九年级数学(上册)第一章

B 2 3 4 1 C
这个结论以后可以直接运用.
D
回顾与思考
☞
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索 驶向胜利 “因” .); (5)依据思路 ,运用数学符号和数学语言条理 的彼岸 清晰地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善.
“行家” 看“门 道” D
随堂练习P212
☞
我能行
已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°. 求:∠B和∠ACB的大小. A 解:∵ ∠DCA是△ABC的一个外角(已知), ∠DCA=100°(已知), ∠A=45°(已知), B C D ∴ ∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠DCA+∠BCA=180°(平角意义).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
回顾与思考
☞
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗?
a
a b a bc
驶向胜利 的彼岸
b
d
回顾与思考
☞
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
独立 作业
知识的升华
1、写出P2四条公理的三种语言; 2、试写出P2推论的证明过程.
祝你成功！
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人. • 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
三种语言
Hale Waihona Puke Baidu
☞
关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. A △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
试一试P213
☞
你认识 外角吗 ? B
D
E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
证明(2):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义), ∴ ∠BDC =∠C+∠CED(三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC=∠A+ ∠B(三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个外角的和).
关注▲外角
☞
内涵与外延
A
在这里,我们通过三角形内角和 定理直接推导出两个新定理.像这 样,由一个公理或定理直接推出的 定理,叫做这个公理或定理的推论 (corollary). 3 推论可以当作定理使用. B
2
4 1 C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
试一试P213
☞
你认识 外角吗 ? B
D
E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义),
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
随堂练习P212
☞
你认识 外角吗?
A 已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 分析:设法利用外角把这五个角“凑” H 2 1F B E 到一个三角形中,运用三角形内角和定 理来求解. 解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的意义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角 C D 等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的意义), ∴ ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和). 又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理). ∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =180°(等式性质).
“行家” 看“门 例题欣赏P210 ☞ E 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外道”
A 角∠EAC,∠B= ∠C. D 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 C B 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互 补” .:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 证明
1
平行线 的性质 c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
回顾与思考
☞
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B 0 ∠B+∠C=180 -∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 几何的三种语言
公理: 两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b a b a b
回顾与思考
☞
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
☞ 几何的三种语言
公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a b a b a b
1
平行线 的判定 c
∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等式的性质).
小结
拓展
回味无穷
理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事 项. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.△ABC 中,∠A+∠B+∠C=1800. 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角. 关注三角形的外角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. 你准备如何提高证明命题的能力呢?
∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =1800 (等量代换). ∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互 补,两直线平行”得到了证实.
例题欣赏P211
☞
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1 是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 2 BC到D,连接DE. C 求证: ∠1>∠2. 3 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 1 A B F ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).把你所悟到的 证明一个真命 ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 题的方法,步骤, 任何一个和 它不相邻的内角). 书写格式以及 注意事项内化 ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 为一种方法.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
“行家”看“门 探索思考 ☞ 道” 如图. ∠1是△ABC的一个外角,
∠1与图中的其它角有什么关系? 2 能证明你的结论吗? ∠1+∠4=1800 ; ∠1>∠2; 3 4 1 ∠1>∠3; B C D ∠1=∠2+∠3. 证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理), ∠1+∠4=1800(平角的意义), ∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换). ∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分). 用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. A
·
·
∠B=∠C (已知), 1 ∴∠B= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAE= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAE=∠B(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).
这里是运 用了公理 “同位角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.
想一想P211
· ·


∠B=∠C (已知), 1 ∴∠C= ∠EAC(等式性质). 2 ∵ AD平分 ∠EAC(已知). 1 ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). 2 ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
例题是运 用了定理 “内错角 相等,两直 线平行” 得到了证 实.
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
想一想P211
一题多解思维灵活
E 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 A 角∠EAC,∠B= ∠C. D 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 C B 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 ”. :∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 证明
一题多解思维灵活
E
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角 相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 ”. :由证法1可得: 证明 ∠DAC=∠C (已证),
A
B
· ·C
D
∵ ∠BAC+∠B+∠C =1800 (三角形内角和定理).