2011-2012(1)概率统计试题(B)解答

概率论与数理统计参考解答

一．选择题 (本大题满分15分, 每小题3分) 1．一射手向目标射击3 次，i A 表示第i 次射击中击中目标这一事件)3,2,1(=i ，则3次射击中至少1次击中目标的事件为( A )：

321321321321)(;)(;)(;)(A A A D A A A C A A A B A A A A ⋃⋃⋃⋃

2．已知3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，A 与B 相互独立，则=⋃)(B A P （B ）. （A ）0.35 （B ）0.65 （C ）0.80 （D ）0.85 3．下列给出的数列中，可用来描述某一随机变量分布律的是（A ）.

（A ）15i p i =，5,4,3,2,1=i （B ）6

)5(2i p i -=，3,2,1,0=i （C ）41=i p ，5,4,3,2,1=i （D ）25

1+=i p i ，5,4,3,2,1=i 4．若随机变量ξ的期望E ξ存在，则E[E(E ξ)]=（ C ）.

（A ）0 （B ）ξ （C ）E ξ （D ）(E ξ)2

5．设两个独立随机变量X 与Y 的方差分别为4与2，则随机变量 Y X -3的方差为（ D ）.

（A ）10 （B ）14 （C ）34 （D ）38

二．填空题(本大题满分15分, 每小题3分)

1. 将4个球随机地放入4个盒子中（每个盒子中装多少个球不限），则每盒中各有一球的事件的概率等于_____3/32_______.

2.设X 服从参数为λ的泊松分布, 则{1}P X ==___1e λ-____.

3. 袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E

4.5 。

4.设()1E X =, ()3E Y =, 则(325)E X Y +-=____4______.

5.每次试验中A 出现的概率为p , 在三次试验中A 出现至少一次的概率是6364

, 则p =___3/4____.

三．(本题满分15分)

袋中有红球6个, 白球4个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽样. 设

事件A 表示 “第一次取的是红球”, 事件B 表示 “第二次取的是白球”, 用B A ,表示下列事件, 并求其概率:

1) 两个都是红球;

2) 两球中，白球和红球各有一个;

3) 第二次取的是红球.

解：1) 262101()3

C P AB C == ...(5分) 2) 11462108()15

C C P AB C == ...(10分) 3）1124662103()5

A A A P

B A +== ...(15分)

四．(本题满分7分)

某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T ，各电梯正在运行的概率均为0.8，求：

(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率；

(2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率.

解： (1) 096.02.08.032=⨯⨯=P ...(3分)

(2) 992.02.013=-=P ...(7分)

五．(本题满分8分)

某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％，50％，每个车间的次品率分别为6％,3％，2％. 现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次品的概率.

解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为次品”，则

123()25%,()25%,()50%P A P A P A ===

123(|)6%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A === ...(3分)

由全概率公式，所求概率为

3

1()()(|)i i i P B P A P B A ==∑

25%6%25%3%50%2%=⨯+⨯+⨯ 3.06%= ...(8分)

六．(本题满分8分)

设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量X Y sin =的概率密

度()Y f y ．

解：当01y <<时，

(){}{}Y F y P Y y P sinX y =≤=≤

{0arcsin }{arcsin }P X y P y X ππ=≤≤+-≤≤

arcsin 0arcsin 1

1

y

y dx dx ππππ-=+⎰⎰ arcsin 0arcsin 112

y y dx dx acrsiny π

ππππ-=+=⎰⎰ ...(4分)

当0y ≤时，(){}0Y F y P sinX y =≤=；

当1y ≥时，(){}1Y F y P sinX y =≤= ...(6分)

于是，,01;()0,Y x f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩

其它. ...(8分)

七．(本题满分10分)

设随机变量X 具有分布函数

⎪⎩

⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(3x x x x x F

求: (1))2

11(≤<-X P ；(2)X 的概率密度函数)(x f ；(3) 数学期望)(X E . 解：(1) )211(≤<-X P 8

1)1()21(=--=F F ...(3分) (2) ⎩

⎨⎧<<=其它,010,3)(2x x x f ...(6分) (3) )(X E 4

33)(103===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf ...(10分)

八．(本题满分10分)

在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险. 在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元. 试用中心极限定理求保险公司亏本的概率.

解：设1年内的死亡人数为X ，则

),(~p n B X ，3000=n ，001.0=p ...(2分)