向量数量积的最值问题的常见处理方法
求解平面向量最值问题的几个措施
探索探索与与研研究究图1B (-1,0)，C (1,0)，设x ,3-y )，PB =(-1-+PC )=2x 2-23y +2直线BC 为x 轴、.求得若∠AOB =150°，OA +n OB ，则3m -n 33θ)，其中0°≤θ≤150°.设A （1,0），则θ=2sin æèöøθ+π3，2.故选C ．以圆心为原点，两.设将问题我们无法快速求将目将问题转化为函数求得平面向量的最θ，向量c =æèöøcos 2θ2⋅，cos θ=2x -1，图2探索探索与与研研究究可得|c |2=[xa +(1-x )b]2=x 2+2x (1-x )(2x -1)+(1-x )2=-4x 3+8x 2-4x +1．令f (x )=-4x 3+8x 2-4x +1,x ∈[0,1]，则f ′(x )=-4(3x -1)(x -1)，由f ′(x )=0，得x =13或1．当0≤x ＜13时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减；当13＜x ＜1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增.所以f (x )min =f æèöø13=1127，故|c |min=．通过换元，将|c |2的表达式转化为关于x 的一元三次函数式.再对函数求导，根据导函数与单调性之间的关系判断出函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得|c |min .三、利用向量的几何意义向量兼有数与形的“双重身份”，是联系代数与几何的纽带.在求解平面向量最值问题时，可根据平面向量的几何意义，如加法的三角形法则、平行四边形法则，向量的模即为向量所在线段的长，两个向量的数量积即为一个向量的模与其在另一个向量所在方向上的投影的乘积，来构造几何图形，进而根据图形的几何特征与性质求最值．例4.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ∙AB 的取值范围是（）.A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)图3解:过C 作CC ′⊥AB ，设垂足为C ′，过F 作FF ′⊥AB ，设垂足为F ′，如图3所示．因为|| AB =2，则 AP 在 AB 方向上的投影为||AP cos ∠PAB ，当P 与C 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最大值为|||| AC ′=3，当P 与F 重合时，|| AP cos ∠PAB 的最小值为-||||F ′A =-1，故-1＜|| AP cos ∠PAB ＜3，由向量数量积的几何意义可知， AP ⋅ AB 即为AB 的模与 AP 在 AB 方向上的投影的乘积，即 AP ⋅AB =|| AB ⋅||AP cos ∠PAB ，所以 AP ∙AB 的取值范围是(-2,6).故选A.解答本题，需灵活运用向量数量积的几何意义：AP ∙ AB 即为 AB 的模与 AP 在AB 方向上的投影的乘积，即 AP ∙ AB =|| AB ⋅|| AP cos ∠PAB .再添加辅助线，根据正六边形的结构特征，求得||AP cos ∠PAB 的取值范围，即可解题.四、利用等和线的性质等和线有如下性质：①当P 0在直线AB 上，且OP 垂直于等和线时，若 OP =k OP 0=x OA +yOB (k ,x ,y ∈R)，则x +y =k .根据相似三角形的性质可知等和线之间的距离之比为|k |=|| OP|| OP 0（如图4）．②当等和线恰为直线AB 时，k =1；③当等和线在点O 与直线AB 之间时，k ∈(0,1)；④当直线AB 在点O 与等和线之间时，k ∈(1,+∞)；⑤当等和线经过点O 时，k =0；⑥当两等和线关于点O 对称时，对应的两个定值k 互为相反数.利用等和线的性质求解最值问题的一般步骤为：（1）找到等和线为1的情形；（2）平移等和线到可行域内；（3）利用平面几何知识求出最值．例5.在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上.若 AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（）.A.3B.2C.2D.25图5解：如图5，设BD 与圆的相切点为P 1，则点A 到BD 的距离等于|P 1C |．当P 在P 1处时，λ+μ=1；当P 在P 1关于点C 对称的点P 2处时，λ+μ最大，此时(λ+μ)max =|P 1P 2|+|P 1C ||P 1C |=3．故选A ．平面向量OP 满足： OP =λ OA +μ OB (λ,μ∈R)，则点P 在直线AB上或在平行于AB 的直线上，可知图449一一一一一一一一一一一一一一一一一一λ+μ=k （定值），此时直线AB 及平行于AB 的直线为等和线，即可根据等和线的性质求得最值.五、利用极化恒等式极化恒等式：a ⋅b =14[(a +b )2-(a -b )2]是解答向量问题的重要工具.当遇到共起点的两向量的数量积最值问题时，可以考虑根据三角形法则和平行四边形法则，将两个向量的数量积的最值问题转化为两个向量的和、差的最值问题，利用极化恒等式求解.例6.如图6，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且 AD =λ BC ，AD ∙ AB =-32，则实数λ的值为，若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ∙DN 的最小值为．图6解：由 AD ∙ AB =-32，得(λ BC )∙ AB =λ| BC || AB |cos ∠B=λ×6×3æèöø-12=-32，解得λ=16．分别过D ，A 作BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，由极化恒等式得，DM ∙ DN =||DQ 2-||QM 2=|| DQ 2-æèöø122≥|| DE 2-æèöø122=|| AF 2-æèöø122=132．一般地，若在三角形ABC 中，M 为BD 的中点，由极化恒等式可得： AB ∙ AD =| AM |2-| BM |2；在平行四边形ABCD 中， AB ∙ AD =14(| AC |2-| BD |2)，这样就将向量的数量积问题转化为两条线段长度的平方差问题.解答本题，需先找到定点，再根据动点的变化情况求最值可见，求解平面向量最值问题的措施很多.解题的关键是要根据解题的需求，建立合适的平面直角坐标系和关系式，灵活运用函数的性质、等和线的性质、向量的几何意义、极化恒等式进行求解.（作者单位：云南省曲靖市会泽县茚旺高级中学）探索探索与与研研究究比较函数式的大小问题通常会综合考查一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质和图象.解答这类问题的常用方法有：特殊值法、放缩法、中间值法、基本不等式法等.在解题时，若能选用恰当的方法，就能达到事半功倍的效果.本文主要谈一谈下列三种比较函数式大小的思路.一、利用重要不等式在比较函数式的大小时，可根据已有的经验和不等式结论来进行比较，这样能有效地提升解题的效率.常用的重要不等式有：（1）基本不等式及其变形式：若ab >0,a 、b >0，则a +b ≥2ab 、21a +1b≤ab ≤a +b 2≤，当且仅当a =b 时等号成立；（2）切线不等式：e x +1、ln x ≤x -1；（3）柯西不等式：a ,b ,x ,y ∈R ，()a2+b 2()x 2+y 2≥(ax +by )2，(ax -by )2≥()a 2-b 2()x 2-y 2；等等.例1.设a =0.1e 0.1,b =19,c =-ln 0.9，请比较a ，b ，c的大小.解：由于b =19=109-1,c =-ln 0.9=ln 109,令x =-0.1,由切线不等式：e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立，可得e -0.1>-0.1+1=0.9,则e 0.1<109,所以0.1e 0.1<0.1×109=19,即a <b ，令x =109,由切线不等式：e x≥x +1，得：ln 109<109-1=19,即c <b ，而e 0.1>0.1+1=1.1,则0.1e 0.1>0.1×1.1=0.11,由重要不等式：当x >1时，恒有ln x <12(x -1x )成立，可知-ln 0.9=ln 109<12(109-910)=19180<0.11，50。
大招6投影法速解向量的数量积问题(含答案解析)
大招6投影法速解向量的数量积问题向量的数量积公式为cos a b a b θ⋅=，若将公式中的cos b θ 看作一个整体，则向量的数量积可表示为a b a ⋅=⨯ 向量b 在向量a上的投影向量的模（或模的相反数），如图所示．这种方法就是投影法，利用投影法可以快速求解高考中一些数量积问题，尤其是两个向量中一个向量固定不变时，可以使用该法．运用该法解题的思路模型为：识别题型→向量的数量积问题选择方法→投影法（有一个固定向量，用投影法；夹角不易求，用投影法）计算→谁不动，往谁身上投；或者选择投影向量的模好计算的向量进行求解【典例1】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，则AE EC ⋅=（）A ．1225B ．2425C ．125D ．45【大招指引】利用投影解决向量积的方法进行求解．【解析】()()2444=2555AE EC AE EA AC AE AE AB AD ⋅⋅+=-⋅++=-+⨯=【题后反思】本题也可以利用极化恒等式进行化简：2224=5AE EC AO EO AE ⋅-==【温馨提醒】如图，PA PB PA PH⋅=⋅对于cos PA PB PA PB θ⋅= ，其中cos PB θ 是PB 在PA上的投影，在Rt △PBH 中cos PB PH θ=，故PA PB PA PH ⋅= ，考虑到cos θ可能为钝角，故写成PA PB PA PH ⋅=⋅．【举一反三】1．已知圆O 的方程为229x y +=，直线l 过点()1,2P 且与圆O 交于,M N 两点，当弦长MN 最短时，OM MN ⋅=（）A ．4-B ．8-C ．4D ．8【典例2】已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ，直线PB 与O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若2PO PA PD ⋅的最大值为（）A ．122B ．1222+C ．12D ．22【大招指引】取PO 中点E ，1222DE BO ==，将P ，A ，O 看成定点，则D 为圆E 上的定点，作DH ⊥PA ，进而利用投影法进行求解．【解析】取PO 中点E ，122DE BO ==P ，A ，O 看成定点，则D 为圆E 上的定点，作DH ⊥PA ，则PA PD PA PH =⋅⋅，当DH ∥AO 时取到最值取PA 中点G最小值计算：此时2122PH HG PG =-=-，故()min 2122PA PD PA PH =⋅⋅-=- 最大值计算：此时2122PH HG PG =+=+，()max 2122PA PD PA PH ==⋅⋅+【题后反思】本题也可以构造函数进行求解：如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知：π4APO ∠=，由勾股定理可得221PA OP OA =-=当点,A D 位于直线PO 异侧时或PB 为直径时，设=,04OPC παα∠≤<，则：PA PD⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭12cos 4παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21sin 222αα+=-12224πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭04πα≤<，则2444πππα-≤-<∴当ππ244α-=-时，PA PD ⋅ 有最大值1．当点,A D 位于直线PO 同侧时，设,04OPC παα∠<<，则：PA PD ⋅ =||||cos 4PA PD πα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1cos4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin22ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21sin 222αα+=+1224πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，04πα≤<，则32444πππα≤+<∴当242ππα+=时，PA PD ⋅ 有最大值12．综上可得，PA PD ⋅的最大值为12．【温馨提醒】利用投影法处理平面向量的数量积的实质是数量积是几何意义，要善于作图，往往要利用平面几何知识．【举一反三】2．在ABC V 中，若OA OB OC OP === ，2AB AC ==uu u r uuu r ，120BAC ∠=︒，则AP AB ⋅的取值范围为．3．如图所示，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（）A ．1213PP PP ⋅ B ．1214PP PP ⋅C ．1215PP PP ⋅D ．1216PP PP ⋅4．ABC V 的外接圆的半径等于3，4AB =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）．A ．[8,12]-B ．[4,24]-C ．[4,20]-D ．[8,16]-5．设,A B 是圆C 上不同的两点.且AB =则⋅=AB AC .6．ABC V 中，3AB =，6AC =，G 为ABC V 的重心，O 为ABC V 的外心，则AO AG ⋅=．7．已知圆O 的半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值是__________．8．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，则BP BC ⋅的最大值为．参考答案：1．B【分析】根据题意，由条件可知，当MN 最短时，直线l OP ⊥，然后再结合向量的数量积，从而得到结果.【详解】当MN 最短时，直线l OP ⊥，OP ==4MN ==，()cos π82MN OM MN OM MN OMN MN ⋅=⋅-∠=-⋅=-.故选：B.2．[]2,6-【分析】要求AP AB ⋅ 的取值范围，只需要研究动向量AP 在定向量AB的投影向量的模的最值，然后利用数形结合思想，来找到最值点1P 和2P ，然后利用已知数据就可以计算出结果.【详解】因为OA OB OC OP ===，所以O 为ABC V 的外心，且P 为ABC V 外接圆上一动点，又2AB AC == ，120BAC ∠=︒，由余弦定理得：BC ==所以ABC V 外接圆的半径12sin1202BC r =⨯=︒，可得OA OB AB AC ===，即四边形OBAC 是菱形，可得OC //AB ，如图，作PD AB ⊥，垂足为D ，则AP 在AB方向上的投影向量是AD ，当点P 在圆O 上运动时，作PD AB ⊥，垂足D 可能不在线段AB 上，而是在直线AB 上，所以cos AP AB AP AB PAD ⋅=⋅∠，所以当PD 与圆相切时，AP AB ⋅取到最大值和最小值，即P 在1P （直线CO 与圆的另一个交点）处取最大值，此时cos 2cos306AP AB AP AB PAD ︒⋅=⋅∠=⨯⨯= ，在2P （与C 重合）处取最小值，此时cos 22cos1202AP AB AP AB PAD ︒⋅=⋅∠=⨯⨯=- ，所以AP AB ⋅的取值范围为[]2,6-．故答案为：[]2,6-．3．A【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得；【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知1213,6PP PP π= ，1214,3PP PP π= ，1215,2PP PP π= ，12162,3PP PP π=．12160PP PP ∴⋅< ，12150PP PP ⋅= ，211311122223cos 62P PP PP P P P P π⋅== ，212141212122cos 3PP PP PP PP PP π⋅=⋅⋅= ．比较可知A 正确．故选：A 4．C【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，设出C 点坐标，利用向量数量积的坐标运算求得AB AC ⋅uu u r uuu r ，结合三角函数的取值范围求得AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围.【详解】依题意，ABC V 的外接圆的半径等于3，4AB =，以A 为原点，AB 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，4,0，圆心O 到AB ，也即x =，故圆心(O ，半径3r =，所以圆的标准方程为()(22223x y -+=.设()[][]23cos ,3sin ,cos 1,1,sin 1,1C θθθθ+∈-∈-，C 与,A B 不重合.所以812cos AB AC θ⋅=+uu u r uuu r，由于[]cos 1,1θ∈-，所以[]812cos 4,20AB AC θ⋅=+∈- .故选：C5．6【分析】设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，再根据数量积的定义计算即可.【详解】如图，设D 点为AB 的中点，则CD AB ⊥，则21cos 62AB AC AB AC BAC AB AD AB ⋅=∠=== .故答案为：6.6．152【解析】根据三角形的外心的性质，得出212AO AB AB ⋅= ，212AO AC AC ⋅= ，由三角形的重心的性质，得出1()3AO AG AO AB AC ⋅=⋅+ ，通过向量的数量积运算，即可求出AO AG ⋅的值.【详解】解：因为G 为ABC V 的重心，O 为ABC V 的外心，所以212AO AB AB ⋅= ，212AO AC AC ⋅= ，所以111()333AO AG AO AB AC AO AB AO AC ⋅=⋅+=⋅+⋅ 221166AB AC =+93615662=+=，即152AO AG ⋅= .故答案为:152．【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，考查三角形的重心和外心的向量表示，考查计算能力.7．6【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法来研究平面向量的数量积即可求解【详解】不妨以O 为原点，平行与AB 的直线为y 轴，AB 的垂直平分线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知圆的方程为：224x y +=，则可知))()1,,2cos ,2sin ABC θθ-，()()0,2,2cos 2sin 1AB AC θθ+==uu u r uuu r，()2sin 142sin 2AB AC θθ⋅==++uu u r uuu r，显然当sin 1θ=时，AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值是6故答案为：68．9【分析】BP 在BC 上的投影向量是BE，由向量数量积的几何意义，BP BC BE BC ⋅= ，求BE的最大值即可【详解】如图，过P 向BC 作垂线，垂足为E ，则BP 在BC 上的投影向量是BE，答案第5页，共5页BP 在BC上的投影向量BE 可能与BC 同向，也可能与BC 反向，在本题中BP 与BC 的夹角为锐角，所以是同向的，由向量数量积的几何意义，BP BC BE BC BE BC ⋅=⋅= ．由等边三角形ABC 边长为3，23AD AC = ，得2AD =，即半圆O 的直径为2，过点C 作直线BC 的垂线l ，AC 与直线l 的夹角为30o ，2OC =，则圆心O 到直线l 的距离为1，所以直线l 与圆O 相切，记切点为1P ，当点P 在半圆上运动到与1P 重合时，BE BC = ，BE 最大，BP BC ⋅ 取最大值，最大值为29BC = ．故答案为：9.。
平面向量数量积的最小值问题
平面向量数量积的最小值问题引言平面向量的数量积是向量运算中的一种重要形式之一，它可以用于表示向量之间的夹角以及判断向量的正交性。
对于给定的平面向量，我们感兴趣的问题之一就是如何求得它们数量积的最小值。
本文将介绍平面向量数量积的最小值问题，以及一些解决该问题的方法。
问题描述给定平面上的两个向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的数量积（也称为点积或内积）定义为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(\\theta) $$其中 $|\\vec{a}|$ 和 $|\\vec{b}|$ 分别表示向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的模长，$\\theta$ 表示 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 之间的夹角。
我们的目标是求解数量积的最小值。
方法一：代数法一种简单直接的方法是通过代数运算求解最小值。
设 $\\vec{a} =\\begin{bmatrix}a_x \\\\ a_y \\end{bmatrix}$ 和 $\\vec{b} = \\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$，则数量积可以表示为：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y $$为了求解最小值，可以利用数量积的几何意义，选择一个使得夹角$\\theta$ 最小的向量 $\\vec{b}$。
根据向量的乘积性质，当 $\\theta = 0$ 时，夹角最小，此时：$$ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cdot \\cos(0) =|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| $$为了使 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}$ 最小，我们只需找到一个使得$|\\vec{b}|$ 最小的向量，这个向量可以通过求解 $\\vec{b}=\\begin{bmatrix}b_x \\\\ b_y \\end{bmatrix}$ 的模长最小值问题来得到。
巧用向量方法解决最值问题
巧用向量方法求解决最值问题梁常东1蒋晓云2（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。
1 利用向量的数量积求最值设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m与的数量积为：()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅,cos ，从而有：n m n m⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）()22222222)( , b a by ax y x nn m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m与的数量积为：~cz by ax n m ++=⋅，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；()2222222222)(c b a cz by ax x y x nn m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。
在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设y x,∈R +,且102=+y x ,求函数22y x w +=的最小值。
解:设)2,1(),y (x,==n m,由定义有：5,,1022222=+==+=⋅n y x m y x n m从而 ()22222nn m m y x w ⋅≥=+==205102=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，22y x w +=取得最小值20。
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+ 证明：不妨设,AB a AD b ==，则C A a b =+ ，DB a b =- ()22222C 2AC A a ba ab b ==+=+⋅+ ①()222222DB DB a ba ab b==-=-⋅+ ②①②两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+ （2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a ba b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=- （M 为BD 的中点）AB CM 【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且2MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．02．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．4B ．56-C ．103-D ．–34．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅=（）A ．18B ．9C ．12D ．65．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．166．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．67．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．19．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B．56-C．34D．12二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，//AB DC，1AD BC==；2AB=，π3ABC∠=，E是BC的中点，则DB AE⋅=_________．11．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB为圆()22:11C x y-+=的直径，点P为直线20x y-+=上的任意一点，则PA PB⋅的最小值为______．12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则AB AF AC AE⋅+⋅的最大值为______．13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC中，E为边BC中点，若8BC=，ACE△的外接圆半径为3，则22AB AC+的最大值为________.14．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，3Aπ∠=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足BM CNBC CD=，则AM AN⋅的取值范围是______.15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O的直径AD上有两点B、C，且有2AB BC CD===，MN为圆O的一条弦，则BM CN⋅的范围是______.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC==∠=︒，动点E和F分别在线段BC和DC上，且1,6BE BC DFλλ==，则AE AF⋅的最大值为__________．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB==∠= ，E是BC的中点，点P满足2AP AE AD=-，则||PD=________；PE PD ⋅=__________．18．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅=______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅的最小值为______.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．参考答案【典型例题】题型一：定值问题例1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AD 上的两个三等分点，·4BA CA = ，·1BF CF =-，则·BE CE 的值是（）A ．4B ．8C ．78D ．34【答案】C【解析】因为D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，所以BF BD DF =+，CF CD DF BD DF =+=-+ ，3BA BD DA BD DF =+=+ ，3CA CD DA BD DF =+=-+，所以()()221BF CF BD DF BD DF DF BD ⋅=+⋅-+=-=- ，()()22·3394BD DF BD DF DF B A D BA C =+⋅-+=-= ，可得258DF = ，2138BD =，又因为2BE BD DE BD DF =+=+ ，2CE CD DE BD DF=+=-+所以()()225137224488·8BD DF BD DF DF BD BE CE =+⋅-+=-=⨯-= ，故选：C ．例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD的两个三等分点，若7BA CA ⋅= ，2BE CE ⋅= ，则BF CF ⋅=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则222211436=72244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，22221141223232269414FD BC BE CE BC AD BC AD AD BC -⋅=⋅--=-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== ，因此221,8FD BC == ，221144181.2244FD BC BF CF BC FD BC FD -⨯-⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.例3．（2023·全国·高一假期作业）如图，在平行四边形ABCD 中，1,2AB AD ==，点,,,E F G H分别是,,,AB BC CD AD 边上的中点，则EF FG GH HE ⋅+⋅=A ．32B ．32-C ．34D ．34-【答案】A【解析】取HF 中点O ，则222131(24EF FG EF EH EO OH ⋅=⋅=-=-=,222131()24GH HE GH GF GO OH ⋅=⋅=-=-= ，因此32EF FG GH HE ⋅+⋅= ，选A.题型二：范围与最值问题例4．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅-=-=- ，当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min12OP=，当P 与正方形ABCD的顶点重合时，max2OP=，即122OP ≤≤ ，因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=-∈⎢⎥⎣⎦ .故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例5．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，4=AD，AB =12BC =，则BE BF ⋅的取值范围为________________.【答案】[]99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，如图所示：则DG =8GC =，16CD ==，tanBCD ∠=60BCD ∠= .()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+--=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 60BP =⨯=所以()(2min999BE BF⋅=-=.当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+-⨯⨯⨯= ，当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112321231172BP =+-⨯⨯⨯= ，所以()max1579148BE BF ⋅=-= ，即BE BF ⋅ 的取值范围为[]99,148.故答案为：[]99,148例6．（2023·陕西榆林·三模（文））四边形ABCD 为菱形，30BAC ∠=︒，6AB =，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA PC ⋅的最小值为________.【答案】27-【解析】由题设，=AC AC 的中点O ，连接OA ，OC ，OP ，则PA PO OA =+ ，PC PO OC PO OA =+=- ，所以()()2222727PA PC PO OA PO OA PO OA PO ⋅=+⋅-=-=-≥- .故答案为：27-例7．（2023·重庆八中模拟预测）ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，PQ 为ABC 内切圆的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]1,4C ．[]0,9D ．[]1,9【答案】C【解析】由题可知，222AB BC AC +=，所以ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，设内切圆半径为r ，则()113434522ABC S r =⨯⨯=⨯++ ，解得1r =，设内切圆圆心为O ，因为PQ 是ABC 内切圆的一条直径，所以1OP = ，OQ OP =- ，则MP MO OP =+，MQ MO MO O OQ P =+=- ，所以()()2221MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ⋅=+-=-=- ，因为M 为ABC 边上的动点，所以min 1MO r ==；当M 与C 重合时，max MO 所以MP MQ ⋅的取值范围是[]0,9，故选：C题型三：求参问题以及其它问题例8．（2023春·江苏扬州·高一期末）在ABC 中，26AC BC ==，ACB ∠为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN =，若CM CN ⋅的最小值为3，则cos ACB ∠=_________．【答案】29-【解析】取线段MN 的中点P ，连接CP ，过C 作CO AB ⊥于O ，如图，112PM MN ==，依题意，()()2221CM CN CP PM CP PM CP PM CP ⋅=+⋅-=-=- ，因CM CN ⋅的最小值为3，则CP 的最小值为2，因此2CO =，在Rt AOC 中，1cos 3CO OCA CA ∠==，sin 3OCA ∠=在Rt BOC 中，2cos 3CO OCB CB ∠==，sin 3OCB ∠=，所以cos cos()cos cos sin sin ACB OCA OCB OCA OCB OCA OCB ∠=∠+∠=∠∠-∠∠29-=.例9．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，24AC BC ==，ACB ∠为钝角，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，若CM CN ⋅ 的最小值为34，则cos ACB ∠=__________．【答案】18-【解析】取MN 的中点P ，取PN PM =- ，12PN PM ==，()()()()214CM CN CP PM CP PN CP PM CP PM CP ⋅=+⋅+=+⋅-=- ，因为CM CN ⋅ 的最小值34，所以min 1CP =．作CH AB ⊥，垂足为H ，如图，则1CH =，又2BC =，所以30B ∠=︒，因为4AC =，所以由正弦定理得：1sin 4A =，cos 4A =，所以()1cos cos 150sin 22ACB A A A ∠=︒-=-+1124=+⨯=故答案为：18-.例10．（2023·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________.【答案】C 为顶角的等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D，如图所示：22111224PB PC PD BC PD BC PD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2200014P B P C P D BC ⋅-= ，00PB PC P B P C ⋅≥⋅ ，222201144PD BC P D BC-≥∴- 0PD P D ∴≥0P D AB ∴⊥，设O 为AB 的中点，001//,2P B OB P D OC OC AB AC BC ∴=⇒⇒⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：C 【同步练习】一、单选题1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA PB ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．0【答案】A【解析】由题意可得正方体外接球的直径AB =O 为正方体外接球的球心，则O 为AB 的中点，OA OB =-且OA OB =222()()()3P OA OP OB OP OA OB OA B A PB O OP OP OP OP =-⋅-=⋅-+⋅+=⋅=- ，由212OP ≥=，PA PB ⋅ 的最小值为2132-=-.故选︰A ．2．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的外接圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是（）A ．[]1,0-B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．[]1,1-【答案】A【解析】当弦MN 的长度最大时，弦MN 过正方形ABCD 的外接圆的圆心O ，因为正方形ABCD 的边长为2，所以圆O 如下图所示：则PM PO OM =+ ，PN PO ON PO OM =+=-，所以，()()22PM PN PO OM PO OM PO OM ⋅=+⋅-=- .因为点P 为正方形四条边上的动点，所以1PO ≤≤又OM = ，所以[]1,0PM PN ⋅∈-，故选：A.3．（2023春·四川广安·高三校考开学考试）如图，在边长为4的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A ．B ．56-C ．103-D ．–3【答案】C【解析】由已知，4BA = ，4BC =，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 14482=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+，()1136BE BD BA BC ==+，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE=- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+ ，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC =-+⋅-17516816363618310=-⨯+⨯-⨯=-.故选：C.4．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）如图，在ABC 中，26,3,,23AB AC BAC BD DC π==∠==，则AB AD ⋅= （）A ．18B ．9C ．12D ．6【答案】D【解析】2()2B D C BD BD C →→==-，即23BD BC →→=，22123333AD AB BD AB BC AB AC ABAB AC →→→→→→→→→→⎛⎫∴=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，2212122π663cos 6333333123AB AD A A B AB AB AC AB C →→→⎛⎫∴⋅=⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎭+⎝ .故选：D5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如ACD ）为等腰直角三角形，点O 为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点A ，B 所在位置如图所示，则AB AO ⋅的值为（）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】如图所示：连接OD ，因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得4ADO ODB π∠=∠=，||OD = ||4AD = ，2ADB π∠=则()()··AB AO AD DB AD DO =++ ，23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+24421422⎛=+⨯-+⨯= ⎝⎭.故选：C.6．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）如图，在四边形ABCD 中，4AC = ，12BA BC ⋅= ，E 为AC 中点.2BE ED =，求DA DC ⋅ 的值（）A ．0B ．12C ．2D ．6【答案】A【解析】4AC = ，E 为AC 中点，2AE CE ∴==，()()()()22BA BC BE EA BE EC BE EA BE EA BE EA ⋅=+⋅+=+⋅-=- 2412BE =-= ，4BE ∴= ，122DE BE ∴==，()()()()22DA DC DE EA DE EC DE EA DE EA DE EA ∴⋅=+⋅+=+⋅-=- 440=-=.故选：A.7．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）如图，在ABC 中，60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，M 是BC 边上的中点，P 是AM 上一点，且满足13BP BA mBC =+ ，则BP AM ⋅=（）．A ．43B ．13C ．13-D ．43-【答案】D【解析】因为P 是AM 上一点，故可设AP AM λ=，因为M 是BC 边上的中点，所以12BM BC =，所以12AM BM BA BC BA =-=- ，()11122BP BA AP BA AM BA BC BA BA BC λλλλλ=+=+=+-=-+ ，又13BP BA mBC =+ ，所以111,32m λλ-==，故13m =，所以()13BP BA BC =+ ，所以()()()221111132322BP AM BA BCBC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为60ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，所以43cos606BC BA ⋅=⨯⨯=，所以111416963223BP AM ⎛⎫⋅=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭ ，故选：D.8．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知ABC 是边长为1的正三角形，2BD DC =，AB +AC =2AE ，则AE AD ⋅=（）A ．34B ．32C ．38D ．1【答案】A【解析】由2AB +AC =AE，可知E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，如图所示：因为2BD DC =，根据上图可知16AD AE ED AE BC=+=+ 21364AE AD AE AE BC AE ⎛⎫⋅=⋅+==⎪⎝⎭故选：A9．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边ABC 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE EC ⋅=（）A．B ．56-C ．34D ．12【答案】B【解析】由已知，2BA =，2BC = ，60ABC ∠= ，所以cos BA BC BA BC ABC ⋅=⋅∠ 12222=⨯⨯=.由已知D 是AC 的中点，所以()12BD BA BC =+ ，()1136BE BD BA BC ==+ ，12BF BC = .所以FE BE BF =- ()1162BA BC BC =+-1163BA BC =- ，EC BC BE =- ()16BC BA BC =-+ 1566BA BC =-+，所以，11156366FE EC BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22175363618BA BA BC BC=-+⋅-17554243636186=-⨯+⨯-⨯=-.故选：B.二、填空题10．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD BC ==；2AB =，π3ABC ∠=，E 是BC 的中点，则DB AE ⋅= _________．【答案】94【解析】在梯形ABCD 中，依题意，12CD BA =，而E 是BC 的中点，则12DB DC CB BA BC =+=--，12AE BE BA BA BC =-=-+ ，又22AB BC ==，π3ABC ∠=，所以2211113)()2224(2D BA BC BA BC BA B B AE C BA BC ⋅=--⋅-+=-+⋅2113π9221cos 22434=⨯-+⨯⨯⨯=.故答案为：9411．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）已知AB 为圆()22:11C x y -+=的直径，点P 为直线20x y -+=上的任意一点，则PA PB ⋅的最小值为______．【答案】72【解析】圆心()1,0C ，半径为1，且点C 为线段AB 的中点，()()()()2221PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA PC CA PC ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，圆心C 到直线20x y -+=的距离为2d ==当PC 与直线20x y -+=垂直时，PC 取最小值，即21PA PB PC ⋅=- 取最小值，且()()22minmin7112PA PBPC d ⋅=-=-=.故答案为：72.12．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC 中，∠BAC =60°，点D 为边BC 的中点，E ，F 分别为BD ，DC 的中点，若AD =1，则AB AF AC AE ⋅+⋅的最大值为______．【答案】53【解析】设AC =b ，AB =c ，则1||||cos602bc AB AC AB AC ︒⋅=⨯= ，∵D 为边BC 的中点，∴()12AD AB AC =+ ，∴()222124AD AB AB AC AC =+⋅+ ，即：224b c bc ++=，①又∵222b c bc +≥，当且仅当b c =时取等号.②∴由①②得：43bc ≤.又∵E 、F 分别为BD 、DC 的中点，∴231)4(41AD AE AB AB AC +=+= ，231)4(41AD AF AC AC AB +=+= ，∴223131113()()4444442AB AF AC AC AB AB AC A C AE AB C AB AB A AC⋅+⋅=⋅++⋅+=++⋅22131145()11442233b c bc bc =++=+≤+⨯=，当且仅当b c =时取等号.∴AB AF AC AE ⋅+⋅ 的最大值为53.故答案为：53.13．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC 中，E 为边BC 中点，若8BC =，ACE △的外接圆半径为3，则22AB AC +的最大值为________.【答案】104【解析】如图所示：1()2AE AB AC =+ ，()222124AE AB AC AB AC =++⋅ ，()()22224242AB AC AE AB AC AE A B E E E A EC ++=-⋅=-⋅+ ()()()()22222222424AE AE AE A A EB EB E A B E E E E B =+----⋅==+ 因为8BC =，所以4EB =.因为ACE △的外接圆半径为3，所以6AE ≤，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.所以()()2222223616104A C EB B A AE +≤++== ，当且仅当AE 为圆直径时等号成立.故答案为：10414．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅ 的取值范围是______.【答案】[2,5]【解析】如图，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0)A B ，因为3A π∠=，1AD =，所以122D ⎛ ⎝⎭，522C ⎛ ⎝⎭，设,[0,1]BM CN BC CDλλ==∈，则52,222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以22532225(1)6224AM AN λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=--+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，因为[0,1]λ∈，所以2(1)6[2,5]λ-++∈，所以AM AN ⋅ 的取值范围为[2,5]，故答案为：[2,5]15．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）已知圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，MN 为圆O 的一条弦，则BM CN ⋅ 的范围是______.【答案】1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为圆O 的直径AD 上有两点B 、C ，且有2AB BC CD ===，则BC 的中点为圆心O ，故圆O 的半径为3，()()()()BM CN OM OB ON OC OM OB ON OB ⋅=-⋅-=-+ 1OM ON OB ON OB OM =⋅-⋅+⋅- ，由于()()22222OB ON OM OB OM ON OM ON OB ON OB OM +-=++-⋅-⋅+⋅ ()192OM ON OB ON OB OM =-⋅-⋅+⋅ ，且0OB ON OM OB NM +-=-≥ ，当且仅当OB NM = 时，等号成立，7OB ON OM OB NM OB NM +-=-≤+≤ ，当且仅当OB 、MN 方向相同且MN 为圆O 的直径时，两个等号同时成立，故[]0,7OB ON OM +-∈ ，则()[]1920,49OM ON OB ON OB OM -⋅-⋅+⋅∈ ，所以1915,2OM ON OB ON OB OM ⎡⎤⋅-⋅+⋅∈-⎢⎥⎣⎦ ，所以1716,2BM CN ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ .故答案为：1716,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2023秋·天津静海·高三静海一中校考期末）在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,6BE BC DF λλ== ，则AE AF ⋅ 的最大值为__________．【答案】3【解析】由题可得图形如下：由于12112AB AD ⋅=⨯⨯= ，21cos02AB DC ⋅=⨯⨯= ，111122AD BC ⋅=⨯⨯= ，111122BC DC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，因为1,6BE BC DF DC λλ== ，所以011116016λλλ<≤⎧⎪⇒≤≤⎨<≤⎪⎩，则()()()16AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λλ⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 11111112666262AB AD AB DC BC AD BC DC λλλλ⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅=+⨯++⨯- ⎪⎝⎭ 1111232λλ=++，1,16λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当且仅当132λλ=，即λ=时取等号，即取最小值，函数1111232y λλ=++在1,63λ⎡∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在λ⎤∈⎥⎝⎦上单调递增，当1λ=时，11111117123212324λλ++=++=；当16λ=时，1111112312321212λλ++=++=，所以AE AF ⋅ 的最大值为3.故答案为：3．17．（2023秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知平行四边形ABCD中，2,45AB DAB ==∠= ，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =- ，则||PD = ________；PE PD ⋅= __________．【答案】5【解析】由题意知245AB AD DAB ==∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB --⋅+=＝2242cos 454210-⨯+⨯= =，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭ ()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；518．（2023秋·天津南开·高三校考阶段练习）如图在ABC 中，90ABC ∠= ，8BC =，12AB =，F 为AB 中点，E 为CF 上一点.若3CE =，则EA EB ⋅= ______；若()01CE CF λλ=≤≤ ，则EA EB ⋅ 的最小值为______.【答案】1336-【解析】因为90ABC ∠= ，162BF AB ==，8BC =，则10CF ==，当3CE =时，7EF =，此时()()()()22227613EA EB EF FA EF FB EF FB EF FB EF FB ⋅=+⋅+=-⋅+=-=-= ；()1EF CF CE CF λ=-=- ，则()222213636EA EB EF FB CF λ⋅=-=--≥- ，当且仅当1λ=时，等号成立，故EA EB ⋅ 的最小值为36-.故答案为：13；36-.三、解答题19．（2023·高一单元测试）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，求BP CQ ⋅ 的最大值．【解析】由题意作出图形，如图，因为90BAC ∠= ，所以0AB AC ⋅= ，因为AP AQ =- ，BP AP AB =- ，CQ AQ AC =- ，所以()()BP CQ AP AB AQ AC ⋅=-⋅- ()()AQ AB AQ AC =--⋅- 2AQ AQ AC AB AQ AB AC=-+⋅-⋅+⋅ ()2a AQ AC AB AB AC =-+⋅-+⋅ 2a AQ BC=-+⋅ 212a PQ BC =-+⋅ 22cos ,a a PQ BC =-+ ，故当cos ,1PQ BC = ，即PQ 与BC 同向时，BP CQ ⋅ 取得最大值0．。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
解答向量数量积问题的几种方法
方法集锦向量的数量积问题的常见命题形式有：（1）根据向量及其夹角求两个向量的数量积或其范围；（2）由两个向量的数量积求向量或夹角.此类问题侧重于考查向量的数量积公式、向量的模的公式、向量的数乘运算法则的应用.下面结合几道例题介绍一下求解向量数量积问题的几种方法.一、定义法向量a 、b 的数量积为：a ∙b =|a |∙|b |cos θ，其中θ为向量a 、b 的夹角.根据向量数量积的定义可知，只需要知道两个向量的模的大小以及两个向量之间的夹角的余弦值，即可求得两个向量的数量积.在利用定义法求向量的数量积时，要注意两个向量之间的夹角θ为两个向量共起点时所形成的夹角.例1.如图1所示，在ΔABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上，且 AP =2 PM ，则 PA ∙( PB + PC )=______.解：∵M 是BC 的中点，AM =1，且 AP =2 PM ，∴ PB + PC =2 PM ，|| AP =23，∴|| PM =12||AP =13，∴ PA ∙( PB + PC )= PA ∙2 PM = PA ∙ AP =|| PA 2∙cos 180°=-49.解答本题，需根据题意和图形，通过向量运算求得 PB + PC ，将求 PA ∙( PB + PC )转化为求 PA ∙ AP .而PA 、 AP 的大小相等、方向相反，其夹角为180°，根据AM =1求得向量 AP 的模长，即可根据向量数量积的定义求得问题的答案.例2.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD =2DC ，则 AB · AD 的值为().A.1B.23C.43D.1+解：∵ΔABC 是边长为1的等边三角形，且BD =2DC ，∴ BD =23 BC ，∴ AB · AD = AB ·( AB + BD )= AB 2+23 AB · BC =1+23×1×1×æèöø-12=23，∴B 正确.通过向量运算，可将问题转化为 AB 2+23AB ·BC .而 AB 与 AB 之间的夹角为0，AB 与 BC 之间的夹角为60°，且||AB =|| BC =1，根据向量的数量积定义进行求解，即可快速解题.二、利用向量数量积的几何意义向量数量积的几何意义是：a 的模||a 与b 在a 方向上的投影|b|cos θ的乘积.当无法求出两个向量的夹角的余弦值时，就可以通过画图，确定一个向量在另一个向量方向上的投影，利用向量数量积的几何意义解题.例3.如图2所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，AP =3，试求 AP ∙ AC 的值.解：∵ AC =2 AO ，AP ⊥BD ，∴ AO 在 AP 方向上的投影为|| AP ，∴ AC 在AP 方向上的投影为2|| AP ，∴ AP ∙ AC =|| AP ∙2|| AP =18.我们利用向量数量积的几何意义，将求 AP ∙ AC 转化为求 AC 与 AC 在AP 方向上的投影的乘积.再根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，求得|| AP ，即可解题.例4.如图3所示，点P 是ΔABC 的外心，且|| AC =4,||AB =2，求 AP ∙( AC - AB )的值.解：延长AP ，交圆P 于点D ，连接BD ,CD ，由圆的性质可得ABCD 为正方形，∴AC ⊥CD ,AB ⊥BD ，∴ AP =12AD ，∴ AD 在 AC 方向上的投影为：|| AC ， AP 在 AC 方向上的投影为：12|| AC ，∴ AP ∙ AC =12|| AC ∙|| AC =8，同理可知： AP 在 AB 方向上的投影为：12|| AB ，∴ AP ∙ AB =12|| AB ∙|| AB =2，∴ AP ∙( AC - AB )=8-2=6.解答本题，需充分利用圆的性质：直径所对的圆周角为90°，添加辅助线，构造正方形，以利用正方形图1图2狄亚男图339方法集锦的性质确定 AD 在 AC 方向上的投影、AP 在 AC 方向上的投影、 AP 在AB 方向上的投影.再根据向量数量积的几何意义建立关系式，即可解题.三、坐标法坐标法是指通过向量的坐标运算来解题的方法.通常需先根据题意和几何图形建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标；然后通过坐标运算，求得向量的模、向量的数量积.一般地，若a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2)，则||a =x 12+y 12,a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),a ∙b=x 1x 2+y 1y 2.例5.已知ΔABC 是边长为1的等边三角形，点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点，连接DE ，并延长到点F ，使得DE =2EF ，则 AF ∙BC 的值为______.解：以等边三角形的一条边AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图4所示，可得A æèöø-12,0,B æèçø,C æèöø12,0,F æèçø12，所以 AF =æèçø， BC =æèçø12,.则 AF ∙BC =1×2æèçø=18.对于三角形问题，通常可以三角形的一条边为坐标轴，一个顶点或该边上的中点为原点，也可以三角形的一条边及其垂线为坐标轴，来建立平面直角坐标系，这样便于快速求得各个点的坐标.例6.在ΔABC 中，∠C =90°,CB =2,CA =4，P在边AC 的中线BD 上，求 CP ∙BP 的最小值.解：以点C 为坐标原点，建立如图5所示的平面直角坐标系.可得：A (0,4),B (2,0),C (0,0),D (0,2)，设点P 的坐标为(x ,y )，则 BP =(x -2,y ),BD =(-2,2)，设 BP =λ BD ，因为B ,D ,P 三点共线，所以x -2=-2λ,y =2λ，解得x =2-2λ,y =2λ，则点P 的坐标为(2-2λ,2λ)，所以 BP =(-2λ,2λ),CP =(2-2λ,2λ)，可得 CP ∙BP =4λ2-4λ+4λ2=8λ2-4λ，因为0≤λ≤1，所以当λ=14时， CP ∙ BP 的最小值为-12.我们根据∠C =90°，即AC ⊥CB ，以AC 、BC 为坐标轴，C 为原点建立平面直角坐标系.然后求得各个点的坐标，并设出P 点的坐标，即可通过向量的坐标运算求得 CP ∙BP 的表达式，从而求得其最值.四、基底法由平面向量的基本定理可知，平面内任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示出来.若不易求出要求的两个向量，则可选取一组合适的基底，将要求的两个向量用这组基底表示出来，求得这组基底的模长、夹角，即可根据向量的数量积定义求得问题的答案.例7.如图6所示，在ΔABC 中，∠A =60°,AB =3,AC =2,D 是AC 的中点，点E 在AB 边上，且AE =12EB ，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则 AM ∙AN =______.解：由题意可知，E ，M ，C 三点共线，设 AM =λ AE +μ AC ，其中λ+μ=1.因为 AE =13 AB ， AM =λ3AB +μ AC ，同理可得B ,M ,D 三点共线， AM =m AB +nAD ，可得：m +n =1，因为 AD =12 AC ，所以 AM =m AB +n 2AC ，可得λ3=m ,μ=n2，所以 AM =15 AB +25 AC ，则 AN =12 AB +12AC ，所以 AM ∙ AN =æèöø15AB +25 AC ∙æèöø12 AB +12 AC =135.以 AB , AC 为基底，将 AM 、 AN 用这两个基底表示出来，根据向量的共线定理和基本定理求得15AB +25AC 、12 AB +12AC，即可解题.相比较而言，定义法、基底法、坐标法的适用范围较广，但利用向量数量积的几何意义求解，能使解题过程中的运算量大大减少.同学们需熟练掌握这四种技巧，并在解题时选用合适的技巧，这样才能有效地提升解答向量数量积问题的效率.（作者单位：江苏省南通市如皋市第二中学）图6图4图540。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
2020年高考数学专题复习平面向量的数量积及应用举例
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0C ．32D ．3解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝4，a 在b 方向上的投影是12，则a ·b＝________.解析：a 在b 方向上的投影是12，设θ为a 与b 的夹角，则|a |·cos θ＝12，a ·b ＝|a|·|b |·cos θ＝2.答案：2(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析：法一：(|a ＋b |＋|a －b |)2＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋2|a ＋b |·|a －b |＝2a 2＋2b 2＋2|a＋b |·|a －b |＝10＋2|a ＋b |·|a －b |，而|a ＋b |·|a －b |≥|(a ＋b )·(a －b )|＝|a 2－b 2|＝3，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2≥16，即|a ＋b |＋|a －b |≥4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.答案：4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1) 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________.解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD→|·|AE →|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3 解析：选D.设|CB →|＝x ，则|CA →|＝3|CB →|＝3x ，由于A ，B ，C 三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >23x ＋2>x x ＋2>3x，解得12<x <1，由余弦定理的推论得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝x 2＋9x 2－46x 2＝10x 2－46x2， 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝3x 2×10x 2－46x2＝5x 2－2， 由12<x <1得，－34<5x 2－2<3， 故选D.2.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.主要命题角度有：(1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 所以|a ＋b |2＝|a －b |2，两边平方 可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， 化简可得a ·b ＝0，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则可得cos θ＝（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b|a ＋b ||a |＝|a |22|a |2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3【解析】 法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?【解】 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. 所以k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】 因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0，即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．1．(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．解析：设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A ．54B ．154C ．174D ．174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.(2)|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4，(|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1，0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cosθ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：72．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． [基础达标]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0B ． 2C ．2D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a ·b <0则x >0，y >0B ．若a ·b <0则x <0，y <0C ．若a ·b >0则x <0，y <0D ．若a ·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a ·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ， DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝ACAD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|· cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[能力提升]1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12. 答案：①－1 ②5π124．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →|＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23， 当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →， 可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6， 则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32， 由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°.答案：2 3 30°5．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332， 设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
向量数量积最值问题相关解题策略
数理化解题研究2021年第07期总第500期向量数量积最值问题相关解题策略贾磊(山东省新泰市新汶中学271219)摘 要：向量数量积同时具有几何和代数的意义，因此平面向量是高中数学中重要的知识交汇部分，也是高考中较为热门的考点之一.本文以向量数量积求最值问题为例，从分解向量、向量几何化以及向量坐标化三 方面，根据不同的问题情况进行分析，旨在提高学生的解题效率和能力.关键词：向量数量积；解题思路；方法探究中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0024 -02—、向量数量积分解法向量数量积分解法具体是指利用向量的矢量性把单 一的向量拆分为不同向量之和，进而求解得到问题答案 的方法•分解法运用在求数量积最值问题中，可采取把动态变量分解为静态向量的思路，使问题转化为具体的不等向量运算关系式，使学生更快捷地解答有关问题.例1如图1所示,已知圆M : (%-3)2 + (y -3)2 —4,四边形 4B- CD 为圆M 的内接正方形,点E 是边4B 的中点，当正方形在圆内运动时，边长4D 上的一点F 也在运 动，求m E ・0F 的最大值 .思考用数量积分解化求解图.图1该问题,首先要确定ME 和0F 向量分解的基础方向，找到模确定的基础向量0M 和MD ,再对问题所求ME ・乔进行分解，展开得到以而和MD 为基础的解析 式后，找出满足最大值关系的情况即可求得最大值.解析 由题意可得，圆内接正方形边长为22,0M —3 2 ,DM — 2.所以M -・ 0- — M -・(0- + MD + DF ) — ME ・ 0- + M -・ M - + M -・ D -.因为ME ・MD 长度为定值，且D - < —,所以 ME ・ 0- + M -・ DF - 2 W M -・ 0- +M -・ D - -2 — M -・ 0- + 2.因为M -与0-的夹角范围在［0,n ］中,所以ME ・0-+ 2W ME ・0- +2—8.故M -・0-的最大值为8.二、向量数量积几何法向量数量积几何法实际上是运用向量的几何意义进行求解，是把数量积转化为具体几何图形，根据特殊的几何状态求解得到相关最值的方法.向量数量积几何法可 以运用在大多数向量求最值问题上，因此要熟练掌握该 方法的具体运用.例2已知点Q 是圆%2 + y 2 —1上的动点，如图2,点 P 是直线Z ：y 二％ +3厲上的一点，点0为坐标原点，则 PQ ・而的最小值为____.思考由于问题属于双变量 问题,可以考虑在几何图形上求解PQ ・p 0的最值•问题中点Q 、P 均 在运动且独立，首先固定点P 进 行分析，即P -确定，易知PQ ・P0最小值情况属于P 、0、Q 三点共 线,随后移动点P ,可知-最小值位于0P 垂直直线/状态，由此可以得到问题所求最小值.解析 假设点P 为定点，则P 、0、Q 三点共线时使得 PQ ・P -有最小值，即点Q 与点E 重合时，PQ ・P0 W0P ・P - — 0P ・(0- -1).当点P 运动，0P 与 直线/垂直时,0P 绝对值最小，即PQ ・P - W 0- 2 -0P —32 -3 —6.所以p Q ・p 0的最小值为6.三、向量数量积坐标法向量数量积坐标法相较于其他两种方法而言,更加直观简洁•求解平面向量数量积最值问题时,主要通过坐 标系的建立以及坐标的表示和运算对最值问题进行解 答•坐标法因为快捷往往受到学生的“偏爱”,但值得注意的是，坐标系的选取和坐标的表示对解题有着关键作用,应该慎重考虑.例3单位圆上有4、B 两点满足Z 40B — 120°,点C 是 圆上的动点,-—% - + y -,求% -2y 的最大值和最小值收稿日期：2020 -12 -05作者简介：贾磊(1981. 2 -)，男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—24—2021年第07期总第500期数理化解题研究思考运用几何或者分解方法求解问题都显得过于繁琐，可以尝试用坐标方法对问题进行简化•首先根据单 位圆和其他各点之间的位置关系,对A 、B 、0三点进行坐 标表示，其次用坐标表示和运算页、丽，由于点C 在单位 圆上，根据单位圆的参'数方程为sin 2 0 + cos 2 0 - 1可得0C 的具体坐标，即把问题转化为有关三角函数 最值的求解问题•解析如图3所示,建立直角坐标系%0y.由题意可得A (1,0)、B [ -),则况-% 01 + yO B -图 3%(1，0)+{-十書卜[-*y +% 厚y)因为点C 是单位圆上一动点，所以点C 用圆的参数 方程可以表示为(cos 0,sin 0),则0C - (cos 0,sin 0).所以(cos 0,sin 0)-1-2 y + %fy [，即 v % - cos 0 + 晋sin 0y - 233 sin 0.-2cos [ 0 + n因为0+:E「n 4n "I所以% -2y e [ -2,2 ],即% -2y 的最大值是2,最小 值是- 2.总之,坐标法、分解法和几何法都是求解向量数量积 最值问题的常见解法，其中每种解法对应的解题思路都各不相同,具有各自的特点和解题时需要注意的地方•针 对这些解题方法的应用,学生应该多思考、多练习、多 总结.参考文献：[1 ]郑文龙.解决平面向量数量积最值问题的三种策 略[J ].高中数学教与学,2017 (24) ：45 -47.[2 ]刘刚.破解圆中数量积最值问题的策略[J ].数理天地,2018(11) ：7 -9.[责任编辑:李璟]求圆锥曲线最值问题的三种思路张彩玲(安徽省砀山中学235300)摘 要：关于圆锥曲线的最值问题，它所涉及的内容十分广泛，结合了三角、几何以及代数等知识，所需要掌握的解题技巧也非常多，在每年的高考中都会有所体现.考查学生对知识的掌握程度以及运用知识的思维能力、分析解决问题的能力.本文利用三角函数的有界性、圆锥曲线的定义和二次函数三种方法对圆锥曲线最 值问题进行分析•关键词：圆锥曲线；最值;有界性；导数法;基本不等式中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0025 -02一、利用三角函数的有界性三角函数的有界性是当% e R ,那么Isin % ^1,1 cos %W1,这就是三角函数的有界性,也是三角函数的重要性质之一，在求解圆锥曲线问题时,利用三角函数的有界性，通常能帮助我们将复杂问题简单化.例1已知圆的方程为%2 + y 2 -4% -10y +25 -0,该 圆与直线I 相切，又与直线% -2,y -5构成面积最小的三角形,求直线I 的方程.分析 将圆的方程转化为标准方程的形式：(%-2)2+ (y -5)2-4,先分别设出%'、y '的直线方程’得到新坐标系下圆的方程，再通过题目已知得到新坐标的原点为(0, 0).将切点设为(2cos 0,2sin 0),这样就可以得到切线方 程，根据题目最小三角形面积得到S -令,最后通过三角函数的有界性可知0 -：时，三角形面积最小,最后就收稿日期：2020 -12 -05作者简介：张彩玲(1979. 1 -)，女，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—25—。
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
平面向量数量积运算的解题方法与策略
4 4
a+a
b
例5设向量2te^ +7e2与向量e^ +te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
•-►■-*■Q
解析：
解之
2
J
另有
二tJ—7,-
平面向量数量积运算的解题方法与策略
平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法
上尤为有突出的表现，而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量，因此要注意数量积运算和实数运算律的差异，本文仅举数
例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。
①
u (3 x+4y)2+(4 x+3y)
整理得：25x2+48xy+25y2=1即x(25x+24y)+24xy+25y2=1
③
由①②有24xy+25y2=1
5
将①变形代入③可得：y=±亍
再代回①得:
I"
I
L
24
35
5
2
=1
②
2.利用定义直接求解.
.....一4 4
例4若向量a,b满足a = b
a,b的夹角为45°,则a 1+a b=
+ 2 a • b+ b =2+2X
I a— b | .
(—3 )+52= 23
•| a+ b|=J23,T(| a- b |)
2,I、22c
=(a—b)= a—2a •
2 2
b+ b = 2—2X(—3)
2
X5= 35,
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题(三大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
．
4
9
）
= 7，
2
1
16 2 − 2
4
= 2，
2
− 3 ⋅ − 2 − 3
2
=
⋅ =
1
2
4 2 − 2
4
4×1−8
4
=
故选：B．
1
− ⋅ − 2 − =
= −1.
典型例题
题型一：定值问题
【变式1-1】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）如图，在平行四边形 中， = 1, = 2，点
, , , 分别是 , , , 边上的中点，则 ⋅ + ⋅ = （
3
3
A． 2
3
B．− 2
C． 4
【答案】A
【解析】取HF中点O，
则 ⋅ = ⋅ = 2 − 2
1
= 1 − ( 2) 2 =
3
4
，
⋅ = ⋅
重难点专题03
妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
03
题型归纳
方法技巧
典型例题
01
题型归纳
题型归纳
02
方法技巧
方法技巧
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
| + | + | − | = (|| + || )
证明：不妨设 = , = ，则 = + ， = −
【答案】 2−2
10
2 2
，
3
9
平面向量中最值、范围问题
平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】2795⎡-⎢⎣⎭【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622a c bb ac +-=≤=,从而02b <≤,所以()()22222263cos 32722b b ac bBA BC ac B b --+-⋅====-++,又()()2222,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,3532b -<≤,故27952BA BC -≤⋅<. (二) 平面向量模的取值范围问题设(,)a x y =,则222a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且()()222221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________． 【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则()12OD OA OB =+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()()222221214a b λμ-+-=可得222211122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222211122DC a b λμ⎛⎫⎛⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则121222221122cos a b a bx y x y θ⋅==⋅+⋅+．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θθcos 45cos 210++=t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】()'2fx x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以240a a b ∆=-⋅>,即24cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3AB AC BAC π==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213||122AB AC AB =⋅-=--=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设()2cos ,sin ,0,3P πθθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭.所以3cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323cos sin ,sin x y θθθ=+=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363xy πθθθθθ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,,2,3666ππππθθ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1；当266ππθ-=-或7266ππθ-=即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()14BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________． 【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得2225371cos 2532B +-==-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫⋅=⋅+ ⎪⎝⎭212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())3,1,3,1A B ---,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则()()3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()39345,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】()()22222244cos1202413a xb a xbx x x x x -=-=+-︒=++=++ ∴ 2a xb-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则()·OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时1MP BP +=,则： 2124MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭, 当且仅当12MP BP ==时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】试题分析：22216MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而222[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】6π9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.【答案】321【解析】试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 222-===γβαr r r .由题设可知0120===γβα,且2282=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案1.10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．【答案】94【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )41(4212-=-=⇒+==⇒+=AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x yx y x xMN ME 44114141// 49)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则mn 的最大值为 ．【答案】9【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以292()m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化,则实数a 的取值范围是 ． 33a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故)1(21cos 2a a ++=θ,注意到]12,0[πθ∈,故]1,426[cos +∈θ,即]1,426[)1(212+∈++a a ,解之得333a ≤≤；应填答案333a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则λμ+的最大值为__________．【答案】923+ 【解析】以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以()()cos 2,32,3sin ααλμλ-+=--3122{{3313122cos sin cos λαλμαλαμαα=+--=-⇒==-+,)13333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2atb a tb t R -+-∈的最小值是__________．【答案】7 【解析】向量,a b 夹角为,23b π=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得()222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即()0a a b ⋅-=,则()a b a -⊥,由向量,a b 夹角为,23b π=,由2cos3a ab a b π=⋅=⋅⋅,即有1a =,则2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()1,0,1,3a b ∴=-=- ()()22132a tb a tb t t∴-+-=-+()2222113421424t tt t t t ⎛⎫-+=-++-+= ⎪⎝⎭2222131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2211337224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故答7. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足BM CN BCCD=,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,因为BM CN BCCD=,所以33x b -=,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫⎪⎝⎭,故()8=1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以81193x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 . 【答案】32【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==,由余弦定理得：2232cos 23a b ab ab ab ab π=+-≥-=,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ．【答案】94-【解析】令()f λ＝22222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝216λ＋24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝2116[(22cos )()2A λ--＋1cos]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。
求解平面向量最值问题的几个途径
思路探寻平面向量最值问题通常要求根据给出的条件，求向量的模的最小值、数量积的最大值、夹角的最值等.解答此类问题，需要根据已知条件和向量知识，求得目标式，然后把问题转化为函数问题、几何最值问题.与此同时，由于平面向量具有“数”与“形”的双重身份，所以在解题时要灵活运用数形结合思想.那么求解这类问题有哪些途径呢？下面举例说明.一、根据三角函数的有界性对于一些与向量的数量积、夹角、模有关的最值问题，通常可根据向量的数量积公式，通过向量运算求得目标式.此时目标式为关于某个夹角的三角函数式，那么就可以将问题看作三角函数最值问题.通过三角恒等变换化简目标式，便可利用三角函数的有界性求得最值.在利用三角函数的有界性求最值时，要明确夹角的取值范围，熟悉并灵活运用正弦、余弦、正切函数的单调性和有界性.例1.如图1，若△ABC 中，AB =2，∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则 OC ∙ AB + CA ∙CB 的最大值为______.解：因为∠ACB =π4，O 是△ABC 外接圆的圆心，则∠AOB =2∠ACB =π2，又因为AB =2，所以OA =OB =2，即外接圆的半径r =2.则 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC ∙() OB - OA +()OA - OC ∙()OB - OC= OC ∙ OB - OC ∙ OA + OA ∙ OB - OA ∙ OC - OC ∙ OB + OC 2= OA ∙ OB + OC 2-2 OA ∙ OC ,因为∠AOB =π2，OA ⊥OB ，即 OA ∙ OB =0.故 OC ∙ AB + CA ∙ CB = OC 2-2 OA ∙ OC =|| OC 2-2|| OA ∙||OC cos ∠AOC =2-4cos ∠AOC ，因为A 与C 不重合，所以 OA 与OC 的夹角的范围为(]0,π，故-1≤cos ∠AOC <1，所以当cos ∠AOC =-1，即当O 为AC 的中点时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值2-4×()-1=6.首先根据三角形和圆的性质、向量的数量积公式求得目标式，将所求目标转化为有关∠AOC 的三角函数式；然后确定∠AOC 的取值范围，即可根据余弦函数的有界性确定目标式的最值.图1图2二、利用平面几何图形的性质对于与图形有关的平面向量问题，通常可先根据向量的几何意义画出几何图形，并确定向量所表示的点的轨迹；然后分析图形中点、线、图形之间的位置关系，利用平面几何图形的性质求最值.例2.在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，2 BE =EC ，P 是平面ABCD 内的动点，且 AP ∙ AB =AP 2.若0<t <1，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 的最小值为______.解：由 AP ∙ AB = AP 2知： AP ∙( AB - AP )= AP ∙ PB =0,即 AP ⊥ PB ，所以P 在以AB 为直径的圆上，F 为圆心，于是以B 为原点，以BC 、BA 分别为x 、y 轴建立如图2所示的平面直角坐标系，所以A (0,2),D (3,2),E (1,0),F (0,1)，若P (x ,y )，则x 2+(y -1)2=1，则 BE =(1,0), DE =(-2,-2),PE =(1-x ,-y )，所以 BE +tDE =(1-2t ,-2t )， PE +(t -1)DE =(3-x -2t ,2-y -2t )，则|| BE +t DE +|| PE +(t -1)DE 可看作点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和，又(3-2t ,2-2t )在直线x -y -1=0上，1<x <3，由图2可知G (2,2)关于DE 对称点为G ′(3,1)，故(|PH |+|GH |)min =|FG ′|-1=2，此时x =2,y =1,t =12.我们先根据矩形的特征建立平面直角坐标系；然后设P 点的坐标，求得各个向量的坐标以及 BE +tDE 、 PE +(t -1)DE 的表达式，即可根据其几何意义，将求||BE +t DE +|| PE +(t -1) DE 的最小值转化为求点H (3-2t ,2-2t )到G (2,2)、P (x ,y )的距离之和的最小值；最后根据矩形和圆的对称性，确定H 的位置，即可求得最小值.47思路探寻例3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足||||a -b =2，且(c -a )∙(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈éëùûπ6,π3，则||c 的最大值是______.解：根据题意，作出如图3所示的图形.令a =OA,b = OB,c = OC，可得：||AB=2，且∠ACB=90°，取AB中点为M，则||CM=12||AB=1，则点C在以AB为直径的圆M上运动.由图可知，当O,M,C三点共线时，|| OC取得最大值，即|| OCmax=|| OM+1；不妨设三角形OAB的外接圆圆心为G，则GM⊥AB，在三角形OAB中，由正弦定理可得：2||OG=ABsinθ，即||OG=1sinθ,θ∈éëùûπ6,π3，故当θ=π6时，||OG max=2，||GM max=||OG2max-1=3；当O,M,G三点共线时，|| OM取得最大值，此时|| OMmax=||OG max+||GM max=2+3.故当θ=π6，且O,M,G,C四点共线时,|| OC max=3+3.根据题意和向量的几何意义作出几何图形，便可根据平面向量的基本定理以及正弦定理，确定||c 取得最大值的情形：O,M,G,C四点共线，即可利用数形结合思想求得最值.图3图4三、利用二次函数的性质在求解向量的最值问题时，可根据题意选取合适的基底，将目标式用基底表示出来，建立关于参数的关系式；也可根据题意建立适当的直角坐标系，通过平面向量的坐标运算，求得各点的坐标、向量的坐标以及目标式.最后将问题转化为函数最值问题，利用二次函数的性质来求最值.例4.已知在菱形ABCD中，AB=6,∠BAD=60°，CE=2EB，CF=2FD，点M在线段EF上，且AM=xAB+12 AD.若点N为线段BD上一个动点，则 AN∙ MN的最小值为______.解：因为CE=2EB，CF=2FD，所以BE=13 BC， DF=13 DC，所以AE=AB+BE=AB+13 AD，AF=AD+DF=13 AB+ AD，因为点M在线段EF上，可设AM=λAE+(1-λ)AF=λ(AB+13 AD)+(1-λ)·(13 AB+ AD)=(13+23λ) AB+(1-23λ) AD，而AM=xAB+12 AD，所以ìíîïïx=13+23λ,1-23λ=12,解得λ=34，x=56，所以 AM=56 AB+12 AD，则|| AM2=æèöø56 AB+12 AD2=2536 AB2+56 AB∙ AD+14 AD2=49，所以|| AM=7，因为点N为线段BD上一个动点，可设AN=μAB+(1-μ)AD，μ∈[]0,1，所以MN=AN-AM=μAB+(1-μ)AD-(56 AB+12 AD)=(μ-56) AB+(12-μ) AD，所以AN∙MN=[μAB+(1-μ)AD]∙[(μ-56) AB+(12-μ)AD]=μ(μ-56) AB2+(-2μ2+73μ-56) AB∙ AD+(1-μ)(12-μ) AD2=36μ2-42μ+3=36æèöøμ-7122-374≥-374，则当μ=712时， AN∙ MN的最小值为-374．由于∠BAD=60∘，AB=6，所以以向量AB,AD为基底，根据平面向量的线性运算法则和数量积公式，求AN∙MN的表达式，最终将问题转化为二次函数的最值问题.通过配方，根据二次函数的单调性即可求得目标式的最值.由此可见，求解平面向量最值问题，关键是运用转化思想和数形结合思想，通过平面直角坐标系、平面向量的坐标运算法则、平面向量基本定理、向量的几何意义，根据目标式的结构特征，将原问题转化为三角函数、平面几何、二次函数最值问题.（作者单位：甘肃省康乐县第一中学）48。
专题 平面向量数量积的最值的求法
好题集锦之平面向量系列题五——与向量数量积有关的最值问题如何解读平面向量的数量积？我觉得应该从四个方面入手：1. 定义，侧重于模长和夹角；2. 几何意义，侧重于从图形入手体现几何意义；3. 坐标，依附于坐标系建立等量关系；4.极化恒等式，通过极化恒等式将数量积等价转化。
方法一 几何处理【例1】（2020新高考Ⅰ卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AB AP ⋅的取值范围是( ) A.(2,6)- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)-【答案】A【解析】因为PAB AB AP AB AP ∠=⋅cos ||||其中PAB AP ∠cos ||表示AP 在AP 方向上的投影结合图形可知，当P 与C 重合时投影最大，当P 与F 重合时投影最小. 又有2,8-=⋅=⋅AB AF AB AC ，，故当点P 在正六边形ABCDEF 内部运动时，)6,2(-∈⋅AB AP ，故选A.【题后反思】该题中涉及的图形是正六边形，属于规则图形，可以通过建立直角坐标系求数量积的范围。
方法二 基底处理/坐标处理【例2】如图，在直角梯形ABCD 中，//BC AD ，90BAD ∠=︒，4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，AC 与BE 交于点F G ,是DF (包含D F ,两端点)上任意一点，则CG DG ⋅的最小值是( )A.165-B.125-C.85- D.45- 【答案】C【解析】（基底法）以AD AB ,为基底，设)10(≤≤=λλDF DG ，连接CE .因为4AD =，2AB BC E ==，是AD 的中点，//BC AD ，90BAD ∠=︒，所以四边形ABCE 是边长为2的正方形所以12AF AC =. 因为AD AB BC AB AD AF DA DF 4321)(21-=++-=+= 所以AD AB DG 432λλ-=， AD AB AD AB DG DG CD CG )4321()12(21λλ-+-=+-=+= 所以58)52(1016)4321(434)12(212--=⨯--⨯-=⋅λλλλλCG DG 因为01λ≤≤，所以当且仅当25λ=时，CG DG ⋅取得最小值，为85- （坐标法）以A 为坐标原点，AD ，AB 为x ，y 轴建立坐标系则])1,0[)(1,13(),2,2(),0,4(∈+-+λλλG C D 所以]1,0[,212102∈+-=⋅λλλCG DG 当且仅当53=λ时，58)(min -=⋅CG DG 【题后反思】在解题时，坐标系比较容易建立，基底也好选择，但是大家可以尝试利用数量积的几何意义解题，即向量CG 在向量DG 上的投影与DG 的模的乘积来分析最值。
向量中最值问题方法
向量中最值问题方法宝子们，今天咱们来唠唠向量中的最值问题咋解决哈。
一、利用向量的模长公式。
向量的模长公式是解决最值问题的一个好帮手呢。
比如说给你一个向量→a=(x,y)，那它的模长→a=√(x^2)+y^{2}。
要是遇到求向量模长的最值，就可以根据这个公式来转化问题。
像那种已知向量的坐标是关于某个变量的表达式，就把模长公式套进去，然后就变成了求一个函数的最值问题啦。
就好像是把向量的问题，披上了函数的外衣，然后咱就可以用函数求最值的方法，像求二次函数最值的配方法之类的来搞定。
二、利用向量的数量积。
向量的数量积也超级有用哦。
如果有两个向量→a和→b，它们的数量积→a·→b=→a→bcosθ（这里的θ是两个向量的夹角）。
有时候会遇到那种已知向量之间的夹角范围，让求数量积的最值的情况。
这时候呢，咱们就可以根据这个公式来分析。
如果夹角θ是固定的，那数量积就和两个向量的模长有关啦。
要是模长又可以用前面说的模长公式表示成关于某个变量的式子，那又能转化成函数问题喽。
而且哦，如果是求→a+→b这种向量和的模长的最值，咱们可以先把→a+→b^2=(→a+→b)^2=→a^2+2→a·→b+→b^2，通过这个式子先求→a+→b^2的最值，再开方得到→a+→b的最值，是不是很巧妙呀。
三、建立坐标系。
当题目中的向量关系比较复杂的时候，咱们可以建立坐标系呀。
把向量用坐标表示出来，这样就可以把向量问题转化为坐标运算的问题。
比如说有个三角形，已知各边向量之间的关系，咱们就可以把三角形放在坐标系里，让一个顶点在原点，一条边在坐标轴上，这样向量的坐标就比较好表示了。
然后再根据前面说的模长公式和数量积公式来求最值，就会清晰很多呢。
向量中的最值问题虽然有点小麻烦，但只要掌握了这些方法，就像找到了打开宝藏的钥匙一样，宝子们加油呀！。
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)
专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。
【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
简析数量积问题的几种处理方法
简析数量积问题的几种处理方法作者：林豪
来源：《科学导报·学术》2020年第34期
向量是既有大小又有方向的量，向量的数量积完美地把这两个要素融合在一起，因此数量积是高考重点考查的知识点。
本文将从定义、坐标法、几何意義、极化恒等式等四个方面来突破数量积问题的难关。
小结：利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。
总结：在求向量的数量积时，要观察什么题适用什么方法，找到了适合的方法就能事半功倍。