河海大学《大学物理》第20章 光的衍射2
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第k级明纹来说，衍射角 适合下式
k sin k 1
a
a
k k 1
a
a
第k级明纹的角宽度
k 1 k
a aa
第k级明纹的线宽度
x k1 f
k
f
f
a
(4)单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
缝宽a愈小，缝对入射光的限制愈甚，条纹铺展愈宽；
（5）入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大，1 越大，衍射效应越明显.
结论
1）当P点的位置（由 决定）满足光栅方程：
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
则P点为第k级主极大。在此处形成一亮而细的条纹。
2）相邻两主极大之间有N-1个暗纹中心，N-2个次极 大，次极大的亮度比主极大小得多。
相邻两主极大明纹之间是什么？
假设某一光栅只有6条狭缝。
1. 当 3
红光 sin 2
k2
b b'
3 7.6105 cm 1cm 6500
1.48
1
不可见
第三级光谱的张角
90.00 51.26 38.74
第三级光谱所能出现的最大波长
' (b b')sin 90 b b' 513nm
k
3
绿光
S
rP
* S ：波阵面上面元
S
(子波波源)
子波在 P点引起的振动振幅 s并与
r
有关 .
e
t S ： 时刻波阵面
S
rP
* S ：波阵面上面元
S
(子波波源)
菲涅耳指出 波场中各点的强度由各子 波在该点的相干叠加决定.
三 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
菲涅耳衍射
S
缝P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、屏与缝相距无限远
3）条纹最高级数
s in k
k
b b'
π,
2
k
kmax
b
b'
4）光栅衍射的缺级现象
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
a sin k
(k' 1, 2,)
其中 k mk k m, 2m,3m,
k 1 , 2 , 3 ,
五 光栅衍射图样
光栅中狭缝条数越多，明纹越细.
光栅的衍射条纹是衍射和多缝干涉的总效果
相邻两缝间的光程差： (a b)sin
光栅方程
(a b) sin k
(k 0,1, 2, )
四 光栅衍射光谱的光强分布
多缝干涉图
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
单缝衍射图
光栅衍射图
P
P
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
(a)1条缝
(d)5条缝
(b)2条缝 (c)3条缝
(e)6条缝 (f)20条缝
六 衍射光谱
入射光为白光时，形成彩色光谱.
I
sin
0 一级光谱
三级光谱
b b'
二级光谱
衍射光谱分类 连续光谱：炽热物体光谱 线状光谱：放电管中气体放电 带状光谱：分子光谱
例1 波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂 直入射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅 后用焦距为2米的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这 两束光的第三级谱线之间的距离。
2
一 半波带法
A
a
B
缝长
a sin 2k 2
A
a
B
a sin
k
(2k 1) 1,2,3,
2
R
A
L
A1
C
B /2
R L
A
A1
A2 C
B
/2
P Q
o
P Q
o
R L
A
A1
A2 C
B
/2
P Q
BC asin
k
o
2
（ k 个半波带）
asin 0
中央明纹中心
a sin 2k k 干涉相消(暗纹) 2k个半波带
x01 x02 0.5(mm ) ，
§20-2 单缝的夫琅和费
衍射
一 光栅的构造
由大量等宽且等间隔的平行狭缝所构成的光
学元件称为光栅．
L
E
狭缝宽度a
刻痕宽度 b
b2
A1
P
B
O
光栅常数
d ab
N表示光栅 的总缝数
d
d sin
f
二 光栅衍射条纹的形成
衍射角
a
b
a b
光栅常数
(a b)sin
a：透光部分的宽度 b ：不透光部分的宽度
各级主极大的亮度不一样，光强受到单缝衍射
图样的调制。若P点的位置（由 决定）同时
满足：
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
a sin
k
(k' 1, 2,)
则位于P点的第k级主极大的亮度为零，该级主极大 实际观察不到，称为缺级。
设： (a b) ma
则： (a b)sin k ma sin k
2 4 102
6.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28 104 0.1
5.1mm
y1
3 2
f
'
a
3 4
y0
3.8mm
（2）当a=4.0mm时
y0
2 4 102
6.328 104 4.0
0.13mm
y1
3 2
f
'
a
3 4
y0
0.1mm
条纹已密集得难以分辨
例 2 在夫琅和费单缝衍射中，已知缝宽 a 0.1mm ，透 镜 L2 的焦距 f 2 50cm 。今用含有 1 和 2 两种波长的光
正负第一级暗纹中心对透镜光心所张的角度称为
中央明纹的角宽度 asin
一般很小，有 sin
a
a
中央明纹角宽度
0
a
(
a
)
2
a
屏上线宽度
y0
2
f
tg
0
2
因为： tg 0 0
22
K=3
K=2
K=1
0 K=0
K=-1
K=-2
f
K=-3
所以：
y0
2f
0
2
2
a
f
（3）任意相邻明纹宽度
90
k 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9
例3 用白光垂直照射在每厘米有6500条 刻痕的平面光栅上，求第三级光谱的张 角.
解 400 ~ 760nm b b'1cm / 6500
紫光
sin 1
k1
b b'
3 4 105 cm 1cm 6500
0.78
1 51.26
解： (b b)sin k
sin
1
31
b b
sin
2
32
b b
x2
1
x1
f
x1 f tan 1 x2 f tan 2 sin tan
x
f
(tan 2
tan 1)
f ( 32 31 )
b b b b
0.006
m
例2 用波长为 = 600 nm的单色光垂直照射光栅，
观察到第二级、第三级明纹分别出现在sin =
0.20 和sin = 0.30 处，第四级缺级。计算（1）
光栅常数；（2）狭缝的最小宽度；（3）列出全
解： 部条纹的级数。
(b b)
b (b
k sin
b) 1.5
2
106
6000 1010 0.2
m
6106 m
4
k
b b sin
6106 1 6107 10
总结
条纹宽度（相邻条纹间距）
a sin 2k k
a sin
2
(2k
1)
2
干涉相消（暗纹） 干涉加强（明纹）
中央明纹的宽度
x0
2 a
f
其他任意相邻暗纹距离
x k1 f
k
f
f
a
例1 用波长=632.8nm的平行光垂直照射单 狭缝，缝宽为a，缝后放置一焦距 f 40c的m透 镜．当 a 0.1或mm a 4.时0m，m试求在透 镜焦面上所形成的中央明纹的线宽度及第一级 明纹的位置．
3
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
3
2. 当 2 3
2
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
3
3. 当 , 4 3 , 5 3
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
4. 当 2 主极大（明纹）
结论：两个主极大明纹之间存在5条暗纹。 相邻两条暗纹之间是什么？ 次级明纹。
推广：
光栅有N条狭缝 相邻两主极大明纹之间有N-1条暗纹。 相邻两主极大明纹之间有N-2条次级明纹 。
)1
s in 1
(k
1) 1
2a
x1
f2 sin1
(k
1) 1
2a
f2
a sin 2
(k
1 2
)
2
sin 2
(k
1) 2
2a
x2
f2 sin 2
(k
1) 2
2a
f2
x
x1
x2
(k
1 )
2
1
a
2
f 2 1.25(mm)
（3） x01
21
a
f2
1.5(mm ) ， x02
2 2
a
f 2 1.0(mm )
光栅常数： 105 ~ 106 m
三 光栅方程
设想光栅上只留下一个缝透光，其余全部遮 住，这时屏上呈现的是这个缝的单缝衍射条纹．
因为同一衍射角的平行光经过透镜后都会聚在 光屏上同一点，所以不论留下那一个缝，不仅屏上 衍射条纹都一样，而且条纹位置也完全重合．
当光栅上所有缝都打开时，由于各条缝所分割 的波前满足相干条件，所以各缝的衍射光将在 接收屏上相干叠加，从而产生光栅的衍射图 样．可见，光栅衍射是单缝衍射和多缝干涉的 综合效果．
菲涅耳衍射:障碍物距光源及观察屏（或 两者之一）为有限远时的衍射.
夫琅和费衍射:障碍物距光源及观察屏 都为无限远时的衍射
在夫
实琅
验禾 中费
S
L1
R
L2
P
实衍
现射
§20-2 单缝的夫琅和费
衍射
夫 琅
R
L
a
衍射角
fP
禾
A
Q
费
单
o
缝
BC
衍
a sin
射 （衍射角 ：向上为正，向下为负）
菲涅耳波带法 BC asin k (k 1,2,3,)
解：中央明纹的线宽
y0
2
f
'
a
第一级明纹的角位置1
a sin1
3
2
L a
y1
1 y0
f E
其在屏上的位置 y1 f 'tg1
因为 1很小，则
L
tg1 sin1
根据单缝衍射明纹公式 a
a sin (2k 1) 2
y1
1 y0
f
sin
1
3 2a
y1
f
'
3 2
a
（1）当a=0.1mm时
y0
a sin a sin
k(22k（介1)于2明暗干之涉间加）强((k明纹1),2,个23k,半波1)带
2
讨论
（1）条纹明暗
0
中央明纹
a sin (2k 1) 2 k 1,2,3 k 级明纹
a sin (2k) 2 k 1,2,3 k 级暗纹
偶数个半波带则暗；奇数个半波带则亮。
（2）中央明纹宽度
照射狭缝，发现 1 的第二级暗纹中心刚好与 2 的第三级 暗纹中心重合。若已知 1 600nm ，求： （1） 2 ? ； （2） 1 和 2 第二级明纹中心的距离； （3）比较 1 和 2 零级极大的宽度。
解：（1） a sin
k11
k22
2
k1 k2
1
400nm
（2）a sin1
(k
1 2
第二十章 光的衍射
§20-1 光的衍射
惠更斯-菲涅尔原理
一 光的衍射现象
光在传播过程中若遇到尺寸比光的波长 大得不多的障碍物时，光会传到障碍物的阴 影区并形成明暗变化的光强分布的现象
二 惠更斯-菲涅耳原理
从同一波前上各点发出的子波是相干波， 经传播在空间某点相遇时的叠加是相干叠加．
e
t S ： 时刻波阵面
a sin k 令： k k
m
m
k m , 2m ,3m , 缺级
k 1 , 2 , 3 ,
d 3a
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
k 3 , 6 , 9 , 缺级
单缝： 双缝：
b 0.04mm d 7a
k 7 , 14 , 21, 缺级
k sin k 1
a
a
k k 1
a
a
第k级明纹的角宽度
k 1 k
a aa
第k级明纹的线宽度
x k1 f
k
f
f
a
(4)单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
缝宽a愈小，缝对入射光的限制愈甚，条纹铺展愈宽；
（5）入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
越大，1 越大，衍射效应越明显.
结论
1）当P点的位置（由 决定）满足光栅方程：
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
则P点为第k级主极大。在此处形成一亮而细的条纹。
2）相邻两主极大之间有N-1个暗纹中心，N-2个次极 大，次极大的亮度比主极大小得多。
相邻两主极大明纹之间是什么？
假设某一光栅只有6条狭缝。
1. 当 3
红光 sin 2
k2
b b'
3 7.6105 cm 1cm 6500
1.48
1
不可见
第三级光谱的张角
90.00 51.26 38.74
第三级光谱所能出现的最大波长
' (b b')sin 90 b b' 513nm
k
3
绿光
S
rP
* S ：波阵面上面元
S
(子波波源)
子波在 P点引起的振动振幅 s并与
r
有关 .
e
t S ： 时刻波阵面
S
rP
* S ：波阵面上面元
S
(子波波源)
菲涅耳指出 波场中各点的强度由各子 波在该点的相干叠加决定.
三 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射
菲涅耳衍射
S
缝P
夫琅禾费 衍射 缝
光源、屏与缝相距有限远 光源、屏与缝相距无限远
3）条纹最高级数
s in k
k
b b'
π,
2
k
kmax
b
b'
4）光栅衍射的缺级现象
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
a sin k
(k' 1, 2,)
其中 k mk k m, 2m,3m,
k 1 , 2 , 3 ,
五 光栅衍射图样
光栅中狭缝条数越多，明纹越细.
光栅的衍射条纹是衍射和多缝干涉的总效果
相邻两缝间的光程差： (a b)sin
光栅方程
(a b) sin k
(k 0,1, 2, )
四 光栅衍射光谱的光强分布
多缝干涉图
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
单缝衍射图
光栅衍射图
P
P
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
(a)1条缝
(d)5条缝
(b)2条缝 (c)3条缝
(e)6条缝 (f)20条缝
六 衍射光谱
入射光为白光时，形成彩色光谱.
I
sin
0 一级光谱
三级光谱
b b'
二级光谱
衍射光谱分类 连续光谱：炽热物体光谱 线状光谱：放电管中气体放电 带状光谱：分子光谱
例1 波长为500nm和520nm的两种单色光同时垂 直入射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅 后用焦距为2米的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这 两束光的第三级谱线之间的距离。
2
一 半波带法
A
a
B
缝长
a sin 2k 2
A
a
B
a sin
k
(2k 1) 1,2,3,
2
R
A
L
A1
C
B /2
R L
A
A1
A2 C
B
/2
P Q
o
P Q
o
R L
A
A1
A2 C
B
/2
P Q
BC asin
k
o
2
（ k 个半波带）
asin 0
中央明纹中心
a sin 2k k 干涉相消(暗纹) 2k个半波带
x01 x02 0.5(mm ) ，
§20-2 单缝的夫琅和费
衍射
一 光栅的构造
由大量等宽且等间隔的平行狭缝所构成的光
学元件称为光栅．
L
E
狭缝宽度a
刻痕宽度 b
b2
A1
P
B
O
光栅常数
d ab
N表示光栅 的总缝数
d
d sin
f
二 光栅衍射条纹的形成
衍射角
a
b
a b
光栅常数
(a b)sin
a：透光部分的宽度 b ：不透光部分的宽度
各级主极大的亮度不一样，光强受到单缝衍射
图样的调制。若P点的位置（由 决定）同时
满足：
(a b)sin k (k 0, 1, 2,)
a sin
k
(k' 1, 2,)
则位于P点的第k级主极大的亮度为零，该级主极大 实际观察不到，称为缺级。
设： (a b) ma
则： (a b)sin k ma sin k
2 4 102
6.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ28 104 0.1
5.1mm
y1
3 2
f
'
a
3 4
y0
3.8mm
（2）当a=4.0mm时
y0
2 4 102
6.328 104 4.0
0.13mm
y1
3 2
f
'
a
3 4
y0
0.1mm
条纹已密集得难以分辨
例 2 在夫琅和费单缝衍射中，已知缝宽 a 0.1mm ，透 镜 L2 的焦距 f 2 50cm 。今用含有 1 和 2 两种波长的光
正负第一级暗纹中心对透镜光心所张的角度称为
中央明纹的角宽度 asin
一般很小，有 sin
a
a
中央明纹角宽度
0
a
(
a
)
2
a
屏上线宽度
y0
2
f
tg
0
2
因为： tg 0 0
22
K=3
K=2
K=1
0 K=0
K=-1
K=-2
f
K=-3
所以：
y0
2f
0
2
2
a
f
（3）任意相邻明纹宽度
90
k 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9
例3 用白光垂直照射在每厘米有6500条 刻痕的平面光栅上，求第三级光谱的张 角.
解 400 ~ 760nm b b'1cm / 6500
紫光
sin 1
k1
b b'
3 4 105 cm 1cm 6500
0.78
1 51.26
解： (b b)sin k
sin
1
31
b b
sin
2
32
b b
x2
1
x1
f
x1 f tan 1 x2 f tan 2 sin tan
x
f
(tan 2
tan 1)
f ( 32 31 )
b b b b
0.006
m
例2 用波长为 = 600 nm的单色光垂直照射光栅，
观察到第二级、第三级明纹分别出现在sin =
0.20 和sin = 0.30 处，第四级缺级。计算（1）
光栅常数；（2）狭缝的最小宽度；（3）列出全
解： 部条纹的级数。
(b b)
b (b
k sin
b) 1.5
2
106
6000 1010 0.2
m
6106 m
4
k
b b sin
6106 1 6107 10
总结
条纹宽度（相邻条纹间距）
a sin 2k k
a sin
2
(2k
1)
2
干涉相消（暗纹） 干涉加强（明纹）
中央明纹的宽度
x0
2 a
f
其他任意相邻暗纹距离
x k1 f
k
f
f
a
例1 用波长=632.8nm的平行光垂直照射单 狭缝，缝宽为a，缝后放置一焦距 f 40c的m透 镜．当 a 0.1或mm a 4.时0m，m试求在透 镜焦面上所形成的中央明纹的线宽度及第一级 明纹的位置．
3
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
3
2. 当 2 3
2
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
3
3. 当 , 4 3 , 5 3
P点光振动的合矢量为零 。（暗纹）
4. 当 2 主极大（明纹）
结论：两个主极大明纹之间存在5条暗纹。 相邻两条暗纹之间是什么？ 次级明纹。
推广：
光栅有N条狭缝 相邻两主极大明纹之间有N-1条暗纹。 相邻两主极大明纹之间有N-2条次级明纹 。
)1
s in 1
(k
1) 1
2a
x1
f2 sin1
(k
1) 1
2a
f2
a sin 2
(k
1 2
)
2
sin 2
(k
1) 2
2a
x2
f2 sin 2
(k
1) 2
2a
f2
x
x1
x2
(k
1 )
2
1
a
2
f 2 1.25(mm)
（3） x01
21
a
f2
1.5(mm ) ， x02
2 2
a
f 2 1.0(mm )
光栅常数： 105 ~ 106 m
三 光栅方程
设想光栅上只留下一个缝透光，其余全部遮 住，这时屏上呈现的是这个缝的单缝衍射条纹．
因为同一衍射角的平行光经过透镜后都会聚在 光屏上同一点，所以不论留下那一个缝，不仅屏上 衍射条纹都一样，而且条纹位置也完全重合．
当光栅上所有缝都打开时，由于各条缝所分割 的波前满足相干条件，所以各缝的衍射光将在 接收屏上相干叠加，从而产生光栅的衍射图 样．可见，光栅衍射是单缝衍射和多缝干涉的 综合效果．
菲涅耳衍射:障碍物距光源及观察屏（或 两者之一）为有限远时的衍射.
夫琅和费衍射:障碍物距光源及观察屏 都为无限远时的衍射
在夫
实琅
验禾 中费
S
L1
R
L2
P
实衍
现射
§20-2 单缝的夫琅和费
衍射
夫 琅
R
L
a
衍射角
fP
禾
A
Q
费
单
o
缝
BC
衍
a sin
射 （衍射角 ：向上为正，向下为负）
菲涅耳波带法 BC asin k (k 1,2,3,)
解：中央明纹的线宽
y0
2
f
'
a
第一级明纹的角位置1
a sin1
3
2
L a
y1
1 y0
f E
其在屏上的位置 y1 f 'tg1
因为 1很小，则
L
tg1 sin1
根据单缝衍射明纹公式 a
a sin (2k 1) 2
y1
1 y0
f
sin
1
3 2a
y1
f
'
3 2
a
（1）当a=0.1mm时
y0
a sin a sin
k(22k（介1)于2明暗干之涉间加）强((k明纹1),2,个23k,半波1)带
2
讨论
（1）条纹明暗
0
中央明纹
a sin (2k 1) 2 k 1,2,3 k 级明纹
a sin (2k) 2 k 1,2,3 k 级暗纹
偶数个半波带则暗；奇数个半波带则亮。
（2）中央明纹宽度
照射狭缝，发现 1 的第二级暗纹中心刚好与 2 的第三级 暗纹中心重合。若已知 1 600nm ，求： （1） 2 ? ； （2） 1 和 2 第二级明纹中心的距离； （3）比较 1 和 2 零级极大的宽度。
解：（1） a sin
k11
k22
2
k1 k2
1
400nm
（2）a sin1
(k
1 2
第二十章 光的衍射
§20-1 光的衍射
惠更斯-菲涅尔原理
一 光的衍射现象
光在传播过程中若遇到尺寸比光的波长 大得不多的障碍物时，光会传到障碍物的阴 影区并形成明暗变化的光强分布的现象
二 惠更斯-菲涅耳原理
从同一波前上各点发出的子波是相干波， 经传播在空间某点相遇时的叠加是相干叠加．
e
t S ： 时刻波阵面
a sin k 令： k k
m
m
k m , 2m ,3m , 缺级
k 1 , 2 , 3 ,
d 3a
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
k 3 , 6 , 9 , 缺级
单缝： 双缝：
b 0.04mm d 7a
k 7 , 14 , 21, 缺级