圆的定义

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分 公共弦。 （5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 （8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。 点、线、圆与圆的位置关系： 点和圆位置关系 ①P在圆O外，则 PO>r。 ②P在圆O上，则 PO=r。 ③P在圆O内，则 0≤PO<r。 反过来也是如此。
圆的方程: 1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的标准方程是
（x-a）2+（y-b)2=r2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为
x2+y2=r2。
2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 （x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有： ①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以 （√D2+E2-4F）/2为半径的圆； ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）； ③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相 等。 ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。 ④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线） ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别 交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
圆的定义： 圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周 时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端 点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫 做半径。
相关定义: 1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点 叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所 在的直线是圆的对称轴。 4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的 弦。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧， 优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表 示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小 于180度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环 小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取 π≈3.14。 11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等 于0。
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圆的集合定义： 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长 是半径。 圆的字母表示： 以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。 圆—⊙ ； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）； 弧—⌒ ； 直径—d ； 扇形弧长—L ； 周长—C ； 面积—S。
圆的性质: （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。 圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。 逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条 弧。 （2）有关圆周角和圆心角的性质和定理 ① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条 弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别 相等。 ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 （圆周角与圆心角在弦的同侧）。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 圆心角计算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。 即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧 的度数的一半。 ③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是 另一条弧的2倍。 （3）有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边 垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
直线和圆位置关系 ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O 相交，d<r。 ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个 唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距 离）
圆和圆位置关系 ①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。 ②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。 ③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离 P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；
内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。 圆的计算公式: 1.圆的周长C=2πr=或C=πd 2.圆的面积S=πr2 3.扇形弧长L=圆心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n为圆心角）
4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
5.圆的直径 d=2r 6.圆锥侧面积 S=πrl（l为母线长） 7.圆锥底面半径 r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
经过圆x2+y2=r2上一点M（a0，b0）的切线方程为
a0·x+b0·y=r2 在圆（x2+y2=r2）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切 点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。
圆的历史: 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太 阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经 在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了陶器时代，许多 陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始 纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时 滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大 树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。 约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型 的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成 了最初的车子。 会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给 人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376 年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆 心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元 前330-前275年）给圆下定义要早100年。 任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周 率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535…… 但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周 长：C=πd或C=2πr.《周髀算经》上说"周三径一"，把圆周率看成3， 但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只 知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注 时，发现"周三径一"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了 割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。 他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。刘徽把极限的 概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大 的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算， 求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小 数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，
355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图 （公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机， 圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。 试题属性
题型： 难度： 考核： 年级：
3、圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程 是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, （其中θ为参数） 圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直 径的圆的方程为 （x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。