2016年北大数学夏令营试题解答
2016北京大学博雅计划数学测试试题赏析
Ｃ ． 一１
Ｄ． 前 三个答 案都 不对
＝０一ｃ＋１＋１＞ ａ＿ － ｃ ＋１ ＝『 ｃ—ａ ｌ ＋１
考查 函数与导数知 识， 属 于基本题 目， 有利于稳定考 生 故 以 Ｉ ａ —ｂ Ｉ ＋１ ， ｌ ｂ —Ｃ ｌ ＋１ ， ｌ ｃ —ａ ｌ ＋１ 为边长 的三角形一定
情绪 ． 存在 ． 答 案选 Ｂ ． ３ ． 设 ＡＢ， ＣＤ 是 圆 Ｄ 的 两条垂 直直径， 弦 ＤＦ 交 ＡＢ
“ 博雅人才培养计划 ” ． 根 据考生报名材料 ， 结合考 生所在 中学人才 培养理念与
个命题：
（ １ ）以 ， ，
为边长的三角形一 定存在；
（ ２ ）以 ａ ， ｂ 。 ， ｃ 。为边长的三角形一定存在；
（ ３ ）以 ຫໍສະໝຸດ ， ， 为边 长的三 角形一定存在；
（ ４ ）以 Ｊ ａ —ｂ ｌ ＋１ ， Ｉ ｂ —ｃ ｌ ＋１ ， Ｉ Ｃ —ａ Ｉ ＋１ 为边长的三角形
为 （ ）
ｌ ｂ —Ｃ Ｉ ＋１ ＝ｂ —ｃ ＋ｌ ， ｌ ｃ —ａ Ｉ ＋１ ＝ａ —ｃ ＋１ ， 故三条边中
Ｉ Ｃ —ａ Ｉ ＋１ 大于或等于其余两边， 而 （ １ ０一ｂ 『 ＋１ ） ＋（ １ ６ 一ｃ ｌ ＋１ ） ＝ａ—ｂ ＋１ ＋ｂ —Ｃ ＋１
Ａ． 一３
Ｂ ． 一２
一
定存 在 ：
其 中正确命题 的个数为 （
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４
）
Ｄ． 前三个答案都不对
实践 、 近年来考入北京大 学生源质量及入校后 的综合表现等 情 况， 北 京大学本科招生专 家委员会将组织专 家进行初步审
核评 价， 初步审 核评价结 果分为： 优 秀、 通过、 不通过 三个档 次． 初步审核评价结果为 “ 优秀” 的考生可直接进入测试面试 环节，“ 通过 ” 的考 生获得 笔试 、 面试资格 ， “ 不 通过 ” 的考生 不再 参加 后续 的选 拨环节． ６月 １ １日下 午， 初 步审 核评 价 “ 通过 ” 的学 生进行 了数
2016年北大博雅计划数学试题及答案
K M
B D
由弦切角定理，得
∠DKM = ∠BAK = ∠KLM,
又 ∠KLA = ∠KM L，于是可得 ∠AKL = ∠BKL，因此由角平分线定理可得 AL : BL = AK : BK，从 而可得 BL = 25．
12.解 C． 分别令 x = 0, 1, −1，可得
2f (0) + f (−1) = 1,
B. 12
C. 13
D. 前三个答案都不对
11. 两个圆内切于 K，大圆的弦 AB 与小圆切于 L，已知 AK : BK = 2 : 5，AL = 10，则 BL 的长为 ( )
A. 24
B. 25
C. 26
D. 前三个答案都不对
(
)
Ä √ä
12. f (x) 是定义在 R 上的函数，且对任意实数 x 均有 2f (x) + f x2 − 1 = 1，则 f − 2 等于 ( )
22ff
(1) + f (0) = 1, (−1) + f (0) = 1,
解得
f (0)
=
f (1)
=
f (−1)
=
1 ．再令
x
=
−√2，可得
√ 2f (− 2)
+
f (1)
=
1，从而
√ f (− 2)
=
1．
3
3
13.解 A．
以正 9 边形的某个顶点为等腰三角形的底边所对顶点的等腰三角形有 4 个，其中有一个是正三角形．因
的 x 的个数为 11，分别为
11213123415 ,,,,,,,,,,.
23344555566
5.解 A． 根据题意，有
2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解1
2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。
2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解
1 2016年北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题文科生做前5题，理科生做后
5题，每题20分．1．设关于x 的方程sin 2x+cosx+a=0在实数范围内有解，求实数
a 的取值范围．2．设a,b,c 均为正数且a,b,c 成等差数列，判断1
b c ，1
c a ，1
a b
是否成等差数列，并说明理由．
3．设a,b,c 为实数，证明：对任意实数x 都有(x -a)2+(x -b)2?c 当且仅当(a -b)2
?2c ．4．已知复数z 1,z 2满足z 1与z 1+z 2有相同的模且
12(1)z z a i ，其中a 为非零实数，求21z z 的值．
5．一条直线与双曲线交于
A,B 两点，与此双曲线的渐近线交于C,D 两点，证明：线段AC 与BD 的长度相等．
6．设α,β均为锐角，满足sin 2α+sin 2
β=sin(α+β)，求α+β的值．7．已知△ABC 的面积为1，D,E 分别是边AB,AC 上的点，F 为线段DE 上的一点，设AD:AB=x, AE:AC=y,
DF:DE=z 且y+z-x=1．求△BDF 的面积的最大值并求出此时x,y,z 的
值．2016年北大全国优秀中学生暑期学堂
数学试题参考答案
1．题中方程有解即a=-sin 2
x-cosx 有解，从而有221
55cos cos 1cos [,1]244
a x x x 2．由题意知b-a=c-b= (c -a)/2，所以。
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
北京大学2016年数学分析试题及解答
10. 充分性: ∀ε > 0, ∃N > 0, 当 n > m > N 时,
令 x → R− 得
∑n akxk < ε, ∀x ∈ [0, R).
k=m
∑n
∑ ∞
akRk < ε =⇒ anRn 收敛.
k=m
n=1
必要性: 首先注意到
∑ ∞
anxn
=
∑ ∞
anRn
( x )n R
,
n=1
n=1
又因为
中的开集映为开集.
6.
(15
分)
x1
=
√ 2, xn+1
√ = 2 + xn.
证明
{xn}
收敛并求极限值.
7. (15 分) 证明 ∫ +∞ sin x dx 收敛并求值. 写出计算过程.
0
x
8. (15 分)
∫b
(1) 证明存在 [a, b] 上的多项式序列 {pn(x)} 使得 pi(x)pj(x) dx = δij 并使得对于 [a, b] 上的连续函数
准则
(不用证明)
并
i=1
用你叙述的 Cauchy 准则证明闭区间上的单调函数可积.
3. (15 分) (a, b) 上的连续函数 f (x) 有反函数. 证明反函数连续.
4.
(15
分)
f (x1, x2, x3)
是
C2
映射,
∂f ∂x1
(x01
,
x02,
x03
)
̸=
0.
证明
f (x1, x2, x3)
对于任意 n > m, x0 ∈ U, 因为 rank (J (f )|x=x0 ) = m, 不妨设 J (f )|x=x0 的前 m 列是线性无关的. 定义
2016年北京大学博雅计划数学试题
2016年北京大学博雅计划数学试题选择题共20小题；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ）A -3B -2C -1D 前三个答案都不对2.已知三角形ABC 的三边长分别为,,a b c ，有以下4个命题：为边长的三角形一定存在；⑵以222,,a b c 为边长的三角形一定存在；⑶以,,222a b b c c a +++为边长的三角形一定存在；⑷以1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ ）A 2B 3C 4D 前三个答案都不对3.设,AB CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，弦DF 交AB 于点E ，24,18DE EF ==，则OE 等于（ ）AD 前三个答案都不对4.函数*1,,(,)1,,,()0,,q x p q p q N p p f x x Q ⎧==∈⎪=⎨⎪∉⎩，则满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为（ ） A 12 B 13 C 14 D 前三个答案都不对5.若方程2310x x --=的根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为（ ）A -13B -9C -5D 前三个答案都不对6.已知1k ≠，则等比数列248log ,log ,log a k a k a k +++的公比是（ ） A12 B 13 C 14D 前三个答案都不对 7. 计算210cos cos cos 111111πππ的值为（ ） A 116- B 132- C 164- D 前三个答案都不对 8.设,,a b c 为实数，,0a c ≠，方程20ax bx c ++=的两个虚根12,x x 满足212x x 为实数，则2015102()k k x x=∑等于（ ） D 前三个答案都不对9.将12个不同的物体分成3堆，每堆4个，则不同的分法种类为（ ）A 34650B 5940C 495D 前三个答案都不对10. 设A 是以BC 为直径的圆上的一点，,D E 是线段BC 上的点，F 是CB 延长线上的点，已知4,2,5,,BF BD BE BAD ACD BAF CAE ===∠=∠∠=∠，则BC 的长为（ ）A 11B 12C 13D 前三个答案都不对11. 两个圆内切于点K ,大圆的弦AB 与小圆切于点L ，已知:2:5AK BK =，10AL =，则BL 的长为（ ）A 24B 25C 26D 前三个答案都不对12. ()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x 均有22()(1)1f x f x +-=，则(f 等于（ ） A 0 B 12 C 13 D 前三个答案都不对13.从一个正9边形的9个顶点中选3个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是（ ）A 30B 36C 42D 前三个答案都不对14. 已知正整数,,,a b c d 满足ab cd =，则a b c d +++有可能等于（ ）A 101B 301C 401D 前三个答案都不对15. 三个不同的实数,,x y z 满足323232333x x y y z z -=-=-，则x y z ++等于（ ）A -1B 0C 1D 前三个答案都不对16.已知1a b c ++=的最大值与最小值的乘积属于区间（ ）A [10,11)B [11,12)C [12,13)D 前三个答案都不对17.在圆内接四边形ABCD 中，06,30BD ABD CBD =∠=∠=，则四边形ABCD 的面积等于（）A前三个答案都不对18. 1!2!3!2016!++++除以100所得的余数为（ ）A 3B 13C 27D 前三个答案都不对19.方程组23234345,,x y z x y z x y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩的实数解的组数为（ ）A 5B 6C 7D 前三个答案都不对20.方程333()333x x x xx +++=的所有实根的平方和等于（ ）A 0B 2C 4D 前三个答案都不对2016年北京大学博雅计划数学试题答案ABCDA BDBDA BCABD CBBCC略解：1.由于/()x a x a e e ++-=-，于是切点横坐标为x a =-，从而有()2a a a e -+--+=-，解得3a =-.2.不妨假设0,a b c a b c <≤≤+> ⑴正确，因为有0a b c a b c +-≥+->； ⑵错误，2,3,4a b c ===即为反例； ⑶正确，因为有0222a b c a b c a ++++-=>； ⑷正确，因为有(1)(1)(1)()()0a b b c c a a b b c c a -++-+--+>-+---=3.如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⨯， 因此2262OE DE DO =-=4.满足(0,1)x ∈且1()7f x >的x 的个数为11，分别为11213123415,,,,,,,,,,23344555566。
北京大学2016数学科学夏令营初赛-评分标准
延长 QO 交 BC 于 R，由 CBO 90 A ABH ， BOR BHP ， BO BH ．
可得△BOR≌△BHP，从而 BR BP c ．
B
2
于是 cos C CM ，即 a2 b2 c2
1b 2
（20 分）．
CR
2ab
a1c
2
再由 ABC 60 可得 b2 a2 c2 ac ．
若
Px
ax
b（
a
1），则
a1
b a
，
a2
b
1 a
1 a2
，……．
一般的，有 an
b
an a
1
1 an
，由于 an
为整数，故只可能 a
1 ．
但此时 a3 a1 b ，不可能．（20 分）
若 P x 的次数不小于 2．且存在数列an 满足要求．
北京大学北20京16大年学数中学学科生学数夏学奖令营初赛 评分标准
个人能力挑战赛——试题评分标准
2016 年 7 月
本试卷共 4 题，每题 30 分，满分 120 分．考试时间 180 分钟．
1. 由 ABC 60 ．计算可得 BH AC cos B OB OQ ．
从而 BOQH 为菱形．（10 分）
综上即可得证．（30 分）
3. 注意到编号为 1 的牌永远在牌堆上方，编号为 2n 的牌永远在牌堆下方． 去掉这两张牌，只考虑中间 2n 2 张牌．此时相当于将所有从上往下数奇数位置的牌抽 出来，保持顺序放到牌堆的下方．（10 分） 假设此时某张牌在 k 次操作后所在的位置为从上往下数第 ak 张．
北大博雅数学2016答案
2016年北京大学博雅计划测试数学 答案1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
2.【解答】B不妨假设0a b c a b c <≤≤+>，。
(1) 0≥； (2) 错误，a =2，b =3，c =4即为反例； (3) 正确，因为有0222a b c a b ca ++-+-=>； (4) 正确，因为有()()()()()1110ab bc c a a b b c c a -++-+--+>-+---=。
【评析】一道灵活结合了不等式和几何三角形的问题，考察学生的代数基本功，总体难度也不算大。
3.【解答】C如图，连接CF ，由于DOE ∆与DFC ∆相似，因此DO DC DE DF ⋅=⋅，从而22421DO =⋅，因此OE ===【评析】非常简单的几何计算。
4.【解答】D满足(0,1)x ∈，且1()7f x >的x 的个数为11，分别为1121312341523344555566，，，，，，，，，，。
【评析】这个函数是非常有名的黎曼函数的一部分，但是对于学生的要求很低，只需要准确理解题意即可，问题本身并不困难。
5.【解答】A根据题意，有()()2242313=x x x x c x ax bx c --+-+++，于是a =-c -10，b =3c -3，从而有a +b -2c =-13。
【评析】简单的待定系数法，注意计算不要出错。
6.【解答】B令2log k x =，则a +x ，a +12x ，a +13x 成等比数列，从而可得x =-4a ，进而可得公比为13。
【评析】涉及等比数列的运算，较为基础。
7.【解答】D 依据题意，有2102458367910coscoscoscos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 11111111111111111111111111πππππππππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224816cos cos cos cos cos 1111111111πππππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭而24816116coscoscos cos cos 2sin cos ...cos 11111111111111112sin 11πππππππππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1221613212sin cos ...cos ...sin 11111111324sin 32sin 1111ππππππ⎛⎫==== ⎪⎝⎭ 故原式值为11024-【评析】熟悉余弦二倍角连乘的点鞭炮公式的话，此题不算难题，但是要注意计算不能出错。
北师大数学夏令营测试卷备选题
一、 试卷备选题1、 若a 为自然数，b为整数，且满足(27___,___a a b =+==2、 化简：= 。
3的最小值是 。
4、如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长。
5、已知323551424x x x x =+++求的值。
AC6、如图,四边形，AD ABCD 中∥BC ,DM ∥M ，BC AB 于交DN ∥AC 交BC 延长线于N,线段AD 沿着________的方向平移到BM,其平移的距离是_________;线段AB 沿着____________的方向平移到DM,其平移的距离为___________;线段AC 沿着________的方向平移到DN,其平移的距离是_________;线段CN 沿着________的方向平移到AD,其平移的距离是_________;线段BM 沿着________的方向平移到CN,其平移的距离是_________。
DMN ABC ∆∆的方向平移到沿着_______,其平移的距离是_________。
第7题FEO DCBA第6题NM DCBA7、如图,如果把钟表的指针看成四边形AOBC,它绕着O 点旋转到四边形DOEF 位置,在这个旋转过程中：旋转中心是_________,旋转角是__________,经过旋转点A 转到__________,点C 转到__________,点B 转到__________。
点A 与点________,点C 与点________,点B 与点________是对应点。
线段OA 与线段________,线段OB 与线段________,线段BC 与线段________是对应线段。
与A ∠______,与B ∠_______,与C ∠_______,∠AOB 与________是对应角,四边形OACB 与四边形ODFE 的形状、大小______________。
8. 如图,正方形ABCD 中,E 在BC 上,F 在AB 上且∠FDE=45º,DEC ∆按顺时针方向转动一个角度后成DGA ∆。
北京大学历年优秀中学生夏令营试题及解答
2010年北京大学优秀中学生夏令营试题2010年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2011年北京大学优秀中学生夏令营试题2011年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2012年北京大学优秀中学生夏令营试题2012年北京大学优秀中学生夏令营试题参考解答2013年北京大学暑期体验营数学试题2013年北京大学暑期体验营数学试题参考解答5、最小的短信条数总数为2n−2。
对每个人而言，至少需要对外发一条短信告知自己的信息，共n条．而这n条短信至多只能让2个人获得所有信息，此时还需要n−2条短信去通知剩余的同学，于是短信总数不少于2n−2。
另一方面，n−1名同学都将信息发送给最后一名同学，然后由这名同学再给n−1名同学回复，就可以用2n−2条短信完成任务。
综上，最小的短信条数总数为2n−2。
2014年北京大学秋令营数学试题2014年11月14日18:30—22:301、已知△ABC 满足AB+AC=2R ，其中R 是外接圆的半径，且∠A 为钝角；A 与三角形外接圆圆心的连线交BC 于点D ，若△ABD 的内切圆半径为1，求△ADC 的内切圆半径。
2、证明：若a,b 是正整数，则()()()()22222323a b a b ++-+不是完全平方数。
3、已知ai,bi,ci (i=1,2,3,4)是实数，求证：2221111a b c ++≤ 4、令求所有的正整数n ，使得f(n)是素数5、对正整数n ，称正整数组（12s ，，...λλλ）为n 的一个（无序的）分拆，如果12s ++...+=n λλλ，12s ...0λλλ≥≥≥>并称每个i λ为分拆的项。
计0()P n 为项全为奇数的n 分拆的集合，()d P n 为项两两不等的n 的分拆的集合，试在0()P n 与()d P n 之间建立一个双射。
6、设d 是一个大于100的整数，M 是所有在十进制下数码和为d 的倍数的正整数的集合，a n 是将M 中的数从小到大排列后的第n 个数，求证：存在无穷多个n ，使得n a nd ->【部分试题参考解答】第一题可以猜到答案也是1（因为AB=AC 时答案是1），然后只需证ABD 和ACD 的内切圆半径相等，然后由于sinC+sinB=2，而ABD 和ACD 的内角可以用C 、B 表示，所以用三角算一算就可以了，另外，A 是钝角可以由AB+AC=2R 推出，所以是多余的条件。
北京大学数学科学夏令营初赛试题及解答
2016 年北京大学数学科学夏令营初赛试题本试卷共 4 题，每题 30 分，满分 120 分，考试时间 180 分钟．1、已知锐角△ ABC 中，∠ B=600， P 为 AB 中点， Q 为外接圆上弧 AC(不包括点 B) 的中点， H 为△ ABC 的垂心．假如 P,H,Q 三点共线，求∠ A ．2、求全部的整系数多项式P(x) ，使得存在一个无量项整数数列{an} ，此中随意两项互不相等，且知足： P(a 1)=0 ，P(a k+1)=a k (k=1,2, ? ) ．3、给定正整数 n ，有 2n 张纸牌叠成一堆， 从上到下挨次编号为 1 到 2n ．我们进行这样的操作：每次将全部从上往下数偶数地点的牌抽出来， 保持次序放在牌堆下方． 比如 n=3 时，初始次序为 123456，操作后挨次获得135246， 154326， 142536， 123456． 证明：对随意正整数 n ，操作不超出2n- 2 次后，这堆牌的次序会变回初始状态．4、给定正整数 p,q ，数列 {an} 知足： a 1 =a 2=1， a n+2=pa n+1+qa n (n=1,2,3 ? ) ．求证：要使得对 随意正整数 m,n ，均有 (a ,a )=a (m,n) ，当且仅当 p=1 时建立．mn2016 年北京大学数学科学夏令营初赛试题参照答案1、答案750．解 如图，设 O 为外接圆圆心，延伸 CO 交外接圆于 D ，则四边形 BHAD 为平行四边形，所以D,P,H 三点共线，从而 D,P,H,Q 四点共线．连结 OH,BQ ，由∠ B=600，于是BH=AD=CD/2=OQ,又 OB=OQ ，所以 BHQO 为菱形，从而∠ OBC=∠ OCB=∠ BAD=∠ HBA,又∠ BCD=∠ BQD=∠ OBQ=∠ HBQ,所以 BO,BQ,BH 将∠ CBA 四平分，从而不难得悉∠ A=750．2、答案 P(x)=x+C ，此中 C ∈ Z ．解设P(x)= λ0+λ1x+? +λm x m,此中 m∈N?，λi∈ Z (i=0,1,2,? ,m) ，则P(a k+1 ) - P(a k+2 )=a k - a k+1 ,k=1,2,?,而P(a k+1) - P(a k+2)= λ1(a k+1- a k+2)+ λ2(a 2k+1- a2k+2)+ ?+λm(a m k+1- a m k+2),所以(ak+1- a ) ∣ (ak- ak+1),k=1,2, ?, k+2所以∣a1- a2∣ ? ∣ a2- a3∣? ∣ ??? |a k - a k+1| ? |a k+1- a k+2| ? ?.因为∣ a1- a2∣的值有限，所以必定存在K，使适当k? K 且 k∈Z 时，有∣a k - a k+1∣=∣ a k+1- a k+2∣ =∣ a k+2- a k+3∣ =?.因为数列 {a n} 中随意两项互不相等，所以有a - a=a- a =a - ak+3=?,k k+1k+1k+2k+2所以有P(a k+1) - a k+1=P(a k+2) - a k+2=?.若 m? 2，则方程P(x) - x=P(a ) - aK+1K+1有无数个解，矛盾．这样获得了全部切合题意的整系数多项式P(x)=x+C ，此中常数 C∈Z 3、证明我们证明一个等价的命题，将每次操作改为先从上往下取后一半的数出来，而后与前一半交错搁置 ( 近似于洗扑克牌 ) ，如初始次序为123456，操作后挨次获得 142536，154326， 135246， 123456．将纸牌按顺时针摆放，使得第一张牌和最后一张牌( 它们一直为1 和 2n) 重合，将第一张牌的地点记为 1，顺时针旋转将其余牌的地点挨次记为2,3, ?,2n- 1．定义纸牌 m顺时针旋转到纸牌 n 时旋转的步数为纸牌m到 n 的距离，记为 d(m→n) ，如图中d(2 →3)=3 ．下边证明经过k 次操作 (k ∈ N?) 后d(1 →2)=d(2 →3)= ?=d(2n - 1→2n),用数学概括法．概括基础当 k=1 时，有d(1 →2)=d(2 →3)= ?=d(2n - 1→2n)=1,命题建立．概括假定与递推证明设当 k=p 时，有d(1 →2)=d(2 →3)= ?=d(2n - 1→2n)=q.不难计算得经过操作后地点x 的纸牌将会挪动到地点f (x)=(2x - 1)%(2n - 1),此中 t%s 表示 t 模 s 的余数，所以本来距离为 q 的纸牌在操作后距离为 (2q)%(2n - 1) ．所以经过p+1 次操作后，仍旧有d(1 →2)=d(2 →3)= ?=d(2n - 1→2n).综上所述，经过k 次操作 (k ∈N?) 后d(1 →2)=d(2 →3)= ?=d(2n - 1→2n).这就意味着当纸牌 2 的地点确准时，其余全部纸牌的地点都能够依赖该性质确立．而纸牌2至多只有2n- 2 种可能的地点，而且纸牌 2 的所在的地点不行能出现不包括地点 2 的循环．这是因为操作是能够反向的，所以假如出现不包括地点22 的循环，那么能够判定最先的状态纸牌 2 所在的地点不行能为 2．所以经过不超出 2n- 2 次操作后，纸牌 2 必定回到地点 2，原命题得证．4、证明必需性依据题意，有而由 (a 3,a 4)=a 1，可得 (p,q)=1 ；又由 (a 3,a 6)=a 3，可得22p+q∣ p q+q ,即p+q∣ pq(p - 1)+q(p+q),所以 p=1．充足性当 p=1 时， a n+2=a n+1+qa n，于是（a n+2,q)=(a n+1+qa n,q)=(a n+1,q)= ? =(a1,q)=1,从而(a n+1,a n+2)=(a n+1,a n+1+qa n)=(a n+1,a n)= ?=(a 1,a 2)=1.记 a0=0，用数学概括法能够证明对随意m,n∈ N?， m? n，均有a n=a m a n-m+1+qa m-1a n-m,于是(a m,a n)=(a m,a m a n m+1+qa m 1a n m)---=(a m,a n-m)= ?=(a (m,n) ,a (m,n) )=a (m,n) ,原命题得证．。