2020届北京海淀区高三年级第二学期适应性试卷数学(理)试题

北京海淀区高三年级第二学期适应性试卷数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(1)已知集合{}15A x x =≤≤，{}36B x x =≤≤，则AB =(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6] (2)复数()z a i i R =+∈的实部是虚部的2倍，则a 的值为 (A) 12- (B) 12(C) -2 (D)2(3，若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)2 (4)在5(2)x -的展开式中，2x 的系数是(A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40(5)把函数2xy =的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为23xy =，则t 的值为(A) 12( B) 2log 3 (C) 3log 2 (D)(6)学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(7)已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P与1,A C 不重合）．则下面结论中错误的是(A)存在点P ，使得平面1A DP ∥平面11B CD (B)存在点P ，使得1AC ⊥平面1A DP(C) 12,S S 分别是△1A DP 在平面1111A B C D ，平面11BB C C 上 的正投影图形的面积，对任意点P ，12S S ≠(D)对任意点P ，△1A DP 的面积都不等于6第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 ( 10)已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =( 11)若数列{}n a 的前n 项和28n S n n =-，1,2,3,...,n =则满足0n a >的n 的最小值为(12)已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 (13)在矩形ABCD 中，2,1AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上．若AE AF AP +=，且点P 在直线AC 上，则AE AF =(14)已知集合{}001A x x =<<.给定一个函数()y f x =，定义集合{}1(),n n A y y f x x A -==∈ 若1n n A A φ-=对任意的*n N ∈成立，则称该函数()y f x =具有性质“ 9”．(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 ；(Ⅱ)给出下列函数：①1y x =；②21y x =+；③cos()22y x π=+，其中具有性质“9”的函数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．( 15)（本小题满分13分） 在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是钝角三角形，求BC 边上的高． (16)（本小题满分13分）某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐 连锁店提供了两种日工资方案：方案(1) 规定每日底薪50元，快递业务每完成一单 提成3元；方案(2)规定每日底薪100元， 快递业务的前44单没有提成，从第45单 开始，每完成一单提成5元，该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取 100天的数据，将样本数据分为[ 25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。

(Ⅱ)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(Ⅱ)从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为13，选择方案(2)的概率 为23．若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人选择日工资方案相互独 立，求至少有两名骑手选择方案(1)的概率； (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）( 17)（本小题满分14分）如图1所示，在等腰梯形ABCD ，BC ∥AD ，CE AD ⊥，垂足 为E ，33AD BC ==，1EC =.将DEC ∆沿EC 折起到1D EC ∆的位置， 使平面1D EC ∆⊥平面ABCE ，如图2所示，点G 为棱1AD 上一个动点。

(Ⅱ)当点G 为棱1AD 中点时，求证：BG ∥平面1D EC t (Ⅱ)求证：AB ⊥平面1D BE ;(Ⅲ)是否存在点G ，使得二面角1G BE D -- 若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b +=的左顶点 A 与上顶点B ．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．(19)（本小题满分14分） 已知函数22()(),ax a f x e x a+=-，其中0a ≠． (Ⅰ)求曲线()y f x =在点 (1,(1))f 处切线的倾斜角； (Ⅱ)若函数()f x 的极小值小于0，求实数a 的取值范围．( 20)（本小题满分13分）对于给定的奇数,(3)m m ≥ ，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j为数表A 的一个“好位置”(Ⅱ)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (Ⅱ)当5m =时，若对任意的15i ≤≤ 都有()3c i ≥成立，求数表 A 中的“好位置”个数的最小值；(Ⅲ)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2019.06一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. B2. D3.D4. A5. B6. A7. A8. C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1,-0,1 11. 512. 5214.1y x =+（答案不唯一），① ②三、解答题: 本大题共6小题，共80分.（15）（共13分）解：（Ⅰ）在ABC △中，因为7a =，8b =，3A π=，所以由正弦定理sin sin B Ab a=得sin 8sin 7b A B a ===（Ⅱ）方法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得214964282c c =+-⨯⨯⨯即28150c c -+=，解得5c =或3c = 因为,b a b c >>，所以B ∠为ABC △中最大的角，当5c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，与ABC △为钝角三角形矛盾，舍掉当3c =时，222cos 02a c b B ac+-=<，ABC △为钝角三角形，所以3c =设BC 边上的高为h ，所以sin h c B == 方法2：因为b a >，所以π3B A >=，所以π3C <，所以B ∠为ABC △中最大的角因为ABC △为钝角三角形，所以B 为钝角因为sin B ，所以1cos 7B =- 所以sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=设BC 边上的高为h，所以sin 7h b C ==16.（共13分）解：(Ⅰ) 设事件A 为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.20.150.05，， 因为0.20.150.050.4++=所以()P A 估计为0.4. (Ⅱ) 设事件B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）” 设事件i C 为“甲乙丙三名骑手中恰有(0,1,2,3)i i =人选择方案（1）”， 则23()()()P B P C P C =+2213333121617()()()333272727C C =+=+=所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案（1）的概率为727（Ⅲ）方法1：设骑手每日完成快递业务量为X 件方案（1）的日工资*1503()Y X X =+∈N ，方案（2）的日工资*2*100,44,1005(44),44,X X Y X X X ⎧≤∈⎪=⎨+->∈⎪⎩NN所以随机变量1Y 的分布列为以1EY =2600.22900.153200.05+⨯+⨯+⨯236=同理随机变量2Y 的分布列为21000.11300.21800.32300.22800.153300.05EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 194.5=因为12EY EY >，所以建议骑手应选择方案（1） 方法2：快餐店人均日快递量的期望是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯= 方案2日工资约为()10062445190 236+-⨯=< 故骑手应选择方案（1）17.（共14分） 解： (Ⅰ) 方法1：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形，1AF FE ED ===，F 为AE 中点在图2中，连结GF 因为点G 是1AD 的中点， 所以1GFD E又因为BF EC ，GFBF F =，GF BF ⊂，平面 BFG ，1,D E EC ⊂平面1D EC ，所以平面BFG平面1CED又因为BG GFB ⊂面 ，所以BG平面1D EC方法2：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形 ， F 为AE 中点在图2中，连结GF 因为点G 是1AD 的中点， 所以1GFD E又1D E ⊂平面1D EC ，GF ⊄平面1D EC所以GF平面1D EC又因为BF EC ，EC ⊂平面1D EC ，BF ⊄平面1D EC所以BF平面1D EC 又因为GFBF F =所以平面BFG平面1D EC又因为BG GFB ⊂面 ，所以BG平面1D EC方法3：在图1的等腰梯形ABCD 内，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，因为CE AD ⊥，所以BFEC又因为BCAD ，1BC CE ==，=3AD所以四边形BCEF 为正方形，1AF FE ED ===，得2AE = 所以1=2BCAE BC AE ，在图2中设点M 为线段1D E 的中点，连结,MG MC ，因为点G 是1AD 的中点， 所以1=2GMAE GM AE ，所以 =GM BC GM BC ，，所以四边形MGBC 为平行四边形 所以BGCM又因为CM ⊂平面1D EC ，BG ⊄平面1D EC 所以BG平面1D EC（Ⅱ）因为平面1D EC ⊥平面ABCE ，平面1D EC平面ABCE EC =,1,D E EC ⊥1D E ⊂平面1D EC ，所以1D E ⊥平面ABCE 又因为AB ⊂平面ABCE所以1D E AB ⊥又2AB BE AE ===，满足222AE AB BE =+ ，所以BE AB ⊥ 又1BED E E =所以AB ⊥平面1D EB（Ⅲ）因为1,,EA EC ED 三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系1E ACD -,所以(2,0,0)A ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，1(2,0,1),(1,1,0)AD EB =-=假设存在点G 满足题意，设1,01AG AD λλ=≤≤，则(2,0,1)AG λ=-，所以(2,0,0)(2,0,1)(22,0,)EG EA AG λλλ=+=+-=- 设平面GBE 的法向量为(,,)a b c =m ，所以00EB EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即0(22)0a b a c λλ+=⎧⎨-+=⎩取a λ=，则(,,22)λλλ=--m ， 由（Ⅱ），(1,1,0)AB =-为平面1BED 的法向量， 令cos ,AB AB AB ⋅<>==m m m解得23λ=或2λ=（舍） 所以存在点G ，使得二面角1G BE D --的余弦值为3，且123AG AD =，得AG =118.（共13分）解所以22b=所以椭圆方程为22142x y+=所以c==，焦点坐标分别为12(F F(Ⅱ)方法1：设00(,)P x y，则2200142x y+=，且(2,0),A-若点P为右顶点，则点Q为上（或下）顶点，4,AP AQ==，△PAQ不是等边三角形，不合题意，所以002,0x y≠±≠.设线段PA中点为M，所以002(,)22x yM-因为PA MQ⊥，所以1PA MQk k⋅=-因为直线PA的斜率02Apykx=+所以直线MQ的斜率02MQxky+=-又直线MQ的方程为00022()22y x xy xy+--=--令0x=，得到000(2)(2)22Qy x xyy+-=+因为2200142x y+=所以02Qyy=-因为PAQ△为正三角形，所以||||AP AQ=化简，得到200532120x x ++=，解得002,65x x =-=-（舍） 即点P 的横坐标为25-. 方法2：设00(,)P x y ，直线AP 的方程为(2)y k x =+.当0k =时，点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以0k ≠.联立方程22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元得2222(12)8840k x k x k +++-= 所以160∆=>所以2028(2)12k x k -+-=+设线段PA 中点为M ，所以20224212M x k x k --==+，22242(2)1212M k ky k k k-=+=++ 所以22242(,)1212k kM k k -++因为AP MQ ⊥，所以1MQ K k =-所以直线MQ 的方程为222214()1212k k y x k k k --=--++令0x =，得到22222142121212Q k k ky k k k k -=-⋅=+++ 因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =2412k =+化简，得到42430k k +-=，解得223,14k k ==-（舍）所以202422125k x k -+==-+， 即点P 的横坐标为25-.方法3： 设00(,)P x y ，当直线AP 的斜率为0时，点P 为右顶点，则点Q为上（或下）顶点，4,AP AQ ==，△PAQ 不是等边三角形，不合题意，所以直线AP 的斜率不为0.设直线AP 的方程为2x ty =-联立方程 221422x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得，22(2)40t y ty +-= 所以0242ty t =+ 设线段PA 中点为M 所以222M t y t =+,242M x t -=+，所以2242(,)22tM t t -++因为AP MQ ⊥，所以1MQ k k =-所以直线MQ 的方程为2224()22t y t x t t --=--++令0x =，得到222Q ty t -=+因为PAQ △为正三角形， 所以||||AP AQ =2|4|2t t =+化简，得到42340t t --=，解得224,13t t ==-（舍）所以20224225t x t -==-+，即点P 的横坐标为25-19．（共14分）解：（Ⅰ）因为22()e ()a x a f x x a+=-，所以2'()e (2(2))a x f x ax x a =+-+ 所以'(1)0f =所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为0 （Ⅱ）方法1：因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f x ax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时，x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a +=-=--=-<，符合题意 当1a =-时，1221a x x a+=-==，2'()e (1)0a x f x x =-+≤,()f x 没有极值，不符合题意当10a -<<时，x >11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表而2(1)e ()0a f a=->，不符合题意当1a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:所以2()2122()e[()()]0a a aa a f x a a+-++=--<， 解得2a <- 综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞方法2：因为函数()f x 的极小值小于0，所以()0f x <有解，即220a x a+-<有解 所以20a a+>，所以有0a >或2a <- 因为2'()e (2(2))e ((2))(1)a x a x f xax x a ax a x =+-+=++- 令()0f x '=，得到122,1a x x a+=-= 当0a >时， x ，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而222(1)e (1)e (11)e ()0a a a a f a a a+=-=--=-<，符合题意 当2a <-时，x <11，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:而22()()212222(2)()e[()()]e 0a a a a aa a a a f x a a a ++--+++=--=<，符合题意综上，a 的取值范围是(,2)(0,)-∞-+∞20.（共13分）解：（Ⅰ）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) （Ⅱ）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>；因此若(,)i j 为“好位置”，则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3，则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（Ⅲ） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2mc i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个而 1312m x x p ++≥⨯， 341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而 11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值，因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1，而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =- 当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =- 下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。