自动控制原理第7章 系统稳定性分析

第7章 系统稳定性 分析
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本章内容
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
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系统稳定性的基本概念 线性定常系统稳定的充要条件 劳斯稳定判据 奈奎斯特稳定判据 对数频率特性的稳定判据 系统的相对稳定性分析
Matlab在系统稳定性分析中的应用
第7章 系统稳定性分析 2
引 言
若初始条件为零，对上式进行拉普拉斯 变换，得
b0 s m b1 s m1 bm1 s bm C ( s) R( s ) n n 1 a0 s a1 s an 1 s an
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
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7.1 系统稳定性的基本概念
f A

图7-2不稳定系统
A'
Biblioteka Baidu
d
A
f
图7-1 单摆运动示意图
c
f
图7－1为稳定的系统。 图7－2为不稳定系统。
A
图7-3小范围稳定系统
图7－3中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性 的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。
i 1
r
q
pi t
Bk e k k t cos(k 1 k2 t )
k 1
r

k 1
Ck Bk k k
k 1 k2
e kk t sin(k 1 k2 t )
系统的闭环传函数为
C ( s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm ( s ) R( s ) a0 s n a1 s n 1 an 1 s an
若考虑初始条件不为零，对上式进行拉 普拉斯变换，得
b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm C (s) R( s ) n n 1 a0 s a1 s an 1 s an N 0 (s) a0 s n a1 s n 1 an 1 s an
一个控制系统，如果受到外界因素或自 身内部的干扰（例如负载的波动、系统 参数的变化等），就可能会偏离原来的 正常工作状态，并且可能会越偏越远， 而在扰动消失后，也不能恢复到原来状 态，这类现象称为系统的不稳定现象。 显然，一个不稳定的系统是无法工作的 ，也没有任何实用价值。 稳定性是控制系统的重要性能，是系统 能够正常工作的首要条件。因此，分析 系统的稳定性，并提出保证系统稳定的 条件，是设计控制系统的基本任务之一 ，在自动控制理论中占有极重要的位置 。 第7章 系统稳定性分析
lim c (t ) 0
t
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
设n阶线性定常系统的微分方程为
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a a an c (t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr(t ) b0 b1 bm 1 bm r (t )(m n) dt m dt 1m dt
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
设系统特征方程D(s)=0的根（即系统的 特征根）为pi，其中pi可以为单根、重根 、实根或复根，则上式可变换为
C0( s ) N 0( s )
2 2 ( s p ) ( s 2 s i k k k ) i 1 q k 1 q r
r Ai Bk Ck 2 2 i 1 s pi k 1 s 2 kk s k
式中，q+2r=n，Ai,Bk,Ck为待定系数。
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
对上式进行拉普拉斯反变换，可得系统 的零输入响应为
c(t ) Ai e
(i ) c 其中，N0(s)是由初始条件 (0)
（i=0,1,2,…,n-1）有关的s的多项式。
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
根据稳定性的定义，应该研究的是输入 信号没有作用的情况下系统的时间响应 。因此，可以取R(s)=0，则上式可变为
C0(s )
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7.1 系统稳定性的基本概念
线性控制系统的稳定性可以叙述如下：
若线性控制系统在初始扰动的作用 下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减， 并趋于零（即原平衡工作点），则称系统 渐近稳定，简称稳定；若在初始扰动作用 下，系统的动态过程随时间的推移而发散 ，则称系统不稳定。
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7.1 系统稳定性的基本概念
对于一个系统来说，一旦受到扰动的作 用，就会使系统偏离原来的平衡状态， 产生一定的初始偏差。所谓系统的稳定 性，就是指作用到系统的扰动消失后， 系统由初始偏差状态恢复到原来平衡状 态的性能。 在自动控制理论中，有多种稳定性的定 义，这里只讨论其中最常用的一种，即 渐近稳定性的定义。
其中为C0(s)为在初始状态影响下系统的 时间响应（即零输入响应）；
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an
N 0(s ) D (s)
称为系统的特征多项式，也是系统闭环传 D( s ) 0 称为系统 递函数的分母多项式； 的特征方程。 C0(s)的极点也是系统闭环传 递函数的极点，称为系统的特征根。
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7.2 线性定常系统稳定的充要条件
当线性定常系统的输入信号r(t)=0时，则 输出信号c(t)=0，即为系统的平衡工作点 。当有扰动信号作用于系统时，系统的 输出就会产生偏差，也就是说，会使得 c(t)不再为零。 假设扰动信号消失的时间为t=0时刻，那 么如果系统稳定，则输出c(t)会随着时间 的推移而逐渐回到原平衡工作点，也就 是c(t)=0的位置，即满足