基本公式、直线的斜率、直线的方程
直线的方程知识点及题型归纳总结
直线的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 斜率与倾斜角我们把直线y kx b =+中k 的系数k （k R ∈）叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，其斜率不存在。
x 轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角[)0,απ∈，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0，倾斜角不是2π的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用k 表示，即tan k α=。
当0k =时，直线平行于轴或与轴重合；当0k >时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0k <时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k 随的增大而减小； 二、基本公式1. 111222(,),(,)P x y P x y 两点间的距离公式12||PP =2. 111222(,),(,)P x y P x y 的直线斜率公式121212tan (,)2y y k x x x x παα-==≠≠-3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k 存在且过00(,)x y ，00()y y k x x -=- 注：①当0k =时，0y y =；②当k 不存在时，0x x = （2）斜截式：直线的斜率k 存在且过(0,)b ，y kx b =+（3）两点式：112121y y x x y y x x --=--，不能表示垂直于坐标轴的直线。
注：211121()()()()x x y y x x y y --=--可表示经过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的所有直线 （4）截距式：1x ya b+=不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：220(0)Ax By C A B ++=+≠，能表示平面上任何一条直线（其中，向量(,)n A B =是这条直线的一个法向量）题型归纳及思路提示题型1 倾斜角与斜率的计算 思路提示正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式1212y y k x x -=-，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当1212,x x y y =≠时，直线的斜率不存在，倾斜角为90求斜率可用tan (90)k αα=≠，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
直线倾斜角、斜率、斜率公式-直线方程的各种表示方法
承接上次课：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角关键：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角. 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 斜率：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=.时，斜率不存在。
当时，当的增大而减小；随的增大而增大，但随时，，当的增大而增大；也随的增大而增大，随时，当2;0 0,0)2(,0 )2,0 (πααααππαααπα===<∈>∈k k k k k k k 斜率公式：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=-. 例题1：如图，图中的直线321l l l 、、、的斜率分别为k 1, k 2 ,k 3,则( D )A. k 1< k 2 <k 3B. k 3< k 1 <k 2C. k 3< k 2 <k 1D. k 1< k 3 <k 2 例题2：若经过P （－2，m ）和Q （m ，4）的直线的斜率为1，则m=（ A ）A 、1B 、4C 、1或3D 、1或4例题3：若A （3，－2），B （－9，4），C （x ，0）三点共线，则x=（ B ）A 、1B 、－1C 、0D 、7例题4：直线 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角为（ B ）A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、－45°例题5：若经过点P （1－a ，1＋a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角为钝角，求实数a 的取值范围. 解：(-2,1)学习小结：1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：题型一：已知两点坐标求直线斜率例题1：经过下列两点直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率（1） (1,1)，(-1,-2) （2） (1,-1)，(-2,4) （3） (-2,-3)，(-2,3) 题型二：求直线的倾斜角例题2：设直线L 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将L 绕坐标远点按逆时针方向旋转︒45，得到直线L 1那么L 1的倾斜角为 ( D )A.︒+45αB.︒-135αC.α-︒135D.[︒-⎢⎣⎡∈︒+∈1354345430αππααπα，为），；当）时，为，当 例题3：变式：已知直线L 1的倾斜角为α，则L 1关于x 轴对称的直线L 1的倾斜角β= 题型三：斜率与倾斜角关系例题4：当斜率k 的范围如下时，求倾斜角α的变化范围： 题型四：利用斜率判定三点共线例题5：已知三点A （a,2），B （5,1），C （-4,2a ）在同一条直线上，求a 的值。
直线方程斜率公式
直线方程斜率公式
一、直线方程斜率公式
1、以直线y=ax+b的形式表示：斜率a=极坐标ρ中y分量改变量Δy/x 分量改变量Δ x，即a=Δy/Δx；
2、以直线由两点(x1,y1)、(x2,y2)确定时，求斜率公式为a=(y2-y1)/(x2-x1)；
3、斜率指数形式公式：以指数形式表示的直线y=a*x^b由b可计算得一方程，其斜率a=b*x^{b-1},即a=bx^{b-1}；
4、斜率对数形式公式：以对数形式表示的直线y=a*lnx+b，其斜率
a=1/x；
5、斜率幂形式公式：以幂形式表示的直线y=a*x^b，其斜率a=b*x^{b-1}。
二、应用
1、直线斜率的计算解决了传统数学中求得直线斜率的麻烦和复杂性；
2、在物理中，直线斜率表示物体移动的前进方向，也可用来描述一条曲线所表示的实物的变化过程；
3、在理论数学中，斜率可以直观地表示两个函数的变化趋势，可以用来说明两个变量之间的关系；
4、斜率也应用于生活中，可以结合拟合法来判断所探究的事物是否形成极大或极小；
5、几何中，斜率可以对一些几何形状的倾斜程度进行判断。
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
数学知识点直线与方程
一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x yy k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
直线方程公式怎么求
直线方程公式怎么求直线是几何中最基本的图形之一，在数学中是一个重要的概念。
学习直线方程公式的求解方法对于解决各种直线相关问题至关重要。
本文将介绍如何求解直线方程公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 直线方程的基本形式直线方程通常表达为y = mx + c的形式，其中m是斜率，c是截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点位置。
2. 求解直线方程的步骤为了求解直线方程，我们需要知道直线上的两个点。
假设这些点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，我们可以通过以下步骤来求解直线方程：•第一步，计算斜率m的值。
斜率可以通过以下公式求得：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)•第二步，计算截距c的值。
通过将(x1, y1)中的坐标代入直线方程y = mx + c，可以得到截距的计算公式：c = y1 - mx1•第三步，将斜率m和截距c带入基本形式的直线方程y = mx + c，得到完整的直线方程。
3. 直线方程的实际应用直线方程的求解方法在实际应用中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：3.1 几何学在几何学中，直线方程可以用于描述点与点之间的连线。
通过求解直线方程，可以确定直线的特征，比如斜率和截距，从而更好地理解直线在平面上的性质。
3.2 物理学在物理学中，直线方程被广泛应用于描述运动和变化。
例如，匀速直线运动的位移可以由直线方程确定。
直线方程还可以用于描述力学中的力和加速度之间的关系。
3.3 统计学在统计学中，直线方程可以用于拟合数据点，并通过斜率和截距来量化数据之间的关系。
这种拟合通常称为线性回归分析，可以帮助我们理解和预测数据变量之间的关系。
3.4 工程学在工程学中，直线方程可以应用于设计和建模。
通过求解直线方程，可以确定工程问题中的线性关系，并应用这些关系来解决实际问题，比如电路设计、结构力学等。
4. 小结直线方程是数学中的基本概念之一，具有广泛的应用。
直线方程式的斜率公式
直线方程式的斜率公式直线是几何学中最基本的图形之一，它可以用方程式表示。
直线方程式的斜率公式是一种能够计算直线斜率的方法。
在解决几何学和代数学问题时，直线方程式的斜率公式具有重要的应用价值。
斜率的定义在开始理解直线方程式的斜率公式之前，我们先来了解一下斜率的定义。
在坐标平面上，斜率（slope）是指直线的倾斜程度或者说是直线上两点之间垂直距离和水平距离的比值。
斜率通常用字母m表示，可以通过如下公式计算：斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 是直线上的两个点的坐标。
直线方程式的斜率公式直线方程式可以有多种形式，其中最常见的两种是一般式和斜截式。
一般式一般式直线方程可以写为Ax + By + C = 0，其中 A、B 和 C 是常数。
为了计算斜率，我们需要将一般式方程转换为斜截式方程。
斜截式斜截式方程可以写为y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
斜截式方程提供了更直观的直线表示方法，斜率可以直接从方程中读取。
斜截式方程是我们计算直线斜率的起点。
但是，在某些情况下，我们可能只有一般式方程。
为了计算斜率，我们首先需要将一般式方程转换为斜截式方程。
从一般式方程计算斜率要将一般式方程转换为斜截式方程，我们需要遵循以下步骤：1.将一般式方程移项，将其变为Ax + By = -C的形式。
确保 x 和 y 的系数为整数。
2.将方程两边同时除以 B，得到y = -A/B * x - C/B的形式。
3.根据斜率公式，我们可以得到直线的斜率为-A/B。
因此，我们将一般式方程转换为斜截式方程后，斜率就可以直接读取。
举例说明让我们通过一个实际的例子来说明如何计算直线方程的斜率。
假设我们有一条直线，其一般式方程为2x + 3y = 6。
现在我们将其转换为斜截式方程，并计算斜率。
首先，我们将方程进行移项，得到2x + 3y = 6。
将方程两边同时除以 3，得到(2/3)x + y = 2。
斜率公式是什么是几年级学的
斜率公式是什么是⼏年级学的 斜率在初中和⾼中都有涉及到，在⾼⼀的时候重点学习了斜率。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“斜率公式是什么是⼏年级学的”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
斜率公式是什么是⼏年级学的 直线⽅程y=kx+b中的k就是斜率，初中学的⼀次函数y=kx+b的k是斜率，但是在初中没有指明k是斜率，b是y轴上截距。
(直线⽅程实际上就是⼀次函数)，在⾼中阶段对必修⼀以及必修⼆当中都讨论了有关直线问题，选修⼀还有选修⼆也都提到了与直线相关的⼀些问题。
(1)顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。
斜坡上两点A，B间的垂直距离h(铅直⾼度)与⽔平距离l(⽔平宽度)的⽐叫做坡度(或叫做坡⽐)，⽤字母i表⽰，通常坡度i⽤分⼦为1的分数来表⽰，其中m叫做边坡系数;如果把坡⾯与⽔平⾯的夹⾓α叫做坡⾓，那么坡度越⼤<=>α⾓越⼤<=>坡⾯越陡，所以i=tanα可以反映坡⾯倾斜的程度。
如今我们学习的斜率k，等于所对应的直线(有⽆数条，它们彼此平⾏)的倾斜⾓(只有⼀个)α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。
“斜率”的概念与⼯程问题中的“坡度”是⼀致的。
(2)解析⼏何中，要通过点的坐标和直线⽅程来研究直线通过坐标计算求得，使⽅程形式上较为简单。
如果只⽤倾斜⾓⼀个概念，那么它在实际上相当于反正切函数值arctank，难于直接通过坐标计算求得，并使⽅程形式变得复杂。
(3)坐标平⾯内，每⼀条直线都有唯⼀的倾斜⾓，但不是每⼀条直线都有斜率，倾斜⾓是90°的直线(即x轴的垂线)没有斜率。
在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进⾏讨论。
斜率k的公式 1、设直线倾斜⾓为α斜率为kk=tanα=y/x； 2、设已知点为(ab)未知点为(xy)； 所以：k=(y-b)/(x-a) 拓展阅读：数学学习⽅法 1、养成良好的学习数学习惯 建⽴良好的学习数学习惯，使⾃⼰在⼀个轻松的状态下进⾏数学的学习。
直线方程公式大全总结初中数学
直线方程公式大全总结初中数学1. 直线的定义和性质直线是几何中最基础的图形之一，由无数个点组成，这些点在同一平面上，并且在任意两点之间的线段都是直的。
直线具有以下性质：•直线没有宽度和长度，可以无限延伸。
•直线上的任意两点可以确定一条直线。
•直线的两边无限延伸。
2. 直线的表示方法直线可以通过不同的方式来表示，包括：•斜率截距式：直线方程可以用斜率k和截距b来表示，公式为y= kx+b。
•截距式：直线方程可以用截距a和截距b来表示，公式为$\\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$。
•一般式：直线方程可以用一般形式的系数A,B,和C来表示，公式为Ax+By+C=0。
3. 直线方程的推导和应用3.1 斜率截距式的推导和应用斜率截距式是最常用的直线表示方法之一，斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴交点的位置。
斜率截距式的推导和应用如下：1.斜率的定义：直线的斜率定义为 $k=\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$，即两点之间y坐标的变化量与x坐标的变化量的比值。
2.斜率截距式的推导：设直线穿过点(x1,y1)和(x2,y2)，带入斜率定义式可得 $\\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k$。
然后，将y1和k带入直线方程y=kx+b解方程，得到截距b=y1−kx1。
3.斜率截距式的应用：可以根据斜率截距式推导出直线的方程，也可以根据已知的直线方程求解斜率和截距。
斜率截距式也方便求出直线与坐标轴的交点。
3.2 截距式的推导和应用截距式是直线的另一种常见表示方法，截距式中的截距表示了直线与坐标轴的交点位置。
其推导和应用如下：1.截距的定义：截距表示了直线与x轴和y轴的交点坐标。
2.截距式的推导：假设直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，将交点坐标带入直线方程可得到 $\\frac{x}{a}+\\frac{y}{b}=1$。
3.截距式的应用：截距式可以方便地求解直线与坐标轴的交点，也可以根据已知点求解截距。
直线方程公式
直线方程公式如果知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为：y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为：x=x0。
点斜式方程是通过直线过的一个点和其斜率求该直线平面方程的一种方法。
在平时做解析几何的题目时，会更多地运用点斜式方程来解题，直接的体现直线的性质。
方程式：y－y1=k（x－x1）其中（x1，y1）为坐标系上过直线的一点的座标，k为该直线的斜率。
推导：若直线l1经过点p1（x1，y1），且斜率为k，求l1方程。
设点p(x，y)就是直线上不同于点p1的任一一点，直线pp1的斜率应当等与直线l1的斜率，根据经过两点的直线的斜率公式得k=(y－y1)/（x－x1） (且：x≠x1）所以，直线l1：y－y1=k（x－x1）表明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的，这一点必须在直线上，否则点斜式方程不成立；(2)当直线l的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x=x1。
已经开始自学时通常厚边两条斜率不成正比（非平行）的直线的交点，接着就是与抛物线的交点，通过点斜式方程代入抛物线方程，谋出来交点的个数和座标。
除了平面解析几何，比如说椭圆、圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线问题化解的紧固套路，方程阿提斯鲁夫尔谷的时候就习惯用点斜式。
在求曲线切线方程中，一般会告诉切点和曲线方程。
这时利用导数公式可求出切线斜率k，利用点斜式可以表示此直线方程。
另外，有时题目可以说曲线外一点(a,b)和曲线方程，这时只需设立切点座标a（x,y)，利用导数公式谋出来导数的表达式m，再并使y-b/x-a=m即可谋出来切点a的座标。
利用点斜式可以将方程则表示出。
两点式求直线方程
两点式求直线方程直线是几何学中最基本的、最常见的概念之一。
通过两个点可以确定一条直线，我们可以使用两点式来求解直线的方程。
在本文中，我们将学习如何使用两点式求直线的方程。
假设我们有两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以使用这两个点来确定一条直线。
首先，我们可以计算直线的斜率m。
斜率是指直线上任意两点之间的纵向变化与横向变化的比值。
它可以通过以下公式来计算：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)在获取了直线的斜率m之后，我们可以使用点斜式来表示直线的方程。
点斜式的一般形式如下：y - y₁ = m(x - x₁)其中，(x₁, y₁)是直线上的某一点，m是直线的斜率。
我们可以根据给定的两个点A和B，将它们的坐标代入方程中，求解得到直线的方程。
让我们通过一个具体的示例来说明两点式求直线方程的步骤。
假设我们有两个点A(2, 3)和B(5, 8)，我们想要求解通过这两个点的直线方程。
首先，我们可以计算直线的斜率m。
根据斜率的公式：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)将点A和B的坐标代入公式中，我们可以得到：m = (8 - 3) / (5 - 2) = 5 / 3接下来，我们可以使用点斜式来表示直线的方程。
将点A的坐标代入点斜式公式：y - y₁ = m(x - x₁)代入已知的值，我们得到：y - 3 = (5/3)(x - 2)将方程进行简化，我们可以得到最终的直线方程：3y - 9 = 5x - 10或者转换为一般的斜截式方程形式：5x - 3y = 1因此，通过两点式求直线方程，我们得到了通过点A(2, 3)和B(5, 8)的直线方程为5x - 3y = 1。
总结起来，我们可以通过以下步骤来使用两点式求直线方程：1.计算斜率m：m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点的坐标。
2.使用点斜式公式：y - y₁ = m(x - x₁)。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
两点间直线方程公式
两点间直线方程公式两点之间的直线方程是解析几何中的重要内容。
直线是平面上两个点之间的所有点的集合。
直线方程是用来描述直线的数学公式。
本文将介绍两点之间直线方程的公式及其推导。
一、点斜式公式：点斜式公式是描述直线的一种直观方式。
它的基本思想是使用直线上一点的坐标和直线的斜率来描述该直线的方程。
假设直线上有一点P（x₁,y₁），且直线的斜率为k，直线的点斜式方程可以表示为:y-y₁=k(x-x₁)(1)其中，x₁和y₁是直线上的已知点的坐标。
这个公式的推导过程如下:假设直线上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)。
首先，我们需要计算直线的斜率。
斜率k可以通过点A和B的坐标差来计算:k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)以点A为例，根据斜率公式，可以得到直线方程:y-y₁=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)*(x-x₁)二、两点式公式：两点式方程是另一种描述直线的方法。
与点斜式不同，两点式使用直线上的两个点的坐标来描述直线的方程。
假设直线上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，根据两点式方程的定义，直线方程可以表示为:（x-x₁）/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)(2)这个公式的推导过程如下:我们首先计算两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)的斜率。
根据斜率的定义，斜率k可以表示为:k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)然后，我们将斜率代入到两点式方程中，可得:（x-x₁）/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)三、截距式公式：截距式方程也是描述直线的一种形式。
它的基本思想是使用直线在x 轴和y轴上的截距来描述直线的方程。
假设直线在x轴上的截距为a，y轴上的截距为b，截距式方程可以表示为:y = mx + b其中，m是直线的斜率。
这个公式的推导过程如下:我们已经知道点斜式方程:y-y₁=k(x-x₁)将该方程转化为斜截式方程，可以得到:y = kx + (y₁ - kx₁)将y轴上的截距记为b，可以得到:b = y₁ - kx₁由此，我们可以得到截距式方程:y = kx + b四、斜截式公式：斜截式公式是描述直线的另一种常用形式。
y轴直线方程式
y轴直线方程式是一种表示直线在二维坐标系中位置的数学公式。
它的形式可以有多种，根据已知条件的不同而变化。
五种基本形式包括：
1. 点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k (x－x0)。
2. 斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b。
3. 两点式：已知一条直线经过P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)两点，则直线方程可以为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1。
4. 截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1。
5. 一般式：直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
当B=0时没有斜率；平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。
_直线方程(高考复习)
1．过点(1,3)作直线 l，若经过点(a,0)和(0，b)，且 a∈N*， b∈N*，则可作出的 l 的条数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
答案 B
解析
a＝2， b＝6
1 3 由 题 意 ＋ ＝ 1 ⇒ (a － 1)(b － 3) ＝ 3. 有 两 组 解 a b
(3)由已知：设直线 y＝3x 的倾斜角为 α，则所求直线的倾 斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα＝3，∴tan2α＝ 2 ＝－ . 4 1－tan α 又直线经过点 A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为 y＋3＝－ (x＋1)， 4 即 3x＋4y＋15＝0.
3 【答案】 (1)y＝± x－5 4 (3)3x＋4y＋15＝0 (2)2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0
为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 时， 对于一切情况都成立．
x y ＋ ＝1 (4)截距式： a b ， 其中 a· b≠0， a 为 l 在 x 轴上的截距，
b 是 l 在 y 轴上的截距． (5)一般式： Ax＋By＋C＝0 ，其中 A、B 不同时为 0.
1．若直线 x＝1 的倾斜角为 α，则 α A．等于 0 π C．等于 2 B．等于 π D．不存在
(3)x＋y－3＝0 (4)x＋2y－4＝0
探究 3
利用待定系数法设出直线方程，转化;0，且 A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三 点共线，则 ab 的最小值为______．
x y 【解析】 根据 A(a,0)、 B(0， b)确定直线的方程为 ＋ ＝1， a b －2 －2 又 C(－2，－2)在该直线上，故 ＋ ＝1，所以－2(a＋b)＝ a b ab.又 ab>0， 故 a<0， b<0.根据基本不等式 ab＝－2(a＋b)≥4 ab， 从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4，故 ab≥16，即 ab 的最小值为 16.
(完整版)直线与方程知识点及公式
直线方程知识点及公式1.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的αα倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是0°≤＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这α条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.即tan k α=※2.斜率公式：经过两点的直线的斜率公式：),(),,(222111y x P y x P )(211212x x x x y y k ≠--=※3. 直线的点斜式方程：.直线的斜率时，直线方程为；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式)(11x x k y y -=-0=k 1y y =k 求它的方程，这时的直线方程为.1x x =※4．直线的斜截式方程：.只有当时，斜截式方程才是一次函数的表达式.b kx y +=0≠k ※※5.直线方程的一般式：（）x 0A By C ++=220A B +≠6. 直线方程的两点式：.（，）121121x x x x y y y y --=--21x x ≠21y y ≠7．直线方程的截距式：. ,表示截距，它们可以是正，也可以是负.1=+by a x a b 8．斜率存在时两直线的平行：=且.21//l l ⇔1k 2k 21b b ≠9．斜率存在时两直线的垂直： ．⇔⊥21l l 121-=k k 10．特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)一条直线的斜率不存在时，即倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．11.直线到的角的定义及公式：1l 2l 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的1l 2l 1l 2l 角,叫做到的角.到的角：0°＜＜1８0°， 如果1l 2l 1l 2l θθ,012121=+即k k k k 如果， 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=θ12．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,两角中的锐角或直角叫两条1l 2l 1l 2l 1θ2l 1l 1θ直线的夹角.显然当直线⊥时,直线与的夹角是.夹角的取值范围：0°＜≤90°.1l 2l 1l 2l 2πα计算方法：如果如果， .2,1,012121πα=-==+则即k k k k 0121≠+k k 12121tan k k k k +-=α13. 两点间距离公式：12PP =14．点到直线距离公式：点到直线的距离为：),(00y x P 0:=++C By Ax l 2200B A CBy Ax d +++=15. 两平行直线间距离公式：2212-B A C C d +=。
求直线斜率的几种基本方法
求直线斜率的几种基本方法直线斜率是描述直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过多种方法计算。
下面我将介绍几种常见的求直线斜率的方法。
1.斜率的定义方法：直线的斜率定义为直线上任意两个点的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
设直线上两点分别为(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，则斜率k的定义为：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
这是最基本的求斜率方法。
2.斜率公式法：对于一般形式的直线方程y = mx + b，其中m为斜率，b为截距（直线与y轴的交点纵坐标），可以直接读出斜率m。
3.直角三角形法：利用直角三角形的三角函数关系，可以求得直线斜率。
设直线与x轴的夹角为α，则tan(α) = m，即斜率等于直角三角形的斜边与底边之比。
这种方法通常适用于已知直线与坐标轴的夹角的情况。
4.导数法：直线的斜率也可以通过求其对应函数的导数来得到。
设直线的方程为y=f(x)，则斜率k=f'(x)，即为函数在其中一点处的导数。
这种方法通常适用于已知直线的函数表达式的情况。
5.向量法：对于平面上的向量a=(x₁,y₁)和b=(x₂,y₂)，直线斜率等于向量a和向量b的叉乘a×b的纵坐标除以横坐标。
即k=(x₁y₂-x₂y₁)/(x₂-x₁)。
这种方法通常适用于已知直线上的两个点的向量表示的情况。
6.矩阵法：直线斜率也可以通过矩阵运算来求解。
设直线上两个点的矩阵表示为A=(x₁,y₁)和B=(x₂,y₂)，直线斜率等于矩阵A和B的乘积AB的纵坐标除以横坐标。
即k=(x₁y₂-y₁x₂)/(x₂-x₁)。
这种方法通常适用于已知直线上两个点的矩阵表示的情况。
以上是求直线斜率的几种基本方法。
根据不同的情况和所掌握的信息，可以选择适合的方法来计算直线的斜率。
每种方法都有其独特的优势和适用性，可以根据具体问题的需要进行选择。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
直线的倾斜角与斜率
【例2】(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为(
A 1 3 B 1 3 C 3 2 D
)
2 3
(2)直线 x c o s 3 y 2 0ห้องสมุดไป่ตู้的倾斜角的范围是(
2 2
再由两点式直线方程得
x B′A的方程为3x-y-4=0，令y=0得 4 . 3
故 x 时，f(x)取得最小值
4 3
10.
【规律方法】1.数轴的公式
(1)数轴上的两点A(x1),B(x2),则向量 A的坐标 AB=x2-x1, B
A、B两点间的距离为d(A,B)=｜AB｜=｜ AB ｜=｜x2-x1｜.
1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，则x等于 ( )
(A)-1
(B)1
4 3
(C)-3
1 3
(D)3
4
7 5 x 5 x 5 【解析】选C.因为 k 又 A 、 B 、 C 三点共线， 2 , k , A B A C
A
)
C 【解析】选C.由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距 0,
在y轴上的截距 C 故直线经过第一、二、四象限，不经过 0,
B
第三象限.
5.过点(2，1)且在x轴上的截距是在y轴截距2倍的直线方程
为____________.
【解析】若直线过原点，满足条件，方程为 y 若直线不过原点，设直线方程为
【自主解答】(1)AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b;
BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b;
d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
(2)
2 2 f x x 4 x 8x 2 x 2
x 2 0 2 x 1 0 1 ，
2 2 (2)已知函数 f x x4 x 8 x2 x 2 ,
求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值.
【审题指导】(1)明确AB为数轴上 A B的数量(或坐标)，明确
d(A,B)为A、B两点间的距离. (2)将两被开方式配方，可发现f(x)表示平面直角坐标系中动点 P(x,0)到两定点的距离之和，最后利用数形结合的思想求解.
2 2 2 2
上式表示点P(x,0)与点A(2，2)的距离加上点P(x,0)与 点B(1，1)的距离，即求x轴上一点P(x,0)到点A(2，2)、 B(1，1)的距离之和的最小值.
由图利用对称可知，函数f(x)的最小值为两点B′(1,-1)和A(2，
2)间的距离.
f x 1 2 1 2 1 0 . m i n
2 1 又过(2,1)点， 1. 2b b
x y 1, 2b b
1 x, 2
解得b=2. 答案：y 1或 x x+2y-4=0
2
1
两点间距离公式与中点坐标公式
【例1】(1)已知数轴上A、B两点的坐标分别为x1=a+b, x2=a-b.求AB、BA、d(A，B)、d(B，A).
AB的长度.
2.两点间的距离公式 平面直角坐标系中，两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离表示为
2 d P , P ( x x ) y y. 1 2 2 1 2 1 2
(1)当P1P2平行于x轴时，d(P1,P2)=|x2-x1|;
(2)当P1P2平行于y轴时，d(P1,P2)=|y2-y1|;
a 7 2 3 1 1 解得 ，a=-5,b=-3,从而可知直线l的斜率为 . 75 3 b 1 2 3 (2)选B.由 x 得直线斜率 k cos. c o s 3 y 2 0 3 ∵-1≤cosα ≤1， 3 k 3 . 3 3 设直线的倾斜角为θ ，则 3 tan 3. 3 3 5 结合正切函数在［0， ) 上的图象可知， ( , ) 0 或 . 2 2 6 6
所以α =60°.
3.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标 为( ) (B)-1或11 (D)1 或-11
(A)-11 (C)-1
【解析】选A.设A的坐标为x,
则BA=x-(-5)=x+5,
又∵BA=-6,
∴x+5=-6,x=-11.
4.如果A·C<0,且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过( (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限
(2)数轴上的三点A、B、C,都有A 和 AC=AB+BC 成立. C A B B C
提醒：要注意 A B 、AB与｜AB｜的不同. A表示起点为 A,终 B 点为B的向量,它既有大小又有方向;AB表示向量 A B 的坐标 (或数量),它是一个实数,其前面的正号或负号表示向量
AB
的方向与轴同向或反向;｜AB｜表示向量 A B 的大小,即线段
A ［ , ) 6 2 B ［ 0 , ］ ［ 6 5 C ［ 0 ， ］ 6 5 D ［ ， ］ 6 6 5 ( , ］ 2 6 5 ， ) 6
)
【审题指导】(1)关键抓住PQ的中点，求出P、Q的坐标 (2)关键抓住直线方程，求出斜率取值范围,从而结合正切函 数图象得到倾斜角的取值范围. 【自主解答】(1)选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
所以kAB=kAC，
即
x 5 2， x=-3. 解得： 4
2.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( (A)30° (B)60° (C)150°
) (D)120°
【解析】选B.由直线方程得y= 3 x+a，所以斜率k= 3 ,设倾 斜角为α ,
所以tanα = 3,又0°≤α <180°，