心，分别以12r =，2 2.4r =，33r =为半径作圆，试判断D 点与这三个圆的位置关系.DCBA2、在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，5AB =，以点C 为圆心，以r 为半径作圆，请回答下列问题，并说明理由.⑴当r 取何值时，点A 在C ⊙上，且点B 在C ⊙内部？⑵当r 在什么范围内取值时，点A 在C ⊙外部，且点B 在C ⊙的内部？ ⑶是否存在这样的实数r ，使得点B 在C ⊙上，且点A 在C ⊙内部？CBA二、过三点的圆【例3】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若7613CAD BDC ∠=︒∠=︒，，则CBD ∠=_________，BAC ∠=__________．DCBA【例4】 如图，在平面直角坐标系中，O '与两坐标轴分别交于A B C D ，，，四点，已知：()60A ，，()03B -，，()20C -，，则点D 的坐标是（ ） A ．()02，B ．()03，C ．()04，D ．()05，三、三角形的外接圆及外心【例5】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为O ⊙的直径，6AD =，则BC =.【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．ABCD ．12【例6】 设Rt ABC ∆的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径为 ．【巩固】1、如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A B C ，，，其中B 点的坐标为()44，，则该圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．2、ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，求其外接圆的半径．【例7】 在等腰ABC ∆中，AB BC =，BH 是高，点M 是边AB 的中点，而经过点B ，M 于C 的圆同BH的交点是K ，求证32BK R =，其中R 是ABC ∆的外接圆半径．【巩固】1、已知∆ABC 中，=AB AC ，D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点A C ，重合)，延长BD 至E ．⑴求证：AD的延长线平分∠CDE；⑵若30∠=︒BAC，∆ABC中BC边上的高为2∆ABC外接圆的面积．AB CD E2、已知如图，ACD∆的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，求证：BA BD=．一、直线与圆的位置关系设O⊙的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心①过圆心，过切点⇒垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则AB l⊥．②过圆心，垂直于切线⇒过切点．AB过圆心，AB l⊥，则AB过切点M．③过切点，垂直于切线⇒过圆心．AB l⊥，AB过切点M，则AB过圆心．l 3.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．l4.切线长和切线长定理（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形的内切圆1.三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系cb acbaO F ED CBACBAC B A设a 、b 、c 分别为ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边，面积为S ，则内切圆半径为sr p=，其中()12p a b c =++．若90C ∠=︒，则()12r a b c =+-． 一、直线与圆位置关系的确定【例1】 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP x =，则x 的取值范围是A ．0≤x B．x C ．－1≤x ≤1D ．x【例2】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个【巩固】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12cm AC =，16cm BC =，以点C 为圆心，r 为半径的圆和AB 有怎样的位置关系？为什么？⑴ 9cm r =；⑵10cm r =；⑶9.6cm r =．DCBA【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C =︒∠，且AB AD BC >+，AB 是O 的直径，则直线CD 与O 的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作O的切线AD，BA DA⊥，10BC=，4AD=，那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是．二、切线的性质及判定【例4】已知：O为BAC∠平分线上一点，OD AB⊥于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：O⊙与AC相切．【巩固】如图，ABC∆为等腰三角形，AB AC=，O是底边BC的中点，O⊙与腰AB相切于点D，求证AC与O⊙相切．【例5】已知：如图，ABC∆内接于O，AD是过A的一条射线，且B CAD∠=∠．求证：AD是O的切线．【巩固】已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 为O ⊙上一点，MN 过C 点，AD MN ⊥于D ，AC 平分DAB ∠．求证：MN 为O ⊙的切线．【例6】 如图，已知OA 是O ⊙的半径，B 是OA 中点，BC OA ⊥，P 是OA 延长线上一点，且PA AC =．求证：PC 是O ⊙的切线．【巩固】如图，AB 是O ⊙的直径，C 点在圆上，CD AB ⊥于D ．P 在BA 延长线上，且PCA ACD ∠=∠．求证：PC 是O ⊙的切线．BP【例7】 如图，O ⊙是Rt ABC ∆的外接圆，90ABC ∠=︒，点P 是圆外一点，PA 切O ⊙于点A ，且PA PB =． （1）求证：PB 是O ⊙的切线．（2）已知1PA BC ==，求O ⊙的半径．【巩固】1、如图，AB 为O ⊙的直径，D 是BC 的中点，DE AC ⊥交AC 的延长线于E ，O ⊙的切线BF 交AD 的延长线于点F ．求证：DE 是O ⊙的切线；FAB2、如图，已知O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心、OA 长为半径的O ⊙与BC 相切于M ，与AB 、AD 分别相交于E 、F ． （1）求证：CD 与O ⊙相切．（2）若正方形ABCD 的边长为1，求O ⊙的半径．【例8】 如图，AB BC =，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 是O ⊙的切线；（2）作DG AB ⊥交O ⊙于G ，垂足为F ，若308A AB ∠=︒=，，求弦DG 的长．【巩固】如图，AC 为O ⊙的直径，B 是O ⊙外一点，AB 交O ⊙于E 点，过E 点作O ⊙的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点．求证：BC 是O ⊙的切线；D CB A【例9】 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且ECF E ∠=∠． （1）证明CF 是O 的切线；（2）设O 的半径为1，且AC CE =，求MO 的长．A1. 已知60ABC ∠=︒，点O 在ABC ∠的平分线上，5cm OB =，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则O 与BC 的位置关系是________．2.如图，半径为3cm 的O ⊙切直线AC 于B ，3cm AB BC =，，则AOC ∠的度数是 ．3.如图所示在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，A ∠的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE DC =，以D 为圆心，以DB 的长为半径画圆．求证：（1）AC 是D ⊙的切线；（2）AB EB AC +=．E B4.如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．5.如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A 、与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分ACB ∠． ⑴ 试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； ⑵ 试判断线段AC AD BC 、、之间的数量关系，并说明理由； ⑶ 若8cm 10cm AB BC ==，，求大圆与小圆围成的圆环的面积．。
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
九年级数学 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。
则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。
2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点 作圆，过 三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的 。
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点， 相等。
1、直线与圆的位置关系有 种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ，这时直线叫圆的 线。
2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、 切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 。
【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线。
【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。
当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。
4、 切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角5、 三角形的内切圆：⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点；（3）内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 。
【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。
九年级.数学 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系
100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】 锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面 内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建 一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
12/6/2021
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求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习()
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习()点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外d＞r ②点P 在圆上d=r ①点P在圆内d＜r点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．符号读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 5.直线和圆的位置关系直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．1①直线l和⊙O相交d＜r ②直线l和⊙O相切d=r ③直线l和⊙O相离d＞r．6.切线的性质切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．切线性质的运用定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理2圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离d＞R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r＜d＜R+r；④两圆内切d=R-r；⑤两圆内含d＜R-r．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便． 13.相交两圆的性质相交两圆的性质：相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．两圆的公切线性质：两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条公切线，则它们的交点一定在连心线上．34. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=43，D是线段BC的中点.试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理. 过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.4【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：相交r1r2dr1r2；外切dr1r2；内切dr1r2；外离dr1r2；内含0dr1r2 【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为A．相离B．相切 C．相交D．内含例2. 如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．B50°，C60°，连结OE，OF，DE，DF，则EDF等于 A．40°B．55° C．65°D．70°例3. 如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有A．0个B．1个C．无数个D．0个或1个或无数个例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为 D. 1cm或7cm 例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足___ ___时，两圆相交；当d满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O半径为，点P为直线L上一点，且OP=，则直线与⊙O的位置关系是____例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA 长为2，则△PEF的周长是_．例9. 如图，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴切于点C，则圆心M的坐标是5例10. 如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是 A．相离B．外切C．内切D．相交2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为 A．10cm B．6cm C．10cm或6cm D．以上答案均不对3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于A. 15B. 30C. 45D. 604. 如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于 AA）6 25 210 214 O BDC5.如图，在第3题图10× 6的网格图中第4题图(每个小正方形的边长均为第5题图1 个单位长)．⊙第6A题图半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于A.54 B. 45 C. 354 D. 6 7.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在△ABC中，ABAC，A120°，BC23，⊙A与BC 相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是．9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：AC=2：5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．O1O2O6第8题图第9题图第10题图第11题图 10. 如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．13. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm。
直线和圆的位置关系知识梳理大全
圆的有关性质与直线和圆的位置关系知识梳理一、重点内容梳理.1、点与圆，直线与圆的位置关系.①设点P到⊙o的圆心的距离为OP，圆半径为R点P在圆内⇔OP﹤R；点P在圆上⇔' P=R；点P在圆外⇔OP﹥R②设圆心到直线的距离为d,圆半径为R.d﹥R⇔直线与圆相离；d=R⇔直线与圆相切；d﹤R⇔直线与圆相交2、与圆有关的角圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角；圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角；弦切角：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相交的角.3、体现圆中相等关系的定理.①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直线垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.②圆心角、弧、弦心距的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.③圆周角的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角等于90°（直角）；90°的圆周角所对的弦为直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形.④弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.⑤切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.⑥圆内接四边形性质：圆内接四边形对角互补，一个外角等于它的内对角.注意：<1>证明圆中的等量常用“等对等”的方法，即“等角（圆心角、圆周角或弦切角）⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.”<2>圆周角的推论3是判定一个三角形为直角三角形的又一种方法.4、和圆有关的比例线段.①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.推论：如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条经段的比例中项.②切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.注意：利用相交弦定理的推论可求作已知两线段比例中项.PA CB ⌒ 5、三角形的外接圆与内切圆①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫三角形的外心，外心是三角形三边的垂直平分线的交点.②和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫三角形的内心，内心是三角形各个内角的平分线的交点.6、圆的切线.①判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②性质：切线垂直于过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.7、一种间接证明几何命题的方法——反证法.步骤为：①反设（假设命题的结论不成立）②反推（从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾）.③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.8、点的五种基本轨迹.二、思维方法小结.1、在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作垂直于弦的直径作为辅助线；在解决与直径有关的问题时，常常添作辅助线，构成直径上的圆周角.以便利用直径上的圆周角是直角的性质；而在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，以便利用切线垂直于过切点的半径这一性质.2、相交弦定理和推论，切割线定理和推论是解决与圆有关比例线段问题的四个主要定理.解题时，要准确找出线段，结合图形来理解.当直接应用定理不能证明出结论时，通常用“三点定形”法来寻找和构造相似三角形，其思路一般是“等积式→比例式→中间比→相似三角形”.3、与圆有关的开放探索问题主要有探索条件、探索结论，探索问题的存在性三类.解题的基本思路是：探索条件类的解法类似分析法，先假设结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是根据条件，运用数学思想，结合已有知识，合理推理，大胆猜想，分析归纳得出结论；探索问题的存在性，常采用“假设检验法”.先假设存在，再检验是否矛盾，从而确定问题的存在性.三、中考试题特点及命题趋势.1、各省市试题主要考查的知识点有：圆的概念，点与圆、直线与圆的位置关系，正确区别和应用圆心角，圆周角、弦切角的定义和性质，去论证或计算角，线段相等的几何问题，运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理及推论证明几何题，应用圆内接四边形的性质进行计算，判定圆的切线或运用切线性质来解决与切线有关的问题.2、本章试题形式多种多样，有考查基本知识的填空，选择题，也有考查计算、论证的中档题，还有考查数学能力的应用、创新、开放、探究型题目.本章是初中数学的核心内容，试题分值占18%～22%左右.四、典型中考试题介绍.例1（2005年天津）如图，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 等于 . 解：在优弧AB 上任取一点P （与A 、B 不重合）. 则∠APB=21∠AOB=50° 在圆内接四边形ACBP 中∠P+∠ACB=180°∴∠ACB=180°－50°=130°OC A BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例2（2005年重庆）在⊙o 中，P 是弦AB 的中点，C 、D 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）AB ⊥CD （B ）∠AOB=4∠ACD （C ）AD=BD （D ）PO=PD解：CD 为直径，P 是AB 的中点，由垂径定理的推论可得AB ⊥CD ∴AD=BD ∴∠AOD=∠BOD由圆周的定理可得∠ACD=21∠AOD ∴∠ACD=41∠AOB ∴不正确的是（D ）.评注：垂径定理是圆的重要性质，各省市试题几乎都有，同学们务必掌握. 例3（2005年四川绵阳）已知BC 是⊙o 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为BF 的中点，BF 交AD 于点E ，且BE ·EF=32，AD=6.（1）求证：AE=BE （2）求DE 的长（3）求BD 的长（1）证明：连结AB ∵BC 为直径，AH ⊥BC ∴AB=BH ∵A 为BF 的中点 ∴AB =AF ∴BH=AF∴∠EAB=EBA ∴AE=BE（2）由相交弦定理得AE ·EH=BE ·EF∴（AD-DE ）（DH+DE ）=32∴（6-DE ）（6+DE ）=32∴DE=2（3）∵BE=AE=AD-DE=6-2=4在RT △BDE 中，由勾股定理可得BD=32416242222=-=-=-DE BE评析：相交弦定理经常和垂径定理交织在一起，使题中有较多的相等关系，解题时要注意寻找到相等关系.例4（2005年四川自贡）如图，P 是⊙o 的弦CB 延长线上一点，点A 在⊙o 上，且∠PCA=∠BAP（1）求证：PA 是⊙o 的切线，（2）若PB ：BC=2：3，且PC=10，求PA 的长（1）证明：连结AO ，并延长交⊙o 于点D ，连结CD ，则∠ACD 为直径AD 所对的圆周角. ∠ACD=90°∴∠PCA+∠BCD=90°∵∠PCA =∠BAP∠BCD=∠BAD∴∠BAP+∠BAD=∠PCA+∠BCD=90°即∠PAD=90°∴PA 为⊙o 的切线H P O AC ED B O FAA （2）∵PB:BC=2:3 ∴PB=52PC=52×10=4 由切割线定理得PA 2=PB ·PC∴PA 2=4×10=40 ∴PA=210 评析：连结过切点的半径或直径构造直径所对圆周的是解本题的关键.例5（2005年辽宁十一市）如左图，AB 是⊙o 的直径，AC 是弦，直线EF 和⊙o 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D.（1）求证：∠DAC=∠BAC（2）若将直线EF 向上平行移动，如右图，EF 与⊙o 交于G ，C 两点，若题中心的其他条件不变，这时与∠DAC 相等的角是哪一个？为什么？（1） 证明：连结BC∵EF 切⊙o 于C∴∠B=∠ACD∵AB 为直径∴∠B ＋∠BAC=90°∵△ACD 为Rt △∴∠ACD ＋∠DAC=90°∴BAC=∠DAC（2）∠BAG 与∠DAC 相等证明： 连结BG ，则四边形ABGC 为⊙o 的内接四边形.∴∠ACD=∠B∵AB 为直径∴∠B ＋∠BAG=90°∵△ACD 为Rt △∴∠ACD ＋∠DAC=90°∴∠BAG=∠DAC评析：本题考查切线的性质、弦切角定理、直径所对圆周角为直角、圆内接四边形一个外角等于它的内对角等与圆有关的内容；覆盖面较广，综合性较强，这要求同学们要全面掌握圆的有关性质。
点和圆、直线和圆的位置关系
细节决定未来
） ）
7、如图，在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 CB，CA 分别 相交于点 E，F，则线段 EF 长度的值是（ A、 4 2 B、4.75 C 、5 ）----------------- 切线的性质 D、4.8
7题
8题
8、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点 P 在 AC 上，AP=2，若⊙O 的圆心在线 段 BP 上，且⊙O 与 AB、AC 都相切，则⊙O 的半径是 。
授课教案
学员姓名：________ 授课教师：_________ 所授科目：________学员年级：________ 上课时间：______年 ____月 ____日，具体时段： 共______小时 工位号： 授课合同号： 教学标题 教学重难点 知识要点 点与圆的位置关系有三种 1、点在圆内 2、点在圆上 3、点在圆外
d r d r d r
点 C 在圆内；
A
点 B 在圆上；
B
d r d C O
点 A 在圆外；
4.不在同一直线上的三点确定一个圆 5. 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。 （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点。 ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角 三角形的外心在三角形的外部。 ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个. 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点；
点与圆、直线和圆的位置关系
பைடு நூலகம்D. 150∘
3. 已知 ⊙ ������ 的半径为 4 cm，如果圆心 ������ 到直线 ������ 的距离为 3.5 cm，那么直线 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关系是 ( A. 相交 4. 若点 ������ ������, 0 为( ) B. ������ < 4 D. ������ > 4 或 ������ < −2 ) B. 相切 在以点 ������ 1,0 C. 相离 D. 不确定
d>R． d＝R． d<R．
4、切线 (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线． （2)切线长： 从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线 长． (3)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆 心的连线平分两条切线的夹角． 一、 选择题 1、1. ⊙ ������ 的半径为 5，圆心 ������ 到直线的距离为 3，则直线 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关系
A. 点 ������ 在 ⊙ ������ 上 C. 点 ������ 在 ⊙ ������ 外
7. 如图，已知直线 ������������ 切 ⊙ ������ 于点 ������，������������ 为 ⊙ ������ 的直径，若 ∠������������������ = 123∘ ，则 ������������ 所对的圆心角的度数为 ( )
A. 点 ������ 在 ⊙ ������ 上 C. 点 ������ 在 ⊙ ������ 外
6. 已知 ⊙ ������ 的半径为 8，点 ������ 到圆心 ������ 的距离为 3，那么点 ������ 与 ⊙ ������ 的位置关 系是 ( ) B. 点 ������ 在 ⊙ ������ 内 D. 无法确定
点与圆位置关系
点与圆位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交⇔d<r；直线l与⊙O相切⇔d=r；直线l与⊙O相离⇔d>r；切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理1、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
过三点的圆不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、1.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________；2.经过三角形各顶点的圆叫做这个三角形的圆；3.如图9，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.ABC4. △ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°5. 点A 到圆O 的最近点的距离为10厘米，点A 到圆上最远点的距离为6厘米，则圆O 的半径是（A ）8厘米 （B ）2厘米 （C ）8厘米或2厘米 （D ）以上答案都不对6. ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°直线与圆的位置关系：(1)直线l 和⊙O 相交⇔d>r (2)直线l 与⊙O 相切⇔d=r (3)直线l 和⊙O 相离⇔d<r ，其中r 为⊙O 的半径，d 为圆心O 到直线l 的距离。
点和圆的三种位置关系
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： B 直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法 c O a+b-c c
R= — 2
r = ————
2
a
等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法
A
I A b C
基本思路：
构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
C
R B
O r
D
如图，在ΔABC中，AC=6，BC=8，AB=10， 求ΔABC内切圆的半径.
6、（2011湖北武汉）如图，PA为⊙O的切线，A为 切点.过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B. 延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若tan∠ABE=，求sinE的值.
7、(2011浙江舟山)如图，△ABC中，以BC为直径 的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC． （1）求证：CA是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE=6，
点和圆的三种位置关系
图形
•
点与圆的位置关 系
点在圆外 点在圆上
圆心到点的距离d 与半径r的关系
d>r d=r
A A • •o A •• o
•o
点在圆内
d<r
直线和圆的位置关系
•o
l
•o
M
l
•o
l
直线和圆有两个公共点时，叫做 直线和圆相交。这时直线叫做圆 的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做 直线和圆相切。这时直线叫做圆 的切线。唯一的公共点叫切点。 直线和圆没有公共点时，叫 做直线和圆相离。
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的位置 图形 相交 r d •O 相切 •O r d 相离 r • d
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系
点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系知识梳理：考点一点与圆的位置关系1．点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆上⇔d＝r；(2)点在圆内⇔d<r；(3)点在圆外⇔d>r.2．过三点的圆(1)经过三点作圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．(3)三角形外接圆的作法：①确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；②确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．考点二直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔d<r；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点且和这条半径垂直的直线是圆的切线．2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．考点四切线长定理1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理．．．．．：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．【典型例题分析】【例1】(1)(2009·江西)在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确．．．的是()A．当a<5时，点B在⊙A内B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外D．当a>5时，点B在⊙A外(2)(2010·青岛)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．相切或相交(3)(2010·门头沟)如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x 的取值范围是()A．－1≤x≤1 B．－2≤x≤ 2C．0≤x≤ 2 D．x> 2【点拨】解答本组题时注重数形结合思想．【解答】(1)通过画图和点与圆位置关系的判定条件，A不正确．故选A.(2)过点C作CD⊥AB于D.∵∠B＝30°，BC＝4 cm∴CD＝2 cm，即点C到AB的距离等于⊙C的半径．故⊙C与AB相切，故选B.(3)当P与O重合时，PO＝0.当过点P 且与OA 平行的直线与⊙有唯一公共点时，PO ＝2，即0≤x ≤ 2.故选C.【例2】 (2010·聊城)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，连结BD.(1)若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；(2)取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【点拨】本题综合考查相似三角形的判定性质以及切线的判定．【解答】(1)由AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90°在Rt △ADB 中，AD ＝3，BD ＝4，∴AB ＝5在Rt △ADB 和Rt △ABC 中，∵∠ADB ＝∠ABC ＝90°，∠DAB ＝∠BAC ，∴Rt △ADB ∽Rt △ABC.∴AD BD ＝AB BC ，即34＝5BC .∴BC ＝203.(2)如图，连结OD.∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB.在Rt △BDC 中，点E 为斜边BC 的中点，∴EB ＝ED.∴∠EBD ＝∠EDB.∴∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝90°.∴OD ⊥DE ，又OD 为⊙O 的半径，∴ED 与⊙O 相切．【例3】 (2010·陕西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，连结BE.(1)若BE 是△DEC 外接圆的切线，求∠C 的大小；(2)若AB ＝1，BC ＝2时，求△DEC 外接圆的半径．【点拨】(1)连结过切点的半径，构造直角三角形是常用的辅助线．(2)通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求线段的长度．【解答】(1)∵DE 垂直平分AC ，∴∠DEC ＝90°，∴DC 为△DEC 外接圆的直径．∴DC 的中点O 即为圆心，如图，连结OE.又知BE 是⊙O 的切线，∴∠EBD ＋∠BOE ＝90°.在Rt △ABC 中，E 是斜边AC 的中点，∴BE ＝EC.∴∠EBC ＝∠C.又∵∠BOE ＝2∠C ，∴∠C ＋2∠C ＝90°，∴∠C ＝30°.(2)在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴EC ＝12AC ＝52.∵∠ABC ＝∠DEC ＝90°，∴△ABC ∽△DEC. ∴AC DC ＝BC EC ，∴DC ＝5×52÷2＝54. ∴△DEC 外接圆的半径为58. 【巩固练习】1．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO 等于( B ) A.45 B.35 C.43 D.34(第1题) (第2题)2．如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是( B )A ．4B ．8C ．4 3D ．8 33．⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定4．如图，CD 切⊙O 于点B ，CO 的延长线交⊙O 于点A.若∠C ＝36°，则∠ABD 的度数是( B )A ．72°B ．63°C ．54°D ．36°(第4题) (第5题)5．如图，⊙O 的半径OA ＝10 cm ，弦AB ＝16 cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为6cm.6．△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，以点B 为圆心、6 cm 为半径作⊙B ，则边AC 所在的直线与⊙B 的位置关系是相切．【考点训练】一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2011中考预测题)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A ＝25°，则∠D 等于( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【解析】连结OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DOC ＝2∠A ＝50°.【答案】A2．(2009中考变式题)如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为( )A ．2B ．1.5C ．1D ．0.5【解析】连结OD ，则OD ⊥AD ，又BC ⊥AD ，∴BC ∥OD.∵AB ＝OB ＝2，∴BC ＝12OD ＝12×2＝1. 【答案】C3．(2009中考变式题)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交⊙P 于M 、N 两点．若点M 的坐标是(2，－1)，则点N 的坐标是( )A ．(2，－4)B ．(2，－4.5)C ．(2，－5)D ．(2，－5.5)【解析】过点P 作PA ⊥MN 于点A ，设NA ＝x ，连结PN ，则MA ＝x.∴⊙P 半径为x ＋1，在Rt △PNA 中，∵PN 2＝NA 2＋PA 2，∴(x ＋1)2＝x 2＋22，解得x ＝1.5，∴N(2，－4)．【答案】A4．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的半径为R ，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是⊙O 的切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB ＝30°，则BD 的长为( )A ．2R B.3R C ．R D.32R 【解析】连结OC ，则OC ⊥OD.∵∠CAB ＝30°，∴∠COD ＝60°，∴∠D ＝30°，则OD ＝2R.∴BD ＝OD －OB ＝2R －R ＝R.【答案】C5．(2009中考变式题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连结BC 交⊙O 于点D ，连结AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是( )A ．AD ＝12BCB ．AD ＝12AC C ．AC>AB D ．AD>DC 【解析】易证△ABC 为等腰直角三角形，AD 为斜边上的中线，∴AD ＝12BC. 【答案】A6．(2011中考预测题)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心、3 cm 长为半径的圆与AB 的关系为( )A ．相切B ．相离C ．相交D ．无法判断【解析】易求C 到AB 的距离为125<3，∴⊙C 与AB 相交． 【答案】C7．(2010·眉山)下列命题中，真命题是( )A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形C ．圆的切线垂直于经过切点的半径D ．垂直于同一直线的两条直线互相垂直【解析】本题考查切线的性质．【答案】C8．(2009中考变式题)如图，PA 、PB 分别是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠BAC ＝35°，则∠P 的度数为( )A ．35°B ．45°C ．60°D ．70°【解析】∵∠BAC ＝35°，∠OAP ＝90°，∴∠PAB ＝55°.由切线长定理得PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝70°.【答案】D9．(2009中考变式题)下列四个命题：①与圆有公共点的直线是该圆的切线；②到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线，其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④【解析】利用圆的切线的判定方法和定义，②④是正确的．【答案】C10．(2011中考预测题)如图，已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点的切线与AB 的延长线交于点P ，则∠P 等于( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【解析】∵OA ＝OC ，∠A ＝35°，∴∠A ＝∠ACO ＝35°，∴∠COP ＝70°.又OC ⊥PC ，∴∠P ＝90°－∠COP ＝20°.【答案】B11．(2009中考变式题)如图，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，⊙O 的半径为2，则等边三角形ABC 的边长为( )A. 3B. 5 C ．2 3 D ．2 5【解析】过O 作OE ⊥BC 于点E ，连结OB ，在Rt △OBE 中，OB ＝2，∠OBE ＝30°，∴BE ＝3，∴BC ＝2BE ＝2 3.【答案】C12．(2010·武汉)如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为( )A ．7B ．7 2C ．8 2D ．9【解析】连结BD 、AD ，作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝6，AB ＝10，根据勾股定理得BC ＝8.∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°.∵BE ⊥CD ，∴CE ＝BE.∵BC ＝8，根据勾股定理得CE ＝BE ＝4 2.∵AD ＝BD ，AB 是直径，∴BD ＝5 2.在Rt △BDE 中，BD ＝52，BE ＝42，∴DE ＝32，∴CD ＝CE ＋DE ＝72，故选B.【答案】B二、填空题(每小题4分，共16分)13．(2009·河北)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC.若∠A ＝36°，则∠C ＝________.【解析】连结OB ，则OB ⊥AB ，又∠A ＝36°，∴∠AOB ＝54°.又OB ＝OC ，∠C ＝∠OBC ＝12∠AOB ＝27°. 【答案】27°14．(2010·河南)如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是OMA 上异于点C 、A 的一点．若∠ABO ＝32°，则∠ADC 的度数是________．【解析】∵AB 切⊙O 于点A ，∴OA ⊥AB.∵∠ABO ＝32°，∴∠AOB ＝90°－32°＝58°，则∠ADC ＝12∠AOB ＝29°. 【答案】29°15．(2011中考预测题)如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，若PA ＝8 cm ，C 是AB 上的一个动点(点C 与A 、B 两点不重合)，过点C 作⊙O 的切线，分别交PA 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是________．【解析】由切线长定理得DC ＝DA ，CE ＝BE ，∴DE ＝DA ＋EB ，∴△PED 的周长＝PA ＋PB ＝2PA ＝16 cm.【答案】16 cm16．(2010·杭州)如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°.O 是AB 的中点，⊙O 与AC 、BC 分别相切于点D 与点E.点F 是⊙O 与AB 的一个交点，连结DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG ＝________.【解析】连结DO ，∵⊙O 与AC 相切于点D ，则DO ⊥AC.∵∠C ＝90°，∴DO ∥CG ，由DO ＝OF ，可推得BF ＝BG.由AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°，得AB ＝62，∴AO ＝3 2.在Rt △ADO 中，∠A ＝45°，∴DO ＝3，BF ＝AB －AO －OF ＝32－3，∴CG ＝BC ＋GB ＝6＋32－3＝3＋3 2.【答案】3＋3 2三、解答题(共36分)17．(12分)(2010·广东)如图，PA 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O相交于D 点．已知OA ＝2，OP ＝4.(1)求∠POA 的度数；(2)计算弦AB 的长．解：(1)因为PA 与⊙O 相切于A 点，所以OA ⊥AP.在Rt △PAO 中，cos ∠POA ＝OA OP ＝24＝12，所以∠POA ＝60°. (2)因为AB ⊥OP ，所AC ＝BC ＝12AB. 在Rt △ACO 中，sin ∠COA ＝AC OA， 所以AC ＝OA·sin ∠COA ＝2×sin60°＝2×32＝ 3. 所以AB ＝2AC ＝2 3.18．(12分)(2010·北京)已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.(1)求证：直线AC 是⊙O 的切线；(2)如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．(1)证明：∵OD ＝OC ，∠DOC ＝90°，∴∠ODC ＝∠OCD ＝45°.∵∠DOC ＝2∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＝45°.∴∠ACD ＋∠OCD ＝∠OCA ＝90°.∵点C 在⊙O 上，∴直线AC 是⊙O 的切线．(2)解：∵OD ＝OC ＝2，∠DOC ＝90°，可求CD ＝2 2.∵∠ACB ＝75°，∠ACD ＝45°，∴∠BCD ＝30°.作DE ⊥BC 于点E ，∴∠DEC ＝90°，∴DE ＝DC·sin30°＝ 2.∵∠B ＝45°，∴BD ＝2.19．(12分)(2010·襄樊)如图，已知：AC 是⊙O 的直径，PA ⊥AC ，连结OP ，弦CB ∥OP ，直线PB 交直线AC 于D ，BD ＝2PA.(1)证明：直线PB 是⊙O 的切线；(2)探究线段PO 与线段BC 之间的数量关系，并予以证明；(3)求sin ∠OPA 的值．(1)证明：连结OB ，∵BC ∥OP ，∴∠BCO ＝∠POA ，∠CBO ＝∠POB.又∵OC ＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBO ，∴∠POB ＝∠POA.又∵PO ＝PO ，OB ＝OA ，∴△POB ≌△POA(SAS)．∴∠PBO ＝∠PAO ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线．(2)2PO ＝3BC(或PO ＝32BC 亦可)． 证明：∵△POB ≌△POA ，∴PB ＝PA.∵BD ＝2PA ，∴BD ＝2PB.∵BC ∥PO ，∴△DBC ∽△DPO.∴BC PO ＝BD PD ＝23.∴2PO ＝3BC. (3)解：∵△DBC ∽△DPO ，∴DC DO ＝BD PD ＝23. 即DC ＝23OD ，∴DC ＝2OC. 设OA ＝x ，PA ＝y ，则OD ＝3x ，OB ＝x ，BD ＝2y.在Rt △OBD 中，由勾股定理，得(3x)2＝x 2＋(2y)2.即2x 2＝y 2.∵x>0，y>0，∴y ＝2x ，OP ＝x 2＋y 2＝3x.∴sin ∠OPA ＝OA OP ＝x 3x ＝13＝33.。
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4．（2016秋?十校联考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）75°．65°DB．50°C．A．40°，在O=50°，再由∠BAO=40°可得出∠【分析】根据切线的性质可判断∠OBA=90°即可．OCB等腰△OBC中求出∠为切点，BO的切线，【解答】解：∵AB是⊙，OBA=90°AB，即∠∴OB⊥，BAO=40°∵∠，O=50°∴∠，（都是半径）∵OB=OC．=65°180°﹣∠O）∴∠OCB=（．C故选为直角，△OBA【点评】本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出∠是等腰三角形，难度一般．OBC的内切BC=5，则△ABC中∠△ABCC=90°，AC=12，（9．2016秋?十校联考）在Rt．2圆的半径是是；易证得四边形OECF、F、EO【分析】设AB、BC、AC与⊙的切点分别为D的长．，由此可求出rBC那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+﹣AB）正方形；解：如图：【解答】；BC=5，∠ABCC=90°，AC=12，在Rt△；=13根据勾股定理AB=；OFC=OE=OF中，，∠OEC=∠∠C=90°OECF四边形是正方形；OECF∴四边形；BD=BE由切线长定理，得：，，AD=AFCE=CF；）﹣AB∴CE=CF=（AC+BC．=2+即：r=（512﹣13）．2故答案为：根据已知得出【点评】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．）是解题关键．﹣AB（AC+BCCE=CF=，且关OP=m2，点P到圆心的距离?10．（2016秋十校联考）已知⊙O的半径为2点P有实数根，+2xm﹣﹣1=0则点P与⊙O在的位置关系是x于x的方程．⊙O上或⊙O内2m）≥0，解得m4﹣×2×（﹣【分析】先根据判别式的意义得到△=（2）1≤2，则OP≤2，所以OP≤r，然后根据点与圆的位置关系进行判断．2﹣x+m2x﹣1=0有实数根，【解答】解：∵关于x的方程2﹣4×2×（m﹣1）∴△=（2）≥0，解得m≤2，，2OP≤即，2O∵⊙的半径为内．在⊙OO上或⊙∴点P内．OO故答案为点P在⊙上或⊙到圆心的距离【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O，点P的半径为r．也考d?＜r在圆内?Pr在圆外，则有：点OP=dP?d＞；点在圆上d=r；点P查了根的判别式．为，以，，ABC=90°AB=4BC=5AB中，∠·十校联考）如图，在△（19．2016ABC 的延长线于DACO直径的⊙交于点，点并延长交BAED的中点，连接BCE是．点F的切线；DE）求证：（1O是⊙的长．（）求2FA问题即可解决．ODE=90°BD，证明∠（1）连接OD、【分析】∽△ADFOE的长度；证明△OE，根据勾股定理和射影定理求出AD、（2）连接的方程，解方程即可解决问题．AFOEF，列出关于线段；，BD（1）如图，连接OD【解答】解：，为⊙O∵AB，∠CDB=90°∴∠ADB=的中点，是BC又∵点E；EBD，∠EDB=∠EB=ED∴，OB=OD又∵，OBD∴∠ODB=∠，OBE=90°ODE=∠∴∠的切线．ODE是⊙∴；OE2）如图，连接（222，=4=41+由勾股定理：AC5；AC=∴2，AB=AD?AC由射影定理得：；AD=∴，由题意得：AO=BO=2，BE=，根据勾股定理：；∴OE=，CE=BEAO=BO∵，，OEAD∴∥，ADF∴△∽△OEF，∴．AF=，OE=，AO=2将AD=代入上式并解得：该命题主要考查了切线的判定、勾股定理、平行线的判定、相似三角形【点评】灵活运用有关的判定及其应用等重要几何知识点问题；解题的关键是作辅助线，定理来分析、判断、解答．上的一点，O的切线，D为⊙?南昌三中月考）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O19（2016 ．的延长线于点ECD=CB，延长CD交BA O为⊙的切线；（1）求证：CD π）BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留（2）若【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠°，ABC=90 CD=CB，∵，CBD=∠CDB∴∠，∵OB=OD ∠ODB，∴∠OBD= °，∴∠ODC=∠ABC=90 ，OD即⊥CD O∵点D在⊙上，∴CD为⊙O的切线；中，Rt△OBF）解：在（2 OF=1，°∵∠ABD=30，∴∠BOF=60°BF=，，OB=2，BD，⊥∵OF，°BOF=120∠BOD=2，∠BD=2BF=2∴．×1=π﹣．2∴S=S﹣S=﹣×BODOBD△阴影扇形的平BD是∠ABCRt（2017春·27中月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，18．E．经过AC上，⊙OB，D两点，交BC于点分线，点O在的切线；是⊙O（1）求证：AC2的长．BE2）若AB=6，sin∠BAC=，求（3，证∠3）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=【分析】（1，即可得出结论；ADO=90°，由平行线的性质得出∠DO∥BC出，得AOD∽△ABC的半径为（2）设⊙OR，由三角函数求出BC，由平行线得出△，如图所示：BE=2BFBC出对应边成比例，求出半径OD，过O作OF⊥于F，则，即可得出∥OFAC，由平行线的性质得出∠BOF=∠BAC，由三角函数求出BF则结果．所示1，如图1）证明：连接DO（【解答】的平分线，BD是∠ABC∵，2∠∴∠1=，∵OB=OD，∠3∴∠2=，1=∠3∴∠，∴DO∥BC，∵∠C=90°∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为R，BC2=，，sin∠BAC=在Rt△ABC中，∠ACB=90°3AB2，∴BC=6=4×3由（1）知，OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，ODAO，∴?ABBCR?R6，∴?64解得：R=2.4，过O作OF ⊥BC于F，如图所示：则BE=2BF，OF∥AC，∴∠BOF=∠BAC，BF2=sin∠BOF=，∴3OB2，×BF=2.4=1.6∴3∴BE=2BF=3.2．本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相【点评】似三角形的判定与性质、垂径定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是）中，需要证明相似三角形求出半径才能得出结果．（29（2017春·28中月考）如图，AC经过⊙O的圆心，AB与⊙O相切于点B，若∠A=26°，则∠C= 度。
第9题，又⊥OBABO相切于点B，根据切线的性质，即可得，由【分析】首先连接OBAB与⊙C的度数．A=26°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠由∠OB，【解答】解：连接，O相切于点BAB∵与⊙，⊥ABOB∴即∠OBA=90°，A=26∵∠°，A=64°，∴∠AOB=90°﹣∠32×C=∴∠∠AOB=64°=°．32故答案为：°．【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．O向右上方平AB，将线段是，的弦，AB=6OB=511．（2017春·三中月考）如图，AB移，使之与圆相切，点B移至切点位置，则平移的距离为【考点】切线的性质；平移的性质【分析】如图OE⊥AE的延长线交⊙由题意平移的距离就是线B的长，RT△EF中利用勾股定理计算即可【解答】解：如图作OE⊥AB于E，EO的延长线交⊙O于F由题意点B平移的距离就是线段BF的长，∵OE⊥AB，∴AE=EB=3，∵OB=4，∴22?4-BEOE?OB∴EF=9，在Rt△BEF中，2222?39?310BE?BE?EF?310故答案为【点评】本题考查切线的性质、平移的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．21. （2017春·十校联考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠o经过点D.EC为直径的DCB,E是BC边上的一点，以o的切线；是AB （1）求证：（2）若CD的弦心距为1，BE=EO,求BD的长。
所示：1，如图OD）证明：连接1（【解答】．∵OD=OC，∴∠DCB=∠ODC，又∠DOB为△COD的外角，∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠BDO=90°，∴OD⊥AB，又∵D在⊙O上，∴AB是⊙O的切线；（2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M，如图1，，∠BDO=90°，OD=OE=BE=∵BO ∴∠B=30°，∴∠DOB=60°，OD=OC，∵，DCB=∠ODC ∴∠的外角，ODC为△DOB又∵∠．∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，∴∠DCB=30°，∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，OM=1，∴OC=2OM=2，∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，∴在Rt△BDO中，根据勾股定理得：BD=2 ；解法二：，M，连接DE，如图2CD过点O作OM⊥于点，∵OM⊥CD O为EC的中点，CM=DM∴，又的中位线，且OM=1，OM∴为△DCE ∴DE=2OM=2，，OM=1∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，，∴OC=2OM=2 BDO中，OE=BE，Rt∵△，DE=∴BO ∴BO=BE+OE=2OE=4，，∴OD=OE=2．BD=2中，根据勾股定理得BDO△Rt在．。