精品 2014年八年级数学下册同步讲义--二次根式
精品 八年级数学下册 二次根式同步讲义+练习45页
二次根式第01课 二次根式定义及性质定义： 二次根式有意义的条件：二次根式非负性： 例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y ≥0）． 例2.(1)当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？(2)当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？例3.求下列二次根式有意义的条件：(1)1-x (2)x x -⋅+31 (3)31+x (4) 12+x(5)xx -+31 (6)2)1(-x (7)962+-x x (8)1062+-x x例5.若022=-++y x y x ,求：x 2+y 2的值。
例6.已知：3221x x y -+-=-,求，x+2y 的平方根。
例4.(1)已知522+-+-=x x y ,求xy的值; (2)若011=-++b a ，求20142013b a +的值．例5.已知201433+-+-=x x y ，求y x 的个位数字。
课堂练习：1.下列式子中，不是二次根式的是（ ）A.4B.16C.8D.1x2.在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x xy y x xx x y +=--++中，二次根式有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个 3.下列各式一定是二次根式的是（ ）A.7-B.32mC.21a +D.a b4.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是( )A.x -2B.2+xC.2-xD.21-x 5.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A.5B.5C.15D.以上皆不对6.下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-,二次根式的个数是（ ）． A.4 B.3 C.2 D.17.数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）．A.a>0B.a ≥0C.a<0D.a=0 10.若式子12-x -x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≥21B.x ≤21C.x=21 D.以上都不对 11.下面的推导中开始出错的步骤是（ ）()()()()()222323121232312223233224=⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-⨯=∴=-∴=-A.(1)B.(2)C.(3)D.(4) 12.下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）． 13.面积为a 的正方形的边长为_______ 14.若3x -+3x -有意义，则2x =_______ 15.已知1x +有意义，那么x ． 16.0004.0-=________．17.若m 20是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．18.先化简再求值：当a=9时，求221a a a +-+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=221a a a +-+=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=221a a a +-+=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是_________19.当x 为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：（1）x -6；（2）32+x ；3）x x--33；（4）52132+-++x x ；（5）123-x x ；（6）x x -+-2222.当x 是多少时，232x xx ++在实数范围内有意义？24.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？25.若0442=+-+-y y y x ，求xy 的值。
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质(有答案)
人教版初二下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识性质（有答案)第一局部 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如〔〕的式子叫做二次根式。
必需留意：由于正数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式〔〕的非负性〔〕表示a 的算术平方根， 即0〔〕。
非负性：算术平方根，和相对值、偶次方。
非负性质的解题运用： 〔1〕、如假定，那么a=0,b=0； 〔2〕、假定，那么a=0,b=0； 〔3〕、假定，那么a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二局部 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、以下各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2、以下各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？〔121 〔219-〔321x +〔439 〔56a - 〔6221x x ---例3)()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x xx x y +=--++中，二次根式有〔 〕A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个例4、以下各式中，属于二次根式的有〔 〕例5、假定21x +的平方根是5±_____=．1、以下各式中，一定是二次根式的是〔 〕A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、以下各式一定是二次根式的是〔 〕A B C D4、以下式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0〕1x y +、〔x≥0，y ≥0〕 ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及运用 例1有意义，那么x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、事先_____x ，式子有意义． 例4、在以下各式中，m 的取值范围不是全体实数的是〔 〕 A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、假定y=5-x +x -5+2021，那么x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、假设代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P 〔m ，n 〕的位置在〔 〕A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，那么x 、y 应满足的条件是〔 〕 A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．37、假定x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
人教版八年级数学下《二次根式 第1课时：二次根式的概念和有意义的条件》精品教学课件
1 5；
2
3
2
x
2
；
3
x
；
A. 1
B. 2
D. 4
解:(1)∵−5＜0，∴ 5 不是二次根式；
(2)∵x2+2＞0，∴
课堂小结
C. 3
4 3 5；
5 是二次根式；
(3)∵当x≥0时，x3≥0，∴
3
x不一定是二次根式；
(4)∵ 3 5 的根指数是3，∴ 3 5 不是二次根式.
3
(2)由2x+3≥0，得x≥ .
2
二次根式有意义的条件
被开方数大于或等于0，即a≥0.
布置作业
创设情境
思考
当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
探究新知
解：由x2≥0，得x是任意实数，
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
∴当x为任意实数时， x 2 都有意义.
由x3≥0，得x≥0，
探究新知
应用新知
与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.
如果用含有h的式子表示t，那么t该怎么表示?
巩固新知
课堂小结
布置作业
h=5t2
h
t=
5
创设情境
探究新知
应用新知
归纳
h
上面问题中，得到的结果分别是： 3、 S、 65、
5
它们都是表示正数的算术平方根．
.
观察上面的式子，
你能写出二次
可得， x 2 1 在实数范围内有意义.
创设情境
定义
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
八年级下二次根式讲义
学生：科目：数学第阶段第次课教师：郑海燕（滨江分校）课题二次根式的含义和性质的学习教学目标学习二次根式的含义，熟练掌握二次根式的性质和运算重点、难点1、掌握二次根式的性质；2、学习并且熟练掌握二次根式的运算；考点及考试要求1、学会运用二次根式的性质；2、学会二次根式的运算，包括二次根式的乘除运算；教学内容知识框架二次根式是初二下册第一章节的知识，学生要掌握二次根式的含义，理解何为二次根式；其次，二次根式的性质和运算是学生要掌握的重点和难点，也别是二次根式的运算，学生要熟练掌握，主要是乘法和除法的运算，掌握运算法则。
考点一：典型例题1、二次根式的含义和性质的学习（1）、二次根式的含义直角三角形的斜边长是：24a厘米；正方形的边长是：3-b厘米；等腰直角三角形的边长是：S2厘米；像24a +、3-b 、S 2这样表示的算式平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式；另外，像一个数的二次根式，如2、15这样的式子也叫做二次根式；根据算式平方根的意义，二次根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或者等于零；（2）二次根式的性质例题分析：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（2±）根据上面的式子，我们得到：（2）2=2， （－2)2=2由上面的提问得到什么样的结论？()a a =2注意：这里要注意，a 不能小于0，即a ≥0；根据所学知识，我们知道： 性质一：2a==a ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a性质二：一般地，二次根式的积与商的性质：积的性质：ab =a ·b (a≥0,b≥0);商的性质：a b=a b（ a≥0,b ＞0）知识概括、方法总结与易错点分析学习并且熟练掌握二次根式的性质，包括二次根式的化简和二次根式的乘除运算；针对性练习 1、计算 （1）、22)15()10(--（2）、[]222)2(22+∙--2、计算下面式子的值 （1）、（-222)2004()4()5-+--（2）、222)12()6()3-+--（（3）、3254)3253(2-+-考点二：典型例题1、二次根式的运算 （1）、二次根式的乘除运算法则 )0,0();0,0(>≥=≥≥=⨯b a ba b a b a ab b a注意：① 被开方数是带分数要先化成假分。
八年级初二二次根式复习讲义
八年级初二二次根式复习讲义(非常全面)(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个 【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是．举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（）A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三：111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
已知a 5整数部分，b 5的小数部分，求12a b ++的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()a a a 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4.公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为。
精品 八年级数学下册 二次根式同步讲义+练习45页
） C. a 2
2
B. a 2
2
2
D. a 4
2
2
6.若 a 1 ，则 (1 a ) 3 化简后为（ A. a 1 a 1 B. 1 a 1 a
） C. a 1 1 a D. 1 a a 1
7.做一做：根据算术平方根的意义填空：
(2)当 x 是多少时， 2 x 3 +
1 在实数范围内有意义？ x 1
例 3.求下列二次根式有意义的条件： (1) x 1 (2) x 1 3 x (3)
1 x3
(4)
x2 1
(5) x 1 3 x
(6) ( x 1) 2
(7) x 2 6 x 9
(8) x 2 6 x 10
8.当
1 1 2 x x 2 =___________ ＜x＜1 时， x 2 x 1 4 2
1 1 1 后的结果是 2 1 2 a 1 a a
9.若 0＜a＜1，化简 a 2
10.已知实数 a 满足 a a 2 3 a 3 0 ，那么 a 1 a 1 11.若 a、b、c 是△ABC 的三边,化简 12.已知 x
x 1
A. 1 x
B. x 1
C. x 1
例 5.在实数范围内分解下列因式: （1）x -3
2
（2）x -4
4
(3) 2x -3
2
例 6.化简下列各二次根式： (1) ( 7 2) 2 ( 7 3) 2
2 (2) x 2 ( x 5)（ x 0）
(3) x 2 8x 16 x 2 4x （ 4 2 x 4）
八年级数学下册教学课件《二次根式 单元解读课件》
九年级上册 第二十一章 一元二次方程
第二十二章 二次函数
七年级下册 第六章 实数
八年级下册 第十七章 勾股定理
教材分析
二次根式的横向联系
二次根式的定义 二次根式有意义的条件
二次根式的加法 二次根式的减法
混合运算
概念 运算
二次 根式
性质
a 0
2 a a(a 0)
化简
a2
a
=
a(a 0) a(a 0)
单元整体规划
本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章.实际上，二次根式并不是一个全新的概念， 它是一个非负数，是非负数的算术平方根概念的一般表示.因此，本章内容的核心是以二次 根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运 算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会运算律在代数中的基础地位.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
教材分析
二次根式的纵向联系
七年级上册 第一章 有理数 第二章 整式的加减
八年级上册 第十四章 整式的乘法与因式分解
04
能利用二次根式的知识 解决实际问题，在解决 问题的过程中体会数学 的应用价值
教材分析
01 教学重点
（1）二次根式的化简与运算方法，关键是正确了解与运用二次根式的概念与性质； （2）学习二次根式的有关概念与性质，直接目的就是为了熟练地掌握二次根式的化简与运算.
02 教学难点
正确理解与运用二次根式的性质
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
第01课 二次根式八年级数学下册同步精品讲义(人教版)
第01课 二次根式课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，2()(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“2”，我们一般 ，写作“”。
如25可以写作 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
（3） 式子 a 表示 的 ，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了 这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是 的关系。
要注意当b 是分数时 ，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，s t，2x ，0(0)a a ≥≥这些式子，用基本的运目标导航知识精讲算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把和表示数的连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）：根据公式列出代数式。
（3）：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质注意：2()a与2a的区别与联系：2()a2a区别表示的意义不同表示表示取值范围不同a a读法不同读作“”或“”读作“”或“”被开方数不同被开方数是被开方数是运算顺序不同先后先后运算结果，运算依据不同（ a ）2 =a，依据平方与开平方得到依据算术平方根的定义得到作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式a2=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是；③a时，（ a ）2=a2考法01 二次根式的判断【典例1】在式子2x（x＞0），2，33，21x+，3x-（x＞0）中，二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（）A．21B．3π-C．222a+D．12考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x≤D．2x<【典例3】式子22xx+-中x的取值范围是（）能力拓展A．x＞2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2【典例4】x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3【典例5】如果5y，那么xy的值是______．考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】12a=-，则a的取值范围是（）A．12a<B．12a≤C．12a>D．12a≥【即学即练】1x-，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【典例7】把）A B．C D．考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：2______．【即学即练】=______．【典例9】（y﹣3）2＝0_____．【即学即练】若x＜23x-＝_______________．【即学即练】＝_______________．考法05 ｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】如图，a，b，c||b c+______________【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣的结果是_____．【即学即练】如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a244a a +-+=_____．【即学即练】已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.考法06 利用2a =｜a ｜与三角形三边关系的综合应用【典例11】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简()2a b c ++－()2b c a +-＋()2c b a --.【即学即练】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：()()()()2222a b c a b c b a c c b a +++--+--+-- .考法07 逆用2()a = a （a ≥0）在实数范围内分解因式【典例12】在实数范围内分解因式： （1）22x -； （2）253x -．【即学即练】分解因式（在实数范围内）：33a a -．题组A 基础过关练1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2xx y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分层提分2x 的取值范围是（ ） A ．x≤3 B ．x ＜3C ．x≥3D ．x ＞33A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．94．已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．1525．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|a b +的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a -b621a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．已知－2＜m ＜3|m ＋2|的结果是( ) A ．5B ．1C ．2m －1D ．2m －58．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ， c 为斜边，a. b 为直角边，2c a b --的结果为( ) A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a9．化简2+）A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1题组B 能力提升练12得（ ）．A ．2B ．44x -+C ．－2D ．44x -2．已知△ABC 的三边之长分别为a 、1、3，则化简|9-2a| ） A ．12-4aB ．4a -12C ．12D ．-123．把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）AB C ． D ．4．已知1＜x ＜5-5|=____．54－m ，则m 的取值范围是____________．6．把(2-x ____________． 7．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：-+---=a b c a b c ________．81的最小值是______．9．当1时，代数式x 2+2x+2的值是__________． 10．在实数范围内因式分解：348a a -=________． 11．观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．题组C 培优拔尖练1．若实数a 、b 、c b c a c ++-．2．阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3 3．阅读下列解题过程：2=，求a 的取值． 解：原式=24a a -+-，当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a ＝2(舍去)； 当2≤a ＜4时,原式＝(a -2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a -2)+(a -4)=2a －6＝2，解得a=4； 所以，a 的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当3≤a≤7_________；(2)5的a 的取值范围__________；(3)6，求a 的取值．4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋＝（12，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋＝（m ＋2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a ＋m 2＋2n 2＋，△a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把a ＋ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋m ＋2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）（3）若a ＋m ＋2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值。
人教数学八下《二次根式的概念》二次根式PPT课件
学习目标 1 掌握二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目. 2 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
情境引入----先预习，再回答。
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a .
C.x＜1
D.x≤1
3.在函数y= x 2 中，自变量x的取值范围是（ A ） 3x
A.x≥﹣2且x≠0
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
4.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫 做被开方数.
举一反三
1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3， 16， 3 4， 5， a (a 0)， x2 1
3
解析： 3， 16， a (a 0)， x2 1 均是二次根式，
3
其中 x2 1属于“非负数+正数”的形式一定大于零. 3 4 根指数不是2，是3.
5 不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.
（2）根号内字母的取值范围
抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
个性化作业
1、已知三角形的三边x、y、z的长满足， x2 4 y 32
个三角形的周长.
解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0， 且 ， x2 4 y 32 z 4 0
z 4 0 求这
∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0.
人教版数学八下课件-二次根式
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集.
二次根式 的双重非 负性
二次根式 a 中,a≥0且
a ≥0
第二课时
二次根式化简
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导入新知
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0 -4 1
1 2
1
-1
4
1 4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是非 负数哟！
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
1 2
时， x 2 有意义．
2x 1
课堂小结 二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义 条件下求 字母的取 值范围
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65，
h 5
的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
八年级下册数学讲义 二次根式
（4）式子 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a≥0， a ≥0．二次根式具有双重非负性．
【注意】（1）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就隐含 a≥0 这一条件．
（2）形如 b a (a 0) 的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系，要注意当 b 是分数时不能写成带
8．化简：
（1） a4 a2b2 (a 0) ；
（2） a3b 2a2b2 ab3 (b a 0) ．
9．想一想：将等式 32 =3 和 72 =7 反过来的等式 3= 32 和 7= 72 还成立吗？
1 92
1 42
式子：9 27 = 27 = 3 和 4 8 = 8 = 2 成立吗？
仿照上面的方法，化简下列各式：
1
2
1
（1）2 2 ；（2）11 11 ；（3）6 12 ．
10．下列各式中，无论 x 取何实数，都没有意义的是
A． 2006x
B． 2006x2 1
C． 2006x2
D． 3 2006x 3
a 2 a2 a 2
11．当 a≥0 时， 、
、
，比较他们的结果，下面四个选项中正确的是
9 的计算结果， 9 是二次根式．
【例 1】下列式子中二次根式的个数有
1 3；
3 ；
x2 1 ； 3 8 ；
( 1)2 3；
1 x (x 1) ；
x2 2x 1
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
二、二次根式有意义的条件
求使代数式有意义的字母的取值范围的类型：
（1）二次根式型：被开方数大于或等于 0；
免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--二次根式
D.以上答案都不对
5.已知 a<0，那么 (2a a ) 2 的值是（ A.a B.-a
6.已知 x<2，则化简 x 2 4 x 4 的结果是（ A.x-2 B.x+2
7,若 a a ，且 a 2 4a 4 a 2 ，则 a a 2 6a 9 的值为（ A.3 B.-2a-3 C.-3
3.若式子 ( x 1) 2 x 2 0 ,化简的结果为 2x-3,则 x 的取值范围是（ A.x≤1 4.式子 m m 6m A.正数 B.x≥2
m 1 的值是（ 5m 2 4 m B.负数
x x
C.1≤x≤2 ） C.非负数 ） C.-2x ） C. ( a b ) 2
5 15 x 6
17.当 1<x<5 时,化简: x2 2x 1 x2 10x 25
1 1 18.已知-1<a<0,化简 a 4 a 4 a a
2
2
19.已知 x>0，y>0，且有 x ( x 2 y ) y (6 x 5 y ) ,求 x xy y 的值。
5 1 x
12.已知 y x 4 4 x 3 ，则 x y =
(4) 2 2 x
3
(5)
3 2x 1
________
________
________
5
八年级数学 15.直接填写计算结果：(1) (1) 18 =
6
13 =
2
(2) 3.5 =
2
(3) 62 =
2.要使式子 1 a 2a 有意义，则 a 应满足（ 3a 1 A. a 1 且 a
八年级二次根式 教师讲义带答案
第五章二次根式知识网络知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式;注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式;知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可;2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义;知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0;注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似;这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0;知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数;注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论;上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值;注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简;知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数;但与都是非负数,即,;因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算1运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.2注意知道每一步运算的算理；3乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算1对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的；2二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.1加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,43+=+=+通过约分达到化简目的；2多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：2a a +-互为有理化因式；一般地a a +--互为有理化因式；一般地+-式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题专题解读涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 取何值时,3的值最小最小值是多少分析 00,因为3是常数,3的最小值为3.0，33≥,∴当9x +1=0,即19x =-时,3有最小值,最小值为3.解题策略解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0a ≥0. 专题2 二次根式的化简及混合运算专题解读对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用||a =这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,==B 选若可化为=,C 选项逆用平方差公式可求得2（=4-5=-1,而D 得22=.故选A.例3 计算2006200721)21)的结果是 分析 本题可逆用公式ab m=a m b m及平方差公式,将原式化为2006[(21)(21)]21)2 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值,但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠解题策略 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.解题策略 本题应根据条件直接进行化简,2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例6 已知实数,a ,b ,c 在数轴上的位置如图21-8所示,化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ,b ,c 在数轴上的位置可知：解题策略 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简.规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.例8 已知3,12,.a ba b ab ba b a+=-=求的值 图21-8分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a ,b 的符号,本题中没明确告诉,a ,b 的符号,但可从a +b =-3,ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3,ab =12,∴a ＜0,b ＜0.解题策略 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果,原式4==+,由于即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知m 是,n ,求m nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16,即3 43,即m =3,3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法专题解读 把被开方数配方,a |化简.例11 化简规律·方法一般地,对于a±型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x,yx＞y＞0,使得xy=b,x+y=a,则2a±=,于是==,.例12 若a,b为实数,且b15,值.分析本题中根据b15可以求出a,b,对.解：由二次根式的性质得3503350..5305aa aa-⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，当3215.55a b====，时，原式解题策略对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法专题解读通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算解：令x两边同时平方得：∴x2=33专题6 代入法专题解读通过代入求代数式的值.例14 已知22==a b ab2400,5760,.专题7 约分法专题解读通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简).≠x y三、思想方法专题专题8 类比思想专题解读类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式2原式=3+2.解题策略对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想专题解读当问题比较复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y 24x -中,自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,24x -是二次根式,所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 3,则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x -,3-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想专题解读 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -,则x 的取值范围是 A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-,且|4|4x x -=-,由绝对值的意义可知10x -≥,且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.解题策略 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm 和3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬,=cm. 沿前、上两个面爬,=cm. 沿左、上两个面爬,=cm.所以它要爬行的最短路径长为规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每小题1分,共5分1．ab 2)2(-＝－2ab ．………………… 2．3－2的倒数是3＋2． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．… 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．… 5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式． 二填空题：每小题2分,共20分 6．当x __________时,式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时,|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2x －1＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：7－522000·－7－522001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0,则x －12＋y ＋32＝____________．15．x ,y 分别为8－11的整数部分和小数部分,则2xy －y 2＝____________． 三选择题：每小题3分,共15分16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………A x ≤0B x ≤－3C x ≥－3D －3≤x ≤017．若x ＜y ＜0,则222y xy x +-＋222y xy x ++＝……………………… A2x B2y C －2x D －2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于……………………… A x2 B －x2 C －2x D2x19．化简aa 3-(a ＜0)得……………………………………………………………… A a - B －a C －a - D a20．当a ＜0,b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为……………………………………… A 2)(b a + B －2)(b a - C 2)(b a -+- D 2)(b a ---四计算题：每小题6分,共24分 21．235+-235--；22．1145-－7114-－732+；23．a 2m n －m ab mn ＋m n n m ÷a 2b 2mn ； 24．a ＋ba abb +-÷b ab a +＋a ab b -－ab b a +a ≠b ．五求值：每小题7分,共14分25．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：每小题8分,共16分 27.计算25＋1211+＋321+＋431+＋…＋100991+． 28. 若x ,y 为实数,且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值． 一判断题：每小题1分,共5分 1、提示2)2(-＝|－2|＝2．答案×． 2、提示231-＝4323-+＝－3＋2．答案×．3、提示2)1(-x ＝|x －1|,2)1(-x ＝x －1x ≥1．两式相等,必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．答案×． 4、提示31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．答案√．5、29x +是最简二次根式．答案×． 二填空题：每小题2分,共20分6、提示x 何时有意义x ≥0．分式何时有意义分母不等于零．答案x ≥0且x ≠9．7、答案－2a a ．点评注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、提示a －12-a ________＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．答案a ＋12-a ． 9、提示x 2－2x ＋1＝ 2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4,x －1是正数还是负数 x －4是负数,x －1是正数．答案3．10、提示把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少12-,12+．答案x ＝3＋22．11、提示22d c ＝|cd |＝－cd ．答案ab ＋cd ．点评∵ ab ＝2)(ab ab ＞0,∴ ab －c 2d 2＝cd ab +cd ab -．12、提示27＝28,43＝48．答案＜．点评先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较－281与－481的大小． 13、提示－7－522001＝－7－522000·_________－7－52．7－52·－7－52＝1．答案－7－52．点评注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、答案40．点评1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时,x ＋1＝0,y －3＝0． 15、提示∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．4,5．由于8－11介于4与5之间,则其整数部分x ＝小数部分y ＝x ＝4,y ＝4－11答案5．点评求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了． 三选择题：每小题3分,共15分 16、答案D ．点评本题考查积的算术平方根性质成立的条件,A 、C 不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、提示∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0,x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ． 222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．答案C ．点评本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、提示x －x 12＋4＝x ＋x 12,x ＋x 12－4＝x －x 12．又∵ 0＜x ＜1, ∴ x ＋x 1＞0,x －x1＜0．答案D ．点评本题考查完全平方公式和二次根式的性质．A 不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时,x －x1＜0．19、提示3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．答案C ． 20、提示∵ a ＜0,b ＜0,∴ －a ＞0,－b ＞0．并且－a ＝2)(a -,－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --． 答案C ．点评本题考查逆向运用公式2)(a ＝aa ≥0和完全平方公式．注意A 、B 不正确是因为a ＜0,b ＜0时,a 、b 都没有意义． 四计算题：每小题6分,共24分21、提示将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式． 解原式＝35-2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、提示先分别分母有理化,再合并同类二次根式． 解原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、提示先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 解原式＝a 2m n －m ab mn ＋m n n m ·221b a n m＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、提示本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 解原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +． 点评本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐． 五求值：每小题7分,共14分25、提示先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值． 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26, y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26． ∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－262＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 点评本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、提示注意：x 2＋a 2＝222)(a x +, ∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +22a x +－x ,x 2－x 22a x +＝－x 22a x +－x ．解原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．点评本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 六、解答题：每小题8分,共16分27、提示先将每个部分分母有理化后,再计算．解原式＝25＋11212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--＝25＋112-＋23-＋34-＋…＋99100- ＝25＋11100- ＝925＋1．点评本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分．这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、提示要使y 有意义,必须满足什么条件].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 解要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵ xy y x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx+|－|xy y x-|∵ x ＝41,y ＝21,∴y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．点评解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y的值．。
数学八年级下二次根式复习课件ppt
什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那
么这个数叫做a的平方根。
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
用 a (a 0)表示.
二次根式的概念 二次根式 二次根式的性质
二次根式的运算与化简
二次根式有以下四个基本性质
{
4. a a (a 0 b 0) bb
；
x2 1 2 的值。 x2
3 先化简，再求值：
（a 1）2 4 （a 1）2 -4
a
a
其中a = 1
，
3
4. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB= 3 2 ,AC= 2 2
求Rt△ABC的周长和面积.
例2（. 1 a）2 a2 4a 4
解：由二次根式的意义可知：1 a 0, 即
a 12,a 20.
2
1a
a2 4a 4
1a a2
1 a 2 a
3 2a.
把下列各式化简：
(1) (x 2)2 (x 2); (2) (2x 3)2 (x 3);
2 (3) (3a 1)2 (a 1);
(4) a a (a 0 , b 0) 与 a a (a 0 , b 0)
bb
bb
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
1 x 1 ;
x2
x 1 0
解:（1）由
得x≥－1且x≠2.
x 2 0,
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
x 有1 x2
(2) x 5 . 3 x
的值；
（2）已知a 为实数，求 a3 a 1
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第十六章 二次根式16.1 二次根式乘除运算例1.写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m（4）x 1- （5）12--x x （6）0)2(11-+-+x x x例2.若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++=（ ） A.2x B.2y C.-2x D.-2y例3.若x,y 为实数,且21131311+-+-=x x y .求yx xy xy yx +--++22的值．例4.已知443422-=++++-c c b a ，求c ba)(的值．例5.已知实数a 满足a a a =-+-20092008，求22008-a 的值．例6.在实数范围内分解因式：（1）x x 363- （2）3322+-x x例7.若x,y 是实数，且33113+-+-<x x y ，化简33--y y .二次根式的非负性： 1.有意义的条件： 2.公式：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+=+=+=+y x y x y x y x y x 000022⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=++-=++-=++-=++-y x b y a x b y a x b y a x b y a x 0)(0)(0022==⇒+-+-=y x bx a a x y ,二次根式乘除运算公式=+⇒==+⇒=2222)()(b a a a b a a a ）（ba b ab a b a b a ab =⋅=>>⋅=22)0,0()0,0(,>>==b a b a ba b a b a abmn b n a m =⋅最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式；被开方数的因数是整数,例8.若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则m= ,n= 。
例9.已知xy=5，求yx y xy x +的值.例10.阅读理解题型222233=+，333388=+ 验证：2233322222321-+==-2222(21)2222221213-+==+=+--； 332222333333(31)333333883131318-+-+====+=+---． (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意正整数且2≥n ）表示的等式，并给出证明．例11.根据爱因斯坦的相对论,当地面上经过1秒钟时,宇宙飞船内只经过2)(1cr -秒，公式内的r 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速（约30万千米／秒），假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船作了5年宇宙旅行后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论．课堂练习：1.在式子2231,,1,0,,22x a x ++-中，一定是二次根式的有（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个 2.等式xxx x -=-÷11成立的条件是（ ） A.0≤x ≤1 B.x<1 C.x ≥0 D.0≤x ＜1 3.若式子02)1(2=-+-x x ,化简的结果为2x-3,则x 的取值范围是（ ） A.x ≤1 B.x ≥2 C.1≤x ≤2 D.x>0 4.式子mm m mm m 15462-+的值是（ ） A.正数 B.负数 C.非负数 D.可为正数也可为负数 5.若0<x<1，则4)1(4)1(22-+-+-xx xx 等于（ ）A.x 2 B.-x2C.-2xD.2x 6.当a<0，b<0时，b ab a -+-2可变形为（ ）A.2)(b a +B.2)(b a --C.2)(b a -+-D.2)(b a --- 7.化简21a a a --的结果（ ）A.1a --B.1a ---C.1a -D.1a --8.当x 满足 时，122-++x x 有意义。
9.若xx xx --=--3232成立，则x 满足____________10.直接填写计算结果：（1）805=_________；（2）3590710÷=___________；（3）32111273103÷⨯=_________；（4）7623483x y x y =11.把根号外的因式移到根号内：1(1)1a a --=-_________12.定义运算“@”的运算法则为: x@y=4xy + ，则 (2@6)@8= 13.当x 取什么实数时,下列各式有意义? ⑴x - ⑵()212-x ⑶x x -⋅-21 ⑷()()x x --21 ⑸512--x x ⑹311x-- 14.化简:(1)25 (2)2)5.1(- (3)2)3(-a （a<3） (4)2)32(-x （x<23）15.计算：（1）2000 （2）0.4× 3.6 （3）545×32223（4）225328-(5)2x y +×24x y + (6)32x y ×318xy (7)0.091210.36100⨯⨯ (8)42259x y16.计算:(1)2222414034-+ (2)521000.5x y x y(3)23314525÷ (4)1a b b a b ⎛⎫÷ ⎪ ⎪⎝⎭(5)325(3)23⨯- (6)213215 38⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ (7)311294524543⎛⎫÷⨯- ⎪⎝⎭ (8)533455156y xy x y x ⎛⎫⎛⎫÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17.当1<x<5时,化简:22211025x x x x -+--+ 18.已知-1<a<0,化简414122+⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a19.已知x>0，y>0，且有)56()2(y x y y x x +=+,求yxy x y xy x 32++-+的值。
20.已知实数a 满足a a a =-+-20132014，则a-20132,则a －20132的值是多少？21.已知：22816123610x x x x +++-+=，化简：()228212.x x ++-课堂检测日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：1.在式子()12,02,1,42223+-<--+x x x x a y x ，,4，x 中,一定是二次根式的有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个2.要使式子2131a a a -++有意义，则a 应满足（ ）A.1a ≤且13a ≠-B.1a ≤C.13a ≠-D.1a ≤且13a ≠3.若32-x 有意义,则x 能取得最小整数是（ ）A.0B.1C.2D.4 4.已知a<0，则2aa 的值为（ ）A.1B.-1C.1±D.以上答案都不对 5.已知a<0，那么2)2(a a -的值是（ ）A.aB.-aC.3aD.-3a 6.已知x<2，则化简x x 244-+的结果是（ ） A.x-2B.x+2C.-x-2D.2-x7,若a a >，且2442a a a ++=+，则269a a a +++的值为（ ） A.3B.-2a-3C.-3D.2a+38.如果ab 是二次根式，则a 、b 应满足的条件是（ ）A.0a ≥且0b ≤B.0a ≠且0b ≥C.a 、b 同号D.a 、b 异号 9.给出下列四道算式：(1)2(4)44ab ab-=- (2)22223411453+=- (3)2847x x x = (4)2()()b a a b a b a b-=->-其中正确的算式是（ ） A.（1）（3）B.（2）（4）C.（1）（4）D.（2）（3）10.当x________时，式子31-x 有意义;若二次根式25x x -+-有意义，则x 的取值范围是11.当1＜x ＜4时，|x-4|＋122+-x x =______ 12.已知344+-+-=x x y ，则y x = 13.若04232=-++-+y x y x ，则x-y= 14.x 取何值时,下列各二次根式有意义？(1)3+x (2)52-x (3)x -15 (4)x 322+ (5)123+x________ ________ ________ 15.直接填写计算结果：(1)()213= (2)()23.5-= (3)26= (4)()2100-=(1)186= (6)255= (7)263x y xy = （8）56214-= (5)2212(3)2⎛⎫-- ⎪⎝⎭=16.计算下列各式：（1）3590710÷=________；（2）32111273103÷⨯=_______；（3）7623483x y x y =_________17.已知2＜x ＜3,化简:3)2(2-+-x x = 18.已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示:化简：()()222c b a c b a a ++-++-．19.在△ABC 中,a 、b 、c 是三角形的三边,化简:c b a c b a +----2)(2.20.若439922++-+-=x xx y ,求y x 的平方根．16.2 二次根式加减运算例1.计算： （1）()()63226322+--+ （2）25522352231----+-例2.化简求值：当415a =+，415b =-时，求22533a ab b a b ++--的值．例3.已知：1110a a +=+，求221a a+的值。
同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同,这些二次根式就称为同类二次根式 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它例4.已知2310x x -+=，求2212x x +-的值。
例5.已知)57(21+=x ，)57(21-=y ，求下列各式的值。
（1）22y xy x +-（2）xy y x +例6.先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-例7.观察下列各式及其化简过程：22322(2)2211+=+⨯+2(21)21=+=+；22526(3)232(2)-=-⨯+32=-．（1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将10221-化简；（2）针对上述各式反映的规律，请你写出2()a b m n m n ±=±>中a,b 与m,n 之间的关系．课堂练习：1.下列根式中,与3是同类二次根式的是（ ） A.24 B.12 C.32D.18 2.与3a b 不是同类二次根式的是（ ） A.2ab B.b a C.1abD.3b a3.下列式子中正确的是（ ）A.527+=B.22a b a b -=-C.()a x b x a b x -=-D.6834322+=+=+4.若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x y -的值是（ ）A.333-B.3C.1D.3 5.若2182102x x x x++=，则x 的值等于（ ） A.4 B.2± C.2 D.4± 6.若最简二次根式125a a ++与34b a +是同类二次根式，则a= ,b= 。